Beispiele für charakteristische Funktionen

Video thumbnail (Frame 0) Video thumbnail (Frame 7293) Video thumbnail (Frame 18557) Video thumbnail (Frame 23746) Video thumbnail (Frame 35786) Video thumbnail (Frame 47826) Video thumbnail (Frame 61574) Video thumbnail (Frame 75322) Video thumbnail (Frame 89070) Video thumbnail (Frame 101302) Video thumbnail (Frame 113533)
Video in TIB AV-Portal: Beispiele für charakteristische Funktionen

Formal Metadata

Title
Beispiele für charakteristische Funktionen
Title of Series
Part Number
15
Number of Parts
28
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license.
Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
Expected value Polymorphism (materials science) Zahl Generating function Length Integration <Mathematik> Complex number Square Summation Charakteristische Funktion Rounding Random variable
Reelle Funktion Zahl Rotation Complex analysis INTEGRAL Wave function Real number Chemical polarity Function (mathematics) Number Expected value CW-Komplex Complex number Absolute value Factorization
Complex analysis Integralsatz Stress (mechanics) INTEGRAL Normal distribution Curve Square Open set Parameter (computer programming) Set (mathematics) Function (mathematics) Charakteristische Funktion Expected value Geschlossene Kurve CW-Komplex Population density Abbildung <Physik> Square number Parametrisierung Summation Absolute value Factorization Derived set (mathematics)
Zahl Complex analysis Drag (physics) INTEGRAL Real number Normale Function (mathematics) Expected value Sign (mathematics) Population density Length Antiderivative Absolute value Conditional probability Random variable Complex analysis Binomische Formel Maximum (disambiguation) Bruch <Mathematik> Square Charakteristische Funktion CW-Komplex Film editing Uniformer Raum Ecke Factorization Derived set (mathematics)
Stochastic Population density Moving average Number theory Propositional formula Antiderivative Random variable
Cumulative distribution function Zahl Rational number Natural number Continuous function Continuous function Subset Physical quantity
Expected value Stochastic Zusammenhang <Mathematik> Variance Square Lebensdauer
wenn die ich war nur mit paar
organisatorischen Hinweisen an der 1. wurde durch Hinweis den kennen Sie schon ab dieser Woche Donnerstag sind wir donnerstags in den S 1 0 1 1 0 1 also es und Audimax 2. organisatorische aus der Hinweis ist bezüglich der Prüfung der dabei wird die Frage offen die Diplom-Studenten genauso an der der schriftlichen Prüfung teilen können wir die Bachelorstudenten da jetzt letzte Woche der Studienausschusses getagt und dann irgendwie nach 3 Stunden Sitzung um 20 Uhr nach kurzer Sitzung beschlossen die Diplom-Studenten dürfen das nicht also tut mir leid das ist natürlich ein bisschen blöd immer eine Vorlesung hat und 2 verschiedene Arten von Prüfungen passt mir irgendwie nicht Ich mach's deswegen so dass ich Prüfungsfragen vorbereiten werde wie sie im Vorfeld bekommen werden ich habe jetzt mal angefangen für die bisher kann also bis zur nächsten 2 Wochen waren es glaube ich 25 als ich nehme an dass an insgesamt 60 Fragen ungefähr sein und die von den 60 Fragen bekommen Sie welche gestellt gemäß einem Zufallsprinzip in den mündlichen Prüfungen und von den 60 Fragen bekommen sie weich jetzt ohne zu zuweist Konzept gestellt in der schriftlichen Prüfung aber ich das Ding anstellen kann er das kann ich schon anstellen aber das ist schon angestellt ist auf hat sich auf Mode ok also macht ok das betrifft heute wird also ich werde Prüfungsfragen vorbereiten er die sie im Vorfeld bekommen werden wir werden so machen als 1. 25 habe jetzt mal aufgeschrieben lege ich meiner Sekretärin abdecken dann Stämme sind Internet und die danach kommen dadurch in jeweils Life In der vorlesen noch vorstellen nach jeder Vorlesung die dazu passenden Prüfungsfragen können Sie sich dann drauf vorbereiten in der Prüfung werden dann so 3 4 drankommen oder 5 Runden drehen er zusätzlich werden wir noch eine Aufgabe zum aus reden machen da sicher der eine Aufgabe Ausübung dran bringen wie sie alternativ werden können falls sie in eine Prüfungsfrage nicht zusagt mehr bei der schriftlichen wieder mündlichen Prüfung wird immer so sein dass ich ne gewisse Modifikation der Prüfungsfrage macht das heißt bei der schriftlichen Prüfung werde ich nachfragen ob sie oben verstanden habe nicht das mehr also ich habe Minister von Prüfungsfragen und das Naheliegendste was sie machen Sie machen sich Minister von Prüfungs- antworten es mir aber nicht so recht also wenn Sie mir eine Antwort präsentieren nicht erklären können was die Antwort bedeutet der CD an eben nicht auch wenn die andere sie richtig ist das heißt ich frage hyphen R mündlichen Prüfungen sprechen nach was ist gemeint bei einzelnen Begriffen und so weiter und meiner schriftlichen Prüfung werden überlegen ob es um den bisschen modifizieren kann also geringfügig also wenn dann vielleicht eine Prüfungsfrage weit zeigen sie erzeugende Funktion von einer Summe von auf einer konzentrierten Zufallsvariablen ist das Produkt der Zeugen Funktion und dann kann ich eine Prüfung zum Beispiel das Ganze nur mit 2 Zufallsvariablen anbringen man sie so man schreiben das nicht so gut mehr allgemeine ok also und so was nennt machen wir dann ok ansonsten wo wir stehen geblieben wir hatten beim letzten Mal noch angefangen mit der charakteristischen Funktion zugrunde gelegt ist mir der Zufallsvariablen X dann heißt IX Funktion von er nach 10 der mir durch die X an der Stelle also ist mir der Zahl ist der Erwartungswert von E hoch I U X und diese Erwartungswert von dieser komplexen Zahl ist gemeint als Erwartungswert des real teils bis Email Erwartungswert ist immer weniger Zeit das heißt integral über er großen muss x B x T x Müsli mal integral über 1. muss XP XTX die so genannte charakteristische Funktion von x beziehungsweise von der Verteilung von ja gesehen die charakteristische Funktion ist gleichmäßig stetig und waren dann stehen geblieben bei der folgenden Bemerkungen Beispielfälle charakteristische Funktion ist XNA Sigmar Beitrag verteilt so gilt Ex von ist gleich wie hoch die X hoch Minus dicker Quadratur Quadrat halte ich habe dann schon argumentiert es genügt zu zeigen wenn X N 1 verteilt G die Formel das heißt 1 4 x von gleich EU Oberwart Heide und dass wir auch eine Prüfungsfrage warum ist das so ja da müssen Sie organisieren
den Tieren den ist XL 0 1 verteilt so ist Sigmar Express A N A Sigmar Beitrag verteilt und es gilt wie von Sigma X X das das von setzen Sie einen Erwartungswert von EU die dann Sigmar X bis Klammern den Faktor wie hoch die aus wer Klammern bei den Erwartungswert von die nicht Sigmar X ist und sich mal zusammen und sehen da kommt raus wie hoch die mal die X von Sigmar wenn Sie jetzt eben für Action wissen wie es aussieht können Sie die Formel einsetzen und da kommt die entsprechende Formel von da oben aus okay doch noch ein Nachtrag offen nämlich das den Betrag den komplexesten die gerade einziehen können das möcht ich vorne weg machen also er beim letzten Mal benutzt der Betrag vom Erwartungswert F Demys dabei gleich integral über Betrag von 11 bemühen das ist nach von der Wellenfunktion ich habe es für komplexe Funktionen benutzt und kann ins Straucheln bei der Begründung und nachdem ich mir überlegt habe ich auch gemerkt warum müssen Straucheln kam war die Gründung des nicht so ganz einfach also musste erst unge- nachschlagen dann ist einig einfach aber braucht er die Idee also Nachtrag für f colon an nachziehen und müde jemals aufdrehen setzen wir das integral über 11 Mühen ist nach Definition des integral über den Realteil von F grüß das integral Imaginärteil von ja dann gilt was ich zeigen möchte ist der integral über Betrag der Betrag von integral F Demys plane gleich in die gerade Betrag von 11 denn will ich zeige oder ich brauchen Beweise erstmal Binarität und integral 2. 1. was ich zeigen möchte für alle C aus Geld integral über zehnmal so viel wie sie immer integral erstehen also 1. Eigenschaft die brauche ich nach Gleichen gereist ist auch nicht ganz offensichtlich aber sie sind vielleicht ein bisschen warum das gelten könnte der mal was man also den ich fange mit der rechten Seite an und schreibt die rechte Seite zurück einfach auf wäre der Integrale das heißt dieses sie ist ja ja Teil von CBS Email Imaginärteil Fernsehen und des integrales auch integral Realteil von Müsli mal integral über über den erteilt jetzt gerne aus multiplizieren und dann die Realteil und Imaginärteil zusammenfassen und dann ausnutzen das das integral über der reelle Funktionen wie Allen Jahr ist das heißt ich kann die ganzen Realteil ein integral zusammenfassende Sie mal die ganzen Imaginärteil im ein integral aber Jammer integralen ja für reellwertige Funktion wenn ich das mache dann komme ich auf das integral über die was in die Realteil ist der Alltag von semer Realteil von 11 dann müssen sie abziehen minus I X minus Imaginärteil von Thema Imaginärteil von 11 und dann passen sie ganz in Imaginärteil zusammen ein integral es gibt von 10 Imaginärteil von S grüß Imaginärteil von semer halten okay und dann sehen Sie was steht hier hier steht gerade der Realteil von 10 x f und hinten nicht jeder immer die Mehrzahl von ja dann sehen Sie dass das ganze gerade das integral über 10 x F den also das war einfach einfach nur zurückführen auf Real Kall über den zahlen während das 2. aber sicherlich hinaus möchte ist die Eigenschaft der Vertrag von integral entstehen ist leider gleich integral Betrag von 11 wobei auf der linken Seite steht ein integral von einer komplex werden Funktionen also das Ding hier ja Teil des immer die Mehrzahl getrennt in die 4 Mitglieder zwischen und rechts habe ich einfach den komplexen Betrag von der Funktion genommen dann habe ich mir DLR Funktionen die reelle Funktionen gekriegt ok dann der Trick ist wir stellen den Mühen der Polar ist integral F bemüht der Datendarstellung dar Integrale war es denn gehen setzen wir an als sei er mal wie hoch die Täter Täter ist mit Zahlen zwischen
0 und 2 P und er ist gerade der Betrag von in die Frage er ist der Betrag von integral Täter aus nur bis 2 die abschätzen wollen die er also interessieren durch mich wie er also der Betrag 11 über sich abschätzen will ist gleich er ich kann dass er jetzt zurückführen auf das integral über 11 bemühen die mich einfach mit e hoch minus ihn weiter davor die Bezieher beide Seiten dann sehen Sie dass es siehe oben wie ob mir das die mal Täter in der gerade erst den Mühen dann was mache ich jetzt ja jetzt wird sich meiner Eigenschaft eines aus diesen konstanten Faktor kann nicht einsehen komplexe Faktor über 1 gezeigt dieses integral über EU-Minister die mal Täter f die Email und jetzt habe ich wieder ein Komplex integral oder ein integral über der Komplex fertige Funktion dieses integral ist gleich dem integral beim Real Tal mal dem integral über den über die Mehrzahl da ich aber weiß dieses ist Meldezahl muss das was rauskommt auch eine reelle Zahl sein das heißt es in die Grabenweg über den Imaginärteil muss gleich 0 sein das heißt R 1 und R ist muss das gleich dem integral über teil sollen wie hoch Minus wir mal 2. mehr sein ja und der Alltag von der Zahl ist aber gleich als ihr Betrag das heißt es da ist gleich in die gerade trat von 11 da der Realteil und wo man es ihm mal weiter leider gleich den Betrag ist von wo ist immer fetter F und der der Betrag von den EU Minus immer Täter S 1 das heißt es Betrag von und dieses integrales Molotow und zwar integrales monoton der Wellenfunktion wenn es klare gleich die ist als integralen F den klar gleich in die gerade begeben bei der Trick war hier wir haben das Ding hier was eine komplexe Zahlenebene ist 1 sowie trägt das sind wir wir können sagen der Betrag ist willkommen denn nehme die komplexe Zahl drehen diese Drehung kann ich genauso gut in den machen und dabei ändert sich der Betrag nicht und dann habe ich hier ihren die Faktoren wie er das integral und das reelle Integrale er ist nun so ok Fragen so weit gut so vielen
zum Nachtrag zum letzten Mal dann comma zum heutigen Beweise allzu Bemerkung 5 9 wir zeigen ist nix Standard normalverteilt so gilt Felix von ist die auch mir so vertrat heilen weil aber stehen geblieben das Bild noch um die charakteristische Funktion von der in als sieht noch etwa Verteilung der auszurechnen dazu ja wir gucken uns das X und an Felix Volvo ist nach Definition der Erwartungswert von ja oder in die gerade auch die es mal die Dichte von der Standard Normalverteilung Dichte von der Standard der Normalverteilung S 1 durch Wurzel 2 mal ob minus X Quadrat Heide DX das möcht ich im Folgenden ausreichen okay so weit ich mache das so dass ich wollten wissen Funktionentheorie manchen komischen Integralsatz ich würde es auf komplexe Integrale über Strecken Züge zurück und wenn dann kuschen Integralsatz an im was ums auf was bekanntes zurückzuführen ich ziehe erstmal den er bis 1 durch Wurzel 2 pi raus dann er gänzlich quadratisch sodass oben Quadrat drinsteht 0 ja aus dem sehen ende des werfen weil wir ziehen wir new line tiefer beziehen 1 durch Wurzel 2 Bier aus wir schreiben ich will da oben integral haben das muss dann in dem Betrag haben ihr ein Minus X was halbe und zum Quadrat und dann sieht man eigentlich das muss X minus die USA einen im Quadrat X wenn ich so hinschreiben dann steht jetzt als in der Kranken wie hoch minus X minus halbe in Klammern zum Quadrat halte welches Quadrat aus Klammer komme ich offen wie hoch minus X X 3 Teile steht hier auch dann habe ich hoch Minus dann zweimal x mal minus die halte es gibt insgesamt nur sehr hoch plus das Video steht hier auch und dann steht noch 1 der 4 1 das zu viel ist das er hoch Minus die in Klammern zum Quadrat halte und die Oper Quadrat gibt Minus im Quadrat mit dem minus der hervorgeht Plus im Quadrat also EU plus Uhr 3 3 besteht er vor das heißt was zu viel ist ist es oder modifizieren Sie noch mit wo minus Kupferdraht halten und das ist auch Integrale okay ich habe nur quadratisch ergänzte Irene also theoretisch sind es von hier nach hier einfach was sie modifizieren aus modifizieren dass nach einer steht es da oben mehr gut dann sehen Sie auch was ich zeigen muss was ich zeigen muss ist also x 1 und soll gleich das Dasein das heißt der ganze Faktor der hier ist gleich ein als zu zeigen ist dieses integral über er wie hoch minus 6 Minus wo Ort heute die X zur Wurzel aus 2 Pisa sein und das deutlich im folgenden als Komplexes offenen Betrag ein bisschen stören tut mich noch dieses integral über ganz er dann mache ich einfach indem es wird die gegen endlich vom Terminus ist die Ehe von integral also für die größer 0 gilt und sie dazu betrachten wir das integral von minus des über ihr hoch Minus X minus EU zum Quadrat weil wir die Ruhe und was ich gerne machen möchte ich möchte dieses integral umschreiben das 1. 2 als ein integral über Strecken Zug C 1 E um minus Z Quadrat Heide Rezept ist vollständig richtig ich bin noch X integrieren wo wir schlecht die da X-Dax Dankeschön und jetzt die Frage wie muss ich die 1 werden damit ist gleich ist also muss ich möchte weil ich die Funktion EU-Minister Quadrat halte es ist mit 2. angewandt wird über eine komplexe Churandy gehen Vorschläge und Boris wollen erklären sehen ja wir nehmen das Minus bis die als Parametrisierung und das wird hier auch durchlaufen das heißt ich nehme gerade minus
Thémines EU laufe ich bis die ist die unter wenn Sie das Wochenende gerade nachträglich ausrechnen wenn wir eben die Ableitung von der Parametrisierung wir 1 das heißt was wir machen ist wir um um um musste vor dem Hotel ich habe den Realteil von Z ich habe den nur wenn er Teil von Zeit und ich nehme an wir größer als 0 Uhr könnt aber auch kleiner als 1 sein an der man so hier unten und dann der mein Weg C 1 geht von hier nach dir also C 1 geht von minus T minus EU bis plus Thémines EU parallel zur wir werden 80 und man sich jetzt Ausmerze ist das ist der wunderschöne oder morgen Funktionen wenn ich da über geschlossene Kurven Züge in die Quere dann kommt nun aus gute stellen gerade dort das heißt ich gehe hier weiter und laufe wieder einmal darum um auf ihrem C 2 C 3 C 4 also nach kuschen Integralsatz wenn ich die Summe Bilder von die vielleicht 1 bis 4 integral über C I wo minus Z Quadratzahl den EZ dann ist das gleich 0 also anstelle dieses integral über die geschlossene Kurve zu integrieren kann ich auch dann die integralen die einzelne Gruppen aufspalten ja dann sehen Sie das integral über C 1 ist minus die integral über C 2 C 3 C 4 zusammen ich zeigt jetzt die Integrale über C 4 und C 2 und C 4 Verschwindenlassen kurdisch spielt keine Rolle dann stimmt das integral über C 1 also methodisch bewegen endlich in die gerade wird C 3 zusammen sind sie gerade bezieht 3 Wärme direkt schreiben können das integral wird sie 3 oder zumindest nun reelles integral geben es gibt ja ne hoch Minus x halte aber X läuft von T bis minus 10 sind okay klar so weit oder Fragen so weit also einer Funktionentheorie was gemacht nein ja sollen also ich alle die als ich war bisschen Funktionentheorie an der Stelle nicht arg viel sie habe mal kucken in die gerade gemacht aber wahrscheinlich alles noch mehr Google dran haben sie auch nie gemacht ja im Einzel es ist hier relativ einfach sie machen sollen Kurven in der greise laufen weil die Grube durch setzen die ein also also im Scholko gehört als mit Core Funktion Abbildung von Erna in ausgehend vom im Intervall da sie gehen wir vom R 1 R 2 von Parameter Menge und dann durchlaufen langsam das Ding durch und mir der darüber integrieren wollen dann setzt man das einfach ihren in die Granden ein also er normalerweise als ich dann ist deuten als Funktion auch R 2 aber ich rechne hier im komplexen da kann ich sagen meiner 2 sind in der Realteil immer weniger Zeit wird sich einfach ein und multipliziere hinten noch mit denen der Betrag der Ableitung muss ich noch modifizieren und das Kochen integral erinnere er dessen integral unterschreiben so was mache ich hier oben bleiben die wir Parametrisierung verläuft man habe der es wagte leicht von minus bis des und an der Stelle es ist dann der Punkt es zumindest die mal komplexe period der läuft so langsam durch nenne das integral eben hier Parameters Tiere dann würde das es einsetzen also oder ich habe sie als X genannt X minus 7 einsetzen müssen auch die Ableitung dranmachen Betrag von Ableitung aber dies 1 weil er das Xtra denn nur das komplexe stört mich bei der Ableitung ok also das ist die eine und jetzt mache ich es gleich in der zweiten dritten vierten und dann gibt es wenn eine relativ schöne Funktion haben gibt dem berühmten gotischen Integralsatz der sagt wenn sie geschlossene hoffen dass über geschlossene Kurven integrieren kommt immer 0 raus in komplexen und es wird sich gerade aus okay jetzt jetzt nur auf C 2 und C 4 ab auf C 2 und sehr viel Geld gilt für den und die Kranken oder ist der kann die Grand beschränkt durch betragsmäßig beschränkt durch ja wie sieht der in die Grand aus also der ist EU-Minister Quadrat halte das davon noch ein bisschen Platz wo man uns jetzt die Frage Was ist der Text jetzt hat er Essen plus minus T und dann mir ist das Z er gut das parametrisieren von diesen es geht ja los bei ja es geht los bei T minus EU läuft bis des und an einer Stelle geht's los bei minus T Ermine SIU der läuft bis die mehr das heißt in Plusminus T wie immer mal vor und läuft zwischen Frau läuft zwischen 9 0 kleiner gleich Bauplaner gleich und wir können dummerweise positiv oder negativ sein also machen wir Betrag von Frauen Betrag finden und dann bin ich wohl auf der sicheren Seite so das ganze belichtet abschätzen dass es der dass der Maximalwert die Granden in diesem Bereich das kann ich jetzt aus multiplizieren also was so bringen mal stehen mittlerweile gleich Betrag von Frau wenn wir gleich Betrag von dann nur um aus dann sehen Sie da kommt ne hoch Minus C-Quadrat haitischen heraus die dann gleich auseinander die ob Minus C-Quadrat halte dann kommt vom gemischt Mitglied aber da können Sie das kann ich
das also muss er ihn auch mal was also irgendwas mit hoch wie auf alle Fälle und ein Produkt von formal noch und welche Vorzeichen Rahmen und ja formal bis minus ja Frau Markus Dinges-Dierig beraten wurden so was stimmt auf alle Fälle und dann haben wir noch ein da mal der vom letzten da bekommt man des hoch Minus IV in Klammern zum Quadrat halte es gibt also EUV Quadratmeile okay als ich habe dass sie aus Mali geziert es gibt 3 Theater nach der binomischen Formel und die 3 Termine Eisen reingeschrieben und die Faktor 2 hier verschwendet weil es ja zweimal das gestiegen ist und dann wird das Zweirad wissen die beiden Quadrate und deswegen besteht ja und dann habe ich den Betrag noch vergessen die es ja wieder Berater ja jetzt sehen Sie der Betrag von IOI VT TV und diesen reelle Zahlen der S 1 das heißt das Ding fällt weg dann das andere geben ihr um minus des Quadrates einfach konstant und dann das zweite ja das wird eben maximal den Betrag von V maximales also maximal Quadrat es geht um Rupert Rath Opera teilen okay also habe ich den in die Kranken betragsmäßig beschränkt und jetzt wird sich einfach aus das ganze integral ist ein kleiner gleich Maximum in bekannten mal die Länge des integrationswillig ist also gucken wir uns integral über sie an wir Z wird weil wir die Z es bezahlt entweder 2 oder 4 denn es ist gleich maximal mehr vom in die Daten dass es ihr um minus Quadrat Heidemarie Quadrate Heide und ein längeres Integrationsweg ist wie lange es der Integrationsweg mehr Integrationsweg geht von T also bei C 2 von T E Plus oder T minus 7 mal bis LTE und bei C 4 von minus Demminer Sie mal bis minus des dann sehen Sie die Länge ist gerade das heißt es noch Betrag von dran und dann sehen Sie es der konstante US fest beliebige reelle Zahl T gibt wenn sich gegen endlich den das geht das ganze gegen 0 also gegen 0 der liegen unendlich okay dann verschwinde Teil über C 2 C 4 und ich kann weiter folgen aus dem oberen das das integral oder der das was mich interessiert das integral über integral über er wie hoch wie hoch Minus X EU Halle zum Quadrat Unfall will Felix das interessiert mich bis jetzt gleich ist das gleiche wie jenes gegen endlich unendlich von integral über C 1 EU-Minister etwa 3 Teile Zeit das gerade wird die 1 kann ich umschreiben als minus integral über C 2 minus integral 3 minus integral über C 4 dann niemals auseinanderziehen die integral über C 2 und C 4 verschwenden werden was integral über C 3 übrig also die Messe neben endlich in wir gerade über Minis C 3 wo Z vorantreiben gezerrt und damit verlassen wir das komplexe wieder und sind im wählen weil bedeuten jetzt das da als reelles integral wenn sich überlegen integral über C 3 das ist ja das schöne integral von T bis minus des die Funktion integriert er wenn nicht dann innerster vorschreibt dann kann ich genau sehen Integration Zweck umkehren das heißt ich kann von die Liste des laufen ich von minus des des laufe und an andere sehen begreifen dass die Liste dir aus über EU-Minister Quadrat Heide die das heißt wir kommen hier wenn man es von der gegen unendlich von minus 10 bis 10 wo minus separat weil wir die 10 alles in die greifen wir müssen endlich von endlich das endlich EU-Minister Quadrat heute die und wie groß es dieses integral ich würde Vorschlag zu zwar die Begründung okay wenn man kann Orden ergänzen nur zu zwar die durch minus zu 2 die ich würde nur zu zweit die durch 2 dieses einst über zu viel 2 die reinziehen menschlichen Dichterwort da alles wenn ich diesen Kunden über das integral 1 raus das heißt es 2 zu 2 die wer nur da von Händel einzig denen war ich weiß gab ich habe es mir und gezeigt der sich glauben Einführung Stars der nicht mehr oder was gemacht im Anhang der anhand von Buches gezeichnet also vielleicht Radieschen und nach es ist die Uni die relativ einfachen Beweis dafür über den See wer zweidimensionale Indikationen okay daraus soll die Behauptung gut Fragen so weit nein und 7 Fragen der keine Frage alles war halte er wir müssen und welche komplexen Integrale ausreichten es bietet sich mein Mann Funktionentheorie dazu nehmen und das so eine Sache wenn sie Funktionentheorie mal gemacht da man so vielleicht sogar schon mal gesehen dass nicht gemacht haben verstehen es natürlich ich auch komisch den Glaubens in der Stelle einfach es kommt aber noch einmal ich wir werden noch einmal das integral zu wenig ausrichten dass war's dann was ihren Funktionentheorie auch Fragen so weit keine Fragen dann aber 5 Minuten Pause und ich mache dann um 10 Uhr 37 weiter ja weil ich ganz gerne weitermachen gucken uns die nächste Verteilung an einerseits die charakteristische Funktion die wird relativ schnell gehen für die wächst also beider kommen sie das nächste exponential Verteilung an aber die charakteristische Funktion relativ schnell gehen und dann beschäftigen uns ein bisschen mit der Gedächtnislosigkeit exponential Verteilung 5 period sehen Bemerkungen seit 6 wandernder verteilt das heißt X hat mir dich der dich hinschreiben kann Pixeldichte der von X reich Lander mal ihr um den Islam da X wächst größer gleich 0 0 sonst
was gilt dann für die charakteristische Funktion also wir rechnen Sie die charakteristische Funktion von x an der Stelle vorschläge sie nehmen die Definition des Eises Erwartungswert von E er es wird von I U X X und da müssen Sie diesen Erwartungswert ausrechnen wie machen Sie das okay also wir in die Quere Schreines umreißen integral bezüglich dem Bild Maß eigentlich getrennt nach der über die Mehrzahl dann nützt wir aus integral bezüglich dem Bild maß er da muss ich einfach die Dichte an weil die Beziehung in die Quere bezüglich in Decke Maß dann kann wieder real Imaginärteil zusammenfassen dann komme ich auf das integral über die hoch wie Klein X X F von X der von XTX über R ich setze ein also komme ich aus in die wissen endlich wie hoch die X X Namen normal lahmender XTX und da würde ich dieses integral ausrechnen wie machen Sie das bei dieser ohne Funktion würde ich vorschlagen komplexe Funktion bezüglich dem Willen die klären vorschläge da vielleicht noch weiter zunimmt nur so hält die vordere rechte Ecke von mir aus also integrieren Sie diese Funktion vergleichen Sie diesen die gerade aus Vorschlag unser Vorschlag wir hatten alle mitdiskutieren hat Ihnen vorgeworfen sie 7 Sabine mehr und sein Vorschlag kann wahrscheinlich auch noch woanders in der Welt ja der kommunizieren die beiden es zusammen es hervorragende Idee na klar natürlich aus 0 wissen endlich dann steht an ihr hoch wir die minus lahmender X X Text und dann haben sie einfach und was machen Sie dann jetzt integrieren Sie elementar bilden stammt Funktionen ich drehe und verrät dass da was Komplexes da der Stammfunktion er wer der gleiche ETA nur noch durch die innere Ableitung geteilt das heißt wir bekommen Aufnahmen dadurch will weil man auf sondern stehen kann man den gleichen Bildschirm wie hoch die wir müssen da X X wird sein durch die innere Ableitung EU-Minister dar umsetzen X 1 von 0 bis unendlich und ja nur es halt getrennt für Real Imaginärteil machen könnten wir auch wieder zusammenfassen man will nach dem einschlagen komplexen okay was passiert jetzt jetzt müssen wir X gleichen endlich einsetzen beziehungsweise X gegen endlich gehen lassen X leichten einsetzen zunächst leicht 0 einsetzen es einfach was passiert wenn nix gegen endlich geht also mal werden wir jetzt in die Messe von X gegen endlich von IOI Maliks was passiert mit dem Hinweis geht gegen 0 weil sie machen zum Beispiel mit Drag darum dann fällt das e O I U X weg er war betragsmäßig 1 ist und bleibt noch ne um Islam da XI Brüchen dann aber eine Zahl größer als 0 ja eigentlich ist dann da immer größer als normale Ex-Mann Verteilung hören und damit dieses ganze gegen 0 das heißt der weil ich's gleichen endlich fällt weg ist bleibt der Fall noch nicht vielleicht nur übrig minus das heißt wenn ich dann 0 Einsätze konnte insgesamt 1 raus das heißt ich willkommen minus dadurch die um den Islam da oder Lamm durch an der man es die weil die charakteristische Funktion ausgerechnet ja nicht ihresgleichen ok als das war nicht einfach nur so nur ein bisschen und gewundert dass wir uns mit den komplexen rechnen dass das Fell Funktionen aber die Not könnten Sister legen real Imaginärteil die Rechnung getrennt machen dann real imaginierter zusammenfassen wer hat umständlicher die genauso gut jetzt möcht ich müsste man erzählen über die exponential Verteilung und er das gerade der dass wir von der exponential Verteilung ist die sogenannte Gedächtnislosigkeit also die exponential Verteilung des gedächtnislos in dem Sinne das gilt circa wechseln sagen andere Teile Zufallsvariablen Beziehung Sternen die Wahrscheinlichkeit dass X größer als gebe es es ist die Würdigung das X größer als es ist ist gleich die Wahrscheinlichkeit dass X größer als die ist für alle es die Größe 0 große 0 große gleich 0 wir größere geschrieben also exponential Verteilung werden häufig aufgrund dieser Eigenschaft für Waffensysteme eingesetzt diese Eigenschaft sagt wenn sie an so war das ist wo die Wartezeit exponential verteilt ist schon mal eine gewisse Zeit es gewartet haben wenn es den es ein ich gar nix weil sie anschließend genauso wieder los warten als von ganz zum beginnen muss warten also eine boshafte Eigenschaften wenn wenn sich vor die Zeit Vista aufzukommen wirklich exponential verteilt und die stehen schöne Stunde dann bringt im nichts nach als geht ein ich wieder von vorne losgehen okay das sieht mir eigentlich oder das sehen Sie nicht sofort mehr ohne Begründung als Nachweis von Sternen einig nicht interessanter Gespräch kurz noch mal nach da geht es über elementare bedingter Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit für die linke Seite muss so linke Seite sei die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis X größer die bis es unter der Bedingung dass X größer als es ist 2. Ereignis ist nach Definition die Wahrscheinlichkeit vom Schmidt durch die Wahrscheinlichkeit von der Bedienung die Wahrscheinlichkeit vom Schnitt wenn das X größer als die wird es ist und gleichzeitig X größer als es ist gerade die Wahrscheinlichkeit dass größer als die wird es ist durch die Wahrscheinlichkeit dass nichts größer als es ist das können Sie jetzt elementar
ausreichen über die Dichte integrieren solle von Thewes es müssen endlich die Dichte nein da mal EU-Minister haben da X links und integrieren auch von es müssen endlich die Dichte andermal EU-Ministern der XTX Stammfunktion können sofort hinschreiben das ist minus EU-Ministern da X ja wir als weiteren Zwischenschritt also Stammfunktion hinschreiben minus er auch minus nahm der Ex jetzt leicht plus S wir müssen endlich durch Ministerium man flammender X jetzt gleich Xtra ich es müssen endlich der wächst gegen endlich geht in die Grand gegen 0 bleibt das nur der Wert an der Stelle des es es übrig entsprechende minus das heißt er kommt er hoch die würde es raus wo Glander es durch die Ohren andermal S dann sehen Sie wie oben andermal es kürzlich weg das war die ob man damals die übrig und er ein andermal Themen die lange mal dieses integral von T wissen endlich über Land mal und des Sammler X das heißt das ist gerade die Wahrscheinlichkeit wir machen zur nochmal endlich andermal die offene Flammen X X ist die Wahrscheinlichkeit dass X größer als die ist und damit eine Stamm gegründet war das war nicht werden ja ja ja ja ja heute auch das rechtshindernden comma minus fehlt hier hier hier dreimal okay zufriedener bei also vorher Streitfragen des ist Rechnungen aber bitten das werden mehr aber Birgit war auch die triviale Rechnungen werden das hat mir schon einzelne Stochastik machen können aber vielleicht noch mal gemacht das ist die ausreichende Eigenschaft der Ex-Rennstall Verteilung auf was ich jetzt ein hinaus möchte er es ist wirklich die Aussagen Eigenschaft es gibt keine andere Verteilung dieser Eigenschaft das heißt ich umgekehrt stammt vorgebe und noch eine kleine zum dazu dienen nämlich dass die Wahrscheinlichkeit dass größer als 0 ist größer als 0 ist was ich habe mir nicht negative Zufallsvariable die Wahrscheinlichkeit dass X groß soll größer als 0 sein oder ich brauche nicht mehr nicht negativ nur die Wahrscheinlichkeit dass X größer als 0 ist muss größer als 0 sein werde dann ist die exponential Verteilung die einzige Verteilung dieser Eigenschaft anders sind okay war man folgende Gründe es ist umgekehrt X 1 der erdige Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeit von x größer 0 sei größer als 0 für die Sterne für alle S comma T Größe 0 gilt so richtig 6 von anderer Zeit okay aber zu Begründung ich setze mal gewiss genannt das von T oder setzte es für nix es 1 x ist die Wahrscheinlichkeit dass Grosics großartigstes also gleich 1 minus die Wahrscheinlichkeit dass es kleiner gleich ist der von links aus Sternen wenn Sie jetzt angucken was ist Sternen was bedeutet Steam Standard die Beziehung ja aber jung geschrieben dass da vielleicht den dar dann kann ich mit der Wahrscheinlichkeit dass X größer ist durch multiplizieren dann sehen Sie ja Wahrscheinlichkeit dass X größer Tag muss es ist leicht Wahrscheinlichkeit dass X größer die Wahrscheinlichkeit dass nix größer ist ist das kann ich jetzt mit meinem es umschreiben und kam auf ein S 1 ja es von E-Plus es gleich ist und Thema S von S aussterben folgt es fand S ist die Wahrscheinlichkeit dass X größer als die dass es ist das ist gleich die Wahrscheinlichkeit dass ich's größer T S S von Fernsehen weil die Wahrscheinlichkeit dass X großer ist dass es von S würde es größer 0 und jetzt vor Gericht daraus Eigenschaften von es okay was vor Gericht aus wir gucken uns meist von K T an ja die Größe 0 K aus allen was würden Sie sagen wie kann ich es von Kamal ausdrücken mit Hilfe von S von See es fand genau was will ich noch ich will jetzt als nächstes haben schwarz besser ab es von 1 durch n bis gleich es waren 1 zu 1 durch und als drittes möchte ich dann haben es war habe ich bis gleich es von 1 Woche habe ich im wie sehen die 2. und 3. alles dabei für alle aus dann bräuchten Begründung 1 ist immer 1 durch im wenn man das aus 1. und setzen sie wollen es von einst durch dann 1. einsetzende ansetzen doch irgendwie ja besitzen sie K gleich eine 1 mit Vergleich enden und was mir fehlt des denn unsereins richtig vielleicht als wenn ich in 1 gar gleich im Einsatz und die gleich 1 durch dann steht auf der linken Seite es von 1 auf der rechten Seite steht es von 1 durch m hoch dann ziehe ich die Ente Wurzel dann steht es 1 durch gleich es von ein 2 einzigen 108
ok jetzt wollen wir das dann für alle Element nur K comma M erinnern können ja das sehen Sie jetzt nicht direkt es folgt aus 1 und 2 also wir sie wenden 1. sie schreiben erst hieß es Frank habe ich in mit Hilfe von 1 um als es von 1 durch hoch aber und dann ist es von 1 durch als es von 1 zu 1 durch den also folgt aus 1 und 2 okay was ich jetzt machen möchte ich möchte dieses also was geht denn meine exponential Verteilung überlegen und so was ist bei der Ex-Mainzer Verteilung ja was ist er von 1 bis er von Xtra nächstens Jahr Verteilung also was welchen hinaus ja im Prinzip das ist die Wahrscheinlichkeit dass Exkurse X ist die Wahrscheinlichkeit dass Exkurse X ist oder vor um ausgerechnet nämlich die Wahrscheinlichkeit dass nichts größer es ist zum Beispiel das war ihr den da man es das heißt die Wahrscheinlichkeit dass X Größe X ist EU-Ministern da X ich will ja auch nie um den Islam da X hinaus er wenn ich das Ding jetzt umschreibe ist es von 1 den EU-Ministern dar dann steht da es von Kabel ist gleich EU minus 1 damals habe ich das heißt ich hatte schon rationale Zahlen dann habe ich eine Verteilung dieses 1 müsse Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion es rechtzeitig stetig also mit durch die Verteilungsfunktion stimmt einen rationalen Zahlen Ex-Prinz Jahre haben über eine Verteilungsfunktion es rechtzeitig stetig das heißt was wir jetzt noch fehlt ist ich muss das sie umschreibenden er hoch Minus Lander ja das es von 1 ist er hoch ja also es von 1 zu erstmal eher hoch allen von S 1 1 ein Schreiben des um als hob minus minus allen Verletzten als nur damit ich hier einen von S 1 1 10 schreiben kann sollte man es 1 nicht nur sein und nein es von ein sollte auch nicht 1 zu 1 zum dergleichen bisher war das nur schlecht weil das müssen jetzt argumentieren mehr schlechte Sachen also es gilt also erstmal behaupte ich es von 1 gar nicht 1 ja wenn sich überlegen was wäre wenn es von Heinz Neid 1 wäre wenn es von 1 gleich 1 wäre also wenn es um 1 gleich 1 wäre dann wäre nach 1. auch S von Karten ich 1 Dialika und warum ist es nicht möglich dass es gar gleich 1 ist für alle K dann der X fast sicher größer als jede jede natürliche Zahl an der die Wahrscheinlichkeit dass X großer K ist gleich der 1 für jedes Haus in das nicht sein kann weil die Wahrscheinlichkeit dass X K ist der Kunde ja gegen 0 also Widerspruch das ist furchtbar ist die Wahrscheinlichkeit das liegt größer klar ist und ich glaubte die konnte geht gegen 0 begradigen endlich sehen Sie warum die Wahrscheinlichkeit dass X großer Kreis gegen konvergiert Tagen endlich also die kann man das begründen ja genau richtig die Verteilung zum Grunde geht gegen 1 Name ist definiert als einzelnes die Verteilungsfunktion alternativ können Sie auch in den Beweis reingehen warum Baumkunde die Verteilungsfunktion gegen 1 bis dem konvergiert von also sehr eigenes hier konnte von oben gegen die zum Coach okay und ich behaupte auch S 1 1 ist ungleich wir wollen den sehen Sie das warum sollte es von einst waren es 1 nicht gleich 0 sein die Wahrscheinlichkeit dass Exkurse 0 es ist größer als 0 und x größer 1 ist eine Teilmenge von X größer 0 daraus folgt aber nur dass die Wahrscheinlichkeit von X größer 1 kleiner gleich der Wahrscheinlichkeit von Exkursen ist vor mehr aber Sie können sich nur überlegen ob sie eine Beziehung die wir schon haben 1 2 3 verwenden können und genau auf dessen Auszug kommen also ich möchte Widerspruch schon zu dem machen was Sie vorgeschlagen haben ok wenn sie die Voraussetzung 2 nehmen dann sehen Sie dann müsste man es war 1 gleich 0 ist dann müsste es von 1 gleich L 1 durch gleich 0 sein für jedes und das passt nicht zusammen mit der Voraussetzung werden also ja ist also es von 1 gleich 0 daraus folgt es waren einst durch gleich 0 aufgrund
von 2 für eine aus allen und daraus folgt dass die Wahrscheinlichkeit 1 x größer 0 das ist ja der Limes von der Wahrscheinlichkeit das X größer als 1 durch des im dem endlich das jetzt leicht denn die Wahrscheinlichkeit dass ich's größer als 1 durch es ist es von 1 durch in das heißt hier steht es zum 1 solch ein an der das gleich 0 im Widerspruch zu Voraussetzungen dass die Wahrscheinlichkeit dass X Größen ist größer als okay jetzt setzen wir lange als von S 1 1 wir daraus folgt unser S Frank habe ich also minus 1 Interessen 1 erstmal wohldefiniert weil es war ein sehr ungleich 0 ist und ist eine Zahl größer als 0 weil es von einzelne Wahrscheinlichkeit und haben gerade gezeigt sie lege ich zwischen 0 und 1 die Zahl größer 0 ist aber noch 3 gleich es von 1 durch ok ich S 1 1 kann ich umschreiben als eher hoch allen S 1 1 also wie hoch Minus an das heißt ich komme morgen Ieoh Ming müssten dann da einmal habe ich ja damit können also jetzt stehen alle ja rationalen Zahlen damit geht Ice Ausguck Plus die Wahrscheinlichkeit dass X großer X ist das ist ja noch Definition gerade unser es von X das ist nach dem obrigen gerade EU-Ministern da nichts Netzteiles umschreiben die Verteilungsfunktion bzw. 11 x 1 x Wahrscheinlichkeit dass mit Name gleich X ist ist ein wird die Wahrscheinlichkeit dass X größer als x ist es 1 minus wie Islam gar nichts und da die Verteilungsfunktion als recht sei die stetige Funktionen auf jeder dichten Teilmenge von ja bereits eindeutig bestimmt ist geht es sogar für Alex dass er also da 11 nicht rechtzeitig stetiges gut sogar der Blitz von ihr ist man da nix der alle Linksaußen aus ja und dann sehen Sie dann eines ist eine exponential Verteilung 0 weil wenn ich mit x nahe an 0 ankommen konnte hier letztenendes die aus das heißt es aber ich habe sehr gezeigt der von ausgenommen der von 0 muss auch noch gleich 0 sein wenn er von dem gleichen ist dann sind auch alle anderen gleich 0 aufgrund der Monotonie der Verteilungsfunktion weil daraus folgt nächstes Ex-Mainzer aufeinandertreffen okay waren so weit genau also ein ich habe ich ja hier als Frage war gerade was mache ich mit X gleich 0 ich habe ein nicht ich bin ganz sicher bist wächst leicht nur mit gezeigt habe müsste oben mal nachgucken ob ich die New in Urlaub ist ganz klar nicht weil die erst mit 7 wieder den ich für K gleichen was ich gar nicht sagen dass es von 0 gleich will es wenn die hoch 0 ist aber ich habe sie eigentlich nix aus A plus ohne die 0 oder habe ich noch mal die rechtzeitige Stetigkeit und kann sagen FX Stelle 0 ist der Limes von RX x 4 x gegen 0 und mehr damit steht Star ok Fragen sonst noch dann muss sie noch kurz was den schreiben wir fertig also aufgrund der Gedächtnislosigkeit oder Ex-Mann Zahl Verteilung häufig bei der Modellierung von war das ist eben eingesetzt das heißt aufgrund von Sternen und die exponential Verteilung häufig bei der Modellierung von noch das System eingesetzt als auch das Ende
Prüfungsfrage von mir dann warum wir die vertragen häufig bei der Modellierung von Worte nein das System eingesetzt sondern würden Sie antworten ja weiß Gedächtnislosigkeit ist sie wurde die Gedächtnislosigkeit formulieren sie könnten noch nachweisen dass die Gedächtnislosigkeit vorliegt sie müssen nicht unbedingt zeigen können dass es die einzige verfallen ist das wird wohl ausgehen also vielleicht sie wissen auch noch dass sie 7 vielleicht auch den Satz wissen das ist die einzige Verteilung ist aber also mündlichen Prüfung der schriftlichen bekannt die Frage natürlich nicht stellen nicht wirklich wenn es sich um was genau formulieren dazu okay dann weil noch in schreiben was Erwartungswert Varianz EX integral von 0 bis unendlich x-mal andermal EU-Ministern da liegt's wer sie integrieren partielle an eine Einführung die Stochastik gemacht kommt 1 durch andere aus Varianz der Erwartungswert von nix vertraut minus EX in Klammern zum Quadrat der Erwartungswert von Xtra trat in die gehen Sie genauso fahren partielle müssen sie in 2 Mal machen aber auch in der Einführung in Staus der gemacht wissen Sie noch was für die Varianz rauskommt Ex-Manns einer Verteilung 1 durch andere Apparat der ich dabei nicht glaube ich es auch ja ich glaube das auch als ich dann aber trotzdem ok also die Frage ist warum ist die Gedächtnislosigkeit überhaupt sinnvoll bei der warte Systemen also man kann sich insbesondere vorstellen bei Lebensdauer mehr also wenn sie das ist die Lebensdauer einer Persönlichkeit angucken eines Menschen und vielleicht auch die Lebensdauer von technischen Geräten wann sie keine Gedächtnislosigkeit erwarten vielleicht Autobatterie sollen sie würde er sagen dass und so viel Jahren schmeißen Sie vielleicht oder bei der Jagd vorsichtig fest was ich machen sollten wenn das Gedächtnis wäre wird die Frage was ist denn das sondersgleichen weil sie würden sagen wenn sie lange gewartet haben also wenn ich oben und einer Schlange steht dann letztlich erst möglich schlagen also ich würde eher erwarten wenn sie schon lange warten müssen noch viel länger warten will ich meine ja sie erst mal bei Supermarkt hatten beobachtet haben stellen sich so nicht Kasse in 3 verschiedene und meistens ihre dann die langsamste aus eine Verkäuferinnen Halbinsel rückschließen er sie dies auch weiterhin die langsam manchmal als Kinder und durch in die Gegenrichtung also also ich kann es nicht genau sagen warum sie warum sie jetzt zwar ist sagen das sollte eine Gedächtnis muss sein das macht 1 den in der eine der gesunde was sie haben schöne Stunde gewartet dann ist es genauso wahrscheinlich dass die nächsten 5 Minuten fertig würde wenn sie ganz neu im Kommen vor ja vielleicht schon ich meine wenn man sie wenn der Kunde ganz neuen kommende der braucht dafür vielleicht nur ganz kurz nur wenn der Stunde gewarnt hat der braucht unserer mit weitere Fragen aber es nicht ganz plausibel Ereignislosigkeit was und wie nah liegende Eigenschaft die sie in Zusammenhang bringen würde war das ist oder verbrennt sich nur vorstellen das könnte Waffensysteme geben die gedächtnislos sind okay wir nachdem ich die Frage so fundamental Antwort auf unser vielleicht noch ein Begriff okay wenn sich je nach schönen Tag so weit wir sehen uns am Donnerstag dann in den andern nur seine S 101 Anreiz
Feedback