Faktorisierte bedingte Erwartung

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Title
Faktorisierte bedingte Erwartung
Title of Series
Part Number
21
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28
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

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Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
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Expected value Algebra Conditional expectation Function (mathematics) Conditional probability Random variable Probability theory
Expected value Abbildung <Physik> Conditional expectation Conditional probability Random variable
Zahl Real number Ende <Graphentheorie> Mittelungsverfahren Conditional expectation Set (mathematics) Charakteristische Funktion Entire function Physical quantity Number Expected value Algebra Average Abbildung <Physik> Codomain Conditional probability Factorization Fiber (mathematics) Random variable
Algebra INTEGRAL Abbildung <Physik> Conditional expectation Set (mathematics) Mass Function (mathematics) Fiber (mathematics) Random variable
Logical constant Zahl Transformation (function) INTEGRAL Translation (relic) Conditional expectation Set (mathematics) Expected value Stochastic Integrierbarkeit Average Zusammenhang <Mathematik> Modulform Summation Plant variety (law) Conditional probability Partition (number theory) Random variable
Logical constant Tuple Plane (geometry) Zahl Random number Content (media) Conditional expectation Mittelungsverfahren Mass Variable (mathematics) Physical quantity Expected value Population density Algebra Degrees of freedom (physics and chemistry) Average Gleichverteilung Codomain Antiderivative Random variable
Hidden Markov model Propositional formula Function (mathematics) Mass Parameter (computer programming) Inequality (mathematics) Convex set Subset Expected value Hausdorff space Sign (mathematics) Average Nichtlineares Gleichungssystem Random variable Social class Konvexe Funktion Graph (mathematics) Equals sign Infinity Conditional expectation Set (mathematics) Line (geometry) Algebraic closure Index Measurable function Untere Schranke Factorization Derived set (mathematics)
ja begrüße Sie recht herzlich zur heutige volle sehen der Wahrscheinlichkeitstheorie wir haben beim letzten weiter gemacht mit dem Begriff der bedingten Erwartung und da die bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen gegeben eine andere weitere Zufallsvariable eingeführt 2 x 1 erweitert reellwertige Zufallsvariablen sei R Y eine beliebige andere Zufallsvariablen definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Raum B x dann heißt es von X spreche y gleich bedingte Erwartungswert von X gegeben Y y ob minus 1 von comma das heißt kleinste sieht Algebra bezüglich der y messbar ist die bedingte Erwartung von X bei gegebenem y wir haben noch eingeführt die den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit einerseits gegebenen y beigegebenen y anders als bei gegebener Signal Algebra einfach als bedingte Erwartungen der Indikator Funktionen das er sprechen sind des entsprechenden Ereignis Ereignisses wir haben dann gesehen wenn X Y unabhängig sind so ist die bedingte Erwartung von X gegen Y eine konstante Zufallsvariablen und zwar gleich den konstanten wehrt er gleichen konstant und der konstante wert ist Erwartungswert von X wir kommen dann heute also ich habe es einige Vorlesung gemacht über den Erwartungen war alles recht verwirrend heute soll sich alles auflösen weil kommen dann zu den betrifft immer leicht verstehen kann das gibt eine sogenannte faktorisiert der bediente Erwartungen das wäre übrigens auch der Titel für heute ja wir haben dazu beim letzten Mal
vorbereitet den folgenden Satz sei x wir Zufallsvariable von Onmeda AP nach Erhalt wieder weg wäre integrierbar y seine Zufallsvariablen von obiger ablehne unwiderstehlich Anstrich dann existiert eine Abbildung gehen von Amiga Strich Strich nach RB so dass sich die bedingte Erwartung von X gegeben y als Funktion G von y schreiben kann das war ein Konsequenz aus der Messbarkeit Eigenschaft der bedingten Erwartung dadurch dass die bezüglich der sich mal gebe war er von Y der kleinsten zigmal geht war bezüglich der y messbar ist in Bildbereich dass sie bezüglich dieser Sigmar gebar messbar ist kann ich das Ding überschreiben als eine Funktion von y und wir haben weiter gesehen diese Funktion des ist eindeutig bis auf die etwa Lenz Y fast überein das Ganze führt zu 2 neuen Prüfungsfragen 1. Prüfungsfrage
kann ich eine schriftlich nicht so gut stellen bis die bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen X gegeben eine Zufallsvariablen Y definiert und was versteht man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit gegeben 1 7. Algebra beziehungsweise gegeben eine Zufallsvariablen und zweitens die Bemerkung von gerade eben zeigen sie ist nix integrierbar y beliebige Zufallsvariablen X Y abhängig zu gilt bedingt Erwartungswert von ja ich meinte ihn y gegeben X nicht X gegeben y steht der verkehr darum also bedingte Erwartungswert von X gegeben y ist gleich IX fast sicher und ich war dazu Hinweis geben was müssen wir ganz präsent hatte er Beweise gehen der eben begründen sie dass die rechte Seite die Eigenschaften einer bedingten Erwartung hat das müssen Sie danach nicht gut ich möcht noch mal den organisatorischen Hinweis geben auf das Seminar oder auf die Seminare dich angeht der beim letzten Mal Listen rum gehen lassen wer sich da nicht eintragen könnte könnte nach der
Vorlesung zu mir vorkommen kann sich immer noch eintragen Vorbesprechung wir wahrscheinlich in der Form in die Ferne Vorlesungszeit irgendwann machen vielleicht nach der letzten Vorlesung Sie mal gucken auf okay dann könnte ich so weit weitermachen oder wieder Vorlesung anfangen wenn sie ihre Unterhaltung einstellen Dankeschön close bracket Definition 7 9 mehr wir haben Wahrscheinlichkeit Raum obiger ablehnt wenn die guten kühlbar Zufallsvariablen X mit werden denn er quer oder ein Ereignis A USA ja und dann über weitere Zufallswahl dabei gegeben y und wollen dann die bedingte Erwartungen von Excel geben y mehr glauben Aussage machen wir schnappen uns eine gemäß dem vorigen Satz existierende Faktorisierung von der bedingten Erwartung von X gegeben y beziehungsweise von der bedingten Wahrscheinlichkeit von gegeben y das sei G beziehungsweise die und nach dem vorigen Satz diese Faktorisierung ist eindeutig bis auf die Apple ins BY fast überall und als 1. der wie ich jetzt die Funktionswerte von G also G von Klein y als die bedingte Erwartung von X gegeben große Psion gleich klein y beziehungsweise man heißt es denn auch faktorisiert da wird in der Wartung von nächste geben große zugleich also wir definieren jetzt erstmal diesen sehr bedingt Erwartung von X gegeben selbst im Gleichklang y als G von y von X unter der Hypothese Y gleich y und wie gesagt man mir sagt man dazu auch faktorisiert bedingt Erwartungen von X und entsprechend die bedingte Wahrscheinlichkeit von gegeben große zum Gleichklang y ist dieses Gear von und alle so definiere ich bedingt Erwartung von X gegeben wird sogleich period dass er die ganze Funktion und entsprechend für die bedingten bedingte Wahrscheinlichkeit diese Funktion g bzw. Gear ist nicht eindeutig bestimmt siehst nur eindeutig bis auf Mengen vom BY was 0 das heißt auch diese Funktionswerte hier sind nicht eindeutig bestimmt sondern können auf Mengen vom BY Maß 0 beliebig abgeändert werden das Ding ist das was man sich einig wunderschön anschaulich vorstellen kann also was sollte so sein sowas sollte der Mittel wert sein von X wenn y ändert klein zu landen annimmt und das wird genau sein am gleichen beispiellose sehen wir in Spezialfällen kommt genau das raus also Sie können sich einfach vorstellen sie mit in die eine Zufallsvariablen unter Bedingung dass gewisses anderes Ereignis eintritt und dann kommt genau das aus was sie auch als Mittelwert erwarten nämlich eine reelle Zahl dass es nicht eine Funktion Sonne kommt wirklich wunderschöne Delle Zahl aus und Zufallsvariablen könnte sind durch fragen warum habe ich mit dem Begriff ich angefangen bei der sehr der verständliche wäre ja ist hat beweist es nicht einfach haben das allgemeine aufziehen also wenn Sie alles unmittelbar für diese Sache zeigen wollten es ein bisschen mühsamer ok jetzt kommt das entsprechende Beispiel dazu ich habe also wieder und Wahrscheinlichkeit Raum ohne gar P X integrierbar beziehungsweise aus Art und da brauche ich auch die zweite variabel Y ein und jetzt schnappe ich
mir ein klein y aus dem Wertebereich von Gross y und möchte Aussage machen über die bedingte Erwartung von X gegeben Y gleich y und diese bedingte Erwartungen ist ja er sehe gar nicht eindeutig definiert und um eindeutige Aussage zu machen hat sie nicht dass Sie an dieser Stelle eindeutig definiert ist durch die Forderung dass der Wert kleine sie beide Zufallsvariable große Psion mit Wahrscheinlichkeit größer als 0 auftritt braucht dazu brauche ich 1. um das überhaupt schreiben zu können dass diese ein Elemente Gemenge y in meiner Sigma Algebra bricht Rennes und dann kann ich die Wahrscheinlichkeit Y gleich y es soll größer als 0 kann ich das hinschreiben und dann gilt diese bedingte Erwartung von X unter der Hypothese Y gleich große zugleich leid y ist eindeutig bestimmt und stimmt mit der bedingten der elementaren bedingten Erwartung von Aids gegeben das Ereignis Y gleich obszön überein und das hat mir ein eingeführt das war nach Definition das integral über das Ereignis von X geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis also diesen Begriff hatten wir nach im Beispiel nach Definition 7 2 eingeführt und das da ist das im Sinne von Definitionen in der Definition der gerade eben und das ist eben genau das was sie anschaulich machen würden wenn sie ein Mittelwert von X und Sonderbedingungen definieren worden sie würden eben des X Mitteln nur über die Menge wo die Bedingung erfüllt ist das wird aber letzten Endes für Anwendungen nicht ausreichend weil es da eben auch spannend ist dieses X zu Mitteln unter Bedingungen die nur mit Wahrscheinlichkeit 0 eintreten als sie können sich vorstellen diese zweite Zufallsvariablen die uns interessiert die habe eine dichte wenn die eigentlich der hat uns in diese ganzen Wahrscheinlichkeiten der Eindruck man gleich 0 dann könnt ich sowas gar nicht mehr hinschreiben elementaren Sinne aber hier oben kann es noch und schon guten sprechen damals für bedingte Wahrscheinlichkeiten das war das 1. weil diese bedingte Wahrscheinlichkeit über diese Y gleich y stimmt damit unser elementaren bedingten Wahrscheinlichkeit von gegeben das Ereignis wer y große ziehen gleich kleine 10 überein da sieht jemand von Ihnen wie die 2. Beziehung aus der 1. Beziehung folgt oder warum die 2. 1. Beziehung die 2. Beziehung impliziert genau also der bedingte Wahrscheinlichkeit von und Würdigung große zugleich kleine y ist das gleiche wie der bediente Erwartungswert der charakteristischen Funktion von A und der die Nutzung gleich ob sind das heißt sie setzen Ihr X gleich die A 1 setzen dass sie einen sehen Sie das ganze geht gerade die Wahrscheinlichkeit von Feld von A und dem Ereignis y große zugleich das heißt Sie müssen nur die 1. Beziehungen begründen ja sehen Sie das sehen Sie warum die 1. Beziehung gilt also ich war nur mit dem er an mit den Zähler da das heißt wir haben und zeige das ist das Produkt von dieser Wahrscheinlichkeit und dieser bedingten Erwartung ja da die Wahrscheinlichkeit größer als müsse es ich dann fertig ich schreibe das noch mal was ist das das eine Abkürzung für Urbild von der ein Gemenge y bei der Abbildung groß y jetzt wird sich diese integral Eigenschaft der bedingten Erwartung aus wenn ihn über Mängel aus der sich mal Algebra integrieren kommt hier das gleich raus wie
integral über bedingte Erwartungswert von X gegeben y BP und ich
behaupte einfach mal dass wir die Definition sieht jemand von Ihnen warum die Definition der bedingten Erwartung diese Gleichheit der beiden Integrale impliziert also ich behaupte die Definition von der bedingten Erwartung von X unter der über diese ob selber gegeben y impliziert das dieses integral mit diesen integral übereinstimmt war das Urbild von der Einkommen Menge y unter der Abbildung groß y liegt in der kleinsten 7 Algebra bezüglich der Option messbar ist richtig und das impliziert oder so das gilt das gilt nach Voraussetzungen habe ich gesagt dass da die Art und Menge Essen Anstrich alles entsprechen Urbild Ibsen um y um minus 1 von strich ok also Stimme so weit zu und impliziert dass die Behauptung also der Vorschlag ist in dem jetzt die Definition von der bedingten Erwartung von X gegeben eine Zufallsvariablen das war die bedingte Erwartungen von X gegeben wäre die von dieser Zufallsvariable erzeugten Sigmar geht war das heißt es der bedingt der Wartungs- oder die bedingt Erwartung von X gegeben y um minus 1 von Aalstrich steht hier das wolle Zufallsvariablen die Messbarkeit und in die gerade dem erfüllt wir verbinden die integral Bedingungen die integral Bedingung war wenn sie über Mengen aus der zigmal Algebra dienen steht integrieren kommt das Gleiche raus die wenn sie X über diese Menge in die Quere und wir haben hier eine solche Menge ok also in der Tat das war richtig ja jetzt schreibe ich diese bedingte Erwartung von X gegeben y kann ich ja schreiben als der Funktionen geht von y diese Funktion G ist gerade mal bedingte Erwartungswert das heißt ich kann in die Granden umschreiben als Ibsen um minus 1 von y und da schreibe ich mal alles wird in der Wartung von X gegeben Y gleich period damit meine ich die entsprechende Funktion mit Y dpa also ich war gerade so vor dass über ihn zu schreiben aber das Leben einfach nicht period schreiben weil ich einfach die Funktion die und diese Funktion hat ja die Eigenschaft wenn sie sie mit 14 verkleidet hat dann kommt die bedingte Erwartung F von X gegeben y heraus ja jetzt wird sich aus ich in die Quere hier über YO minus 1 von kleinen y wenn man um obiger da drin ist dann ist Y von Onmeda gleich klein y wenn der Sohn von Omri gar gleich klein y ist ist dieser Verkettung gleich dem bedingten aber der bedingten Erwartung von X unter der Hypothese Y gleich ob das heißt ich in die Krise eigentlich oder die Funktion ich in die ist konstant nämlich die bedingte Erwartungen von x Interaktion gleich y der Film und dann sehen Sie wenn Sie eine konstante integrieren dann kommt die konstante mal das Maß raus das heißt der Städte die bedingte Erwartungen von X gegeben Y gleich y mal Wahrscheinlichkeit von y gleich y und weil jetzt diese letzte Wahrscheinlichkeit größer als 0 ist kann ich auflösen nach den Thermen überhaupt steht bitte kann also weil diese Wahrscheinlichkeit größer als 0 ist folgt daraus die Behauptung erstmal nur die Behauptung von der 1. Beziehung haben wir schon gesehen wenn ich für x dann die charakteristische die in die Karte Funktion zur Menge Einsätze Folter als die 1. Beziehung die 2. Beziehung gut haben Sie Fragen so weit Kundenberater mehr also hier kommt der Vorschlag dadurch dass wir die Wahrscheinlichkeit das Haus y gleich klein y größeren gleich 0 ist das ausgeschlossen haben das heißt diese Wahrscheinlichkeit ist größer als 0 wissen wir dass das hier eine stückweise konstante Funktion ist woher wissen Sie dass dass sie eine stückweise konstante Funktion ist das ist eine Vergröberung Funktion X Gewicht also ich man nicht für die
dies nur die Aufnahme sehen weil ich verstehe selber nicht ganz muss ich gestehen ich glaube es ist nicht ganz so einfach wäre aber natürlich haben sie intuitiv irgendwie reicht da der Wert von wer eine 7 Sorten beweist sie eine da wurde wird von Epson konstant ist muss das da konstante sagen es eben diese Frage Folge ist dies Verknüpfung Konstante heimlich aber dass der weiß ich mache und ich kann nach der konstanten auflösen weil ich durch die Wahrscheinlichkeit am Fluss durch teilen kann also wollte ich auf sowas hinaus wenn da hinten da sieht mal geht bei steht und sie müssten zum Beispiel Signalgeber ist besteht nur aus der Lehrenden und ganz ohne gar dann könnten Sie sagen es eine konstante Funktion oder solche Beispiele hätten die sich mal die Frau wurde zeugt von einem Ereignis dann wissen wir die Funktion es auf an Kompliment konstant er die Funktion konstant ist ja weil die von Ibsen um minus 1 weil ein period Menge erzeugt wird ja aber die Verhandlungen erzeugt mehr also ich sehe es nicht sofort aber ich möchte ich ausschließen ist das Geld sofort oder aus was schneller sehen könnte ok noch Fragen nach dem ich die schon so gut beantwortet ja gut nach der nach der radikalen werden mach mal weiter mit hat 7 10 ab ja ja Sie schreiben was gleich in Wahrscheinlichkeit so Moorreger Arbed integrierbare Zufallsvariablen X von und der Art nach der die mehr beziehungsweise aus Zufallsvariable y von einiger ablegen und widerspricht comma ja gut schreiben das hat noch mal hin will alles in die allgemeinen Voraussetzungen dann die Behauptungen für alle comma aus aus Skript comma gilt wenn ich das integral über comma bilden von der bedingten Erwartung von X unter der über diese Y gleich y in der Welt integriert bezüglich der Verteilung von y dann kann ich das zurückführen ja das nicht nur ich umfassende ja wenn Sie einmal den Transformation Satz anwenden also die können Sie so umschreiben Transformations Satz in ganz Nations als können Sie so umschreiben indem sie diese Funktion mit Y verknüpfen nur bezüglich P integrieren und hier wird einzelner strichen schreiben wenn Sie diese Funktion mit Psion verknüpfen Städte bedingt der Wartung von X gegeben y da wenn Sie die Wurzeln um minus 1 1 A Strich integrieren dann kommt das gleiche raus integral über X und sie kommen auf die Formel und wenn sie in die Formel jetzt comma gleich und wieder strich einsetzen mehr dann sehen Sie hier besteht aus der rechten Seite das integral über Ibsen um minus 1 von strich XDP dass es Integrale Rohregger XDP das heißt auf der rechten Seite steht IX und Städte und schreiben Sie diesen Erwartungswert um indem sie die ganzen bedingten Erwartungen von X gegeben Y gleich kleine y bezüglich der Verteilung von Apps zu integrieren das heißt Sie machen sollen Mittelwert Bildung in dem sie erst mal den Mittelwert bilden bei festgehalten wird von Y und diese ganzen Mittelwerte dann noch mal mit dem können sich vorstellen wie eine große Summe die sie aufspalten in der Doppel Summe 1. also 1. über oder auch in unserer Sonne wo sie um welche Bereiche festlegen über die sie in den inneren summenden summieren ok zu das Ganze noch einmal den Text leicht ist hier also die Zahl hier wurde das Ganze dann in Schreiben für Xtra ist hier nur vielleicht schon das besser ab die 1. vollkommen sicher kein Mensch mehr und kann comma das ist jetzt Reformen gestellten y
minus 1 comma und insbesondere bekommen wieder nein ich will spricht halt Umminger sprich man kann nicht wie von umschreiben als integral über die bedingten Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit von gegeben Y gleich y integriert bezüglich der Verteilung von Apps auf dem ich behaupte ähnliche Formen kennen sich schon aus der Einführung in die Stochastik können Sie einen Zusammenhang herstellen Zimmer Formel Risiken aus der Einführung in die Stochastik ab vor einer totalen Wahrscheinlichkeit also einen der beiden Formeln es gab er 2 die will den Satz von Wesen die Form für Teile Wahrscheinlichkeit elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten wo Sie gesagt haben diese bedingte Wahrscheinlichkeit von und diese totale Wahrscheinlichkeit von können Sie schreiben Sie als Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten von A gegeben bekannt mal Wahrscheinlichkeit von BKA aufsummiert über alle K endlich oder abzählbar unendlich viele sofern diese BKA 1 Partitionen von waren und diese einzelnen mussten in das Signal die paar trendy heute haben Sie Fragen zur Aussage von Satz 7 Cent fragen Sie außerdem weit unten Satz bevor man beweisen da gut Beweise habe ich im Prinzip schon Gesagte bevor die der USA und an wenn wir einmal Translation Satz an also weiß wir nehmen uns die linke Seite wenn in den Transformations hat an dann kann ich das ganze umschreiben heißen integral über nur minus 1 von comma der in der Granden als Funktion von y verknüpft wird y und integriert bezüglich des P ich weiß wenn ich die Factories wetterbedingt Erwartung nehme und und diese bedingte Erwartung unter der Hypothese Y gleich kleine Zellen als Funktion von Y die Verknüpfung mit Y dann kommt gerade eine Version der bedingten Erwartung von X und der würde des oder bei gegebenen y heraus das heißt es da ist gleich und dann nehmen Sie einmal die Definition von der bedingten Erwartung er und kommen oft das integral über XDP und das müsste das
sein was da stand ja geschickterweise daraus folgt 1. Teil von an der zweite und einsetzen und wie folgt mit X gleich in die Karte Funktion zu war fragen so weit wird ich mache nur noch ein Beispiel dann noch mal Pause wir betrachten und zweistufiges Zufallsexperiment wir werden erst mal rein zufällig ein period X aus 0 1 und dann führen wir 2. ein in Tobel von Bernoulli Experimenten mit jeweiliger Wahrscheinlichkeit x durch und die Frage ist wie viel Erfolge treten insgesamt Mittellauf es also zweistufiges zupass Sexperiment 1. X aus 0 1 rein zufällig 2. in ein Tobel von Bernoulli Experimenten mit jeweiliger war Erfolgswahrscheinlichkeit X also Bernoulli Experimente das waren die Zufallsexperimente kam nur Misserfolg Erfolg aus erfolgt mit Wahrscheinlichkeit B mit P Misserfolg mit Wahrscheinlichkeit 1 minus P für gegen den Willen X und beim enthoben werden diese einzelnen Zufallsexperimente unabhängig voneinander durch geführt und der Fragen jetzt ja die viele erfolge Mittel auf ja ich bezeichne als y die Anzahl der Erfolge bei diesem globalen also nach diesen zweistufigen Zufallsexperiment ich bezeichne als X die zufällige Zahl im 1. Schritt also wir so gut immer gleich Anzahl erfolgen Mixery Zufallszahlen 1. Schritt das heißt X ist gleich verteilt auf 0 1 interessieren tut nicht Erwartungswert von y haben Sie nen Vorschlag über jetzt ausrechnen können also keinen tun wir die Verteilung von X kennen tun wir auch eine Aussage über die sich y verhält welchen der von X festhalte und jetzt müsste möchte wissen die da sich y globalen richtig habe die unterwegs nutzen vertauscht ja ja ja das aber nicht nass ok ich habe unterwegs nutzen vertauschter aber das sein taktisch klug weißen Wänden Lage sei diese Form umzuschreiben und zwar Sie nicht ich will also das ja gut ist klar was sie machen müssen wir machen integral bezüglich der bedingten Erwartungswert von Ibsen gegeben x gleich x wir müssen in die 4 bezüglich der Verteilung von X und zwar über den Wertebereich von X und dass wir in auch Omegna oder auch widerspricht oder wie auch immer ja wir schon rechne mich über den Wertebereich von X X ist er ja eigentlich eine also X-Serie Zufallsvariablen sinnvollerweise westlich mehr schreiben ich kann so was 0 einzellige Zufallsvariable auffassen aber ich würde ich sage Gleichverteilung 12 bei einer Gleichverteilung auf 0 1 können auch kann auch der Nerd 7 auftretende nur eben nicht so häufig okay gut an jetzt wie groß ist das hier wie groß der bedingt Erwartungswert von Epson gegeben Grosics leichtverletzt also haben in Tobel von Bernoulli Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit klein X und interessieren sich für die mittlere Anzahl von erfolgen bei diesen n-Tupel wie groß ist sie also an seiner Vorgehen
beim wenn sowohl von den Juli Experimenten ist wie verteilt ist mir also verteilt Anzahl Freiheitsgrade in und mit der jeweiligen Erfolgswahrscheinlichkeit als Bildparameter also BMX verteilt Mittelwert einer BMX Verteilung oder BNP Verteilung wäre immer Pläne also hier in Alex das heißt hier kommt in x x aus dann die integrieren Sie bezüglich der Gleichverteilung aber wir werden sehen die gerade XTX wenn X gleich verteilt auf 0 bis 1 ist wie wenn Sie Ihre bezüglich 0 1 Bezug über 0 1 bezügliches bedeckt Maß ist das heißt sie nur die bitte multiplizieren in der Kranken mit der Dichte und die die ihren Piste Maß über ganz er die Dichte S 1 von 0 bis 1 0 sonst das heißt es kommt es integral von 0 bis 1 aus wenn einmal XTX ja dann sehen Sie Stammfunktion NX Quadrat kommt halt in raus richtig also Mittel haben Sie Inhalte verfolgen okay Fragen so weit da mal Pause bis wir um 18 nach 3 wir haben sich ganz gern weitermachen ja mehr mehr werden ok also ich bin ja ganz gerne weitermachen würde das heißt sie sollten die Unterhaltung so müssen einstellen Dankeschön ich schreibe erst Satz über Eigenschaften der bedienen aber der mit den Erwartungen der Hypothese große Psion gleich klein y hin und diese Eigenschaften werden ein nicht direkt aus den bisherigen Eigenschaften folgen können uns dann überlegen das hat 7 11 ja also ich habe wahrscheinlich ganz und gar die Zufallsvariable X und sowas Variable Y also leicht Gemahlin schreiben Voraussetzung die in Definition und das war 7 9 ist ein zahlen wenn es gleich 10 fast sicher ist dann müssen wir schauen wie die bedingte Erwartungen von X gegeben 1 Sigmar Algebra und damit auch die bedingte der Erwartung von X gegeben eine Zufallsvariablen ist ebenfalls fast sicher konstant und die Aussage hier ist die wird in der Wartung von X unter der Hypothese Y gleich klein y aufgefasst als Funktion von Klein y ist ebenfalls gleich diese Konstante und zwar BY fast überall nach vitalen X großer gleich 0 fast sicher sie wissen wieder wird in der Wartung von X gegeben eine zigmal Algebra oder damit auch gegeben die Zufallsvariable y ist größer gleich 0 fast sicher daraus folgt wieder die wird der Wartung von der bedingte in der Wartung von X gegeben Y gleich klein y aufgefasst als Funktion von Klein y ist BY fast überall große gleich wir Behörden mit 10 Jahre tätig werden Mitglied Erwartungswert bedingt Erwartung von Alfa x 1 plus Wetter x 2 wobei ich gestehen muss diese Zufallsvariablen X 1 X 2 tauchen gar nicht Definition 7 9 auf aber seltsamerweise tauchen Sie und ich nen Voraussetzung das 7 11 gibt die auf also zu finden ist es ja egal nicht alle eigentlich hatte ich ja noch dazu schreiben müssen wir haben sowas variabel x 1 x 2 also bedient der Wartung von Alfa x 1 bis Peter X 2 eben auch erweitert reellwertige Zufallsvariablen auf und wieder ab und wieder über diese Y gleich klein y ist
gleich einfach mal bedingt Erwartung von X 1 unter der würde des Gleichklang y Respekt damals bedingt Erwartung von x 2 unter der diese gleich klein y beide Seiten aufgefasst als Funktion von Klein y und die Beziehung die dann für BY fast alle kleinen und wir teilen auch die Monotonie und zum beweisen dass nur ganz close bracket schreiben folgt aus hat 7 3 und Definition 7 9 man wird sehen Sie warum das so ist also Satz 7 3 war waren die entsprechenden Aussagen für die bedingten Erwartungen von X gegeben Signal des brennt Daten illegaler ganzen Beziehungen Definition 7 9 war Definition von heute zu begehen wurde gesagt haben ja diese wird in der Wartung von X gegeben Y gleich kleine y das ist diejenige oder dass es der Funktionswert derjenigen Funktion die wir mit Y verketten müssen dass die bedingt Erwartung von X gegeben y rauskommt und das war wiederum nach Definition die wird in der Wartung von X gegeben R Y minus 1 von comma und können wir zum Beispiel beweisen also ich gebe Ihnen zu Verfügung seit 7 3 1 Definition Liederabend wie folgt an die mal wir wissen dass diese Aussage für alle in Mengen gilt aus der Sicht Algebra die die von Ibsen erzeugt wird er kann man so nicht sagen weil die die Aussage wäre also was ist die Aussage hier taufen und Bild Psion was überaus das wollen Sie wahrscheinlich weglassen und so vielleicht fast sicher draus machen und dann hat er die Aussage geht natürlich wenn Sie da eben die Signalgeber die gesamte Signalgeber einsetzen einstellen die Philips erzeugt hatte die Aussage Wer oder ihrer Vorschlages wenn es für die gesamte Signalgeber gilt gilt auch für jede Teilmenge Nein für die gesamte Signalgeber kommt eine Zufallsvariablen aus die hatten in Teilen des nix mehr zu tun die Zufallsvariablen bestehen Sekunden Zufallswahl Kunde Funktion aus wir können Sie es sich um welche teilnehmen einsetzen okay nen Vorschlag okay Ihr Vorschlag wäre sie nehmen als grün wenn Sie behaupten jetzt dieser oder wir wissen wir bedingt Erwartung von X gegeben y ist gleich C fast sicher und wenn wir jetzt das als mehr Funktionen verkettet mit darstellen wollen wir die konstante Funktion begehrten y kommt sie aus ist richtig das wär ne Idee und diese diese Version der oder diese bedingt Erwartung und von von X unter der wird diese Option gleicht kleine Psion ist Buebs umfasst über eindeutig daraus wird die Behauptung wer eine mögliche Sache aber ich glaube damit bekommen Sie zum Beispiel B nicht mehr hin die ich heute einig nur also machen dass wir gleich alles mit erschlagen kann also mein Vorschlag wär gewesen wären wir wissen wenn ich hier dieses Gleichheitszeichen der Klasse dann geht es den fast sicher das ist jetzt diese Funktion hier verkürzt mit y ist gleich C fast sicher und daraus folgern sie unmittelbar dass die eigentliche Funktion gleich C sein muss für BY fast alle Argumente also nicht ganz einfach zu sehen aber dass wir damit könnten sie alle mit einem Schlag der Schlag das heißt der mir eine Aussage über so verknüpfte Funktion mit Y da gelten die Aussagen jeweils fast sicher dann müssen wir die dann muss die Aussage für die Funktionen für BY fast alle Werte von y gelten oder wäre die in Frage kommt für aber hier beweist war für vollständig richtig ich glaube wir werden nicht mehr funktioniert auch ich habe auch nur eine Frage bitte genau gut also ich lasse es mal so Platz OK oder wir wollten ja 6 Minuten früher aufhören oder ich nehme und ich habe ja noch so viel vor das glauben Sie gar nicht mehr ohne Zusatz 7 12 Gentest Ungleichung für bedingt Erwartungen sagt denn die Ungleichung von Jensen was ok was besagt die Ungleichung von Janssen Vorschlag auf endlichen Maß und auf meine konvexe Funktion das integral reinziehen macht es nur groß dann kennen Sie Version der Hinsicht Ungleichung aus sondern ist 1 vielleicht weil ist 2 ohne integralen also richtig konvexe Funktion brauchen Sie essen Ungleichung wer Kontexte Funktion ausgewertet an einer also ich merkte man Bild das ist mal Kontexte sie haben ja 2 Punkte wir sehen in die jeweiligen
Funktionswerte von der Funktion sie machen der Kontext Kombination der Funktionswert dann liegen sie auf der Geraden die gerade liegt verläuft immer oberhalb der Funktion und wenn Sie die entsprechenden Kontext Kombination der Argumente machen und die Funktion der auswerten dann landen sie auf der Funktionen auf dem Grafen der Funktion und diese Graph der Funktion liegt unterhalb der Geraden deswegen wäre in dem Fall Funktions- werden sondern Kontext Kombination kleiner gleich der entsprechenden Kontext Kombination der Funktionswerte das nenne des ungleichen mehr also ich war aus werden Sie das dar auf Pritzkow okay wenn sie Definition von Konvexität mehr 5. jetzt werden Sie aber kleinlich Ende ab nein aller verweigere ich jetzt besser die die aus schneiden Sie daraus mit mehr Hmm habe ihnen erzählt dass die mal die ganze Halle Phone sowie der Strom beim absprechen versehentlich mehr es spielen sollte die dem 5 bewusst okay als ich dir zumal Erklärung denn sich ungleich und zwar so wie sie mir nur mehr aber es geht es natürlich die Insel so ungleichen die elementare Form der dass sie eben nicht nur viele Filme der Index Kombination von 2 machen so für seine endliche Connex Kombination aber gut das auch ist real einfacheres Lookout also ich mache jetzt in allgemeinere Version also wie immer wahrscheinlich der Traum wieder abgeben wir haben will und das Signal geht davon an so ja näher fälle Zufallsvariablen Partner haben wenn die Firma sollen und jetzt schreibe ich in die Definition von sind ich gebe es zu mehr er von Alfa X das 1 wie das iPhone X Y kleine gleich mehr also von von ziemlich ähnlich vor zu der ungleichen da oben also immer FMX wird ein für alle für 10 und ab für 0 1 x y sehr und XFX sein integrierbar und die Aussage ist dann gilt f vom bedingten Erwartungswert von X gegeben C ist kleiner gleich bedingte Erwartungswert von F von X gegeben sehen fast sicher bei und sie wollten das irgendwie direkt für integralen schreiben vorher vorschlagen und die Version mit haben sie natürlich indem sie als und das Ego hat sie die leere Menge Norwegerinnen wir haben um dich doch noch die allgemeinere Version kenne ich nicht abgeben mehr Aussage klar also konvexe Funktion das war dieses schöne Bild habe ich schon erwarteten ja wir haben eben ich habe generelle Zufallsvariablen damit ich hier auch nach er mir reellwertige messbare Funktion drauf anwenden kann ich brauche die Voraussetzung XFX integrierbar damit ich die beiden bedingten Erwartung zu werden hinschreiben kann und dann ist das die Aussage ich weiß es jetzt nun Spezialfall muss ich gestehen und zwar Spezialfall das F 2 mal stetig differenzierbar ist und dann kennen Sie ja andere Charakterisierung der Konvexität nämlich 2. Ableitung große gleich 0 werden der also noch bisschen technischen beweist wenn man sich eigentlich merken kann oh ich glaube ich habe mir gesagt in den aus er ein dann gilt ich gucke mir F von X 1 er 1 zu 1 sie wissen wir haben Mittelwert Satz da kommt raus Ableitungen dazwischenstellen X X S Y haben Ende und sie XY werden kommen zwischen X und Y da ich nicht gerade nicht vorausgesetzt was kleiner ist wir möcht ich nicht der nächstes y schreiben und jetzt nehmen wir mal an das X größer als y wenn X größer als Epson wäre ist das viel größer als 0 die Ableitung ist weil F 2 Strich größer gleich 0 ist monoton wachsend oder Mode so nicht fallend X ist größer als Y also ist die Ableitung hier größer gleich der Ableitung von y und kleiner gleich großen schreiben ja ich habe immer gesagt man kann sich das nicht mehr aus glaube ich symmetrisch für aber ich wollte hinaus auf ein ich wollte fragen größer gleichen aus also ich behaupte mal das Ganze wäre f Strich von IPs größer bei der Strich von der Firma X minus y und das ist uns jetzt klarmachen und wie schon gesagt habe das ist klar im Falle das größer gleich y ist hat das comma monoton wachsend und in dem Fall ist eben diese zwischen stelle sie XY große gleich y also f Strich an der zwischen Stelle ist größer gleich strich y dann brauchen wir den andernfalls Walz X kleiner als Epson ist das wenn beim Geld na ja dieses Exil-Sozialisten kleiner als 0 ist und wenn ich mir dieses 11. 11 strich Frank Sieg selbst ein Problem und das vergleichen mit den er strich von y 1 x kleiner als y comma ist monoton wachsend Striches monoton wachsend dann habe ich die Beziehung richtig oder falsch ja richtig und wenn ich das jetzt miteinander multiplizieren dann sehen Sie dann das ist bei den Faktor X minus y besser kleiner als 0 dreht sich das Vorzeichen der unteren Ungleichung das in ist ich war und das wollt ich zeigen und was ich jetzt habe 1. Schritt vom Beweise er also Geld für konvexe Funktion f die Gleichungen für die Ungleichung F von X ist größer gleich er von y plus 11 Strich von y X X minus y für alle XY aus er ein und das war das 1. oder Systems China Beziehung dich brauchen müsste ich das weitere erleiden werden haben Sie Fragen so weit zum Beweis also 1. Teil war ich habe gezeigt eine konvexe Funktion erfüllt über diese Bedingung der von X ist größer gleich er von y plus 11 Strich von y x x hier Frauen so weit hat wir jetzt möglich dass einer weiteren Charakterisierung ich nenne es mal 1 von F von X nämlich sie sehen werden sehen also das was da steht ist eine untere Schranke viele von nix wenn sie Y gleich X einsetzen und kommt da weil hier steht dann x 1 x also 0 dann kommt genau f von X aus das heißt Sie sehen diese konvexe Funktion kann ich einig auch berechnen als zu bringen und von allen y aus er war über er von y plus 11 Strich von y x x 1 y und wenn ich jetzt ausnutzen das F und er strich stetig sind die ausgesetzt habe nachdem sogar F von X ist das super über y aus Q er von y was er strich von y X X minus 17 weil ich keine mit dem Y aus Q beliebig genau ran an jedes PLX wir werden mehr okay und jetzt fahren wir mit dem eigentlichen stochastischen Weise an aus 1 folgt ich setze jetzt speziell für x die Zufallsvariable groß X 1 auf die wollt ich irgendwie hinaus außer Gebrauch was über denn der Wartung von Groß X mehr mehr jetzt will ich auf beiden Seiten die bedingt Erwartung gegeben C dann bleibt die Ungleichung fast sicher bestehen nach machen und wenn ich hier bedient Erwartung will will ist die den Jahr das heißt ich bekomme die bedingt der Wartung von X gegeben hin fast sicher ein dann will ich das Gesetz für jedes einzelne y ist das der Bremer über alle y aus das kann man so werden und jetzt wenn ich meine Beziehung 2 an also wir gucken uns 2 an die rechte Seite des Supreme über alle Ypsilons Q er von Y für sehr strich von Y X X minus y das X hat an der Stelle hat jetzt die Funktion dass das den Erwartungswert von X gegeben C wird in der Wartung von X gegeben sehen und das auch mir auf dann ist das nach 2 gleich er von bedingte Erwartung von X gegeben C und wenn die Welt gerecht es müsse dass man überhaupt und sollen also er von bedingt Erwartung von nächste geben sie ist kleiner gleich der bedingten Erwartung von F von X gegeben C und ich bin fertig ein und jetzt kommt noch zum Abschluss meine Frage ansehen warum habe ich den wir aber habe ich hier diesen Umstand gemacht das y was gut ist Form der Beweis nicht genauso wenig Ypsilons er schreiben was an welcher Stelle habe ich das benutzt oder es Ihnen zu sagen oder was geht Götschi Stiefelchen weiß genau so mache ich schreibe dir aus er hin dann brauche ich die Voraussetzung F Strich steht ich gar nicht ich schreibe hier zu Hause er hin ich schreibe hier zu Hause erreichen fertig Vorschlag ja sie uns von schon gesagt bei dem fast sicher Schiff geht an der Stelle mit dem fast sicher das Geld nur das gilt jetzt zwar hier fast sicher für jedes einzelne Ypsilons er aber an der Stelle habe ich ja den Krantor vertauscht mit dem fast sicher das heißt die Ausnahme Menge ist jetzt auf einmal die Vereinigung von Ei diesen Ausnahmen die Ausnahme hier hat Maas 0 ich mache hier die Vereinigung von PDS jedes einzelne Ypsilons Q habe ich mir aus Menge von vermaßen 0 dessen abzählbar unendlich viele man vormals 0 haben nur noch Bad Massen deswegen brauche diesen Umstand mit Erbsen Auskunft gut damit ich Leute fertig
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