Logo TIB AV-Portal Logo TIB AV-Portal

Stetigkeitssatz von Lévy- Cramér

Video in TIB AV-Portal: Stetigkeitssatz von Lévy- Cramér

Formal Metadata

Title
Stetigkeitssatz von Lévy- Cramér
Title of Series
Part Number
27
Number of Parts
28
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license.
Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
Implikation Probability distribution Propositional formula Function (mathematics) Mass Schwache Konvergenz Set (mathematics) Charakteristische Funktion Continuous function Expected value Mathematics Complex number Kompakte Menge Chain rule Social class Random variable
Point (geometry) Complex number Sine Complex analysis Direction (geometry) Lag Schwache Konvergenz Mass Function (mathematics) Charakteristische Funktion Continuous function Sine
Zahl Uniqueness quantification Gradient Ende <Graphentheorie> Content (media) Mass Charakteristische Funktion Sequence Expected value Estimator Average Factorization Limit of a function
Sine Scheibe INTEGRAL Complementarity Content (media) Thomas Kuhn Propositional formula Mass Open set Set (mathematics) Dreiecksungleichung Rounding Connected space Physical quantity Index Kompakte Menge Antiderivative Absolute value Factorization
Direction (geometry) Complementarity Moment (mathematics) Integrationstheorie Set (mathematics) Open set Mass Straffheit <Mathematik> Schwache Konvergenz Continuous function Continuous function Expected value Plane (geometry) Agreeableness Abbildung <Physik> Continuous function Summation Abschätzung Absolute value Social class Random variable
Gradient Set (mathematics) Random variable
Null Probability distribution Haar measure Continuous function Zusammenhang <Mathematik> Ecke LAN party Continuous function Set (mathematics) Repetition Mass Number
ja begrüßt Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung ich habe so ein kleines Problem mit dem Tageslichtprojektor die kann ja doch die geniale Idee diese Stolperfalle Kette einig zu beseitigen immer so auf dem Boden festklebt am liebsten lässt sich der Wagen damit nicht mehr so einfach bewegen ich habe seine schöne Wiederholungs- wurde ich halt auch eine allgemein sie plane Ersatz von Brockdorff ORF aber letzte Mal gemacht für eine Familie Q von Wahrscheinlichkeit Maßen auf B sind äquivalent 1 dieses Co ist relativ folgen kompakt das heißt jede Folge Kohlen in der Menge hat eine Teil Folge Kohlen K und existiert ein Wahrscheinlichkeit Q sodass Kohlen K Gegengruß schwach konvergiert und das zweite in die wallende bedienen Kohls gleichmäßig Strafe das heißt also ich es einfach mal vor für alle Epson und größer 0 existiert der kompakte Menge so das für alle Wahrscheinlichkeit Nase aus dieser Menge Skript Q gilt das Wahrscheinlichkeit Smartphone Kompliment von dieser kompakten Menge ist kleiner als Epsilon das vermeidet dass Masse quasi nach unendlich verschwindet ach so ja das in der vorletzten Vorlesung ich habe gesagt beim letzten Mal machen wir die Vorbesprechung zum Seminar im Diplomstudiengang ich habe hier meine Themenübersicht vorbereitet ich nix von auf dem Tisch können sich nach Ar nehmen diejenigen die interessiert sind also die Vorbesprechung der im Anschluss an die letzte Vorlesung die Vorbesprechung zum Herzschlag Seminar machen wir dann in 2 Wochen erst Donnerstag in 2 Wochen da ich noch fragen wie es Ihnen lieber morgens oder nachmittags nachmittags wir sie lieber sagen um sowas um 14 Uhr 13 30 ob ich meine am Termin den Raum okay werden dann sind wir heute beim Satz 9 14 das ist der Stetigkeit Satz von Lady Kramer nein und das wird der Satz mit dem wir später den zentralen Grenzwert Satz beweisen können es gibt 2 Teile erst mal die eigentliche entscheidende Aussagen teil und dann er Verallgemeinerung davon im Detail wir zeigen werden teil das Ganze macht Aussage über schwache Konvergenz oder Konvergenz nach Verteilung von Zufallsvariablen diese Konvergenz nach Verteilung liegt vor genau dann wenn die zugehörigen charakteristischen Funktion period Weise gegen den der konvergieren ich formuliere sie mit schwacher Konvergenz das heißt wir ham Wahrscheinlichkeit smarte und W Maße coolen Q auf P ich definiere zu diesen Wahrscheinlichkeit smarten zugehöriger charakteristische Funktionen wir hatten damals ein nicht primär eingeführt die charakteristische Funktion zu einer reellen Zufallsvariablen X das war der Erwartungswert von ihr hoch I U X als Funktion von Klein es können umschreiben als integral von IOI klein X integriert bezüglich der Text und den wie es hängt nur von der Verteilung ab und ich kann es genauso zum Wahrscheinlichkeit Maß definieren also jemals auf guten Q auf P mit zugehörigen gerade das Funktionen wir und also zum Beispiel dieses 4 1 an der Stelle ich nehme er I Aids und umgekehrt bezüglich Q 1 man und betrachte es als Funktion auch ja und die Aussage ist dann gilt coolen konvergiert gegen schwach genau dann wenn wir gegen wie punktweise konvergiert mehr als c't also Kohlen konvergiert Ginkgo schwach genau dann wenn die von gleich den Limes in endlich von vielen von ist für aus er wenn es dir als wenn es der komplexen Zahlen Folge ihren von und das ist natürlich Klasse Aussage weil damit können wir jetzt schwache Konvergenz oder auch dann Verteilungs Konvergenz zeigen in dem wir uns die charakteristischen Funktionen ankucken ausrechnen und darin in gegen endlich gehen lassen und gucken was kommt raus und die Aussage ist hier wenn der Grenzwert dann auch eine charakteristische Funktion zu einem Wahrscheinlichkeit Maß ist dann konnte Gerd Kuhlen gegen schwacher das Ganze gemäß allgemeiner formulieren dass geht halt W gilt ich koche die beiden Implikationen getrennt an die von links nach rechts formuliere ich genauso also Kohlen Ginkgo schwach mehr Kinder und zweitens weil schwächlich ab ich fordere nach wie vor das der Limes ihren von period Weise existiert ich fordere aber nicht mehr dass er charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeit Maß ist und ich fordere nur dass es gegen eine Funktion geht die im Nullpunkt stetig ist und dann ist die Aussage dann ist diese Funktion schon charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeit Maßes Q und diese coolen konvergieren Ginkgo schwach er also die Aussage von D 2 der dieses wie von o falls das existiert und in 0 Branche tätig ist so ist dieses die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeit Maß ist gut und es gilt coolen gegen schwach werden was bringt ihn die Aussage so na ja noch sie war in der Folge auch schwache Konvergenz untersuchen und wenn sie mal an Sie wissen noch nicht was rauskommt was der Grenzwert ist oder ob überhaupt oder was die Verteilung sein könnte dann rechnen Sie einfach mal den Grenzwert aus sie müssen noch zeigen dieser Grenzwert ist dem Nullpunkt stetig und dann wissen Sie schon ja das konvergiert schwach gegen einen Wahrscheinlichkeit Maßen dieses Wahrscheinlichkeit Maß ist durch diese Funktion als charakteristische Funktion eindeutig bestimmt werden ok waren so weit fragen keine Fragen dann aber zum Beweis wenn Sie an Kurden
es ist klar wir müssen nur B zeigen folgt aus P warum wer die Einrichtung ist er direkt B 1 und die andere Richtung geht weil ja warum weil diese dieser Grenzwert soll ja existierendes soll gleich die von die von seien also Funktionen wie oder soll diese Karte dass die Funktion sein und diese Karte Reste Funktion ist natürlich im Nullpunkt stetig als gerade das die Funktion es der stetigen allen Punkten haben wir gezeigt dann konnte dann konnte er dann ist dieses wie Natürlichkeit dass diese Funktion wiederum von diesen Wahrscheinlichkeit Maß Kuh was schon vorgegeben ist die Karte dass die Funktion bestimmt Wahrscheinlichkeit Maß eindeutig also konnte und und holen und geht Ginkgo schwach also Beweise Affolters P nun da die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeit Maß ist 0 period stetig ist und mehr es war eine Bemerkung die wir bei charakteristischen Funktion hatten die charakteristische Funktion ist allgemein eine gleichmäßig stetige Funktion gut Wagen wir die B 1 Nachweis von D 1 ich habe als Voraussetzung coolen konvergiert Ginkgo schwach ich koche den Grenzwert von vielen von an also schwer schreiben mal vielen von uns nach Voraussetzung ist es ja das integral Weber R er auch die U X integriert bezüglich dem Wahrscheinlichkeit maskuline integrierende komplexe Funktionen wie integrieren komplexe Funktionen den den wir Realteil Imaginärteil separat integrieren und daraus die entsprechende komplexe Zahl wegen des heißt es das integral über er über Kosinus O X X gut ein Felix sehr der Realteil plus ihn mal integral übersehen ist das wenn sich jetzt die Hände geraden angucken dann also sehr fest denn die sind Funktionen von die Funktion X soll abgebildet auf großen UX in Excel abgebildet auf Sinus UX sind sicher beschränkt mich durch 1 sind auch sicher stetig das heißt wir haben ja stetig und beschränkte Funktionen also in die Karten sind schädigen beschränkt und dann wissen sie bei schwacher Konvergenz die war so definiert für alle stetigen und beschränken Funktionen soll das integral über diese Funktion integriert bezüglich dem Q 1 gegen das integral über die Funktion in bezüglich dem Kuchen mit ihren er da wohingegen gegen Q schwach ist und wieder das Ganze gegen integral über er Cosinus OLEDs Codecs müssen ihm mal integral über er Sinus X Kodex ja das ist aber laut Definition das integral über die I X Kollegs ist die von die von und sie fertig mit B 1 okay bei der Teil war ich zu jagen es der ja Reichstag aber allerdings auch nützliche weil sie können zumindest malen er einen Kandidaten für die schwache Konvergenz relativ schnell bestimmen den Sie einfach ankucken dem Teil was kommt raus als Grenzertrag der charakteristischen Funktion aber er ja die 2. ist natürlich wie stark aber der sagt mir das gemacht haben und da kommt die Karte Funktion oder eine Funktion aus dem Wirkung stetiges da sind da schon fertig mit den Zweigen der schwachen Konvergenz wir werden da comma zum Nachweis von D 2 der Trick ist hier ist ist oder das da Konditionalsatz von Prokoph Spiel wir zeigen jetzt das diese folge der Wahrscheinlichkeit Maße Q enden gleichmäßig Strafe ist dann ist die relativ kompakten werden gleich sehen das impliziert die Behauptung was wir zeigen wir haben Beziehung Sternen Kohlen Familie der UN in aus allen ist gleichmäßig Straf- und daraus folge die Behauptung den nehmen wir mal an wir hätten Q schon jetzt werden stand schon gezeigt wie gleichmäßige Straffreiheit dann wissen wir nach Satz 9 13 also Brockerhoff ja Backcover 9 12 aber schon Scherbakov drüber ob auf dieses Coolness relativ kompakt dann wissen wir gerne Teil folgen und dann Wahrscheinlichkeit Maße dass die sich Teil Folge schwach gegen das Wahrscheinlichkeit Maß konvergiert existiert als Folge Q N klar und wer jemals hoch mit Kohlen K konnte geht gegen schwach dann mehr jetzt endlich B 1 drauf an weil Kuhlen K gegen schwach konvergiert konvergieren die charakteristischen Funktion von Cuenca gegen die charakteristische Funktion von gut period Weise B 1 wir haben für die charakteristische Funktion wie Sterne die Stimme von Ko googelt wie stand von ist der Limes eingeben
endlich von vielen von o mehr ja wir haben eine Voraussetzung Voraussetzung ist dass die der wie von ja period Weise gegen die konservieren wir sehen jetzt hier auch jedoch aus er schreiben wir sehen jetzt hier die wie ein von konvergieren auch period Weise gegen die starren siehst konvergieren AVZ Sorge irgendwie also ist vielleicht die Stern und insbesondere ist die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeit was ist durch die Sterne
ist charakteristische Funktion Funktion des Lemmas Kuchen warum und ja den 1. Teil der Behauptung schon gezeigt und was jetzt noch pleite zeigen oder was ich jetzt sage als nächstes ist der zeigen diese Kuh konvergieren sogar gegen Co schwach nicht nur diese Teile Volkes und alles fragen so weit keine Fragen eine Stichwahl wir werden also wir zeigen nun Kohlen konvergiert gegen schwach und das geht wie folgt der schnappen uns ein beliebiges stetiges unbeschränktes ich muss zeigen der Erwartungswert oder wie muss zeigen es integral über von X die Kohle oder gehen die Kohlen konvergiert gegen integral begeht die Kuh ist eine Konvergenz von reellen Zahlenfolgen ich es Debanttal Teil folgen Argument das heißt ich zeige zu jeder Teil Folge in Kavernen existiert eine Zeit Folge NKL wieder Eigenschaft integral über G des Q NKL konvergiert gegen integral über die die Crew ja nein wir sind an der Stelle wo wir zeigen wir wollen das wenn sie gleichmäßig Strafe sind dass das die Behauptung impliziert und zwar ich habe zwar schon gezeigt wenn die Kohlen gleichmäßig Strafe sind dann ist das vielleicht wie Sternkarte dass wir Funktion eines Wahrscheinlichkeit Maß ist aber ich habe noch nicht gezeigt dass wir diese Kugeln in der Tat gegen dieses Wahrscheinlichkeit meist schwach und mit ihr okay und für die Leute über die Aufnahme sehen die Frage war Köpfen ein bisschen spät aber der er wir wären an der Stelle wo wir ja was man aber ihre Frage ob er ihr wir werden da stehen wir einig zeigen wollen dass Kohl gleichmäßig auf ist aber sind wir nicht weit geht also ich machen beliebige stetiges scheint es gebe ich will zeigen integral über coolen konvergiert gegen integral über die Deko ich mache das indem ich jede beliebige Zahl Folge von N Schlappe oh ich zeige es existiert eine Zahl Teil Folge NKL wieder Eigenschaft integral über die Deko NKL konvergiert gings integral begeht die und das geht so ich wenn jetzt auf diese coolen K L denn Satz von Brockerhoff an also diese coolen sind gleichmäßig Strafe also auch relativ kompakt also hat dieses Q NK diese Zahl diese Folge Cuenca auch wieder eine Zeit als wollte die wäre schwach gegen Wahrscheinlichkeit Maß konvergiert was nach aus existiert derzeit als Folge Teil Teil folgen gut K L von Kohlenkahn Unwahrscheinlichkeit ich bin zwar Cochlea mit coolen K L konvergiert gegen Q schwacher ein ja und jetzt argumentiere ich wie oben ich wenn den Teil B 1 an also gilt für die charakteristische Funktion die quer von Cuc dass dieses Flickwerk leichter die Messe in dem endlich der vielen von ist das aber fliege gleich wie und ist und damit des Q quer gleich gut auf und der Eindeutigkeit der charakteristische Funktion also wie oben wissen wir jetzt zunächst die Karte ist die Funktion von Kok wir stimmt mit dem wie über überein und da die Karte dass die Funktion eindeutig die zugrunde liegende Verteilung fest legt gilt gut wer q hatten reicht das oder wollten sie's ausführliche das waren oder Frager sie Antrag hat ja offen oder Frage können Sie schlecht mit ja antworten na ja also beides reichten mitgehen ok Sie meine einzuweihen mal richtig ist geht das ist aber nicht wirklich weiter nach ab jetzt sehen wir aber also habe hier also habe sogar Q NKL und der geht gegen Q schwach dann sehen Sie integral über die Deko NKL Gaethgens integral über die Deko und daraus folgend zwischen Behauptung also sehen irgendwie nicht so ganz klar wieder weiß geht aber eigentlich relativ einfache in weiß Gedanke ist nicht erkennbar so klar aber ok also es haben sie mir das ganze Semester lang immer erklärt mir dass ich keine weiteren Fragen mehr stellen so und jetzt meint sie diesmal doch eine okay wird tut
mir leid also ich verständlich also für die Aufnahme wieder er meint damit ja einig ausführlich er geht er wir haben Cuenca Heilkunde geht gegen Gegencoup für schwach dann mit wir den Teil B 1 an also diese Karte das wir Funktion von Q NKL also 4 1 KL konvergiert jetzt period Weise gegen die Karte dessen Funktion von dem Cochlea die wenn ich fliege wer wir wissen aber nach Voraussetzung des Satzes die hier stand ja nach Voraussetzung des Satzes dass diese charakteristischen Funktion period Weise gegen eine Funktion die Contact konvergieren also ist dieses Lied ja gleich den Vieh wir haben Freund schon gesehen dieses Ziegler ist anders als der gleich dem Vieh stammen die Karte dass die Funktion von Wahrscheinlichkeit Maß also muss die Verteilung von Hugh Wert wieder von Kuba einschl noch Fragen ein in die Horst 2. nur Nein sagen in der werde also das jetzt mit B 2 fertig wurde der Tatsache dass wir noch stand zeigen wollen dann sind fertig Nachweis von Sternen und es geht es oder ich mir meine Sachen hinschreibe wo sie nicht verstehen warum sie in Schrade und am Schluss die Behauptung gar also ein letzten Endes muss leben und welche Wahrscheinlichkeiten das dieses maskuline eine Wahrscheinlichkeit größer riesengroß K an und gewährt große kann dass da ein Wert größer als K auftritt die Schätze sich aber mit Hilfe von meinen charakteristischen Funktion dass der ganze Dreck dabei okay gut die machen das es gilt wir gucken uns mal an wie der Grenzwert von unserer charakteristischen Funktion bei von nur charakteristischen Funktionen ich gucke mir erst mal die von 0 an und dann die von 0 bis natürlich genauso der beklagte Grenzwert der wie ein von 0 wenn sich erinnern charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeit Maßes an der Stelle sie neben den Erwartungen des des hoch I U X integrieren bezüglich dem Wahrscheinlichkeit Maß setzen sie für gleich 0 1 kommen Sie auf die hoch 0 also 1 integriert bezüglichen Wahrscheinlichkeit Maß begibt 1 das heißt wir haben hier den Limes entgegen endlich von 1 gleich 1 also die von 0 es gleich 1 weiterhin ist wie in der 0 im Nullpunkt stetig das heißt 1 minus die von X ist für x gleich 0 0 und Text nahe bei 0 nahe bei denen also da fliehen 4 in 0 stetig gilt überdachten 1 minus wie Felix also 1 minus sie von X konvergiert ich habe davon müssen Platz gelassen als Mindestziel von X korrigiert Felix gegen 0 gegen 0 ist stetig auch darum ich will das integral von minus Forbes Frau und Teile durch 1 durch V also halbe Integration Zwänge also mache und Durchschnittswert und integriere bezüglich fix der Beck integral und ich traue das glaube ich nicht X nennen aber vielleicht wer soll das oder nicht ja dann sehen Sie da vor gegen 0 geht dieses integral auch gegen 0 weil also wenn Frau klein genug ist 1 1 minus wie von mal bei der 0 und der Mittelwert in dem Intervall wir bis um Faktor 2 Essen auch arbeiten das heißt es geht gegen 0 für vor gegen 0 also ich kann Epson Größe 0 beliebig vorgeben und wenn ich dann Frau klein genug wähle dann ist dieses integral kleiner als er zusammen und ich mache das V so klein dass es kleiner als Epson Halle ist er selbst den großen über die beliebig dann existiert größer 0 mit integral 1 durch Frau Venus vor bis vor und wenn wie von o kleiner als der Zurheide und der jetzt will ich hier auf wie ein durch die ersetzen wir konnten uns jetzt mal an was passiert weiter gilt verbinden wenn ich den Limes eingeben endlich mehr von einst durch Frau wenn das Forbes V 1 minus 4 von der was würden Sie denn sagen was da rauskommt als lasse Frau fest und oder setze die durch die 4 1 das er hingegen endlich was wissen Sie über die 4 1 Differenz konvergieren period Weise gegen die Fliege nein das heißt die Frage wer können Sie hier Grenzwerten integral vertauschen und wenn ja warum dominierte Konvergenz also diese charakteristischen Funktion sind beschränkt betragsmäßig durch 1 das heißt intrigantes beschränkt und der Integrationsbereich also 1 durchaus eine konstante Integrationsbereich bei Beineberg integrales auch beschränkt das heißt ich komme mit dominierte Konvergenz Arbeiter oder Meiose die Konvergenz also kommt hier das integral 1 durch V die Grad minus V V 1 ist die von die aus das auch kleiner als Apps sollte und dass das war kleiner selbst Inhalte
eben weil die bei der Ende kann beschränktes und Integrationsbereich kompakt mehr ja ist mir für geben endlich ist kleiner selbst Inhalte also wenn n hinreichend groß ist dann wird dieser Ausdruck hier für alle größeren oder für alle zu großen ändern kleiner als Epson sein noch also existiert ein 0 aus so dass wir alle in größer gleich 1 0 1 durch war begreifen minus war bis V 1 hier einen von der o kleiner als ist mehr ja und irgendwie kann ich mir nicht helfen also ein ich hätt ich da der Betrag Striche es ist etwas peinlich und ich habe eine der selbst also es ist klar ich kann hier genau Betrag genauso gut Draht schreiben 13 1 bis vor und das ich eine bisschen lieber war das wär mir gleich weiterverwenden und dann schreiben hier Betrag genau so und dann schreibe ich hier genauso den Betrag ihr Betrag und ich habe dann dieses integral Betrag und was jetzt im folgenden mache ich zeige jetzt dass die Wahrscheinlichkeit dass diese Q 1 mit Index n größer gleich 1 0 1 Wert größer als ein paar größere geeignet annehmen dass die kleiner gleich was diesen Integrale ist und dann ist diese Wahrscheinlichkeit kleiner als Ärzte sollen und ich habe schon fast so was wie gleichmäßige Straffreiheit nur eben ab der ein Index 1 0 bin ich für die 1. war fragen Sie wollten wenn ich noch mal 5 Minuten Pause zum dafür wischen und ich mache dann um 10 Uhr 34 10 Uhr 34 weiter ok würde ich ganz gern weitermachen dann mehr also jetzt für dich jetzt wird das integral das wir haben auf der Wahrscheinlichkeit zurück damit welchen einfach mal drauf los also wissen Epson ist größer sie sehen wir gerade und ich die 1. wieder Dreiecksungleichung die Betrag Striche nach außen und dann fielen von setzt aber es war das integral über wo die der x jetzt es Kuhn Wahrscheinlichkeit aus deswegen ist die 1 das gleiche dies integral über die 1 unsere kommen hier auf ja das heißt ich kann noch so integrieren QNX dennoch die weil das integral über 1 entwickelt bezüglichen Wahrscheinlichkeit Maß die ein gibt ja jetzt machen sie das was über machen weil Doppel integralen sidenten Phobie einen warum dürfen Sie Ihre Phobie anwenden der in Grandes beschränkt also müssen zeigen es integral existiert Integrand ist betragsmäßig beschränkt und ich in die wäre bezüglich der einen Komponente bezüglichen Wahrscheinlichkeit Maß und bezüglich der anderen Komponente bezüglich einem auf der kompakten Menge offene Beck Maß das heißt ich haben er insgesamt das Produkt Maß hätte gibt geht auch den gesamten Raum Maß endlich also ich kann vor wie anwenden wichtiges 1 durch war auch noch gleich rein nein und und und ja und jetzt sehen Sie jetzt komme ich weitere jetzt man das integral ausrechnen vielleicht war das mal drunter Stammfunktion der minus wie auch die X durch IX ausgewertet für gleich minus V bis V wenn Sie überlegen was gibt es mehr von der vorderen bekommen sehen V O minus minus verweisen 2 Frauen werden und von den hinteren kommen sie ihr hoch I V X minus E minus VX wenn Sie ihr X oder I V x umschreiben als großen des VX Sinus VX dann sehen Sie der Realteil ist gerade in Fort fällt also bei der Sarah Beck bleibt nur noch I mal der Imaginärteil übrig die Teil noch durch das ihr kommen Sie auf ja minus auch 2. dann kann man sie das VX Frau X durch x das mehr
also hier Sie schreiben dass um als große Nuss UX bloß immer sie nur so X und setzten dann einen der großen es fällt eben weg weil sie einerseits V und minus vor einsetzen sie das bleibt übrig den Faktor 2 und das I kürzlich noch hier mit dem unteren Idec ok also was haben sie werden ja immer noch ein Betrag stehen über er das 1 durch baut sich auch noch ein das integral fällt weg dann haben wir den Faktor 2 kann ich noch ausklammern 1 minus sie VX VX durch VX und in der wir bezüglich Kohlen der X er sich den Faktor 2 noch ausgeklammert und ich habe mit dem einst durch noch gekürzt ist ja wenn Sie überlegen was können Sie darüber Aussagen schätzt dass man oben ab maximal nein sie ist dadurch Zeit verzerrt aus er sie wollen jetzt gegen 0 gehen lassen war vorschlagen 1 Jahr für Argument gegen 0 geht das ist Liste der durch Z gegen 1 das richtig aber ich will es generell für alle x nach oben abschätzen ja sie können sich überlegen sie wollen viel wert Satz anwenden um Sinus VX okay also ich würde Zeichnung machen wir werden die alle stellen Sie sich vor das werden sie und dann stellen wir uns weiter vor ich habe leider meine Farm aus weil es leider stark beschränkt ich mache die gerade Y gleich X und hier habe ich Y gleich 7 6 dann sehen Sie sie das von X ist betragsmäßig gleich als Betrag von x einfach weil für x gleich 0 haben sie die gleiche Steigung und dann in die Scheiben von Sinus aber entsprechend ab nur Stunden period also es von Zeit das betragsmäßig kleiner gleich Betrag von Zeit dann sehen wir das ganze Ding hier ist insbesondere kleiner gleich 1 dann sehen wir der ganz Integrand ist größer gleich 0 ja dann sehen Sie dass ich liegen die gerade die die Betrag Stich Außendeck lassen kann das heißt ich kann mir auf integral über einer zweimal 1 minus sie VX durch VX wo in X fragen so weit jetzt habe ich nehme die Granden der Größe gleich 0 es scheint den Integrationsbereich noch weiter ein nämlich integrierten noch über der Menge aller Z so das ja ich wir haben das ja ich ersetzt ich diesen Sinus VX durch 1 durch dafür 10 Runden und dann möcht ich haben das 1 durch VX maximal halb wird das heißt meine X muss größer als sollen der zweite schauen und als durch 2 oder wie auch immer also ich will VX obwohl man Rechnung 1 durch VX soll kleiner gleich Inhalt sollen das heißt X soll größer gleich 2 durch Frauen das heißt in denen man aller Z so das Z größer gleich 2 durch ist 2 mal 1 minus ziel des VX durch VX Kohlen DX werden und dann ist es ganze größer gleich ist diese Menge aller derzeit so Z größer gleich 2 durch ist mehr zweimal 1 minus ich schätze die sie des VX durch 1 ab nicht das ist Frau stehen schätzt dass X nach und nach durch 2 durch V sind QNX und dann sehen Sie der in der Grand ergibt gerade 1 das heißt er steht 1 minus ein halb also dann halt mal 2 ergibt 1 in Wigan gibt 1 und es kam gerade Kuren von diese Menge aus was er Z größer gleich 2 durch Frau ja das gut weil das ist jetzt coolen von so Komplement von Sohn auf einen beschränkten Intervall und es Betrag von Z kleiner als 2 durch Frau ist aber eine fest vorgegebene Schranke und alle diese coolen Werte sind kleiner als und das sieht schon ziemlich nach unserer
gleichmäßige Straffheit aus allerdings erst ab diesem N 0 eben aber mehr und jetzt alles was Ebene technische Abschätzungen haben um angefangen und durchgerechnet und umgekehrt da Summe nicht machen können dann logisch das gewiss nicht bei mir alle aber die ganzen und schritt zur Tat sieht ich nicht oder dann fällt vom Himmel gefallen gut Fragen so weit fragen wenn ich schließe weist uns ab wenn die nein werden alle damit gezeigt wie man wir jetzt größer gleich 2 durch Frauen so gilt für n größer gleich 1 0 mehr UN vom kommt wenn man vom Intervall von mir dass er bis an dieses Kompliment von Intervall also dieses Intervall umfasst dann das Intervall von minus 2 durch V bis plus 2 der durchschauen das heißt das Komplement ist der enthaltenen Kompliment vom in der Wahl von werden größer und größer gleich minus 2 durch war bis 2 durch V Kompliment das war kleiner erzürnen sie oben und jetzt will ich es eben nicht nur haben für n größer gleich in 0 so und ich will dass für alle in haben aber das ist einfach bei für jedes einzelne in was ich aber nur hinreichend groß machen also wenn sie festhalten dann und groß werden lassen dann geht diese Menge ja von oben gegen die leere Menge auf unterschiedlich Wahrscheinlichkeit Maßes von oben geht dann der Wahrscheinlichkeit wird von dieser Menge gingen Wahrscheinlichkeitswerte lernen also gegen 0 das heißt für hinreichen groß für einreichen groß einreichen groß und und und gilt auch Kohlen es geht auch gut entfernen konnte man vom Intervall von mir das alles an ist klein und endlich für alle n gleich 1 bis Ende ja ich will das compliment davon dass Komplement müsste offen sein Jahr wenn wir aber und da muss ich ich größer nicht müssen erreicht größer vielleicht hat schlecht schlecht Gewinn vor reicht weil ich muss hier aber größer schreiben und ich muss hier offen schreiben damit überweist korrekt ist weil bei den Grünen hatten wir ja da haben Sie recht ja aber nicht offen schreiben die Menge natürlich noch größer das Kompliment das heißt abgeschlossen als auch gegolten also ich sollen ursprünglichen geschrieben hat weil ich auch schreiben können ich hätte alles gerne weglassen können und hier jetzt kleiner gleich als dem Kompliment von der offenen Mengen richtig genau und wenn ich das Komplement von Z größer gleich 2 der vor dem komme ich auf diese Menge haben sie vollständig recht nur zwischen dieser Menge und der Menge trächtigen Klammern bestehende Impressions Beziehungen das heißt wenn diese Wahrscheinlichkeit wenn diese Wahrscheinlichkeit an dieser Stelle mit größer gleich kleiner als Epson ist es erst recht mit größer kleiner setzen das heißt ich jetzt im Prinzip hier lassen können aber ich habe eben impliziert noch weiteren Schritt gemacht also dann eben nicht nur ein siehe oben gewesen soll sie oben und einem Mohrenjunge junge Volk aus werden aber so ist es auch richtig ja das wird da haben sie vollständig rechne auch vielleicht soll es diesmal nicht ganz so schnell ändern aber aber Sie haben Sie haben natürlich Recht im Hinblick auf die gleichmäßige Straffreiheit interessiert mich das Komplement von so kompakten Intervall dann brauche ich die die großen Werte in Richtung müssen endlich und die großen werde Richtung müssen endlich beide trennen das heißt ich hätte ganz oben Betrag von Zeit schreiben müssen mehr ein sie leben mehr das heißt ich hätte hier eigentlich Betrag von Z schreiben müssen Moment jetzt kommt wieder die gleiche Frage ob das ob ich dieses Betragen einsparen kann weil er wollen was ja so aber jetzt ist nicht mehr so war jetzt wenn ich Betrag von Z größer gleich 2 beschwor schreibe dann nur die Menge natürlich wirklich größer man immer größer wird dann wird er Maß unter Umständen auch größer und ich bin natürlich zeigen dass das Maß der größere Menge kleiner als ist das heißt er ob ich hier Z schreibe ich das mit der schreibe impliziert noch nicht mit Betrag Konzert freuen kann ich mich so ausreden aber die könne mich nicht ausreden also ok also sich mache auch hier Betrag unzertrennliche Betrag Konzert habe brauche ich auch hier Betrag von Z und dann sehen sie aber ich meine negativen Werte spielen hier keine Rolle mehr bei den negativen Werte aber der 1 er noch größer aber sich 1 zu 1 noch viel größer wird kleinste Versicherte nach unten abschätzen durch Inhalt er ja das ganze und
abschätzen ich Häuser gleichen halten und ich brauche dann hier allerdings ein größer gleich gleichen und wir haben hier ein großer gleichen und man dann insgesamt große gleich und jetzt brauche ich über den Betrag strich und wir müssen uns überlegen was das denn er macht ob es also und daher von hier nach es keine Probleme bei ich habe aber nur die Menge eingeschränkt und in deren war insgesamt nicht negativ und jetzt gucke ich mir hier den Betrag an glaubte der Betrag ist kleiner gleichen also ich schätze es nach unten ab durch größer gleich zweimal 1 minus ist mit dem Betrag und dann setzt wird sich in den Betrag das zweite Fahrer und schützt okay also mein Fehler ich hatte auch hier die ganz zu Beginn des Beweises die Betrag Schlüssel vergessen in der zweiten Stelle und sonst noch Korrekturen immer Beweis zu ok aber hier geblieben für hinreichend groß das gilt auch Q von minus Kompliment ist leider selbst nun für jedes einzelne endlich in da dieses Q n für mich ist Kompliment konvergiert eben für gegen endlich gegen Kuren von der leeren Menge mehr und damit haben wir gezeigt existierten größer 0 so dass wir alle in aus N Geld dieses Chor ein und Komplement schon dieses Kompliment ist kleiner als Erzähler und da als größer 0 ganz zu Beginn unseres Beweises gewählt worden war 10. fertig was ich habe mehr zur größten würde lieber gewählt und hat den letzten ist gezeigt existierten aber größer 0 zu dass dieses coolen vom kompakten Intervall von minus 1 A compliment kleiner selbst wenn ist für alle in und damit so fertig Fragen so weit ja so der zweite Teil war im technischen ist gleichmäßig auf der Rest war eigentlich klar aber der war technisch und da dagegen auch dieser technische andere Weise eine Brokof aber die Aussage es natürlich Klasse weil schwache Konvergenz zeigen können in dem wir uns diese charakteristische Munition und gucken und damit wären wir dann am Donnerstag den zentralen Grenzeinsatz zeigen können also gucken uns die Adresse Funktion von dieser Rede normalisierten zumal an und zeigen Sie Kunde gibt period Weise gegen die Karte was Funktion Warsteiner gut es gibt noch 2 Sätze zum Nachtrag ach so ich hatte jetzt keine Prüfungsfragen aufgelegt heute weil ich keine Tageslichtprojektor aber noch weil die Folie Prüfungsfragen gerade meine Sekretärin abgibt die Umfrage der letzten Vorlesung einig gewesen erläutern Sie den Satz von pro auf die Prüfungsfrage zur heutigen Vorlesung zu bisherigen Teil der sie der Stetigkeit Satz von Erika mehr er die die Frage die dann kommen durch die sich auf das was wir jetzt machen nämlich der Stetigkeit Satz der Satzung bestätigen Abbildung Satz 9 8 dennoch noch nachreichen wir haben wir Zufallsvariablen X N X X konvergiert nach Verteilung gegen Aids haben Abbildung H messbar und Text fast über stetiges dann Gefahr von nächsten Kunde nach Verteilung gegen Hafen X er period da sind mehr wir daraus folgt von X konvergiert noch Verteilung gegen nix hier wir haben die Prüfungsfrage wäre diesen Satz zu formulieren das zugehörige formulieren Sie den Satz einer stetigen Abbildungen und beweisen Sie ihn im Falle eines über alle allüberall stetigen Funktion haben wie würden Sie diesen Satz beweisen wenn die Funktion ich würde mir etwas über ein stetiges sondern sogar in der Tat steht ist mehr sie schauen sich an Konvergenz nach Verteilung definiertes und dann steht eigentlich dar das heißt in dem ein beständiges stetiges unbeschränktes geht und müssen zeigen der Erwartungswert von G von Hafen nächsten Kunde gibt den Erwartungswert von G von H von X dieses G von Hafen nix denn es gehe verkettet mit gewinnt auf XM die Verträge mit H ist als Verkettung stetigen Funktionen stetig da gehe beschränktes auch beschränkt also folgt aus der Konvergenz nach Verteilung von X hingegen X das Erwartungswert von die von Haar für nächsten gegenüber das 14 die von Hafen extra bietet das heißt der Satzes trivial wenn über ein stetiges für Tweets fast überall stetig ist ein bisschen mehr wissen allgemeiner und da beweisen jetzt mehr als ich muss gestehen der Welt keine einzige Anwendung auf Anhieb ein und wirklich braucht Mut APX was übersteht ist aber ich glaube es liegt daran dass es mir nicht mehr einfällt ich glaube ich habe schon mal gesehen er sich fällt ein ich habe schon einige sehen aber schwierig okay wir machen wir's ja wir gehen zurück auf die fast sichere Konvergenz den Satz von Kokott erst mal gucken uns an eine Menge des es sei die Menge aller X aus er so das und nix ist und ich behaupte diese Menge ist eine Bereiche Mängel was ich habe machte Integrationstheorie eine liegt also Sie haben's Integrationstheorie wenn sie das noch nie gesehen haben da kommen Sie nicht auf 1. Track müssen sich jetzt Mengen schreiben bitte zumindest wenn dies offen und damit kann das haben stetige nix formulieren und da die offen ist die Zähne Bereichen Signal geworden aber wenn sie den Dreck nicht kennen kommen Sie nicht auf also glauben Sie es mir einfach an der Stelle im das kann man zeigen dann wissen wir da er war ja fast über ein
stetiges GPX von dieser Menge gleich 0 jetzt wäre den Darstellung Satz von 2 Grad und nehmen uns unseren Wahrscheinlichkeit rein und Widerstand stören bestellen und unsere 9 Zufallsvariablen X den Stern X die gleiche Verteilung haben die X N und
die fast sicher konvergieren nach Satz 9 7
mehr mehr nach Satz 9 7 existierten Wahrscheinlichkeit Raum um egal stand wie Stern und Zufallsvariablen X den Stern X in
mit Verteilung stimmen überein also wie Stern X entstanden ist leicht PX das
gleiche Felix und das entscheidende X entstammen konvergiert gegen die stammen fast sicher und ja und was ich jetzt folgende ist das angeben ob X den Sternen gegen H angeben auf Ecke stammen fast sicher konvergiert und wir gucken und das mal auffälligerweise an für alle ohne garen Jan Norweger muss eben so sein das Haar an der Stelle x stand von um stetiges Prommegger aus einiger Stern jetzt ohne die Menge aller und überqueren so das die Stern von um Ärger die Unstetigkeit Hersteller ist und das kann ich so einig nicht sagen weil ich müsste Scocco Kurt nehmen mehr mehr also muss ja nicht noch modifizieren dieses ich bräuchte nicht mehr stand was sicher also bräuchten in der für alle und Ärger da mich die Aussage so machen kann und ich muss jede Menge von Maß 0 ausschreiben verstreichen und ich schreibe ich am besten hin wir machen wirklich dann fast alle mehr ich stand fast alle um egal und Widerstand also muss eine Menge von Formmassen rausnehmen so ich habe mehr vom Maß 0 außerhalb der konvergiert entstand von Amiga gegen Eckstein von ohne gar wenn dann eben dieses Lied stammt von und Megane stetig Stelle von ist dann konvergiert Gefahr von X ständigen aufwendigste ein ok jetzt gucke ich mir dass ich damals von dieser Menge an wenn aber ja wir noch einmal womit erkläre in Stern so das Big stören von ohne und und des IS das musste Romaric stand von Amiga alles muss ein Hersteller auch ohne Wiederkehr natürlich heißen der das können wir umschreiben als in dem es wieder Verteilung von X ausdrücken oder Stern das ist Sternen von den sich meist als besten von unten nach oben also überlegen wie es SPD Stern Stern von die definiert das ist P stammen von der Menge aller ohne gar so dass ich Stern von um gar in die drin liegt bei Definition Verteilung wird das hier dann habe vorausgesetzt die ständig Sternes gleich Keks dann steht hier Prix von den und weg von den wir oben als Nullen oder ist um die Voraussetzungen in unseren Satz dass er die Funktion habe ich fast über stetiges werden wegen dem folgt daraus ja ja daraus folgt H bringen oder von X den Sternen konvergiert gegen H von Nick Stern ich stand fast sicher nein man kann und ja es habe ich mir fast sichere Konvergenz gezeigt und diese fast sicher Konvergenz impliziert natürlich die Konvergenz nach Verteilung war eine und so Zusammenhänge er sich habe auch die Konvergenz nach Verteilung und die Konvergenz von nach Verteilung hängt nur von der Verteilung ab und die Verteilung von den Dienern Stimme wieder Verteilung von von Excel war nix überein was daraus folgt ich könnte das Verteilung umschreiben schreibst Einsparungen er war von externe den Stern konvergiert gegen P H von Sieg Sternen schwach mehr jetzt gucken uns die Verteilung in Jahren was soll mir stehen Aufstands das ist ja so und die Sterne von der Verkettung H wer mit X den Stern da hatten wir Bemerkungen zum zweiten verbindlich glaube darum 2 16 das ist gleich ist wie wenn sie erst die Verteilung von X stammen bilden und dann dazu die Verteilung von H und dann wissen wir aber die Verteilung von X Sternen Stimme mit der von X überein XN überein das war die Voraussetzung und weiter das Gleiche wie stören von X stören ja von Exxon mit den beiden Dienern folgt und sie werden kann folge Verteilung von Affen XN konnte geht gegen schwach gegen die Verteilung von Avonex also konnte Getafe nix denn gegen Hafen liegt nach Verteilung werden was zu zeigen war also den Beweis war relativ mühsam die letzten das Netz Kockott haben die Konvergenz nach Verteilung auf die was sichere Konvergenz zurückgeführt und ja mit der fast sicheren Konvergenz hätten Sie da die entsprechende Aussage sofort was würden Sie denn sagen wenn Text fast über stetiges und aus und sie haben X denn gegen X fast sicher von getan also was über stetig kundigeren Hafen hingegen Avonex fast sicher es ist klar für Versicherer Konvergenz die Aussage also wenn ich die Prüfungsfragen modifizieren wurde dass ich sage wir weisen Sie den Satz von der stetigen Abbildungen für was sichere Konvergenz aus X gegen X was sicher und Haar wächst was über Ästhetik wollt aber nix denn ohne geht gegen Avonex was sicher und wir sagen richtig falsch sie kucken kritisch ja das war genau das was wir gezeigt haben das haben wir hier in diesen 3 Zahlen genau gezeigt also intuitiv nicht Lane wenn wir die wird es auch nicht aber eine aus X hingegen gegen X was sicher und Haare dass die über Städte gefolgt Hafen komme gelegen haben nix was sicher wir haben aber in diesen 3 gezeigte bei eben dieses wie stand von der Menge aller oder P von der Menge aller um egal so dass dieses Xtra von Norwegern Unstetigkeit Stelle ist im Maßnahme hatte und auf die kommen setzt man das an aller Stellplätzen es dahinter und mit so kurz sind wir von der Umverteilungs Konvergenz auf die Konvergenz was sich übergegangen und dann wieder zurückgegangen was bei wir eine Aussage über die Verteilung brauchen zu Verteilungen gut das habe ich Donnerstag 4 Minuten zu früh auf genau komme und habe immer noch eine Minute her für die 2 Minuten ich würde beziehen kann aber nicht sagen aber heute wieder eine Minute früher auf dem kann ich habe ich am Donnerstag
Feedback