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Vorlesung 2: Zentrale Begriffe und Trennung der Variablen

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herzlich willkommen wir haben in der letzten Vorlesung werden ein paar Beispiele gemacht und dann allgemein eingeführt was sie Differenzialgleichung ist für den schnellen Einstieg in die Vorlesung hab ich die entscheidenden Definition im Fluss das dann noch mal schneller 4. Folie gehauen mit gewöhnliche Differenzialgleichung ist eine Gleichung in der neben der Funktion y und der Variablen C auch die Ableitung von y vorkommen dürfen immer die gleichen hat kann man sie nur so schreiben dass alles auf einer Seite steht einem Mann irdene Funktion von TY den Ableitung gleich 0 die höchste auftretende Ableitung ist die Ordnung und wer da noch so weitere Begriffe eingeführt Skala autonom und so weiter ich will jetzt einfach noch mal die Beispiele aus dem 1. Kapitel durchgehen und jeweils einsortieren in welchen was unsere sozusagen Standardbeispiel jeweils Vergleichungen sind zwar nur an also das es in der Nummerierung jedes Beispiel 2 3 das greift noch einmal auf die Beispiele aus dem 1. Kapitel also zum Beispiel n zum Beispiel unser 1. Teil dir das einfach einfache Logistik einfach für Wachstum der Landstrich ist mir mal y in dem Fall habe man die Gleichung der Ordnung 1 das ist ne explizite Gleichung denn sie lässt sich dies von so geschrieben als höchste Ableitung sordnung =ist gleich dabei ist wir expliziter ist einfach dass man die gleichen auflösen kann nach der höchsten Ordnung das ist nicht selbstverständlich wir hier fast immer voraussetzen werden dann ist autonomen Differentialgleichungen autonom bedeutet dass die rechte Seite nicht explizit nur von der zeitvariablen t abhängt sondern nur von YY strich und so weiter das ist hier der Fall ist es gar eine Gleichung Y ist die Zahl des Landes also zum und Zahl ist kein System Landes keine legt er so und in dem Fall wäre eben sind also in dem Fall den wir die 85 Prozent der Vorlesung anschauen werden explizit wird sehr leicht Unterordnung 1 und das kleine f ist in dem Fall einfach die Funktion man y da sieht man normal das autonome Gleichung ist beigelegt solange man das Argument von y weglässt kein T so 2. Beispiel das er in der 1. Vorlesung hatten war das logistische Wachstum y Strichlisten wenn mal y von T mal 1 -minus y von T das ist immer noch mit Gleichung 1. Ordnung dies explizit autonom Skalar also genau vom gleichen Typ wie die obere die Funktion f ist ein bisschen komplizierter aber es ist immer noch autonom die Funktion f ist er von TY müssen y man 1 min ist ab auch hier kein explizites Täterin drin also eine autonome gleich so was haben wir dann und hatten wir den einfach im freien Fall er y 2 Strich =ist gleich -minus B das war das 3. Beispiel in der Einleitung die haben wir jetzt die gleichen Dortmund 2 wenn die höchste auftretende Ableitung ist mit 2. es ist immer noch eine explizit die gleichen ist nach der 2. Ableitung aufgelöst sie ist immer noch autonom und sie immer noch Skala und das kleine f und dann einen den Fall am wenigsten groß FC den Mann der es Notation von der letzten Vorlesung bleiben und dergleichen 2. Ordnung groß F von t und y strich YY Strich also 1 Trost FC von YY Strich ist in dem Fall einfach die konstante Funktion wie geht .punkt in dem Sinne haben auch gesehen sehr einfache Gleichung weil sie sich einfach durch er einfach sagt man jetzt nachdem man dann sich ein Semester lang Integration beschäftigt hat aber durch hoch integrierte Lösung ist so dann wir das ganze verfeinert und den im freien Fall betrachtet man die Gravitation mit dem Abstand er kleiner wird wo man gelandet weil gepflanzt ,komma ist -minus die Gravitationskonstante mal hoch n durch y von C-Quadrat auch hier wieder eine Gleichung 2. Ordnung autonom explizit immer noch Skalar aber eben mit dem etwas komplizierteren 11. FC ST YY Strich von The Internet Landstriches jetzt jeden -minus Gamma in ab also sehen jeweils bei unseren Verallgemeinerungen also Verkomplizierung des Modells von A nach B davon nach die weil man nur so fein folgt im verfeinert dass wir in der gleichen Klasse von Gleichungen geblieben sind jeweils dann hatten wir am Schluss noch die Ledger Volterra Gleichungen als Beispiel führen wir also das Wort da Volterra System das ist jetzt wieder im System 1. Ordnung gewesen brauchen wir 1. Ableitung auf zwar explizit aufgelöst und es ist auch autonom keine Sorge wenn auch noch nicht autonomen Gleichungen sehen auch wenn das Ziel bisher alle autonom sind aber es ist eben nichts Gala Sonnensystem also das was in der Definition die werde die größte die ist 2 in 2 Größen der Räuber und Beute Population die sich gegenseitig beeinflussen und die rechte Seite f von Tieren YY ist jetzt der Vektor bislang einzig die breite Populationsgröße pflanzt weist aber Populationsgröße und das heißt wir kriegen hier eben auch ein System von 2 Gleichungen das groß es lange ist Alphamann y 1 -minus später mal y 2 y 1 -minus Gamer man y 2 Flussdelta mal y 1 zu 2 2. das war dieses System und y ist jeden der Vektor y 1 2 so in dem Sinne passen alle unsere bisher betrachteten Beispiele in die Definition hier rein es sind natürlich gibt es noch viel mehr Möglichkeiten gesagt noch nichts werden bisher nur autonome Gleichung werden aber auch noch reichlich nicht-autonome kennen lernen und das wir haben bisher nur Ordnung 2 n das liegt zum einen daran dass ich immer Ordnung gemacht umso komplizierter wird aber man kann auch sagen zumindest einen die Anwendung schaut Gleichungen höherer Ordnung kommen vor sind aber relativ selten also die meisten Gleichungen die irgendwo auftauchen in der Physik oder den Ingenieurwissenschaften kommen aus der goldene Regel der Mechanik hat man eben es ist Masse mal Beschleunigung und bestaunen 2. ab also mit 2. 2. werden es ganz typisch ist die Gleichung 4. Ordnung zum Beispiel taucht das auch wenn man fest eingespannten Balten anschaut und die Verbiegung Funktion dieses beides wenn man drüberläuft wenn man die Gleichung modelliert landet man standardmäßig bei gleichen verdorbene sogenannten beiden gleich aber es sind also Einzelbeispiel meistens landet man bis zu 2. Ordnung ist so der Normalfall zur damit wir den Begriff der Differentialgleichungen sagt nur bei den 1. Beispielen gesehen soll Differenzialgleichung kommt meist als Gleichung daher und man sie dann löst stellt man fest man hat freie Parameter was total logisch ist weil die gleichen nur die Entwicklung des Systems beschreibt und solange man nicht an ein Mal sagt das ist den es am Anfang in dem und dem Zustand dann weiß man nicht wie sie's entwickeln dass die sogenannte Anfangsbedingungen hat mir bei allen diesen Beispielen gesehen die tauchte auf und hat normalerweise auch ne Bedeutung in die Stadt Population mit dem man losläuft wenn man jetzt ne Differenzialgleichung zusammen mit dem anfangs Wert betrachtet dann nennt man das ein Anfangswertproblem das ist der nächste Begriff den ich einführen will alles Definition 2 4 und wenn man Differentialgleichungen sag ich es meinem realen Leben löst hat man eigentlich immer damit zu tun dass man die Wand hat bloß anfangs oder sonstige Randbedingungen geben die Lösung dann eindeutig festlegen und sie dann auch schon bei diesen ganz einfachen Beispiel freier Fall gesehen die Differenz Differentialgleichungen sind Verallgemeinerungen des Problems Stammfunktion lösen Stammfunktion finden wenn daran denken da was auch ganz typisch wenn sich deren Funktion finden fing Sedimente Indications variabel die übersetzen sich in freie Parameter des Systems die normalerweise durch anfangs oder Randbedingungen fest geknallt werden so
also minimiert und so Differenzialgleichung her und war dann und Anfangswerte zu das heißt wir haben erst mal alles dastehen dies bei Differenzialgleichung war wir haben die Größe das ist denn ist die größte der Rechte die Länge des Vektors selbst die Anzahl der Gleichungen an die Anzahl der beiden System die großes Werk der y die Ordnung der Differenzialgleichung wir haben Intervall R und wir haben wieder eine Teilmenge des auf dem Dach hat die Funktion groß 11 definiert ist in er hoch die in kreuzt er hoch den hoch im Topf 1 und der Funktion f das ist die rechte Seite des Differenzialgleichung auf die definiert nach Dhaka und was jetzt dazukommt dass ist das was man braucht um die Differentialgleichungen zu schreiben also eher von die y von Tweets Landstrich von T y der Ableitung von T es gleich 0 das ist Differenzialgleichung und was jetzt dazukommt sind die Anfangsbedingungen und die schreibt man üblicherweise vor ihm an einer Stelle an einem zu einem gewissen Zeitpunkt sie nur hin und dann wenn man die Gleichung Enter Ordnung hat wenn der feste ist die richtige Anzahl von Anfangsbedingungen dass man n Anfangsbedingungen braucht mein alle diesen Beispielen oben auch so wenn sie die ein die Wachstums Gleichung anschauen die man 1. Ordnung da hatten wir jeweils ein Freiheitsgrade wichtig da Population wenn Sie die Gleichung 2. Ordnung nehmen C und D das war der freie Fall der hat nur 2 Freiheitsgrade nämlich den Startpunkt also in welchem in welchem Abstand zur Erde startet mein fallendes bin und zweitens mit welche Geschwindigkeit statt das nicht kann es ja noch nach oben werfen das ist ne 2. Fax bitten dass es ganz typisches Verhalten für jede Ordnung in der Gleichung kriegen sie eine Anfangsbedingungen am besten macht man sich das klar wird ganz typisch ist Verhalten man integrieren auch kennt ich 5 Raucher die der 5 konstant so das heißt wir brauchen noch n Anfangswerte die seinen man in welcher Weise mit Y 0 bis y N -minus 1 werden gleich sehen warum die Sender in der DDR und damit ich die vernünftig in das groß es einsetzen kann müssen Sie noch zusätzlichen Definitionsbereich liegen das heißt der Vektor T Y 0 y 1 bis SYN -minus 1 der muss bitte schön in so und dann nennt man das folgendes Anfangswertproblem Differenzialgleichung zusammen mit der Bedingung dass die Art der Ableitung von y an der Stelle 10 0 genau das ins Land also das fordern y einer Stelle 10 0 ist y 0 zu 0 ist die Stadt Bedingung für die nur der Ableitung der Funktion selbst 10 1 ist der Staat der für die 1. Ableitung 2. werden bis Ende des 1. also hier das wir für J gleich 0 es ist und wenn ich hier J und J steht hat mein Leben und dreht die üblicherweise von 0 bis N minus 1 ziemlich von 1 bis so das Ding ist der Satz noch nicht zu Ende nur dann heißt dieses Ding hier ein Anfangswertproblem also Anfangswertproblem ist meine Differenzialgleichung zusammen mit der richtigen Anzahl Anfangswerte Anfangswertproblem Welten der Vorlesung sehr oft auftauchen deswegen ab jetzt immer AWP und diese sah also diese Werte Vektor oder zahlen je nachdem was das die ist y 0 bis Y N -minus 1 das nennt man die Anzahl zu so dass einfach nur als Begriff wenn es Differentialgleichungen und damit die Fenster gleichen anfangs dazugeben nennt man das dann Angst ob zur das weiß ganz allgemeine Fall Gleichungen Ente Ordnung meinetwegen sogar nicht explizit alles was man will und ich hatte schon gesagt mit dem Fall werden wir uns am Rande beschäftigen weil man den Fall von Gleichungen in der Ordnung zurückspielen kann auf Gleichung 1. Ordnung und deswegen werden wir ab jetzt Fahrwasser bleiben und Gleichung 1. Ordnung an das hat den Nachteil dass sie noch ein bisschen auf die Lösung von dem Problem mit dem freien Fall warten müssen meine der freie Fall mein 2. Ordnung ist aber auch den wir immer noch deutlich vor Weihnachten dürftig es so also noch mal offiziell ab jetzt zumindest für die nächsten paar Wochen in Ordnung 1 und nur noch explizit die Gleichung das heißt unsere DDRler 1. die übersichtliche Form y strich ist es von vielen y von T und das Anfangswertproblem reduziert sich auch die also erstens auf die Differenzialgleichung mit übersichtlicher rechter Seite und wenn sie gleich im 1. Ordnung haben dann brauchen Sie nicht so furchtbar viel Anfangswerte denke dass hier von 10 0 besitzen und nur dann brauchen Sie nur ein also y von und ist das ist das Anfangswertproblem das in der nächsten Vorlesung jetzt massiv durch gekauft und danach zeige ich Ihnen dann wie komplizierteres zeigt darauf zurück aber das ist jetzt unser Hauptdarsteller für die nächsten Folgen und jetzt kann man natürlich eine neue Gleichung Gleichung ist eines davon ab was sie von 11. 1. sowie bis zu wenn es von TY einfach nun ist es eine sehr einfache Gleichung wenn er von TY gerade Sommer auf ein Blatt Papier passt dann ist es komplizierter so vor ob die das nochmal hin weil ich jetzt einen Begriff einführen will von sagte haben das Wort definiertes Teil klar es doch jedem klar was die Lösung ist klar es definiert was als Lösung wohl so ein Problem also hier Lösung ist eine Funktion nicht einsetzen löst die das ja aber der zum Paar Subtilitäten zu beachten und deswegen ist es gut in son Kurs ein für alle Mal am Anfang das knallen was ist das heißt für mich Lösung größer ja also ich kann es versuchen sie müssen ich wahrscheinlich immer mal wieder drauftreten also Definition 2 4 interessant wenn man die Inflation von 2 vielen in steht vor 5 und der 1. geht damit 2 6 weiter dann gehen wir davon aus dass die 5 ganz gut bei mir tja also wir haben so ein Ding hier das heißt wir haben wir der denn er auf dem die Gleichung lädt Politis herkommen wir haben Funken Definitionsbereich von der Funktion f da ist Teilmenge von I Kreuz D ja es für das Tier hier vorne ARD für das Y nicht will Systeme zu lassen es wichtig dass wir Systeme zu lassen weil wie gesagt wir können nachher gleich höherer Ordnung auf Systeme 1. Ordnung reduzieren also müssen wir ganz dringend System mit der Handel suche Wundermann anfangs wird also ein 10 0 y 0 aus diesem D und die rechte Seite f auf die definiert nachhaltig wir das alles haben Mason Anfangswertproblem hinschreiben und was heißt jetzt Funktion löst die gleichen oder löst das Fax also Funktion definiert auf Mitwirken er die Lösung unsere DDR verloren falls die folgenden Dinge gelten 1. dieses Fjord musste Teilmenge von ihr sein und und Intervall in der Wahl an der Stelle nochmal betont heißen diese Vorlesung immer das nimmt derweil dass es mindestens 2 Punkte enthält also nicht das Intervall ist Lehre oder ein .punkt geht der Wale für die die strikt sonst muss ich jedes Mal hinschreiben ein nicht triviales Intervall da ich kein Bock auf ne also grundsätzlich von jetzt bis Mitte Februar bis nach der Klausur hatten in der Wahlen immer mindestens 2 Punkte so also das Jahr muss auf den des definiert musste Teilmenge von Design ich erlaube hier ganz bewusst dass das die EU nicht auf ganz wie definiert das ist die 1. Subtilität das Lösungsbegriff also ich
hab mir gleich die ist definiert werden welche .punkt Variablen c des Ev meine zum Beispiel das F für Tee aus ganz R definiert dann erlaube ich der Lösung trotzdem auf den kleineren Definitionsbereich definiert zu sein wenn auch gleich sehen dass das nötig ist dass man mich sonst Probleme mit Spiel bekommt was muss man noch haben wir jetzt ab jetzt kommen die Sachen die er offensichtlich sind damit oder Begleitung lösen kann sollte man differenzieren kann ein wenig strich nicht Chemnitz für das da einzusetzen also das sollte bitte schön stetig differenzierbar die sein man könnte jetzt noch darüber verhandeln auch stetig vielleicht reicht auch differenzierbar werden ich will sich für die Vorlesung so machen damit ,komma am besten durch zur dann muss sich damit die Gleichung lösen kann auch hier einsetzen können das heißt für jede Szene muss EU von Definitionsbereich von e fliegen also das Paar CEO von muss zu des gehören für alle CLJ Na ja schließlich den sagt Lösung soll es gefälligst lösen also strich von gleich 11 von CEO von für alle 10 ab und entscheiden ist ebenso bisschen also wo man aufpassen muss ist Lösung heißt nicht nur das von Lösung heißt das wobei das unterste wie die 2. oder 3. wie Kleist und macht das keinen Sinn und auf das J ,komma gleich zu sprechen so dass es eine Lösung vom Tonne Differenzialgleichung wenn man jetzt zusätzlich noch hat das auch dass Anfangswerte anfangs viel Sinn macht also das heißt das den USA J legen und von 10 0 ist gerade y 0 dann heißt es Lösung von Anfang an sollten nicht waren sagt das ist der 2. Teil des relativ offensichtlich die Absurdität hält ist dieses J und damit mich jetzt nicht zu lang fragen warum ich dieses J der erlaube allen wie ich das gleich auch ein Beispiel begründen aber zunächst aber noch zusammen mit Lösungen 2 3 weitere Begriffe es ist ebenfalls erlaubt das die Lösung auf dem kleineren Definitionsbereich lebt als die Gleichung eigentlich Linz jetzt kann ich natürlich sagen wir aber vielleicht gibt es ja auch verschiedene Mittel tionsbereichen verschiedene Lösungen es kann auch durchaus sein wenn wir leben das ohne Differenzialgleichung und sowieso raus und Anfangswertproblem mehrere Lösungen und jetzt gibt es 2 Qualitäten von mehrere Lösungen es gibt den Fall dass 2 Lösungen wirklich verschieden sind im Sinne von dem haben wir kommt was anderes raus ab in dem Mehr
Text in der 2. Funktion schon verschieben wenn sie nur endlich Definitionsbereich haben aber sonst gleich sind und so was ist nicht so wirklich ganz verschieden her als natürlich gar nicht wenn diese Lösung habe aber nicht Lösung also wie es manche 0 mein es hier und jetzt hab ich ne Lösung auf den diese J man kann natürlich sagen ich gucke Lösungen auf den andere wieder neue Lösung weil es andere Funktionen Definitionsbereich gesandt er war so denken wir nicht irgendwie nicht als echt andere Lösung bezeichnen und deswegen gibt es dafür den Begriff man sich 2 Lösungen nur dadurch unterscheiden dass die eine Einschränkung von der anderen ist also wenn ich ne andere Lösung Abo Schlange von Jon Schlange nach der D da also das ist ebenfalls Lösung rund er dieses J Schlange ist eine Erweiterung von dem J und wenn ich das schlagen auf J einschränke kommt genau raus das ist die Situation gut jetzt das Innere das Fjord und dass also das Herz schlage aber ich hab eine Lösung und ohne Lösung die sich nur dadurch unterscheiden dass die einen größeren Definitionsbereich hat aber ansonsten sind sie gleich dann nennt man das eine Fortsetzung von anderen also dann heißt das Schlange eine Fortsetzung von ich hoffe der Begriff ist relativ selbsterklärend man selbst so ebenso der weiteren Lösung vor ist die Frage wenn ich eine Lösung hab kann ich die oder unter Umständen fortsetzen ich würde davon ausgehen dass man vielleicht irgendwann mal an die Grenze seiner Möglichkeiten .punkt irgendwann kann man nicht mehr fortsetzen und so eine sogenannte das nennt man eine maximale Fortsetzung oder auch maximale Lösung also ich nennen oh eine maximale Lösung von meinem Differenzialgleichung oder von meinem Anfangswertproblem wenn jede fort wenn es keine echte Fortsetzung mehr gibt also falls für jede Fortsetzung Schlange von J Schlangen daher von geht das die Fortsetzung schon gleich US also J Schlange gleich laut und uns lange gleich das nationale Lösungen jede fortsetzt es gibt keine echte Fortsetzung Mehr jede Fortsetzung das ist schon und wenn ich in der Situation bin dann nennt man das J das maximale Existenz Intervall und das ist was was man immer sehr gerne kennen würde ja also wenn man Sonne Differentialgleichungen löst es das was man üblicherweise suchten Maximallösung R ab man selbst in so lange fort wie man kann und wenn ich später im Verlauf der Vorlesung sagt und zu begleichen hat genau eine Lösung damit dann ist damit immer ein Unterton genau eine maximale Lösung gemeint war natürlich können Sie jede Lösung wenn die Lösung haben wenn sie dem einschränken auf kleineren Rivalen fing Tausend richtige Lösung aber das ist nicht das was sich der andere Lösung der das heißt diese Aussage es gibt genau eine Lösung bezieht sich immer darauf es gibt genau eine maximale und einschränken geht immer aber das ist nun mal der Prozess so jetzt letzte Begriff an der Stelle der auch damit zu tun hat das wie ich Ihnen gleich zeigen werde dieses J hier durchaus echt kleiner sein kann ist dass sie also das hingestreckte Inklusion sein kann und wenn sowas auftritt ist es natürlich und wie so oft in der Mathematik wenn man das hat was einer auf dann gibt man wenigstens allen denen die das diese doofe Eigenschaft ich haben schöne Namen und das ist die sogenannte globale Lösungen also wenn ich Lösung war für die wirklich obgleich die ist nur mehr als sie geht nicht weil es ist nicht offen was als größere meist I definiert ab da macht die gleichen keinen Sinn mehr aber wenn ich das größtmögliche hat also ich obgleich die dann nennt man das eine globale Lösung aber die existiert dann im gesamten Universum das die von der Gleichung erfasst wird also immer die gleiche Macht außerhalb von icann sind aber im gesamten Universum der Gleichung existiert die Lösungen dem Sinn ist eine globale Lösung und wenn sie einen nicht globale Lösung haben dann existiert dafür das Gegenteil dann sagt man oft dass es die lokale Lösungen das ist aber jetzt keine Kräfte in die ganz explizit definiert ist wird der benutzt man so im Gegenzug zu globalen ist so das hab ich da stundenlang drauf rumgeritten das er das dort im Allgemeinen nicht hier und dann kann ich Ihnen zeigen dass das wirklich passiert dass das sogar bei sehr einfachen Gleichungen passiert bei der gleichen für diese überhaupt nix rechnen müssen weil Sie die Lösung bald die Lösung sich wieder durch das berühmte System des kreativen Rates finden lässt der schauen dass ist folgender Anfangswertproblem an also dass es beispielsweise 7 wir betrachten Anfangswertproblem y Strich von Tätern die Ablehnung von y =ist gleich 1 +plus y Quadrat von 10 und hier 10 er nur für autonome Gleichung weil ich jede Szene am einschreiben y von 0 ich 0 saßen Anfangswertproblem gesuchtesten Funktion die diese Gleichung erfüllt also Ableitung ist 1 plus die Funktion zum Quadrat und an der Stelle nur so uns in dem Fall aber also hier is er es gibt aber auch keinen Grund für was kleineres als wenn sie die gleichen sehen würden und sich seinen sagt sagen Sie mir was man dafür den schreibt bitte auch kein Wunder was einzuschränken ja die rechte Seite ist hängt gar nicht von The und 1 +plus y Quadrat ist sowas von brav beliebig oft differenzierbar egal was mittlerweile sogar ohne Maus wäre also was was sie wollen also und was einzig der Grund übers einzuschränken also für die gleichen gibts auch kein Grund aber der Lösung in Problem das ist jetzt hoffe ich dass sie er das Sie vielleicht schon wieder was passieren könnte was die Lösung ist ich mit 6 noch in ihnen vorgeben weil das Moment noch nicht sehen können da brauchen wir noch die nächsten paar Vorlesungen zu das Ding ist wirklich eindeutig lösbar liegt daran dass die rechte Seite so wunderschön also der Beginn einer Lösung und diese Lösung hoffe ich lässt sich erahnen was ohne Funktion deren Ableitung 1 plus die Funktion Quadrat ist die kennen Sie alle dass der wenn Sie den Tangens von CA bleiben dann ist die Abbildung 1 +plus dann ins und das ist 1 +plus y Quark und der Tangens hat sogar die schöne Eigenschaft dass keines von 0 0 ist also Tangens ist wirklich eine Lösung von unserm Anfangswertproblem und ich haben schon verraten die Bauern nicht weiter suchen das in allen so wie sieht es aus mit unserm Existenz Wahl Tangens haben Sie hoffentlich mit der alle einigermaßen Kopf machen die halbe -minus die halbe Na ja also eine Funktion soll es noch mehr so es nicht oder definiert
und da können Sie auch mit fortsetzen überhaupt nix mehr machen dass die eine Lösung von den Problemen und wenn sie noch die alten kommen fliegen denn die Lösung die und und was was passiert hier ja im Prinzip sieht man dieses Verhalten der gleichen überhaupt nicht an also dass J sogar das maximale J ist hier -minus die hatte die alte und er ist nicht können Sie sagen wer in diesen Tagen doch auch immer noch also meine Güte Nummer 1. wer aber unsere Definition von Lösung ist auch sinnigerweise wir hätten gern dass unsere Lösung auf dem gesamten Existenzen dabei stetig differenzierbar ist uns machte dies in seinen Grenzen an halt Symbole sie ,komma die halbe nicht vorbei wenn Sie das anfangs mehr Probleme lösen wollen muss der anfangs Zeitpunktes T 0 in Jork liegen also zumindest gern .punkt die muss man dort liegen sie kommen also auch BMW aus dem dabei ich aus die maximale Lösung von ihrem Gleichungssystem von ihrer Anfangswertproblem da oben es einfach dieser 1. vom fangen so nicht mehr Na kommen Sie da nicht oder Raps also ich das maximale Existenz Intervall und was hier passiert ist Folgendes wenn sich wenn man sich mal überlegt ganz ohne zu wissen was die Lösung ist was passiert denn hier wird was sagte diese gleich die gleichen sagt meine Funktion statt an der Stelle 0 wenn ich mal hier oben 0 einsetze endlich die Ableitungen 0 raus dann kriege y Strich von 0 S 1 +plus auf von 0 bis 0 also ,komma es 1 dieser sein dergleichen schon meine Lösung schade denn nur lohnt sich da der eine Steigerung von 1 dazu muss ich überhaupt nicht wissen was rauskommt dass sich jene gleich so und jetzt das folgendes dadurch dass die 1. eines startete wird die positive die Größe wenn die Funktion größer wird dann steht hier die Ableitung ist 1 plus der Funktionswert Quadrat das heißt die Ableitung wird dann auch größer als 1 das heißt die Funktion Becks steiler wenn Sie Warsteiner wächst wird sich schneller größer wenn sie schneller größer wird mit die Ableitung schneller größer waren was Sie hier sehen ist eine klassische Resonanz in der Physik oder eine ja ein ein das er duscht sich gegenseitig keine die Katastrofe hoch und 2 in endlicher Zeit im Sommer größere wieder werden große Schnittfunktion muss ich ablehnen groß und das wie kommt so schnell hin und her das die Funktionen endlicher Zeit explodierte Gasexplosion verhalten und bei PI halbes aus Sohn phänomenal und bei Differenzialgleichung oft manchmal will man es auf diesen Mehr und unseren Funk Phänomen nennt man ein blauer Explosion die funktioniert die Funktion explodiert 10 blau ab und das sind unangenehme Situation möglicherweise aber die kommen eben vor sogar bei so einer einfachen Gleichung deswegen darf man nicht davon ausgehen meine Gleichungen schreibt die wunderbar brav ist hier eh gleich er sinnigerweise dass der immer Lösung rauskommt die auch auf ganz R definiert ist mit dem allgemein nicht passieren sobald sie sollen Resonanz haben dass die Funktion sich selbst hochschaukelt kann ihn die und fliegen 2 in kürzester Zeit und das ist der Grund warum annehmen die Lösung definiert dieses in der Gewalt dort einführen muss bei man im allgemein nicht erwarten kann dass die Lösung für alle Zeiten existiert und wenn sie für alle Zeiten existiert ist das was Schönes und dann nennt man diese Gleichung dann nennt man die Lösung eben globale so ja ich genau die DDR jetzt als Wiederholung für die anderen trotzdem noch unendlich viele Maximallösung unendlich viele maximal Existenzen der Wale weil ich kann natürlich jetzt sage ich niemals anfangs wenig y von 0 ist nur so y von Peace 0 erreicht ein was dass man von vielleicht nur König den er keinen die oder ich kann y von G +plus +plus Tiefe des Einzelnen gleich aus allen als sie kann durch Wahl des Anfangswertes jeden einzelnen Tangens 1. ansteuern trotzdem ist es anfangs als solches eindeutig lösbaren Demo mit Moosen anfangs tackern liegen sehen wir mit der Valiant einzigen den 1. die gleiche ist allgemein so Differenzialgleichung sein ich nie eindeutig ist wenn die Fans Vergleichen hat immer Freiheitsgrad aber das Anfangswertproblem ist ein eine bei den gerade Gesagten Sinne natürlich ist gibt es nur mehr Lösungen sie können ist auf dem Intervall angucken ist andere Lösung aber die es eben langweilig anders also in dem Sinne eindeutig dass es eben eine eindeutige Maximallösung der ab dann ich würde ich annehmen das in Code einen so was kriegen oder -minus Tangens vielleicht man verpasst das man es dann ist wohl auch nicht was passiert dann rechnen wir ich möchte kurz werden in einer Stunde aus weil das ist das nächste Thema ja gestern wahrscheinlich verschoben steht ja was eigentlich genau richtig richtig das ist dein Sohn denn genau ja auch wenn sie wir sie nicht mit 4 Elemente seine soll hier durch die durch den Punkt wenn sie auch verschoben haben nämlich an aber kann man können in einer Stunde ausrechnen bevor wir dahin kommen wenn ich noch einen Theorie Resultat zum Abschluss dieses dieses Abschnitts machen damit sie wieder was die Lösung ist wenn definiert was maximale Lösung ist an dem Beispiel sehen wir die Maximallösung das dem Fallrecht offen sich die dieser Tangens Ast Frage ist geht in eine maximale Lösung ja und die Antwort darauf ist ja so weit sie den Lösung haben können Sie die immer zu einer maximalen Lösung fortsetzen dass der Satz 2 a also kurz formuliert wenn ohne Lösung von unserem an der Fans wer Problem ist also AWP in Klammern bezieht sich immer auf dieses Ding darum unser Anfangswertproblem y Striches er von TY Land von T 0 ist jetzt y nur dann halt der Fortsetzung diene Maximallösung Lösung ist also eine sogenannte maximale fortsetzen und das ist leicht wieder oben ankommt findet man sie dass hilft natürlich trotzdem muss man immer das wirklich abstrakte weisen wir für jedes Anfangswertproblem ganz kräftig in die Werkzeugkiste greifen und der Beweis beruht auf einem der sehr mächtigen und sehr und konstruktiven derzeit nicht immer nur von Frauen und das für die spannende Frage haben Sie wahrscheinlich hoffentlich alle schon mal gesehen da gibt's ein paar schütteln und ein paar nicken wenn er von sorgen sollte aufgetaucht sein Minimum in Berlin eigene Dramen beweist dass jeder Vektor Basis hat .punkt ja es ist lesen also ich schreibs Nummer 1 aber
möglicherweise sollte das zumindest an der Stelle schon mal dagewesen sein das Lemma von Zorn ist ein bisschen Thema was mir mal ehemalige Gemeinde wenn ganz Touristen landet unbeliebt ist weil das immer von vorn braucht das Auswahlaxiom zur wegfallen zum Auswahlaxiom und sagt also wenn Sie mir wenn Menge haben die nicht leer ist und partiell geordnet also es gibt da draußen Ordnungsrelation und jetzt haben sie die zusätzliche Eigenschaft das jede Kette mit Kälte zu Erinnerung ist eine Teilmenge von die nicht durch diese Autos Relation total geordnet wird also in der jedes Element mit jedem vergleichbar ist und wenn jede Kette in einem nur obere Schranke in hat also für jede Kette gibt es nur man den das alle das größer ist als alle die Dinge in der Kette dann weiß man dann halt ein maximales Element mit 7 anschauen worauf der Beweis sieht rauslaufen wird wir wollen zeigen jede Lösung lässt sich maximal fortsetzen so wird uns nach ein maximales Element liefern müssen ist noch die Menge M richtig definieren so dass alles passt und die Menge M die alles tut was sie soll ist Mehr wir suchen ein maximales Element der Fortsetzung von alle schmeißen eine Fortsetzung von nun eine Menge also das ist die Menge aller V die Lösungen sind vom Anfangswertproblem Bund V bis eine Fortsetzung von also nehmen sich alle Lösungen von immer mehr Probleme mehr lief fortsetzen und du die alle eine Menge wenn wir jetzt sagen dann diese Menge erfüllt die Voraussetzung vom Lemma von Zorn und sagt uns trauen dann halt maximales Element also dann gibt es eine Fortsetzung von die maximale ist das heißt dies größer als also ist als alle Elemente hier drin und das ist dann unser maximale fort so dafür müssen auf dem Ordnungsrelation definieren und das ist auch relativ klein und nicht wie man das macht wir haben alle Lösungen hier und uns interessiert welche sind Fortsetzungen von voneinander und dementsprechend definieren unsere Ordnungsrelation Geländer sagen schon Fortsetzung von U V 1 ist kleiner gleich eine Fortsetzung V 2 genau dann wenn das V 2 eine Fortsetzung von fort können also die Fortsetzung wie wird uns mehr Ordnung auf dieser Menge und wenn wir jetzt zeigen können diese Menge mit der Ordnung erfüllt das dann kriegen wir maximal das Element das heißt wir kriegen ein Element von das der Fortsetzung ist von jedem andern Element von und damit den maximalen so also dass wir die Voraussetzungen vom von nachprüfen zunächst mal muss das nicht leer sein das kriegen wir hin nein das US vor wir haben die Lösung von diesem Anfangswertproblem und ich für Fortsetzung von eine Reise das erwartet also so gut damit dieser nicht mehr dann brauchen wir das Ende diesen kleiner gleich partiell geordnet ist das es ziemlich banal was man nach Rechnung als das heißt einer USA-Tour musste 3 Axiome von Ordnungsrelation nachprüfen immer ganz tief in die im 1. Semester zurück der reflexiv antisymmetrisch transitiv er also reflexives jede Miguel Vaz also jedes hier Lösung der Fortsetzung von sich selbst was wenn ich hab das ohne Fortsetzung von VS und vorne Fortsetzung von wenn Sie und Frau dieselben bei und Frau unterscheiden sich ja eh nur durch die Definitionsbereich mit 1 1 1 halten es unter anderem ein dass die Klage transitiv wenn ohne fremde werden Zaune Fortsetzung von US und wenn heute von Frauen ist auf den also ist mir ick essen Ordnungsrelation das Dinges partiell geortet sollst was müssen wir noch ist nicht länger partiell geordnet jetzt müssen wir nachprüfen dass jede Kette nur obere Schranke hat also nimm uns erklärte er gekettet ist eine Teilmenge von von dem das kann ganz schön viel Elemente haben ich indizieren mal die Elemente von der Kälte mit der Index Menge A durch also und Index Menge nur damit ich hier differenzieren kann die muss nicht ab bis die muss nicht er abzählbare sonst was sein kann auch überabzählbar sein also haben wir Teilmenge von dem und die soll es aber nicht hätte sein das heißt er an alles mit hätte das heißt jeweils 2 Elemente hier drin lassen sich vergleicht für je 2 Elemente ihres entweder das eine Fortsetzung vom andern oder umgekehrt zu sehen total geordnete teilnehmen so Masri zeigen müssen es klar hatten obere Schranke in was heißt das das heißt es geht Lösung wenn Sie mal Sternchen also Lösung von unserm Anfangswertproblem in allen so dass Stern der Fortsetzung ist von V als war mehr als das Werner aufsteigende Kette von Fortsetzung müssen zeigen dann gibt es eine Master Fortsetzung die die alles ist und da in der Überlegung steckt eigentlich schon drin was man tun muss auf welchen Definitionsbereich definieren wie diese Master Fortsetzung die definieren auf der Vereinigung der Definitionsbereich hier alle unsere Frau das ist das richtige Definitionsbereich und jetzt muss man nur überlegen das jetzt alles zusammenpasst also was zeigen müssen ist dieses Stern müsse man noch definieren aber in hier rauf und dann ist zum Beispiel um zu wissen dass Stern auf J Sterne Lösung ist wenn wir uns darüber Gedanken machen ob laut Stern offenbar Intervall NYU Stern ist ist mal der Vereinigung von dem ganzen Menge Müll aber das soll gefälligst mit dabei sein das ist die 1. Überlegung die wir machen müssen nicht behaupten dann ist dieses Joch Sternen Intervall und dieses sind alle wollen es Anfangswertproblem lösen n hält sogar das Lautstärke nettes 10 Uhr warum ist das so ich werde Ihnen ich zeig Ihnen das wenn sich irgendwie in ihren Sternen also erstmal das ist nur da drin es ist nicht so schwierig weil die vor alle Fahrgäste Lösung vom Anfangswertproblem das heißt in jedem JAL falls denn 0 drin im Lösung vom Anfangswertproblem bedeutet nach unserer Definition insbesondere dass die Nullen Definitionsbereich der also 10 0 denn 0 sind dort
alles war für alle als wer ich für einige dann hab ich's tausendmal tritt kein Problem den neuesten drin und was ich Ihnen jetzt sage ist dass wenn sie irgend J Sterne dem da liegt auch das ganze Verbindungs Intervall zwischen Tier und 4 0 3. und wenn sie das haben dann ist es laut Stern Intervall weil das bedeutet egal wo sich stellen sie könne man hat mit dem 0 verbinden das ganzes ein zusammenhängen das teilte also dem 19. T in J Stern hier 10 J Stern wenn Sie J Stern ist der Milizen eine seien aber so dass Christian Eifer ist weil er wo sie ein neuer Stern reingekommen sein Sternes die Vereinigung reagiert also wenn es da drin ist dann muss es über irgendeinen Alfa reingerutscht sein so dann weiß ich jetzt C und 0 sind in diesem J Eifer The wegen gerade jeden Tag und ist in jedem Wald hin und ist anfangs Zeitpunkt und ich weiß dass das dort anfallende Waldes also 1. gesamte Intervall von 10 bis 10 0 nachdem wo das Ziel liegt oder von 7 bis 10 Teilmenge von dem JAS meine aber dort als nicht stärkt 5 naja Stern enthält jedes wird einfach als 8. so damit er mir das wenn Sie 2 .punkt also C und 0 in J Sterne annehmen dann ist mir das ganze Bindung sind drin und damit dass das dort standen dabei sie in einen Spezialfall nachgerechnet was heißt das Essen ganz eigen topologisch das Prinzip so kann man es auch formulieren denn ich habe er ja für er das geht Ihnen wahrscheinlich noch die Topologie dafür deswegen nicht so gerechnet das ist allgemein so wenn sie mir in einer Anzahl von Zusammenhängen denken haben jedes J alles was zusammen wir hier so dass der Ball und die haben 1 gemeinsam .punkt dann ist die Vereinigung auch zusammen kann man ganz allgemein zeigt Vereinigung von Zusammenhängen mit gemeinsam .punkt das dass das was wir hier brauchen so es einmal J Sterne erweisen sich auch das Stern definiert das Stern soll unsere Master Fortsetzung werden sofern es ist naheliegendes Stern auf jeden auf jedem J Alfa durch das V u zu definieren ist es vor Eifer zu definieren das man es einfach erst mal also definieren jetzt so Stern auf dem J Stern nach Erbil 2 also wenn man uns finden sie in dort Stern hier dann kleines Argument wie gerade eben die 10 als Art so dass das Stern in dort alle verlegt wenn wie muss das tätig die darein gibt es dich dann daran dass die da rein gekommen sein ob und dann setzen wir einfach im Stern von C vielleicht so einfach und die weil sie es mal per Definition feste knallt unser Stern setzt das vorgesetzt jedes vor Alfas also die ist überall da muss definiert ist gleich dem Fall dass man sich damit einhandelt ist natürlich ne wohldefiniert als Frage ist das überhaupt sinnvolle Definition weil so und sie wird im Allgemeinen wir Alverde liegen mir also was passiert man Alphabet beide aus Asien und das c liegt sowohl in J alles war als auch in der Beta und jetzt aber bisher nicht benutzt um unsere Voraussetzung rein das Kane Kette ist K ist total geordnet ich habe 10 vor als Ordensfrau Beta und jetzt hab ich mir Ambivalenz sollte es Sternes vor allem als Verwalter definieren ich weiß jetzt aber da erklärte geht entweder vor allem ist kleiner gleich vor Peter oder Frau Wetter als kleiner gleichfalls also eines der Fortsetzung von einer lieferte er diesen Fortsetzung von einer das heißt auch aufgeben gemeinsam Definitionsbereich nie bin ich ja gerade weil ich bin dort Eifer und in ihrer Felder müssen die weit und war die Fortsetzung von anders sind das heißt ich hab Frau vor gleich V Blätter auf J JAL verrechnet wird Wetter insbesondere es vo Alfa weg gleich Vorbild ab also der tatsächlich keine wollte sie mir das Problem wenn ich das so definiert kriege ich immer den gleichen Wert raus egal welches Frau ich nehm an der Stelle brauch ich jetzt massiv das meint kann geklärt ist Zaun jetzt fertig aber alles zusammen was aber jetzt alles gezahlt ich behaupte unser Stern ist eine Fortsetzung von Frau Alfa für alle alle für einen wenn sie sich in Verein entnehmen dann liegt das sie dort als war ganz sicher in Deutsch der anderen und für alle T aus wird alles wahr ist dass Stern von vielleicht im Fall alles bevorzugt so dass es 1. 2. jedes war allenfalls eine Fortsetzung von O also dass unsere Sternchen sicherlich Fortsetzung von den sicheren vor als vorher und dann nutzen Sie die Transitivität hochgestochen gesprochen von ihrer Ordnungsrelation also Stern Fortsetzung von das brauchen wir wollen ja haben das und so Stern und so Stern unsere obere Schranke muss jene im liegen 0 also muss es Fortsetzung und US sowas noch brauchen ist Sternchen es Lösung auch das Stechen ändern stellen soll gefälligst Lösung vom Anfangswertproblem sein dazu brauchen wir Sternchen ist auch immer dabei definiert Haken und Sternchen es stetig differenzierbar der lohnt sich nur kurz drüber nachzudenken warum ist das so auch der vererbt sich von den Verein das man sich irren .punkt in deutsch dann her dann liegt der in dem J 1 war das war ein Fall ist an der Stelle stetig differenzierbar des Umstandes gleicht dem Fall vor also ist auch das bestätigt also in so einer ganzen Umgebung und deswegen sind die beiden ist es auch stetig differenzierbar so und schließlich und endlich so Stern Auflösung vom Anfangswertproblem auch das kann man von den Fall falls er haben Sterns der Fortsetzung von Denver was für jedes TGC vor vor er über dass das Stern definiert ist und an den Stellen ist die Gleichung und anfangs so und damit sie mir jetzt DEU und Stern ist obere Schranke von KNN also das obere Schranke von Kar-Wais jedes vor Eifer fortsetzt und es liegen weiß auch eine Lösung ist eine Fortsetzung von und jetzt sagte der Zorn der können die Pause ging wir haben jetzt das weil
sein 1. Theorie banal gerade dafür jemals wieder zurück zum Ganzen praktischen lösen und ich will Ihnen ein 1. Klasse von Differentialgleichungen 1. Ordnung explizit schreiben die man tatsächlich es gut läuft die lösen kann und wirklich was rechnen kann und das ist ne Klasse von Differenzialgleichung mit der wir immer wieder zu tun denn die guten Start .punkt bietet für viele viele Lösungsmethoden und das ist der so diese sind Gleichungen von sogenannten getrennten verinnerlichen oder getrennten Variablen und das ist das Thema Abschnitt 3 dann und was da zum Beispiel reinfällt und damit können wir von unseren wird 1 1. Gebiete zurück schon ein paar unser Probleme lösen sind alle gleich so expliziten Gleichung 1. Ordnung die skalare Gleichung 1. Ordnung die autonom sind alle autonomes skalaren Gleichung 1. Ordnung sind gehören zu der Klasse das heißt unser logistisches Wachstum fällt da rein das können wir damit mit dem Verfahren jetzt lösen oder zum Beispiel unser Problem von vorhin y Strich von S 1 +plus y Quadrat also das Britanniens
rauskam auf das ist ne autonome Gleichung 1. Ordnung so also gehen wir zurück zu unserm logistischen Wachstum ich habe und ich die Gleichung wieder an das ist ne typische wie wir noch sehen werden sogar relativ übersichtlich die Gleichung von getrennten veränderlichen mir mal Y mal 1 -minus y Klee und an der will ich erst dass das Verfahren einführen aber zweitens noch eigentlich davon unabhängig eine Diskussion machen der die ich sehr wichtig finde wenn man daran sieht das nur lösen von Differentialgleichungen das eine ist aber man sehr oft eigentlich gar nicht mehr wirklich lösen muss wenn man sehr oft schon in der Gleichung sehr viel sehen kann darüber die lösen sich verhalten wird dass es bei so einer einfachen Gleichung relativ egal weil die kann man halt einfach lösen wenn die gleich ein bisschen komplizierter werden dann ist es oft sich mit einfach lösen dieses Verfahren führt am Fluss auf 2 Integrale die man knacken muss und die integraler also sind dass man sie nicht werden kann sitzt meine Dienste war das der Normalfall dementsprechend es gut wenn man einfach Methoden hat oder ist 1 ein Gefühl dafür was passiert mit einer Lösung auch wenn es nicht ausrichten und autonome gleich sind was wo man wunderbar schon in der Gleichung ganz viel ablesen kann das will ich an dem Beispiel einer machen also autonome Gleichungen das heißt unsere Rechte Seite 11 ist keine Funktion von t und y soll nur von y also war es von y ist einfach minimal y 1 1 -minus die Funktion müssen Funktionen einer Variablen die kann man sich ja wunderbar hin skizzieren das ist das was hier mach gleich Licht aus völlig fertig erzählt er was hier unten rechts passiert mir diese funktioniere mir mal als normal Suzlon dessen umgedrehte Parabel bisschen verschoben und so weiter da sie glaub ich gleich 4 skizziert und an der kann man schon ganz viel ablesen also ein Werk kann man kann sie alles ablesen dass Lösung passiert 1 hatten das schon die 1. Vorlesung dass ich sie gefragt hat was sind Lösungen dieser Gleichung immer gesagt na ja die allgemeine Lösung warten mit schwer aber 2 Lösung sieht man so vor nämlich einmal die Nulllösung y Strich von 0 bis 9 männlichen Noteinsätze kommt nur raus aber auch die konstante Einzellösungen macht in neuen Bericht die 1 abgleite künftig auch das ist ganz allgemein Sinne autonome Gleichung haben wenn es immer so wenn er von Z gleich 0 ist also die Nullstellen dieser Funktion f entsprechen immer einer konstanten Lösung jede Nullstelle von f ist mit konstante Lösung so was nennt man auch ne stationäre löst weil sie eben stationär bleibt wenn man an den Punkt startet das sich nichts her dass dabei den populations Problem wenn sie am Anfang wir nur Population haben dann haben Sie am Ende immer noch 0 Prozent das ist schon mal grundsätzlich war immer sie sollen autonome Gleichung haben und was haben Sie für jede Nullstelle von f formalen löst und nicht nur irgendeine sowie stationäre Lösung wenn wir feststellen sind sehr sehr wichtigen Lösungen warum weil in vielen Fällen einen bei der gewöhnlich eine Differenzialgleichung gar nicht die Lösung interessiert so nur die stationäre Lösung Beispiel ist sie schauen sich in der Differenzialgleichung an die nicht ähnliche Reaktion beschreibt schafft ende die willig Reaktion am an macht 2 Wunder dann passiert das natürlich während der Reaktion extrem viel das beschreibt Differenzialgleichung noch alles das ist ein aber eigentlich ziemlich egal was ein interessiert sind nur ist der Zustand der was kommt am Ende raus also sozusagen für die Gleichung betrachtet was es der grenzwertigen unendlich vom eine Lösung was dazwischen drin wäre die Reaktion passiert ist ein völlig egal und dann stellt man fest er weiter reingeht soll ich das in der Lösung haben den der mich aus den den Trend das beliebige Lösung üblicherweise am Ende und sehr oft gegen stationäre Lösung Conergy rauszukriegen gegen welche und sollte man wenn man es noch kann man das wissen schwierigeres Problem also stationäre Lösungen sind oft Punkte an denen was Besonderes passiert und wo die für wo die Lösung hin hin wolle und dementsprechend in soll die stationäre Lösung sehr sehr wichtig war dass die Grenzwerte sind von der Lösung üblicherweise nicht an und nicht jede stationäre Lösungsversuchen Grenzwerten ob das ist ja nicht wenn man noch diskutieren aber deswegen sind sie sehr wichtig oder schönes bei autonomen Gleichung muss man die stationäre Lösung ich lang suchen das sind genau die Nullstellen von f so was ist denn jetzt ein wenig in den langweiligen stationären Lösungen sind sollen was ist zum Beispiel wenn wir so starten wie das gedacht war der Staat mit der Population zwischen und 1 ich erinnere dann den logistischen Wachstum war y von Ted die relative Population relativ zur Maximalgröße 1 so und auch deren muss man erst mal nicht rechnen sondern kann man sich diese Funktion f anschauen
dankenswerterweise hatte Jerome Alexa gearbeitet also ihr Recht ist die Funktion f wir jetzt sagen dass Staaten zu leicht mit der Population so ist ist egal eingestellt von 0 Komma 2 was sagt uns dann dieses Bild dieses Bild sagt uns eh von 0 Komma 2 dass es irgendwo da oben er von 0 Komma 2 ist aber y strich und Fallstricke sehr von Nutzen ich kann also wenig weiß ich starte hier meine Population des Mannes sei und ist die y-Achse ja sie ist die Operation und das es erfordert er Sonne sonst Anstrich wenn ich hier bin ist der Funktionswert also genau meine Ableitung ich weiß es an der Stelle starte ich bitten Ableitung von 0 Komma 7 nur ne ,komma 6 2 ist ja das heißt Manipulation mit ansteigen also in letzter Zeit ist es sie auf Z .punkt gleich 0 Gemüter wieder Zeiten bisschen hoch Wirkung den der die Lösung längst entsteht jetzt die Lösung wir wachsen was passiert wenn sie wächst das y wandert nach rechts wir wachsen müssen die Rechte falls ich nicht y 1 nach rechts was Präsident Sonderweg zwar mit y strich unterstrich die drauf also wird unser Wachstum beschleunigt sehen Sie hier da dran dass die Lösung sich am Anfang nach links nicht nur je weiter das Emslander rechts wandern umso größer die Ableitung und das Dinge beschleunigen das ist wieder dieser Resonanz fällt ja überlegt man umso größer wird die so wird die Ableitung dadurch sich wieder schneller und auf die Weise rutscht meinen wird meine Lösung Text immer schneller bis wir ja ja es nicht dabei dass wir ungefähr hier sind je zur schmale Lösung weiter nach rechts werde aber immer noch positiv aber je weiter ich nach rechts Wanderung so kleine wieder nicht immer rechts laufen Lauf ich auf der Chor immer weiter unten damit ich die das Wachstum langen sein und langsam das Breitenwachstum weil es ist positiv wir ja beide eine positive abläuft das heißt meine Lösung wird weiterhin wachsen aber langsamer und langsamer und langsamer und wenn sie das immer weiter machen gegen sie qualitativ Lösung die irgendwann den als Comic sie wird 1 nie erreichen aber wird gegen als Comic die das alles sieht man an dem Bild wenn man sich im da macht zurzeit die Lösung rutscht auf der x-Achse in auf der Zeitachse hin und her und an jedem Punkt wo ich bin sagte der Funktionswert in welche Richtung ich weiter laufen die Weise gar nicht qualitativ sehr schön sehen jede Lösung die hier irgendwo startet mit dem Enden eines lag also langsam noch unter 1 ist ein sehr positiver so sagen Sie mir wo sie war werden da wird nach rechts rutscht kann man es mit anderen Staat werden machen zum Beispiel wenn sie hier nein vorsichtig also wenn Sie hier ich mich nur ,komma 2 von Samen nur ,komma seinen Einstand langweilig das wir nur ,komma 5. 1 ,komma 6 Staaten wir sind sehr an schon hier die Ableitung der Funktion der Lösung ist positiv sie dann nach rechts wandern aber von vornherein mit ab steigen mit abnehmender Ableitung das heißt Sie kriegen wachsende Lösung die auch wieder also asymptotisch gegen 1 konvergiert plant nur wenig nach rechts gehen derzeit weitergehe Rossmann .punkt rechts weiter nach rechts die ablehnende immer geringer aber sie bleibt positiv und die Lösung sehen Sie links entsteht und konvergiert gegen 1 immer noch von Norman wir können wenn sie nur Staates langweilig wenn sie nur ,komma 1 haben extrem das von gerade eben erst wachsendes 1. wachsen das Wachstum dann abnehmen das Wachstum bis sie bei der 1 sind und so weiter es können auch gern wie üblich gibt es das tun auf der üblichen Seite mit den Animationen können Sie den Service mit rumspielen wer sich damit sagen will ist wenn Sie so autonome gleich haben stürzte sie sich je nachdem was man machen will und wenn sie nur drum geht die sie nur so ungefähr aus stürzen sich nicht in 3 seine Rechnung zum man sie mal das er findet man sie sehr nehme ich sie mal haben den sie einfach ablesen was passiert schau hier will ich jetzt ausrechnen was kommt da raus das ist der 2. Teil von diesem Beispiel also
was passiert hier nicht nur Bückwaren qualitativ sein was passiert der Quantität also es war das Ding explizit lösen das ist ein Skript dann schon das Beispiel 3 2 zur ja dieser besagte meine DGL explizit lösen würde das sind alles meine Tricks erlaubt weil am Schluss nach welchen das ist die Lösung ist einfach und das man dann üblicherweise macht ist man geht mal davon aus dass meine Lösung hat man geht man davon aus dass meine Lösung her und schaue wie muss die denn aussehen in der Hoffnung dass Mann mal sowieso wenn sie muss die aus den Anschluss auf ne vorne kommt meine vom hat ist gut dann kann man nachrechnen steht also wir gehen davon aus Wärme Lösungen und die Überlegungen von gerade eben also auch der unendlich viel zeigen sich nur der diversen optimistisch Wochen dass eine globale Lösung kriegen die Bilder gerade waren ja auch so dass wir hoffen das könnte stimmen und was wir auch gesehen haben er mit wenn der zwischen 0 und 1 starten da die Belegung von gerade plausibel gemacht dann wird die Lösung niemals Angola 1 vorbeikommen also wir dem Intervall 0 1 bleiben also ich sag mal optimistisch ich behaupte ich finde Lösung die für positive Zeichen definiert ist und im Intervall 0 1 bleibt und das eine Lösung von unserm Anfangswertproblem y strich es mir mal Y mal 1 -minus y und y von 0 ist y 0 wobei dieses y 0 irgendwo zwischen 0 und 1 0 1 kann ich aus mir werden wenn nur 0 0 oder 4 0 1 ist dann weiß ich schon was passiert wenn man mit konstanten stationiert so als wir gehen mal davon aus dass es eine Lösung haben da können uns natürlich sicher sein dass es den existiert aber es ist im Moment doch egal wir oder man so als hätten wir einen wenn das so ist dann hat diese rechte Seite 11 von Y oder von ja es von ohne schöne Eigenschaft der von uns da nämlich nie 0 ja weil ohne rechtliche nun 1 die Nullstellen von Ärzten und 1 also für für dieses kann ich von mitnehmen und ich von kann nicht heil und das ist der Hauptvorteil davon das heißt was gilt jetzt das Geld strich von O geteilt durch das von also im von von T mal 1 -minus u von C es konstant 1 das ist die Gleichung umgeschrieben aber nur die ganze rechte sagen und die die und sondern meine Lösung brav und 0 1 bleibt ist das auch mathematisch gerechtfertigt so das gilt für alle Zielgröße größer gleich 0 zur und er steht im Prinzip ja schon der Schlüssel für die Lösung was wir jetzt machen ist wir integrieren diese Gleichung hoch also nehmen sie beide Seiten integrieren Sie es auf Recht ist warme Rechtsanwaltes ist übersichtlicher als das daher also die 1 Sigrid kommt heraus also Integral von 0 bis 10 über 1 ist das täten und das wie können wir die gleichen hier einsetzen das Integral von 0 bis T oh spricht von S durch mü ov von S mal 1 -minus u von S DS ich war dass man noch ein bisschen so wie es die Wellen Integral von 0 bis 10 strich von S durch von von er etwas das er von Euro Mitte sind die 3 sehen dann hoffe ich dass es ein Reflex habe so fit für ihre X gleich von S ja also das schreit geradezu danach bei den Sieg X gleich vorerst substituieren wenn kriegen Sie als Differenz strich von SDS ja das ist sozusagen der Traum eines 1 eine Substitution viel schöner kriegt man das nicht mehr also 5. gehen sie mal x gleich wovon ist dann steht hier Integral Achtung Grenze substituieren nicht vergessen und von 0 bis Hof Phontänen oh strich von 1. genau also kriegen sie einst durch F von X DX oder dass es wieder einsetzen oh von Y wohl y 0 bis Phontvieille 1 durch Mühe X mal 1 -minus 6 Ticks tja was so tun erst mal wo wollen wir überhaupt hin Hermann rechnen und Führungen der Rahmen wo eine Formel für von T wir wissen wenn unser hole ist dann ist die Gleichung hier was wir noch tun müssen es diesen sie gerade ausrechnen also hier ORF je länger man das Integral Lausitzer man 3 1 1 1 Problem wenn Sie es auf die harte Tour machen wolle man sie davon etwas Jahrbuch zulegen wenn nicht dann passte bisschen rum ich meinen Jurten ansehen Produkt von von 2 Polynomen das kann man irgendwie schreiben als eine Summe von den Dingern so die Frage was oben steht und wenn man das in Wursten stellt man fest so passt also 1 durch x +plus 1 durch 1 -minus x nein bringt ist offen ob denn das geht schneller 1 -minus x +plus X durch x mal 1 1 X als Musik +plus X ist genau 1 passt tja das können wir jetzt aber ausrechnen was steht da hinten Stammfunktion von 1 durch x genau den Rhythmus also und an den Grenzen also Rhythmus von Ruf und sehen an der Stelle stehenden Grundvorlesungen und sagte decken Sie die Stammfunktion Florus vom Betrag O in dem Fall aber nicht nehmen weil wir wir vorausgesetzt es umso ohne zu ein System schützen und wohl auch als die Beträge Damen weglassen -minus bei allen von Y wohl Kloster allen von 1 -minus u von -minus der allen von 1 -minus y und ich hoff ich hab ich alle Plus und Minus
richtig gemacht ja wir und ich war ja mal nachhaltig zu viele Schritte auf einmal machen der er von von T -minus ja so tja bereit jetzt Netzgemeinde der Stellung bisschen ich mir aber auch verschlungen es kann an der Stelle noch ein bisschen Kosmetik betreiben nur Rechenregeln über die Summe von mir und Logo vom Produkte und so weiter also steht hier allen Formen wovon sie mal 1 -minus y 0 durch y 0 mal 1 -minus u von Dell und der ganze Slow muss gleichziehen wir wollen so also lösen nach heise bring erstmal das desmume rüber und machen auf beiden Seiten die Exponentialfunktion drüber dann können Sie sich auch mit Ziel also hier würde er auch mit 10 ist wie hoch dieser allen jedoch bei allen macht sich weg gibt wo wohnt denn mal 1 -minus y 0 geteilt durch y 0 mal 1 -minus U 15 jetzt ist es noch ein bisschen endliches gerechnet jetzt können Sie weiter rechnen ich erspare mir mal die Schreibfehler die ich jetzt alle Macht und wenn Sie das den wo richtig auflösen kriegen Sie von C ist der hochmütige y 0 geteilt durch 1 plus er hochmütige -minus 1 mal y beide Sätze gehen oder Hochrechnung von Forderung nach und so und jetzt ist das was sozusagen die Hoffnung am Anfang war sozusagen fühlt wir haben gesagt wenn gesunde Lösung haben nur nur hier da muss der frühere muss der fühlen muss der Föhn da muss die Soße hübsch was man ist also noch tun muss ist nach einem für die Lösung ist sollte man jetzt tun weil da wir so ein bisschen an reingesteckt die wenig sicher sind aber das macht stellt man fest das passt man sollte man noch tun Markus so die Plausibilität was passiert wenn sie 10 gleich 0 setzen am 7. 1 wir neue gibt y nur durch 1 zumindest das ich mal gut aus geplant hat gut und tatsächlich sind dass die Funktion die Sie vorhin gesehen haben müssen die Lösung dieser Gleichung und was ich jetzt worauf ich es noch raus will ist das das das wir sind für eine Differentialtaxa eine Anfangswertproblem gemacht aber es scheint ein schönes Verfahren zu sein und das sind und sie sich zu überlegen wie Fiesta auf den die funkt die Gleichung noch aus sehen dass das Verfahren funktioniert im allgemeinen Sinne autonome Gleichung haben könnte das Verfahren immer versuchen warum was aber den Gebrauch und wir mussten das 11 durch die dividieren am Anfang dafür brauchen wir das das er von nicht nur ist aber wenn man darf man immer rechnen wir also dieser 1. Schritt den ich wirklich davon ab was das 11. und danach muss man integrale lösen es kann sein dass man die nicht lösen kann aber die Methodik hängt überhaupt nicht daran dass für dieses spezielle L 4 haben hier könnte einfach 11 Wohnungen stehen wir weil an der Stelle werden sie auf der der wieder entscheidende Schritt bei der ganzen Rechnung war dass wir substituieren kommt das hier das ist der entscheidende Kniff bei der ganzen auflöse reicht weil dadurch reduziert sich die Differenzialgleichung gesteht strich wodrin hergestellt noch die Differenzialgleichung offen einfach Integration bewusst welches weg wer hier ist immer die und an der Stelle aber sogar es geschrieben dass es für die Wort dass es so aussieht oder völlig anders das geht immer wenn autonome Gleichung haben es geht sogar noch ein bisschen mehr immerhin was dann passieren dann ist das das Integral hier nicht mehr explizit dass bald das kann sein aber trotzdem kann auf die Weise die Differenzialgleichung verschwinden lassen wir das Differenzialgleichung werden Integrationsproblem das ist schon mal ein großer Gewinn an Komplexität also Verlust an Komplexität es geht aber noch besser wir können noch mehr Stelle was aufbauen ob jene 1 steht oder folgende Funktionen T ist eigentlich egal damit diese ein 2 integriert würde auch funktionieren wenn ihr C-Quadrat steht steht halt hier 3. Joch 3 und das führt die Überlegung führt auf die Differenzialgleichung von getrennten veränderlichen eine ähnliche also was wir für Sie für die Rechnung brauchen eine ganz allgemeine DDR geht das nicht warum jetzt eine ganz allgemeine dgl nicht wenn Sie allgemeine dgl haben y strich =ist gleich von t und y dann steht hier von es und wovon es 1 also ziehen könnte die Gleichung genauso machen dann steht hier nicht der von von der sondern eher von 11 von von ist und jetzt funktioniert immer die nicht mehr wenn Sie jetzt Exterieur von es substituieren dann ist warum strich von SDS wie der X und hier haben sie aber hier haben sie erfunden auch -minus 1 von gibt und X warum darf ich invertieren ja das geht vor die Hunde die die Magie hier lebt davon dass hier kein es ist das ist entscheidende Punkt so und deswegen kann man dieses ganze Verfahren aufbohren Vergleichung der folgenden Foren also das Verfahren können sie verallgemeinern diese Gleichung der folgenden fahren werden der Landstrich von T bis gleich die von C mal H von y von T also diese rechte Seite 11 die davon zehren von y abhängen aber sie muss in der Form von y abhängen und y dass die multiplikativ getrennt sind deswegen von getrennten veränderlichen also jetzt die Trennung wir die rechte Seite muss eine Funktion in sein meine Funktionen y wenn Sie das haben dann können Sie die Rechnung hier machen dann können Sie strich gleich diese rechte Seite durch H dividieren haben sie und das Haar von stehen und die von ja dann stell dir sehen wir gerade begehen und es steht das entscheidende Hafen also man kann dann genau die gleiche Rechnung machen machen es kurz und Sonne dgl wenn man von getrennten verinnerlicht mal die veränderliche y und 10 sind getrennt voneinander durch Emails und dann sollen die geändert da muss man jetzt nur wieder die gleiche Vorsichtsmaßnahmen wie vorhin treffen das von y von T soll bitte schön nicht nur sein aber wenn sie das haben dann können Sie jetzt wieder die gleichen durch das H dividieren genau die gleiche den Thron des kleinen Schritte wieder drüben im allgemeinen Fall dann kriegen Sie y strich von T durch von y von CD gleich der von für alle 10 integrieren Sie die gleich und wieder hoch kriegen Sie Integral vom Anfangszeitpunkt hin 0 bis 10 über von 1. S =ist gleich Integral Phontainebleau y spricht von S durch H von y von S und jetzt wenn nötig der dass die Magie läuft jetzt geht es wieder genauso dar abgesehen davon dass es hat es als dass das FSH das kann man nie wieder substituieren das Integral von y 0 bis von y von C über 1 durch H von XTX und die Methode der getrennten veränderlichen sagt im Prinzip hat man jetzt durch diesen steht jetzt wieder das Problem der Differenzialgleichung zurückgeführt auf 2 Integral und so unangenehm integralen allgemein sind wenn man mit Differenzialgleichung aus Indien zurück geführt hat ist man zufrieden was Besseres kann nicht für sie vor was sich natürlich die Frage bleibt es die braune Stammfunktion von fungieren sie braune Stammfunktion von einst ich hab warum aber wenn Sie die haben dann ist vor dem es nur noch eine nur noch 1 Problematik gesetzt dann müssen sie nämlich die welche er sich ergeben die gleichen noch y von The Aufschlüsse keinem allgemein auch noch ein Problem sein aber wenn Sie sozusagen dieses Integral bestimmen können und dieses und dann kriegen Sie die Gleichung für y von ziehen die können auflösen und dann gibt es den da das ist die Idee dieses Ansatzes unter funktioniert immer also man kann immer versuchen wenn die Gleichung diese Form und darunter fallen wieder trügen insbesondere alle autonomen Probleme dann ist das die einfach 1 das heißt es gibt die Möglichkeit also nur Probleme oder auch solche mit gehe von T zu lösen wir werden ich werde ihn in der nächsten Vorlesung das noch als Satz schreiben aber auch noch auszuweisen als dass das wirklich unter gewissen Voraussetzungen auch funktioniert und damit aber den 1. erhalten ja nicht anders Lösungs Resultat die gewisse Klasse von Gleichung und mit darauf bauen wir dann aber darauf gut 2. erstmal vielen Dank für die Aufmerksamkeit und ist nix mehr
Mathematische Größe
Autonome Differentialgleichung
Gravitation
Verbiegung
Extrempunkt
Physik
Klasse <Mathematik>
Besprechung/Interview
Anfangswertproblem
Nummerierung
Gleichungssystem
Differentialgleichung
Mathematische Logik
Skalarfeld
Variable
Ungleichung
Spieltheorie
Verallgemeinerung
Ordnung n
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Parametersystem
Randbedingung <Mathematik>
Gleichung
Vektor
Zahl
Gewöhnliche Differentialgleichung
Stammfunktion
Anfangsbedingung
Differentialgleichungssystem
Geschwindigkeit
Folge <Mathematik>
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Rand
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Gleichung
Differentialgleichung
Vektor
Teilmenge
Mittelungsverfahren
Lösung <Mathematik>
Freiheitsgrad
Variable
Elementare Zahlentheorie
Anfangsbedingung
Differentialgleichungssystem
Ordnung n
Ableitung <Topologie>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Resonanz
Punkt
Momentenproblem
Physik
Tiefe
Fortsetzung <Mathematik>
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Differentialgleichung
Freiheitsgrad
Quadrat
Ungleichung
Eigenwert
Fächer <Mathematik>
Existenzsatz
Minimum
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Inklusion <Mathematik>
Grundraum
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Deutsche Mathematik Olympiade
Erweiterung
Endlichkeit
Kraft
Abbildung <Physik>
Gleichung
Vektor
Lösung <Mathematik>
Differentialgleichungssystem
Mathematiker
Bindung <Stochastik>
Wald <Graphentheorie>
Zusammenhang <Mathematik>
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Fortsetzung <Mathematik>
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Topologie
Null
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Index
Lösung <Mathematik>
Menge
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Axiom
Auswahlaxiom
Variable
Quadrat
Klasse <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
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Differentialgleichung
Resonanz
Punkt
Gleichungssystem
Gleichung
Differentialgleichung
Richtung
Integral
Lösung <Mathematik>
Variable
Ende <Graphentheorie>
Nullstelle
Differentialgleichungssystem
Stationäre Lösung
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Aggregatzustand
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Momentenproblem
Anfangswertproblem
Gleichung
Integral
Lösung <Mathematik>
Summe
Polynom
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Substitution
Punkt
Wald <Graphentheorie>
Plausibilität
Klasse <Mathematik>
Anfangswertproblem
Auflösung <Mathematik>
Exponentialfunktion
Biprodukt
Gleichung
Differentialgleichung
Integral
Summe
Lösung <Mathematik>
Ungleichung
Stammfunktion
Homogenes Polynom
Funktion <Mathematik>
Hochrechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 2: Zentrale Begriffe und Trennung der Variablen
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 02
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30766
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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