Herzlich willkommen, wir haben in der letzten Vorlesung ein paar Beispiele gemacht und dann allgemein eingeführt, was eine Differentialgleichung ist. Für den schnelleren Einstieg in die Vorlesung habe ich die entscheidenden Definitionen, die

am Schluss da stand, nochmal schnell auf hier auf eine Folie gehauen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der neben der Funktion y und in der Variablen t auch die Ableitungen von y vorkommen dürfen. Wenn man die Gleichung hat, kann man sie immer so schreiben, dass alles auf einer Seite

steht, dann haben wir irgendeine Funktion von t, y und den Ableitungen gleich Null. Die höchste Auftreten der Ableitungen ist die Ordnung und wir hatten da noch so weitere Begriffe eingeführt, Skala, Autonom und so weiter. Ich will jetzt einfach nochmal die Beispiele aus dem ersten Kapitel durchgehen und jeweils einsortieren, in welchem, was unsere Standardbeispiele jeweils Vergleichungen

sind. Fangen wir an, also das ist in der Nummerierung hier das Beispiel 2-3, das greift nochmal auf, die Beispiele aus dem ersten Kapitel, also zum Beispiel unser erstes Teil, die

einfachste einfache Wachstum, y' ist µ mal y, in dem Fall haben wir eine Gleichung der Ordnung 1, das ist eine explizite Gleichung, denn sie lässt sich, sie ist schon so geschrieben als höchste Ableitungsordnung ist gleich der Rest, explizit heißt einfach, dass

man die Gleichung auflösen kann nach der höchsten Ordnung, das ist nicht selbstverständlich, wenn wir aber hier fast immer voraussetzen, dann ist es eine autonome Differential-Gleichung, autonom bedeutet, dass die rechte Seite nicht explizit nur von der zeitvariablen

t abhängt, sondern nur von y, y' und so weiter, das ist hier der Fall, es ist eine skalare Gleichung, y ist eine Zahl, also y von t ist eine Zahl, ist kein System, y ist kein Vektor, so in dem Fall sind also in dem Fall, den wir die 85% der Vorlesung

anschauen werden, explizite Differential-Gleichung der Ordnung 1 und das kleinen f ist in dem Fall einfach die Funktion µ mal y, da sieht man auch noch mal, dass eine autonome Gleichung ist, weil hier rechts steht, solange man das Argument von y weglässt kein t. So,

zweites Beispiel, was wir in der ersten Vorlesung hatten, war das logistische Wachstum, y' ist µ mal y von t mal 1 minus y von t, das ist immer noch eine Gleichung erster Ordnung, die ist explizit autonom skalar, ist also genau vom gleichen Typ wie die

obere, die Funktion f ist ein bisschen komplizierter, aber es ist immer noch autonom, die Funktion f ist f von t, y ist µ, y mal 1 minus y, auch hier kein explizites t drin, also eine autonome Gleichung. So, was hatten wir dann? Dann hatten wir den

einfachen freien Fall, y' ist gleich minus g, das war das dritte Beispiel in der Einleitung, hier haben wir jetzt eine Gleichung der Ordnung 2, die höchste Auftreten der

Ableitung ist eine zweite, es ist immer noch eine explizite Gleichung, sie ist nach der noch skalar und das kleine f oder nein in dem Fall haben wir jetzt ein Groß f tilde,

wenn man der Notation von der letzten Vorlesung bleibt, eine gleiche zweite Ordnung, Groß f tilde von t und y' ist in dem Fall einfach die konstante Funktion minus g, in dem Sinne haben

wir auch gesehen eine sehr einfache Gleichung, weil sie sich einfach durch, einfach sagt man jetzt, nachdem man dann sich semesterlang mit der Integration beschäftigt hat, aber durch hoch integrieren lösen lässt. So, dann hatten wir das Ganze verfeinert und den freien Fall betrachtet, wenn die Gravitation mit dem Abstand kleiner wird und waren gelandet

bei y' ist minus die Gravitationskonstante gamma hoch m durch y von t², auch hier wieder eine Gleichung zweiter Ordnung, autonom explizit, immer noch skalar, aber eben mit

einem etwas komplizierteren f tilde, f tilde ist t, y, y' von t, y, y' ist jetzt hier eben minus gamma m durch y². Also sie sehen jeweils bei unseren Verallgemeinerungen, also

Verkomplizierungen des Modells von a nach b oder von c nach d haben wir immerhin nur so fein verfeinert, dass wir in der gleichen Klasse von Gleichungen geblieben sind jeweils. Dann hatten wir am Schluss noch die Lotka-Volterra-Gleichungen als Beispiel für ein System, also Lotka-Volterra-System,

das ist jetzt wieder ein System erster Ordnung gewesen, tauchen nur erste Ableitungen auf, es war explizit aufgelöst, es ist auch autonom, keine Sorge, wir werden auch

noch nicht autonome Gleichungen sehen, auch wenn das jetzt hier bisher alle autonom sind, aber es ist eben nicht skalar, sondern ein System, also das was in der Definition die Größe d war, ist hier zwei, wir haben zwei Größen, die Räuber und die Beutepopulation, die sich gegenseitig beeinflussen und die rechte Seite f von t und y, y ist jetzt der

Vektor, y1 ist die Beutepopulationsgröße, y2 ist die Räuberpopulationsgröße und das heißt wir kriegen hier eben auch ein System von zwei Gleichungen, F-Schlange ist alpha mal y1 minus Beta mal y2 y1 minus Gamma mal y2 plus Delta mal y1 y2, das war

dieses System und y ist hier eben der Vektor y1 y2, so in dem Sinne passen alle unsere

bisher betrachteten Beispiele in die Definition hier rein, es sind natürlich gibt es noch viel mehr Möglichkeiten, wir hatten bisher nur autonome Gleichungen, wir werden aber auch noch reichlich nicht autonome kennenlernen und wir hatten bisher nur Ordnung 2, das

liegt zum einen daran, dass es natürlich in mehr Ordnung man macht, umso komplizierter wird, aber man kann auch sagen, zumindest wenn man in die Anwendungen schaut, Gleichungen höherer Ordnung kommen vor, sind aber relativ selten, also die meisten Gleichungen, die irgendwo auftauchen, in der Physik oder in den Ingenieurwissenschaften kommen

aus der goldenen Regel der Mechanik und da hat man eben FS-Massamer Beschleunigung und Beschleunigung ist die zweite Ableitung, also eine zweite Ableitung ist ganz typisch, es gibt Gleichungen vierter Ordnung, zum Beispiel taucht das auf, wenn man einen fest eingespannten Balken anschaut und die Verbiegungsfunktion dieses Balkens, wenn da jemand drüber läuft, wenn man die Gleichung modelliert, landet man standardmäßig

bei einer gleichen Vierter Ordnung, der sogenannten Balkengleichung, aber es sind also Einzelbeispiele, meistens landet man, bis zur zweiten Ordnung ist so der Normalfall. So, damit haben wir den Begriff der Differentialgleichung, jetzt hatten wir bei den ersten Beispielen gesehen, so eine Differentialgleichung kommt meist

als Gleichung daher und wenn man sie dann löst, stellt man fest, man hat freie Parameter, was total logisch ist, weil die Gleichung nur die Entwicklung des Systems beschreibt und solange man nicht einmal sagt, das System ist am Anfang in dem und dem Zustand, dann weiß man nicht, wie es sich entwickelt. Das ist die sogenannte

Anfangsbedingung, hatten wir bei allen diesen Beispielen gesehen, die taucht da auf und hat normalerweise auch eine Bedeutung, eben die Startpopulation mit der man losläuft. Wenn man jetzt eine Differentialgleichung zusammen mit einem Anfangswert betrachtet, dann nennt man das ein Anfangswertproblem, das ist der

Differentialgleichung. Ich sage jetzt, wenn man realen Leben löst, hat man eigentlich immer damit zu tun, dass man Differentialgleichung hat plus anfangs oder sonstige Randbedingungen, die eben die Lösung dann eindeutig festlegen. Man sieht, wir haben auch schon bei diesem ganz einfachen Beispiel, freier

Fall gesehen, die Differentialgleichung sind Verallgemeinerungen des Problems Stammfunktion lösen, Stammfunktion finden und wenn sie daran denken, da war es auch ganz typisch, wenn sie Stammfunktionen finden, kriegen sie dann Integrationsvariablen, die übersetzen sich in freie Parameter des Systems, die normalerweise durch Anfangs- oder Randbedingungen festgeknallt werden.

So, also wir nehmen jetzt unsere Differentialgleichung her und bauen da noch einen Anfangswert dazu, das heißt wir haben, erst mal alles dastehen, wie es bei der Differentialgleichung war, wir haben die Größe des Systems, die Größe der Länge des Vektors y, die Anzahl der Gleichung, nein die Anzahl der Gleichungsystem, die Größe des

Vektor y, die Ordnung der Differentialgleichung, wir haben einen Intervall in R und wir haben wieder eine Teilmenge d, auf der nachher die Funktion groß f definiert ist, in R hoch d, in i Kreuz R hoch d hoch n plus

eins und eine Funktion f, das ist die rechte Seite der Differentialgleichung auf d definiert nach rk und was jetzt dazu kommt, das ist das, was man braucht, um die Differentialgleichung hinzuschreiben, also f von t, y von t, y Strich von t bis y Interableitung von t ist gleich 0,

das ist die Differentialgleichung und was jetzt dazu kommt, sind die Anfangsbedingungen und die schreibt man üblicherweise vor eben an einer Stelle, zu einem gewissen Zeitpunkt t0 und dann, wenn man eine Gleichung Enter-Ordnung hat, werden wir feststellen, ist die richtige

Anzahl von Anfangsbedingungen, dass man n Anfangsbedingungen braucht, war in allen diesen Beispielen da oben auch so, wenn Sie die Wachstumsgleichungen anschauen, die waren erster Ordnung, da hatten wir jeweils ein Freiheitsgrad, nämlich die Startpopulation, wenn Sie die Gleichungen zweiter Ordnung nehmen, c und d, das war der freie Fall, da

hatten wir zwei Freiheitsgrade, nämlich den Startpunkt, also in welchem Abstand zur Erde startet mein fallendes Ding und zweitens mit welcher Geschwindigkeit startet das, ich kann das ja noch nach oben werfen, das ist eine zweite Anfangsbedingung, das ist ganz typisches Verhalten, für jede Ordnung in der Gleichung kriegen Sie eine Anfangsbedingung, am besten macht man sich das klar oder ganz

typisches Verhalten, wie man es vom integrieren auch kennt, wenn ich fünfmal hoch integriere, kriege ich fünf Konstanten, so das heißt wir brauchen noch n Anfangswerte, die bezeichnet man üblicherweise mit y 0 bis y n minus eins, wir werden gleich sehen warum, die sind in RD und damit ich die vernünftig in das Groß F einsetzen kann, müssen

sie noch zusätzlich im Definitionsbereich liegen, das heißt der Vektor t, y 0, y 1 bis y n minus eins, der muss bitteschön in D liegen, so und dann nennt man das folgendes

Anfangswertproblem, Differenzialgleichung zusammen mit der Bedingung, dass die J-Ableitung von y an der Stelle t 0 genau das y ist, also wir fordern y an der Stelle t 0 ist y 0, y 0 ist die Startbedingung für die Null der Ableitung für die Funktion

selbst, y 1 ist der Startwert für die erste Ableitung, zweite Ableitung bis zur n minus ersten Ableitung, also hier das hier für j gleich 0 bis n minus eins und damit hier j und j steht, hat man hier eben, nummeriert man hier üblicherweise von 0 bis n minus eins und nicht von 1 bis n. So, das Ding, jetzt der Satz

noch nicht zu Ende, dann heißt dieses Ding hier ein Anfangswertproblem, also ein Anfangswertproblem ist immer eine Differenzialgleichung zusammen mit der richtigen

Anzahl Anfangswerte, Anfangswertproblem wird in der Vorlesung sehr oft auftauchen, deswegen habe ich jetzt immer AWP und diese Werte, Vektoren oder Zahlen, je nachdem, was das D ist, y 0 bis y n minus eins, das nennt man die Anfangswerte. So, das einfach nur als Begriff. Wir haben jetzt

Differenzialgleichung und wenn wir den Differenzialgleichung noch Anfangswerte dazugeben, nennt man das ein Anfangswertproblem. So, das war jetzt der ganz allgemeine Fall, Gleichung und Enterordnung, meinetwegen sogar nicht explizit alles, was man will. Und ich hatte schon

gesagt, mit dem Fall werden wir uns nur am Rande beschäftigen, weil man den Fall von Gleichung und Enterordnung zurückspielen kann auf Gleichung und Ersterordnung und deswegen werden wir ab jetzt im übersichtigeren Fahrwasser bleiben und Gleichungen Ersterordnung anschauen. Das hat

den Nachteil, dass Sie noch ein bisschen auf die Lösung von dem Problem mit dem freien Fall warten müssen, weil der freie Fall nun mal zweite Ordnung ist, aber auch den

werden wir noch deutlich vor Weihnachten in den Griff kriegen. So, also nochmal offiziell ab jetzt, zumindest für die nächsten paar Wochen, Ordnung eins und nun noch

explizite Gleichung. Das heißt, unsere DGL hat jetzt die übersichtlichere Form Y' ist F von T und Y von T und das Anfangswertproblem reduziert sich auch, also erstens auf

die Differential-Gleichung mit übersichtlicherer rechter Seite und wenn Sie die Gleichung Ersterordnung haben, dann brauchen Sie nicht so furchtbar viele Anfangswerte, dann geht das hier von Y0 bis Y0, dann brauchen Sie nur ein, also Y von T0 bis Y. Das ist das Anfangswertproblem,

das in den nächsten Vorlesungen jetzt massiv durchgekaut wird und danach zeige ich Ihnen dann, wie Sie kompliziertes Zeug darauf zurückspielen können. Aber das ist jetzt unser Hauptdarsteller für die nächsten Vorlesungen. Und jetzt kann man natürlich einfache Gleichungen oder komplizierte Gleichungen, das hängt jetzt davon ab, was Sie hier für ein F nehmen. F ist hier

eine Funktion. Wenn F von T, Y einfach null ist, ist eine sehr einfache Gleichung. Wenn F von T, Y gerade so mal auf ein Blatt Papier passt, dann ist halt eine komplizierte Gleichung. So, warum schreibe ich das nochmal hin? Weil ich jetzt einen Begriff einführen will, von dem

man sagt, muss man das überhaupt definieren, ist doch total klar, ist doch eben klar, was eine Lösung ist. Ja, also ich will jetzt definieren, was heißt Lösung von so einem Problem. Eine Lösung ist halt eine Funktion, die ich da einsetze und dann wüsste ich das. Ja, aber da gibt's so ein paar Subtilitäten zu beachten und deswegen ist es gut, in so einem Kurs ein für allemal am Anfang festzuknallen,

was ist, was heißt für mich Lösung. Größer, ja. Also ich kann's versuchen. Sie müssen mich wahrscheinlich immer mal wieder drauf treten. Also Definition 24. Interessant. Wir haben eine Inflation von 24. Im

Strip steht 25 und hier geht's auch mit 26 weiter. Dann gehen wir mal davon aus, dass die 5 ganz gut ist. Danke. So, also wir haben so ein Ding hier, das heißt, wir haben wieder ein Intervall in R,

auf dem die Gleichung lebt, wo die T's herkommen. Wir haben einen Definitionsbereich von der Funktion F, der ist Teilmenge von I Kreuz Rd. I für das T hier vorne, Rd für das Y. Ich will

Systeme zulassen. Es ist wichtig, dass wir Systeme zulassen, weil, wie gesagt, wir können nach Gleichung höherer Ordnung auf Systeme, erste Ordnung reduzieren. Also müssen wir ganz dringend Systeme mit behandeln. So und dann haben wir einen Anfangswert. Also ein paar T0, Y0 aus diesem D und eine rechte Seite F, eben

auf D definiert nach Rd. Wenn wir das alles haben, dann können wir so ein Anfangswertproblem hinschreiben. Und was heißt jetzt eine Funktion löst die Gleichung oder löst das Anfangswertproblem? Also eine Funktion U definiert auf J mit Werten

in Rd heißt Lösung unserer DGL von oben, falls die folgenden Dinge gelten. Erstens dieses J muss eine Teilmenge von I sein und

ein Intervall. Intervall an der Stelle nochmal betont heißt in dieser Vorlesung immer, dass ein Intervall, dass es mindestens zwei Punkte enthält, also ein echtes Intervall ist. Leere oder einpunktige Intervalle verbiete ich strikt, sonst muss ich jedes Mal hinschreiben.

Ein nicht triviales Intervall, da habe ich keinen Bock drauf. Also grundsätzlich von jetzt bis Mitte Februar oder bis nach der Versur hat ein Intervall immer mindestens zwei Punkte. Also das J, auf dem das U definiert ist, muss eine Teilmenge von I sein. Ich erlaube hier ganz bewusst, dass das U nicht auf ganz I definiert ist. Das ist die erste

Subtilität des Lösungsbegriffs. Also ich habe eine Gleichung, die ist definiert für irgendwelche Variablen T, das F, meinetwegen zum Beispiel ist das F für T aus ganz R definiert. Dann erlaube ich der Lösung trotzdem auf einem kleineren Definitionsbereich definiert zu sein. Wir

werden auch gleich sehen, dass das nötig ist, dass man nämlich sonst ein Problem mit dem Lösungsbegriff bekommt. Was muss man noch haben? Ab jetzt kommen die Sachen, die eher offensichtlich sind. Damit U so eine Gleichung lösen kann, sollte man es differenzieren können. Wenn ich U Strich nicht kenne, wird es schwer, das da einzusetzen. Also das U sollte bitte schön stetig differenzierbar auf J sein.

Man könnte jetzt noch darüber verhandeln, ob stetig vielleicht reicht auch differenzierbar. Ich will es jetzt für die Vorlesung so machen, damit kommen wir am besten durch. So, dann muss ich, damit U die

Gleichung lösen kann, U auch hier einsetzen können. Das heißt für jedes T muss T U von T im Definitionsbereich von F liegen. Also das Part T U von T muss zu D gehören für alle T in J. Na ja und schließlich, wenn ich sage, Lösung soll es gefälligst lösen, also U Strich von T gleich F

von T U von T für alle T in J. Und entscheidend ist eben so ein bisschen, also wo man aufpassen muss, ist Lösung heißt nicht nur das, sondern Lösung heißt das. Wobei das und das wie die zweite und der dritte irgendwie klar ist, sonst macht das keinen Sinn. Und auf das J kommen wir gleich zu sprechen.

So, das ist eine Lösung von der Differenzialgleichung. Wenn man jetzt zusätzlich noch hat, dass auch das Anfangswert, der Anfangswert Sinn macht, also das heißt, dass T0 soll bitteschön in J liegen und U von T0 ist gerade Y0, dann heißt das U

Lösung vom Anfangswertproblem. So, jetzt bin ich wieder klein geworden. So, das ist der zweite Teil ist

relativ offensichtlich. Die Hauptsublitalität ist dieses J. Und damit Sie mich jetzt nicht zu lang fragen, warum ich dieses J da erlaube, will ich das gleich auch mit einem Beispiel begründen. Aber zunächst brauchen wir noch zusammen mit Lösung zwei, drei

weitere Begriffe. Es ist eben erlaubt, dass die Lösung auf einem kleineren Definitionsbereich lebt, als die Gleichung eigentlich zulässt. Jetzt kann ich natürlich sagen, ja, vielleicht gibt es ja auf verschiedenen Definitionsbereichen verschiedene Lösungen. Es kann auch durchaus sein, wenn wir erleben, dass so eine Differenzialgleichung

uns sowieso, aber so ein Anfangswertproblem mehrere Lösungen hat. Und jetzt gibt es zwei Qualitäten von mehrere Lösungen. Es gibt den Fall, dass zwei Lösungen wirklich verschieden sind. Im Sinne von, man bekommt was anderes raus. Aber in der Mathematik sind ja zwei Funktionen schon verschieden, wenn sie nur einen verschiedenen Definitionsbereich haben, aber sonst

gleich sind. Und sowas ist nicht so wirklich ganz verschieden. Also natürlich kann ich, wenn ich so eine Lösung habe, wenn ich eine Lösung, also hier ist mein T0, mein I ist hier und jetzt habe ich eine Lösung auf diesem J, dann kann ich natürlich sagen, ich gucke mir die Lösung nur auf dem da an, dann habe

ich eine neue Lösung, weil das ist eine andere Funktion. Der Definitionsbereich ist anders. So ein Ding will ich irgendwie nicht als echt andere Lösungen bezeichnen und deswegen gibt es dafür einen Begriff. Wenn sich zwei Lösungen nur dadurch unterscheiden, dass die eine eine Einschränkung von der anderen ist, also wenn ich eine andere

Lösung habe, U-Schlange von J- Schlange nach Rd, also das ist ebenfalls eine Lösung und dieses

J-Schlange ist eine Erweiterung von dem J und wenn ich das U-Schlange auf J einschränke, kommt genau U raus. Das ist die Situation. Gut, jetzt das Innere, das J und das Äußere, das J-Schlange, aber ich habe eine Lösung und noch eine Lösung, die sich nur dadurch unterscheiden, dass die eine einen größeren Definitionsbereich hat, aber ansonsten sind sie gleich. Dann

nennt man das eine eine Fortsetzung von der anderen, also dann heißt das U-Schlange eine Fortsetzung von U. Ich hoffe, der Begriff ist relativ selbsterklärend. Man setzt das U eben zu einer weiteren Lösung fort. Jetzt ist die Frage,

wenn ich so eine Lösung habe, kann ich die unter Umständen fortsetzen? Man würde davon ausgehen, dass man vielleicht irgendwann mal an die Grenzen seiner Möglichkeiten kommt. Irgendwann kann man nicht mehr fortsetzen und so eine so genannt, das nennt man eine maximale Fortsetzung oder auch maximale Lösung. Also ich nenne U eine maximale Lösung von meinem

Differentialgleichung oder von meinem Anfangswertproblem. Wenn es keine echte Fortsetzung mehr gibt, also falls für jede Fortsetzung U-Schlange von J-Schlange nach RD von U

gilt, dass die Fortsetzung schon gleich U ist, also J-Schlange gleich J und U-Schlange gleich U. Das sind maximale Lösungen. Es gibt keine echte Fortsetzung mehr. Jede Fortsetzung ist schon U.

Und wenn ich in der Situation bin, dann nennt man das J das maximale Existenzintervall. Und das ist was, was man immer sehr gern kennen würde. Also wenn man so eine Differentialgleichung löst, ist

das, was man üblicherweise sucht, eine maximale Lösung. Man setzt eben so lang fort, wie man kann. Und wenn ich später im Verlauf der Fortsetzung sage, irgendeine Gleichung hat genau eine Lösung, dann ist damit immer im Unterton genau eine maximale Lösung gemeint. Weil natürlich können sie jede

Lösung, wenn sie die Lösung haben, können sie die immer einschränken. Auf kleinere Gewallen kriegen 100.000 verschiedene Lösungen. Aber das ist nicht das, was ich eine andere Lösung nenne. Das heißt, diese Aussage, es gibt genau eine Lösung, bezieht sich immer darauf, es gibt genau eine maximale. Und einschränken geht immer, aber das ist ein langweiliger Prozess.

So, jetzt letzter Begriff an der Stelle, der auch damit zu tun hat, dass, wie ich Ihnen gleich zeigen werde, dieses J hier durchaus echt kleiner sein kann als das I. Also dass hier eine strikte Inklusion sein kann. Und wenn so was auftritt, ist das natürlich bäh.

Und wie so oft in der Mathematik, wenn man was hat, was einen nervt, dann gibt man wenigstens allen denen, die diese doofe Eigenschaft nicht haben, einen schönen Namen. Und das ist die sogenannte globale Lösung. Also wenn ich eine Lösung hab, für die wirklich J gleich I ist, mehr als I geht nicht, weil F ist

nicht offen was größerem als I definiert. Ab da macht die Gleichung keinen Sinn mehr. Aber wenn ich das größtmöglich hab, also J gleich I, dann nennt man das U eine globale Lösung. Die existiert dann im gesamten Universum, dass die von der Gleichung erfasst wird. Also man die Gleichung macht

außerhalb von I keinen Sinn, aber im gesamten Universum der Gleichung existiert die Lösung und im Sinne ist sie eine globale Lösung. Und wenn Sie eine nicht globale Lösung haben, dann existiert dafür das Gegenteil. Dann sagt man oft, das ist eine lokale Lösung. Das ist aber jetzt kein Begriff,

der ganz explizit definiert ist, sondern benutzt man so im Gegenzug zu globale Lösung. So, jetzt hab ich da stundenlang darauf rumgeritten, dass das J im Allgemeinen nicht I ist. Und dann kann ich Ihnen jetzt zeigen, dass das wirklich passiert und dass das sogar bei

sehr einfachen Gleichungen passiert. Bei einer Gleichung, für die wir überhaupt nichts rechnen müssen, weil die Lösung sich wieder durch das berühmte System des kreativen Rathens finden lässt. Wir schauen uns das folgende Anfangswertproblem an. Also das ist Beispiel 2.7.

Wir betrachten ein Anfangswertproblem. y' von t, die Ableitung von y ist gleich 1 plus y² von t. Und hier ist tr, tnr. Das ist eine autonome Gleichung. Dann kann ich hier das tnr

mal hinschreiben. y von 0 will ich 0. Das ist ein Anfangswertproblem. Gesucht ist eine Funktion, die diese Gleichung erfüllt. Also Ableitung ist 1 plus die Funktion zum Quadrat. Und an der Stelle 0 sollte 0 sein. In dem Fall haben wir also hier I ist r.

Es gibt auch überhaupt kein Grund für I was kleineres. Also wenn Sie die Gleichung sehen würden und ich Ihnen sag, sagen Sie mir, was man da von I hinschreibt. Gibt es auch keinen Grund, etwas einzuschränken. Die rechte Seite hängt gar nicht von t ab und 1 plus y² ist sowas von brav, beliebig oft differenzierbar.

Egal was, mittlerweile sogar holomorph. Also wisst, was Sie wollen. Also gibt es überhaupt keinen Grund, hier etwas einzuschränken. Der Grund, hier etwas einzuschränken, also für die Gleichung gibt es auch keinen Grund, aber bei der Lösung kriegen wir ein Problem. Das ist jetzt hoffe ich, dass Sie,

dass Sie vielleicht schon eine Idee haben, was passieren könnte, was die Lösung ist. Ich will zuerst noch Ihnen eine Info geben, weil Sie das im Moment noch nicht sehen können. Da brauchen wir noch die nächsten paar Vorlesungen zu. Das Ding ist wirklich eindeutig lösbar. Liegt daran, dass die rechte Seite so wunderschön ist. Also es gibt wirklich nur eine Lösung und diese Lösung

hoffe ich, lässt sich erahnen, weil so eine Funktion, deren Ableitung 1 plus die Funktion quadrat ist, die kennen Sie alle, das ist der Tangenz. Wenn Sie den Tangenz von T ableiten, dann ist die Ableitung 1 plus Tangenz quadrat.

Das ist 1 plus y quadrat und der Tangenz hat sogar die schöne Eigenschaft, dass Tangenz von 0,0 ist. Also Tangenz ist wirklich eine Lösung von unserem Anfangswertproblem und ich habe Ihnen schon verraten, Sie brauchen nicht weitersuchen, das sind alle. So wie sieht es jetzt aus mit unserem Existenzintervall?

Tangenz haben Sie hoffentlich alle einigermaßen im Kopf. Pi halbe minus Pi halbe, naja also eine Funktion soll es noch werden. So, der ist nicht auf R definiert

und da können Sie auch mit fortsetzen überhaupt nichts mehr machen. Das ist die eindeutige Lösung von dem Problem und wenn Sie noch Pi halbe kommen, fliegt Ihnen die Lösung in die Ohren. Und was passiert hier? Im Prinzip sieht man dieses Verhalten der Gleichung

ja überhaupt nicht an. Also das J, sogar das maximale J ist hier minus Pi halbe Pi halbe und mehr ist nicht. Jetzt können Sie sagen, da hinten gibt es den Tangenz doch auch immer noch. Also ich meine, da gibt es ja noch mehr Äste. Naja, aber unsere Definition von Lösung ist, auch sinnigerweise, wir hätten gern,

dass unsere Lösung auf dem gesamten Existenzintervall stetig differenzierbar ist, sonst macht die Differenz eigentlich keinen Sinn. An Pi halbe haben Sie ein Problem. Sie kommen an Pi halbe nicht vorbei. Wenn Sie das Anfangswertproblem lösen wollen, muss der Anfangszeitpunkt des T0 in J liegen. Also zumindest der Punkt hier muss mal in J liegen. Sie kommen also auch irgendwie

aus dem Intervall hier nicht raus. Die maximale Lösung von Ihrem Gleichungssystem, von Ihrem Anfangswertproblem da oben ist einfach dieser Ast vom Tangenz und nicht mehr. Da kommen Sie auch nicht drüber raus. Also das ist wirklich das maximale Existenzintervall. Und was hier passiert ist Folgendes. Wenn Sie sich,

wenn man sich mal überlegt, ganz ohne zu wissen, was die Lösung ist, was passiert denn hier? Was sagt denn diese Gleichung? Die Gleichung sagt, meine Funktion startet an der Stelle Null. Wenn ich mal hier oben Null einsetze, dann kriege ich die Ableitung in Null raus. Dann kriege ich y' von Null ist 1 plus naja y' von Null ist Null,

also y' ist 1. Ich sehe also an der Gleichung schon meine Lösung startet in Null und sie startet mit einer Steigung von 1. Dazu muss ich überhaupt nicht wissen, was rauskommt. Das sehe ich an der Gleichung. So und jetzt passiert Folgendes. Dadurch, dass die Ersteigung mit 1 startet, wird die positiv, wird die größer. Wenn die Funktion größer wird,

dann steht hier die Ableitung ist 1 plus der Funktionswert Quadrat. Das heißt, die Ableitung wird dann auch größer als 1. Das heißt, die Funktion wächst steiler. Wenn sie aber steiler wächst, wird sie schneller größer. Wenn sie schneller größer wird, wird die Ableitung schneller größer.

Was Sie hier sehen ist eine klassische Resonanz in der Physik oder das pusht sich gegenseitig in die Katastrophe hoch. Und zwar in endlicher Zeit. Die Funktion wird größer, dadurch wird die Ableitung größer, dadurch wird die Funktion größer, dadurch wird die Ableitung größer und das pingpongt so schnell hin und her,

dass die Funktion in endlicher Zeit explodiert. Klassisches Explosionsverhalten und bei Pi halbes Schluss. So ein Phänomen hat man bei Differenzialgleichungen oft. Manchmal will man es, oft ist es ein Nerv. Und so ein Phänomen nennt man einen Blow-Up,

eine Explosion, die Funktion explodiert. Das ist ein Blow-Up. Und das sind unangenehme Situationen üblicherweise, aber die kommen eben vor, sogar bei so einer einfachen Gleichung. Und deswegen darf man nicht davon ausgehen, wenn man eine Gleichung hinschreibt, die wunderbar brav ist, eben hier i gleich r sinnigerweise,

dass da immer eine Lösung rauskommt, die auch auf ganz R definiert ist. Wird im Allgemeinen nicht passieren, sobald Sie so ein Resonanzphänomen haben, dass die Funktion sich selbst hochschaukelt, kann Ihnen die jederzeit in die Ohren fliegen, und zwar in kürzester Zeit. Und das ist der Grund,

warum man, wenn man die Lösung definiert, dieses Integral J einführen muss, weil man eben im Allgemeinen nicht erwarten kann, dass die Lösung für alle Zeiten existiert. Und wenn sie für alle Zeiten existiert, dann ist das was Schönes. Und dann nennt man diese Gleichung, dann nennt man die Lösung eben globale Lösung.

So, hier, genau. Die DGL hat jetzt, als Wiederholung für die anderen, trotzdem noch unendlich viele maximale Lösungen, unendlich viele maximale Existenzintervalle,

weil ich kann natürlich jetzt sagen, ich nehme als Anfangswert nicht y von 0 ist 0, sondern y von Pi ist 0. Wenn ich den Anfangswert y von Pi gleich 0, dann kriege ich den Tangensast hier. Oder ich kann y von Pi plus Pi viertel ist 1, dann kommt das Gleiche raus.

Aber Sie können durch Wahl des Anfangswertes jeden einzelnen Tangensast ansteuern. Trotzdem ist das Anfangswertproblem als solches eindeutig lösbar. In dem Moment, wo Sie den Anfangswert fest tackern, liegen Sie in dem Intervall hier und kriegen den Ast. Die Gleichung, das ist allgemein so eine Differential-Gleichung, ist eigentlich nie eindeutig lösbar.

Eine Differential-Gleichung hat immer Freiheitsgrade. Aber das Anfangswert-Problem ist eindeutig. Eindeutig lösbar in dem gerade gesagten Sinne, natürlich gibt es noch mehr Lösungen. Sie können den Tangensast auch auf dem Intervall angucken, das ist eine andere Lösung, aber die ist eben langweilig anders. Also in dem Sinne eindeutig, dass es eben eine eindeutige Maximallösung gibt.

Dann würde ich annehmen, dass Sie einen Cotangensast oder sowas kriegen. Oder einen Minustangensast. Vielleicht, Moment, passt das? Nein, Minustangensast tut auch nicht. Was passiert dann?

Rechnen wir, ich merke es mir kurz, wir rechnen es in einer Stunde aus, weil das ist das nächste Thema. Der ist dann wahrscheinlich verschoben ein Stück, ja. Wahrscheinlich, genau, richtig, richtig. Das ist dann so ein Ding.

Ja, ja, auch wenn Sie, müssen Sie nicht viel halbe nehmen, wenn Sie sagen, der soll hier durchgehen, durch den Punkt kriegen Sie auch einen verschobenen Tangensast. Das nehme ich an, aber können wir in einer Stunde ausrechnen. Bevor wir dahin kommen, will ich noch ein Theorieresultat zum Abschluss dieses Abschnitts machen.

Wir haben jetzt definiert, was eine Lösung ist. Wir haben definiert, was eine maximale Lösung ist. An dem Beispiel hier sehen wir, die maximale Lösung ist in dem Fall recht offensichtlich, dieser Tangensast. Frage ist, gibt es immer eine maximale Lösung? Und die Antwort darauf ist ja.

Sobald Sie eine Lösung haben, können Sie die immer zu einer maximalen Lösung fortsetzen. Das ist der Satz 2.8. Also kurz formuliert, wenn U eine Lösung von unserem Anfangswertproblem ist, also abp in Klammern bezieht sich immer auf dieses Ding da oben,

unser Anfangswertproblem y' ist f von ty, y von t0 ist y0, dann hat U eine Fortsetzung, die eine maximale Lösung ist. Also eine sogenannte maximale Fortsetzung.

Wenn man sich das Beispiel da oben anguckt, findet man es relativ natürlich. Trotzdem muss man, wenn man das wirklich abstrakt beweisen will, für jedes Anfangswertproblem ganz kräftig in die Werkzeugkiste greifen.

Und der Beweis beruht auf einem der sehr mächtigen und sehr unkonstruktiven Werkzeugen, nämlich dem Lemma von Zorn. Und da ist natürlich die spannende Frage. Das haben Sie wahrscheinlich hoffentlich alle schon mal gesehen.

Da gibt es ein paar Schütteln und ein paar Nicken. Lemma von Zorn sollte aufgetaucht sein, Minimum in der Linie an Algebra, wenn man weiß, dass jeder Vektoraum eine Basis hat. Wie haben Sie das dann gelesen?

Also ich schreibe es nochmal hin, aber üblicherweise sollte das zumindest an der Stelle schon mal da gewesen sein. Das Lemma von Zorn ist so ein bisschen Thema, was in der Mathematikergemeinde, wenn man den ganz Puristen landet, unbeliebt ist, weil das Lemma von Zorn braucht das Auswahlaktion. Sogar äquivalent zum Auswahlaktion.

Und sagt, also wenn Sie eine Menge haben, die nicht leer ist und partiell geordnet, also es gibt da drauf eine Ordnungsrelation. Und jetzt haben Sie die zusätzliche Eigenschaft,

dass jede Kette eine Kette zur Erinnerung ist eine Teilmenge von M, die durch diese Ordnungsrelation total geordnet wird, also in der jedes Element mit jedem vergleichbar ist. Und wenn jede Kette in M eine obere Schranke in M hat,

also für jede Kette gibt es ein Element in M, das größer ist als alle die Dinge in der Kette, dann weiß man, dann hat M ein maximales Element. Und jetzt sieht man schon,

worauf der Beweis hier draus laufen wird, wir wollen zeigen, jede Lösung lässt sich maximal fortsetzen, Zorn wird uns nachher ein maximales Element liefern, wir müssen jetzt nur noch die Menge M richtig definieren, so dass alles passt. Und die Menge M, die alles tut, was sie soll,

ist, naja, wir suchen ein maximales Element der Fortsetzung von U, also schmeißen wir mal alle Fortsetzungen von U in eine Menge. Also das M ist die Menge aller V, die Lösungen sind vom Anfangswertproblem,

und V ist eine Fortsetzung von U. Also nehmen sich alle Lösungen von dem Anfangswertproblem her, die U fortsetzen, und tun die alle in eine Menge. Und wenn wir jetzt zeigen können, diese Menge M erfüllt die Fortsetzung vom Lemma von Zorn, dann sagt uns Zorn, dann hat M ein maximales Element,

also dann gibt es eine Fortsetzung von U, die maximal ist, das heißt, die ist größer als, also größer als alle Elemente hier drin, und das ist dann unsere maximale Fortsetzung. So, dafür müssen wir auf dem M eine Ordnungsrelation definieren, und das ist auch relativ

kanonisch, wie man das macht, wir haben alle Lösungen hier, und uns interessiert, welche sind Fortsetzungen voneinander, und dementsprechend definieren wir unsere Ordnungsrelation, indem wir sagen, so eine Fortsetzung von U v1 ist kleinergleich,

eine Fortsetzung v2, genau dann, wenn das v2 eine Fortsetzung von v1. Also die Fortsetzung liefert uns eine Ordnung auf dieser Menge, und wenn wir jetzt zeigen können,

diese Menge mit der Ordnung erfüllt das, dann kriegen wir ein maximales Element, das heißt, wir kriegen ein Element von M, das eine Fortsetzung ist von jedem anderen Element von M, und damit eine maximale Lösung. So, also müssen wir die Voraussetzungen vom Lemma von Zorn nachprüfen, zunächst mal muss das M nicht leer sein,

das kriegen wir hin, naja, das U ist drin. Wir haben eine Lösung von unserem Anfangswertproblem, und U ist eine Fortsetzung von U, banalerweise, aber es ist eine Fortsetzung, also ist U drin. Gut, damit ist M nicht leer. Dann brauchen wir,

dass M mit diesem kleiner Gleich partiell geordnet ist, das ist ziemlich banal, was man nachrechnet, also was heißt banal, man muss es halt tun, man muss die drei Aktionen von Ordnungsrelationen nachprüfen, jetzt gehen wir ganz tief ins erste Semester zurück,

reflexiv, antisymmetrisch-transitiv, reflexiv ist jede Fortsetzung, also jede Lösung hier drin, eine Fortsetzung von sich selbst, passt, wenn ich habe, dass U eine Fortsetzung von V ist, und V eine Fortsetzung von U,

dann sind U und V dieselben, weil U und V unterscheiden sich ja eh nur durch den Definitionsbereich, und wenn der eine im einen enthalten ist und der andere im einen, dann sind die gleich, transitiv, wenn V eine Fortsetzung von U ist und W eine Fortsetzung von V, naja, dann ist auch W eine Fortsetzung von U, also ist eine Ordnungsrelation, das Ding ist partiell geordnet.

So jetzt, was müssen wir noch? M ist nicht leer, partiell geordnet, jetzt müssen wir nachprüfen, dass jede Kette eine obere Schranke hat, also nehmen wir uns eine Kette her, eine Kette ist jetzt irgendeine Teilmenge von dem M, das M kann ganz schön viele Elemente haben,

ich indiziere mal die Elemente von der Kette mit einer Indexmenge A durch, also A ist jetzt irgendeine Indexmenge, nur damit ich hier referenzieren kann, die muss nicht abzählbar oder sonst was sein, kann auch überabzählbar sein, also wir haben eine Teilmenge von dem M und die

soll jetzt aber eine Kette sein, das heißt, also es ist eine Kette, das heißt jeweils zwei Elemente hier drin lassen sich vergleichen, für die zwei Elemente hier ist entweder das eine eine Fortsetzung vom anderen oder umgekehrt, es ist eben eine total geordnete Teilmenge. So, was wir jetzt zeigen müssen ist,

K hat eine obere Schranke in M, was heißt das? Das heißt,

es gibt eine Lösung, ich nenne sie mal U-Sternchen in M, also Lösung von unserem Anfangswertproblem in M, sodass U-Stern eine Fortsetzung ist von V-Alpha alle Alpha in A.

Also wir haben eine aufsteigende Kette von Fortsetzungen, wir müssen zeigen, dann gibt es eine Master-Fortsetzung, die die alle fortsetzen. Und da in der Überlegung steckt eigentlich schon drin, was man tun muss, auf welchem Definitionsbereich definieren wir diese Master-Fortsetzung?

Die definieren wir auf der Vereinigung der Definitionsbereiche aller unserer V-Alphas. Das ist der richtige Definitionsbereich, und jetzt muss man nur überlegen, dass jetzt alles zusammenpasst. Also was wir zeigen müssen ist, dieses U-Stern

müssen wir noch definieren, aber irgendwie hier drauf. Und dann müssen wir zum Beispiel, um zu wissen, dass U-Stern auf J-Stern eine Lösung ist, irgendwie uns darüber Gedanken machen, ob J-Stern auch ein braves Intervall ist. J-Stern ist jetzt erstmal eine Vereinigung von einer ganzen Menge Müll, aber das wird der gefälligste Intervall sein.

Das ist die erste Überlegung, die wir machen müssen. Ich behaupte, dann ist dieses J-Stern ein Intervall. Und dieses Intervall, wir wollen ja das Anfangswertproblem lösen, enthält sogar das J-Stern, das T0.

Warum ist das so? Ich zeige Ihnen, dass wenn Sie sich irgendeinen T in J-Stern nehmen, also erstmal, dass das T0 da drin ist, ist nicht so schwierig, weil jedes V-Alpha ist eine Lösung vom Anfangswertproblem. Das heißt, in jedem J-Alpha ist das T0 drin.

Lösung vom Anfangswertproblem bedeutet nach unserer Definition, insbesondere, dass T0 im Definitionsbereich liegt. Also T0, T0 ist ein J-Alpha für alle Alpha. Naja, ich vereinige, dann habe ich es tausendmal drin, kein Problem. T0 ist drin. Und was ich Ihnen jetzt zeige, ist, dass wenn Sie sich irgendeinen

T in J-Stern hernehmen, dann liegt auch das ganze Verbindungsintervall zwischen T und T0 drin. Und wenn Sie das haben, dann ist das J-Stern ein Intervall, weil das bedeutet, egal wo Sie sich hinstellen, Sie können immer eine T0 verbinden. Das Ganze ist ein Zusammenhängender, das Teil.

Also nehmen wir uns irgendeinen T in J-Stern her. Wenn T in J-Stern ist, dann gibt es einen Alpha in A, sodass das T in J-Alpha ist. Weil irgendwie muss es ja noch J-Stern

reingekommen sein. J-Stern ist die Vereinigung über alle J-Alpha. Wenn es da drin ist, dann muss es über irgendein J-Alpha reingerutscht sein. So. Dann weiß ich jetzt, T und T0 sind in diesem J-Alpha. T wegen gerade eben. T0 ist in jedem, weil T0 ist der Anfangszeitpunkt.

Und ich weiß, dass das J-Alpha ein Intervall ist. Also ist das gesamte Intervall von T bis T0, je nachdem, wo das T liegt, oder von T0 bis T, Teilmenge von dem J-Alpha.

Weil das aber im J-Alpha liegt, liegt es auch im J-Stern. Weil J-Stern enthält jedes J-Alpha als auch dieses. So. Damit haben wir das, wenn Sie zwei Punkte, also T und T0 in J-Stern hernehmen,

dann ist immer das ganze Verbindungsintervall drin. Und damit ist das J-Stern ein Intervall. Ich habe jetzt hier in einem Spezialfall nachgerechnet, das ist ein ganz allgemeines, topologisches Prinzip. So könnte man es auch formulieren, aber ich habe, ja, da fehlt Ihnen wahrscheinlich noch die Topologie dafür,

deswegen habe ich es so gerechnet, das ist allgemein so, wenn Sie irgendeine Anzahl von zusammenhängenden Mengen haben, jedes J-Alpha ist zusammenhängend, weil jedes J-Alpha ist ein Intervall. Und die haben alle einen gemeinsamen Punkt, dann ist die Vereinigung auch zusammenhängend. Kann man ganz allgemein zeigen. Vereinigung von zusammenhängenden Mengen mit gemeinsamen Punkten

ist immer zusammenhängend. Das ist das, was wir hier brauchen. So, jetzt haben wir also unser J-Stern ist ein Intervall, jetzt müssen wir noch das U-Stern definieren. Das U-Stern soll unsere Master-Fortsetzung werden, insofern ist es naheliegend, das U-Stern auf jedem J-Alpha durch das V-Alpha zu definieren, durch das V-Alpha zu definieren.

Das machen wir jetzt einfach erstmal. Also wir definieren jetzt das U-Stern auf dem J-Stern nach Rd. So. Also wir nehmen uns irgendein T in J-Stern her. Dann gleiches Argument wie gerade eben, gibt es

ein Alpha in A, sodass das T-Stern in J-Alpha liegt. Irgendwie muss das T da reingekommen sein. Und dann setzen wir einfach U-Stern von T gleich V-Alpha von T.

Auf die Weise ist mal per Definition festgeknallt, unser U-Stern setzt jedes V-Alpha, ist überall da, wo es definiert ist, gleich dem V-Alpha. Was man sich damit einhandelt, ist natürlich eine Wohldefiniertheitsfrage. Ist das überhaupt eine sinnvolle Definition?

Weil so ein T wird im Allgemeinen in mehreren J-Alpha drin liegen. Also was passiert, wenn Alpha und Beta beide aus A sind und das T liegt sowohl in J-Alpha

als auch in J-Beta. Und jetzt, haben wir bisher nicht benutzt, kommt unsere Voraussetzung rein, dass K eine Kette ist. K ist total geordnet. Ich habe jetzt hier einen V-Alpha und einen V-Beta und jetzt habe ich eine Ambivalenz,

soll ich das U-Stern als V-Alpha oder als V-Beta definieren? Ich weiß jetzt aber, da K Kette, gilt entweder V-Alpha ist kleinergleich V-Beta oder V-Beta ist kleinergleich V-Alpha. Also eine ist eine Fortsetzung von der anderen.

Ich weiß weniger diese Fortsetzung voneinander. Das heißt, auf Ihren gemeinsamen Definitionsbereichen, dem bin ich ja gerade, weil ich bin in J-Alpha und in J-Beta, müssen die übereinstimmen. Weil die Fortsetzungen voneinander sind. Das heißt, ich habe V-Alpha

gleich V-Beta auf J-Alpha schnitt J-Beta, insbesondere ist V-Alpha von T gleich V-Beta von T. Also ich habe tatsächlich kein Wohldefiniertheitsproblem. Wenn ich so definiere, kriege ich immer den gleichen Wert raus, egal welches V ich nehme. An der Stelle

brauche ich jetzt massiv, dass mein K eine Kette ist. So und jetzt behaupte ich, haben wir alles zusammen. Was haben wir jetzt alles gezeigt? Ich behaupte, unser U-Stern ist eine Fortsetzung von V-Alpha

für alle Alpha in A. Wenn Sie sich irgendeinen V-Alpha hernehmen, dann liegt das J-Alpha ganz sicher in J-Stern drin. Und für alle T aus J-Alpha ist das U-Stern von T gleich dem V-Alpha von T. Also ist eine Fortsetzung. So, das ist erstens. Zweitens,

jedes V-Alpha ist eine Fortsetzung von U. Also ist unser U-Sternchen sicherlich eine Fortsetzung von U. Nehmen Sie sich irgendeinen V-Alpha her und dann nutzen Sie die Transitivität, hochgestochen, gesprochen von Ihrer Ordnungsrelation.

Also U-Stern ist eine Fortsetzung von U. Das brauchen wir, weil wir wollen ja haben, dass unser U-Stern unsere U-Stern, unsere obere Schranke muss hier in M liegen. Also muss es eine Fortsetzung von U sein. So, was wir noch brauchen ist U-Sternchen ist eine Lösung. Auch das steht hier in dem M drin.

U-Sternchen soll gefälligst eine Lösung vom Anfangswertproblem sein. Dazu brauchen wir U-Sternchen, das ist auf einem Intervall definiert. Haken. U-Sternchen ist stetig differenzierbar. Da lohnt es sich noch kurz darüber nachzudenken, warum ist das so.

Auch das vererbt sich von den V-Alphas. Nehmen Sie sich irgendeinen Punkt T in J-Stern her. Dann liegt der in irgendeinem J-Alpha. Das V-Alpha ist an der Stelle stetig differenzierbar, das U-Stern ist gleich dem V-Alpha. Also ist auch

das U-Stern stetig differenzierbar. Also sogar in einer ganzen Umgebung und deswegen sind die beiden ist es auch stetig differenzierbar. So und schließlich und endlich ist U-Stern auch eine Lösung vom Anfangswertproblem. Auch das kann man von den V-Alphas erben. U-Stern ist eine Fortsetzung von den V-Alphas.

Für jedes T gibt es einen V-Alpha, über das das U-Stern definiert ist und an den Stellen ist die Gleichung unter Anfangswert erfüllt. So und damit sind wir jetzt durch. U-Stern ist damit eine obere Schranke von K in M. Also es ist eine obere Schranke von K,

weil es jedes V-Alpha fortsetzt und es liegt in M, weil es auch eine Lösung ist und eine Fortsetzung von U. Und jetzt sagt der Zorn, wir können in die Pause gehen. Wir haben jetzt, das war jetzt ein erster Theorieballer gerade, dafür gehen wir jetzt wieder zurück zum

ganz praktischen Lösen und ich will Ihnen eine erste Klasse von Differentialgleichungen in erster Ordnung explizit hinschreiben, die man tatsächlich, wenn es gut läuft, lösen kann, wo man wirklich was rechnen kann. Und das ist eine Klasse von Differentialgleichungen, mit der wir immer wieder zu tun kriegen, die einen guten Startpunkt bietet

für viele, viele Lösungsmethoden. Und das sind Gleichungen von sogenannten getrennten Veränderlichen oder getrennten Variablen. Und das ist das Thema im Abschnitt 3.

was da zum Beispiel reinfällt, und damit können wir von unserer, wenn wir jetzt ans erste Kapitel zurückdenken, schon ein paar unserer Probleme lösen, sind alle Gleichungen, die expliziten Gleichungen in erster Ordnung, die skalare Gleichungen in erster Ordnung, die autonom sind. Alle autonomen, skalaren Gleichungen in erster Ordnung

gehören zu der Klasse, das heißt, unser logistisches Wachstum fällt da rein. Das können wir damit mit dem Verfahren jetzt lösen. Oder zum Beispiel unser Problem von vorhin y' von t ist 1 plus y², also das, wo der Tangens rauskam, auch das ist eine autonome Gleichung in erster Ordnung. So.

Also gehen wir zurück zu unserem logistischen Wachstum. Schauen wir uns die Gleichung wieder an. Das ist eine typische, wie wir noch sehen werden, relativ übersichtige Gleichung von getrennten Veränderlichen. µ mal y mal 1 minus y

von t. Und an der will ich erstens das Verfahren einführen, aber zweitens noch eigentlich davon unabhängig eine Diskussion machen, die ich sehr wichtig finde, weil man daran sieht, dass Lösen von Differentialgleichungen das eine

ist, aber man sehr oft eigentlich gar nicht mehr wirklich lösen muss, weil man sehr oft schon an der Gleichung sehr viel sehen kann darüber, wie die Lösung sich verhalten wird. Das ist bei so einer einfachen Gleichung relativ egal, weil die kann man halt einfach lösen. Wenn die Gleichungen ein bisschen komplizierter werden, dann ist es oft essig mit

einfach lösen. Auch dieses Verfahren führt am Schluss auf zwei Integrale, die man knacken muss, und wenn die Integrale so sind, dass man sie nicht knacken kann, sitzt man in der Tinte. Das ist der Normalfall. Dementsprechend ist es gut, wenn man einfach Methoden hat oder ein Gefühl dafür, was passiert mit so einer Lösung, auch wenn ich sie nicht ausrechnen kann.

Und autonome Gleichungen sind was, wo man wunderbar schon an der Gleichung ganz viel ablesen kann. Das will ich an dem Beispiel einmal machen. Also das ist eine autonome Gleichung. Das heißt, unsere rechte Seite f ist keine Funktion von t und y, sondern nur von y. Also

f von y ist einfach µ mal y mal 1 minus y. Die Funktion, das ist eine Funktion in einer Variable, und die kann man sich ja wunderbar mal hinskizzieren. Das ist das, was hier jetzt ich mach gleich das Licht aus, wenn ich fertig erzählt habe, was hier unten rechts passiert. Diese Funktion hier

µ mal y mal 1 minus y ist eine umgedrehte Parabe, ein bisschen verschoben und so weiter. Da ist sie glaube ich für µ gleich 4 skizziert. Und an der kann man schon ganz viel ablesen. Also an der kann man im Prinzip alles ablesen, was mit der Lösung passiert. Eins hat

Das hatten wir schon in der ersten Vorlesung, als ich Sie gefragt habe, was sind Lösungen dieser Gleichung, dann haben wir gesagt, naja, die allgemeine Lösung raten wird schwer, aber zwei Lösungen sieht man sofort. Nämlich einmal die Nulllösung, y' von 0 ist 0 und wenn ich hier 0 einsetze, kommt 0 raus. Aber auch die konstante 1-Lösung macht hier hinten immer eine 0 und wenn ich die 1 ableite, steht hier auch 0.

Das ist ganz allgemein, wenn Sie eine autonome Gleichung haben, dann ist immer so, wenn f von z gleich 0 ist, also an die Nullstellen dieser Funktion f entsprechen immer einer konstanten Lösung. Jede Nullstelle von f ist eine konstante Lösung, sowas nennt man auch eine stationäre Lösung,

weil sie eben stationär bleibt, wenn man an dem Punkt startet, passiert nichts. Das war bei dem Populationsproblem, wenn Sie am Anfang eine Nullpopulation haben, dann haben Sie halt am Ende ja immer noch eine Nullpopulation.

Das ist schon mal grundsätzlich, weil immer Sie so eine autonome Gleichung haben, haben Sie für jede Nullstelle von f schon mal eine Lösung. Und nicht nur irgendeine solche stationäre Lösung werden wir feststellen, sind sehr, sehr wichtige Lösungen. Warum? Weil in vielen Fällen einen bei einer Differential-Gleichung gar nicht die Lösung interessieren, sondern nur die stationäre Lösung.

Beispiel ist, Sie schauen sich eine Differential-Gleichung an, die eine chemische Reaktion beschreibt. Irgendeine wilde Reaktion, einmal anzünden, macht es bumm.

Dann passiert da natürlich während der Reaktion extrem viel, das beschreibt die Differential-Gleichung auch alles. Das ist einem aber eigentlich ziemlich egal, was einen interessiert, nur ist der Zustand, was kommt am Ende raus. Also sozusagen für die Gleichung betrachtet, was ist der Grenzwert täglich unendlich von meinen Lösungen.

Was da zwischendrin während der Reaktion passiert, ist einem völlig egal. Und dann stellt man fest, wenn man weiter reingeht, solche stationären Lösungen haben den, werden wir hier auch sehen, den Trend, dass beliebige Lösungen üblicherweise am Ende oder sehr oft gegen stationäre Lösungen konvergieren. Rauszukriegen gegen welche und so, damit werden wir uns noch kümmern, das ist ein schwieriges Problem,

aber so stationäre Lösungen sind oft Punkte, an denen was Besonderes passiert und wo die Lösungen hinwollen. Und dementsprechend sind solche stationären Lösungen sehr, sehr wichtig, weil das die Grenzwerte sind von den Lösungen üblicherweise. Nicht alle und nicht jede stationäre Lösung ist Lösung von Grenzwerten, ob das

so ist oder nicht, werden wir noch diskutieren, aber deswegen sind die sehr wichtig. Und das Schöne ist, bei autonomen Gleichungen muss man die stationären Lösungen nicht lang suchen, das sind genau die Nullstellen von F fertig. So, was ist denn jetzt, wenn wir nicht in den langweiligen stationären Lösungen sind, sondern was ist zum Beispiel, wenn wir so starten, wie das gedacht war, wir starten mit einer Population zwischen 0 und 1.

Ich erinnere dran, beim logistischen Wachstum war das Y von T die relative Population relativ zur Maximalgröße 1. So, und auch dann muss man erstmal nicht rechnen, sondern kann man sich diese Funktion F anschauen und dankenswerterweise hat der Jerome Olleck da gearbeitet.

Also hier rechts ist die Funktion F und wenn wir jetzt sagen, wir starten zum Beispiel mit einer Population, so ist es hier gerade eingestellt, von 0,2. Was sagt uns dann dieses Bild? Dieses Bild sagt uns F von 0,2, das ist irgendwo da oben. F von 0,2 ist aber Y'

Y' ist F von Y. Ich kann also, wenn ich weiß, ich starte hier, meine Population ist 0,2, hier unten ist die Y-Achse, also hier ist die Population und das ist F von Y. F von Y ist Y'. Wenn ich hier bin, ist der Funktionswert also genau meine Ableitung.

Ich weiß also, an der Stelle starte ich mit einer Ableitung von 0,7. Ne, 0,62 oder sowas. Das heißt, meine Population wird ansteigen. Also, jetzt zur Zeit ist es hier auf z.t gleich 0. Gehen wir mit der Zeit ein bisschen hoch.

Dann wird die Lösung, links entsteht jetzt die Lösung, wird wachsen. Was passiert, wenn sie wächst? Das Y wandert nach rechts. Wachsen ist in die Richtung, fallen ist in die Richtung. Y wandert nach rechts. Was passiert, wenn Y nach rechts wandert mit Y'? Y' geht rauf. Also wird unser Wachstum beschleunigt.

Sehen Sie hier daran, dass die Lösung sich am Anfang nach links wiegt. Je weiter das Y nach rechts wandert, umso größer wird die Ableitung und das Ding wird beschleunigt. Das ist wieder dieser Resonanzeffekt. Je weiter die Ableitung nach rechts wandert, umso größer wird die Ableitung. Dadurch wachse ich wieder schneller und auf die Weise wächst meine Lösung immer schneller,

bis wir ungefähr hier sind. Jetzt rutscht meine Lösung weiter nach rechts, weil die Ableitung immer noch positiv. Aber je weiter ich nach rechts wandere, umso kleiner wird die Ableitung.

Wenn ich hier nach rechts laufe, dann laufe ich auf der Kurve immer weiter nach unten. Dann wird das Wachstum immer langsamer und langsamer, aber es bleibt ein Wachstum, weil F ist positiv. Ich habe weiterhin eine positive Ableitung. Das heißt, meine Lösung wird weiterhin wachsen, aber langsamer und langsamer und langsamer. Und wenn Sie das immer weitermachen,

kriegen Sie qualitativ eine Lösung, die irgendwann gegen eins konvergiert. Sie wird eins nie erreichen, aber sie wird gegen eins konvergiert. Das alles sieht man an dem Bild, wenn man sich eben klarmacht, die Lösung rutscht auf der Y-Achse hin und her. Und an jedem Punkt, wo ich bin, sagt mir der Funktionswert, in welche Richtung ich weiterlaufen muss.

Und auf diese Weise kann ich qualitativ sehr schön sehen, jede Lösung, die hier irgendwo startet, wird am Ende in eins landen. Weil solange sie noch unter eins ist, hat sie eine positive Ableitung. Und solange sie eine positive Ableitung hat, wird sie nach rechts rutschen. Das kann man jetzt mit anderen Startwerten machen. Zum Beispiel, wenn Sie hier ...

Also, wenn Sie hier nicht mit 0,2, sondern sagen, wenn Sie mit 1 starten, ist langweilig. Wenn Sie mit 0,5 starten oder 0,6 starten, dann sind Sie am Anfang schon hier. Die Ableitung der Funktion, der Lösung ist positiv.

Sie werden nach rechts wandern, aber von vornherein mit abnehmender Ableitung. Das heißt, Sie kriegen eine wachsende Lösung, die auch wieder asymptotisch gegen eins konvergiert. Immer wenn ich nach rechts gehe, mit der Zeit weiter gehe, rutscht mein Punkt weiter nach rechts. Die Ableitung wird immer geringer, aber sie bleibt positiv.

Und die Lösung, sehen Sie links, entsteht und konvergiert gegen eins. Das können wir noch machen. Gut, wenn Sie mit 0 starten, ist langweilig. Wenn Sie mit 0,1 starten, haben Sie extrem das von gerade eben erst wachsendes Wachstum,

dann abnehmendes Wachstum, bis Sie bei der eins sind und so weiter. Sie können auch gerne, wie üblich gibt es das Ding, auf der üblichen Seite mit den Animationen, können Sie gerne selber ein bisschen mit rumspielen. Was ich damit zeigen will, ist, wenn Sie so eine autonome Gleichung haben, stürzen Sie sich,

je nachdem, was man machen will, aber wenn es Ihnen nur darum geht, wie sieht die Lösung ungefähr aus, stürzen Sie sich nicht in drei Seiten lange Rechnungen, sondern malen Sie sich mal das F hin. Wenn Sie das F hingemalt haben, können Sie einfach ablesen, was passiert. So, hier will ich jetzt wirklich ausrechnen, was kommt da raus.

Das ist der zweite Teil von diesem Beispiel.

Also, was passiert hier nicht nur qualitativ, sondern was passiert hier quantitativ. Also, jetzt wollen wir das Ding explizit lösen. Das ist im Skript dann schon Beispiel 3.2.

So, ich hatte Ihnen schon gesagt, wenn man eine DGL explizit lösen will, sind alle Schweinetricks erlaubt, weil am Schluss nachrechnen, dass es eine Lösung ist, ist einfach. Und was man dann üblicherweise macht, ist, man geht mal davon aus, dass man eine Lösung hat.

Man geht mal davon aus, dass man eine Lösung hat und schaut, wie muss die denn aussehen. In der Offnung, dass wenn man mal so ein bisschen rumrechnet, wie muss die aussehen, am Schluss auf eine Formel kommt. Wenn man eine Formel hat, ist gut, dann kann man nachrechnen, ob es stimmt. Also, wir gehen davon aus, wir haben eine Lösung.

Und die Überlegung von gerade eben, also auf dem Intervall 0 und endlich, für Zeiten zwischen 0 und endlich, wir sind optimistisch, wir hoffen, dass wir eine globale Lösung kriegen. Die Bilder gerade waren ja auch so, dass wir hoffen, das könnte stimmen. Und was wir auch gesehen haben, wenn wir zwischen 0 und 1 starten,

dann hat die Überlegung von gerade plausibel gemacht, dann wird die Lösung niemals an 0 oder 1 vorbeikommen. Also sie wird im Intervall 0, 1 bleiben. Also ich sag mal optimistisch, ich behaupte, ich finde eine Lösung, die für positive Zeiten definiert ist und im Intervall 0, 1 bleibt.

Und das ist eine Lösung von unserem Anfangswertproblem, y' ist µ mal y mal 1 minus y und y von 0 ist y0, wobei dieses y0 irgendwo zwischen 0 und 1 liegt. 0 und 1 kann ich ausnehmen, wenn y0 0 oder y0 1 ist, dann weiß ich schon, was passiert.

Dann haben wir die konstanten stationären Lösungen. So, also wir gehen mal davon aus, dass wir so eine Lösung haben. Da können wir uns natürlich nicht sicher sein, dass das Ding existiert, aber das ist im Moment auch egal, wir tun einfach mal so, als hätten wir eine. Wenn das so ist, dann hat diese rechte Seite f von u eine schöne Eigenschaft.

f von u ist dann nämlich nie 0. Weil u liegt echt zwischen 0 und 1, die Nullstellen von f sind 0 und 1. Also für dieses u kann ich f von u, nie 0 durch f von u kann ich teilen.

Das ist der Hauptvorteil davon. Das heißt, was gilt jetzt? Es gilt u' von u geteilt durch das f von u, also µ von u von t, mal 1 minus u von t. Das hier ist Konstant 1.

Das ist die Gleichung umgeschrieben, einfach nur die ganze rechte Seite nach unten dividiert. Und solange meine Lösung u brav von 0 und 1 weg bleibt, ist das auch mathematisch gerechtfertigt. So, das gilt für alle t größer gleich 0. So, und hier steht im Prinzip jetzt schon der Schlüssel für die Lösung.

Was wir jetzt machen, ist wir integrieren diese Gleichung hoch. Also nehmen Sie beide Seiten, integrieren Sie es auf. Fangen wir rechts an, weil das ist übersichtlicher als das da. Also wenn man die 1 integriert, kommt t raus. Also integral von 0 bis t über 1 ist das t.

Und jetzt können wir die Gleichung hier einsetzen. Das ist integral von 0 bis t u' von s durch µ u von s, mal 1 minus u von s ds.

Ich schreibe es mal noch ein bisschen suggestiver hin. Integral von 0 bis t u' von s durch f von u von s. F ist das f von da oben. Wenn Sie das integral sehen, dann hoffe ich, dass Sie jetzt einen Reflex haben.

Substituiere x gleich u von s. Also es schreit geradezu danach, weil wenn Sie x gleich u von s substituieren, dann kriegen Sie als Differential u' von s ds. Das ist sozusagen der Traum einer Substitution. Viel schöner kriegt man das nicht. Also substituieren Sie mal x gleich u von s.

Dann steht hier integral, Achtung Grenzen substituieren nicht vergessen, u von 0 bis u von t. U' von s ds ist genau dx. Also kriegen Sie 1 durch f von x dx. Oder wenn wir das f wieder einsetzen, u von 0 ist y0,

y0 bis u von t, 1 durch µ x mal 1 minus x dx. Was müssen wir jetzt noch tun? Erstmal, wo wollen wir überhaupt hin? Den wollen wir haben.

Wir wollen eine Formel für u von t. Wir wissen, wenn unser u löst, dann löst es die Gleichung hier. Was wir noch tun müssen, ist dieses Integral hier ausrechnen. Also legen wir los. Hier rechnet man das Integral aus. Jetzt haben wir ein reines A1-Problem.

Wenn Sie es auf die harte Tür machen wollen, machen Sie eine volle Parzellbruchzerlegung. Wenn nicht, dann basteln Sie ein bisschen rum. Ich meine, hier unten haben Sie ein Produkt von zwei Polynomen. Das kann man irgendwie schreiben als eine Summe von den Dingern.

So die Frage, was oben steht. Und wenn man das hinwürstelt, steht man fest, so passt. Also 1 durch x plus 1 durch 1 minus x. Bringen Sie es auf den Hauptländer, es geht schneller. 1 minus x plus x durch x mal 1 minus x. 1 minus x plus x ist genau 1, passt. So, das können wir jetzt aber ausrechnen.

Was steht da hinten? Stammfunktion von 1 durch x. Genau, der Logarythmus. Also, und dann an den Grenzen. Also das Logarythmus von u von t. An der Stelle stehe ich in den Grundvorlesungen immer da und sage, bedenken Sie die Stammfunktion des Logarythmus von Betrag u.

Ist in dem Fall aber nicht schlimm, weil wir haben ja vorausgesetzt, dass unser u immer zwischen 0 und 1 ist und ist y0 auch. Also die Beträge darf ich weglassen. Minus der ln von y0. Plus der ln von 1 minus u von t. Minus der ln von 1 minus y0.

Ich hoffe, ich habe jetzt alle Plus und Minus richtig gemacht. Nö, genau nicht. Ja, man darf halt nicht zu viele Schritte auf einmal machen. ln von u von t minus, ja, ja, genau.

So, gut. Jetzt können wir an der Stelle noch ein bisschen, und das 1 durch µ haben wir auch verschlumpert. Jetzt können wir an der Stelle noch ein bisschen Kosmetik betreiben. Logarythmusrechenregeln. Summe von Logarythmus ist Logarythmus vom Produkt.

Und so weiter. Also steht hier ln von u von t. Mal 1 minus y0. Durch y0 mal 1 minus u von t. Und der ganze Schlorum ist gleich t. Wir wollen das u, also lösen wir nach u auf.

Das heißt, wir bringen erst mal das µ rüber und machen auf beiden Seiten die Exponentialfunktion drüber. Dann kriegen sie e hoch µt. Also hier ist e hoch µt, ist e hoch dieser ln. E hoch der ln macht sich weg. Gibt u von t mal 1 minus y0.

Geteilt durch y0 mal 1 minus u von t. Ja, und jetzt ist es noch ein bisschen endliches Gerechne. Jetzt können Sie hier weiter rechnen.

Ich erspare mir mal die Schreibfehler, die ich jetzt alle mache. Und wenn Sie da den Bruch richtig auflösen, kriegen Sie u von t ist e hoch µt y0 geteilt durch 1 plus e hoch µt minus 1 mal y0. Das ist jetzt wirklich nur eine Bruchrechnung von da oben nach da unten.

So, und jetzt ist das, was sozusagen die Hoffnung am Anfang war, sozusagen erfüllt. Wir haben gesagt, wenn wir so eine Lösung haben, irgendwo her, dann muss die erfüllen, dann muss die erfüllen, dann muss die erfüllen,

dann muss die so aussehen. Hübsch. Was man jetzt also nur noch tun muss, ist nachrechnen, ob es wirklich eine Lösung ist. Sollte man jetzt tun, weil wir haben ja so ein bisschen Annahmen reingesteckt, die wir nicht sicher sind. Aber wenn man das macht, stellt man fest, das passt. Sollte man noch tun. Mal kurz so die Plausibilität. Was passiert, wenn Sie t gleich 0 setzen?

Haben Sie hier eine 1? 0 gibt y0 durch 1. Zumindest das sieht schon mal gut aus. Gut. Und tatsächlich sind das die Funktionen, die Sie vorhin gesehen haben. Das sind die Lösungen dieser Gleichung. Und was ich jetzt, worauf ich jetzt noch raus will, ist, dass das,

wir haben das jetzt für eine Differenz ja gelangt, für eine Anfangswertprobleme gemacht. Aber es scheint ja ein schönes Verfahren zu sein. Und jetzt lohnt es sich, sich zu überlegen, wie fies darf denn die Gleichung noch aussehen, dass das Verfahren funktioniert?

Allgemein, wenn Sie eine autonome Gleichung haben, können Sie das Verfahren immer versuchen. Warum? Was haben wir denn gebraucht? Gut, wir mussten das f durchdividieren am Anfang. Dafür brauchen wir, dass das f von u nicht 0 ist. Aber am Anfang darf man ja mal rechnen. Also, dieser erste Schritt, der hängt nicht wirklich davon ab, was das f ist.

Danach muss man Integral lösen. Das kann sein, dass man die nicht lösen kann. Aber die Methodik hängt überhaupt nicht daran, dass wir dieses spezielle f hier haben. Hier könnte einfach f von u stehen. Weil an der Stelle, wir haben es ja auch,

der entscheidende Schritt bei der ganzen Rechnung war, dass wir hier substituieren konnten. Das hier, das ist der entscheidende Kniff bei der ganzen Auflöserei. Weil dadurch reduziert sich die Differenzialgleichung. Hier steht noch u' und u drin. Hier steht noch die Differenzialgleichung. Auf eine einfache Integration.

Das u' ist weg. Hier ist die Magie. Und an der Stelle haben wir sogar f geschrieben. Das ist völlig wurscht, dass f so aussieht oder völlig anders. Das geht immer, wenn Sie eine autonome Gleichung haben. Es geht sogar noch ein bisschen mehr. Ich meine, was dann passieren kann, ist, dass das Integral hier nicht mehr explizit löstbar ist.

Das kann sein. Aber trotzdem kann man auf die Weise die Differenzialgleichung verschwinden lassen. Aus der Differenzialgleichung wird ein Integrationsproblem. Das ist schon mal ein großer Gewinn an Komplexität. Also Verlust an Komplexität. Es geht einem danach besser.

Wir können an noch einer Stelle was aufbauen. Ob hier eine 1 steht. Oder irgendeine Funktion in t ist eigentlich egal. Wir haben hier diese 1 hoch integriert. Würde auch funktionieren, wenn hier t² steht. Dann steht hier ein Drittel t hoch 3. Und die Überlegung führt auf die Differenzialgleichung von getrennten Veränderlichen.

Also was wir für die Rechnung brauchen. Für eine ganz allgemeine DGL geht das nicht. Warum geht es für eine ganz allgemeine DGL nicht? Weil wenn Sie eine allgemeine DGL haben, y' ist gleich f von t und y.

Dann steht hier f von s und u von s. Also bis hierhin können Sie die Rechnung genauso machen. Dann steht hier nicht f von u von s, sondern f von s und u von s. Und jetzt funktioniert die Magie nicht mehr.

Wenn Sie jetzt x gleich u von s substituieren, dann ist zwar u' von s ds wieder x. Aber hier haben Sie f von u hoch minus 1 von x und x. Warum darf ich u invertieren?

Ja, das geht vor die Hunde. Die Magie hier lebt davon, dass hier kein s ist. Das ist der entscheidende Punkt. So, und deswegen kann man dieses ganze Verfahren aufbohren. Vergleichung der folgenden Form.

Also das Verfahren können Sie verallgemeinern. Vergleichung der folgenden Form. y' von t ist gleich g von t mal h von y von t.

Also diese rechte Seite f, die darf von t und von y abhängen. Aber sie muss in der Form von y abhängen und t und y, dass die multiplikativ getrennt sind. Deswegen von getrennten veränderlichen. Also hier ist die Trennung. Die rechte Seite muss eine Funktion in t sein, mal eine Funktion in y.

Wenn Sie das haben, dann können Sie die Rechnung hier machen. Dann können Sie u' gleich diese rechte Seite durch h dividieren. Dann haben Sie hier unten das h von u stehen und hier das g von t. Dann steht hier das Integral über g und hier steht das das entscheidende h von u.

Also man kann dann genau die gleiche Rechnung machen. Machen wir es kurz. Und so eine DGL nennt man von getrennten veränderlichen. Weil die veränderliche y und t sind getrennt voneinander durch ein Malzeichen.

Und wenn man so eine DGL hat, dann muss man jetzt nur wieder die gleiche Vorsichtsmaßnahme wie vorhin treffen. Das h von y von t soll bitte schön nicht null sein. Aber wenn Sie das haben, dann können Sie jetzt wieder die gleichen durch das h dividieren.

Jetzt kommen die gleichen Hinschritte wieder drüben, nur im allgemeinen Fall. Dann kriegen Sie y' von t durch h von y von t gleich g von t für alle t. Jetzt integrieren Sie die Gleichung wieder hoch.

Kriegen Sie Integral vom Anfangszeitpunkt t0 bis t über g von s ds ist gleich Integral von t0 bis t y' von s durch h von y von s. Und jetzt haben wir die Möglichkeit, dass die Magie läuft.

Jetzt steht es wieder genau so da. Abgesehen davon, dass das f jetzt h heißt. Jetzt kann man hier wieder substituieren. Das ist Integral von y0 bis y von t über 1 durch h von x ds.

Und die Methode der getrennten Veränderlichen sagt, im Prinzip hat man jetzt durch diesen Schritt jetzt wieder das Problem der Differentialgleichung zurückgeführt auf zwei Integrale. Und so unangenehm Integrale im allgemeinen sind, wenn man eine Differentialgleichung aufs integrieren zurückgeführt hat, ist man zufrieden.

Was Besseres kann einem nicht passieren. Was jetzt natürlich noch die Frage bleibt, ist, Sie brauchen eine Stammfunktion von g und Sie brauchen eine Stammfunktion von 1 durch h. Aber wenn Sie die haben, dann ist vor die Lösung nur noch eine Problematik gesetzt.

Dann müssen Sie nämlich hier sich ergebende Gleichungen nach y von t auflösen. Das kann im Allgemeinen auch noch ein Problem sein. Aber wenn Sie sozusagen dieses Integral bestimmen können und dieses und dann kriegen Sie eine Gleichung für y von t. Die können Sie auflösen und dann gibt es die Lösung. Das ist die Idee dieses Ansatzes und der funktioniert immer.

Also man kann ihn immer versuchen, wenn die Gleichungen diese formen. Und darunter fallen, wie da drüben insbesondere alle autonomen Probleme, dann ist das g einfach 1. Das heißt, es gibt Ihnen die Möglichkeit, autonome Probleme oder auch solche mit g von t zu lösen.

Ich werde Ihnen in der nächsten Vorlesung das noch als Satz hinschreiben. Den werden wir auch noch ausbeweisen, also dass das wirklich unter gewissen Voraussetzungen immer funktioniert. Und damit haben wir dann ein erstes, ein schönes Lösungsresultat für eine gewisse Klasse von Gleichungen.

Und darauf bauen wir dann weiter auf. Gut, für heute erstmal vielen Dank für die Aufmerksamkeit und bis nächste Woche.