Erwartungswert und Dichte

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Title
Erwartungswert und Dichte
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Part Number
6
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28
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
Expected value Cumulative distribution function Stochastic Series (mathematics) Zusammenhang <Mathematik> Real number Eigenvalues and eigenvectors Mass Summation Random variable
Cumulative distribution function Probability distribution Series (mathematics) Maßtheorie INTEGRAL Set (mathematics) Mass Subset Expected value Probability distribution Infinite set Maß <Volumen> Absolute value Random variable
Cumulative distribution function Zahl Binomial distribution Mass Geometric distribution Continuous function Subset Stochastic Inversion (music) Population density Measurable function Gleichverteilung Random variable Social class
Cumulative distribution function Set (mathematics) Mass Continuous function
Function (mathematics)
Cumulative distribution function Point (geometry) Difference quotient Zahl Haar measure INTEGRAL Expression Partial derivative Mass Function (mathematics) Set (mathematics) Continuous function Theory Diameter Physical quantity Population density Length Derived set (mathematics)
Cumulative distribution function Probability distribution Series (mathematics) Sequel INTEGRAL Uniqueness quantification Direction (geometry) Normal distribution Mass Set (mathematics) Cartesian product Generating function Equation Connected space Expected value Stochastic Inversion (music) Wind wave Algebra Measurable function Berechnung Vector graphics Random variable
Expected value Cumulative distribution function Stochastic Series (mathematics) Population density INTEGRAL Measurable function Ende <Graphentheorie> Translation (relic) Summation Function (mathematics) Set (mathematics)
Point (geometry) Series (mathematics) INTEGRAL Zufallsvektor Mass Unit circle Function (mathematics) Mittelungsverfahren Expected value Vortex Position Population density Gleichverteilung Factorization Random variable
so genau sind die Änderungen der immer so seine Haftstrafe Lernmaterialien an der TU Darmstadt
ja begrüßen Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesungen ich würde schon von alleine Reihe von Leuten angesprochen wegen einem Bett Seminar wollt ich mal fragen wäre also ich die am nächsten Semester wird das Seminar an wie viel Leute gibt es denn mit prinzipiellen Interesse an einem Patch Seminaren Stochastik das wären 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ja das war kein Problem so 15 Leute gar kein Problem also wobei ich vermute sind heute nicht alle da vielleicht frage ich Montag nochmal dann noch weitere sind gut dann kann ich meine Wiederholung vom letzten Mal wir hatten dann noch mal den Begriff des Erwartungswert es kurz wiederholt Erwartungswerte für andere Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeit Raum und Ärger definiert als das Maß integral integral über Amiga x DP wir kannten schon einige Eigenschaften aus Einführung Stochastik die Genialität in die Monotonie also wenn sie Unterhaltung so weit einstellen könnten die Genialität und die Monotonie wir haben neue gesehen das gilt wenn ich's gleich ob sie und etwas sicher ist dann ist der hat uns ja von Experten aber Surfen y habe ich ohne Beweise gemacht das zweite habe ich gezeigt wenn es größer gleich 0 es sind Erwartungswert von nichts ist gleich 0 1 x sogar wie fast sicher gleich 0 sein ja ein andermal gesehen Zusammenhang zwischen dem Erwartungswert eine Verteilungsfunktion für nicht negativen Zufallsvariablen X mit Verteilungsfunktion groß F können viel Erwartungswert Panik schreiben als in sie greifen 0 müssen endlich einsehen dass er von TDC das heißt das integral von 0 bis unendlich über die Wahrscheinlichkeit dass X größer als die ist viel Tee es ging mir die rechte Seite mit dem Satz von und geschrieben haben und ich habe ihn ganz am Schluss noch kurz was erzählt über den Satz von der monotonen Konvergenz oder vorgestellt Essen Satz zur Vertauschungen ermöglicht eine Maß integral mit einem Minister zu vertauschen wir haben werde Zufallsvariablen X in größer gleich 0 definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Raum um gehen mit externen konvergiert Weise von unten gegen Aids das heißt für jedes um aus Groß gilt x 1 hin und wieder das kleine gleich x 2. einiger kleiner gleich X 3 von Amiga und so weiter und des X N von Amiga konvergiert im Sinne der reellen Zahlen wie in gegen endlich gegen X von Amiga dann ist der Erwartungswert von X gleicht dem Limes von gehen endlich Erwartungswert von X N wir können das Ganze deuten dass ein nochmaliger Grenzen gibt Grenzübergang bei dem Maß integral nicht zu einem wäre neuen integral Begriff führt okay dann könnten und haben einen freiwilligen denn dafür den Tageslichtprojektor durch schmeißt mehr aber nicht kaputtmachen arbeitet okay ich möchte noch ein Spezialfall von den Satz vorstellen nämlich den Satz von Monopolen Konvergenz in der Reihenfolge Reinform wir betrachten wieder nicht negative Zufallsvariablen X N und ich betrachte den Erwartungswert von der endlich erreichten unendlichen Reihe zu in leicht 1 diesen endlich der X N wenn sich die unendliche Reihe angucken das ist ja der Limes von entsprechenden Partial zumal die partial zum sind natürlich monoton wachsend weil es nicht negative Zufallsvariablen sind und konvergieren gegen den Eigenwert period Weise und sind auch insgesamt nicht negative Zufallsvariablen das heißt ich kann Satz 3 8 drauf anwenden ich glaube wir lassen vielleicht also sogar offen was ist durch viel zu heiß welchen Eindruck Absatz 3 8 1 ist das Limes von großer endlich Erwartungswert von beendigen Summe n gleich 1 bis groß n x n und dann können wir die Genialität des Erwartungswert das ausnutzen und das letzte Schreiben als ein eine Summe von Erwartungs werden und dann die wieder umschreiben als Beziehungen dann sehen Sie dann steht da die Reihe über den Erwartungswert von X N das heißt Erwartungswert von Sonderreihe bei nicht negativen
Zufallsvariablen ist gleich der Reihe der Erwartungswerte wechseln dann comma Zusatz 3 9 den Satz von der majorisierten Konvergenz der zweite wichtige Grenzwert Satz mit dem mehr ein Limes sind 1 Maaßen begreife tauschen können haben Sie Fragen zu weit fragen okay es gibt 2 wichtige Sätze den Einsatz hat mir gerade Satz 1 Satz 3 8 der monotone Konvergenz wir können sollen wir aus so maßen sie gerade aus Erwartungswert ausziehen wenn die zugrunde liegende Folge monoton wachsend ist und noch nicht negativ und leben period Weise konvergiert und des 2. Einsatz von damals hielten Konvergenz haben auch wieder die punktweise Konvergenz ja mit aber diesmal keine Monotonie stattdessen wissen Sie es gibt eine betragsmäßige Mayo also es gibt eine 2. Zufallsvariable die betragsmäßig größer weil ich diesen ganzen Zufallsvariablen in der Mine sind und diese zweite Zufallsvariablen muss integrierbar sein also haben reale Zufallsvariablen wechseln XY mit einerseits XN von um Garconne geht gegen X und einiger für alle um mich aus und mit 2. der Betrag von x und um wieder XN von um beschränke durch VIP um Ärger für alle in uns enden für alle um mich aus einiger und drittens der Erwartungswert von und muss endlich sein beachten Sie auf und der 2. Beziehung ist y nicht negativ sehen ist klar dass der Wartungswerk existiert dann ist wieder die Aussage wäre es existiert der Erwartungswert von dieser ganz Zufallsvariablen X und ist gleich den Limes der Erwartungswerte der X N und dann existiert der X und ist gleich in jenes gegen endlich der X 1 den Satz haben wir analog auch für Maß Integrale die Schweiz also hier ist ein in Maßen wie Granit integralen bezüglich von Wahrscheinlichkeit Massen und das gilt eigener immerhin noch für maßen sie gerade in die dann bezüglich allgemein Maßen und wir können die Voraussetzung noch abschwächen dahin gehend dass wir die Beziehungen ja nicht für alle und folgen zwar nur für P fast alle brummiger waren also dass eine fast sicher gelten waren Sie da eben für jedes einzelne in seine Ausnahmen haben also eine Menge von Mars 0 wurdest Beziehung nicht geht dann ist die Vereinigung aller dieser Mengen auch noch eine Menge vom als 0 und wäre wenn sein Sohn Erwartungswert eben auf dem 0 offen auf Menge vom Maßen abändern ja dass ich nicht und offen Rest können Sie dies Beziehungen in den ok beweist die Integrations- bzw. Maßtheorie machen wir also nicht haben Sie Fragen so weit okay dann comma zur Definition 13 er sein Ende müssen aber Zufalls weg damit Verteilung P auf PIN und Verteilungsfunktion S von er nach er wären und Verteilungsfunktion im weichen an sowas Sektor ab die Verteilungsfunktion des diesmal von R n nach er die 1. Definition ist die Definition einer diskreten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen und das heißt eben dass eine diskrete Menge existiert also eine höchstens abzählbar unendliche Menge Teilmenge von erhoben N sodass PX von dieser Menge gleich 1 ist und ich kann dann kann es zum Beispiel so sagen dass ich sage Ticks höchstens abzählbar viele verschiedene Werte annimmt essen der nach einer Vernachlässigung einer gehen und Mängel im der also nennt essen wenn nach Vernachlässigung einer Menge in R in einer X höchstens abzählbar viele Werte an so ist Pecs eine sogenannte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung also können sagen wir haben eine Zufallsvariablen die eben höchstens nur absehbar unendlich viele verschiedene Werte und und bei diesen an von Werten vernachlässigen geben wir Werte wir doch neben 0 Mengen aus und ja weglassen das heißt er teilnehmen von und egal wie weit bezüglich der Wahrscheinlichkeit Maß nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auftreten auf denen interessiert mich der wertvollen oder eine solche Teilmenge kann ich insgesamt Ausschuss schneiden und danach will betrachte ich die Werte des X noch annimmt oder anders ausgedrückt ich sage einfach ich gucke mir also PX ist ja Wahrscheinlichkeit Maß definiert auf B 1 ich wäre möchte eine diskrete Menge in haben also eine höchstens absehbare Menge in besten sagte Dame IPX von werden zur gleich 1 sein in dem Fall sage ich ist mir diskrete Wahrscheinlichkeit hat und im Spezialfall dass ich sogar der DLF Zufallsvariablen habe und das Text von N 0 gleich 1 ist dann der Film ja ich mir eben diese P X oder dann wenn ich die freudige bekannt der Wahrscheinlichkeiten das X tendiert K annimmt Zelldichte von X beziehungsweise Text also es ist die Steaks reell Zufallsvariablen und Text aufwenden konzentriert also mit Text von 1 gleich 1 so heißt Zeuge der PK PK aus 0 mit PK SP-X von der Menge K und das kann ich als abtrotzen schreiben P von in eckigen Klammern X gleichkam diese Folge das
heißt er sehr dichte von X beziehungsweise nix er sie kennen aus der Einführung die Stochastik Zufallsvariablen mit dichte was wären die Standard Beispiele dafür also welche Verteilung wenn sie Teelichter haben die
Binomialverteilung was noch Wasserverteilung kennen Sie noch eine Xtra Jahr Verteilung ist verteilen Gedichte kennen Sie noch eine Gleichverteilung könne diskrete Gleichverteilung machen ja auf auf der Teilmenge von den 0 hätten natürlich der ist richtig also ein Mandat laschen Wahrscheinlichkeit Raum nehmen er wo das um egal mit einer von 0 ist in der man zum Fall werden was ich damals nicht behandelt hat den Sinn der verweisen noch kennen lernen wer sowas wie geometrische Verteilung negativ genial verteilen da kommen noch 2 die üblich sind ok dann comma zum zweiten wichtigen Klasse dessen die Verteilung mit Dichte wasserdicht ist wissen Sie messbare Funktion größer gleich 0 die zu 1 integriert also es von deren noch mit 2 Eigenschaften F von X muss größer gleich 0 sein da zu Xtra sehr an und das integral darüber muss gleich einzahlen und weil es hier mit Beck integrales heißt Dichte und gilt das nicht PX von gehen schreiben kann als integral über B davon XTX wobei ich das als Maß integral zum Beispiel definieren könnte indem ich sage ist das gleiche wie das integral über ganz R der Kirch F von X X Indikator wäre das das wollen die gerade Funktion von wie von der Stelle x wie aus werden so heißt F Dichte von PX beziehungsweise X und in diesem Falle und das setzen neue Bezeichnung für versehen heißt die Verteilung oder doch die Verteilungsfunktion also Verein sagt was zu Verteilungsfunktion total stetig also in diesem Falle 111 urteil stetig und die Begründung für die oder eine Begründung für die Bezeichnung total steht ich komme gleich gibt Bemerkung 3 11 wenn F total stetiges ist einfach Forum bestätigt also wenn die Verteilung erledigt der hat ist die Verteilungsfunktion immer stetig wobei wenn die Verteilungsfunktion stetiges also Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht wenn die Verteilungsfunktion stetiges muss die Verteilung nicht total stetig sein also muss nicht aber die Gedichte vorliegen okay mach ich eine Hintergründe zu Begründung das sei sehr groß 11. Zahl stetig das heißt kleine F sei Dichte von X oder Pecs und X aus er ich möchte
begründen das groß F die zugehörige Verteilungsfunktion Mix aus der n an der Stelle x stetiges ich will mir das eine Folge ich zeige vollen Stetigkeit XL die gegen X konvergiert und sein XL wenn man R 1 die XL konvergiert gegen Aids wir geben endlich und zeigen möchte ich dass er von XL gegen F von X kommt mit der ok dazu gucken und es öffentlich Selmer an das Ex von XL ist ja Herr X vom Intervall von minus 1 bis XL und da die Verteilung von X die dich der Fahrt kann es ganz als integral schreiben nämlich als integral über dieses im in der Wahl wäre es von T an sich haben integral von mir endlich bis Mischmasch manchmal so noch in wird er von T Kriterien und dann guck ich mir an ich die Definition von diesen Beck integral als integral ganz R n vom unbekannten multipliziert mit der entsprechende Indikator Funktion ich weiß das ist das in der gerade über einen dann haben wir es von Themen sie von endlich in Fontaine ETR und jetzt lasse sich gegen endlich gehen und würde gerne Gründen verziehen ein bisschen Platz dass das Ganze für gegen unendlich gegen das integral über einen wer von T X XI von wir müssen endlich des Links konvergiert ihr Ziel was gerade X vom Intervall von müssten endlich wichtigstes man damit er von X das heißt wir wenn wir hier begründen können nämlich er gegen endlich gehen lasse dann geht ohne Gitter das XL gegen X und deswegen kann ich hier drinnen im bekannten einfach das XL durch das X ersetzen dann sind wir fertig dass es zu zeigen okay hat jemanden vorschlage wie Sie das begründen ja jede Menge Hände vielleicht denken die Tonnen Konvergenz bräuchten Sie was wir tun ist für die Frage wo es was man ist das ist nur dann wachsen warum mehr ja meine x er habe man die Folge XL Monat und wachsen hätten sie dann hätten sie rechne aber die XL können ja auch die von fallen seine das heißt wir könnten also getrennt linksseitigen rechtzeitige Stetigkeit aus angucken und natürlich da die Verteilungsfunktion immer wer rechtzeitig stetiges per sehe müssten gleich 0 linksseitige Stetigkeit zeigen sich auf einseitige Stetigkeit zurückziehen würde welche Beweise richtig nicht dann durch ohne Beschränkung der Allgemeinheit an die XL sind monoton wachsend hält aber noch so ein kleines Problem mit dem er Ende in der Monotonie und so auch das der noch okay also manchmal ganz gut sie wollen ein Grenzwert Satz nehmen wenn der Herr wenn der eine nicht glaubt zu welchen Satz die an eine im Mai Konvergenz und dann brauchen sie mehr Kunden period Weise Konvergenz von ihrem in Granden als 1. und Sie brauchen mal unter gegen was konnte geht der Meyer an period Weise weil sie argumentieren dass da konserviert für Ideen endlich und weil den Maß nah gegen das unten stehende glauben Sie richtig für alle die sehr okay aber er für welche gibts denn
also wir alle 4 oder jetzt es richtig aber um fast alle oder welches tägiges welche die Gäste nicht wenn ich für alle gilt wenn Sie gleich X ist
beides nicht und da muss ich geltenden Ängste von der Folge Excel ab aber ansonsten geht es mir mal um 1 wenn also wenn T ungleich X ist dann ist die Indikator Funktionen wieder 1 dann ist nehmen Sie unterwegs ist dann die in die Karte vom Sohn des einst 1 x groß als die wenn X größer als dann führt ist für L groß genug auch XL größer als die weil die Zeller gegen X konvergiert sind ja auch alle also das platte sowieso konstant also konvergiert das und wenn wäre die einerseits und gleich X wissen andererseits den die Karte Funktion gleich 0 ist 1 x echt kleiner als T wenn X echt kleiner als die ist dann sind die Excel irgendwann auch echt kleiner ist und was nahe dran sind wächst also habe ich für alle T aus er ohne X und das reicht meines sind weg fast alle Themen ich habe mir kommt Weise Konvergenz was ist denn meine rannte integrierbare Bestseller selber also hier aber Einsatz von majorisierten Konvergenz eben leicht abgeschwächt im Vergleich zu oder leicht
verschärft im Vergleich abgeschwächte zügig Denffer Voraussetzungen verschärft bezüglich der Behauptung im Vergleich zu der Version die ich angeschrieben habe in dem Sinne dass diese Konvergenz eben nur für Lübeck fast alle oder für wie fast alle vorlegen ist also hier angewandt mit bedeckt Maß für Maß integral und ich benutze das eben ein von Themen mal diese lieferte Funktionen nein gleich er von jetzt und Integrale bei von T vieles gleich 1 da ist mir wichtig ist mehr und damit wir fertig okay oder fragen wollten dann komme ich zum die Zahl besitzt die Ende die müssen alle Verteilungsfunktionen F 1 er nach er eigentlich die Funktion klein F zu existiert Lebeck fast über die partielle in die partielle Ableitung von f nach den einzelnen x 1 bis x L unser deckt fast über alle gilt diese partielle Ableitung stimmt mit 11 über ein insbesondere an den Stetigkeit stellen von der also erst Aussage so existiert deckt fast überall und Lübeck fast überall insbesondere an den Stetigkeit Stellen von Klein 11 Gedichte gilt diese partielle Ableitung stimmt mit 11 überein ja der Rechnung da okay comma zu Begründung wobei ich nur für n gleich 1 mache da geht relativ einfach beziehungsweise ich wüsste gar nicht genau dies beweisen wurde für allgemeines n waren Aufenthalt eines wenn sie leicht sehen geht ganz einfach wobei ich dazu sagen dass wir uns auch nie anwenden für allgemeines n werden nie brauche ich habe das aber nie gebraucht für allgemeines n Aufenthalt 1 ist mir sehr nützliche Sachen weil es ihn also erst bestimmt sofort Kandidaten würde wäre für Gedichte also wenn
überhaupt ein existiert dann diese vor dem Kandidaten sie könne mich die Verteilungsfunktion von irgendwas ausrechnen und dann ableiten und 7 Kandidaten verdichtet auch meistens ist es sogar so dass die endgültig zeigen können sofort das ist auch leicht eine dichte weil wenn ich das Ganze ging wieder auf in die Quere kommt die ursprünglich Verteilungsfunktion raus also meistens klappt das nicht geht es nicht nur dadurch ihre ich bestimme Kandidaten für der sonnig bestimme explizit die wichtig ok Begründung für n gleich 1 ja wir gleich 1 ist einfach der Branchen Ableitung von der Verteilungsfunktion wir ableiten vorne Verteilungsfunktion gucke ich mir einfach und Differenzenquotienten an dass ich gucke mir von nächstes H wird er von X an durch H und betrachte Limes von war gegen 0 jetzt wissen sehen Klein F ist die Dichte das heißt ich kann er von nächstes H schreiben als ist ich der von Gross F davon PX falls sich keiner von nicht das H schreiben was in die gerade von minus unendlich wie sieht's befahren von der von der DTM und davon sich das in gerade von minus mündlich bis X von der von TDC ab in Teilen noch durch an und dann fasse ich beide ja Integrale zusammen und komme aus gerade von x bis XP waren er von T durch H bitte möchte Hagen Müller gehen lassen und möchte begründen das den FMX rauskommt okay sehen sofort wenn der f ständig eine Stelle x ist dann ist die Beziehung irreal nein wenn er steht an der Stelle x ist dann schreiben Sie das als er von T minus F von X plus er von Next das integral über F von X von x bis Express HD T gibt einfach H x er von x kurzes Haar bleibt noch F von X übrig und das zweite den Rest denn sie haben plus federte am Ende greifen x bis XP war der von TNS er von XTC durch Haare werden das wird eben wenn H ist dann dieses er von T dieses F von X immer nahe bei 0 also kleine Reisen y Zeist integrales betragsmäßig gleich gleich als H x y z Heinrich haben noch durch gibt betragsmäßig kleiner als Erzählung der zweite Teil wird die sein okay also trivialerweise man X mich Tätigkeit Stelle von Elvis was machen Sie wenn X keine stetig Hersteller von 11 ist kennen Sie irgendwas mit dem das dann begründen können die Theorien von der Decke dichte Theorien von der Decke wer die Bezeichnung unter den ich nicht kenne also hier zitiere ich wieder was was tiefergehendes ist und zwar das Geld für die Welt fast alle X nach dichte Theorien von Gebäck das heißt dass Sie hier haben Sie haben ja wäre eine Menge mit kleinen Durchmesser die X enthält und oder Durchmesser war und sie teilen auch durch dieses oder Durchmesser Jahr und die Zahl noch durch das Gebäck Maß von dieser Menge ist in dem Fall gerade die Länge von Intervall und lassen dann die dass der Webmaster die Intervall Dinge gegen 0 zusammenschrumpfen und dann kommt davon von x raus viele weg fast alle x also nach Schönebeck fast alle x oder weg fast überall nach dem der Theorien von der Decke und trivialerweise in Tätigkeits- Punkten von 11 das Wort halbieren kommen noch 2 Zehen haben Sie Fragen so weit mehr so er
sei des gesagt ist Festgedichte von Pecs fall c genau dann wenn genau dann wenn ich für alle x aus er in die Verteilungsfunktion an der Stelle x als P als integrale über F 1 über das Intervall von ihnen endlich bis X schreiben kann und beachten Sie ich habe hier die abkürzende Schreibweise gerecht für verwendet also in der greifen müssen endlich bis zu einem Vektor x ist eben wäre das Kreuzprodukt der in der Wahlen minus nennt die bis 1. Kommandant der mit dem Intervall zumindest man die Kiste 2. Komponente und so weiter bis zum Leben in der Wahltermin ist nämlich bis zu enden kommen in der ok Begründungen eine Richtung folgt direkt aus der Definition wenn wir uns angucken was war die Definition von dichter das war da oben sondern eine B ist integraler B F von X Text daneben setzen wir 10 B gerade diesen der Wahl 1 1 x von die gerade von links also das waren vor dem B gleich mit der Wahl von Ines man bis X mehr aus Definition und dass die Definition 13 des wenn der die Umkehrung angucken dann können man erst in der Verteilung von X umschreiben das heißt es gilt ja ich mach mal so OPEX von ist leicht integral über mehr wer von T D T für alle wir gleich müssen endlich bis nix links aus R n und ich möchte aus dem folgern dass diese Beziehung sogar für alle ja aus beendet haben Sie denn wie es gehen könnte es ist mir ein Zeugen System für die Bereiche Signal gebe rar und dann was ok sie wissen also sind Sie sicher dass Sie wissen wer wenn sie folgenden System haben wieder in die Bereiche Signalgeber draußen steht wurde siebenmal gefahren ist wissen wir leider nicht Wahnidee was sicher nicht ab also Sie wollen jetzt die wollen identifizieren das sie wollen ausgehen sie wollen sie das mal leiten die Menge aller B A aus der Bereichen Signalgeber wo diese Gleichung bildet und so was und das wäre eine zigmal Algebra und dann behaupten sie dann wegen Erzeuger System drinnen und dann sind die ganze Signal geworden weil sie wollen geraten eindeutig hat Fortsetzung von beweisen will der geht aber so nicht da müssen so um weg von den King System gehen und dann gehen wir genau genauer Beweise richtig also wenn man sieht was ich mache ich Schlag sind einig das schlagen Vater zum Satz immer sehr eindeutige Fortsetzung von Masse also wenn sie jetzt eben beachten wir dieses nennen Systemen wir müssen endlich bis X X aus R 1 im BNR zeugt und dann wäre da 8. wir das links und rechts als Funktion von W Maße stehen zumindest wenn ich mal voraussetzen dass dieses F große gleich 0 ist also die voraussetzt dass es auch schöne dichte ist dann stehen links und rechts Maße wer welches nicht machen kann es sich aus der Beziehung oben schon Vorgaben der von X gleich weil die Verteilung sind so monoton wachsen ist dass auch dieses F große gleich 0 sein muss würde Beck fast alle x dann stehen links und rechts Maß und zwar sogar endliche Maße bei den Städten endlich Maß und Sie können ja B oder X gegen endlich gehen lassen und sehen Sie die gerade war er von DDT muss auch ein sehr geben also stehen weil es mir eigentlich Sinn Hansen eindeutige GeForce zum vermaßen und so eindeutige weil daraus folgt dann Text nichts von das integral B der von tätig
die für alle B aus ein Saal wo spielen ok Fragen so weit wir ich ganz gern weitermachen die also wenn Sie so war die Unterhaltung Einstellungen könnten danke schön comma Zusatz 3 12 kennen Sie eigentlich schon aus der Einführung der Stochastik die dem Berechnung von Erwartungswerten 2 x 1 serielle Zufallsvariablen mit Verteilung EX ist Steaks auf 1 0 konzentriert mit Zelldichte bekannt so gilt die X ist gleich der Reihe K gleich 0 bis unendlich er kam bekannt das heißt kamen die Wahrscheinlichkeit dass Grosics gleich K ist er es jetzt nicht wirklich der F bezüglich Kinderbetten Maß mit nix Dichter darf ja und eigentlich das würde ich nicht mehr wähle Zufallsvariablen an der Stelle voraussetzen nicht raus nicht ich habe ihr Forelle Zufallsvariable vorausgesetzt es gibt aber genauso werden auf nein ich brauche Zufallsvariablen man Erwartungswerte bilden wenn es richtig ich die zurück ich habe mir Zufallsvariable hatte nicht der F 1 er nach er so existiert das integral x-mal von XTX über ja genau dann wenn X existiert und es gilt hierbei die X ist gleich dem integral über sie oberen integral mal F X Felix wer weiß ja es voll aus nächsten Satz muss man größere Tiere beim nächsten Satz sagen oder sage sondern Einführung die Stochastik gemacht also weiß folgt Satz 3 13 unten ich habe 10 Skript einige Beispiele Erwartungswert von der ING Verteilungen Erwartungswert von der Wasserverteilung und Erwartungswert von der Normalverteilung haben alles in der Einführung die Stochastik gemacht mache ich also hier nicht noch mal könnten sie aber Skript nachlesen wenn sie es nicht wissen oder wenn sie gar nicht gewesen sein sollten comma Zusatz 3 13 Satz 3 13 ist dann der Transformationen Satz und sprechen umschreibende Integrale in veröffentlichten und sehr dichten X seine Welle Zufallsvariablen mit Verteilung plexen Verteilungsfunktion F G seine Funktion von ja wir nach RWE und ja das ist ein ich X reale Zufallsvariablen mit Verteilung PX und Verteilungsfunktion F die seine messbare Funktion von er noch er der Erwartungswert von G verkehrten X existiert genau dann wenn das integral über G DBX existiert und es gilt ja bei beide sind gleich also Erwartungswert von G verkehrte Welt nichts das sollte man die gerade bei der Wirt Felix ja und das ganze at ich
auch als integraler wir haben PDF mehr also wenn ich integral bezüglich wird die 11. Verteilungsfunktion schreibe meine ich integral bezüglich des PX diese Integrale bezüglich einer 0 tun wachsenden Funktion könnte man auch als der Beck steht es Integrale einführen dann so meisten Fällen mit den hier definierten maßen die gerade übereinstimmen aber nicht genau es wäre ein Unterschied aber ich mache sie nur als ich spare mir das der 6 Whites integral ich mach's ja nur als Massengrab okay ist der so genannte Translation Satz für integrale kennen sie aus der Einführung der Stochastik damit da auch komplett bewiesen das ging eben der induktiv über den Aufbau von GE sie fangen an Dietmar ja nicht negativ einfachen Funktion Dienste ein Hoch auf nicht negativ messbare Funktion und werde machen und finden wächst zuletzt den allgemeinen Fall darauf zurück indem sie gegen seinen positiven sei negativ Teile zerlegen und dann hat da ein Stochastik auch schon wie Sie diese Integrale inne unter der Voraussetzung und Satz 3 12 a Satz 3 12 B berechnen können also so gehen der Erwartungswert von ihre nix kann ich schreiben als Rolle Chaos Öl die von Carmen lecker falls eben Text von 0 gleich auf der 1 ist und eben getan SC bekannt der Geist die Zelldichte von X und integral R die von Aids dort davon nichts Philips wir falls heftig Dichte von X ist also auch den Satz hatten wir im Prinzip oder sieht die 2 Teile hatten im Prinzip ich mache vielleicht den Parteien noch weil ich mittlerweile ein bisschen elegante machen kann als ich damals nur vorlesen gemacht habe für den Detailhandel damals nicht vollständig gemacht da habe ich immer gesagt habe auch den Einsatz von Meyer das ist die
monotone Konvergenz dann also wenn ich der geht einfach Funktionen das Doppelwesen und dann brauchen sie reichen Satz von monotonen Konvergenz und hatten in der Vorlesung nicht mehr okay insbesondere wenn wir G als Indikator Funktion zu einem Ereignis A B N A aus B und endlich sie an daraus B dann bekomme ich die Wahrscheinlichkeit das XNA ist das ist Felix von war das ist eine gerade dieses wäre der Erwartungswert von wächst die verkehrte mit X und das kann ich dann eben umschreiben entweder in dieses in diese Reihe K L M N N 0 wäre XI von K mal bekannt das heißt ist letzten Endes die Summe der K aus ende geschnitten mit bekannt falls wechseln wir gleich 1 ist oder ich bekomme das integral sie A von X X der von nächste X wir ganz er also gerade sind die gerade war davon nix Klicks stolz kräftig davon nichts ok das hat man nicht unmittelbar der Definition der verdichtet und ja das ist ein Konzept die Signale die tätig also auch nicht keine große Aussage und beides Volk aus den oberen fordern wenn sie für gegen die Karte Funktionen zu einer Menge einsetzen zum Beweis also den zahle ich glaubte man bekomme ich glaube des klar oder um den ein Strauß die gemacht muss ich nochmal oder müssen aber also ich glaube setzen ans Internet könnten Sie zum Nachlesen und sich nicht mit anderen oder bis morgen ansehen zur traut sich keiner wenn sich jetzt jemand streckt dann dann laufen sie was da reden wir aber bekommen wird das Übel hier denn dann zu den Schal vielleicht mache ich das dann noch mal ganz kurz das wird ein nicht Sinn machen weil es jetzt ein bisschen einfacher geht während das ist im Prinzip genauso wie immer wieder voll sind die wir gemacht haben und der letzte Teil der letzte Teil hatten wir oder ist triviale Folgerungen was sie nicht machen also weiß wir sie Einführung die Stochastik über und das was mich eigentlich was ich noch wir begründen wollte war dieser Erwartungswert von Gehring das ist ja integral zu integral von über R okay Herr Felix das wir eben gleich diese reihe K aus allen 0 würde die von PK Volkskriegs von 0 gleich 1 ist er ok gucken uns die linke Seite an das integral
über R in der Blitz und ich behaupte als 1. das gar nicht umschreiben heißt es in der gerade über er die immer Indikator Funktion zu 0 die X und da brauche ich halte Eigenschaft von Maß integralen alle Optionen wir hatten er hat einen Satz 3 7 E war das bei uns für Erwartungswert aber es also für Maß Integrale wir eben wenn die ihn in die Granden ja Text was über in der ein übereinstimmen stimmt auch denn die gerade war also gehe ist gleich dem als die anderen billiges fast überall sofern im nix von der 0 gleich 1 ist mehr okay und dann ist der Dreck dass diese Indikator Funktion und Schreiber diesen ganzen in bekannten als sie von der 0 schreibe ich um als unendliche Reihe K gleich 0 bis unendlich gehe von Kahn mal Indikator Funktionen zu 1 und K Apple X das ist insofern klar weil man eben K nicht in 0 sind dann es sowohl dieser Reihe gleich 0 als auch gegen 4 0 ist gleich 0 und wenn K 1 0 drin ist dann stimmt dieses gehen mal sie von der 0 genau mit die von Calbe ein aber und dass ich nehme vielleichten L was man 0 drin ist dann kommt der gehe von heraus wäre dann fallen mir aber auch alle so meinten weg bis auf den Eltern und ihren genauso wie von Obst ja als nehmen sie monotone Konvergenz in der reinen vom die Reihe auszuziehen die sollte nicht negativ sein also ich muss es mit positive negative Teil machen an der Stelle positiv oder negativ Tal mache ich das dann ist dieser positiv Taler negativ Teil nicht negativ dann nämlich die monotone Konvergenz in der Reinform dann steht da die Reihe war gleich 0 bis unendlich diesen Faktor kann ich auch gleich raus dienen in die gerade er sie von keiner die Felix und dies integral gibt eine gerade eben die Wahrscheinlichkeit bei diesen der Gral ist dann gerade Felix von K was unser PK machen und damit damit die Beziehung für den positiven negativ Tal gesehen und allgemein zerlegen sie daneben es gehe in seinem positiv Teil negativ teil und aus integrales die Differenz der beiden Integrale und die Reihe ist auch die Differenz der beiden ein okay haben Sie fragen so weit ich gehe es vielleicht eine Hausaufgabe auf ja ich habe heute und die so ein bisschen eilig weil es muss zur Doktorprüfung und die habe ich zugestimmt diese Doktorprüfung vorzuverlegen damit die zweite Richterin Willi wollte keine Termine spät abends noch ein Waisenkind hat was sie und ihre stehe und ich vielleicht auch keine Termine Spiel es machen ich habe auch ein Kind für Wirbel für dazu eine aber das zählt und nicht mehr bei Männern und im Prinzip ist natürlich so nicht denn die Doktorprüfung mich an das Gute aber es natürlich wissen peinlich wenn man sein einstürmt wir sehen das ganz gut wenn ich müssen früher gehen also ich den bisschen früher geben dafür eine Hausaufgabe auf die machen dann zu Beginn des nächsten nächste Mal ist es ein Beispiel also ganz mal selber ausprobieren ein period dort rein zufällig aus der Einheitskreis Scheibe ausgewählt wie groß ist der zufällige Abstand vom Ursprung Mittel und was sie da machen können Sie können sich diesen zum Beispiel in Zufalls Vektor der die zufälligen Position des Punktes ist können Sie sich in schreiben und sich dann überlegen wie die Dichte von dem aussieht mit Gleichverteilung auf der 3 Scheibe wir können dann in abhängig darf gar davon den Abstand ausrechnen und den Erwartungswert ausrechnen und da können Sie entweder wir den Erwartungswert direkt mit Satz 3 13 ausrechnen oder alternativ können Sie genau die Verteilung des Erwartungswert bestimmen aber die Verteilung dieses Abstandes bestimmen was sie können sich überlegen der Zufallsvariablen Gedichte und wie sie die Dichter aus machen wir dann das nächste Mal und ich war dann für heute schließen
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