2. Lemma von Borel-Cantelli

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Formal Metadata

Title
2. Lemma von Borel-Cantelli
Title of Series
Part Number
10
Number of Parts
28
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CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
Probability distribution Product (category theory) Transformation (function) Real number Variance Family of sets Mass Set (mathematics) Cartesian product Convolution Connected space Number Expected value Calculation Wind wave Algebra Population density Natural number Index Unabhängige Zufallsvariable Summation Direktes Produkt Random variable
Statistics Supremum Sequel Direction (geometry) Complementarity Function (mathematics) Mass Cartesian product Generating function Continuous function Natural number Vector graphics Summation Fiber (mathematics) Random variable Stochastic process Series (mathematics) Projektion <Mathematik> Product (category theory) Gradient Set (mathematics) Connected space Inversion (music) Algebra Film editing Index Mathematical statistics
Series (mathematics) Potenz <Mathematik> Statistics Supremum Counterexample Complementarity Ende <Graphentheorie> Propositional formula Mass Charakteristische Funktion Continuous function Subset Probability theory Null Mathematics Hausdorff space Exponential function Film editing Algebra Index Summation Abschätzung Linie Derived set (mathematics)
Series (mathematics) Moment (mathematics) Ende <Graphentheorie> Content (media) Propositional formula Set (mathematics) Generating function Rounding Subset Algebra Film editing Index Measurable function Abbildung <Physik> Summierbarkeit Fiber (mathematics) Random variable
Series (mathematics) Algebra Rational number Index Moment (mathematics) Quantification Number theory Propositional formula Summierbarkeit Set (mathematics)
Series (mathematics) Supremum Complementarity Propositional formula Connected space Subset Field extension Algebra Film editing Zusammenhang <Mathematik> Unabhängige Zufallsvariable Linie Random variable
so genau sind die anderen immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt begrüßt Sie noch mal zu heutigen
Vorlesung beim letzten Mal ging was sich mit der Videoaufzeichnungen da ist der die Kamera oder Rechner in der Mitte abgestürzt weswegen es nur die zweite Hälfte aufgetragen also für die dies nur als Video sehen die würde bitten wir die 1. Hälfte eben den entsprechenden Skript nachzulesen wer haben behandelt den Beweis vom Satz 4 ziehen wenn X Y unabhängige Zufallsvariablen sind ich ganz Leicester vielleicht nochmal ausmachen ja ich kann's wenn X Y die reale Zufallsvariablen sind mit existierenden Erwartungswert die endliche Werte sind dann ist Erwartungswert von Produkt gleich dem Produkt der Erwartungswerte der Beweis geht so die schreiben Erwartungswert von X X Y mit dem Transformations hat um als integral über kleine x klein y integriert bezüglich der Verteilung von X und Y 10 nützen aus dass wegen der Unabhängigkeit die gemeinsame Verteilung von XY gleicht den direkten Produkt von den beiden an Verteilung ist können dann den Satz 1 Phobie anwenden und das integral um Form und das Resultat steht da wir haben weitere Folgerung daraus gesehen wenn x 1 bis x n unabhängige Welle Zufallsvariablen sind dann ist die Varianz von der Summe gleich die Summe der Varianzen wir haben dann die sogenannte Faltung definiert wenn wir 2 unabhängige Delle Zufallsvariablen haben XY so heißt die Verteilung von X plus Y das heißt ist der Zufallsvariablen X plus Y zu geworden der Wahrscheinlichkeit Smarts Faltungen der Verteilung von X in der Verteilung von Y das ganze Ding ist wohldefiniert da die Verteilung von X plus Y sich mittelbar schreiben lässt als eine Verteilung eine Funktion H A von klein X comma Y ist gerade die Summe von X plus Y L vom Produkt Maß 3. Produkt von der Verteilung von Exxon verteilen von Y und damit nur von der Verteilung von X und Y abhängt ja man ganz zum Schluss habe ich noch ja ich habe den Satz bewiesen der über schiefgeht wenn ich 1 weis und diesmal marginal ich nicht lesen ja sie sicher wir am Schluss gesagt es geht mir also wenn wir 203 grelle Zufallswahl haben wir haben haben mit der Dichte F gehen dann ist die Dichte einer doch X plus Y erdichtet und wäre damit der Formel für habe und die ist die Faltung von den beiden Funktion f und die integrale er er von T minus y x g von y y okay aber gleich fertig mit der könnten Sie das mal Unterstellungen und das alles gut spielt hat danach wir vorne sitzen wir dann comma zu bemerken wir 16 und eine beliebige Menge I und ungleich der lerne Menge der Index 1 ich habe Räume ohne gar IAI und ich haben W Maße Cui auf A E von ihr aus dieser Index Menge und die Aussage ist dann existierten Wahrscheinlichkeit und wieder abgeben und Zufallsvariablen X E mit Werten um egal wie auf diesen Wahrscheinlichkeit Raum so dass einerseits die Verteilung der x Alicudi sind und zweitens die Zufallsvariablen X die unabhängig sind als dann existieren mehrere Norweger AP und und wieder IAI Zufallsvariablen XII mit 1. Eigenschaft Vorteile von X dies gleich Kuli zweite Eigenschaft ja die Familie Zufallsvariablen X die ist unabhängig wenn Sie mal überlegen Sie sollten das Beweisen für den Fall dass die nächsten 1 E 2 Elemente weil zum Beispiel die Zahlen 1 und 2 enthält sich gegen 2 der Wahrscheinlichkeit Simasiku eines gut 2 vor ich will ein Wahrscheinlichkeit Raum ohne gehabt wir haben 2 Zufallsvariablen X 1 X 2 die Parteien die 1. Zufallsvariablen soll das 1. Wahrscheinlichkeit Maß seien die Verteilung der 2. Zufallsvariablen soll das zweite Wahrscheinlichkeit Small seien die beiden Zufallsvariablen sollen unabhängig sein wenn Sie Ideen wie sie machen würden und könnte das auch sagen eine und würden Sie das auch sagen Vorschlag kanonisch aber er Kandidat für das Q wäre das direkte Produkt der Kuli wieder Produkt Signalgeber genau was ich niemals und einfach und wieder 1 Kreuzarme gar 2 als nämlich A 1 Kreuz Kreis 2 als Q nämlich das direkte Produkt von den beiden wahrscheinlich oder es geht nämlich direkt die Produkt von Gewalt schreiten Wahrscheinlichkeit smarten Q 1 gut 2 und sich als Zufallsvariablen ja gar nicht aber sie tut was wir haben sind sie vollziehen auf die Einzelkomponenten mit sowas variabel komponiert und heute auf die 1. auf die zweite Komponente und dann sehen Sie einfach die an Verteilung sind ins insbesondere die vorgegebenen Verteilungen und wegen der ursprünglich das Gold Werke Produkte Wahrscheinlichkeit Maße sind sie die Zufallsvariablen unabhängig also für 2 klappt's dann sehen Sie sofort auf endlich viele klappt's auch da ist es einfach nur die Aussage hier ist ist eine beliebige Index nennen als kann zum Beispiel die natürlichen Zahlen seien und es könnte auch die reellen Zahlen sein also abzählbar unendliche überabzählbar endlich okay machen ohne Begründung die ich nicht wirklich beweisen ich gewinne an was IT-Struktur ist dabei ja wir machen das Gleiche mit unendlich vielen oder überhaupt oder diesen beliebig viele nennen das heißt ich nehme wieder genauso das Kreuzprodukt alles die Menge aller Familien und gar ihn nein die dann naheliegenderweise als nämlich genauso die wir Produkt zigmal Algebra jetzt muss ich Ihnen aber sagen was ich damit meine klar wenn wir endlich wieder Hamas ist ist einfach die kleinste Sigmar Algebra die alle Kreuzprodukt enthält aber wenn wir unendlich viele haben machen was ein bisschen anders und zwar nehmen wir die kleinste 7 Algebra die alle Grolls Produkte von Mengen A I aus Skript A I enthält wobei nur endlich viele von diesen Mengen ungleich um also klein Zé Sigmar gebar die allen in der Form nein Kreuz wurde der enthält wir geben 2 Eigenschaften die am besten aus der Skript da sein und ungleich und egal wie nur endlich
oft also ich würde ich eine produzierten Algebra definieren den Fall dass sich beliebig viele Signalgeber habe und das Kreuzprodukt oder sagt doch betrachten möchte ja dann machen wir's mit P genauso wie man auch erwarten weil es warum aber mehr ist das Kreuzprodukt der Akku alles oder das Produkt der Kuli das heißt das mache ich genauso über Fortsetzung von Massen im Prinzip dafür ist mir auch durch diese die Vorgabe dass ich sage ich gebe die Werte im aus die auf diesen hat System vor und die werde auf diesen Erzeuger System ja sein einfach die Produkte der GUI von den ist also von den guten alten ist und da nur endlich viele dieser es ungleich und wieder sind steht da in Wahrheit ein ich nun endlich das Produkt das heißt dasjenige wie man auf Holzkreuz auswählen H E mit P von so einem Produkt ist gleich das ob die in der Kuli von Ali und das mehr mache ich nur wenn I und gleich um egal ist mit diesem Produkt die oben okay wer da sehen Sie jetzt vielleicht da mein kleines Existenzprobleme müssen wir zeigen dass es um die existiert und das ist nicht so einfach Gegenkonzept genau so Befangenheit hat mit einer Menge Funktion an und machen Fortsetzung der Maße so zu einer den Fortsetzungen hat ich es wenn die Frage mit was fangen wir an also auf welchen auf welchen Systemen fangen wir an seine eindeutige Fortsetzung bekomme gut ja dann erstmal starten in Algebra das Erzeuger System was wir hier haben also eine Menge von der Form es sicher keine Algebra aber wir sie können Sie eben ab wandeln das sie das wäre okay also wir müssen 2 Fälle unterscheiden I abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich also endlich Escorial das ist klar die abzubauen endlich überabzählbar endlich den Fall überabzählbar unendlich Kammer zurückführen auf den Fall des abzählbar unendliche ist also müssen nur den machen ja das ist relativ einfach weil man dann so in der man sich die Struktur von den Dingen genau anguckt also wie sie die zigmal geht aus der Kammer zeigen letztenendes kommst nur auf abzählbar viele unendlich viele Komponenten an der Rest der egal deswegen kann ist es problemlos 15 also glauben Sie mir mal das dann sind Sie noch weil er im Prinzip beim Fall die gleich in natürliche Zahlen dann arbeiten so dass die mir so dass die ganzen Kreuz Produkte wo diese es ungleich aber egal es sind ersetzen oder zulassen dass da stattdessen eine beliebige Menge aus der Produk- zigmal Algebra der entsprechenden Skript ich stehe und die unendlich vielen und ist lassen Sie stehen dann haben eige- war drauf dann tragen sie an darauf ein eine Menge Funktionen damit zu definieren können Sie auch wieder machen beziehungsweise sie müssen dann hier sie kann ich das Produkt schreiben was kein Kreuzprodukt ist aber sie können das ja endlich ihr Produkt Maß von dieser menge hinschreiben von den Puhdys sie müssen zeigen das ganzes sehr wohldefinierte Sache geht noch relativ einfach so eine schöne Menge Funktion hat gewisse Eigenschaften und was dann eben Mühe macht ist zu zeigen dass es sogar Maß also es ist die Qualität dazu zeigen 7 Stetigkeit von oben und das bisschen trickreich anhand ist dann haben Sie Maß auf den engen Funktionen ist wir auch auf eine auf eine eigene Art können sie eindeutig fortsetzen auf der sollte sich die und sie angewiesen ein solches Wahrscheinlichkeit Maß existiert eindeutig noch den Satz von Andersen jetzt also Herr wer existiert eindeutig nach Satz wollen Andersen und Jessen was ich hier mal nicht nach interessiert mich nicht so Ansicht wenn es nicht so spannend Konzepten Existenz sage interessant für die Leute vielleicht noch die stochastische Prozesse machen wir mache ich nicht so interessant oder gut sagen gleich noch wozu die Aussage nicht brauchen werden jetzt erst noch klar also X ließen die Projektionen wir definieren dann XII von ohne danach ohne Gary als Projektion und daraus folgern eben 1. dieses PXE es gleich Kuli brechen sie leicht nach weil wenn sie wäre x von der Menge H ausrechnen dass P von X I um minus 1 von A bis XI um minus 1 dann aber der Projektion des wir eine Menge sollen ländliches Kreuzprodukt wo eben an genau einer Police stelle eine Stelle des A I steht uns über Norweger wenn Sie dann hier rein gehen dann sehen Sie da kommt genau GUI von AI raus also das stimmt schon mal und zwar in sie sind unabhängig das machen sich auch leicht klar weil unabhängig müssen sie zeigen endlich wieder sind unabhängig weil sie greifen endlich wieder aus haben das Urbild anfangen oder haben so X 1 Menge A 1 x 2 eine Menge A 2 und so weiter bis XML Menge am drin das heißt diese ganze unendliche Vektor der X 1 X 2 X oder der XI mit I aus I ist denn so um Kreuzprodukt die 1 bis 1 auftauchen sonst auch dorniger ihn das Maß davon sind es die Produkte der einzelnen GUI von ja also billig sie von AEG und das es ein Grades Produkt Herr von X in wissenschaftlich ok also schreibt neuen daraus folgt Behauptung das ist relativ einfach also ich als Beweis zu verstehen sondern nur als der Beweis gibt sie oder Hinweis dass es sowas gibt warum es ist nützlich wird dieses weil sie aufgrund dieses Satzes eben in beweisen aus ist nur um die gemeinsam oder weil sie beweisen dann häufig einnehmen können also sich starten mit irgendwelchen Zufallsvariablen die unabhängig sind und können sie annehmen diesen einig auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit von definiert vor mir gar nicht weil allen solange es nur um die Verteilung geht können Sie um die 1 Umverteilung die Unabhängigkeit können Sie jede neue Zufallsvariablen lassen die auf einem gemeinsamen Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit Raum definiert sind die die gleichen Verteilung haben wir eine Spur ok Fragen so weit gut dann war das nun ein Schub jetzt comma zu den eigentlichen was ich heute machen möchte sie wissen es gibt ein 1. Lehrer von bereit kann der Lebens ein 1. Lämmer von bereit konnte gibt gibt es auch ein zweites unserer könnte die und das zweite von Günter Lee kommt jetzt ich glaube Sie wissen doch alle noch aus der Klausur was er zudem auf unserer keine Belege sagte sie am Wahrscheinlichkeit Raum ohne gar AP sie am Ereignisse ein neues wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser ins kleine unendlich ist dann ist die Wahrscheinlichkeit
von Nimes suggeriere dieser 1 gleich 0 er jetzt ein 2. immer von kannte die geht es darum dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten der A 1 gleich plus endlich ist und weiß dann zusätzlich diese Ereignisse ein unabhängig ist ist die Wahrscheinlichkeit von minus Super wo von A 1 gleich 1 also Wahrscheinlichkeit Raum und Niger ablehnt wir haben dann unabhängige nein 1 Ereignisse dann gilt 1 denn im gleich 1 bis unendlich P von A 1 gleiche dann folgt daraus wie von den es super Rio und A 1 bis gleich 1 wo man sich erinnern der Liebe von in das war das Ereignis das unendlich viele dieser Ereignisse gleichzeitig eintreten das heißt hier steht so was wie p fast sicher trägt nun endlich diese der ein gleichzeitig ein und dann wird hier nicht nur die Integration von links nach rechts dann immer sich leicht da macht kommt gleich noch einmal weiß genauso gut Umkehrung das seien genau dann wenn aber die eigentliche Aussage ist von links nach rechts man am Beispiel dazu der nein wir eine unabhängige Folge von Versuchen mit wies Erfolgswahrscheinlichkeit 1 durch enden in dem versucht ja wenn sie denn hier angucken was ist die Summe enthalte die Reihe n gleich 1 müssen endlich der B von A N dann haben Sie wenngleich gleich 1 wissen endlich 1 durch n harmonische Reihe ist leicht müssen endlich dann folgt daraus die fast sicher haben Sie also die Wahrscheinlichkeit von dem operiere von A 1 ist gleich 1 das heißt hier fast sicher treten endlich fiel uns Ereignisse gleichzeitig ein das heißt befasst sich wie unendlich viele nicht erfolgt Misserfolge ok fragen so weit dann komme ich zum Beweis Satz 4 17 und gucken Sie mal ich kann aus wenn ich es nicht war okay da schau mal wissen wirklich auswendig kann wir fangen mit der Umkehrung an warum wird wenn der Limes Super von 1 gleich 1 ist das dann die zum n gleich 1 bis endlich von einem gleichen endlich sein muss forschte ok sie nehmen an dass die Reihe konvergiert dann haben sie den 1. immer von 3 könnte die da steht nur noch 0 das heißt wenn er Kontraposition bekommen sie sofort aus naher Osten 1. immer von bereit hinter allen also 1. der vom Bereich kannte den sagt ja mehr wenn diese Summe n gleich 1 unendlich entwickleten einen kleinen endlich ist der von dem das so wäre ja gleich 0 also ungleich 1 und dann sehen Sie mit Kontraposition daraus die Behauptung also wenn das Ding dann gleich 1 ist dann ist die Reihe Recht müssen endlich sein und zwar sogar ohne Unabhängigkeit Voraussetzung klar so weit sie so Kontraposition schmal geraten Mitglied der haben Sie gesagt nur sie lachen dass die dann Gebühr für wird der Verbleib der nein noch alles ja so die Schwierigkeit immer equals eine Statistik für Roman Sozialwissenschaftler hält und dann er ohne Mathematik Statistik für die erlogene oder so was sie wohnen und schon schalten können also ich nicht so ganz leicht wollte er comma zur eigentlich interessanten Richtung warum können sich denn es beweist ganz einfach merken na ja deshalb sie müssen sich einig nur 1 merken ja wir wollen zeigen P von die müsste per wir A 1 gleich 1 das machen immer zeigen Reformen Kompliment ist gleich 0 das die ganze Beweise die und dann müssen Sie noch wissen was der Berliner Super wird ist das heißt sie müssen das umsetzt umschreiben können in die entsprechende also des fast sicher 3. endlich werden endlich wieder ein gleichzeitig ein das ist ja dieses Symbol müsse BRJ das müssen Sie ne Menge Schreibweise umschreiben kann mehr alle waren die Idee wir zeigen 0 ist gleich wir fahren Minister wäre ja ein Kompliment dazu gucken uns an das was ist das Komplement von ist super wo war von A 1 ja Sie müssen sich mit dessen was ist wieder super wo von in das ginge Schnitten und der Vereinigung und das sollten endlich wieder gleichzeitig eintreten er deswegen machen Sie erst den Schnitt und dann die Vereinigung klar gleich n bisschen endlich der Altar also das sich an der Stelle hat machen wie anders steht eine Vereinigung oder 1. Vereinigung dann Schnitt und wenn sie dann wissen was es eine intuitiv bedeutet ist klar es muss 1. Schnitzereien weil der Schmitz heißt unendlich oft oder für jedes einzelne in soll gelten es gibt noch ein Index größer gleich Polis AK eintritt okay dann können Sie da den morgen drauf den das
heißt ich kann den Kompliment aber doch einziehen wenn ich die entsprechenden Vereinigung und Komplement Symbol umdrehen dann sehen Sie ich möchte zeigen dieses letzte eigenes hat Wahrscheinlichkeit 0 damit dieses letzte Ereignis Wahrscheinlichkeit 0 hat müssen diese ganzen Einzelereignisse Wahrscheinlichkeit 0 hatte haben das heißt ich kann mir sowas angucken erstmal und das ist einerseits notwendig weil dieser Teilmengen sind also wenn das gesamte Wahrscheinlichkeit 0 hat er doch jede Teilmenge der 0 der Wahrscheinlichkeit 0 der Seite ist auch hinreichend weil die Wahrscheinlichkeit Maße sieht die sind das heißt die Wahrscheinlichkeit von dem ist kleiner gleich als die unendliche Reihe der einst Wahrscheinlichkeiten hier ok also gucken uns das an oder es gilt nähe von K gleich indessen endlich AKC nun da stört irgendwie das ist um das ausrechnen zu können stört irgendwie das ist einen unendliche Schnittes das ist nicht schön aber sie kennen so gewisse Eigenschaften vom Wahrscheinlichkeit Zimmers Tätigkeiten Umstimmigkeiten 10 2 der Grenzen zu Sigmar die vität und sie sehen wenn ich viel obern Index laufen erst dann werden die Mengen die auskommen immer kleiner das heißt ich habe dieser dieses dieser Schnitt von K gleich entließ groß NAK Komplement konvergiert gegen diesen endlichen steht von oben wird immer kleiner und leichte Stetigkeit von oben haben habe ich hier auch ein Ines nicht genauso gut schreiben wenn eben endlich liefern vergleiche den bis groß Parteikonvent da eben das steht die oben ist okay haben Sie die was sie jetzt machen rechnen wir die Wahrscheinlichkeit von Schmidt aus will die Ereignisse sind unabhängig deswegen ist die Wahrscheinlichkeit von so unendlichem Schnitt gleich dem Produkt der endlichen der einzeln Wahrscheinlichkeiten das ist richtig aber genutzt haben dass die AK Komplement unabhängig sind und wir haben vorausgesetzt dass die unabhängig sind ist es ein Problem oder warum ist es kein Problem wir wissen wie einst den Ereignissen unabhängig genau dann wenn die charakteristischen Funktion unabhängig sind und in den Beweis habe damals gezeigt Ereignisse oder sind sind auch ihre Komplimente unabhängig okay Ansätze für die Unabhängigkeit aus man mal jenes große den endlich vom Produkt klar gleich in Discos ein will von AK 10 ja als schreiben sehen vom Komplement um als 1 minus P von Ereignis selber und kommt der das eingeben endlich K gleich in bis groß N 1 minus P von und jetzt will ich das ganze abschätzen also was ich jetzt mit seines zeigen möchte diese Wahrscheinlichkeit ist gleich 0 wenn diese unendliche Reihe gleichen endlich ist es meines und klar die Wahrscheinlichkeit eine gewisse Mindestgröße haben 1 1 minus P von dem ganzen und die klein und wenn ich es auf multipliziere immer kleiner und gegeben ist nur die Frage ob das die richtige wie des für die Mindestgröße da gibt es noch mal ein kleinen Trick ich mir jetzt die Abschätzung 1 bis X ist dabei gleich ihr hoch x x aus er also wenn sich überlegen sie haben mir die Qual 1 bis X und ich habe um nur die Exponentialfunktion unterläuft die voll oberhalb und die verläuft er die gerade müsste um die gerade sein nicht so ganz krumm das wär Yoricks und die verläuft von oberhalb weil Lunch period 1 schneiden sich also period 0 schneiden sich das war weil der Funktionswert 1 und die Ableitung von 1 bis X ist dann immer 1 werden die Ableitung von EU XSI Oleksys immer größer gleich 1 sogar größer als 1 sobald sie rechts davon sind sei es ist klar dass wir global ja und dummerweise brauche es gar nicht für x große nur so möglichst wurde also jetzt müssten sich nur umgekehrt überlegen die Ableitung jetzt minus 1 einer die Ableitung mir S 1 nie Ableitung hier für X kleiner als 0 ist dann immer wer weiß auch nicht besonders aus die Ableitung der aber auch EU X das heißt wer also wenn wenn Sie mir 6 einsetzen der sie einst durch ihre x deswegen ist die Ableitung kleiner als 1 und deswegen kommt das hier so ohne sie da kein Mensch aber ok also ungefähr das ist glaube ich klar also die Steigung die wird eben kleiner und die steigende bleibt gleich okay das machen wir jetzt mit alles wertet aus 1 plus X ist gleich gleich EU OX Felix aus er und das wird sich aus für x gleich minus P von AK dann sehen Sie da steht einig in Wahrheit ich ganz nach oben abschätzen durch Produkt K gleich Endes groß ein er hoch minus P von AK dann dieses Produkt der Exponentialfunktion ist etwa Jahr Funktion von der Summe im Exponenten das heißt hier steht der jenes n gegen unendlich Wartungs- wird wie hoch minus K gleich in bis Ende wie von war klar ja und dann sehen Sie das ist gleich 0 da eben K gleich 1 bis unendlich P von Al-Kaida welchen endlich ist und damit ist auch der jede jeder ein Rest zu mir zum endlich auf ja und dann sind mal nicht fertig war jetzt folgt noch er fahren was interessiert wir fahren wir ja das war diese endlich Vereinigungen wenngleich 1 wissen endlich klar gleich in müssen endlich AKC das ist klar da gleich auf und das sieht man so Konnektivität Holz wenngleich gleich 1 bis unendlich wir fahren K gleich n bisschen endlich AKC was eine Reihe überlassen Nullen war also insgesamt ist mehr okay haben Sie Fragen so weit fragen zum
Beweis alles klar also sehen relativ einfach nur ganz doch relativ einfach merken sie müssen sich halt und sie zeigen die von Problemen ist gleich 0 und dann müssen wenn es so wäre noch in schreiben können und der Rest ergibt sich quasi von allein und wir brauchen sie hat auch dieses 1 bis 6. der EU ist es kommen auch diesmal der phraseologischen was sonst bauen sie manches ausführlich machen für geboten und weil sie haben ja beim letzten Mal auch schon gesehen die andere Aufgabe kommt auch schon das war schon 2 Aufgaben und wir gucken wir noch weitere machen geführt führten aber nachfragen ja ich hatte bei der Statistik Sloman Sozialwissenschaftler mehr zweimal die gleiche Aufgabe gestellt ob so und ist nur so weil hier bis nächsten an der Stelle so aber will er innerlich gut mir es glauben die Leute alle nicht mehr was die glauben ja ich das jetzt 1 ich in sage es kommt anders guten oder übergeht geht danach nur 5 Minuten Pause und wir treffen uns dann um ja ne ist also ich bleibe hier und sie kommen wieder um 12 nach 3 okay geht auch mit der wir können es ja doch mehr okay er 2 Bemerkung noch dazu die 1. Bemerkungen in den Satz gerade eben doch die Unabhängigkeit Voraussetzung nicht weglassen mehr also gerade eben Satz 4 1704 17 nicht weggelassen werden werden dass man am Beispiel nehmen Gegenbeispiel angeben wenn wir keine Unabhängigkeit Voraussetzung haben wir brauchen gegen Beispiel wo die Summe aber die Ereignisse müssen unabhängig sein die nein sie müssen nicht mehr unabhängig also wir wir die Unabhängigkeit zu Hause Zentrale weggelassen also Unabhängigkeit brauchen wir nicht mehr alle brauchen wir in die Reihe muss divergieren der Wahrscheinlichkeiten der wie von A 1 und der Linie oder wo mussten Wahrscheinlichkeit ungleich 1 haben wir wären als aber 4 B von am der wird aber in der Einheit war es ganz klar diese nicht unabhängig nen haben sobald sie wissen dass eines eingetreten sind alle eingetreten sie haben aber wir freie wenngleich eines müssen endlich der 1 am ist gleich 1 und wenn sich überlegen was ist der Berlin ist oder wo er von diesen Ereignissen dessen endlich als richtig es gebe ich Ihnen schon mal zu das war begann ich mit der Probe danke finden das Essen endlich und der Limes über wo wir wenn es wäre ein der über unser eineinhalb oder P von dem es wählen und warum es diese Ministerin offen ein ok im gleichen Sinne meinen sie denn das ja ich meine also ich meine denen die das super wo das heißt ich meine n gleich 1 bis unendlich Bereinigungen klar gleich n bisschen endlich Kacar in meinen sie auch da kommt er aus niedersetzen über ein dann kommt er raus will also hier steht der einig aber dann steht hier dann sehen Sie dann kommt abliefern dann kommt ein halb aus in der Tat ja und das Gegenbeispiele so wenn man Unabhängigkeit Voraussetzung nicht haben kann die Reihe divergieren aber der Linie kann eine Wahrscheinlichkeit ungleich 1 haben wir betrachten jetzt nochmal unabhängige Ereignisse mehr aus ein Signal gibt deren zugrunde liegenden der Wahrscheinlichkeit Raum ohne gaben ja ich weiß dann nach dem zweiten Lemma von Weigand Heeled wenn die reihe der P von am divergiert dann des P von Minister Super von 1 gleich 1 ich weiß nach dem 1. immer von Weigand Dehli wenn die Reihe konvergiert denn es geht von Minister Beria von am gleich 0 das heißt nach dem 1. und 2. immer von bereit die weiß ich diese Stephanie Missouri ein ist entweder 0 oder 1 mehr das heißt die haben unabhängige Ereignisse machen soll als und pohtische Aussage über diese unabhängigen Ereignisse Art Aussage und da die unabhängig sind und da entweder 0 oder 1 aus so können das deuten und in dem Sinne das ganz im folgenden verallgemeinern also im folgenden Verallgemeinerungen als im folgenden rechtlichen allgemeine Einsatzwagen wird und außerdem noch also wir unabhängiger und welche Unabhängigkeit als methodisch Aussagen habe ich hier so Ereignis wie und was ein kurdisches betreffen die Wahrscheinlichkeit sollen 1 sein und was wir dort machen deren es ist 0 1 gesetzt von Kolmogorow das Ganze wird irgendwie ein bisschen anspruchsvoller aber eigentlich auch nicht schwer und dessen technischer nun man sieht nicht mehr ganz was ich so recht nach aber ja das also ohne wenn sie Sachen bisschen technische machen aber einig auch ganz schön Sie dann sehen also werden jemals sehen zum 1. Mal was mir Wahrscheinlichkeitstheorie so alles erreichen kann oder so was Aussagen kommen kann müssen bisschen abstrakter macht Definition ich hatte der mir erstmal mal die Signal Algebra der terminalen Ereignisse zu einer Folge von 7 Algebra und dann gar nicht definieren was es heißt das Signal geben unabhängig sind und dann war die Aussage sein jedes Terminal Ereignis zu einer Folge von unabhängigen Signalgebern hat die Wahrscheinlichkeit 0 1 also die 18 Definition der haben es Raum und wieder an wir haben Signal geben in aus an Verein aus ich davon ja dann als T N also ein Skript T das sei die liefern A n a n bis 1 1 bis 2 und so weiter erzeugte Sigmar geht das heißt die kleinste Sigmar Algebra die alle Mengen aus der Vereinigung gar gleich in diesen endlich der AK enthält weil die von A N 1 bis 1 insoweit erzeugte Signal gibt mehr
und anschließend der finde ich mir neues Signal geht haben Sie wissen wenn ich dich mal geht dann und schneide Kombi eine Dietmar Kiefer aus und ich schneide jetzt alle diese Signal geben und das geht meinen Sie mal die Partie unendlich und wie geschmiert 1 1 1 der das ist die Sigmar geht bei der Terminal Ereignisse mehr enden der Folge 1 ja mehr mehr ich meine dass das Mengen Systeme ich für einige diese Mengen System ich gekommen die dann im System aus dass ein teilnehmen System von der Signalgeber ab und ich nehme nie davon erzeugte war das eine 30 mal also wenn System das wird die eine Teilmenge von sein Vergehen also für einige die bei nicht die einzelnen drin oder so wobei man sieht wenn ich die einzelnen drin vereinigen wurde ich würde alle Menge wieder laufen lassen kann es gleich aus war weil sich dann leicht klarmachen dass jeder einzelne Signalgeber wieder niemand sollte es den drin ist damit auch die in die Vereinigung okay also bei den TN spielt eben 1. die Signalgebern ab einer gewissen Index-Ende Rolle und bei den T endlich wenn Sie da ein er man daraus greifen dann ist es ja in jedem dieser T drin das heißt letzten Endes spielen nur also kann ich die 1. immer problemlos weglassen beliebig viel am Anfang eines Problem das weglassen oder verändern da kommt immer noch die gleiche Menge also um was da drin ist dann das eben nicht nur von 1. abhängen davon irgendwas vorne muss um das methodisch außer wissen und das hat es sein dass unsere Minister Periode entspricht ich mache Beispiele zu und zwar 2 Stück 1 wir haben Zufallsvariablen X N und um wieder an oder messbare Abbildung von Amiga an RWE und dann wird sich A N als F von X N als Phoenix Endert sollte sich mal und es sei ja einig die nur kann ist so unmittelbar hinschreiben es die kleinste Sigmar gewarnt bezüglich der diese Abbildung des Weißen das exogenes 1 also man alle oder von den Bereichen und dann gucke ich mir an Beispiele für als jetzt will ich die Terminal Ereignisse zu diesem in es gibt da ein und gucke mir Beispiele für eigene daraus ein und die 1. Aussage die ich betrachte würdig machen möchte ist das er nicht mehr an Koopmann ist die Reihe der X den Konvergenz das ist so und Terminals Ereignis behaupte ich also behaupte dieses Ereignis hat die Eigenschaft als es darum ging die unendlich drin ist wenn ich die in sowie ok dazu muss ich begründen dieses Ereignis ist in jeder einzelnen dieser sich Continental sie das immer verliehen als die Menge aller klein und legalen Großanleger wo die Reihe n gleich 1 wissen endlich X von und wieder ohne Kind ist ok ich gewinne man tippen sein Geld nein das Ereignis was uns interessiert mehr wer hat dich wenn sie eine Reihe sich angucken dann kommt ja Konvergenzen offen rein erst an das heißt ich kann erst weglassen seit ich kann genauso gut auch schreiben betrachten wir die meine in großer gleich groß N X den Konvergenz und jetzt behaupte ich können sich überlegen welches Signal die Preise das enthalten das letzte vorschläge vielleicht hilft es wenn ich hier nix N um das wie Schrader das wörtlich gemeint wird das alles landet also das heißt Sigmar gebrannt die Inhalte Ereignisse die betreffen und ich Aussagen über X N also wenn zum Beispiel angucken x 1 große gleich 7 aber dieses Ereignis in der Signalgeber wenn sein wenn Sie jetzt angucken also das ist wenn Sie jetzt mehrere vereinigen KNA in plus 1 1 bis 2 zum Beispiel und davon die erzeugte Signalgeber würden dann haben sie Ereignisse die betreffen eben das X N x n plus 1 x 1 bis 2 das heißt was ich hier mache bei den TN da habe ich Ereignisse die betreffen in dem Spezialfall des X n x n plus 1 x 1 bis 2 und so weiter bis es endlich endlich ja das aber klar was ich hier mache betrifft ja nur die X groß NX groß 1 bis 1 x groß 1 bis 2 das heißt es wird nimmt die großen drin sein für alle n aus das war klar oder Fragen dazu ja also noch die Begründung warum das den TNS was das N STN in dem Spezialfall ist die kleinste 7 Algebra die alle diese A n a n bis 1 1 bis 2 und so weiter enthält am besten zusammengefasst alle Aussagen über X N 1 bis 1 10 zusammengefasst alle Aussagen über X 1 plus 1 und so weiter das heißt hier sind erst mal mehr Zeugen System in der Zeile System drin alle Aussagen über X n x n bis 1 x 1 bis 2 und so weiter wenn seine Signalgeber machen dann können Sie diese Aussagen Runde verknüpfen und dann kommen Sie auf solche Konvergenz Aussagen zum Beispiel und das wir Konvergenz Aussage
betrifft ja die X groß NX groß X groß 1 bis 1 x groß 1 bis 2 und so weiter also das wegen dem T Index groß in Inhalten mehr jetzt besser wir mehr ein ok werden also die Frage war ja das Problem dass gerade die Übersetzung von Aussage Reihe konvergiert in den System gucken und dass man sich dennoch machen dass das sehr eigene Abkürzungen ich habe nichts oben das 1 von einigen Systemen das war nach der Definition Bild jedes einzelne Menge in der man ist wie aus werden dann sehen Sie diese ganzen Urbilder 10. um welche Aussagen über X N also hier können zum Beispiel Aussagen machen X wenn es gleich 7 dann mache ich einfach das Urbild XL oben das 1 von 1 1 7 Moment alles war die einst Signal gibt eine die an Signalgeber machen Aussage über die 1 1 Zufallsvariablen es ist mal klar also ich habe ich mir aus sage mich alle Aussagen über das X N im Prinzip jetzt bei dem TM Betracht ich nicht nur die Aussagen über den XN sollen auch über den X 1 bis 1 x 1 bis 2 x 1 bis 3 und so weiter und dann gar nicht dessen Erzeuger System die man gegen alle drin das Ganze was rauskommt ist das Signal Algebra zum Beispiel auch und welche schnitt der Vereinigung und so weiter drin das heißt ich kann fordern XN ist nahe bei das Siegen gleichzeitig XM plus 1 ist aber das 7 x 1 bis 2 ist klar aber 7 das mache ich es und Schnitt na ja ich muss noch ein bisschen mehr einig davon bisschen mehr hinaus ich muss auf Summen irgendwie hinauskomme also ich brauche nicht nur eine Aussage über XN sonnig brauchen Aussage über so Partial Summen x n x n bis 1 6 1 bis 2 x im bis 3 ich habe die Einzelaussagen drin warum habe ich dann auch so man drin andere wurden die sowas hinaus die können das ja einen wäre Ärzte und Alter XN konvergiert also X 1 und die gleich einem die Reihe können übersetzen in Apps Delta Schreibweise und will dann irgendwie ausdrücken bei Vereinigung von so eines der einzelnen Mengen wir müssen uns ja klar machen die einzelnen Summen sind drin okay vielleicht n Beispiel
ab das noch besser sieht also ist es auch richtig aber ich sehe es gerade selber nicht genau was ich mach mir hier weiter was sich einloggen schreiben wollte der dass dieser Reihe XN ich begrüße Sie beim nächsten Mal noch mal warum das so nun auch drin sind sehe ich Moment selber nicht aber wir machen im 2. Teil nicht ab dem zweiten Teil wird klar werden wir betrachten einfach nur folgen Stationen Betracht ich jetzt Ereignisse das X 1 Konvergenz ist also versuchen Sie es mal nur das zu verstehen dass es notwendig ist und die Begründung der eben im Prinzip die gleiche auch beim folgen kommt nur auf den er auf die Vorgaben diesen Index an ja und jetzt sehen Sie jetzt habe ich eben Aussagen über brauche ich simultan Aussagen über X groß NX groß in das 1 x groß 1 bis 2 x groß 1 bis 3 und das habe ich halt hier diese Sigmar die Partie großen das heißt wenn Sie das Umschreiben irgendein was zum Beispiel das er bei den das es Grusche Folge ist und den Coach Freude Ausdruck mit Konturen die Konto und die damit man Operation ausdrucken dann sehen Sie da kommt ne Menge von Tieren aus Katrin ist das klar ja ein es immer gemeint die Menge aller um
Nigger Kleinanleger aus Großanleger gibt wo das diese Aussage gilt wenn X N durch x Enten und mit ersetzt wird das heißt hier wird sich genau so ein dass es diese Rechte die Klammer Schreibweise ist die Menge der und egal ob gar X N von Anleger in Größe gleich in inkonsequent ist im Sinne von Fällen folgen das wir das gleich das ganze Nico Folge ist dann können Sie schreiben mit Quantoren dann können Sie Epsilon und älter und so weiter und was sie da haben selbst wenn durch eine rationale Zahl setzen und dann können Sie die Panton umschreiben in der Gruppe in Vereinigung und der Bildung und dann sehen Sie da kommen Mengen aus dem wenn die einzelnen Sendern aus den einzelnen Arkas okay aber wird das muss ich mir selber noch mal muss ich meine nächsten mal klarmachen warum also warum auch in dieser zigmal Algebra genau auch die die Summen drin sind mehr okay werden dann mache ich noch ein weiteres Beispiel das wird einig es wird einfacher natürlich mit dem das anfangen sollen wir haben Misstrauen und gar an dann werden wir 1. Debra A N das sei viel die von der vom Ereignis A erzeugte 7 Algebra die unter die leere Menge ohne gar A 1 konnte man von allen und 1. die Behauptung ist dann der Limes der war der A 1 ist den T unendlich Begründung dazu wir gucken und 7 super wir an das war ja dieser unendliche schmettern die unendliche Vereinigungen der AK aus und dann sehen die Mengen über die schneide also diese Vereinigung hier in der Klammer die sich am und und je größer der Index desto kleiner werden sie deswegen ist es egal ob ich über alle schneide ob ich vom Anfang was weglassen weil das ist das gleiche wie wenn große gleich groß N Vergleich im müssen endlich fort einfach weil diese mir für unseren Index ist dann eine Obermenge von der Menge mit und indes ein 1 Uhr Menge von der mit in die 10 bis 2 und so weiter das heißt wenn ich eine weglassen 18 steht nicht aus weil die anderen über die Schneide sind da noch kleiner ok sehen wenn man sich die Definition von TN angucken TNS die von der Vereinigung K gleich 1 bis unendlich der AK erzeugten wäre er ist Dietmar geben aber klar also ist hat sollte sich mal die
erzeugte von dieser Vereinigung der Signalgebern A K K gleich in diesen endlich die
AK enthalten ja natürlich alle die Mengen und also mal geschrieben AK das heißt es da ist in der
Tat was hier steht ist in der in der Vereinigung Karl gleich man das anders argumentieren das Element unendlich wir da war das klar gleich in endlich na klar aus die große 1 ich weiß nicht mehr so recht verdichtet die großen argumentieren die großen ist für den größer gleich groß und T großen ist das
7 Algebra also der Minister wäre waren kann ich so umschreiben bei dem 1. Schnitt kann ich die 1. weglassen ändert nichts daran dieser Meinung die ich hier schneide sind alle in dem Tee enthalten weil es T enthält ja nach alle T groß N enthält ja nach Definition oder ist die kleinste Signalgeber die allen Dingen aus groß N groß im bis 1 großen bis 2 und so weiter enthält also insbesondere ist die kleinste 7 Algebra die alle Mengen Crew also ich jetzt ohne Skript mehr der N wenn dann 1 bis 1 1 bis 2 und so weiter enthält wäre und das Signalgeber es enthält auch die Vereinigung und da anders als auch wieder TM 14 Teil in alle diese Mengen hier da Themen Sigmar geht Weißenfels auf diese absehbar war also ist das im N für beliebiges N und daraus folgt dass der Limes super wir am sogar in den Schmidt von allen gleich 1 bis unendlich der T 1 also Tieren endlich fragen so weit also was habe bis jetzt Ich habe ihn so komische Mengen oder Signalgebern eingeführt und habe ihn Beispiel zugemacht es sollen und welche als pohtischen Aussagen über die zugrunde liegen die vorgegebenen Signalgebern sein im einfaches Beispiel Werder der Limes super Rio sie können sich mal selber überlegen warum ist der Limes inferior auch da drin also war ist der Limes inferior von dir endlich auch wir sind der Ereignisse ein auch in die unendlich drin ich wünsche mir so eine Tafel mehr morgen mehr ok Vorschlag war wir schreiben in dem es Inc also über die Vereinigung über die Schnitte und wenn dann dem Morgen an und dann führen Sie es zurück aufnehme Super war und welche Welten Zusammenhang haben Sie zwischen den zwischen denen ist es super inferior also ich nicht unser Nachbar Komplimente drinnen an aber sie können auch mit einem Schlag umdeuten als den es in der Jahre alten Limes Superior von geeigneten Komponenten sie machen ihn noch mal Komplimente rein aus Norden den bei der Dreck ist also 2. wenn wir uns den Limes inferior der A 1 angucken das ist ja das ging es genau anders rum also der vereinigen erst da einen N schneiden dann wenngleich K wissen endlich die AKS und jetzt mache ich zweimal Komplimente er sich noch einmal Komplimente Komplement ich mache nochmal Kompliment und das Innere Kompliment sich rein mit dem Morden dann sehen Sie dann dreht sich der 1. Oper um Karl Schnitt in N der zweite Oper Arthur dreht sich auch um ja nicht Callcenter da habe ich noch mein Kompliment stehen dann sehen Sie dann steht da der per Jura von allen Kompliment und davon das Komplement jetzt sehen Sie in der ursprünglichen zigmal ich betrachte ist natürliche Signalgeber also in ein Sie noch die ein Kompliment drin das heißt aufgrund des vorigen müssen wir dieser Linie zu Periode ein kommt diesen Terminals Ereignis da das Terminal Ereignis nach Definition des Signalgeber ist es war das Komplement von den Terminal altes drin also es auch dessen die unendlich drin okay aber sich dann letztenendes hinaus will ist der Aussage wie gesagt bei mir Galgen Unabhängigkeit zwar auch aus zum haben alle diese terminalen eignisse die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 das heißt so eine Reihe und war hier so eine Reihe Spiele nutzen Reihe von unabhängigen Zufallsvariablen sein wo die Aussage war sein konvergiert entweder mit Wahrscheinlichkeit 0 oder mit Wahrscheinlichkeit 1 also entweder konvergiert sie war sie nie mit Wahrscheinlichkeit 0 oder sie konvergiert quasi immer was dazwischen geht nicht genauso so der Zeuge von unabhängigen Zufallsvariablen wird period weiß entweder immer Konvergenz sein die Konvergenz hat abgesehen von wenigen um die Unabhängigkeit Voraussetzungen machen zu können brauchen den Erweiterung von Definition 4 1 4 2 ja wir an und wieder abnehmen wir wir haben Mengen Systeme C Teilmenge an und diese Familie von Mengen System heißt unabhängig weil es für jede Wahl von Ereignissen C aus kürzt die diese C unabhängig sind genau dann wenn für jede Wahl sie erhalten für jede Wahl von Ereignissen CIO Skript sie sind diese Ereignisse C unabhängig ich mache in den nächsten 1 2 Beispiele dazu mit dass nur schnell den Satz formulieren und wenn es dann den nächsten 2 Stunden geht das hier vor 19 oder nächste anderthalb vorlesen stünde 0 1 Gesetz war comma gehofft wir haben Wahrscheinlichkeit Raum ohne gerade wenn eine unabhängige Folge von Sigmar geht wenn er ein neues dann gilt für jedes terminale Ereignis von A in entweder P 1 gleich 0 oder P von gleich 1 mehr also jedes einzelne dieser Termin an Ereignisse Art Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 und Folgerungen wird was eine gerade eben Folge von unabhängigen Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit dass die Reihe diese Zufallsvariablen konvergiert ist entweder 0 oder 1 die Wahrscheinlichkeit dass die Folge konvergiert ist in der 1 fragen so weit dann der sollte
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