Bedingte Erwartung Teil 2
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Formal Metadata
| Title |
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| Title of Series | ||
| Part Number | 20 | |
| Number of Parts | 28 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/36000 (DOI) | |
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Content Metadata
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Conditional expectationSet (mathematics)ZahlProbability theoryRandom variableField extensionExpected valueAverageComplementarityFiber (mathematics)Abbildung <Physik>IntegrierbarkeitProbability spaceSigma-algebraSubsetMathematicianLogical constantPopulation densityAlgebraPhysical quantityMittelungsverfahrenFunction (mathematics)Set theoryExponential functionReal numberPlane (geometry)Raum <Mathematik>Computer animationLecture/Conference
10:05
Error correction modelSet (mathematics)Expected valueComplementarityProbability spaceLogical constantConditional expectationSubsetRandom variableAlgebraAbbildung <Physik>Axiom of choiceDepictionRestriktion <Mathematik>CalculationPlane (geometry)INTEGRALRotationMittelungsverfahrenGradientLecture/Conference
20:03
Conditional expectationLogical constantExpected valueLecture/ConferencePanel painting
22:47
Random variableFactorizationAverageSet (mathematics)Propositional formulaIntegrierbarkeitConditional expectationSubsetProbability spaceExpected valueLogical constantLineare FunktionRestriktion <Mathematik>Well-formed formulaEckeLecture/Conference
30:25
Random variableLogical constantFunction (mathematics)WahrscheinlichkeitsmaßExpected valueSet (mathematics)Conditional expectationLink (knot theory)NullLecture/ConferencePanel painting
38:03
Conditional expectationExpected valueRandom variablePlane (geometry)Lecture/ConferencePanel painting
45:42
Expected valueRandom variableMeasurable functionIntegrierbarkeitSet (mathematics)Moment (mathematics)Inequality (mathematics)INTEGRALProduct (category theory)Conditional expectationLecture/Conference
52:50
Function (mathematics)Expected valueINTEGRALSummationRandom variableConditional expectationIndexSet (mathematics)ApproximationFilm editingMassKonferenz Europäischer StatistikerSigma-algebraLecture/Conference
59:58
Conditional expectationExpected valueTetraederRandom variableAbsolute valueDirection (geometry)IntegrierbarkeitFunction (mathematics)Product (category theory)MultiplicationEnde <Graphentheorie>Lecture/ConferencePanel painting
01:09:40
Finite element methodExt functorConditional expectationExpected valueSubsetINTEGRALFactorizationHaar measureZahlSet (mathematics)Lecture/Conference
01:17:04
Conditional expectationExpected valueSet (mathematics)Random variableSubsetLecture/ConferencePanel painting
Transcript: German(auto-generated)
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Ja, ich begrüße Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich wurde von Herrn Kiel gebeten, hier auch noch mal eine Ankündigung zu machen, nämlich also dringend in der Vorlesung W-Theorie ansagen,
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wer noch in diesem Jahr einen von Herrn Kiel unterschriebenen Prüfungsplan benötigt, den Sie anscheinend irgendwie zum Anmelden für Prüfungen brauchen, soll sich bitte noch diese Woche an die Sekretärin Frau Utecht wenden. Und Telefonnummer von Frau Utecht und E-Mail. E-Mail wäre Utecht at Mathematik und so weiter. Und Telefonnummer finden Sie bei uns im Web.
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Okay, das haben wir angekündigt. Dann hatte ich Ihnen beim letzten Mal den Begriff der bedingten Erwartungen gegeben, eine Sigma-Algebra eingeführt. Wir haben zugrunde gelegt einen Wahrscheinlichkeitsraum Omega A P,
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eine erweitert reellwertige integrierbare Zufallsvariable X definiert auf diesen Wahrscheinlichkeitsraum und eine Unter-Sigma-Algebra C von der Sigma-Algebra A des Wahrscheinlichkeitsraums. Dann heißt jede Abbildung Z von Omega nach R,
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die die folgenden drei Eigenschaften hat. Erstens, dieses Z ist Cb messbar, also nicht nur wie das Xa bequermessbar, sondern sogar reellwertig und Cb messbar. Zweitens, Z ist integrierbar. Und drittens, die Verteilung von dem Z hängt mit der Verteilung von dem X so zusammen,
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das gilt für alle C. Aus C ist das Integral über Cx dp gleichem Integral über Cz dp. Das heißt, ob Sie X gemittelt über der Menge C betrachten oder Z, da kommt beides Mal das Gleiche raus,
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dann heißt diese Abbildung oder auch die Menge aller dieser Abbildungen mit diesen drei Eigenschaften bedingte Erwartung von X bei gegebenem C. Wir hatten schon beim letzten Mal gemerkt, das ist irgendwie ein komischer Begriff, er ist deutlich allgemeiner als der bisherige Erwartungswert, weil der bisherige Erwartungswert war relativ einfach,
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war eine reelle Zahl, konnte sich als Mittelwert deuten. Das Ding sieht nicht mehr irgendwie einfach aus, aber wir werden in den, also heute werde ich primär Eigenschaften davon beweisen und dann in der Woche, in der ersten Vorlesungswoche vom Januar werden wir entsprechende Erweiterungen von der Definition betrachten und werden am Schluss enden mit der bedingten Erwartung von einer,
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von X gegeben dem Wert einer anderen Zufallsvariable. Und das wird dann wieder eine Zahl sein und die wird sich so deuten lassen, dass wir den Mittelwert von der einen Zufallsvariable nehmen bei festgehaltenem Wert der anderen Zufallsvariable. Wir haben dann gesehen, in der obigen Definition existiert
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immer mindestens ein Z, das 1 bis 3 erfüllt und zwei solche Abbildungen stimmen immer P fast sicher über 1. Und ich habe dann Beispiele gemacht, unter anderem das Beispiel, wenn C nur die leere Menge und ganz Omega ist,
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dann ist jede Cb-messbare Abbildung konstant und diese Konstante muss dann der Erwartungswert von X sein, aufgrund von 3. Und das zweite Beispiel, wo wir stehen geblieben waren, war das Beispiel, wenn C besteht aus der leeren Menge, einer Menge B deren Komplement und Omega, wobei eine B eine Menge aus A ist, P von B ist eine Zahl echt zwischen 0 und 1,
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dann gilt der bedingte Erwartungswert von X gegeben C. An der Stelle Omega ist, falls Omega ein B ist, gerade das Integral über B x dP geteilt durch P von B und falls Omega ein B-Komplement ist, der gleiche Ausdruck mit B ersetzt durch B-Komplement.
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Und hierbei, also ich jetzt mal direkt fort, das war das, also wir hatten Beispiele, dann A, B, C und hierbei wird dann das, was da eingeführt wird,
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dieses Integral über B x dP geteilt durch P von B bezeichne ich als bedingten Erwartungswert von X gegeben B
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und das Ding heißt bedingte Erwartungswert von X unter der Hypothese B.
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Bedingte Erwartungswert von X unter der Hypothese B.
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Also ist irgendwie klar, dass das ein bedingter Erwartungswert ist
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oder dass das dem entspricht, was ich als bedingten Erwartungswert hier vorstelle, weil ich mittel ja eigentlich dieses X eben nur noch über die Menge B, teile hier noch durch P von B, um auszugleichen, dass ich nicht über ganz Omega gemittelt habe. Aber dieser Begriff geht im Allgemeinen eben ein bisschen zu kurz,
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weil damit kann ich jetzt auch zum Beispiel den bedingten Erwartungswert von X gegeben, eine Zufallsvariabel Y oder gegeben den Wert von Großy gleich Kleiny definieren, indem ich eben genau als B diese Menge Großy gleich Kleiny, also Menge aller Omega, wo Großy von Omega gleich Kleiny ist, einsetze.
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Aber da setze ich eben voraus, dass P von B größer Null ist. Dann klappt das. Aber Sie wissen, sobald diese Zufallsvariabel Y eben eine Dichte hat, dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine Einpunktmenge angenommen wird,
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ein Festerwert angenommen wird, immer gleich Null sein. Das heißt, der Begriff geht dann nicht mehr. Aber das wäre so eine elementare Möglichkeit, wie man einen bedingten Erwartungswert definieren könnte, aber greift eben konzeptionell insgesamt zu kurz. Vielleicht noch sollte ich ganz kurz sagen, es gibt noch eine Prüfungsfrage zur letzten Vorlesung.
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Und die Prüfungsfrage wäre die Prüfungsfrage 28. Sei Omega AP ein W-Raum, X Omega AP nach R quer B quer integrierbar und C Teilmenge A eine Sigma-Algebra. Wie ist dann der bedingte Erwartungswert von X gegeben C definiert? Das heißt, da müssten Sie eben sagen, ja, das ist eine Zufallsvariabel, die diese drei Eigenschaften hat.
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A integrierbar, B messbar, C diese Verteilung hängt über diese Integralbedingung. Mit der Verteilung von X zusammen. Gut, was ich jetzt eigentlich machen muss,
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ich muss das begründen, dass das der bedingte Erwartungswert ist. Dazu muss ich eigentlich nochmal hinschreiben, was die Behauptung ist.
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Also Begründung von, ja, das wäre hier das E, X, B, Omega aus B.
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Das zweite war das E, X, B Komplement.
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Und C bestand hier aus den vier Mengen, leere Menge, Omega, B und B Komplement. Wir haben im Prinzip beim letzten Mal schon gesagt, wie es geht. Ich begründe eins, also ich begründe diese rechte Seite, hat die beiden oder hat die drei Eigenschaften, die ich brauche.
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Integrierbarkeit ist klar, weil es ja eine Funktion, die hat nur zwei endliche Werte, die ist klarerweise integrierbar. Ich muss die Messbarkeit begründen und ich muss die Integralbedingungen begründen. Messbarkeit ist auch klar, weil Funktionen, die C, B messbar sind, müssen eben stückweise konstant auf B und B Komplement sein.
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Also rechte Seite ist C, B messbar. Schreibe ich mal dahinter. Also sie machen sich eben leicht klar, wenn sie das Urbild von einer beliebigen Menge betrachten.
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Bei dieser Abbildung, die konstant ist auf B und konstant ist auf B Komplement. Dann, je nachdem, ob diese Menge eben diesen Wert oder diesen Wert enthält, kommt eben entweder die leere Menge, Omega, B oder B Komplement raus und erfüllt.
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Ja, jetzt rechnen wir die Integralbedingungen nach. Das heißt, ich muss zeigen, das Integral über eine beliebige Menge aus C, zum Beispiel über die leere Menge von der rechten Seite,
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soll gleich dem Integral über X über diese Menge sein. Ja, aber wenn sie über die leere Menge integrieren, kommt Null raus. Und das ist natürlich das Gleiche, wie wenn sie über X integrieren, die leere Menge.
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Dann machen sie das Gleiche mit B, Integral über B. Auf B ist der Erwartungswert jetzt konstant, nämlich dieser elementarebedingte Erwartungswert hier. Das heißt, wir integrieren eigentlich über Integral über Bx dP durch P von B dP.
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Dann sehen Sie, der Integrant ist konstant. Das heißt, es gibt gerade P von B mal den Funktionswert, oder mal das Integral über B1 dP.
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Und dann sehen Sie ja, da kommt wieder P von B raus, kürzt sich weg, kommt das Integral über Bx dP raus.
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Dann müssen Sie das Gleiche mit B Komplement machen. Ja, das geht genau analog. Also Integral, B Komplement, rechte Seite, ist gleich analog.
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Und dann müssen Sie das Ganze noch über ganz Omega machen.
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Ja, und wenn Sie das machen, dann splitte ich das Integral auf, über das Integral über B und Integral über D, B Komplement.
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Dann, nach dem obigen, kann ich hier das Integral über die rechte Seite jeweils durch das Integral über X ersetzen.
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Dann sehen Sie ja, jetzt kommt das Integral über Omega dP raus. Und wir sind fertig, weil wir haben die Integralbedingungen für die vier Mengen, für die sie gelten muss, nachgerechnet.
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Ja, und wenn Sie es genau angucken, dann sehen Sie auch, diese Darstellung von der bedingten Erwartungswert von X gegeben C
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ist sogar eindeutig, weil wenn Sie eine andere Funktion haben, die auch ein bedingter Erwartungswert von X gegeben C ist, dann muss die eben auch die gleiche Bauart haben. Also hier einen Funktionswert annehmen, hier einen zweiten Funktionswert annehmen. Und aus der Rechnung hier sehen Sie, der eine Funktionswert,
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der rauskommt, muss eben gerade dieses, ja, da kommt ja A mal P von B dann raus, wenn A der Funktionswert ist. Und das muss gerade gleich Integral über B, X, dP sein. Können Sie nach A auflösen, sehen Sie, das A muss in der Tat Integral über B, X, dP geteilt durch P von B sein.
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Also diese Darstellung ist auch eindeutig an der Stelle. Gut, haben Sie Fragen soweit? Fragen? Keine Fragen.
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Kommen wir zu den eigentlichen Eigenschaften. Das gibt den Satz 7.3. Wir haben Wahrscheinlichkeitsraum omega A P,
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zwei Zufallsvariablen drauf, X und X I. Der I läuft X, X1, X2 eigentlich. Der Sigma A kriegt gerade C Teilmenge A. Also wir haben W-Raum.
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Dann haben wir Zufallsvariablen X2 auf omega A P
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mit Werten in R quer. Wir haben eine Sigma algebra C Teilmenge A. Und ich habe noch konstanten C alpha 1 alpha 2.
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Ja, und ich brauche noch integrierbar. Also ich brauche noch X, X1, X2 integrierbar.
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Weil ich gleich X1, X2, weil ich gleich bedingte Erwartungswerte hinschreibe. Das heißt, ich habe erweitert reellwertige Zufallsvariablen, die integrierbar sind.
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Erste Beziehung für alle C aus C habe ich. Wenn ich das Integral über C vom bedingten Erwartungswert von X gegeben C dP bilde,
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das muss nach Definition eben gerade das Integral über C über X dP sein. Also das ist eigentlich klar, folgt unmittelbar aus der Definition. Zweite Beziehung, wenn X gleich C P fast sicher ist.
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Also X ist mit Wahrscheinlichkeit eins, eine Konstante. Klar, dann ist auch der bedingte Erwartungswert von X gegeben C die Konstante C. Ja, werden wir nachher gleich sehen, weil die Konstante oder nachher noch mal hinschreiben.
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Die Konstante erfüllt eben die Messbarkeitsbedingungen und erfüllt auch die Integralbedingungen. Ja, ich brauche auch wieder ein fast sicher.
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Weil ich kann es theoretisch noch auf einer Nullmenge abändern. C, wenn X größer gleich Null ist, P fast sicher.
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Dann folgt daraus, dass der Erwartungswert von X gegeben C auch größer gleich Null ist. P fast sicher. Also ich schreibe einmal fast sicher, einmal P fast sicher, weil ich mit dem fast sicher eigentlich die Restriktion von P auf C fast sicher meine.
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Ich schreibe mal hinterher noch drunter. D, der bedingte Erwartungswert von Alpha 1 X 1 plus Alpha 2 X 2 gegeben C ist gleich Alpha 1 mal
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der bedingte Erwartungswert von X 1 gegeben C plus Alpha 2 mal der bedingte Erwartungswert von X 2 gegeben C fast sicher.
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Das werden wir wieder relativ elementar sehen, dass eben die rechte Seite die Eigenschaften hat, die der bedingte Erwartungswert nach Definition haben sollte.
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Aus C und D kann man dann folgern E. Wenn X 1 kleiner gleich X 2 ist P fast sicher, dann ist auch der bedingte Erwartungswert von X 1 gegeben C kleiner gleich den bedingten Erwartungswert von X 2 gegeben C.
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Auch das wird eigentlich elementar aus C und D folgern, weil aus X 1 kleiner gleich X 2 folgt sofort X 2 minus X 1 ist größer gleich Null. Sie wenden darauf C an und ziehen dann den bedingten Erwartungswert wieder auseinander. Werden Sie nachher im Beweis gleich sehen. Und F ist auch wieder elementar oder sieht man sofort X C D messbar.
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Dann ist der bedingte Erwartungswert von X gegeben C gleich X fast sicher. Also auch das ist eigentlich klar, weil die rechte Seite eben dann die Messbarkeiten integral Bedingungen erfüllt.
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Aber was nicht mehr klar ist, das ist G. Was dann doch keine Mühe macht. Aber was Sie nicht gleich sehen werden ist, wenn X integrierbar ist, Y soll Cb messbar sein und X mal Y soll ebenfalls integrierbar sein.
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Dann folgt. Ich bilde den bedingten Erwartungswert von X mal Y gegeben C.
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Das kann ich, weil ich vorausgesetzt habe, dass X mal Y integrierbar ist. Also kann ich den bedingten Erwartungswert ist wohl definiert. Und ich behaupte, dass es das gleiche. Also da kann ich so tun, als wäre Y eine Konstante, weil ich auf C bedinge und das rausziehen.
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Das ist Y mal bedingte Erwartungswert von X gegeben C. Und das ist jetzt irgendwie nicht klar. Das ist eigentlich die Eigenschaft, die man irgendwie nicht sieht, warum so ist.
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Aber Sie werden nachher gleich ein Beweis sehen. Ist auch nicht schwierig. Dann formulieren wir das Ganze nochmal. Ja, ich könnte es jetzt hier hinschreiben. Muss ich erst die hochschieben.
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Komma H. Es ist eine Folgerung daraus. X, X Strich integrierbar. Wo kommt denn X Strich her? Ja, interessant. Also X, X Strich integrierbar.
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Das heißt, ich habe jetzt eine weitere Zufallsvariable X Strich, die auch noch auf meinem Wahrscheinlichkeitsraum lebt und die ich oben nicht hingeschrieben habe. Produkt von X mal Erwartungswert von X Strich gegeben C sei auch integrierbar.
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Dann kann ich folgern. Der bedingte Erwartungswert von dem Produkt X mal X Strich gegeben C gegeben C. Ja, Sie sehen, das darf ich jetzt hinschreiben, weil ich ja vorausgesetzt habe, dass dieses Produkt integrierbar ist.
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Und dann sehen Sie auch, ja, das ist jetzt Cb messbar. Dann wende ich die obelge Eigenschaft an und ziehe es raus. Das ist der bedingte Erwartungswert von X Strich gegeben C mal bedingte Erwartungswert von X gegeben C.
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Das heißt, ich kann hier wieder so einen Teil rausziehen. Ja, letzter Teil des Satzes Eigenschaft I.
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Ich habe Sigma-Eigene C1, C2. Mit C1 ist eine Teilmenge von C2 und es ist eine Teilmenge von A.
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Dann bin ich einerseits den bedingten Erwartungswert vom bedingten Erwartungswert von X gegeben C1. Und das bedinge ich auf C2.
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Und ich behaupte, was da rauskommt, ist der bedingte Erwartungswert von X gegeben C1 fast sicher. Und ich glaube auch hier habe ich das fast sicher vergessen. Also hier fällt mir fast sicher.
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Und das könnten Sie eigentlich schon fast wieder sehen, weil der bedingte Erwartungswert von X gegeben C1 ist ja C1 bemessbar und damit auch C2 bemessbar.
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Das heißt, das ist eigentlich ein Spezialfall von F. Aber die zweite Eigenschaft, ich kann es auch umgekehrt hinschreiben, von X gegeben C2 und dann gegeben C1 ist auch der bedingte Erwartungswert von X gegeben C1.
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Das ist so etwas, wie ich mitlebe bei festgehaltener Information, die in C1 und C2 drin steckt. Und wenn ich das halt iteriert mache, dann kommt eben der Mittelwert raus, den ich bekomme, wenn ich bei möglichst wenig gegebener Information mitlebe.
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Das können Sie so irgendwie deuten. Ja, und jetzt muss ich noch etwas zu dem fast sicher schreiben. Hier bei F und S steht für Restriktion C fast sicher, C, P fast sicher,
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beziehungsweise irgendwo auch für Restriktion auf C1, P fast sicher.
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Das müsste eigentlich ein I sein. Also im Prinzip ist es ein bisschen unglücklich, was ich da immer hinschreibe mit diesen Restriktion C fast sicher,
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weil eigentlich kann ich nur ein fast sicher hinschreiben und aufgrund der jeweiligen, oder ein P fast sicher, immer ein P fast sicher erwähnen, aber aufgrund der jeweiligen Messbarkeitseigenschaft von den Ausdrücken, die rauskommt, kommt dann automatisch diese Restriktion C fast sicher mit raus. Das ist eigentlich mathematisch die gleiche Aussage, steckt nicht mehr dahinter.
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Okay, gehen wir es nochmal durch, sind eine Menge Aussagen. Erste Aussage, ja, erste Aussage folgt direkt aus der Definition. Zweite Aussage folgt mehr oder weniger direkt aus der Definition. Dritte Aussage macht ein bisschen Mühe, werden wir gleich zeigen.
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Also X großer gleich Null, dann ist auch der bedingte Erwartungswert großer gleich Null. Vierte Aussage ist eine Linearität, wobei es nicht genau eine Linearität ist, weil wir hier noch ein fast sicher drin haben. Das heißt, bei jeder anderen Linearkombination haben Sie eine andere Ausnahmemenge. Das heißt insgesamt nicht eine lineare Funktion. Fünfte Aussage ist dann Monotonie, folgt aus den beiden vorigen.
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Sechste Aussage ist eigentlich fast wieder direkte Definition. Siebte Aussage macht wirklich Arbeit, oder was heißt wirklich Arbeit, ist wirklich erstaunlich, kann man sagen. Ich kann so einen CB-messbaren Faktor rausziehen. Dahinter steckt eben die Vorstellung, das ist ein Mittelwert bei festgehaltenen Informationen,
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die in der Sigma algebra C drin steckt. Und wenn dieses Y eben CB-messbar ist und ich halte die Information, die da drin steckt, fest, dann verhält sich das Y wie eine Konstante. Die nächste Aussage ist das Ganze nur umgeschrieben. Und dann kommt noch eine Aussage, was passiert, wenn ich iteriert so bedingte Erwartungen bilde.
29:41
Da kommt die raus bezüglich der kleineren Sigma algebra. Okay, Fragen soweit?
30:01
Ob die letzte Aussage I auch genauso für eine beliebige Familie? Ja, was meinen Sie mit beliebiger Familie? Sie es nicht nur zweimal machen, sondern ganz, ganz, ganz oft. Aber ich meine, ganz, ganz, ganz oft können Sie es gar nicht machen, weil Sie müssen es ja sukzessive machen, also es muss schon mal abzählbar sein irgendwie. Und naheliegenderweise kann ich es endlich oft machen, dann geht es genauso.
30:22
Und wenn Sie es jetzt unendlich oft machen, ja unendlich oft habe ich irgendwie ein Problem, wie ich das überhaupt unendlich oft mache. Naja, aber ich meine, wie machen Sie die linke Seite, also die rechte Seite ist klar, wie Sie die rechte Seite unendlich oft machen, aber wie machen Sie die linke Seite unendlich oft?
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Wo ist da der Grenzwert? Also Sie würden das immer wieder machen und dann einen Grenzwert bilden. Also, hier würde ich sagen, gilt eben, wenn Sie es endlich oft machen. Okay, weitere Fragen?
31:10
Ja, dann fangen wir mal an mit einem Beweis.
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A folgt direkt aus der Definition. Das ist nur die eine Integralbedingung der Definition noch mal hingeschrieben.
31:40
B, x gleich c, p fast sicher. Dann ist auch der Erwartungswert von x gleich c fast sicher. Ja, die Konstante erfüllt die Messbarkeit und Integrationsbedingungen. Also klar, da Konstante.
32:11
Klar, da konstante Messbarkeit und Integralbedingungen erfüllt.
32:30
Okay, z-Teil, x sei größer als 0, p fast sicher. Sei x größer als 0, p fast sicher.
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Für c aus c gilt dann, wenn ich das Integral über diesen bedingten Erwartungswert von x gegeben c bezüglich c-Bilde dp,
33:04
dann ist es ja nach Definition gleich dem Integral über x. Und weil x größer als 0 ist, ist dieses Integral auch größer als 0.
33:23
Also haben wir für alle c aus c, dass dieses Integral größer als 0 ist. Und ja, wir hatten sowas schon mal. Daraus folgt die Funktion selber als größer als 0. Und ich hatte hier irgendwie einen einfacheren Beweis als beim letzten Mal hingeschrieben.
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Ja, ich setze ein spezielles c ein. 0 ist dann kleiner gleich als wenn ich über die Menge integriere, wo der bedingte Erwartungswert von x gegeben c kleiner als minus 1 durch n ist.
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Weil der bedingte Erwartungswert von x gegeben c b messbar ist, ist es natürlich eine Menge aus c. Also bedingte Erwartungswert von x gegeben c dp.
34:22
Wir haben dann das. Und jetzt kann ich abschätzen, auf dem Integrationsbereich ist der Integrant kleiner als minus 1 durch n. Das heißt, das Ganze ist kleiner gleich als minus 1 durch n,
34:43
weil das Integral über die 1. Und das ist gerade die Wahrscheinlichkeit von bedingten Erwartungswert von x gegeben c kleiner als minus 1 durch n. Und dann sehen Sie, das kann eben nur sein, wenn diese Wahrscheinlichkeit hier gleich 0 ist.
35:23
Daraus folgt diese Wahrscheinlichkeit, dass der bedingte Erwartungswert von x gegeben c kleiner als minus 1 durch n ist. Die ist gleich 0.
35:42
n war beliebig. Ja, und jetzt gucke ich mir die Wahrscheinlichkeit an, dass dieser bedingte Erwartungswert kleiner als 0 ist.
36:05
Ich beachte die Folge der Ereignisse, dass der bedingte Erwartungswert kleiner als minus 1 durch n ist, konvergiert gegen dieses Ereignis, dass der Erwartungswert von x geben c kleiner 0 ist, und zwar von unten.
36:21
Dann ist das Wahrscheinlichkeitsmaß stetig von unten. Das ist ein Limes n gegen unendlich. Von der Wahrscheinlichkeit. Ja, dann sehen Sie, die ganzen sind 0. Dann ist der ganze Limes auch 0.
36:43
Und wir haben C gezeigt. Fragen soweit?
37:12
Gut, dann kommen wir zu D. D ist die Linearität. Also ich will zeigen, der bedingte Erwartungswert von alpha 1 x 1 plus alpha 2 x 2 ist gerade die Linearkombination der beiden Erwartungswerte hier.
37:28
Ich zeige dafür, dass die rechte Seite genau die Eigenschaften hat, die dieser bedingte Erwartungswert nach Definition haben muss.
37:40
Es ist klar, die rechte Seite ist cb-messbar als Linearkombination von cb-messbaren Funktionen. Es ist auch klar, die rechte Seite ist integrierbar als Linearkombination von zwei integrierbaren Zufallsvariablen.
38:01
Also nach Definition war ja der bedingte Erwartungswert gegeben, das Sigma-Algebra, eine integrierbare Zufallsvariable. Und ich muss dann eben noch die Integralbedingungen nachrechnen. Weil die rechte Seite ist cb-messbar und integrierbar und erfüllt.
38:38
Ja, jetzt nehme ich mir einen für c aus c. Integral über c.
38:49
Also alpha 1.
39:12
Und ich muss zeigen, das Ganze ist das Integral über c über alpha 1 x 1 plus alpha 2 x 2.
39:23
Sehen Sie, warum das der Fall ist? Also warum kommt da das Integral über c alpha 1 x 1 plus alpha 2 x 2 raus?
39:43
Das Integral ist denn ja, das heißt, ich ziehe das auseinander, also ziehe das Integral direkt zu den bedingten Erwartungswerten rein. Und dann sehe ich, dann kann ich beides mal die Definition ausnützen. Dann steht da das Integral über c x 1 dp und Integral über c x 2 dp. Und dann kann ich das Integral wieder zusammenfassen.
40:02
Also das ist gleich, nein, ich mache es drunter. Alpha 1 mal Integral über c, bedingte Erwartungswert von x 1 gegeben c dp plus alpha 2 mal Integral über c, bedingte Erwartungswert von x 2 gegeben c dp.
40:28
Dann nehme ich die Definition. Dann kommen wir auf alpha 1 mal den Integral über c, x 1 dp plus alpha 2 mal Integral über c, x 2 dp.
40:49
Und dann mache ich den gleichen Trick wieder rückgängig. Das heißt, Integral ist nach wie vor linear. Also kommt das Integral über c raus, über alpha 1 x 1 plus alpha 2 x 2 dp.
41:09
Und daraus folgt d.
41:20
Okay, haben Sie Fragen soweit?
41:47
Das war jetzt die erste Hälfte vom Beweis. Die E haben wir im Prinzip auch schon, geht ganz schnell. F ist ganz schnell. Und G macht dann noch Arbeit und E macht noch ein bisschen Arbeit.
42:01
Aber würde ich sagen, machen wir nach der Pause. Ich mache 5 Minuten Pause zum Tafelwischen. Und wir machen dann um 3.11 Uhr weiter. Ja, würde ich ganz gern weitermachen.
42:33
Ja, kommen wir zu Teil E. x 1 ist leider gleich x 2 dp fast sicher.
42:55
Daraus folgt, dass x 2 minus x 1 größer gleich 0 dp fast sicher ist.
43:09
Darauf kann ich jetzt den Teil C anwenden. Dann ist der bedingte Erwartungswert von x 2 minus x 1 gegeben c größer gleich 0.
43:31
Und damit kann ich jetzt den Teil von gerade eben anwenden. Das war wohl Teil D dann. Das hier ist C.
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Daraus folgt mit D der bedingte Erwartungswert von x 2 gegeben. Also, dieses bedingte Erwartungswert von x 2 minus x 1 kann ich jetzt umschreiben. Als bedingten Erwartungswert von x 2 gegeben C. Minus bedingten Erwartungswert von x 1 gegeben C. Und dann ist auch das größer gleich 0 fast sicher.
44:01
Ja, und dann sehen Sie, das impliziert der bedingte Erwartungswert von x 1 gegeben C. Ist gar nicht leicht, den bedingten Erwartungswert von x 2 gegeben C. Was zu zeigen war. Fast sicher.
44:20
Ach so, dann steht da noch F. F ist klar. Also F heißt x c benutzbar. Dann wollen wir folgern. Der bedingte Erwartungswert von x gegeben C ist gleich x fast sicher. Das ist klar, weil x eben die Messbarkeits- und Integralbedingungen erfüllt.
45:09
Also da ist auch nichts zu machen. Und jetzt kommen wir zu dem, was wir eigentlich wirklich ein bisschen arbeiten müssen. Nämlich G.
45:21
Also G. Ich habe gegeben integrierbare Zufallsvariable. X c b messbare Zufallsvariable. Y. Produkt von den beiden ist integrierbar. Damit kann ich den bedingten Erwartungswert von dem Produkt gegeben C hinschreiben. Und behaupte, das ist gleich y mal den bedingten Erwartungswert von x gegeben C.
45:47
Ich kann mir überlegen, ja. Ich zeige eben, die rechte Seite erfüllt die Bedingungen der Bedingungen. In der Definition der bedingten Erwartungen. Das heißt, die rechte Seite ist messbar. Das ist klar als Produkt von zwei messbaren Funktionen.
46:02
Die rechte Seite ist integrierbar. Das ist nicht mehr so klar. Und wenn wir das mal vernachlässigen. Und dann kommt noch die Integralbedingungen, die ich auch noch brauche. Und ist auch nicht so klar, wie das gehen soll. Wir machen das so, dass wir den Beweis erstmal im Fall, dass y und x größer als Null sind.
46:23
Also nicht negativ sind führen. Fall eins. Warum mache ich das so? Na ja, dann habe ich weniger Probleme mit der Integrierbarkeit.
46:44
Also integrierbar oder dass das Ding dann nicht integrierbar ist. Kleinen Moment. Nicht integrierbar ist, kann dann nur noch auftauchen, wenn das Integral gleich und endlich ist. Und das kann ich ausschließen über diese Integralbedingungen, die ich dann sowieso zeigen muss. Sind Sie eine Frage?
47:22
Okay, Sie haben einen Alternativbeweis. Also Ihr Vorschlag war x mal y ist integrierbar. Ist richtig. Deswegen ist x mal y auch cb messbar? Nee. Das nicht.
47:44
Ach so, Ihr Vorschlag wäre der bedingte Erwartungswert. Ja, wenn x irgendwie cb messbar wäre, wäre die Sache einfach. War das Ihr Vorschlag? Aber das behaupte ich nicht. Wenn x cb messbar wäre, dann würde dann nur x mal y gleich x mal y mal x stehen.
48:02
Das wäre noch relativ einfach. Nee, der Beweis ist ein bisschen schwieriger. Also ich mache ein bisschen Arbeit. Aber auch nicht altviel. Also die Idee ist, ich betrachte oder was ich mache als Trick. Ich betrachte erstmal, dass x und y größer als Null ist. Da kann ich den Beweis einfacher führen. Und dann führ ich den anderen Fall darauf zurück.
48:23
Und jetzt überlegen wir uns, dass die rechte Seite erfüllt natürlich, ist natürlich cb messbar. Oder y mal bedingter Erwartungswert von x gegeben c ist cb messbar.
48:47
Deshalb genügt es zu zeigen.
49:02
Wir machen römisch 1. Diese Zufallsvariable ist integrierbar. Und römisch 2.
49:21
Diese Integralbedingung liegt vor. Das heißt für alle c aus c. Integral über c. Y mal bedingter Erwartungswert von x gegeben c. Dp. Ist gleich dem Integral über c.
49:44
x mal y dp. Und wenn ich die beiden Sachen noch gezeigt habe, dann ist die Behauptung im ersten Fall, dass x und y nicht negativ ist, gezeigt.
50:08
Dann überlegen wir uns, y ist nicht negativ. x ist nicht negativ. Nachteil c. Weil dann auch der bedingte Erwartungswert von x gegeben c nicht negativ. D.h. das Produkt hier ist eine nicht negative Zufallsvariable.
50:22
Um zu zeigen, dass die integrierbar ist, muss ich zeigen, dass der Erwartungswert kleiner und endlicher ist. Gucken wir uns den Erwartungswert an. Den kann ich bilden, indem ich das Ding über ganz Omega integriere. C war eine Sigma-Eigepa Omegas drin enthalten. D.h. ich kann in 2 c gleich Omega einsetzen. Dann sehen Sie, da kommt hier das Integral über Omega x mal y dp raus.
50:45
Und nach Voraussetzung war x mal y integrierbar. D.h. das ist kleiner als unendlich. D.h. ich kriege jetzt 1 geschenkt, wenn ich 2 nachweise. Also da eben y mal der bedingte Erwartungswert von x gegeben c größer als 0 ist.
51:10
Vergleiche c folgt 1 aus 2.
51:26
Setze c gleich Omega. Und wir beachten, x mal y war integrierbar.
51:47
Also muss ich jetzt nur noch 2 nachweisen. Kommen wir zum Nachweis von 2.
52:07
Das mache ich jetzt. Es ist nicht so ganz klar, wie das gehen soll. Aber der Trick ist jetzt, ich mache die übliche Induktion über die Struktur von y. Ich setze y erstmal als Indikatorfunktion an.
52:21
Dann werde ich das ganz schnell nachrechnen. Und dann ziehe ich das entsprechend hoch. Okay. Wir betrachten den Fall, dass y eine Indikatorfunktion ist. Und da y ja cb messbar ist, ist die Menge, wo es dann 1 ist, eine Menge aus c.
52:56
Wenn Sie das machen, sehen Sie die Behauptung eigentlich sofort. Dann gilt, ich bilde das Integral über c.
53:05
y bedingte Erwartungswert von x gegeben c dp. Und dieses doppelte Verwendung des Buchstaben c war vielleicht nicht so schlau. Also wir nehmen ein b vielleicht besser.
53:23
An dieser Stelle mit einem b aus c. Weil ich habe ja schon ein c. Sie setzen ein. Integral über c. 1b. Bedingte Erwartungswert von x gegeben c dp.
53:48
Und ich behaupte jetzt, das ist das gleiche, wie das Integral über b geschnitten c. Bedingte Erwartungswert von x gegeben c dp.
54:07
Ja, da müssen Sie sich klar machen, wie definiere ich ein Maßintegral über eine Menge c. Und ich habe das so gemacht, dass ich einen Integranten mit der Indikatorfunktion modifiziert habe. Und über ganz Omega integriert habe. Das heißt, hier würde ich eigentlich über ganz Omega integrieren.
54:21
Hätte dann 1 Indikatorfunktion zu c. Mal Indikatorfunktion zu b. Das Produkt der Indikatorfunktion ist die Indikatorfunktion vom Schnitt der beiden Mengen. Sie sehen leicht, das Produkt der Indikatorfunktion ist genau dann gleich 1. Wenn die Indikatorfunktion vom Schnitt gleich 1 ist. Und das kann ich wieder umschreiben als ein Integral über b geschnitten c.
54:40
Bedingte Erwartungswert von x gegeben c dp. Dann b geschnitten c ist aus c. Weil b war ja aus c, c war aus c, c ist eine Sigma-Algebra. Also b geschnitten c ist aus c. Und wir nehmen die Definition von Erwartungswert von x gegeben c.
55:06
Dann wissen wir, das Integral über diese Zufallsvariable ist gleich wie das Integral über die entsprechende Menge über x dp.
55:26
Dann schreibe ich dieses Integral über b geschnitten c wieder um als ein Integral über c. Indikator mit 1b mal Integrant.
55:43
Dann sehen Sie, dann steht der Integral über c y mal x dp. Und das war in 2 zu zeigen.
56:05
Fragen soweit?
56:20
Der Trick war, wenn wir dann eine Indikatorfunktion hinschreiben, wird das Ganze trivial. Und jetzt machen wir uns klar, das genügt zu zeigen. Fall y nicht negativ einfach.
56:46
Ja, da folgt die Behauptung aus dem ersten Fall. Wenn y nicht negativ einfach ist, dann kann ich es darstellen als eine Linealkombination von solchen Indikatorfunktionen. Da die Funktionen y und cb messbar sind, werden die jeweiligen Mengen, die auftreten, in der Sigma-Algebra c drin liegen.
57:05
Also ich habe dann hier so eine Linealkombination von solchen Mengen. Indikatorfunktionen b, Index i, 1, b, Index i stehen. Kann die Summe aufgrund der Linearität rausziehen des Integrals und kann
57:25
den ersten Fall anwenden und kann dann die Summe anschließend wieder reinziehen. Also folgt aus ersten Fall mit Linearität des Integrals, da dann eben y eine Linealkombination von solchen Indikatorfunktionen ist.
58:33
Fragen soweit?
58:59
Ja, dann sehen Sie vielleicht auch schon, wie geht der Fall y nicht negativ.
59:02
Genau so. Wir approximieren y von unten, punktweise von unten, durch einfache Funktionen. Nicht negativ einfache Funktionen. Wenn Sie die Approximation explizit machen, also nochmal sich überlegen, wie sieht diese Folge wirklich aus, dann sehen Sie, dass die entsprechenden Indikatorfunktionen, die da drin auftauchen, alle Mengen
59:23
indiziert sind, die aus c stehen, weil das y und cb messbar ist. Ja, dann setzen Sie das hier ein, können aufgrund, oder das da konjugiert dann punktweise, oder wenn Sie das einsetzen, konjugiert das ganze Ding punktweise von unten gegen y mal diesen bedingten
59:41
Erwartungswert, sind nicht negative, weil das Ding eine nicht negative Funktion ist. Sie wenden den Satz von der monotonen Konvergenz an, können das rausziehen, wenden den zweiten Fall an, sind da oben und können den Liebes wieder reinziehen mit dem Satz von der monotonen Konvergenz.
01:00:00
Fall y nicht negativ. Folgt aus dem zweiten Fall, in dem wir y
01:00:26
durch nicht negativ einfache Funktionen approximieren.
01:00:54
Und damit sind wir mit Fall 1 fertig. Also jetzt haben wir 2 gezeigt. Im Fall, dass x und y
01:01:01
größer als 0 sind und sind fertig. Fragen soweit? Also Sie sehen,
01:01:38
eine von diesen üblichen Beweisen und Integraleigenschaften
01:01:41
letzten Endes zeigen wir es nur noch in der Indikatorfunktion. Da rechnen wir es elementar nach und der Rest zieht man direkt hoch. Und es war hier ein bisschen trickreich, dass das erste aus dem zweiten gefaltet. Gut, dann kommen wir zu Fall 2.
01:02:11
Beliebige x und y.
01:02:23
Wir wollen den bedingten Erwartungswert von x mal y gegeben c ausrechnen. Ich möchte es zurückführen auf den Fall, dass x und y nicht negativ sind. Deswegen zerlege ich x und y
01:02:40
in ihren Positiv- und Negativteil. Das heißt, dass ihr das gleiche wie Erwartungswert von x plus minus x minus mal y plus minus y minus gegeben c.
01:03:02
Dann multipliziere ich aus. Dann steht da x plus mal y plus minus x minus mal y plus
01:03:21
minus x plus mal y minus plus x minus mal y minus gegeben c. Dann verwende ich die Linearität vom bedingten Erwartungswert.
01:03:45
Das war Teil d, wenn ich es recht weiß. Ich müsste noch argumentieren, dass die einzelnen bedingten Erwartungswerte existieren.
01:04:02
Das heißt, dass zum Beispiel der Erwartungswert von x plus mal y plus gegeben c existiert. Wäre das klar? Also ich würde
01:04:30
jetzt gerne hinschreiben, dass es das gleiche wie aufgrund von d, dem bedingten Erwartungswert von x plus mal y plus gegeben c
01:04:40
minus bedingten Erwartungswert von x minus mal y plus gegeben c minus bedingten Erwartungswert von x plus mal y minus gegeben c plus bedingten Erwartungswert von x minus mal y minus gegeben c.
01:05:02
Da möchte ich die Linearität des bedingten Erwartungswerts ausnutzen, aber da hatten wir Voraussetzungen, also alpha 1 x1 mal alpha 2 x2 davon der bedingte Erwartungswert war alpha 1 mal bedingte Erwartungswert von x1 plus alpha 2 mal der bedingte Erwartungswert von x2.
01:05:20
Das war Teil d. Unter der Voraussetzung, dass die Zufallsvariabeln x1 und x2 integrierbar sind. Das heißt, ich muss hier argumentieren, diese Produkte, die hier auftauchen, sind integrierbar. Und sehen Sie, warum diese Produkte, die hier auftauchen, integrierbar sind? Okay, Vorschläge?
01:05:49
Okay, Sie wissen, dass x integrierbar sind. Also sind x plus und x minus integrierbar. y plus und y minus sind nicht negativ. Daraus folgern Sie,
01:06:01
dass x plus mal y plus integrierbar ist. Das heißt, wenn Sie eine integrierbare Zufallsvariable multiplizieren mit einer beliebigen nicht negativen Zufallsvariable, ist diese immer integrierbar. Haben wir im Fall
01:06:20
1 schon gerade gezeigt? Sagen Sie, nein, haben wir im Fall 1 nicht gezeigt. Im Fall 1 habe ich gezeigt, ach so, im Fall 1 habe ich die Integrierbarkeit von y mal den bedingten Erwartungswert gezeigt. Ist richtig, indem ich die zweite Bedingung ausgenutzt habe.
01:06:40
Aber das war ja nicht die Integrierbarkeit von x plus mal y plus. Zum Beispiel. Okay, zweiter? Wir wissen nach Voraussetzung, also manchmal ist es sinnvoll, die Voraussetzung anzuwenden, dass x mal y integrierbar ist.
01:07:13
Okay, wir haben hier ein bisschen rumgerechnet und Sie wollen Beziehungen her für x mal y plus und x plus und y plus.
01:07:21
Und das sehen Sie, dass das gerade diese beiden Teile hier sind. Behaupten Sie? Das sehen Sie. Okay, also Ihre Argumentation geht in die richtige Richtung. Wir wissen, x mal y ist integrierbar.
01:07:41
Und wir wissen auch, eine Zufallsvariable ist integrierbar, wenn Sie nachtragsmäßig kleiner gleich als eine andere integrierbare Zufallsvariable ist. Integrierbar ist hier zum Beispiel auch der Betrag von x mal y. Und der Betrag von x mal y ist kleiner gleich als x plus mal y plus. Also der Betrag von x mal y ist größer gleich als x plus mal y plus.
01:08:02
Und der Betrag von x mal y ist auch größer gleich als x minus mal y plus usw. Das war eigentlich das, was ich hier anwenden wollte. Also hier verwenden wir jetzt noch
01:08:21
x plus minus mal y plus minus integrierbar. Da x mal y integrierbar.
01:08:42
Und eben dieses x plus minus mal y plus minus ist kleiner gleich als Betrag von x mal y. Das wird das, wie ich es mir klarmachen würde. Und das ist das letzte klar. Ja, weil
01:09:01
separat der Positive-Anteil und der Negative-Anteil jeweils, oder der Positive-Anteil von einer Zufallsvariable kleinergleich der Betrag der Zufallsvariable ist und der Negative-Anteil der Zufallsvariable kleinergleich der Betrag der Zufallsvariable ist. Also das Produkt kleinergleich der Betrag vom Produkt der beiden Zufallsvariablen.
01:09:21
Ok. Damit wende ich jetzt den Fall 1 an. Und in Fall 1 hatte ich die Voraussetzung benutzt, dass x mal y integrierbar ist. Das heißt ich brauche jetzt wieder die Voraussetzung, dass diese ganzen Produkte hier integrierbar sind. Aber das haben wir gerade eben schon gezeigt.
01:09:42
Das heißt wir können jetzt den Fall 1 anwenden. Wenn wir jetzt Fall 1 haben, dann ist natürlich mit
01:10:01
y cd cb messbar auch y plus und y minus cb messbar. Das heißt ich kann das y plus und y minus herausziehen. Dann das zweite ist minus.
01:10:41
Also ich schreibe das gleiche noch mal hin und sehe jeweils das y plus und y minus raus. Wobei ich eben ausnutze y plus y minus cb messbar. Und das gleiche von gerade eben noch mal. Das Produkt ist integrierbar.
01:11:02
Ja und dann sehen sie können sie zusammenfügen. Sie können erstmal y plus ausklammern, y minus ausklammern. Dann schreiben wir das y plus minus y minus mal Erwartungswert von x plus gegeben c minus Erwartungswert von
01:11:21
x minus gegeben c. Und dann sehen sie der erste Faktor ist gerade y. Und der zweite Faktor kann ich nochmal die Linearität des Integrals ausnutzen. Also nochmal d und kann das x plus minus x minus in den bedingten Erwartungswert reinschreiben und komme auf den bedingten Erwartungswert
01:11:41
von x gegeben c. Und wir sind fertig und das war ja das muss man noch merken. Welcher Teil war es jetzt eigentlich? Was haben wir jetzt gezeigt? Wir haben G gezeigt.
01:12:07
Fragen soweit?
01:12:22
Das war das der schwierigste Teil von dem Beweis. Dann der Teil H. Ja sehen sie wie H aus G folgt?
01:12:46
Also ich behaupte mal H folgt direkt aus G, weil genau. Also H folgt aus G mit
01:13:00
Y ist gleich Erwartungswert von x gegeben c.
01:14:17
Gut, dann bleibt noch übrig Beweis Teil I.
01:14:26
Wir haben also Sigma-Algebren C1, C2. C1 ist eine Teilmenge von C2, was wiederum eine Teilmenge von A ist. Wir wollen im ersten Teil zeigen der bedingte Erwartungswert von bedingten Erwartungswert von x gegeben C1. Und das
01:14:41
bedingt auf C2 ist gleich den bedingten Erwartungswert von x gegeben C1. Warum gilt das?
01:15:09
Wegen F. Weil wenn xC bemessbar ist, dann ist der bedingte Erwartungswert von x gegeben C gleich x. Und Sie behaupten oder Sie sagen also der bedingte Erwartungswert von x gegeben C1 ist C2
01:15:21
bemessbar. Und das ist klar, weil C1 eine Teilmenge von C2 ist. Also da C1 Teilmenge von C2 ist bedingte Erwartungswert von x gegeben C1
01:15:42
auch C2 bemessbar. Nach Definition ist es ja C1 bemessbar. Und mit F folgt dann
01:16:01
der bedingte Erwartungswert von x gegeben C1 gegeben C2 ist gleich den bedingten Erwartungswert von x gegeben C1. Ok. Also erster Teil, der war
01:16:21
einfach. Jetzt zweiter Teil. Zweiter Teil geht nicht genau analog. Wir machen uns aber klar der bedingte Erwartungswert von x gegeben C1 ist C2 ne, ist klar,
01:16:41
ist C1 bemessbar. Also Erwartungswert von x gegeben C1 ist C1 bemessbar. Und jetzt will ich noch
01:17:02
die Integralbedingungen nachrechnen. Und erfüllt. Was muss ich zeigen? Ich muss zeigen,
01:17:21
für C aus C1 das Integral über C bedingten Erwartungswert von x gegeben C1 dP ist gleich, ich lasse mal eine Zeile frei. Und behaupte,
01:17:42
das soll das gleiche sein wie der bedingte Erwartungswert ist integral über den bedingten Erwartungswert von x gegeben C2. Wo genau oben meinen Sie? Eins, zwei, dritte Zeile.
01:18:01
Hier steht ein C1, C2 ist ein C1. Also ich behaupte, hier steht ein C1. Und Ihre Frage war, ob da ein C2 stehen sollte? Ich zeige aber gerade die erste Zeile von I.
01:18:21
Und auch da oben soll ein C1 stehen. Okay? Und von der Begründung her, ich habe es auch begründet. Also ich gucke das Innere an. Das Innere ist C2 bemessbar. Das heißt, wenn ich es nochmal bedinge auf C2 ändert sich nach F nichts. Das heißt, das Innere kommt raus. Das müsste also,
01:18:40
sorry, kann man vielleicht schlecht lesen, soll aber in der Tat ein 1 sein. Okay. Und hier wollte ich gerade zeigen, also jetzt sind wir an der Zeile 1 tiefer. Wir wollen zeigen, der Erwartungswert vom bedingten Erwartungswert von x gegeben C2, das Ganze gegeben
01:19:01
C1 ist gleich dem bedingten Erwartungswert von x gegeben C1. Ich zeige dazu, die rechte Seite ist C1 bemessbar, ist klar. Und erfüllt die Integralbedingungen. Das heißt, Integral über eine Menge C aus C1 über die rechte Seite ist das Integral über diese innere Zufallsvariable.
01:19:21
Das ist der Erwartungswert von x gegeben C2. Und das möchte ich gerade argumentieren, dass die beiden gleich sind. Und
01:19:40
sehen Sie das? Das ist beides mal nach Definition des Integral richtig. Von x über C
01:20:02
dP. Warum? Naja, das erste ist klar. Das ist die Definition. Hier haben wir die Definition vom bedingten Erwartungswert von x gegeben C1. Und hier setzen wir jetzt die Definition
01:20:24
des zweiten ein. Vom bedingten Erwartungswert von x gegeben C2. Und beachten, dass C ja in C1 ist. Und C1 eine Teilmenge von C2 ist. Also es ist C auch aus C2. Und also
01:20:42
habe ich für alle Mengen C aus C2. Das Integral über den bedingten Erwartungswert von x gegeben C2. Das Integral über x dP über die Menge. Und wir sind fertig. Ist es nicht toll?
01:21:00
Ja, und es ist Weihnachten und wir sind fertig. Genau mit dem Beweis fertig. Und es ist noch zwei Minuten. Haben Sie noch Fragen?
01:21:22
Also war irgendwie technisch, gebe ich zu. Und das ist auch die Sache, wie man sich das Ganze eigentlich vorstellt. Also momentan haben Sie noch keine rechte Vorstellung vom Begriff. Brauchen Sie eigentlich nicht. Sie sollen sich nur die Eigenschaften merken. Also hier war eine Latte von zehn Eigenschaften. Und die müssen sich halt merken. Und es kommt dann nach Weihnachten
01:21:41
in der ersten Woche, Vorlesungswoche nach Weihnachten, dass der Begriff nochmal ein bisschen klarer zu Tage treten wird. Ok, geht. Dann kann ich Ihnen so weit frohe Weihnachten wünschen, glückliches neues Jahr und so weiter. Und wir sehen uns im neuen Jahr.