Bedingte Erwartung Teil 2

Video in TIB AV-Portal: Bedingte Erwartung Teil 2

Formal Metadata

Title
Bedingte Erwartung Teil 2
Title of Series
Part Number
20
Number of Parts
28
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license.
Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
Loading...
Logical constant Zahl Raum <Mathematik> Real number Complementarity Set (mathematics) Conditional expectation Mittelungsverfahren Function (mathematics) Exponential function Probability theory Physical quantity Expected value Field extension Mathematics Algebra Integrierbarkeit Average Abbildung <Physik> Fiber (mathematics) Set theory Random variable
Rotation Restriktion <Mathematik> Logical constant Axiom of choice Plane (geometry) INTEGRAL Complementarity Gradient Conditional expectation Set (mathematics) Mittelungsverfahren Error correction model Depiction Expected value Calculation Algebra Abbildung <Physik> Random variable
Expected value Logical constant Restriktion <Mathematik> Average Well-formed formula Ecke Propositional formula Conditional expectation Set (mathematics) Factorization Subset Random variable
Expected value Null Logical constant Plane (geometry) Link (knot theory) Conditional expectation Set (mathematics) Function (mathematics) Random variable
Expected value Integrierbarkeit Product (category theory) INTEGRAL Moment (mathematics) Measurable function Set (mathematics) Inequality (mathematics) Random variable
Expected value Film editing Index INTEGRAL Function (mathematics) Summation Mass Conditional expectation Set (mathematics) Konferenz Europäischer Statistiker Approximation Random variable
Tetraeder Multiplication Haar measure Zahl Product (category theory) INTEGRAL Direction (geometry) Ext functor Conditional expectation Function (mathematics) Set (mathematics) Subset Expected value Finite element method Integrierbarkeit Absolute value Factorization Random variable
Expected value Conditional expectation Set (mathematics) Random variable
ja begrüßen Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung der Wahrscheinlichkeitstheorie ich wurde von Herrn Kiehl gebeten mir auch noch Ankündigung zu machen nämlich also dringend in der Vorlesung die Theorie wir noch in diesem Jahr einen von Herrn Kiel unterschriebenen Prüfungs- Plan benötigt denn sie anscheinend irgendwie zum Anmelden für Prüfung brauchen soll sich bitte noch diese Woche an die Sekretärin Frau Utecht wird wenden und der Telefonnummer von Frau Utech in ihnen immer der Utech der Mathematik und so weiter und Telefonnummer finden Sie bei uns in der okay das haben wir angekündigt dann habe ich ihn beim letzten Mal den Begriff der bedienten Erwartung gegeben eine 7. Algebra eingeführt wir haben zugrunde gelegt ein Wahrscheinlichkeit Raum um megahappy eine erweitert reellwertige integrierbare Zufallsvariablen X definiert auf diesen Wahrscheinlichkeit Raum und eine unter Sigmar Algebra hat sie von der 7 Algebra A bis Wahrscheinlichkeit Raumes dann heißt jeder Abbildungen Z von Omri danach er die folgenden 3 Eigenschaften haben hat 1. dieses Z ist CB messbar also nicht nur wie das X aber weg wer messbar sondern sogar L der die und CB messbar 2. Z ist integrierbar und 3. die Verteilung von dem Z hängt mit der Verteilung von den XO so zusammen das gilt für alle C aus C ist das integral über C XDP gleichen integral über Zezette P das heißt ob sie X gemittelt über der Menge C betrachten oder fällt da kommt beides Mal das Gleiche raus dann heißt diese Abbildungen oder auch die Menge aller dieser Abbildungen mit diesen 3 Eigenschaften bediente Erwartungen von X bei beigegebenen sie wir hatten schon beim letzten Mal gemerkt dass sorgen den komische Begriff erst deutlich allgemeiner als der bisherige Erwartungswert weil der bisher Erwartungswert war relativ einfach mal eine reelle Zahl konnte sich als Mittel der deuten das Ding sieht nicht mehr um die einfach aus aber wir werden in also heute werde ich primär Eigenschaften davon beweisen und dann in der Woche in der 1. vollen Woche vom Januar werden die entsprechende Erweiterung von der Definition betrachten und werden am Schluss enden mit der bedingten Erwartung einer von Apps gegeben den Wert einer anderen Zufallsvariablen und das wird dann wieder eine Zahl sein und die wird sich so deuten lassen dass wir den Mittelwert von der einen Zufallsvariablen neben bei festgehalten wird der andern Zufalls waren wir haben dann gesehen wie in der obigen Definition existiert über mindestens ein Z das 1 bis 3 erfüllt und 2 solche Abbildung Stimmen immer P fast sicher überein und ich habe dann Beispiele gemacht unter anderem das Beispiel wenn sie nur die leere Menge und ganz um egal ist dann ist die RCB messbar Abbildung konstant und diese Konstante muss den Erwartungswert von X seien aufgrund von 3 und das zweite Beispiel wo wir stehen geblieben waren war das Beispiel wenn sie besteht aus der leeren Menge eine Menge B deren Komplement und um mit wobei B Gemenge aus ASP von besten zahle ich zwischen 0 und 1 dann gilt der bediente Erwartungswert von X gegeben C an der Stelle ohne gar ist falls und Regalen B ist gerade das integral über B XDP geteilt durch P von B und falls ohne gar in die Kompliment ist der gleiche Ausdruck mit B ersetzt durch B Komplement und hier bei also ich jetzt mal direkt fort das war das bei also werden Beispiele dann sehen und hierbei wird dann das was da eingeführt wird dieses integral über B XDP geteilt durch die von B bezeichne ich als bedingten Erwartungswert von X gegeben werden und das Ding heißt wäre bitte Erwartungswert von X oder wird diese B bedingte Erwartungswert von X unter der wirklich sehr weh also also klar dass es unbedingt Erwartungswert ist oder dass das dem entspricht was sich als bedingten Erwartungswert ihr vorstelle weil ich mit ja eigentlich dieses X eben nur noch über die Menge B Teile jedoch durch P von BND um auszugleichen dass sich nicht immer ganz ohne gar gemietet hat aber dieser Begriff geht allgemein eben bis hin zu kurz weil damit kann ich jetzt auch zum Beispiel der mit den Erwartungswert von X gegeben eine Zufallsvariablen y oder gegen die gegeben den wert von Gross y gleich kleine Psion definieren indem ich eben genau als B diese Menge groß y gleicht kleine Psion also wenn aller egal wo große Psion von ohne gar gleich kleine 10 ist ein setzte aber da setze sich eben voraus dass P von B größer 0 ist dann klappt das aber ich habe eben aber sie wissen sobald diese Zufallsvariablen Psion Ebene benötigte hat dann wird die Wahrscheinlichkeit dass der ein Domäne angenommen wird ein period ein fester Wert angenommen wird immer gleich 0 sein das heißt der Begriff geht der nicht mehr ja dass es eine elementare Möglichkeit wie man bedienten Erwartungswert definieren könnte aber greift eben konzeptionell insgesamt zu vielleicht noch soll ich ganz kurz sagen es gibt noch eine Prüfungsfrage zur letzten Vorlesungen und die Prüfungsfrage Verdi Prüfungsfrage 28 sei ohne Gabi an die Raum X ohne erkläre weg wir integrierbar und sieht seinen A 1 Sigma Algebra wie ist dann der bedingt Erwartungswert von X gegeben sie definiert das heißt da müssen sie eben sagen ja wir Zufallsvariablen die diese 3 Eigenschaften hat aber integrierbar B messbar C diese Verteilung hängt über diese in die 3 Bedingungen mit der Verteilung von X zusammen Not mehr bei allen was ich jetzt ein ich mache muss ich muss das begründen dass das der bedingt Erwartungswert ist dazu muss ich einmal hinschreiben was die Behauptung ist der also Begründung von ein die er muss welche des EX mehr Kommentar aus dem das 2. war dass EXP Kompliment und sie bestand sie aus den 4 Mengenlehre Menge ohne Gabi und die Kompliment wir haben und sie beim letzten Mal schon gesagt wie es geht wäre ich begründe 1 also ich begründe diese Rechte Seiten hat die beiden oder hat die 3 Eigenschaften die ich brauche Integrierbarkeit ist klar weil sie eine funktioniert nur 2 endliche Werte dies klarerweise integrierbar ich muss die Messbarkeit begründen ich musste in die gerade den begründen Westpartei des auch klar weil Funktionen die CP messbar sind müssen dem stückweise konstant auf B und D Komplement also rechte Seite ist sehr messbar klar schreibe ich mal dahinter also sie machen sich eben leichter wenn sie ihn das Urbild einer beliebigen Menge betrachten bei dieser
Abbildung gehen konstantes auf deren kommt hat das auf B Kompliment dann je nachdem ob diese Menge eben diesen wird diesen teils kommt eben wenn die leere Menge ohne B oder B Komplement raus und erfüllt ja als Rechner in die gerade nach das heißt ich muss zeigen dass in eine beliebige Menge aus C zum Beispiel über die leere Menge von der rechten Seite soll gleich gerade bei X über diese Menge sein ja aber wenn Sie Menge integrieren kommt nur raus und das natürlich gleich wenn sie über X Ticket ungefähren leere Menge dann machen Sie das Gleiche mit mitgehen ob integral über aus B ist der Erwartungswert jetzt konstant nämlich dieser bedingte Erwartung oder senden bedingt Erwartungswert hier das heißt wir integrieren eigentlich über integral und wenn X der durch P von den Pläne dann sehen Sie denn die Grandes konstant das heißt es gibt gerade die von dem den der Integration gerade Funktionswert damals integraler wie einst der und dann sehen Sie ja da kommt wieder B-1B von raus kürzlich weg kommt integral über dickste heraus dann ist das gleich mit B Kompliment machen ja das geht genau analog also integral wie Kompliment rechte Seite ist gleich analog und man müsse das Ganze noch über ganz um Ärger machen ja wenn sie das machen dann spielt sich das integral auf das integral über B und integral über die B Kompliment dann nach dem obigen kann ich hier das integral über die rechte Seite jeweils ersetzen ist integraler bei X wir mehr dann sehen sie uns kommt Integrale wonniger XDP heraus und dessen fertig bei der denn die GAL Bedingungen für die 4 Mengen für die sie gelten muss nachgerechnet ja wenn sie es genau angucken dann sehen Sie auch wäre das ist Bayern diese Darstellungen von der bedingten Erwartungswert von X gegeben sie ist sogar eindeutig weil wenn Sie eine beliebige oder wenn wenn sie der andere Funktion haben die auch unbedingt Erwartungswerte nächste geben sie ist dann muss sie eben auch wäre die gleiche dort haben also hier einen Funktionswert an ihren 2. Funktionswert annehmen und aus der Rechnung hier sehen Sie da eine Funktionswerte auskommen und muss eben gerade dieses mehr ja da kommt ja A mal L P von Wählern raus wenn der Funktionswert ist und das muss gerade gleich in B XDP sein können Sie nach auflösen sehen Sie das muss in der Tat integral über billigste geteilter Spesen Design also diese Darstellung ist auch eindeutig an der Stelle guthaben Sie Fragen so weit fragen keine Fragen comma eigentlichen Eigenschaften das gibt den Satz 7 3 Wahrscheinlichkeit Raum gerade B 2 Zufallsvariablen drauf XXI er läuft x x 1 x 2 eigentlich das Signal geht zieht eine also wir haben die Raum weder P der Mann der Zufallsvariablen mehr x 2 auf und wieder abnehmen wir werden erklärt der 7 Algebra zieht 1 an nein und ich habe noch konstanten C 1 x 1 1 x 2 ja nicht auch noch integriert und sich auch noch x x 1 x 2 und selber nicht gleich ein sind es 2 ihre weil ich gleich bedient Erwartungswerte entscheidet das heißt ich habe erweitert reellwertige Zufallsvariablen die Grillwurst 1. Beziehung wer für alles die aus habe ich ab wenn ich das integral über C vom bedingten Erwartungswert von nächste geben CDP bildet mehr da kommt das gleiche das muss nach Definition eben Grades integral über C über XDP sein sind weil das ist eigentlich klar wollt Mittel aus der Definition 2. Beziehungen wenn X gleich CEP fast sicher ist also X ist mit Wahrscheinlichkeit 1 der konstante klar dann ist auch der bedingt Erwartungswert von X gegeben die Konstante 10 ja wenn man aber gleich sehen weil die Konstante oder machen immerhin schreiben die konstant erfüllt eben die messbar Kreisbewegung und das wird auch den Sie gerade dem und ja ich brauche fielen fast sicher weil ich ganz theoretisch noch nur länger Ende sehen wenn X größer gleich 0 ist die fast sicher dann folgt daraus dass die Erwartungswert von Excel geben sie auch große gleichen ist mir fast sicher fast sicher was ich schreibe aber fast sich einmal P fast sicher weil ich mit passt sich einig die Restriktionen von PI auf C fast sicher meine schreiben in der noch drunter er bedingt Erwartungswert von Alfa 1 x 1 plus 1 x 2 x 2 die geben ziehen ist leicht einfach mal der ein Verein 2. bedingte Erwartungswert nichts an sie geben E-Plus alpha 2 meine bedingt Erwartungswert von x 2 gegeben C fast sicher das werden wir wieder relativ elementar sehen das sind die rechte Seite die Eigenschaften hat die der bedingte Erwartungswert nach Definition haben sollte aus C und D kann man folgern wenn X
1 klar gleich x 2 SP versichert dass auch der bedingt Erwartungswert von X 1 gegeben sie kleine leichte mit den Erwartungswert von x 2 gegeben C wir kann auch das hat er nicht elementar aus C und D folgern weil das X 1 klar gleich x 2 folgt sofort die 2 minus X 1 ist größer gleich 0 verwenden darauf C an und ziehen den unbedingten Erwartungswert wieder auseinander wenn sie nach einer weiß gleich sehen und es ist auch wieder ende mental oder sieht man sofort XC diverse war eines der bedingt Erwartungswerte nix gegeben gleich X was sicher also auch das ist eigentlich klar weil die rechte Seite eben dann ja die Messbarkeit integral Bedingungen erfüllt aber was nicht mehr klar ist dass ist G was dann doch mehr keine Mühe macht aber was Sie nicht gleich sehen werden ist wenn X integrierbar ist nein CD messbar sein und X X Y soll ebenfalls in integrierbar sein wir werden dann folgt ich bilde mit den Erwartungswert von X X Y gegeben C das kann ich wahrlich vorausgesetzt hat das X X Y integrierbar ist also gar nicht mit dem Erwartungswert ist wohl definiert und ich behaupte dass es gleiche Wasser kann ich übt der kann nicht so tun als wäre es eine Konstante weil ich auf 10 Dinge und das rausziehen alles ist y x bedingte Erwartungswert von x gegeben sind und das ist es irgendwie nicht planen was
anguckt es ich die Eigenschaft die man irgendwie nicht sieht warum so ist aber sie werden nahe gleichen weiß den es auch nicht schwierig danach wir formulieren das Ganze nochmal ja ich kann das jetzt schreiben ja muss ich erst die hochschieben tja warum comma H an ist es eine Folgerung daraus XX strich integrierbar vorkommt denn ich Striche wir uninteressant also XX strich integrierbar ist sicher besser weitere Zufallsvariable Ecke strich die auch Aufwand Wahrscheinlichkeit Raum werden dich oben ich ihn geschrieben habe Produkt von X Erwartungswert von X strich wir geben Cäsar auch integrierbar mehr dann kann ich an der bediente Erwartungswert von dem Produkt X X der Lidstrich gegeben zählen bitte geben Sie ihren ja und Sie sehen es darf ich jetzt schreiben weil ich ausgesetzt habe dass dieses Produkt integrierbar ist und dann sehen Sie auch ja das ist jetzt die den messbar wenn man nicht die Eigenschaft an Sie's raus das gelingt Erwartungswert von slash gegeben sehr hohe bedingt Erwartungswert von Dix gegeben das heißt ich kann jeder Sonntag ausziehen ja letzter Teil des Satzes Eigenschaft die ich habe signalgelben C 1 C 2 mehr mit sie 1 eine Teilmenge von C 2 ist eine Teilmenge von A mehr dann will ich einerseits den Bedienten Erwartungswert vom bedingten Erwartungswert von X gegeben C 1 und das mit ich auf C 2 und ich behaupte was da rauskommt ist da bedingt Erwartungswert von ich sie geben Sie 1 was sicher nicht aber wir welches fast sicher vergessen Seefelden fast sicher und das könnten sie schon fast wieder sehen weil der bedingt Erwartungswert von X gegeben C 1 ist ja C 1 E messbar und damit auch C 2 1 C 2 D messbar das heißt das eigentlichen Spezialfall von ab von 11 aber die zweite Eigenschaft ich kann umgekehrten schreiben und liegst gegeben C 2 wenn dann gegeben C 1 ist auch der bedingt Erwartungswert von X gegeben C 1 was ich und sowas was mehr ich mittlerweile festgehalten Information die in C 1 und C 2 drinsteckt und wenn ich das alliteriert mache dann kommt eben der Mittelwert aus wie ich gekommen bin ich bei möglichst wenig gegebene Information bitte das können Sie so offen deuten ja und jetzt muss sie noch was in fast sicher schreiben hierbei 11 period S steht für Restriktionen C fast sicher mehr CEP fast sicher beziehungsweise irgendwo auch für Restriktionen auf C 1 die fast sicher Zwist in die sein also 9. bis ein bisschen unglücklich was sie da meine schreibe diesen Restriktionen 10 MP fast das wird und CP fast sich alle einig König nun fast sicher hinschreiben aufgrund der jeweiligen oder die fast sicher und die fast sicher wenn aber aufgrund der jeweiligen Messbarkeit Eigenschaft von den Ausdrücken die rauskommt kommt automatisch dieses Restriktion CP fasst sich damit raus dass er nicht mathematisch die gleiche Aussage steckt nicht mehr dahinter ok die müssen wir durch eine Menge Aussagen erst Aussage ja erst Aussage wird direkt aus Definition 2. Aussage folgt mehr oder weniger direkt aus der Apple Funktionen 3. Aussage macht ein bisschen Mühe wenn wir gleich zeigen also X größer gleich 0 dann ist auch der bedingt Erwartungswert größer gleich 0 wird Aussage ist einen yalität und weiß nicht genau Realität ist weil wir hier noch ein fast sicher drin habe das heißt bei jeder anderen im Jahr Kombination Unsinn andere Ausnahme Menge heißt insgesamt nicht mehr in ihrer Funktion 5. Aussage ist dann Monotonie folgt aus den beiden vorigen 6. Aussage ist einig was wir direkt die Definition des 7. Aussage macht wirklich Arbeit oder das ist wirklich Arbeit ist wirklich erstaunlich wir sagen ich kann so CB für das Faktor ausziehen dahinter steckt in die Vorstellung das ist ein ein Mittelwert bei festgehaltenen Information die der Sigmar geht sehr drinsteckt und dann dieses y eben CBS beißen ich halt Integration die da drin steckt fest teilt sich das Yps einige Konstante die nächste Aussage dieses ganze nur umgeschrieben und dann kommt noch der Aussage was passiert wenn ich in der wir zum bedingt Erwartungen bilde da kommt kommt die raus bezüglich der kleine und sieht ok fragen sollte ob die letzte Aussage ihn auch genauso für beliebige Familie ja was meinen Sie mit über Familie ist nicht nur zweimal machen sondern ganz ganz ganz oft weil ich meine ganz ganz ganz oft können sie es gar nicht machen weil sie müssen sehr sukzessive machen also schon absehbar sein irgendwie und naheliegenderweise kann es endlich machen dann geht genauso und wenn es jetzt unendlich oft machen ja unendlich oft habe ich um den Problemen wie ich das überhaupt nennt sich
aufmachen na ja ich meine er war die machen die Linke sei also die rechte Seite ist klar wie sie möchte sollte man aufmachen aber machen Sie linke seit unendlich oft muss der Grenzwert sie wollen es immer wieder machen und dann in Grenzwert bilden also ihre ich sagen geht immenses endlich aufmachen ok weitere Fragen ja dann fangen man den Beweis der war es direkt aus Definition ist nur die eine integrale denn der Definition noch hingeschrieben X leicht CD fast sicher dann ist auch der bat uns wir zunächst leicht sie fast sicher ja die konstante erfüllt die Messbarkeit und Integrations- Bedingungen also klar da Konstante klar da konstante Messbarkeit integral Bedingungen für dich ok C Teil X sei größer gleich 0 wir fast sicher mehr 2 x größer gleich 0 ganz sicher wer führt sie aus Tegel dann wenn ich das integral über diesen bedingten Erwartungswert von X gegeben sehr bezüglich C Bilder der dann ist das ja nach Definition gleich dem integral über X und weil x größer gleich 0 ist dieses integral auch große rechnen mehr also haben wir für alle aus C das dieses integral größer gleich 0 ist und ja wir hatten sogar schon mal eine daraus wird die Funktion selber es größer gleich 0 und ich habe ich irgendwie beweist dass letzten eingeschrieben ja ich setzen spezielles die 1 0 ist ein kleiner gleich als wenn ich über die Menge integriere oder bedingte Erwartungswert von X gegeben kleiner als minus 1 gleich 1 weil der bedingt Erwartungswert von ich sie geben CDS-Preise ist natürlich eine Menge aus 10 also bedingte Erwartungswert von X gegeben sehen der Player wir haben dann das und jetzt kann ich abschätzen in den auf der Integrationsbereich ist der Integrand kleiner als minus 1 durch n das heißt das Ganze ist aber gleich als minus 1 durch n weil das integral über die 1 und das ist gerade die Wahrscheinlichkeit von bedingten Erwartungswert von X gegeben C kleiner als minus 1 durch n und dann sehen Sie das kann eben nur sein wenn diese Wahrscheinlichkeit hier gleich 0 ist wir wollen wir mit ein daraus folgt diese Wahrscheinlichkeit dass der bedingte Erwartungswert und nix gegen 10 nein als minus 1 durch die ist gleich 0 wenn habe Liebig ja und jetzt gucke ich mir die Wahrscheinlichkeit an das diese bedingte Erwartungswert kleiner als 0 ist ich beachte die Folge der Ereignisse dass der bedingte Erwartungswert kleiner als minus 1 durch 1 konvergiert gegen dieses Ereignis das der Erwartungswert von Aids gegen C kleiner und es und zwar von unten dann ist es Wahrscheinlichkeit mal stetig von unten dann habe ich einen das ist ein wenn es einen gegen unendlich von der Wahrscheinlichkeit ja dann sehen Sie die ganzen sind Nullen ist der ganze wenn es auch 0 und wir während einzige gezeigt fragen so weit gut dann comma zu gehen die ist Minderheit tätig also ich will zeigen der bediente Erwartungswert von 1 1 x 1 bis er 2 x 2 ist gerade in der im Jahr Kombination der beiden Erwartungswerte hier ich Zeit dafür dass die rechte Seite genau die Eigenschaften hat die die diese bedingt Erwartungswert nach Definition haben muss es ist klar die rechte Seite ist C messbar als in der Kombination von mehr ist die messbar als im Jahr Kombination von CD Funktionen es ist auch klar die rechte Seite es integrierbares in der Kombination von 2 integrierbaren Zufallsvariablen also nach Definition weil bedingt Erwartungswert Signalgeber eine integrierbar
Zufallsvariablen und ich musste mir noch den Sie gerade den Nachrichten weil die rechte Seite SCB messbar und integrierbar und erfüllt wir mehr das habe ich mir und wird sie aussehen integral über 10 also Alfa 1 und ich will und ich muss zeigen das Ganze ist das integral über C über Alfa 1 x 1 des Alter 2 x 2 sehen Sie warum das der Fall ist also warum kommt das integral über C 1 x 1 x 1 plus 1 2 x 2 aus war das integral den ja das heißt ich dieses Ausnahmen war Sozis integral direkt zu den bedingten Erwartungs rein und dann sehe ich dann kann ich beides mal Definition ausnutzen dann steht das integral über CX 1 der und Integrale CX 2 geben und dann kann ich es in die gerade zusammenfassen also das ist gleich man nicht machst runter etwa 1 x integral beziehen die der auch das wird von X einzigen sehen der E-Plus grüß einfach zweimal integral über 10 bedingt Erwartungswert von x 2 gegeben CDP dann nämlich die Definition werden dann comma auf Albvereins wollten integral über 10 X 1 der Pläne das Alter zweimal integral überziehen x 2 Pläne und dann mache ich den gleichen Trick wieder rückgängig das heißt integrales nach wie vor den ja also kommt integral wird's heraus über 1 x 1 bis etwa 2 x 2 GByte mehr daraus folgt okay sehen Fragen so weit alles weiß die 1. Hälfte vom Beweise die die haben Prinzip auch schon geht ganz schnell es ist ganz schnell und die Macht an er noch arbeiten die macht ein bisschen Arbeit aber ich sage nach und nach der Pause ich noch 5 Minuten Pause sind mischen und wir machen dann um 3 Uhr 11 weiter ja wirklich ganz gern weitermachen die ja comma zuteil E X 1 ist aber gleich x 2 des fast sicher daraus folgt das x 2 minus X 1 größer gleich 0 mir fast sicher ist darauf kann ich jetzt den Teil c Anwenden eines der bediente Erwartungswert von x 2 minus X 1 gegeben sie größer gleich 0 und damit kann ich jetzt den Tal von gerade eben anwenden das war wohl Teil des dann das hier sehen daraus folgt mit dem der bedingte Erwartungswert von x 2 gegeben also dieses bedingt Erwartungswert von x 2 1 6 1 kann ich als umschreiben eisbedingten Erwartungswert von x 2 gegeben sehen wie es den Erwartungswert von X 1 gegeben sehen und dann ist auch das große gleich 0 versichert Jahren dann sehen Sie das impliziert der bedingt Erwartungswert von X 1 gegeben sie ist dabei bedingten den Erwartungswert Felix 2 geben Sie was zu zeigen sich gut auch solche dennoch noch F es ist klar also F heißt XTB beweisbar dann wollen wir folgende bedingt Erwartungswert 1 x gegeben sie ist gleich X fast sicher das ist klar weil Text eben die Messbarkeit und integral Bedingung erfüllt also da ist auch nichts zu machen und jetzt aber zu dem was man eigentlich um wirklich müssen arbeiten müssen wir nicht gehe also gehe ich habe gegeben integrierbarer Zufallsvariablen x C messbare Zufallsvariable y Produkt von den beiden ist integrierbar damit kann ich den mit den Erwartungswert von dem Produkt gegeben hinschreiben und behaupte dass gleich y x den bedingten aber das wird von X
gegeben ziehen ich kann mir überlegen ja ich zeige geben die rechte Seite erfüllt die Bedingungen der bedingten eine Definition über den Erwartungen das heißt die rechte Seite ist messbar dass es klar als Produkt von 2 messbaren Funktionen die rechte Seite des integrierbar das ist nicht mehr so klar und wenn es nur vernachlässigen und dann kommt noch die integral Bedingungen die ich auch noch brauchen und das alles so klar wie das gehen soll er wir machen es so dass wir den weißt erstmal Fall das Y X großer gleich 0 sind also nicht negativ sind wir führen Teil 1 warum mache ich das so mehr habe ich weniger Probleme mit der Integrierbarkeit also integrierbar und das ist in der nicht in dieser Weise klein Moment nicht in dieser Weise kann dann nur noch auf der auftauchen wenn das integral gleichen endlich ist und das kann ich ausschließen über diese integral Bedingungen die ich dann zu zeigen was sie der Frage ok Sie haben ein alternativ Beweise in wer also Ihr Vorschlag war X X Y es integrierbar ist richtig deswegen ist X X Y auch CB messbar ne das ich ach so ja Vorschlag wäre der bedingt Erwartungswert Jahr wenn wendig somit sie wenn das wahr wäre die Sache einfach nur dass der Vorschlag aber das glaube ich nicht wenn ich wenn wahr das ganze andere nur x-mal Epson gleich x 0 zu Malik stehende das wär noch relativ einfach mehr der Beweis ist ein bisschen schwieriger oder wir müssen wissen also noch ein bisschen Arbeit aber auch nicht auf die Uhr geht also die Idee ist ich betrachte oder was ich mache es trägt ich betrachte mal das X und Y größer gleich 0 ist da kann ich den Beweis einfach aufführen und dann vielleicht anderen Fall darauf zurück und jetzt überlegen wir uns das die rechte Seite erfüllt natürlich werde ist natürlich CB messbar oder y x bedingt Erwartungswert von X gegeben C ist sie denn messbar deshalb genügt es zu zeigen wir machen I diese Zufallsvariablen integrierbar und II diese Integrale die liegt vor das heißt für alle COS sehen integral über 10 y habe den Erwartungswert von X gegeben sehen der Player ist gleich dem integral überziehen die Zimmer Y-Titty und ich die beiden Sachen auch gezeigt hat dann ist die Behauptung im 1. Fall das XY nicht negatives gezeigt okay dann überlegen wir uns ob sie es nicht negativ X ist nicht negativ Nachteil sie waren auch der bedingt Erwartungswert von X geben 10 nicht negativ das heißt es Produkte ist eine nicht negative Zufallsvariablen um zu zeigen dass die integrierbar ist muss sich zeigen dass der Wartung für kleine unendlich ist gut 19 Erwartungswert an den kann ich bilde mir nämlich das denn über ganz ohne gar integriere C war eine Signalgeber Omegas drin enthalten das heißt ich kann Ihnen 2 C gleich einsetzen dann sehen Sie ja da kommt hier das integral über Umwege gar X X Y die heraus und nach Voraussetzung war X X Y die aber das heißt es ist kleiner als unendlich das heißt ich kriege jetzt 1 geschenkt wenn ich 2 nachweisen also da neben y mal bedingt Erwartungswert von X gegeben 10 größer gleich 0 ist Vergleiche ziehen folgt 1 aus 2 setzte C gleich ohne gar und die beachten X 14. integrierbar also muss jetzt nur 2 nachweisen comma zum Nachweis von zweien ja das mache ich jetzt ja es ist nicht so ganz klar wie das gehen soll aber der Trick ist jetzt ich gucke mir ich mache eine übliche Induktion über die Struktur von y ich setze y erstmals Indikator Funktion an dann ist es ganz schnell nachrechnen und dann ziehe ich das entsprechend hoch ok wir betrachten den Fall dass Y Indikator Funktion des und da sollen ja CB messbar ist ist die Menge wo es dann 1 ist Menge aus sie sie aussehen nein
wenn Sie das machen sehen Sie die Behauptung nicht sofort dann gilt ich bin in integral über 10 y bedingte Erwartungswert von X gegeben 10 BP und dieses doppelte Verwendung des Buchstaben C war vielleicht nicht so schlau also wenn ein B vielleicht besser an dieser Stelle mit einem wie aus ich habe schon ein C hat sie setzen einen integral über C 1 EL den Erwartungswert von Xtra geben CD-Player und ich behaupte jetzt das ist das gleiche wie das integral über geschönten sehe bedingt Erwartungswert von nix gegeben sehen ja da müssen sich klarmachen wie Nierchen Maß integral übernehmen gezählt und ich habe das so gemacht dass ich in der Grand mit die Karte Funktionen modifiziert habe über ganz um integriert habe das heißt hier würde ich einig über ganz ohne gar integrieren das eines Indikator Funktion zu zehnmal Indikator Funktion zu geben er das Produkt der Indikator Funktion ist die Indikator Funktion vom Schnitt der beiden Mengen wir sehen leicht die das Produkt die Indikator Funktion ist genau dann gleich 1 wenn die die Karte Funktionen vom Schnitt gleich 1 ist und das kann ich umschreiben lassen man die Wege stehen sie denken Erwartungswert von X gegeben er dann wie geschnitten CES ausziehen weil aus sehen sie war aus dem Cellisten Sigmar paar also also wir gestiegen zählen das 10 Unternehmen die Definition von der Erwartungswert von X gegeben sehen dann wissen wir das integral über diese Zufallsvariablen ist gleich ließ integral über die entsprechende Menge über X mitgehen dann schreibe ich dieses integral über billige stehen C wieder um integral überziehen 1 wie und die Karte mit Ernst Krämer in Grand ja und dann sehen Sie dann steht integral überziehen y x x der Player und das war ein 2 zu 2 nein fragen so weit alle tritt war wenn wir dann Indikator Funktionen schreiben das ganze Jahr und jetzt machen wir uns klar das genügte zeigen fall y nicht negativ einfach ja Jagderfolg überhaupt nur sind 1. fallen wenn er sie nicht negativ einfach ist dann kann ich das darstellen als 1 Jahr Kombination von solchen Indikator Funktionen da die Funktion y CB messbar sind werden die jeweiligen er Mengen die Aufträgen in der Sigmar Zentren liegen also ich habe hier sollen ja Kombination von solchen Dingen in die Karte Funktionen wie Index I 1 Index ich stehen kann die Summe mit der aufgrund der Genialität rausziehen das Integrals und kann die 1. Fall anwenden und kann dann die Summe anschließender einziehen also folgt das 1. Fall mit in der Mitte des Integrals da daneben y eine linear Kombination von solchen die Karte Funktion ist ein fragen so weit ja dann sehen Sie vielleicht auch schon die geht der Fall zu nicht negativ genauso wie approximieren y von unten period Weise von unten durch einfache Funktionen nicht nötig einfach Funktionen wenn Sie die Approximation explizit machen also nochmal sich überlegen wie sie diese Folge wirklich aus dann sehen Sie dass die entsprechenden Indikator Funktion die Daten auftauchen alle Mengen Initiation die aus sie stehen alle 17 CD messbar ist ja dann setzen sie dass sie einen können aufgrund oder das da konnte getan period Weise wenn das einsetzen konnte das ganze Ding period Weise von unten gegen y mal diesen bedingten Erwartungswert ja nicht negative weil das Ding nicht negative Funktion ist sie werden den Satz von monoton Konvergenz an können es aus den man den zweiten Fall an sind da oben und können die sie reinziehen Einsatz von 100 und Konvergenz
Fall von Ibsen nicht negativ Fotos 2. wollen in dem der y durch nicht negativ einfache Funktionen approximieren ja und damit soll mit Fall 1 verglichen also jetzt aber 2 gezeigt im Fall das X und Y größer gleich 0 sind und sind fertig fragen sollte also 10 eine von diesen üblichen Reisen und integral Eigenschaften letztenendes zeigen dass man auf wenn die Karte Funktion da ich muss elementar nach und der Rest sie hoch und es war hier ein bisschen trickreich das wäre das erst aus dem zweiten gefärbt bitte gut dann comma Zufallswahl beliebige XY wir wollen den bedingten Erwartungswert von X X Y gegeben ausrechnen ich möcht zurückführen auf den Fall dass X und Y nicht negativ sind deswegen zerlege ich X und Y ihren positiv und negativ Tal das heißt das ja das Gleiche wie Erwartungswert von X plus minus X minus X Y plus minus und Minus gegeben C dann wurde beziehe ich aus Brandstetter X plus X Y Plus denn das X minus X Y Plus minus X plus weil sie im Minus plus X minus X Y minus wir geben sehen dann vor wenn ich die Genialität vom bedingten Erwartungswert das war zahlen des ist recht weiß ich muss noch argumentieren dass die einzelnen wir bedingten Erwartungswerte existieren das heißt dass der Wartungs- sehr zum Beispiel Erwartungswert nächstes Mal in Blust gegeben existiert ja das klar was ich würde jetzt kann man schreiben das ist das gleiche wie aufgrund von dem den bedingten Erwartungswert von X plus X Y Plus geben 10 wie es den Erwartungswert von X minus x 10 Plus wir werden sehen wenn das bedingten Erwartungswert von X plus X Y minus gegeben sehen stressbedingten Erwartungswert von X minus 1 und minus geben Sie der Maschinerie tetes bedingten Erwartungswert ausnutzen aber da hatten wir Voraussetzungen also einfach 1 x 1 x 1 x 2 x 2 laufende bedingt Erwartungswert bei der der Wartungs- war einfach ein zwar bedingt Erwartungswert von der X 1 plus 1 zweimal bedingt Erwartungswert von x 2 das war Teil des unter der Voraussetzung dass die Zufallsvariablen X 1 X 2 integrierbar sind das heißt ich muss Sie argumentieren diese Produkte die hier auftauchen sind integrierbar und sehen Sie warum diese Produkte die auftauchen integrierbar sind ok Vorschläge okay Sie wissen das X integrierbar sind also sind X plus 1 x wie das jeweils integrierbar y plus zumindest sind nicht negativ daraus folgern sie das X plus X Y Plus in Weise das heißt wenn sie denn der wahre Zufallsvariablen Multiplizieren mit einer beliebigen nicht negativen Zufallsvariable ist diese immer integrierbar habe ich mehr Vereinszentrale gezeigt gezeigte sagen sie nein und im Fall eines nicht gezahlt im Verein gezeigt ach so im Fall eines habe ich die Integrierbarkeit von y x den bedingten Erwartungswert gezeigt es richtig in dem ich die zweite Bedingung ausgenutzt habe aber das war nicht die Integrierbarkeit dann nächstes nur zum Plus zum Beispiel okay 2. wir wissen nach Aussetzung also man weiß es sinnvoll die Voraussetzungen anzuwenden das X mal ob sie in dieser Weise okay wir haben wir ein bisschen ungerecht sie wollen bitte er zu Nummer 4 x x y Plus und X wissen ob das und das sehen Sie dass das gerade diese beiden Teile sind behaupten das sehen Sie okay er also ihrer Richtung die er Ihre Argumentation gegen die richtige Richtung wir wissen x ob seines integrierbar und wir wissen auch nur Zufallsvariablen ja bis in die Firma wenn sie betragsmäßig L klar gleich als Mandant integrierbaren Zufallsvariablen ist integrierbar ist hier zum Beispiel auch den Betrag von x x y und der Betrag von x x y ist klare gleich als nächstes plus X Y ist es auch als der Betrag von x x y ist größer gleich als nächstes Mal sind und der gerade wenn es mal tschüss große gleich als X minus zum Plus und so weiter das war nicht das was ich anwenden wollte also hier verwenden wir jetzt noch X plus minus X Y Plusminus integrierbar da X X Y integrieren und eben dieses X plus minus mal Gelb sehen plus minus ist kleiner gleich als Betrag von x x y das wird das wie ich's mir klar machen wird und das das letzte klar ja ja weil er weil eben separat wer der positiv Anteile negativ Anteil jeweils oder positiv Anteil von einer Zufallsvariablen Zufallsvariablen wissen negativ Anteile Zufalls variabel einer gleichen Betrag dazu falls variabel ist alles Produkt klar gleich den Betrag vom Produkt der beiden Zufallsvariablen ok er damit wenn ich jetzt den Fall 1 an und in Wahl 1 habe ich ja nie die Voraussetzung wird das X X Psion integrierbar ist das heißt ich brauche es wieder die Voraussetzung für das diese ganzen Produkte hier in Bar sind aber das habe wir dem schon gezeigt das
heißt wir können jetzt im Fall eines anwenden 101 1 wenn wir 2 1 haben dann das ist natürlich mit y des C B messbar baut zum größten zumindest die die CD das war das heißt ich kann es y los mir zumindest aus dann das zweite ist minus also ich schreibe das Gleiche noch mal hin und Sie jeweils das y wissen minus raus im im plus selbst im Minus ist messbaren und das gleiche von gerade eben noch mal das Produkt ist integrierbar ja dann sehen Sie können Sie es zusammenfügen sie können erstmal Psion pries ausklammern das ausklammern dann beschreiben mal 17 plus minus Minus mal Erwartungswert von etwas gegeben sehen wie das Erwartungswert von 10 dann sehen Sie der 1. Faktors gerade Y und der zweite Faktor kann nicht noch mal die Genialität des Integrals ausnutzen also noch mal die und kann das X plus minus 6 minus in der bedingten Erwartungswert reinschreiben und komme auf mit dem Erwartungswert von X gegeben sind und wir sind fertig und das war ja das noch merken welche 2 was jetzt eigentlich was jetzt gezeigt wir haben wir haben wir haben wir gezeigt fragen so weit alles war was der das schwierigste Teil von den Beweis dann der Zahl H ja sehen Sie die Haare aus gefolgt was ich behaupte mal direkt ausgehen weil genau also H folgt aus gehen wird y es gleich Erwartungswert von X strich gegeben sind gut dann bleibt noch übrig beweise Teil ihr ja mal so Sigmar gebe Rennen C 1 C 2 C 1 ist der Teilmenge von C 2 was wiederum die Teilmenge von A ist wir wollen 1. Teil zeigen der bedingte Erwartungswert von mit den Erwartungswert von x gegeben C 1 und das bedingt auf C 2 ist leicht bedingten Erwartungswert von X gegeben C 1 warum die das wegen F Weise beim XTB messbar ist das da bedingt Erwartungswert von X sie gleich X und Sie behaupten oder so sagen also der bedingte Erwartungswert von Excel geben Sie 1 ist C 2 denn messbar und das ist klar weil ja sie Einzelteile Menge von C 2. also da C 1 3 1 und C 2 ist dem Erwartungswert von X gegeben C 1 auch C 2 des messbar nach Definition ist der C 1 dem messbar und mit erfolgt dann der bedingte Erwartungswert und X gegeben C 1 C 2 ist gleich dem den Erwartungswert von ich sie geben Sie 1 ok also 1. Teil der war einfach jetzt 2. Teil der zweite Teil geht nicht genau analog wir machen uns aber klar der bedingte Erwartungswert von nächste geben Sie 1 ist C 2 man ist ist klar ist sie 1 B messbare ein also Erwartungswert von nächste geben Z C 1 ist C 1 bin das war und jetzt ist noch die in die gerade die Nachrichten
und erfüllt was muss ich zeigen Ich muss zeigen für C aus T 1 das integral über C bedingten Erwartungswert von X gegeben C 1 denn ist gleich eine Zeile frei und behaupte dass soll das gleiche sein wieder bedingte Erwartungswert das integral über mit den Erwartungswert wenn ich sie gegen C 2 wo genau oben meinen Sie ein 2. 2. hier stehen sie 1 C 2 so sie 1 also ich behaupte hier stellten sie 1 und ihre Frage ob dann C 2 stehen sollte während ich Zeit aber die erste Zeile von I und auch da oben soll ein C einstehen ok und oder Begründung ja ich habe so begründete also er ich kommt das Innere an das Ende S C 2 B messbar das heißt wenn es noch bediene auf die 2 ändert sich nach 11 nichts das Innere kommt raus das müsste also Zeuge aber vielleicht schlecht lesen soll aber in der Tat ein 1 ein sein okay und hier wollt ich gerade zeigen was Zimmer in der Zeile 1 tiefer wir wollen zeigen der Erwartungswert vom bedingten Erwartungswert von X gegeben C 2 das ganze gegeben sie 1 ist leicht den mit den Erwartungswert von X gegeben sie 1 zeige dazu die rechte Seite ist C 1 B messbares klar und der für den Sie gerade die heißt integral über eine Menge C aus C einst über die rechte Seite ist es integral über diese innere Zufallsvariablen das ist der Erwartungswert von X geben Sie 2 und das möcht' ich gerade argumentieren dass die beiden gleich sind und sehen Sie das das ist beides Mal nach Definition des in richtig von X über C BP warum wer das 1. ist klar das ist die Definition ja aber die Definition von den Erwartungswert von X gegeben C 1 und hier setzen wir zu Definition Definition des 2. 1 von bedingt Erwartungswert von X gegeben C 2 und beachten dass sie ja sie 1 ist und sie Einzelteile Menge von C 2 ist also ist sie auch aus die 2 und also habe ich für alle Mengen C aus T 2 das integral unbedingt Erwartungswert von nächste geben Sie 2 bis integral über XDP überlegen und wir sind fertig ist es nicht ja das ist Weihnachten servieren fertig und und ja genau gegeben habe Weise fertig und es ist noch 2 Minuten und wir haben sie da fragen also maroden wie technisch gebe ich zu und das ist auch die Sache wie man sich das ganze einig forschte also momentan haben noch keine rechte Vorstellung vom Begriff brauchen Sie eines nicht sie sollen sich nur die Eigenschaften der also wollen hatte von morgen mit den Eigenschaften und die müssen sich mehr und er ist kommt dann nach Weihnachten wäre in der 1. Woche Vorlesens Woche nach Weihnachten dass der Begriff noch ein bisschen klarer zutage treten wird Okun geht dann kann ich ihn so weit vor Weihnachten wünschen glückliches neues Jahr und so weiter und wir sehen uns in 9 Jahren
Loading...
Feedback

Timings

  728 ms - page object

Version

AV-Portal 3.20.2 (36f6df173ce4850b467c9cb7af359cf1cdaed247)
hidden