Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow Teil 1
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Formal Metadata
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| Part Number | 11 | |
| Number of Parts | 28 | |
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| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/31353 (DOI) | |
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AlgebraMotion (physics)SequenceSet (mathematics)Rational numberSeries (mathematics)Game theoryEuclidean vectorZahlFunction (mathematics)MaßtheorieProbability theoryLinieQuantificationFactorizationRandom variableInfinityAbbildung <Physik>Propositional formulaPlane (geometry)Generating functionHaar measureIndexComplementarityPower setAdditionSubsetSummationUnabhängige ZufallsvariableOperator (mathematics)DistanceMusical ensembleSummierbarkeitHand fanAbsolute valueCircleInclusion mapCharakter <Topologie>Direction (geometry)Film editingGEOLOGCartesian productFiber (mathematics)Durchschnitt <Mengenlehre>SupremumIndependent set (graph theory)Well-formed formulaMilitary operationIndexmengeLimit (category theory)Family of setsSigma-algebraNumberVector graphicsSimilarity (geometry)CoefficientProbability spacePartialsummeLecture/Conference
Transcript: German(auto-generated)
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präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. Ja, begrüße ich Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wenn Sie bitte Platz nehmen könnten. Ich mache noch die Tür zu.
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Ich werde mal gucken, dass ich den Hörsaal für Donnerstag noch verändere. Der Hörsaal ist irgendwie zu klein und zu stickig. Ich werde es aber für die Woche noch nicht schaffen. Diese Woche sind wir noch mal im Gleichen. Dann gucke ich mal, ob wir nächste Woche auf den S101, A01 zurückgehen können.
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Dann haben wir mehr Platz und vor allem ist es auch nicht so stickig. Also irgendwie der Hörsaal ist ja eigentlich nicht zumutbar Donnerstags. Wir waren stehen geblieben. Oder wir haben das Lernmittel. Ach so, zweite Ankündigung, die ich machen möchte. Wir machen nächste Woche die Semestralklausur.
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Hier zu dieser Zeit. Also ich würde erst am zu Beginn noch ein bisschen Vorlesung machen. So circa halbe Stunde. Und dann käme die eigentliche Klausur. Inhalt der Klausur wäre Stoff der Vorlesung. Also wichtigen Sätze und Beispiele aus der Vorlesung sowie die Übungen. Und sie bekommen zwei Aufgaben und haben circa 45 Minuten Zeit dafür, das zu bearbeiten.
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Ohne irgendwelche Hilfsmittel. Wir waren stehen geblieben beim zweiten Lämmer von Borel-Cantelli. Oder wir hatten beim letzten Mal behandelt, das zweite Lämmer von Borel-Cantelli. Wir haben Wahrscheinlichkeitsraum Omega-AP. Wir haben Ereignisse A, N aus A, die unabhängig sind.
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Dann gilt, wenn die Reihe N gleich 1 bis N endlich der P von A, N gleich unendlich ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit vom Limes superior der A, N gleich 1. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass N endlich viele diese Ereignisse gleichzeitig eintreten, ist dann 1.
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Sie wissen vom ersten Lämmer von Borel-Cantelli, dass, wenn diese Reihe kleiner und endlich ist, dass dann auch ohne Unabhängigkeit die Wahrscheinlichkeit vom Limes superior gleich folgt, dass die Wahrscheinlichkeit vom Limes superior gleich 0 ist. Das heißt, wenn Unabhängigkeit vorliegt, dann hat dieser Limes superior die Eigenschaft,
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dass die Wahrscheinlichkeit entweder 0 oder 1 ist. Und das Ganze wollen wir im Folgenden vorallgemeiner mit dem sogenannten 0-1-Gesetz von Kolmogorow. Das gibt erstmal einige ein bisschen abstraktere Definitionen. Wobei ich nachher gleich nochmal zu Beispielen dazu kommen.
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Das erste, wir haben ein Messraum Omega A, Sigma-Algebra in A, N aus A. Wir definieren uns eine neue Sigma-Algebra T, N. Das ist die kleinste Sigma-Algebra, die A, N, A, N plus 1, A, N plus 2 und so weiter enthält. Das heißt, die kleinste Sigma-Algebra, die alle Mengen enthält, die in A, N drin sind, die in alle Mengen enthält, die in A, N plus 1 drin sind und so weiter.
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Dazu vereinige ich diese ganzen Sigma-Algebren, bilde die Vereinigung K gleich N bis N endlich, der Sigma-Algebra in A, K. Es gibt wieder ein Mengenset und erzeuge mir daraus eine Sigma-Algebra in Omega. Da die A, N alle Teilmenge von der Sigma-Algebra A sind,
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ist auch die Vereinigung in A drin und damit die kleinste Sigma-Algebra auch wieder in A drin enthalten. Anschließend schneide ich alle diese Sigma-Algebren T, N von N gleich 1 bis N endlich. Also ich bilde den unendlichen Schnitt N gleich 1 bis N endlich über die Sigma-Algebren T, N. Wir wissen, Schnitt von Sigma-Algebren ergibt wieder eine Sigma-Algebra.
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Ganz egal, wie viel davon sie schneiden. Und das Ganze ist dann die sogenannte Sigma-Algebra der terminalen Ereignisse. Ich habe Ihnen beim letzten Mal drei Beispiele dazu gemacht. Die kommen gleich noch mal folienbisschen ausführlicher. Wir hatten dann eine zweite Definition. Das war die Unabhängigkeit.
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Jetzt diesmal erweitert auf Mengensysteme. Wir haben im Wahrscheinlichkeitsraum Omega-AP. Wir haben Mengensysteme Ci Teilmenge von A für i aus einer Indexmenge. Diese Mengensysteme heißen unabhängig. Genau dann, wenn, naja, ganz egal, wie ich Mengen Ci aus Script Ci herausgreife. Die entstehende Familie der Ci i aus i sollen unabhängige Ereignisse sein.
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Und dann habe ich Ihnen schon kurz vorgestellt das sogenannte Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow. Das Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow besagt, wenn ich einen Wahrscheinlichkeitsraum Omega-AP habe,
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ich habe unabhängige Sigma-Algebren An, die sind Teilmenge von diesen A. Dann gilt für jedes Terminale Ereignis A von diesen An, die Wahrscheinlichkeit von A ist entweder Null oder Eins. Ich habe in meinem letzten Mal zu diesen Terminalen Ereignis drei Beispiele gemacht,
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aber dummerweise war ein bisschen unklug, habe ich mit dem Schwierigsten angefangen. Ich versuche es diesmal mal andersrum. Also wir fangen mal mit dem Einfachsten an und setzen es dann langsam fort. Erstes Beispiel für ein Terminales Ereignis ist der Lime Superior.
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Das heißt, ich nehme An als die von dem Ereignis An erzeugte Sigma-Algebra. Das ist die kleinste Sigma-Algebra, die An enthält. Die muss natürlich die leere Menge und Omega enthalten, wie jede Sigma-Algebra. Sie muss An enthalten und da es eine Sigma-Algebra ist, muss es auch das Komplement von An enthalten.
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Wenn ich diese vier Mengen nehme, sehen Sie leicht, dass es in der Tat eine Sigma-Algebra ist. Und diese Sigma-Algebra definiere ich als Skript An. Dann ist der Lime Superior von diesem Skript An, das ist der unendliche Schnitt, n gleich 1 bis unendlich, unendliche Vereinigung k gleich n, n bis unendlich ak.
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Diese Vereinigungen, die da hinten stehen, werden immer kleiner bezüglich der Mengen-Inglussion. Das heißt, es ist ganz egal, ob ich beim Schnitt von n gleich 1 losgehe oder irgendwie später. Das heißt, ich kann es genauso gut als Schnitt von n gleich Groß n bis unendlich und k gleich n bis unendlich von ak schreiben für ein beliebiges Groß n.
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Wenn ich das mache, dann sehe ich, naja, diese Vereinigung dieser Mengen da hinten, die ist in der Vereinigung dieser Sigma-Algebren enthalten. Sigma-Algebren vereinigt von k gleich Groß n bis unendlich der ak. Einfach weil die ak alle in Skript ak enthalten sind.
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Das ist trivial. Das heißt, diese Vereinigung k gleich n bis unendlich ak ist für alle n größer gleich Groß n in dieser Erzeuger-System der Sigma-Algebra enthalten, und damit auch in der Sigma-Algebra. Da das eine Sigma-Algebra ist, ist auch der unendliche Schnitt über diese Ereignisse in der Sigma-Algebra enthalten. Das heißt, in der Tat, also wenn Mengen drin sind,
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ist auch jede Verknüpfung dieser Mengen, solange ich eine abzählbare unendliche Verknüpfung oder höchstens abzählbare unendliche Verknüpfung von Mengen mache, mit den üblichen Mengen-Operationen in der Sigma-Algebra enthalten. Dieser Schnitt ist auch drin. Das heißt, Sie sehen in der Tat, ganz egal, wie ich n wähle, naja, dann ist der Limes-Superior auch
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im unendlichen Schnitt der Tn und damit in T unendlich. Das heißt, in der Tat, dieser Limes-Superior ist ein Beispiel für ein terminales Ereignis. Ok, zweites terminales Ereignis. Ich gebe mir diesmal reelle Zufallsvariablen Xn vor,
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von Omega a nach Rb, und definiere a n als die von Xn erzeugte Sigma-Algebra. Das ist die kleinste Sigma-Algebra im Definitionsbereich, bezüglich der diese Abbildung Xn von Omega nach R messbar ist. Die muss nach Definition alle Urbilder von Mengen aus b enthalten, also das Mengensystem Xn oben minus eins von b muss drin sein.
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Da dieses Mengensystem andererseits auch eine Sigma-Algebra ist, hatten wir ganz zu Beginn der Vorlesung mal gesehen, ist das die kleinste Sigma-Algebra. Das heißt, ich kann a n, die von Xn erzeugte Sigma-Algebra definieren, als Xn oben minus eins von b. Ich gucke mir dann das Ereignis an, das aus der Menge alle Omega besteht,
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wo Xn von Omega n aus n diese Folge konvergiert. Und ich behaupte, dieses Ereignis ist ein terminales Ereignis. Warum ist das so? Nun, dieses Xn-Konvergent, eine Folge ist konvergent, naja, da kann ich die ersten Glieder weglassen.
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Das heißt, ich kann genauso sagen, ich streiche den ersten weg und betrachte die Folge neu, erst wenn sie ab einem Groß n losläuft und sage, dieses Xn mit n größer gleich groß n soll konvergent sein. Naja, diese eckige Klammer ist eine Abkürzung dafür, das ist die Menge aller Omega in Groß Omega, sodass Xn von Omega für n größer gleich n konvergent ist.
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Jetzt wissen Sie, reelle Folge ist konvergent genau dann, wenn sie Cauchy-Folge ist. Das heißt, ich kann hier genauso gut Cauchy-Folge hinschreiben. Und Cauchy-Folge können Sie jetzt wieder ausschreiben. Was heißt Cauchy-Folge? Naja, für alle Epsilon existiert n Null, sodass für alle n größer gleich n Null der Abstand kleiner als Epsilon ist. Jetzt muss ich da nicht alle Epsilon zulassen,
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es genügt, wenn ich Epsilon gleich eins durch L zulasse, also nur kleine Epsilon, die beliebig nah bei Null gehen, und nur rationale Zahlen zulasse. Dann komme ich auf sowas, ich komme die Menge aller Omega in Omega, sodass für alle n aus n existiert ein n Null, größer gleich n, weil ich mich ja nur für die Folge ab Groß n existiert, sodass für alle m,n größer gleich n Null,
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xn von Omega minus xm von Omega kleiner als eins durch L ist. All das ist das gleiche wie Cauchy-Folge. Und jetzt kann ich diese... Ja, den Overhead kann man leider nicht weiter verschieben, aber ich kann die... Okay, danke für den Hinweis. So besser?
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Okay, das heißt, ich bin bei der Menge aller Omega in Omega, sodass für alle n L aus n existiert n Null, für alle n,m größer gleich n Null, soll Betrag von xn von Omega minus xm von Omega kleiner als eins durch L sein. Da habe ich einfach nur Cauchy-Folge umgeschrieben. Und was ich jetzt als Nächstes mache,
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ich verwandle diese Quantoren hier in Mengenoperation. Das heißt, ich behaupte, das da ist das Gleiche, wie wenn ich den Schnitt bilde über alle n aus n, dann die Vereinigung über n Null gleich groß n wissen endlich, und dann wieder ein Schnitt von m,n gleich n Null wissen endlich von der entsprechenden Menge aller Omega,
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wo xn von Omega minus xm von Omega betragsmäßig kleiner als eins durch L ist. Und das kann ich wieder als Ereignis schreiben. Das ist Ereignis, dass Zufallsvariable xn minus Zufallsvariable xm Betrag kleiner als eins durch L ist. Wie sehen Sie das? Na ja, Sie machen sich einfach klar, was heißt es, dass ein Omega hier drin ist. Das Omega muss in allen diesen Mengen,
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in diesen Schnittvorkommen auftauchen. Dann, dass es hier in der Vereinigung ist. Na ja, es muss ein N geben, sodass es hier drin ist. Es muss ein N Null geben, sodass es hier drin ist. Das ist der Existenzquantor. Dann wieder hier ein Schnitt, wieder ein Alquantor und es steht da. Also machen Sie sich elementar klar, dass Sie, wenn Sie hier Alquantoren, Existenzquantoren haben, dass Sie die nach außen ziehen können
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in Schnitte oder Vereinigungsoperatoren. Ja, jetzt sehen Sie, xn minus xm ist, na ja, xn ist f von xn messbar, xm ist f von xm messbar, xn minus xm ist dann sicher messbar.
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Na gut, wir müssen hier eine Messbarkeitsaussage und überlegen die Differenz. Oder wir machen es so. Also xn ist messbar bezüglich der Vereinigung aller an mit index größer gleich n. Genauso xm. Und wenn ich hier erst bei groß n losgehe, dann ist es also messbar bezüglich der Vereinigung
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von k gleich n bis unendlich der ak. Und dann habe ich eine Linearkombination. Die Linearkombination ist dann messbar bezüglich der gleichen Sigma-Algebra. Das war Satz 212 aus der Vorlesung. Dann haben wir das da. Dann ist das also ein f von erzeugte Sigma-Algebra von Vereinigung k gleich groß n bis unendlich der ak.
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Na ja, das ist jetzt für alle n aus n. Na ja, und dann ist das eine Sigma-Algebra. Dann mache ich mit der Sigma-Algebra irgendwelche Operationen. Das bleibt da drin. Dann sehen Sie auch das ist in der Sigma-Algebra für alle n aus n. Na ja, aber dann sind wir fertig. Weil dann ist xn konvergent in dem Schnitt drin enthalten. Dieser Schnitt ist wieder t unendlich.
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Das heißt, xn konvergent ist ein terminales Ereignis. Haben Sie Fragen so weit? Ich habe die Folien, ich habe das jetzt diesmal in den Skript aufgenommen. Das heißt, ich tue heute die neue Version vom Skript
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und habe die Argumentation mit reingemacht. Ich könnte die Folien auch noch online stellen, aber das ist dann glaube ich unnötig. Sonst noch Fragen? Okay, also das war noch eigentlich war das noch relativ einfach. Wir hatten Folgen, das konnte man noch
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relativ elementar nachrichten. Und dann kam die Stelle, wo ich beim letzten Mal nicht mehr so richtig weiter wusste, weil da ging es um Summen. Aber das ist im Prinzip eigentlich sobald man mal den Hörsaal verlässt und in Ruhe drüber nachdenkt, auch einfach. Aber gucken wir es uns mal an. Also jetzt kommt das dritte. Das war das, wo ich beim letzten Mal irgendwie nicht mehr recht weiter wusste. Wir machen die a n genauso.
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Aber diesmal betrachten wir als Ereignis das Ereignis, dass die Reihe konvergent ist. Die Reihe über die x n soll konvergent sein. Und ich behaupte, das ist auch ein terminales Ereignis. Zügig den gleichen Sigma-Algebra. Warum ist das so? Naja, ich setze s n als Partialsumme, nte Partialsumme.
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Dann gilt die Reihe ist konvergent genau dann, wenn die Folge der Partialsumme konvergent ist. Und dann die Folge der Partialsumme schreibe ich umso wie gerade eben. Das heißt, ich komme auf die gleiche Zeile nur x n durch s n ersetzt. Das heißt, ich komme auf die Vereinigung l element n null,
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die Schnitt l element n null, Vereinigung n gleich n null bis unendlich, Schnitt n, m gleich n null bis unendlich vom Ereignis, dass Betrag von s n minus s m kleiner als 1 durch l ist. Und was ich jetzt begründen muss, ist, dass dieses Ereignis, über die ich da so schön schneide oder die Mengenoperation
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bilde, dass das in meinem T n enthalten ist, also in der Sigma-Algebra, die erzeugt wird von der Vereinigung k gleich n bis unendlich der x k oben minus 1 von b. Solang m Komma n größer gleich n ist. Und dann bin ich fertig. Ok, gucken wir uns das genauer an. Wir nehmen mal an, ohne Beschränkung
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der Allgemeinheit, dass n größer als m ist, schreiben dann s m minus s m um, als das ist dann eine Partial- oder ist eine Differenz zweier Partialsummen. Da bleibt nur noch die Summe von x m plus 1, x m plus 2 und so weiter bis x n übrig. Und ich muss argumentieren, dass diese Summe da oben in der Sigma-Algebra ist.
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Naja, aber jetzt geht es eigentlich, haben wir im Prinzip schon gerade eben gemacht, diese x m plus 1, x n plus x m plus 1, x n plus 2 und so weiter bis x n sind T n b messbar. Jede einzelne. Und da die messbar ist, ist nach Satz 212 auch die Summe, bzw. Betrag der Summe T n b messbar.
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Und wenn Sie sich an Satz 212 erinnern, da hatten wir, da war der Trick dahinter, dass wir ausgenutzt hatten, wenn diese ursprünglichen Zufallsvariablen messbar sind bezüglich einer Sigma-Algebra im Definitionsbereich, dann kann ich so Vektoren bilden. Und die Vektoren sind messbar bezüglich gleicher Sigma-Algebra im Bildbereich und der entsprechenden Boreltschen Sigma-Algebra
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mit der entsprechenden Dimension im, nein, gleicher Sigma-Algebra im Urbildbereich und der entsprechenden Boreltschen Sigma-Algebra mit der entsprechenden Definition im Bildbereich. Und das lag daran, weil diese Boreltsche Sigma-Algebra eben von so einem Kreuzprodukt von Mengen erzeugt wurde. Und wenn dann das Urbild bezüglich so einen Vektor gebildet haben, dann war das eigentlich ein Schnitt
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von so einzelnen Urbildern. Ja, und damit ist das eigentlich auch klar und wir sind fertig. Das war das, was wir im letzten Mal gefehlt haben. Wir hätten natürlich den Beweis auch nochmal machen können. Also, da hatte ich dann ein paar Vorschläge bekommen, wir sollen diesen Beweis nochmal von Hand machen. Aber meistens ist es in der
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Maßtheorie, die den ganzen hier zugrunde legt, das sind relativ triviale Sätze, wenn sie die Beweise richtig machen. Wenn sie mit einem richtigen Werkzeug ankommen, werden die ganzen Sätze trivial, nur müssen sie halt das richtige Werkzeug finden. Und wenn sie die Dinge versuchen, direkt zu beweisen, wird es meistens recht schwierig.
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Okay, also ich hoffe mal, dass das jetzt auch soweit einigermaßen klar geworden ist. Was wir da gerade machen, Sigma-Algebra der terminalen Ereignisse, das ist ein sehr unanschaulicher Begriff, aber Sie haben jetzt ein paar Beispiele gesehen. Der Liebes-Superior wäre so eine Sache, genauso der Liebes-Inferior, hatten wir noch in der Vorlesung, sodass so eine Folge konvergiert, wenn ich die Sigma-Algebrien genau
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geeignet wähle. Und wo das so eine Reihe konvergiert. Und was wir jetzt in Folgendem zeigen möchten, mit dem 01-Gesetz von Kolmogorov, sind solche Aussagen wie, wenn die Ereignisse unabhängig sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit vom Liebes-Superior und Liebes-Inferior eine der Zahlen 0 oder 1. Wenn die Zufallsvariablen
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unabhängig sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Folge der Zufallsvariablen konvergiert, 0 oder 1. Und die Wahrscheinlichkeit, dass die Reihe konvergiert, 3 über die Zufallsvariablen, ist auch 0 oder 1. Also es kann, wenn Sie eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen haben und Sie bilden so eine Reihe, dann konvergiert die entweder immer oder nie.
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Mit Wahrscheinlichkeit 1. Gut. Dazu kommen wir dann heute. Vielleicht werde ich es heute wohl nicht genau schaffen. Aber ich werde es Ihnen mal ausführlich vorrechnen, dann haben Sie eine weitere Idee für eine Aufgabe in der Semestralklausur.
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Ich mache erst noch ein Beispiel zu der Unabhängigkeit von den Mengensystemen.
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Wenn diese Folge von Ereignissen unabhängig ist, dann folgt das auch die Folge der Sigma-Algebren, gebildet mit der leeren Menge,
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Omega a a n Komplement. Das heißt, die von a ein erzeugten Sigma-Algebren
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sind auch unabhängig. Das wäre das erste Beispiel. Hat jemand eine Idee, warum das gilt? Oder reicht Ihnen das Licht so? Ist das okay? Wir sehen genügend.
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Also Ereignisse sollen unabhängig sein, und dann sollen auch diese ganzen Ausdrücke hier unabhängig sein. Ist das klar? Warum?
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Wenn Sie n festhalten, dann ist die Menge, die da sind, gerade die Urbilder, die unter der charakteristischen Funktion auftreten. Und da wir wissen, die Mengen sind unabhängig, genau dann, wenn Ihre Indikatorfunktion unabhängig sind,
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dann folgt das. Oder anders ausgedruckt, das haben wir eigentlich gezeigt. Damals ein Beweis von der entsprechenden Bemerkung. Das war
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die erste. Das war ganz zu Beginn der Unabhängigkeit. Zweites Beispiel zu unabhängigen Mengensystemen. Wir nehmen Zufallsvariablen. Xn
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sind unabhängige, reelle Zufallsvariablen. Und dann bilde ich die von Xn erzeugten Sigma-Algebren, also
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xn oben minus eins von b. Und behaupte auch, diese Mengensysteme sind unabhängig.
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Okay, was muss ich dazu zeigen? Dazu muss ich zeigen, wenn ich beliebige Mengen, Ereignisse aus diesen einzelnen Mengensystemen herausgreife, dann müssen diese Ereignisse unabhängig sein.
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Also Begründung. Na ja, wie sehen solche Ereignisse aus? Na ja, das sind Urbilder xn oben minus eins von Mengen b, b aus Skript b. Und ich muss zeigen, wenn ich davon irgendwelche rausgreife,
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dann sind die unabhängig. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit vom Schnitt ist gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Greifen wir irgendwelche raus, das heißt, wir bilden die Wahrscheinlichkeit von k gleich eins bis n. Und dann haben wir so ein
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xnk oben minus eins von bk. Und ich will zeigen, das ist gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Ich schreibe das dazu um. Ich schreibe das um.
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Das bedeutet ja, xn eins ist eine Menge b eins. Na ja, und spätestens jetzt stört mich der obere Index n. Also ich nehme mal vielleicht besser l.
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Dann habe ich ein xnl Element bl. Dann weiß ich, die xn sind unabhängig. Also die Zufallswariaten sind unabhängig. Dann ist diese Wahrscheinlichkeit gerade das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten.
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Das heißt, ich komme hier auf Wahrscheinlichkeit von xn eins in b eins.
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Ja, und dann können Sie das wieder umschreiben. Das ist ja gerade die Wahrscheinlichkeit nach Definition von U-Bild von der Menge b eins bei der Abbildung xn eins.
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Also p von xn eins oben minus eins von b eins. Und genauso mit dem Letzten. Und das war zu zeigen.
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Fragen soweit?
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Gut, dann schreibe ich vielleicht nochmal den Satz 419 hin. Weil es um den es ja heute eigentlich geht. Das 0,1 Gesetz von Kolmogorow. Habe ich beim letzten Mal schon ganz zum Schluss
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hingeschrieben, aber ich mache es vielleicht nochmal.
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Wir haben Wahrscheinlichkeitsraum omega ap. Wir haben eine unabhängige Folge von sigma-Algebra an Teilmenge a.
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An seine unabhängige, ich nenne es vielleicht mal Familie, von sigma-Algebra an Teilmenge a. Die Aussage ist, jedes terminale Ereignis a
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bezüglich an hat die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1, was dann gilt.
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Jedes terminale Ereignis a bezüglich an erfüllt p von a aus 0,1.
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Und wenn Sie das jetzt kombinieren mit dem von gerade eben, also gerade eben haben wir gesehen, wenn wir unabhängige reelle Zufallsvariablen haben, sind auch diese sigma-Algebra unabhängig. Wir haben auf den Folien oder beim letzten Mal noch gesehen, ja, dann ist auch das Ereignis, dass die
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Folge der Zufallsvariablen konvergiert oder, dass die Reihe der Zufallsvariablen konvergierten Terminals Ereignis, dann sehen Sie, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind 0 oder 1. Das heißt die, oder Beispiel, wenn ich
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unabhängige reelle Zufallsvariablen xn habe, dann folgt die Wahrscheinlichkeit, dass xn konvergent ist 0,1
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und ist gleiche mit der Wahrscheinlichkeit, dass die Reihe konvergiert.
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Also Folgen mit zufälligen Gliedern oder Reihen mit zufälligen Koeffizienten konvergieren, entweder immer oder nie mit Wahrscheinlichkeit 1,
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wenn die einzelnen Folgenkläger oder die einzelnen Summanden unabhängig sind. Okay, Beweis wird ein bisschen dauern für das ganze Ding, weil wir ein bisschen ausholen müssen, aber ich erkläre Ihnen mal vorneweg die Beweisidee. Und dann machen wir später,
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also wahrscheinlich erst nächste Stunde, den eigentlichen Beweis. Die Beweisidee ist, ich schnappe mir so ein beliebiges Terminal das Ereignis und ich zeige wie dieses Terminale Ereignis ist mit sich selber unabhängig.
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Also A aus T unendlich.
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Also wir zeigen. Das Ereignis ist mit sich selber unabhängig.
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Also die Familie bestehend aus den Mengen A und A ist unabhängig. Das nenne ich mal Stern. Warum impliziert das unsere Behauptung? Naja, überlegen Sie mal, was heißt das? Das heißt, ich kann P von A natürlich schreiben,
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als P von A geschnitten mit A. Wenn jetzt A mit sich selber unabhängig ist, dann ist dieser Schnitt, die Wahrscheinlichkeit vom Schnitt gleich dem Produkt. Das ist also P von A mal P von A.
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Ja, jetzt bringen Sie alles auf eine Seite. Dann steht da 0 ist gleich P von A minus P von A mal A ist gleich P von A
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mal 1 minus P von A. Ja, und jetzt sehen Sie, wenn P von A mal 1 minus P von A gleich 0 ist, dann muss einer der beiden Faktoren gleich 0 sein. Das heißt, P von A muss gleich 0 sein oder P von 1 minus P von A muss gleich 0 sein. Also P von A gleich 1.
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Okay? Also sehen Sie, sobald ich das habe, ist alles klar. Es ist nur die Frage, wie zeige ich, dass A mit sich selber unabhängig ist. Okay, Nachweis von Stern. Oder Idee bei Stern.
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Was war das T unendlich? Gucken Sie es nochmal an. Das T unendlich, das war ja so ein Schnitt. N gleich 1 bis unendlich. Und dann kam die Sigma-Algebra T n. Das war die
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kleinste oder die von A n, A n plus 1, A n plus 2 und so weiter erzeugte Sigma-Algebra. Das heißt, hier steht F von K gleich n bis unendlich A k.
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Okay, was wissen wir? Die A k sind alle unabhängig. Das heißt, insbesondere wenn ich die A groß n angucke,
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dann ist das unabhängig von allen Sigma-Algebren später. Das heißt, wir machen hier mal K gleich n plus 1
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bis unendlich A k. Das ist sicher unabhängig.
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Einfach nach Definition der Unabhängigkeit der Mengensysteme, ich muss zwei Mengen rausgreifen, eine hier, eine hier, muss zeigen, die sind unabhängig. Die liegt in einem A n, die liegt in irgendeinem A k mit K ungleich n. Da die Sigma-Algebren unabhängig sind, sind die beiden Ereignisse unabhängig. Fertig. Okay, der entscheidende Schritt
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wird jetzt sein, so etwas zu zeigen, wie wenn die beiden Mengen unabhängig sind, dann sind auch die davon erzeugten Sigma-Algebren unabhängig. Das heißt, ich möchte sowas schließen, oder in der Art werde ich es ungefähr vorgehen. Nicht ganz genau, aber das heißt, wir werden einen Hilfsatz haben,
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der uns irgend so etwas Ähnliches impliziert. Das heißt, auch die beiden sind unabhängig. Das wird die
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eigentliche Mühe sein. Ich zeige, wenn zwei Mengensysteme unabhängig sind, dann sind auch sowas wie die erzeugten Sigma-Algebren unabhängig, was ich ein bisschen über den Umweg machen werde. Aber nehmen Sie mal an, das klappt. Wenn ich das habe, dann sehen Sie, das was da steht, ist ja eine der Mengensysteme,
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über die ich da oben schneide. Das heißt, das was da steht, ist eine Obermenge von dem T unendlich. Das da ist sicherlich eine Obermenge von der Sigma-Algebra der terminalen Ereignisse, einfach weil
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das in dem Schnitt auftaucht. Dann sehen Sie ja, das A n und das T unendlich ist unabhängig, und zwar jetzt für jedes n. Das Ganze gilt ja für alle groß n aus n. Und dann kann ich genauso gut aus sagen, ja, dann ist auch die unendliche Vereinigung
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n gleich 1 bis unendlich der A n ,t unendlich ist unabhängig. Das ist auch klar, weil die Einzelmengen, die einzelnen Sigma-Algebren waren ja unabhängig.
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Und dann mache ich sowas wie gerade eben nochmal, genau das gleiche, dann behaupte ich nämlich, dann ist auch die davon erzeugte Sigma-Algebra
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unabhängig. Ja, und jetzt sehen Sie aber, das, was da steht, ist eine der Mengen, die in dem Schnitt auftaucht. Das heißt, das ist eine Obermenge von T unendlich. Ja, dann sehen Sie, die terminale Sigma-Algebra
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ist mit sich selber unabhängig. Fertig. Und wir haben eben noch zwei kleine Probleme. Problem hier und Problem hier. Aber modulo diesen beiden kleinen Problemen hätten wir den Satz gezeigt.
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Da lachen Sie jetzt, ne? Ja, also ich gebe zu, es gilt so nicht, ne? Okay, also, das ist halt das Problem. Das ist leider blöd, wenn zwei Mengensysteme unabhängig sind, dann sind im Allgemeinen ihre davon erzeugten Sigma-Algebren nicht unabhängig. Oder nicht notwendigerweise unabhängig. Das heißt, es geht so nicht. Aber was ich jetzt mache, ich führ was anderes ein.
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Es gibt ja nicht nur Sigma-Algebren. Ich führ einen weiteren Mengen-Hilfssystem ein, das sogenanntes Dynking-System. Für das Dynking-System zeige ich genau den Satz. Und dann werde ich zeigen, unter gewissen Voraussetzungen stimmt das Dynking-System mit der Sigma-Algebra überein. Und die Voraussetzungen werden hier erfüllt sein. Also nicht direkt, wenn wir es so machen,
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sondern also Sie haben hier ein Erzeuger-System. Das Erzeuger-System muss durchschnittstabil sein. Das heißt, mit zwei Mengen muss auch der Durchschnitt drin sein. Dann stimmt das die davon erzeugte Sigma-Algebra mit der davon erzeugten Dynking-System überein. Das heißt, ich muss hier noch
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ein bisschen rumbasten, um da einfachen Beweis zu haben. Okay, Fragen soweit?
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Das T unendlich ist eine Teilmenge von dem und hier steht auch T unendlich ist eine Teilmenge von dem. Und das ist richtig, weil diese Mengen, die da stehen, in dem Schnitt auftauchen. Die sind im Schnitt drin und deswegen ist das T unendlich bezüglich der Mengeninflation eine kleinere Menge. Also, das ist nicht das Fragezeichen.
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Und die also, ich meine, es gelten auch beide so, wie sie hier dargestellt sind. Nur die Begründung ist falsch. Also, ich kann beides so schließen, werden wir auch ein Beweis so machen,
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nur werden wir es mit einer leicht anderen Begründung machen. Also, was halt nicht gilt, ist die Vorstellung, wenn Mengensysteme unabhängig sind, sind die davon erzeugten Sigma-Algebra unabhängig. Da muss man ein bisschen einen anderen Begriff nehmen. Gut, noch Fragen?
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Dann würde ich 5 Minuten Pause machen zum Tafelwischen und wir machen dann um 36 weiter. Also, wenn Sie so weit auf Ihre Plätze gehen könnten.
40:22
Ich fange mal an mit einer Vorbemerkung zum Beweis. Also, das ist das, was ich als Mengen-Hilfssystem oder als neues Mengensystem brauche. Oder eigentlich sind es Vorbemerkungen zum Beweis von Satz 419.
40:52
Wir nehmen eine Menge Omega, die ist nicht die leere Menge.
41:01
Ein Mengensystem C ist eine Menge von Teilmengen von Omega, also eine Teilmenge von der Potenzmenge von Omega. Dieses Mengensystem C heißt Dinking-System,
41:23
falls gilt. Drei Eigenschaften. Erstens, ich fordere, dass Omega drin ist. Zweitens, ich fordere,
41:41
wenn zwei Mengen drin sind, dann ist auch Ihre Differenz drin, sofern die eine Menge eine Teilmenge von der anderen ist. Also, A, B aus C, A Teilmenge B, daraus folgt B ohne A ist auch ein C. Und
42:05
dritte Eigenschaft, ich fordere, wenn Mengen drin sind, die paarweise des Jungs sind, dann ist auch Ihre Vereinigung drin. Und diese Vereinigung schreibe ich
42:30
dann wieder als Summe. Und
42:48
wenn ich ein beliebiges Mengensystem habe, dann schreibe ich das kleinste Mengensystem, das dieses Mengensystem enthält und ein Dinking-System ist, das sei D von diesem Mengensystem. Also
43:01
D von, ich nenne es hier vielleicht mal E, das kleinste Dinking-System, das E
43:22
Teilmenge von T von Omega enthält. Es ist klar, dass sowas ist. Der Schnitt von Dinking-System ergibt ein Dinking-System. Also genauso wie bei Sigma-Algebren. Und damit kann ich den Schnitt von allen Dinking-Systemen bilden, die ihr enthalten.
43:41
Da ist zumindest die Potenzmenge drin. Also es ist ein nicht leerer Schnitt. Und damit ist es ein Dinking-System und in naheliegender Weise das kleinste Dinking-System. Da ist die Frage der einzige Unterschied, und zwar vermutlich der Unterschied zu Sigma-Algebra
44:01
ist, dass die Vereinigung von beliebigen Mengen nicht drin sein muss, sondern dass die des Jungs sein muss. Ja, auf sowas wollen wir eigentlich hinaus. Das wäre die Frage. Also, oder was ich zuvor fragen wollte, können Sie mir ein Beispiel angeben für ein Dinking-System? Ja, ein Triviales ist die Potenzmenge. Die leere Menge und Omega
44:21
nicht Triviales. Jede Sigma-Algebra. Jede Sigma-Algebra ist ein Dinking-System, weil diese Sigma-Algebra erfüllt insbesondere diese drei Eigenschaften. Also klar,
44:41
jede Sigma-Algebra ist Dinking-System. Aber im Folgenden geht es jetzt erstmal um den Unterschied zwischen Sigma-Algebra und Dinking-System. Und dann um Eigenschaften von Dinking-Systemen, insbesondere
45:00
so eine Eigenschaft wie, wenn zwei Mengensysteme unabhängig sind, dann sind auch ihre erzeugten Dinking-Systeme unabhängig. Und das kann man eben für Dinking-Systeme zeigen, für Sigma-Algebra nicht. Okay. Um den Unterschied zwischen Dinking-System und Sigma-Algebra oder die Beziehung noch ein bisschen deutlicher zu machen,
45:22
formuliere ich erstmal ein Lemma, das diesmal nicht im Exzerb drin ist, deswegen auch keine Nummer hat. Lemma, drei Teile, A. Wenn D ein Dinking-System ist, dann ist die Leeremenge drin und mit einer Menge A auch immer A, C.
46:08
Erste Eigenschaft, zweite Eigenschaft, die den Bezug herstellt zur Sigma-Algebra, ein Mengensystem ist eine Sigma-Algebra, genau dann, wenn es ein Dinking-System ist
46:21
und wenn es noch die Eigenschaft hat, mit zwei Mengen ist noch ihre Vereinigung drin. Also, B, A, Sigma-Algebra, genau dann, wenn A Dinking-System
46:49
und A ist Vereinigung stabil. Und das heißt, wenn A B aus A ist, dann ist sie auch ihre Vereinigung drin. Und C, das
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Gleiche kann ich auch formulieren mit dem Schnitt. Eine Mengensystem ist eine Sigma-Algebra, genau
47:22
dann, wenn es ein Dinking-System ist und wenn mit zwei Mengen auch der Schnitt drin ist.
47:46
Die Beziehung nur auf zwei Mengen und damit auf endlich Vereinigung. Das ist die Aussage. Aber wir beweisen
48:14
es gleich noch. Oder sonst noch Fragen
48:41
soweit? Also, Aussage könnte klar sein. Dinking-System enthält immer die leere Menge und mit jeder Menge das Kompliment. Würde ich aus eins, zwei, drei fordern. Und ein Mengensystem ist eine Sigma-Algebra, genau dann, wenn es ein Dinking-System ist und noch mit zwei Mengen immer ihre Vereinigung enthält. Oder
49:01
alternativ auch mit zwei Mengen immer ihren Schnitt enthält. Gut, kommen wir zum Beweis.
49:21
Ok, wie sehen Sie, dass die leere Menge drin ist? Die ganze Menge ist drin. Die ganze Menge ist eine Teilmenge von der ganzen Menge. Also wende ich das
49:41
in zweitens an mit A gleich B gleich Omega. Also A, die leere Menge ist gleich Omega ohne Omega. Das ist Element D. Omega Element D.
50:01
Oder ich habe hier C geschrieben. Ne, ich habe hier D geschrieben. Ja. D nach erstens, Omega, Teilmenge von Omega. Und dann eben hier brauchen wir zweitens eine Definition.
50:25
Wie sehe ich das mit der Menge auch immer ihr Kompliment drin ist? Analog sehen Sie es, weil ganz Omega drin ist. Also wenn A
50:41
Element D daraus folgt AC ist ja Omega ohne A. Das ist Element nach zweitens. Element D. Da Omega Element D nach erstens.
51:04
Und A natürlich eine Teilmenge von Omega ist. Ok, also der A-Teil war trivial. Braucht man B-Teil. Ist eine genaue Dein-Wenn-Beziehung.
51:20
Braucht man zwei Richtungen. Die Richtung von oben nach unten ist trivial, weil eine Sigma-Algebra eben abgeschlossen ist bezüglich allen endlichen oder abzählbaren vielen Mengenoperationen und die leere Menge von Omega enthält. Also insbesondere ist dann eins, zwei, drei aus Düngungssystem erfüllt und insbesondere ist Vereinigungsstabil.
51:42
Ich schreibe mal hin klar. Also jetzt betrachten wir mal ein Vereinigungsstabiles Düngungssystem.
52:13
Und wir wollen zeigen, dieses Vereinigungsstabile Düngungssystem ist eine Sigma-Algebra. Was müssen wir denn zeigen, damit es eine Sigma-Algebra ist?
52:24
Vorschläge abzählbar Vereinigung ist drin. Also ein Mengensystem ist eine Sigma-Algebra genau dann, wenn eine abzählbare Vereinigung drin liegt. Die Aussage ist, das erste und zweite übernimmt sich. Wie war die Definition von Sigma-Algebra? Wissen Sie es noch?
52:41
In der Vorlesung. Also wir haben angefangen, ich glaube, das zweite hatten wir nicht, sondern wir hatten das Komplement. Also wenn ich es noch recht weiß, wir hatten Omega aus C. Also nein, gilt.
53:03
Omega ist ein A nach erstens. Das zweite, was wir hatten, wenn A ist, ist auch das Komplement drin.
53:23
Das hatten wir gerade in A gezeigt, nach A. Und das, was wir jetzt eigentlich brauchen, ist, wenn An aus A sind, dann ist auch ihre Vereinigung drin. Und zwar auch, wenn sie nicht
53:41
nicht disjungt sind. Nicht paarweise disjungt. Vielleicht sollte ich hier besser nicht Drittens schreiben, sondern noch zu zeigen.
54:07
Drittens. Wenn An aus A ist.
54:35
Okay, also das ist das, was uns eigentlich fehlt. Gut. Dazu,
54:45
wie machen Sie das? Sie disjungtisieren es,
55:00
ist der Vorschlag. Das heißt, Sie schreiben diese Vereinigung als disjungte Vereinigung. Ich fasse es mal so aus, dass Sie vorschlagen, n gleich 1 bis unendlich An. Sie lassen A1 stehen, vereinigen dann ab 2, k gleich 2 bis unendlich oder n gleich 2 bis unendlich, nur den Teil, der noch fehlt. Das heißt, An ohne
55:20
die Vereinigung k gleich 1 bis n minus 1 der Ak. Richtig? Und jetzt wollen Sie sagen, okay, jetzt habe ich eine disjungte Vereinigung. Und da ich eine disjungte Vereinigung habe,
55:42
wende ich Drittens an. Modulo der Tatsache, dass noch die ganzen Mengen, die ich vereinigt haben sollten, sollten in der Sigma-Algebra, also in dem Düngungssystem drin sein. Das heißt, das ist das, was jetzt noch fehlt. Also Sie müssen jetzt primär argumentieren, warum ist diese Differenz hier
56:01
in dem Düngungssystem. Okay, die hintere Vereinigung ist endlich und deswegen in dem Düngungssystem.
56:22
Also da unser A Durchschnitt stabil war, oder Vereinigung stabil, gilt diese hintere Vereinigung k gleich 1 bis n minus 1 von Ak ist in A für alle n. Gut, jetzt
56:45
brauchen Sie noch die Differenz. Also jetzt brauchen Sie noch, wenn zwei Mengen drin sind, ist hier auch Ihre Differenz drin. Differenz schneiden Sie, schreiben Sie ja Schnitt mit einem Komplement. Und Sie wissen,
57:01
dass der Schnitt drin ist? Ja, Sie wissen, dass der Schnitt drin ist. Woher? Vereinigung stabil. Vereinigung stabil. Das ist kein Schnitt. Ja, das Verschnitt ist Komplement.
57:20
Jetzt werden Sie echt leidlich. Also daraus folgt auch A ohne Spielverderber, Spielverderber. Ich dachte, ich habe ihn jetzt. Okay.
57:42
K gleich 1 bis n minus 1. Ak ist auch in A. A Komma B aus A impliziert, jetzt brauchen wir die Differenz, A ohne B. Und da kam der Vorschlag, wir schneiden das als
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Komplement. A geschnitten, B Komplement, ist richtig. Und dann haben wir aber das, dummerweise, den Schnitt nicht drin, aber wir können den Schnitt als Komplement der Vereinigung der Komplemente schreiben mit dem Morgen. Das heißt, ich mache ein zweifaches Komplement, ziehe das eine mit dem Morgen rein, bekomme A Komplement, Vereinigt B und bilde davon nochmal
58:20
Komplement. Und das da ist auch in A. In A. Da eben wegen A Teil ist das Komplement drin und weil es Vereinigung stabil ist. Wegen A
58:43
Vereinigung stabil. Und A Teil. Ja, und jetzt können wir jetzt können wir drittens aus der Definition anwenden und sehen,
59:04
drittens, impliziert diese Vereinigung N gleich 1 bis und endlich der An, die ich als A1 plus diese Summe schreiben kann. N gleich 2 bis und endlich An
59:20
ohne diese Mengen. Das ist A. Und damit haben wir
59:41
B auch noch gezeigt. Also wir haben jetzt einen Bezug hergestellt zwischen dem Dinking-System und der Sigma-IG.
01:00:00
Im Prinzip haben wir von der Sigma-Algebra eben nur weggelassen, dass mit zwei Mengen auch ihre Vereinigung drin ist. Und das konnte man so formulieren, dass wir eins, zwei, drei gefordert haben.
01:00:22
Und im Prinzip sehen Sie jetzt auch schon, wie C geht. Ich weiß gar nicht, ob ich es hinschreiben muss. Also wenn Sie Durchschnitt stabil haben, haben Sie sofort auch Vereinigung stabil. Weil eben die Vereinigung können Sie schreiben als Komplement vom Durchschnitt von den beiden Komplementen der Mengen mit dem Morgen.
01:00:42
Also ich habe immer so einen kleinen Rest da an der Tafel, wo ich noch was hinschreiben könnte und so. Also ich würde gerne C einfach nur hinschreiben und wäre fertig mit dem Beweis. A vereinigt B ist gleich A-Komplement, geschnitten B-Komplement und davon das K-Komplement.
01:01:04
Und damit sehen Sie, wenn ich, also bei C ist wieder die eine Richtung trivial. Wenn A eine Sigma-Algebra ist, dann ist es ein Dynking-System und durchschnittstabil. Und wenn A ein Dynking-System ist, das durchschnittstabil ist, dann ist mit zwei Mengen auch Ihre Vereinigung drin,
01:01:20
weil ich die Vereinigung schreiben kann als Komplement der einen Menge, geschnitten mit dem Komplement der zweiten Menge und davon das K-Komplement. Und das K-Komplement ist nach dem A-Teil drin enthalten und der Schnitt ist nach der Voraussetzung drin. Okay? Oder müssen wir es ausführlich machen oder ist es okay? Ist es okay? Gut.
01:01:42
Fragen soweit? Dann war das das einfache Lemma.
01:03:20
Dann kommen wir zu der eigentlichen Aussage über Dynking-Systeme, die uns helfen, den Satz 419 zu beweisen. Es gibt das Lemma 420. Wir haben Wahrscheinlichkeitsraum Omega A P.
01:03:43
Wir haben Mengensysteme. Wir haben Mengensystem C. Das ist eine Teilmenge der Potenzmengen von Omega und Mengensysteme C1, C2, diese Teilmengen von A.
01:04:18
Unser A-Teil besagt, wenn unser Mengensystem C durchschnittsstabil ist, dann
01:04:23
ist das davon erzeugte Dynking-System gleich der davon erzeugten Sigma-Algebra.
01:04:42
Unser B-Teil besagt, wenn die Mengensysteme C1, C2 sind Teilmengen vom Definitionsbereich A unserer Wahrscheinlichkeit, wenn die unabhängig sind, dann sind auch die davon erzeugten Sigma-Algebra unabhängig, die Dynking-Systeme unabhängig.
01:05:36
Ja, und Sie sehen, damit erschlage ich meinen vorigen Beweis, meinen lückenden Beweis.
01:05:42
Weil ich kann eben nicht schließen, dass die erzeugten Sigma-Algebren unabhängig sind, aber ich kann schließen, die erzeugten Dynking-Systeme sind unabhängig. Und wenn ich dann die Erzeugen noch so bastle, dass sie durchschnittstabil sind, dann sind die erzeugten Dynking-Systeme gleich den erzeugten Sigma-Algebra fertig.
01:06:13
Und Sie werden nachher einen Beweis sehen, oder wahrscheinlich machen wir den erst nächstes Mal, von dem Beweis hier, werden Sie sehen, das klappt ganz gut mit der Definition von einem Dynking-System,
01:06:25
aber was wir halt nicht mehr zeigen könnten, wäre, also sobald wir fordern würden, dass mit zwei Mengen auch noch eine Vereinigung drin ist, dann würde der Beweis schiefgehen.
01:06:43
Ja, wenn das Dynking-System stabil wäre, das wäre sehr trivial. Sondern was wir jetzt im Folgenden zeigen, ist, wir zeigen genau, wenn diese Menge C durchschnittstabil ist, dann ist auch das davon erzeugte Dynking-System durchschnittstabil. Und damit haben wir den Beweis gezeigt.
01:07:04
Weil das wäre so im Satz nur eine Stufe tiefer. Also ich meine, die eigentliche Aussage ist hier drin. Weil sonst, das würde uns ja hier nicht mehr weiterhelfen. Da müsste ich als nächstes zeigen, ja, das erzeugte Dynking-System ist doch durchschnittstabil. Das wäre ja ein bisschen doof.
01:07:21
Ok, also kommen wir zum Beweis. Sei C durchschnittstabil.
01:07:45
Ich greife genau Ihre Beweisidee aus. Wir zeigen, D von C ist durchschnittstabil.
01:08:08
Und dann würde ich erstmal argumentieren, wenn ich dann habe, wenn ich gezeigt habe, dass D von C durchschnittstabil ist, dann habe ich die Behauptung gezeigt. All dies impliziert die Behauptung.
01:08:24
All dies impliziert D von C gleich F von C. Denn, ja, was wurden Sie sagen? Warum? Warum bin ich fertig, sobald ich gezeigt habe, dieses erzeugte Dynking-System ist durchschnittstabil?
01:08:53
Also dann ist D von C nach der Definition ein Dynking-System, weil es ja ein Dynking-System ist. Es ist auch noch durchschnittstabil.
01:09:01
Also nach dem vorigen Lemma ist es eine Sigma-Algebra. Es ist eine Sigma-Algebra, die den Erzeuger enthält. Und da es eine Sigma-Algebra, die den Erzeuger enthält, enthält es auch die gesamte davon erzeugte Sigma-Algebra. Und wir haben eine Teilmengenbeziehung gezeigt. Auf dem Weg zur Gleichheit. Und die andere Teilmengenbeziehung.
01:09:25
Könnte man sagen, weil F von Blar auch ein Dynking-System ist, naja. Okay, ja, ich glaube, Sie haben es kapiert. Wir machen zwei Teilmengenbeziehungen. Das eine ist, F von C ist ein Dynking-System als Sigma-Algebra.
01:09:54
Das natürlich C enthält. Und daraus folgt, es enthält auch das kleinste Dynking-System, das C enthält.
01:10:15
Die andere Richtung, D von C ist ein Dynking-System, klar.
01:10:30
Also nach Definition, das schreibt man klar dazu. D von C ist ein Dynking-System, das nach Sternen durch und stabil ist.
01:10:54
Daraus folgt, dieses D von C ist eine, also mit dem oberen Lemma, D von C ist eine Sigma-Algebra mit C Teilmenge D von C.
01:11:20
Und daraus folgt, F von C ist Teilmenge von D von C.
01:11:30
Okay, das heißt, in der Tat, ich muss nur zeigen, mit dem Mengensystem ist auch das davon erzeugte Dynking-System durch und stabil.
01:11:46
Oder Fragen soweit? Dann kommen wir zum Nachweis von Sternen.
01:12:08
Seien E, zwei Mengen greifen wir raus. E, F aus D von C.
01:12:24
Und wir zeigen, der Schnitt ist drin.
01:12:44
Wir machen das in zwei Schritten. Im ersten Schritt nehmen wir vereinfacht an, dass E noch in C ist, aber F beliebig aus D von C. Also erster Schritt sei E aus C, F aus D von C.
01:13:15
Oder anders ausgedrückt, ja, wischen ist vielleicht nicht so gut, wohl wischen ist nicht schlecht.
01:13:23
Also ich mach mal das nochmal weg und sag direkt, was wir zeigen. Wir zeigen, E geschnitten F ist Element D von C für alle F aus D von C.
01:14:06
Okay, ich mach erst mal also den ersten Schritt und nachher werden wir sehen, mit dem gleichen Argument kann ich dann den zweiten Schritt auch noch machen.
01:14:24
Dazu definiere ich mir ein Mengen-Hilfssystem. Typischer Beweisschritt in der Maßtheorie. Ich nehme ein G-Index E. Das sei die Menge aller Mengen F Schlange aus D von C,
01:14:47
sodass E geschnitten F Schlange in D von C ist.
01:15:12
Und meine Behauptung ist äquivalent dazu, dass D von C in G E ist.
01:15:24
Behauptung ist äquivalent zu D von C in G E.
01:15:40
Können Sie sich mal überlegen, warum das so ist? Und ich wische schon lang die hintere Tafel. Oder ich probiere, die hintere Tafel zu wischen.
01:17:06
Okay, sehen Sie, warum es in der Tat genügt zu zeigen, dass D von C Teilmenge von G E ist? Also, wir haben vorausgesetzt, E ist aus C.
01:17:21
Wenn D von C Teilmenge von G E ist, dann gilt für jede Menge D von C. Sie ist eine Menge drin. Das heißt, E geschnitten mit der Menge ist ein D von C. Und das war da oben zu zeigen. Das heißt, ich habe meine ganze Behauptung umformuliert in eine Teilmengenbeziehung für irgendwelche Mengensysteme. Üblicher Trick aus der Maßtheorie.
01:17:42
Und jetzt sehen Sie, ja, was ich zeigen möchte ist, das erzeugte Dinkungssystem ist in einem anderen Mengensystem drin enthalten. Ich zeige das, indem ich zeige, erstens, der Erzeuger ist drin, und zweitens, das Mengensystem ist ein Dinkungssystem. Weil, wenn das Mengensystem ein Dinkungssystem ist, das ein Erzeuger enthält, dann enthält es auch auf ein erzeugtes Dinkungssystem.
01:18:03
Okay, also wir zeigen dazu, eins, C ist Teilmenge von G E,
01:18:23
und zwei, G E ist ein Dinkungssystem. Und dann sind wir mit dem Schritt fertig.
01:18:40
Und wenn wir mit dem Schritt fertig sind, werde ich das gleiche nochmal machen, nur diesmal ohne die Voraussetzung, dass E in C ist, sondern nur in der Voraussetzung, dass E in D von C ist. Und dann werde ich die Mengensysteme genauso wieder hinschreiben. Ich werde die gleiche Behauptung zeigen. Und werde dann wieder haben wollen, dass C Teilmenge G E ist.
01:19:03
Und das folgt, ja, und das folgt dann diesmal aus dem ersten Schritt. Und das G E in Dinkungssystem folgt genauso wie im zweiten Schritt. Und wir werden fertig sein.
01:19:23
Okay, fangen wir an, Nachweis von eins. Können Sie argumentieren, warum dieses C eine Teilmenge von G E ist?
01:19:46
Also ich schnapp mir eine beliebige Menge, vielleicht C aus C, und ich möchte zeigen, diese Menge ist in G E drin.
01:20:10
Also C ist in C selber drin, und C ist durchschnittstabil. Okay, es ist, genau, also, okay.
01:20:27
Es sei also C aus C. Daraus folgt C ist in D von C. Und E geschnitten C.
01:20:51
Na ja, E ist in C, C ist in C, ist auch in C. Da E Element C, C Element C.
01:21:03
Und dieses C durchschnittstabil war, nach Voraussetzung. Ja, dann sehen Sie, jedes beliebige C aus C erfüllt die Eigenschaften. Das heißt, jedes beliebige C aus C ist in G E enthalten.
01:21:29
Daraus folgt eins. Dann kommt der Nachweis von zwei.
01:21:45
Können wir vielleicht noch schnell mündlich machen, und ich schreib's dann beim nächsten Mal hin. Wenn Sie sich mal überlegen, was muss ich jetzt zeigen? Was muss ich zeigen, um zu zeigen, dass dieses G E ein Dynking-System ist?
01:22:17
Na, Sie müssen die definierenden Eigenschaften drin durchgehen.
01:22:20
Erstens, der gesamte Raum Omega muss drin sein. Der gesamte Raum Omega, wenn Sie ein beliebiges, also das Omega gleich F-Schlange setzen, dann ist E geschnitten mit F-Schlange gleich E geschnitten mit Omega gleich E. E war in C, also ist auch in D von C enthalten. Zweitens, Sie müssen zeigen, wenn zwei Mengen drin sind,
01:22:41
und die eine Menge ist eine Teilmenge von der anderen, ist auch Ihre mengen theoretische Differenz drin. Das heißt, Sie haben zwei Mengen, die sind da drin. Dann bilden Sie E geschnitten mit A ohne B. Können Sie umschreiben als E geschnitten mit A, ohne E geschnitten mit B. E geschnitten mit A ist drin, weil die eine Menge drin ist. E geschnitten mit B ist drin, weil die andere Menge drin ist.
01:23:04
Die eine Menge ist eine Teilmenge von der anderen Menge. Also die hintenstehende Menge ist eine Teilmenge von der vorderstehenden Menge. Die beiden Mengen sind drin. Das D von C ist ein Dynkingsystem, ist auch Ihre Differenz drin. Ist auch okay. Und dann die dritte Eigenschaft.
01:23:23
Disjungte Vereinigung, abzählbare Disjungte Vereinigung. Sie haben die E geschnitten mit der abzählbaren Disjungten Vereinigung. Das gibt die Vereinigung von den einzelnen Mengen miteinander geschnitten. Die einzelnen Mengen miteinander geschnitten sind drin, weil die einzelnen Mengen in G, E drin waren. Weil die sind in D von C drin.
01:23:41
Und da ist ein Dynkingsystem, ist auch Ihre Vereinigung drin. Okay, da haben wir jetzt immer genau am Ende. Und ich schreibe den Beweis dann beim nächsten Mal hin.