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Zentraler Grenzwertsatz

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so ne in nie woher Herr Mhm up
ja ich begrüße Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesungen in der Einführung die Stochastic ich hab ihn beim letzten Mal eingeführt Konvergenz Begriffe für folgen Wähler Zufallsvariablen wir angegeben reale Zufallsvariablen ZMZ definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Raum ohne gar P es gibt dann Termin 2 Konvergenz Begriffe vorgestellt der 1. ZN konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen Z Schreibweise zn dann Pfeil oben P großes B gegen Z das ist genau dann der Fall wenn für jedes Erbsengröße 0 die Wahrscheinlichkeit dass Betrag Konzerte in Mindestzeit größer als selbst dann ist das heißt die Wahrscheinlichkeit dass wir fest n der Wert von Zn um mehr als Erzielung von wird als von dessen abweicht von Setup abweicht dass diese Wahrscheinlichkeit für ihn geben endlich gegen 0 konvergiert 2. Begriff seit konvergiert gegen Zeit fast sicher Schreibweise seltenen Fall Zf .punkt S .punkt falls die Wahrscheinlichkeit für ne Menge an dorniger Kleinanleger aus Großanleger wo der Limes eingeben endlich von den von Omega gleichzeit von Omega ist falls diese Wahrscheinlichkeit gleich 1 ist mit diesen Begriffen kann ich dann sachen formulieren wie der schwache Gesetz der großen Zahlen was wir letzte Vorlesung gezeigt haben wenn wir unabhängig identisch verteilte reelle Zufallsvariablen C Z 1 der 2 haben und so weiter mit der Annahme dass Erwartungswert von Z Quadrat Langnasen endlich ist dann konvergiert das arithmetische Mittel der Zeit die wir ihnen geben endlich nach Wahrscheinlichkeit gegen Erwartungswert von Z und unter schlechteren Voraussetzungen sogar wenn die allen Zufallsvariablen oder den Schwarzwald sind mit Erwartungswert von betrat und Zeitplan endlich dann konvergiert dieses aramäische Mittel gegen Erwartungswert von Z fast sicher das 2. Satz den die ohne Beweis gemacht haben ich würde beim letzten Mal noch gefragt was und dann dazu sagen wir diese Konvergenz Art ist stärker als eigentlich dieses Resultat indiziert sofort das Resultat oben weil die Aussage ist stark aber wenig gezeigt sehen Sie der Wahrscheinlichkeitstheorie und die Voraussetzungen sind schwächer allerdings konnten wir das eben relativ elementar wieder mal Gleichungen nein der tschechische schienen Gleichung beweisen ich würde beim letzten Mal noch gefragt was bringen diese gibt was bringen diese ganzen Konvergenz bekrittelt jagt sie bringen dass ich eben solche Aussagen formulieren kann was Tote schweigt sich die eine Zufallsvariable hier die von einer abhängt wie die andere sie können das deuten erstmals das ist Aussage der Wahrscheinlichkeitstheorie da kennen Sie den zugrunde Wahrscheinlichkeit Traum Omega AP hier betrachende Zufallsvariable drauf erkennen Prinzip diese Zufallsvariable bekennen insbesondere wie ein Erwartungswert wir wollen Aussagen haben über wie verhalten sich Realisierungen realisierte Werte wenn ich jetzt Werte angucke die unabhängige identisch verteilt dröhnender erzeugt werden von dieser Zufallsvariablen dann sich das arithmetische Mittel dieser 1. n für große n so als es die konstante Erwartungswert die einig kennen eine Aussage also der Wahrscheinlichkeit Raum oder die ganze Verteilung und so weiter sind gegeben wir machen Aussagen über Realisierungen sie können das sofort auch umdrehen damit werde noch heute anfangen 2. Teil der Stunde Aussage der Statistiken der Wahrscheinlichkeit Raum ist unbekannt das ist üblicherweise der Fall als sie Kinder nicht nicht Verteilungen und so weiter stattdessen beobachten sie Realisierungen also beobachten konkrete Werte dann möchten sie Aussagen über die Wahrscheinlichkeit Raum treffen zum Beispiel Aussagen wie groß ist der Wert im Mittel dann sehen Sie der Werte Mittel mich interessiert einigte Erwartungswert ich denn die Verteilung nicht also kann ich erwarten sich ausrechnen aber ich kann von meinen Beobachtungen des arithmetischen Mittel bilden und dieses arithmetische Mittel wird nach dem Starten Gesetz der großen Zahlen für große n nahe am Erwartungswert sein das heißt ich kann diesen unbekannten Wert hier der ist ,komma dann von Schätzen durch einfach arithmetisches Mittel der Beobachtung ok aber das kommen 2. eine Stunde wir sind da noch stehen geblieben Moderation des zentralen Grenzwert hat aus dem oben folgt wenn ich unsere identische teilte will Zufallsvariablen hat vertraglich integrierbar also Erwartungswert Felix Magath kleine unendlich dann konvergiert das 1 durch Einweisung in die gleich 1 bis n x -minus dem Erwartungswert von X mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen 0 und was sie heute jetzt kennen lernen als zentrale Aussage ist wäre wenn Sie diese Zufallsvariablen normalisieren indem sie durch die Wurzel aus ihrer Varianz sein dann ist das ganze Ding was rauskommt an deren Enden eines verteilt und das möcht ich Ihnen heute vorstellen ok fahren so weit fragen keine Fragen dann fangen wir an und ich schreibe Ihnen bei den zentralen Satz von heute an das ist der Satz den Verzicht der so genannte zentrale Grenzwert Zapfen Lindenberg Lady wir haben wahrscheinlich der Raum ohne gehen und darauf definiert Hunderte identisch verteilte Welle Zufallsvariablen X 1 X 2 also die Raum und wieder der Name x 1 x 2 und so weiter gehen kann um nach R sein unabhängigen identisch verteidigt QC Der APU IV Zufallsvariablen wer sie sein PortrÃt integrierbar als Erwartungswert von X 1 vertrat seit langem endlich der Erwartungswert von X 1 Quadrat gleich unendliches weil sie auch die Varianz ist kleiner als unendlich und ich fordere weiter dass die Varianz auch größer als 0 ist wenn über ganz gleich 0 ist werden die Zufallsvariablen Konstanz mit Wahrscheinlichkeit 1 aber sehr langweilig und 0 kleiner unendlich und dann ist die Aussage diese Zufallsvariable die Belgrad eben betrachtet haben
also arithmetisches Mittel der X -minus Erwartungswert von X 1 geteilt durch ihre Wirtsleute Varianz davon Kunde geht die Verteilungsfunktion .punkt weil sie gegen die Verteilungsfunktion einer Standard normalverteilten Zufallsvariablen also dann konvergiert die Verteilungsfunktion dann von der GD die Verteilungsfunktion von jetzt dieses 1 durch die Wurzel aus die Bank Varianzen vom letzten Mal gesehen kann ich umschreiben die Varianz von diesen arithmetischen Mittel war die Varianz von X 1 durch n als die Wurzel daraus es Watzl aus der Varianz von X 1 durch nutzlos in Gera davon genommen mit dem Faktor Wurzel n durch Varianz von X 1 mal 1 durch einen sowie gleich 1 bis n x die -minus er war der X 1 und von dieser Zufallsvariable betrachtet die Verteilungsfunktion und die Aussage ist die Verteilungsfunktion konnte konvergiert .punkt Weise gegen die Verteilungsfunktion von E 0 1 in einzuteilen Zufallsvariablen dann konnte die die Verteilungsfunktion von dieser Zufallsvariable .punkt Weise gegen die Verteilungsfunktion und das heißt wer setzen Begriff von der Konvergenz von Funktionen also beim konvergiert Folge von Funktionen gegen der andere Funktion Funktion definiert auf er hier mit .punkt Weise der definiert heißt hier ist für jeden einzeln Argument konvergiert die Folge der Funktionswerte gegen den entsprechenden Funktionswerte ganz Funktion das heißt wenn ich mir den also für alle x aus er richtig schreiben das heißt für alle x aus er geht der Limes dann eingeben endlich von der Wahrscheinlichkeit dass diese Zufallsvariable hierzulande gleich ist dies und jenes ist das gleiche wie wenn ich die Verteilungsfunktion sogar Standard wäre normalverteilte Zufallsvariable an der Stelle kleine x ausrechnen und das das Integral von minus unendlich bis X nicht der Standardnormalverteilung eine Stelle CGT das einst durch zu zweit gehen und damit sehen Sie die und ersetzt sie die Bedeutung der Normalverteilung die Normalverteilung ergibt sich durch so ein Krenz-Prozess wenn ich also von so ein Ausdruck den Assen pro einer möchte und ich macht das in dem Sinne dass ich möchte dass die Verteilungsfunktionen von dem Ausdruck hier für entgegen endlich .punkt Weise gegen feste Funktion konvergieren dann kommt die Verteilungsfunktion von der Standardnormalverteilung aus und zwar ganz egal was die ursprünglich Verteilung hier ist die X 1 1 hatte also wenn sie Zufallsexperiment haben mit Modellen Ergebnis sie führen das immer wieder durch und er zu mir und dann die Ergebnisse ausbilden es arithmetische Mittel dann kommt da was normal Vorteil des Russen Grenze und der Standardnormalverteilung kommt aus wenn Sie so viele normalisieren dass dieses Summe Erwartungswert 0 und Varianz 1 das ganze Beweise in der Vorlesung nicht das machen dann der Wahrscheinlichkeitstheorie nächstes Semester also NWT Wintersemester 11 12 also man könnte Sony versuchen elementar zu beweisen ich halte auch in der Art und Weise nichts meistens nachts sind mathematische Wissen auszuholen das ganze bisschen tiefer gehen zu beweisen und denn die Weise deutlich eleganter so dass hier versuchen würde auf auf dem Niveau was wir in der Vorlesung machen 2 ok ich möchte Ihnen das am Beispiel illustrieren also anstelle von Beweis noch ein ausführliches Beispiel durchmachen Rechnersimulation eigentlich das Beispiel 5 41 der Drachen das ehemalige werfen eines echten Dorfes das Modellieren wir durch unabhängige denn Teile Zufallsvariablen X 1 bis Xn die eben gerade wo die einzelne Grades werfen eines echten wird beschreiben also Molière einmaliges werfen eines echten Lopes durch identische Teile Zufallsvariablen X 1 bis Xn mit ja XT oder X 1 beschreibt in das Werfen eines echten Dorfes ja da können die Zahlen 1 bis 6 rauskommen diskrete Verteilung das heißt sie geben die Wahrscheinlichkeiten an dass ein diese Zahlen auf kommt diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich groß das heißt die Wahrscheinlichkeit dass X 1
gleich wir K =ist gleich ein Sechstel klar von 1 bis 6 und was ich dann mache ich bilde genau diesen Ausdruck aus dem Satz dem 40 für diese Zufallsvariablen das heißt ich Bild das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen sie Erwartungswert ab obwohl die Bezieher mit Wurzel n Teil durch die Wurzel aus der Varianz dazu brauch ich Erwartungswert und Varianz von den Zufallsvariablen dann gilt wie groß ist Erwartungswert also wie groß ist der mittlere Wert bei werfen eines echten Office aber tun wird und wie kommen Sie darauf immer wieder rechtens ist da ist das Geld verteilt ist nämlich die einzelnen werde die auftreten also 1 bis 6 mit den Wahrscheinlichkeiten mal das heißt ich komme auf die Summe etwa gleich 1 bis 6 Drama Wahrscheinlichkeit von X gleich klar dann sehen Sie da müssen Sie die Zahlen 1 bis 6 auf addieren und durch Textzeilen Summe von 1 bis 6 gibt's 6 mal 7 heise durch 6 geteilt gibt 7 halten richtig also 3 , 5 ok wenn morgen die Varianz wie kommen Sie auf die Varianz die Berechnen Sie die Erwartungswert von X 1 übertrat -minus Erwartungswert von X 1 in Flammen zu beraten das 2. aber schon viel ,komma auf das 1. was erwarten wir von dieser einst übertrat 7 1 und betrat das wissen wir aber das 1. genauso wie auf den Erwartungswert gekommen will sind nur dass sie immer K Quadrat Schwalmstadt kann richtig das heißt Sie haben hier eine Funktion h angewendet auf x 1 A von klein XTX vertrat und die wenn sie in die an das heißt wir kommen hier aus aber gleich 1 gesetzt den K Quadrat mal ein Sechstel der Mission noch 7 Heide zum Quadrat abziehen und dann rechnen wir wieder um und kommen aus 35 12. und jetzt Aussage von Satz 7 14 ist beim fertig ist nach Satz 5 40 oder Aussage von Sachsen 40 ist das für n groß diesen Ausdruck den wir da haben es wir also Wurzel allen jetzt muss ich wird laut Varianz von X 1 teilen also Wurzel aus dem 30 12. jetzt kommt es arithmetische Mittel meiner gewürfelten Zahlen und dann Danzig Erwartungswert ab also -minus 7 halte dass sich dieser Ausdruck da hält wie eine E 0 Einzelfalles Zufallsvariable ab ich mache verhält mein klammern weil er in "anführungszeichen weil es da so ein bisschen komisch ist Approximation der Verteilung ist wieder .punkt weisen Konvergenz der Verteilungsfunktion aber das soll sich aßen thodische Verhalten als wir Eckstaller verteilt das Einsatz in unserer mathematischen Theorie die wir gemacht haben und wenn unsre mathematische Theorie was mit der Realität zu tun haben sollte dann sollten wir die Aussage dieses Satzes auch in der Realität wiederfinden das heißt wenn ich das jetzt mit den konkreten Zufallsexperiment macht zum Beispiel Werfen eines echten Dorfes kann ich mir leicht Werte erzeugen von X 1 bis Xn ich ja auf den Würfel einfach einmal dann kann ich diese Werte aus ne auf agieren durch enthalten 7 Haider abziehen mit der Zahl multiplizieren bekomme ich ne Zahl aus und dann ist die Verortung diese Zahl soll sich verhalten als wären sie von einer Standardnormalverteilung Zufallsvariable wenn Sie jetzt und das würd ich ihn gern illustrieren das würd ihn gern plausibel machen das in der Tat dieser Fall auftritt also wäre wenn ich hier 1 jetzt in dem einfachen zuvor im Beispiel des Zufalls Zufallsexperiment ein echten Woche nehme den immer wieder Worte die so müde Augen zahlen dann so wie normalisiere konnte konkrete Zahl aus die Zahlen wieder auskommen verhalten sich so als wären sie von einer Standardnormalverteilung Zufallsvariable zu das wirft natürlich die Frage auf wie stellen sie fest ob Zufallszahlen die Sie bekommen haben von einer Standardnormalverteilung Zufallsvariable erzeugt wurden also das 1. Klasse Frage der Statistik bisher immer Fragen der Wahrscheinlichkeit der wie Sie wissen das die Verteilung der Standardnormalverteilung ist wie sehen dann Realisierungen aus da wissen Sie ja im Mittel sind 0 die Varianz also der mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert des 1 solche Sachen wissen wir aber jetzt geht so was anderes sie bekommen konkrete Werte und möchten wissen ja sind die normalverteilt oder während diese Normalverteilung erzeugt im Prinzip klar wenn sie einen
einzigen dieser Werte haben ein einzeln wert dann können Sie nicht sagen ob das der Standardnormalverteilung ist oder nicht also Standardnormalverteilung hat Gedichte die Dichte überall größer als 0 da können beliebige Werte auftreten wenn Sie nur einen Wert auf einen groben sehen sie gar nicht es gibt nicht da können Sie sagen wenn sie ne Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 2 Arten und sie bekommen dann wird der 7 dann können wir sagen das stimmt vielleicht nicht so ganz der Gleichverteilung von 0 bis 2 kann schon sein aber wenn nur mit Wahrscheinlichkeit oder wenn sie echten Würfel werfen und es kommt 12 aus wir können sie auch immer sagen ja stimmt vielleicht was nicht ganz ok aber das 1. 1. Normalverteilung ist sonnig aber so einfach nicht aber sie machen können wir können diese Werte wiederholt erzeugt das heißt ich werfe immer wieder einen echten Würfel in einmal ich will mir ein Ende wir machen es konkret mit einem gleich 15 ich ja auch nicht nur immer wieder 15 mal erzeugt die Zahl die Zahl erzeugt dann 40 mal nun guck ich mir diese 40 Zahlen an ok wenn das nicht der Punkt der Vorlesung wo ich sie wo ich meine Profil aus da Laie würde normalerweise da ich aber ein bisschen hintendrein bin habe ich das einfach schon daheim vorbereitet und da sind wir also hier wurde jetzt die er der echte Würfel 15 geworfen es wurden 40 mal dieses normalisierten Summen gebildet und er hat dann diese Werte hier willkommen also diesen unten mit senkrechten Strichen markiert und ich möchte jetzt wissen wurden diese Werte von einer Standardnormalverteilung erzeugt oder ist es plausibel dazu mach ich folgendes ich guck mir die Dichte der Standardnormalverteilung an die ist hier eingezeichnet typische Gaußsche Glockenkurve und dann billig zu schätzen Gedichte ein Histogramm dieser Werte also ich ab ob sie mir oder versuche anderseits auch diese dichtete schätzen den ich ein Histogramm dieser Werte bildet und ich bekomme dann diese treten Funktion als Histogramm der Werte aus und dann sage ich gucken Sie mal da dieses Histogramm sieht aus wie die enden was meinen Sie dazu also wenn Sie jetzt das was oder Fragen so weit erstmal zum Vorgehen noch das war klar oder ansonsten Kommentare wenn Sie jetzt das Histogramm Vergleiche mit der Dichte sehen Sie dann Ähnlichkeit sind da keine Ähnlichkeit ok Vorschläge ok kann ich erst mal das Bild erläutern von nur von von an also mein Name Hollande und ich nicht über also sich weiß ich genau lächerlich anfangen sollen wir haben ja ziemlich weit aber steht noch ein bisschen zurück und mach noch ein bisschen Licht dann wäre war die Stelle so weit bin klar also was ich gemacht habe also hier war die Aussage wenn ich diese und dabei identisch verteilten Zufallsvariablen haben dieses werfen eines echten Wurfes beschreiben dann müsste das annähernd Standard mal verteilt sein alles zu weiteren ok dann hab ich es konkret gemacht ich habe wirklich nmal gewürfelter sicher wenngleich gleich 15 gesetzt und ab 15 Mal gewürfelt und dann kann ich diese Werte ausrechnen und dann hab ich es nicht nur einen solchen Wert ausrechnen soll ich hab 40 solche Werte ausgerichtet und nachdem ich diese 40 Werte hatte das gewisslich (klammer auf auf Robert wir vielleicht nochmal drücken hab ich diese 40 Werte hier unten als senkrechte Linie aufgezeichnet der ziemlich genau also wenn sie nach 10 ich mich nach 40 senkrechten Linien aus das liegt daran weil eben aber die gleiche Summe Oskar was 1 müssen sprechen und unter Umständen für kommt kann mir was das gleiche raus aber im Prinzip kann sich vorstellen Sie haben mir 40 Striche auf der x-Achse und da möcht ich wissen ist es plausibel dass diese 40 Zahlen von einer Standardnormalverteilung erzeugt worden dafür vergleiche ich diese 40 zahlen mit der Dichte der Standardnormalverteilung was ich möchte wissen werden diese 40 Zahlen von einer Dichte erzeugt die so aussieht wie Standardnormalverteilung und dazu Versuch ich diese Dichte zu schätzen und eine Möglichkeit eine dichte zu schätzen ist ein sogenanntes Histogramm zu bilden das heißt ich unterteile hier denn die x-Achse in äquidistante in der Wale dessen jeweils wäre die Grundseite von diesen beiden und dann für jedes dieser Intervall C nicht wie viele wer das sind da drin Teile des durch en und normalisiere die Höhe so dass der Flächeninhalt gerade dieser Anzahl der Daten vom dem Intervall geteilt entspricht und damit hatten wir einen Datensatz damals in der beschreibende Statistiken durch eine dichte geschätzt würdigte beschriebene das mach ich jetzt hier genauso ich vergleiche die Dienste die da auskommt kommt mit waren wichtig ich ein kenne weil dies einig sein sollte jetzt klar oder oder noch etwas unklar klar zumindest und jetzt geht's darum sieht es so aus als ob das diese geschätzte Dichte der Ähnlichkeit hat mit der Ware nicht ok also ein Wort dafür dass gleich 5 nur 15 war ich in gleich groß wie überhaupt ist es recht nah dran es gibt 2 Approximation die wir gemacht haben einerseits dieses N =ist gleich =ist gleich n anderseits auch die Anzahl der Zahlen ist lang ich hab nur 40. es ja vielleicht schöner wenig 400 zahlen 4 Tausend zahlen oder 40 Tausend sein danach sehen sie aber das Problem ich habe da für jede einzelne Zahl sich 15 Mal werfen den Würfel werfen wenn ich es 10 Tausend machen will dann muss ich 150 Tausend Mal so werfen dann das war dann ok das mach ich nicht aber was ich machen kann ich kann das ganze Ding am Rechner simulieren und das machen wir mal deswegen habe ich mein Rechner mitgebracht und mein Rechner kann
das wer jemals eine Bild hier kommt das das 2. Bild das ist der 2. und der macht mit
100 der Macht mit 15 wenn gleich 15 und dann groß 1 jetzt 10 Tausend man es so macht sieht es
so aus das Bildchen also auf der rechten Seite sehen Sie das mit einem echten Würfel wo eben 40 solche Summen gebildet wurden auf der linken Seite sehen Sie ist mit einem simulierten Worte wo 10 Tausend solche zum gibt Bild würde aber jeweils nur aus 15 zahlen und jetzt sehen Sie diese als sie mitregieren damit der seine verschwunden aber sie sehen auch es stimmt nicht ganz also wenn sie angucken dass es müsste ich hier noch ein bisschen mehr hochgehen und das liegt eben daran weil ich in der Tat nur 15 geworfen hat aber jetzt kann ich folgendes machen statt 15 Mal darf ich öfters also machen das Bild vielleicht mal weg und es noch dauern und
ich tue so als hätte ich das Ganze gefragt und ich
15 Mal geworfen sondern als hätte ich hier das ,komma noch klar machen wie mal 25 mal und dann sehen Sie wenn Sie 25 mal werfen Sie da schon deutlich besser aus also es gibt in der Tat in einer recht guten Approximation außen stimmt hier nicht ganz machen 40 25 Mal mahnte das 150 Mal tja und wir machen es vielleicht auch nicht also ich kann da nur wiederholen wir sehen welches den Gamer wiederhole verändert sich klar bei den Ergebnissen zufällig der machen vielleicht 100 Mal wir machen es vielleicht noch 500 Mal n damit es jetzt noch besser werden würde es sich noch die zugrundeliegende Partition hier feiner machen also je öfter ich glaube laufen würde also auch bringen 10 Tausend König die zugrundeliegende Tradition eine auf einem machen dann sollen Sie sehen da kommt insgesamt 1 also relativ schnell schauen also sehen hier mit 500 sieht schon recht gut aus eine recht gute Approximation aus ok Fragen so weit fragen gut dann mach ich noch die Anwendung oder Sie eine Frage es war sie zu dass links 0 der beiden höchste war das liegt wahrscheinlich daran dass der Computer umso abrundet das richtig es kann auch ein Zufall gewesen sein einer von dem beiden Seiten bisschen größer in beiden das eigentlichste beide genau die gleiche Masse haben also genau gleich groß sein was dann noch zufällige Schwankungen drin es kann auch sein wenn ich ihr statt 10 Tausend auf 100 Tausend gehen würde oder eine Million versuche oder seine verschwinden als würde ich vermuten es liegt daran sollte nicht am auf und legen ok noch dann stelle ich noch schnell der Anwendung von dem Satz vor und zwar kann ich den Satz verwenden und die Wahrscheinlichkeit im Beispiel wäre 5 1 auszurechnen also wenn Sie sich erinnern ,komma 5 1 das war diese Abstimmung über 2 Vorschläge an B wir hatten 3 Tausend resolute Person die haben einfach für Al stimmt die waren sicher meine ganz sicher dann hatten wir eine Million Mehr Personen die Einfluss sondern dass ich entschieden haben und dann war die Frage nach der wie groß die Wahrscheinlichkeit dass der Vorschlag aber eine Mehrheit bekommt wir hatten das Abstimmungsverhalten der und geschlossenen Personen dann durch Mehr B 1 Inhalt verteilte Zufallsvariablen modelliert also wir hatten gleich eine Million ja gleich 3 Tausend wir hatten X 1 bis Xn die waren unabhängig identisch B 1 einhalb verteilt also X 1 bis Xn Morgenappell identisch verteilt mit P von X 1 gleich 1 war gleich Inhalt gleicht die von x 1 gleich 0 bei gleichen halb und unter den die Wahrscheinlichkeit Impressionen der Client B interessiert dass der Vorschlag eine Mehrheit bekommt für gibt es ja auch stimmen +plus haben gesagt wenn ich sie gleich einzig stimmen Sie für also die Summe der XE ist dann gerade die Anzahl der Stimmen verarbeiten 1 Million unentschlossenen Personen kalt 1 bis n x kam und das soll größer sein als die Anzahl der Stimmen für B und das sind diejenigen von den n die nicht für gestimmt haben also allen -minus diese Summe tat 1 bis n x K wir hatten das Ganze dann zurückgeführt wird also werden uns überlegt die Sitzungen der XK ist ne des n Einheit Verteilung damit könnte die Wahrscheinlichkeit ausrechnen bekamen allerdings offene Summe über die Zelldichte wo er die Anzahl der Summanden eben sehr groß ist oder die auch hier auftreten Binomialkoeffizienten sehr groß war und die man nicht numerisch nicht mehr schön rechnen kann das nötig es approximativ machen ok wenn sie das angucken ich kann will die Summe auf die eine Seite bringen den Rest auf die andere Seite ich kann mit n durch teilen wir machen es einfach mal viele von Xtra größer als mehr n -minus erhalten bis zu verbessern wir ne 1 -minus ach so ja also wenn Sie mir auf die andere Seite bringen steht er zweimal die Summe dann ist zweimal die so viel größer als eine en -minus R mental noch durch 2 n durch damit sie einzig entsteht deswegen schildern der Inhalte Heide -minus er durch 2 n also zweimal die Summe ist größer als der en -minus R dann die Summe ist größer als Inhalte das erhalte und dann noch durch eingeteilt steht er nicht mehr in Frage steht einhalten zurück dann will ich hier dieses arithmetische Mittel der Zufallsvariablen durch die Standardnormalverteilung ersetzen dazu das kann ich wenig entsprechen normalisiert habe das heißt statt dem arithmetischen Mittel solle das arithmetische Mittel -minus Erwartungswert mal Länder schutzlos Varianz verstehen also mach ich es auf beiden Seiten ich zieh Erwartungswert ab erst mal Erwartungswert von X 1 ist gerade half weil die fort Zufallsvariable B 1 einhalb verteilt wir das heißt wir kommen auf das was hat noch was frei vergleicht 1 bis n XK -minus Inhalt größer als -minus Erich 2
n sie auch noch was frei und dann multiplizieren Sie das Ganze noch mit Worts läuft Ende schutzlos Varianz von X 1 und wir genauso diese Wahrscheinlichkeit schreib ich dann um als komplementärer Wahrscheinlichkeit 1 -minus Wahrscheinlichkeit ist kleiner als ich kann das wird wenn auch kurzen zweimal was lernen und bei dieser Wahrscheinlichkeit und jetzt wenn ich darauf den Satz 5 40 an nach dem Satz sind wird sich also hier steht genau die Zufallsvariable von dem Satz sind 40 und die Wahrscheinlichkeit dass gerade die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable von den Satz an der Stelle er durch 2 mal Wurzel einmal kurz los Varianz von X 1 nach dem Satz 7 40 sage ich ich approximiert ist das jetzt durch den Wert der Standard der parteilosen von der Standardnormalverteilung diese Stelle an dieser Stelle das heißt es ist ungefähr hat dem 40 1 -minus sie von mir dass er durch wo 2 Ausländer mal wird los Varianz von X 1 wobei die FIS die Verteilungsfunktion von N 1 jetzt überlegen wir uns er war 3 Tausend er Ende 1 Million also wird sollte 1 1000 wir aber die Wurzel aus der Varianz von X 1 kann mir unter ihnen sagen wie groß ist die Varianz von einer B 1 einhalb verteilten Zufallsvariablen Gua also Varianz sowie Einzelheit verteilen Zufallsvariable Einsätze Könnens ausrechnen anders als ich sie können sich dran erinnern Varianz von BNP war also Varianz von während es war der Sachen wo ich gemeint aber es könnten sie auswendig wissen das war einmal 1 -minus ja und damit kommen sie auch Varianz von B 1 einhalb als er einmal ein halt mal 1 müssen halt vielleicht antworten wenn Sie nicht denn sie könnten so sofort ausrechnen sie bräuchten Erwartungswert von X 1 vertrat indessen Erwartungswert von X 1 in Klammern zum Quadrat Erwartungswert von X 1 wissen Sie Gelassenheit der das X 1 Quadrat wenn die Zufallsvariable 0 1 fertig ist stimmt mit x 1 überein das heißt 0 Quadrates 0 1 2 3 bis 1 er deswegen ist aber dass wir zunächst ein zwar gleich Erwartungswert von X 1 das heißt es kommen halt -minus Inhalt zum vertrat raus was Inhalt müssen Viertel gibt vertritt das sicherstellten Foto dann sehen Sie dieses Worts los Varianz kurz ich wieder 2 weg und es bleibt noch viel von minus 3 übrig also kommen auf 1 liefern wie es 3 und dann nehmen sie in der Stadt ist die gibt oder eine Tabelle in immer vereinfachende Statistik der Kitsch geben direkt wie von minus 3 1 rechten 1 -minus davon kommen auf 0 , 9 9 8 6 und sie sehen der Vorschlag wird angenommen mit sehr großer Wahrscheinlichkeit das heißt wenn sie bei 1 Million unentschlossene Wähler nur eine qualifizierte Minderheit oder noch Zusatz ein festes volles Jahr von 3 Tausend Leuten haben die für ihren Vorschlag stimmen dann haben Sie die Abstimmung nicht so gut wie gewonnen ok fahren sollte fragen gut an ,komma zur 5 Minuten Pause Festtafel wischen und ich mach dann um 10 Uhr 42 weiter ich würde gerade mal drauf angesprochen auf die Sprache der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie ich werde eine Abstimmung gemacht die Abstimmung hat er hat ergeben dass die Mehrheit für Deutsch war allerdings waren Wahnsinn zusammen nur relativ wenige ich würde also auf alle Fälle in der 1. Vorlesung von der Wahrscheinlichkeitstheorie noch fragen ob ich sie auf Deutsch auch Englisch halten soll wenn wenn wir da die Mehrheit gegen ende schwer das heißt wenn also muss es so sagen die Leute die sagen Sie wollen es unbedingt auf Deutsch lernen die schon in der 1. Mehrheit sind da nur was auf Deutsch machen anders auch Englisch wenn das Auskommen wurde das auf Deutsch machen werde es aber auf alle Fälle für diejenigen die an der englischen Sprache Veranstaltung interessiert sind die Möglichkeit geben englischsprachige Übungen zu besuchen englischsprachiges Übungsplatz bekommen englischsprachige Klausur und werde ich weiß nicht ob sie gestern und gerettet worden sind oder ob sondern an den pro einen Teil der beiden von 10 damit wurde fast die gesamten Creditpoints denn dann auf für diesen bilinguale Studiengang als englischsprachige Veranstaltung gegeben also über den innerhalb der Vorlesung immer englischsprachige Begriffe noch erläutern Fachbegriffen und Sie können die Wirkung auf Englisch machen allerdings wurde ich eben nicht so weit gehen dass ich die Vorlesung auf Englisch halte wenn die Mehrzahl der Leute ist nicht viel weil das irgendwie der entscheidende Kriterium für mich was wie die Mehrzahl der Hörer haben aber das hängt eben wirklich davon ab dann müssen sie in der 1. Vorlesung sein und will dann können Sie so weit ihre Meinung klar äußern ok dann komm ich zu Kapitel 6. letztes Kapitel verschließen Statistiken ich mache ganz kurze Einführung
also bisher haben wir schwerpunktmäßig Fragestellung der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht in den Kapiteln 4 und 5 dabei der Wahrscheinlichkeit Raum gegeben und das Wahrscheinlichkeit Maß bekannt und hat dann interessiert wenn Sie freundlicherweise ihre Unterhaltung weit einstellen könnten unseres interessiert welche Eigenschaften haben Realisierungen Werner zum Beispiel die Gesetz der großen Zahlen kennen gelernt wenn Mehr denn Wahrscheinlichkeit Raum gegeben ist wir haben beobachten da Version vom Wahrscheinlichkeit Maß mit Erwartungswert erst bekannt vielleicht aber das wird das 7 dann wissen wir die Realisierung haben die Eigenschaft sie immer wieder und beeinflusst sondern der Zeugen entsteht neben durch die Anzahl in Teilen verstrickt aßen Infotisch gegen die es gegen diesen Erwartungswert also gegen sie wenn Sie eine Anwendung denken das ist eine völlig unrealistisch in Anwendung wird nie Wahrscheinlichkeit Form gegeben sein und das Wahrscheinlichkeit was bekannt sein sondern vielmehr das eigentlich realistische ist hier dass der Wahrscheinlichkeit Traumleben unbekannt ist aber dass sie stattdessen Werte davon Mehr erzeugt er beobachtet haben also Realisierungen beobachtet haben also jetzt da wäre wie Raum unbekannt aber Realisierungen werden beobachtet um die zentrale Frage ist dann was können wir dann über den Wahrscheinlichkeit Traum oder auch über weitere der sierungen und sagen über den Wahrscheinlichkeit vor oder auch B weitere zukünftige Realisierungen außerdem also wir können zum Beispiel fragen wie groß ist der Erwartungswert bei diesen Wahrscheinlichkeit Raum über diesen Wahrscheinlichkeit Maß wie groß die Varianz oder wenn wir das durch eine Exponentialverteilung mit Parameter Lander beschreiben wie groß ist denn der Parameter das wären so klassische Punktschätzung was als 1. machen die 2. Sache die wir dann zum Schluss noch kurz machen werden sind die statistischen Tests da interessiert weniger der genaue Wert vom Parameter sondern ob gewissen Wert überschreitet und nicht also ist der Erwartungswert zum Beispiel größer gleich als 3 und ist nicht größer als 3 aber nicht aber genau 2 Komma 9 oder will 3 Komma 5 ist interessiert eigentlich so in Übung werden sie noch ganz kurz sogenannte Bereiche zu machen da geht es darum hier können Sie einen Bereich angeben oder zu schätzende Parameter vermutlich mit großer Wahrscheinlichkeit findet ich fange mit Abschnitt 6 2. .punkt Schätzverfahren hier schätzen wir Kennzahlen wer wie zum Beispiel Erwartungswert oder auch Parameter eine Verteilung des Modells eine unbekannten Verteilung also im Folgenden Kennzahlen wie zum Beispiel Erwartungswert oder Parameter eines Verteilungs es wäre zum Beispiel der Parameter Landarbeiter exponential Philander vor 4. eine unbekannten Verteilung wollen schätzen ich mag schätze mal ein für uns strichen war dass der entsprechende Fachbegriff außer Statistiken das heißt wir bekommen eine Stichprobe einer unbekannten Verteilung gegeben also wir beobachten Werte davon und möchten dann daraus ausgehend wir Stichprobe sagen wie groß es zum Beispiel erwartungsfroh Robert oder wie groß ist diese Parameter labender vorausgesetzt es sei eine exponential unter Vertrag ich die Schweiz mal formalen wie folgt gegeben sind Herr kleine X 1 bislang nicht in aus er gegeben es weiter eine Klasse die Täter da draußen in der Parameter Menge groß da von Verteilung auf er darüber hinaus ist Mehr Funktionen
des gegeben die Täter nach er abbildet die Annahme ist mentale Annahme ist dass die kleine x 1 =ist gleich x n Realisierungen von unabhängigen Tisch verteilten Zufallsvariablen Grosics 1 bis Grosics N sind deren Verteilung innerhalb von dieser Klasse die Täter von Verteilung liegt das annahmen klein x 1 =ist gleich x n seine Realisierungen von Zufallsvariablen Grosics 1 bis Grosics sind wobei diese Zufallsvariablen X 1 bis Xn unabhängig identisch Tisch verteilt sind mit der Eigenschaft dass die Deutschen der Verteilung von X 1 gleich einem bietet Tag 0 ist wie ein Z und 0 aus Täter also wir nehmen also die beobachten wir zahlen wir haben die Klasse von Verteilungen auf eher gegeben die Funktion die von der danach er wozu durch die brauche kommt gleich noch wir machen die zentrale Annahme dass diese beobachteten das ist die gegebenen Zahlen Realisierungen von Zufallsvariablen Grosics 1 bis groß N sind die oder identisch verteilt sind eine gewisse Verteilung haben und diese gewisse Verteilung ist eben in der gegebenen Klasse von Verteilungen drin beachten Sie da ich noch nichts gesagt hat wie groß diese Klasse von Verteilung ist ist dass sie keine Einschränkung also ich kann zum Beispiel für diese Klasse von Verteilungen auch alle möglichen Verteilungen zulassen damit ist ihre einfach die Menge aller Wahrscheinlichkeit Maße mit sich selber also jedes Mal Wahrscheinlichkeit Maß nämlich als wäre Parameter ist wahrscheinlich das man selber dann haben sie keiner an ohne dass man sieht keine Einschränkung der aber der Witz ist natürlich wird hier was kleines eigentlich nehmen für die Klasse von Verteilung meistens wer zum Beispiel den setzen daraus das ganze der Normalverteilung kommt gleich das Beispiel gut besuchtes Schätzung wir CN von X 1 bis Xn die 1 der Funktion von er oben N nach er uns mit dieser Funktion wollen wir nicht genauer zu Täter 0 zu 0 g von Tätern nur schätzen also gesucht Schätzungen gehen von X 1 bis Xn aus er von tiefen unter 0 dabei ist dieses C ein eigenes der Funktion von der er nachher und das ist die sogenannte Schätzfunktion oder heißt schätzt .punkt einfaches Beispiel besetzten Täter als als der das einfach oder dem geht aber als Klasse von einer Normalverteilung im Teilung mit 2 Parameter Erwartungswert und Varianz Erwartungswertes eine reelle Zahl Varianz ist ne wäre reelle Zahl größer als 0 das heißt unser Parameter Menge wer erbt er kreuzt er +plus ohne die 0 zum Beispiel also +plus sind bei mir die nicht negativen reellen Zahlen und ich lass den 0 nicht weg mein Name dass unsere müßigen aber trat und deswegen wie Sigmar Quadrat sei eine enge müßig trat Verteilung und jetzt interessiert wenn nicht der gesamte Parameter soll mich interessiert nur der Mittelwert und deswegen nämlich noch die Funktion g die Bilder dieses müßiger Quadrat dann auf Mia und hier soll jetzt ausgehend von einer Stichprobe einer Normalverteilung mit mit Erwartungswert geschützt werden hier soll ausgehend von einer Stichprobe einer Normalverteilung der Erwartungswert geschätzt werden also wenn Sie überlegen was würde es heißen der konkreten Anwendungen in der konkreten Anwendung wollen sie beobachten sie welche zufälligen Werte und wollen wissen wie groß sind die Werte im Mittel dabei mach ich nur Modell Annahme die zentrale Modellannahme wäre die zugrunde liegende Verteilung ist in Wahrheit eine Normalverteilung diese
Normalverteilung ist insofern unbekannt oder so davon wo ist insoweit unbekannt dass ich eben weder denn Erwartungswert noch die Varianz und unter dieser Annahme versuche ich dann den Erwartungswert möglichst gut zu schätzen oder mit einer Schätzung anzukommen oder Rückschlüsse zum Beispiel über die Erwartungswerte ziehen sie sehen eines der Grundprobleme dabei jegliche Anwendung ist natürlich dass sich in die Verteilung reingesteckt haben und das ist auch wie einst eigentliche Schwierigkeit bei Verfahren der schon lustig erstens ob diese Annahme richtig ist also wenn sich ihre Vorfahren haben es eben gut funktioniert für Normalverteilung aber in ihrer Anwendung die in Wahrheit keine Normalverteilung vor dann machen sie und Umständen ein Riesenfehler den und ignorieren sie bei sowas ok fahren so weit keine Fragen dann komm ich zu wünschenswerten Eigenschaften von Schätzfunktion das gibt die Definition 6 1 unsere Schätzfunktion wir betrachten 2 verschiedene Begriffe 1. erwartungsfrohe 2. konsistent Unterschätzung zu entleeren heißt erwartungsvollen erwartungsvoll Schätzung für die von Täter er war tungs Betreuer heißt sie halten den Stichprobenumfang fest machen Sie schätzen aber immer wieder mit neuen Stichproben und die Miete soll es richtige rauskommen und zwar ganz egal was der Unbekannte Parameter einig ist also ganz egal welches ZAL nicht vorliegt das heißt als für alle Täter aus Peter 2. gilt wenn ich mir den Erwartungswert angucken ich mache diesen Erwartungswert ein und deren Index Client hett hat ihn um anzudeuten schreibe ich gleich auch noch mal hin dass ich diesen Erwartungswert unter der Voraussetzung ausrechnen das wie Täter die Warenverteilung Verteilung ist Erwartungswert von 1 von X 1 bis Xn der soll gleich die könnte das sein das ist der 1. Begriff erwartungsvoll Schätzungen heißt anschaulich viel im Mittel kommt das richtige raus 2. Begriff wir sprechen von einer konsistenten Schätzung für die Vertreter Konsistenz heißt in der Statistiken nur sowas wie Tote schon das richtige aus das heißt wäre dies nachhaltig mein Parameter einig fest und bildet dann denn Grenzübergang für ihn gegen endlich von meinem ferner Schätzfunktion also was passiert wenn ich meine Schätzfunktion immer mehr Beobachtung einstecken und das soll das richtige auskommen und zwar also geht von Täter und zwar wieder weil den Parameter ja eigentlich nicht gerne weil es für alle Täter aus der Kelten was alle Täter aus der da gilt Wahrscheinlichkeit wenig überreichte unter der Voraussetzung dass die Täter das Wahrscheinlichkeit Maß ist nicht alles wieder ein durch den Täter als und deren Index vom Wiedersehen entgegen endlich die Wahrscheinlichkeit dass die Enten von X 1 bis Xn gegen die von der konvergiert die soll gleich ein Zeichen das heißt mit Wahrscheinlichkeit 1 konvergiert eine Schätzfunktion für Stichprobenumfang gegen endlich gegen den geschätzten Wert und dabei sind bei der Bildung von etc. Täter beziehungsweise Peter da die Zufallsvariablen X 1 bis 6 x 2 und so weiter unabhängige verteilt mit Text 1 der da dabei sind bei der Bildung von etc. beziehungsweise Peter da die Zufallsvariablen X 1 X 2 und so weiter unsere identisch verteilt mit PX 1 gleich wie ok fragen sollte also beachten sie wenig das DX 1 gleich wieder da festlegen und ich weiß noch die x 1 x 2 und so weit es immer identisch verteilt dann hab ich das ganze zufällige Verhalten der X 1 x 2 1 festgelegt das heißt das Ganze was herauskommt kommt diese Wahrscheinlichkeit wohl auch diese Erwartungswert hängt letztenendes nur von Täter ab und soll hier gleich geht und sein und hier soll gleich ein Zeichen für eine 4. wir fordern sie weiß alle Täter wäre weil eben nicht wissen welches derzeit das in der konkreten Anwendung vorliegt ok das 1. betrachten wir Schätzung von Erwartungswerten Varianz es gibt Absicht Abschnitt 6 2 1 Schätzung von Erwartungswerten Varianz und Schätzung von Erwartungswert ist simpel weil wir wissen ja schon sticht vor Mitte konvergieren den Erwartungswert werde also nach Staaten Gesetz der großen Zahlen gilt geht wenn ich mir arithmetische Mittel der X die Ankogel dann können wir das gegen den Erwartungswert von X 1 fast sicher und zwar für jede Verteilungen wo Erwartungswert von Betrag von x 1 Klein unendlich ist das heißt wenn ich als Schätzfunktion TN von Klein x 1 =ist gleich x n das arithmetische Mittel nehmen dann ist es automatisch eine konsistente Schätze das Ganze ist mir konsistente Schätzung für erwarteten Erwartungswert für hat das ist die eine Eigenschaft aller sind tot kommt es richtige mit Wahrscheinlichkeit 1 raus das heißt wenn sie immer mehr Beobachtungen wir machen mehr andere aber davon unabhängige Eigenschaften davon ich nichts sind nicht zu tun hat ist wenn Sie die Anzahl der Beobachtungen festhalten und dann die Beobachtung immer wieder wiederholen ob mittels richtiger auskommt wer die Frage wenn sie diese Schätzung ist diese Schätze auch erwartungsvoll für die X 1 also hätten Sie so was das Mittel das richtige rauskommt Vorschlag naja beziehungsweise Frage werde ich die fast wir das überhaupt sagen ich aber gar keine die von der Dame also Moment sicher kein Täter und ich habe keine die von der Tat doch im Prinzip schon das war es was ich Ihnen implizit von versucht hat so anzudeuten also ich kann dir einfach die Klasse aller Verteilung zu lassen ich lass sie die Klasse aller Verteilung zu oder Erwartungswert von Betrag von x kleiner als ländliches und diese Verteilung muss ich dann um die parametrisieren und ihr am einfachsten nicht damit dass sie die Verteilung mit sich selber also Parameter ist die Verteilung selber und die Parameter Menge ist die Menge aller Verteilungen das ist ein bisschen umständlich ne alles sehen schreiben soll ich Ihnen aber mathematisch keine Probleme weil sie die Klasse aller war Verteilung damit dass sie und sie mit sich selber ok dann was es geht es gebe eine Verteilung auf jene Wartungsvertrag was interessiert mich denn da oben mich interessiert darum ob das arithmetische Mittel eben gleich dem Erwartungswert ist aus wodurch wir gegen endlich Laubes arithmetische Mittel mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen den Erwartungswert strebt und zwar für alle möglichen Verteilungen was interessiert mich dann hier mich interessiert hier ob der Erwartungswertes arithmetischen Mittels mit dem Erwartungswert übereinstimmt das ist die Frage nach erwartungsvoll ok wie sieht es hier aus wenn sie erwartungsvoll jetzt ein angucken naja wenn mal überlegen was ich hinschreibe ich muss Museen den Erwartungswert von Ausdrücken schreibt also wegen was ist Ausdruck Mehr als müssen diese Tieren von kleines 1 das kleine Zellen in die Grosics 1 bis Grosics in einsetzen und ich möchte wissen ob der Erwartungswert von x 1 rauskommt also setzen sie mal direkt ein und mich würde interessieren wie groß ist diese erwartet wird Vorschlägen die Bereichen sehen aber das wird ,komma Mitschnitte genau wegen der in der IT des Erwartungswertes kommt das allmähliche Mittel Erwartungswerte raus also hier würden arbeitet Erwartungswert ja und jetzt wissen Sie aber die Zufallsvariablen sind identisch verteilt dann stimmt Erwartungswert von X E mit dem Erwartungswert von x einzuweihen dann sehen Sie dann steht da insgesamt Erwartungswert und die X 1 dann sehen Sie dann ist denn auch erwartungsvoll uneinig mit je schreiben erwartungsvoll Schätzung für Erwartungswert von X 1 allerdings passt nicht mehr also schreib ich erwartungsvoll Fragen dazu haben Sie ne Frage fragen noch also werden 2 Eigenschaften von Schätzung 1. aus und wurde schon das richtige raus bis die Konsistenz 2. Mike kommt das richtige raus ist die erwartungsvoll ok wir machen dann nahm Mittwoch weiter wieder schätzen Varianz
Mathematische Größe
Total <Mathematik>
Welle
Aussage <Mathematik>
Statistische Analyse
Gleichungssystem
Gleichung
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zahl
Schätzfunktion
Arithmetisches Mittel
Mittelungsverfahren
Erwartungswert
Quadrat
Ende <Graphentheorie>
Menge
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Zufallsvariable
Realisierung <Mathematik>
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Varianz
Statistik
Faktorisierung
Klasse <Mathematik>
Berechnung
Matroid
Diskrete Verteilung
Zahl
Wahrscheinlichkeitstheorie
Integral
Gradient
Arithmetisches Mittel
Zufallszahlen
Mittelungsverfahren
Summe
Quadrat
Erwartungswert
Normalverteilung
Mittelwert
Würfel
Zufallsvariable
Keim <Mathematik>
Realisierung <Mathematik>
Varianz
Verteilungsfunktion
Funktion <Mathematik>
Gewichtete Summe
Punkt
Gauß-Funktion
Zahl
Dichte <Physik>
Linie
Deskriptive Statistik
Summe
Normalverteilung
Histogramm
Ungleichung
Rechenbuch
Flächeninhalt
Würfel
Zufallsvariable
Höhe
Minimum
Gleichverteilung
Gewichtete Summe
Stochastische Matrix
Würfel
Minimum
Arithmetisches Mittel
Summe
Erwartungswert
Summand
Spieltheorie
Zufallsvariable
Binomialkoeffizient
Inhalt <Mathematik>
Partitionsfunktion
Schwankung
Varianz
Parametersystem
Exponentialverteilung
Statistik
Tabelle
Punktschätzung
Kennzahl
Klasse <Mathematik>
Ruhmasse
Statistische Analyse
Schätzung
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zahl
Erwartungswert
Quadrat
Menge
Zufallsvariable
Statistischer Test
Realisierung <Mathematik>
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Varianz
Verteilungsfunktion
Funktion <Mathematik>
Stichprobe
Total <Mathematik>
Momentenproblem
Klasse <Mathematik>
Schätzfunktion
Ausdruck <Logik>
Mittelungsverfahren
Index
Erwartungswert
Quadrat
Variable
Reelle Zahl
Mittelwert
Stichprobenumfang
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Varianz
Stichprobe
Parametersystem
Ruhmasse
Statistische Analyse
Schätzung
Zahl
Arithmetisches Mittel
Elementare Zahlentheorie
Normalverteilung
Menge
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Realisierung <Mathematik>
Aggregatzustand

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Zentraler Grenzwertsatz
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34028
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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