Unabhängigkeit I

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Title
Unabhängigkeit I
Title of Series
Part Number
8
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28
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

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Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
Zentrales Moment Product (category theory) Moment (mathematics) Gradient Variance Set (mathematics) Function (mathematics) Rollbewegung Subset Physical quantity Expected value Inversion (music) Algebra Film editing Natural number Index Zusammenhang <Mathematik> ALI <Programm> Random variable
Stochastic Product (category theory) Noise Abbildung <Physik> Family of sets Infinity Set (mathematics) Function (mathematics) Random variable
Logical constant Zahl Length Decision theory Gradient Family of sets Infinity Set (mathematics) Function (mathematics) Stochastic Inversion (music) Algebra Index Measurable function Abbildung <Physik> Unabhängige Zufallsvariable Number theory Summation Codomain Absolute value Fiber (mathematics) Factorization Random variable Family
Mass flow rate Element (mathematics) Family of sets Infinity Propositional formula Set (mathematics) Cartesian product Number Connected space Algebra Index Vector graphics Finite set Tuple Partition (number theory) Random variable
Algebra Sequel Mass Set (mathematics) Generating function Cartesian product Connected space
Cumulative distribution function Product (category theory) Sequel Real number Direction (geometry) Equals sign Gradient Set (mathematics) Mass Generating function Cartesian product Physical quantity Wind wave Population density Vector graphics Random variable
Cumulative distribution function Logical constant Group action Product (category theory) Direction (geometry) Maxima and minima Cartesian product Variable (mathematics) Calculation Inversion (music) Population density Different (Kate Ryan album) Zusammenhang <Mathematik> Vector graphics 9 (number)
Product (category theory) Sequel Signed measure Gradient Mass Function (mathematics) Set (mathematics) Expected value Stochastic Wind wave Measurable function Direktes Produkt Random variable
Expected value Zahl Random variable
I oder mehr und er Jahr
begrüßen Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung oder versuchen die Welt hat sich dort in Vorlesung zu begrüßen das klappt nicht bei allen aber die Idee dass die jetzt Unterhaltung einstellen und nicht reden ok ich habe man wieder mit Folie vorbereitet für die Wiederholung vom letzten Mal mir wäre zufolge haben reale Zufallsvariablen X sofern Existenz heißt Erwartungswert von x hoch Grades gerade Moment Erwartungswert von in Klammern Exil SEX Hochkar das kahle zentrale Moment und dem Freital gleich zweier ist der Ausdruck der Ausdruck die Varianz und ich hatte noch mal kurz wiederhole die Varianz alle hat die üblichen Eigenschaften ohne Beweise wir haben uns dann mit der den Begriff Unabhängigkeit beschäftigt da habe ich in 2 Definition vorgestellt die erste Definition man Familie von Ereignissen Ereignisse aus einem liegenden also zugrunde liegenden zigmal Algebra die zu einem zugrunde liegen Wahrscheinlichkeit Frauen gehört und diese Familie von Ereignissen heißt unabhängig wenn für jede endliche Teilmenge groß K gilt die Wahrscheinlichkeit dass alle Ereignisse mit Index K 1 K gleichzeitig eintreten das heißt die Ereignisse vom Produkt K ein groß gerade Acar ist gleich dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten also Produkt kahlen K Wahrscheinlichkeit von 2. Begriff den hatten Familie von Zufallsvariablen X E definiert auf einem Wahrscheinlichkeit Raum ohne Gabriel mit Werten der Messe Raum ohne egal wie heißt unabhängig wenn gilt für jede natürliche Zahl für jeden Andy Menzner Index Teilmenge E 1 bis E N von Ihnen für alle Mengen aus war Gross A E ja sie muss auch in stehen gilt die Wahrscheinlichkeit die gemeinsame Wahrscheinlichkeit dass ich sie 1 in A I 1 ist und so weiter bis ich sie in ei n ist gleich dem Produkt der einst Wahrscheinlichkeiten also Produkten gleich 1 bis Ende Wahrscheinlichkeit von X die Mühen wir haben dann folgenden Zusammenhang gesehen aber waren gerade dabei zu beweisen wenn wir ein Wahrscheinlichkeit Raum um Megawati haben und I aus der Signalgeber sind dann gilt diese Ereignisse A aus die Familie von Ereignissen ist unabhängig genau dann wenn die Indikator Funktionen der einzelnen Mengen unabhängig sind also wenn sie noch mal bitten darf ihre Unterhaltung einzustellen mehr also ich rede nicht gleichzeitig wenn sie reden Dankeschön ok ich lasse in Tageslichtprojektor nur kurz stehen Rollen aber nach Habeck dann machen wir den zweiten Teil von mir weiß der noch fehlt allzu Begründung von Bemerkungen 4 5 wir haben die schwere Richter schon gesehen wenn die Ereignisse unabhängig sind dann sind auch die Indikator Funktion unabhängig wir brauchen noch die Umkehrung also die Handykarte Funktionen die Ali wie aus in unabhängig daraus möcht ich folgern dass die wäre Ereignisse A E unterwegs sind das heißt nach der Definition ich muss mir sowas angucken ich kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit genauso wir gute lassen so stehen also wir haben die Wahrscheinlichkeit die gemeinsame Wahrscheinlichkeit dass sie einst den A I 1 ist bis SXTN A 1 ich muss so zurückführen auf die Zufallsvariablen ja ne falsch eingesetzt in der Definition verrutschter sich Spiele schmales nur weg und überlegen uns aber sicher nicht zeigen muss ich wollte gerade das andere zeigen dass es für die obere Definition brauche ich ich brauche die ganz oben also diese Wahrscheinlichkeit vom Schmidt soll Produkt der eines Wahrscheinlichkeiten sein und da gebe ich mir genauso des Index Menge K vor als N I 1 bis die N also ich schreibe Schnitt von A I 1 geschnitten
2 AIN und ich möchte es zurückführen auf Zufallsvariablen ja dann gilt das eben wenn die Indikator Funktionen von dem Ereignis aber I 1 gleich 1 ist also in der ja ich muss das doch mal ausmachen ich laufe nur schieben kann also das da in der ein period Menge drin ist immer die 1 1 hat und so weiter genauso wie für die letzte dann wird sich aus dem Zufallsvariablen sind unabhängig nach Voraussetzungen dass es Produkte 1 Wahrscheinlichkeiten ja das kann ich es wieder um Sch schreiben diese Indikator Funktion das ist eben gleich 1 genau dann wenn es um gar 1 A I 1 tritt das heißt hier steht genau das Bild von A 1 ein entsprechender Beschluss des die von A N und das war zu zeigen haben Sie so Fragen gut dann comma Zusatz 4 6 Satz für 6 kennen Sie im Prinzip schon hatten den einführen Stochastik machen trotzdem mal nochmal mit Beweise wir haben Wahrscheinlichkeit Raum oder gar AP und Zufallsvariablen X auf diesen Wahrscheinlichkeit Raum mit Werten um egal wie Ali Abbildung dann G messbar von um egal die nach egal Strich und die Aussage ist die X diesen unabhängig genau dann wenn die die Irene x die unabhängig sind nein ich genau dann sondern daraus folgt die GX sie sind unabhängig also Wahrscheinlichkeit Raum brummiger Zufallsvariablen X Yvonne von um an ohne wie E für die aus E und Abbildungen GID messbar sind also und der Richter unseren Geräuschen war und sind eigentlich sie alle wär ganz günstig wenn sie doch ihre Unterhaltung einstellen können bei stört auch so ein bisschen weil die Frage ob sie sich auch stört so und so viel unterhalten und ich stürze auf die Dauer wenn ich vortrage wenn ich reden Sie reden der Aussage sind x also dann gilt nächste es unabhängig daraus folgt die den XII unabhängig er Beweise hatten ihre die einzelnen Stochastik ich machen trotzdem nochmal weil dabei die Definition der Unabhängigkeit ein bisschen anders ich habe sie ein bisschen komplizierter formuliert weil wir eben nicht nur endlich viele oder nicht nur definieren wann endlich viele Zufallsvariablen unabhängig sind sondern eine ganze Familie von der Essener unendlich vielen Zufallsvariablen abhängig sind und auch mir die ganzen endlichen Teil Familien von Index Mängel der Beweis wegen der Mafia 3 kann ich ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen das ich nun endlich Mittal-Familie Familie habe die kann ich dann von 1 bis n durchnummerieren und der genauso kann ich annehmen das die Zufallsvariablen dich raus greifen wo ich zeige die gemeinsame Wahrscheinlichkeit dass die und welche Mengen liegen ist leicht
der steht der einzelnen Zufallsvariablen das ist gleich alle sind das heißt dass man ihn jetzt ist auch gleich die sind das heißt ich möchte argumentieren wegen der Mafia 3 oh BDA East leicht 1 bis Ende ich habe mir in die endliche Index Mängel und das ist auch gleich die 1 bis sie in ja wenn das nicht so ist dann gucke ich mir halt die Wahrscheinlichkeit ich gleich ausrechnen wir da ist dann eben für genau diese ich halt er endlich soll endlich findet es raus rechnen damit ohne Wahrscheinlichkeit aus der genau für diese indiziert ist dann die entsprechende Zahl Familie auch unabhängig und das ist dann meine 3 Familien ob wir die ich als fertig voraussetze dass unabhängig ist mehr wir gucken uns dann an die Wahrscheinlichkeit dass die 1. Zufallsvariable also 1. Zufallsvariablen hier die 1 Ring X 1 in der Menge A 1 Strich ist und so weiter bis das die Ente GMX nun war ein Strich ist und wir können dann eben ausnutzen wäre die 1 D von X 1 ist ein Strich genau dann wenn X 1 in die 1 um minus 1 von einstrich ist falls es gar nicht umschreiben zu X 1 ist im die 1 um minus 1 von einstrich das zweite er umschreiben zu x 2 in G 2 oben minus 1 1 A 2 Strich und so weiter bis Kriegsende GNU um minus 1 Grad entspricht als eine nach Definition des Urbildes dann wird sich aus da G messbar waren sind die Bilder von diesen Mengen AI strich in AI enthalten das heißt das da ist in er nennt A 1 und das da es in einem nennt aus A N dann kommt die Voraussetzungen dass die X sie unabhängig sind dann ist die Wahrscheinlichkeit welches Produkt der Einzel Wahrscheinlichkeiten und dann kommt noch mal wäre die Definition des UBS diese dieses Ereignis in das gleiche wie das G 1 Ring X 1 in A 1 strikt ist aber ein Strich morgen so weiter bist die einräumt wechseln entspricht und fertig das Ganze ist dann die eine fundamentale Eigenschaft von unabhängigen Zufallsvariablen wenn sie unabhängige Zufallsvariablen haben und sie wenden auf die einzelnen irgendwelche messbaren Funktionen an dann sind die entstehenden Zufallsvariablen immer noch unabhängig mehr fragen so weit fragen die sowie die Umkehrung nicht ja nehmen Sie an diese einfaches Beispiel nehmen Sie an diese zu falls diese Abbildung bilden alle auf die 0 ab nur dann sind die verketteten Zufallsvariablen konstant die Konstanten sind unabhängig aber die ursprünglichen sowas variabel also wenn Sie das spannend Zufallsvariablen wobei man sich immer klar machen muss dass mir das mehr konstante zurück das konstante Zufallsvariablen unabhängig sind aber das im Prinzip klar wer wenn sie da so was in hinschreiben was ich Sinne konstante Zufallsvariable dann sind denn in der erfüllt oder nicht erfüllt und diese nehmen genau dann erfüllt und ich dafür den eine Würdigung nicht dafür sind dann steht hierbei eine der einst Wahrscheinlichkeiten und und und das ist einfach zu sehen also Umkehrung gilt nicht es kann der zweite Fundamentalsatz der hat nur habe ich nur erwähnt in der Einführung die Stochastik ohne Beweise wie kommt du weißt dazu für die Unabhängigkeit der zweite fundamentale Satz gesagt wenn sie nur wenige Zufallsvariablen haben und sie kopieren die so um dass sie einzelne Zufallsvariablen zusammenfassen so dass das Ganze nicht überlappen passiert dann ist das was rauskommt wieder unabhängig der Platz für 7 also ich etwas technische das mühsam zu formulieren ich werden wir uns der Faktoren ein bisschen einfacher zeigen und die uns Schreibarbeiten zu zeigen aber wir was die gleiche Fossen ausgeht also eine unabhängige Familie XI Wähler Zufallsvariablen offen Wahrscheinlichkeit Raum und wieder abnehmen also ich aus wie unabhängige
Familie reeller Zufallsvariablen auf und wieder ab ich zahle liege dieser Index meine Ideen dann also Partitionierer die essen der unendlich viele Teile Familien die alle endlich sein soll oder in Teilindex Mengen das heißt ich bilde sowas Summe wird er man J J weil das heißt es gleich die Vereinigung der J und dir 10 paarweise disjunkt und die ihrer zeigen jeweils endlich an doch damit ich die Zufallsvariablen einfach hinschreiben kann den Wertebereich und das wäre Trubel aller derjenigen Zufallsvariablen wurde Index im Jahr drinliegt sei oder in die Kathrin liegt neben den J damit seine y j bezeichnet also 10 J bezeichnen gerade mal von ihr zu toppen Dietz K K aus J dann Behauptungen 1. Teil entscheidende Behauptung ist diese y J mit J aus ja 10 unabhängig und Folgerungen aus dem vorderen Satz folgen Satzes wenn ich jetzt Funktionen auf diese Y J an wenn wir dann sind auch die verketteten Funktion unabhängig also wenn ich Abbildungen DJ habe die J geht jetzt von er oben Betrag von J entsprechendes Bereiches zigmal Algebra noch erlaubt ist und dann will ich die neue Familie von Zufallsvariablen können und wird unternehmen J unabhängig sie sehen die eigentliche Aussage ist der Ratssaal sobald der gezeigt haben folgt B unmittelbar mit dem Satz für 6 man kann es gleich noch allgemeiner formulieren das mache ich nur das Bemerkungen es gibt die Bemerkung 4 8 Satz 4 7 lässt sich auf um egal IAI Zufallsvariablen und entsprechend Abbildungen J verallgemeinern wenn Georg geht dann vom entsprechenden Produkt warum die erlernen die J von den von mir gar die an die in den und wieder J strich underscore verallgemeinern also ich glaube nicht dass die einzelnen sowas variabel L sehen die ich zusammen partitionieren da können auch einzelne der dreiwertige Zufallswahl haben oder er die er Kader dicke Zufallsvariablen dabei sein also Zufall Sektoren die unabhängig sind die durch ganz neuen Truppen zusammen machen Beispiel ja sowas wie wir haben XYZ sind unabhängig dann sind genauso gut wenn ich und probiere X comma Y und zeitunabhängig oder wenn ich eine Funktion drauf Einwände hier zum Beispiel das Produkt X X Y und er Hochzeit werden genauso unabhängig weil solche Sachen können Sie damit machen also wir haben Sie vielleicht reelle Zufallsvariablen dann haben sich ihrer zweiwertige Zufallsvariablen
generelle Zufallsvariablen und bieten Wiegenlieder mittelbar was neues Geld zu versuchen ab okay Fragen so weit zu Aussagen dann comma zum Beweis und zwar das zeige ich gleichzeitig Satz 4 7 und wir Bemerkung 4 8 ne USA mit Satz müsste hier stehen Vorsatz 4 6. also müssen wir anzeigen in muss sich zeigen dass dieses Topal unabhängig ist oder dieses diese Familie unabhängiges wir hatten immer 4 3 7 4 3 besagte eine Familie ist unabhängig von triviale Folgerung aus Definition wenn jede endliche Teil Familie unabhängiges das heißt ich muss nur zeigen jede endliche Teil Familie es unabhängig und dann kann ich ob nehmen das J selber eine endliche Menge ist weil ich ja nur auf endliche Teil Familien zurückziehen kann so wegen der 4 3 ubi wie die wer die Karten Naivität von J klein unendlich wenn die Karten haltet von J aber kleiner und endlich ist und es eine Vereinigung von diesen endlich wenn ihr Arzt und die Granularität der ihr Herz ist auch alle kleineren endlich dann ist auch die Karte etwa die kleiner ist endlich also folgt auch die Karten von E ist kleiner als endlich wo die und und jetzt mache ich eine Vereinfachung der Schreibweise statt beliebige Index Mengen wie und beliebige Partitionen betrachte ich nur ne Menge bestehend aus 4 Elementen die in 2 2 Tupel unterteilt wird und zeigst dafür und sagt der Rest geht an ja was lachen Sie da das haben Sie erstmal mal wieder das 2 Gegnern überlegen Sie was nur geht nicht oder okay also schlage vor er ich würde weil es nur so und dann diskutieren wir darüber ob der Rest wirklich eloquenten wenn der das nicht also geht dann dürfen Sie sagen ja bis zum nächsten Mal wollen den allgemein Beweise okay mehr also Vereinfachungen der Schreibweisen wir haben es in den Mengen 1 bis 4 die Zahlen 1 bis 4 J ist gleich 1 2 die 1 sind die Zahlen 1 und 2 die 2 sind die Zahlen 3 und 4 also zu zeigen ist dann und zur eigentlichen der Formulierung von Bemerkung 4 8 sind die Zufallsvariablen ich glaube ich wollte nicht ja wir machen ich schreibe hier was finden wir haben mehr ich habe y 1 ist gleich x 1 x 2 Hunde sind 2 sind gleich X 3 X 4 wobei X 1 X 2 X 3 X 4 unabhängig sind und ich möchte zeigen sind auch Option 1 17 2 unabhängig das heißt zu zeigen ist die Wahrscheinlichkeit das y 1 in einer Menge legte und 202. ist gleich dem Produkt der einst Wahrscheinlichkeiten die Option 1 Element an ob in 2 langen B für alle und jetzt gehe ich in die Bezeichnung von Bemerkungen 4 8 3 1 das heißt mein ist aus dem Wasser Produkt sieht Algebra von A 1 A 2 wie entsprechen Produkt Signal getroffen 3 Affen nein ich glaube sie sehen eine schon an der Stelle das der allgemeine Fall eigentlich analog geben ich müsste C hat die entsprechende Schreibweise einführen was meine 10 1 17 2 10 3 und wäre die viele Kreuze Kreise brauche ich die weiße der Reste und ich hätte nicht nur ein
Produkt von oder die nicht nur 2. aber nicht Helm und weitere Minister die an seine Tür aber der Rest die nicht wirklich kompliziert aus mehr wir werden mehr mehr auf okay comma zum Beweis von der Behauptung ich mache mehrere Fälle im 1. Fall nämlich an das aber gleich das Kreuzprodukt von 2 Mengen A 1 A 2 sind und B das Kreuzprodukt von 2 1 A 3 A 4 wobei die jeweils aus der sich mal die Preise gibt es sind er konnte ende mehr sehen Sie wie Sie in dem Spezialfall überhaupt umgekommen wir können so sagen ihn Norbert Merkel okay Fragen an das ist alles ganz egal ob Sie es sehen oder nicht sehen also der kann sagen wie man die Behauptung bekommt ja und dann und das können sie auftreiben Maleks zu 1 x 2 unabhängig sein wobei die Xtra nix wie auch noch Brennstäbe aber es war können Sie alles auf ok also so muss man damit das heißt wir gucken uns an die Wahrscheinlichkeit dass y einsehen aber und y 2 in B schreiben uns das ausführlich hin Definition von 17 1 17 2 Einsätzen von A und B einsetzen also der Vektor x 1 x 2 ist in A 1 A 2 der Vektor X 3 X 4 in 10 A 3 Kreuze A 4 jetzt war ihre Idee beschreiben dass also X 1 in A 1 x 2 1 A 2 x 3 in A 3 x A 4 also einfach ausgenutzt und Kreuz oder so ein paar Bissen Kreuzprodukt genau dann wenn die 1. Komponente in der 1. Menge ist eine zweite kommen in der 2. ja weiterer Vorschlag war die Unabhängigkeit der XI auszunutzen und zwar genau sind einig die X 1 bis 6 4 unabhängig und dann kann ich diese gemeinsame Wahrscheinlichkeiten umschreiben Massenprodukt ja eine 20 fertigte nähe bevor wir es waren sie doch nicht wirklich eine jetzt wollen sie weitermachen ok also jetzt komme das Argument weil x 1 bis x 4 unabhängig sind sind auch x 1 und x 2 alleine unabhängig deswegen ist dieses Produkt hier gleich der Wahl gemeinsam Wahrscheinlichkeit das X 1 und A 1 x 2 und A 2 ist genauso mit x 3 x versetzt kommt aber Rat Argument x 1 x 2 unabhängig und X 3 X 4 unabhängig war wieder dieses triviale der Mafia 3 der Familie von Zufallsvariablen ist genau dann abhängig wenn jede endliche Teil 1 Million abhängiges dann sehen Sie das ist die Wahrscheinlichkeit das X 1 in A 1 ist die sein 2 und wieder waren sie verzichten gut wenn jetzt fragen Sie sagen was es bedeutet die war noch nicht wirklich wer das heißt wir schreiben noch mal und bin es noch mal aus X 1 in der einen Menge X 2 in der 2. genau dann wenn es Paaren Kreuzprodukt ja das war unser Definition
das y eines NAS und y 2 die und ja die Behauptungen Fall eines gezeigt okay gut das reicht aber nicht wir wollen es ja allgemein haben die Aussage für aus dem aus der produktiven Algebra von A 1 A 2 und B aus der Produkt sieht Algebra von A 3 A 4 haben Sie eine Idee und können Sie diese auch formulieren wie man bekommt wird wie man diesen dabei Schritt weiter aber wie man das weiterhin kriegen könnte ausgehend vom 1. 3 Schritt ach die wir haben wir in der hat eine Idee und kann sie auch formulieren das sich halt gut will dann wollen sie sich auch dazu äußern ich kann also Vorschläge im Flug verpasst sagen sie auch die Wahrheit mehr ok also Vorschläge was machen wir jetzt das ist eher die Antwort bringen Sie mir immer wieder eine und ist immer aufgefallen dass es jedes Mal der Fortsetzung Satz immer ist auf den einen der bei der mehr also wie wollen wir den Fortsetzung Satz Thomas so weisen ist ganz schön aber ich würde vorschlagen wir wenden fortsetzen sagte Masse an und zwar überlegen wir uns werden erst mal wenn der eine der beiden Mengen festhalten zum Beispiel B dann sind die linken und rechten Seiten der stehen endliche Maße also da halten wir fest dass es ganze Dingen ein Maß das ist einfach zu sehen also wenn die leere Menge einsetzen für kommt er nur aus diversen immer größer gleich 0 und dass der ganze Dinge man die tief die 1. Komponente also sind die Maße an Fortsetzung Satz wir eigentlich immer sehr sie haben ihren Erzeuger bestimmt offen Erzeuger von der Signalgeber aber ein stimmt auch davon erzeugten zigmal geht vorbei das heißt Fall 2 ist noch allgemein tolles aus A 1 holzfreies A 2 und B ist immer noch so ein Kreuzprodukt es wird schon Goldpreisen was genau stört Sie einen Orts- Kreis ist komplett richtig nehmen wenn sie das machen wir beachten mehr also zu zeigen ist 1 Element an Trübsinn 2 Element hat 3 Kreuze H 4 das ist vielleicht entsprechen Produkt und da die linken und rechten Seiten als Funktion von endlich Maße sind und ich die Behauptung nach den 1. Fall für vielleicht A 1 Kreuz A 2 gilt fassen Erzeuger von dieser Produkt gepreist wollt Soßen der Satz über die eindeutige Fortsetzungen von endlichen lassen also Behauptungen wie folgt aus Fort 14 Satz für Maße aus aus zu Ende zu eindeutigen Fortsetzungen in der Masse da linke und rechte Seite her endliche Maß in sind die Nachwahl eines auf einmal Zeuge von A 1 kreuzt Chrysler 2 übereinstimmen ja und jetzt sehen sie als dritten Fall mache ich eben eingefallen Fall und der geht analog also 2 3 und selbst die Frage die US analog also ich schreibe
noch analog in analog damit gefertigt also Fall 3 der aus A 1 kreuzt Kreis A 2 und wie aus A 3 Kreuze Preise 4 will ich halt ein diesmal aber fest als Funktion von B sind beide Seiten endlich Nase die nach dem 2. Fall auf einen Erzeuger der Produkt Algebra von A 3 Kreuze Preis auf 4 übereinstimmen ok
okay wenn sich jetzt noch mal angucken was ich aber auch dass wenn eine Vereinfachung der Schreibweise habe ich glaube sie sehen dass ist in der Tat eine Vereinfachung der Schreibweise ich könnt den allgemeinen Prinzip genauso fühlen wir führen ich müsst halt also den das zentrale den zentral 1. Fall würde ich genauso machen nur eben in der schreit auf und und dann müsst ich eben entsprechend öfters Sonne Fotze für Maße anwenden okay Frage noch so weit dann mal 5 Minuten Pause zum Tafel wischen und ich mache dann um 3 Uhr 18 weiter okay dann kann ich ja sogar weitermachen sogar er willkommen Zusatz 4 9 Satz neuen gibt Charakterisierungen waren ein Zufalls Truppe ein Tobel realer Zufallsvariablen unabhängiges und zwar genau dann wenn die Verteilungsfunktionen das Produkt der einzeln Verteilungsfunktion ist oder zu vernichten existieren wenn die Dichte der Bank fast über alles Produkte einzurichten ist Einsatz 9 er sein Welle Zufallsvariablen auf an Wahrscheinlichkeit Raum ohne gerade jene Verteilungsfunktionen es sehen Rechnung es ist eine Verteilungsfunktion von den ende müssen ein Vektor x gleich x 1 bis x n dann gilt aber der X 1 bis 6 m unabhängig genau dann wenn eine Beziehung will die als Stern bezeichnen f von x 1 bis x n ist das Produkt also kleine X an der Stelle dieses Produkt von dir gleich 1 bis von F Evonik sehen für alle x 1 bis x den aus der und Detail unter Zusatz Voraussetzungen das wäre zu F im Verteilungsfunktion F wie eine dichte kleine F existiert nein existieren zu und ich wurde auch gleich noch also zu F E comma F dichten Klein F E comma S beachten Sie den klein F ist jetzt der Funktion auch er ihn nach er messbar aber klein erwiesen Funktion von ihren nach Erhalt messbar so gilt Sternen ist etwa den dazu dass das Produkt der F ihm also F I 1 x sehen Gedichte von Gross 11 ist in der der weg fast überall eindeutig ist kann ich folgern dass er von x 1 bis x 1 vielleicht Produkt die vielleicht 1 bis n Elfi von ICS für Lübeck fast alle x 1 bis x in aus ein was ich in das Gebäck Bars auf er oben Ende und sage diese Beziehung gilt der über alle bis auf eine Menge von Herbert Maaß nun ok sind 2 schöne fragte Versicherungen dass eine unabhängig teilt genau dann wenn die gemeinsame Verteilungsfunktion das Produkt der Verteilungsfunktion der an Verteilung ist und es hat eine Dichte vorliegt genau dann die gemeinsame Dichte ist gleich Produkt der andichten bedeckt Festival weil eben benötigte nur bedeckt was die Wahl eindeutig ist Sie können ja seine Funktion auf mehr bedeckt Müllmenge abändern wäre so dass sie weiterhin messbar bleibt dann ist es weiterhin Gedichte weil es beim ganzen in die Quere nichts ausmacht okay Fragen zum nein comma zum Beweis teil das ist genau dann wenn Beziehung das heißt sie müssen 2 Richtungen zeigen eine Richtung ist trivial sie wissen vermutlich welche aber wollen nicht sagen dass Rat ist eben von links nach rechts es trivial warum wir werden in der ja sie sehen wahrscheinlich auch warum arbeitsaufwendig sagen wir Wende Definition der Unabhängigkeit Abhängigkeiten die Mengen die eben einfach also halboffen Intervall von endlich bis XI also wählen nicht auf die Menge der Menge Schreibweise war ihn vielleicht halboffenen von Ines Nentwig bis ich sie in der Funktion der Unabhängigkeit
3 von Zufallsvariablen Definition für 2 war das das heißt dann haben wir die 3 x 1 bis x in unabhängig sind ist die Wahrscheinlichkeit dass X 1 in A 1 ist x 2 1 A 2 und so weiter bis XNA in wenn Sie überlegen was ist diese Wahrscheinlichkeit ja das heißt der Vektor x 1 bis x in ist man Kreuzprodukt R A 1 Gold A 2 und so weiter bis er in den halten das heißt X 1 ist klar gleich X Grosics 1 ist dann gleich klein x 1 Grosics weist aber gleich klein x 2 und so weiter bis groß XN ist dabei gleich gleich sehen das ist nach Definition Grades f von x 1 bis x N das ist eine nach Definition der Unabhängigkeit gerade das Produkt der ein zu Wahrscheinlichkeit also Wahrscheinlichkeit dass Grosics 1 10 A 1 ist und so weiter bis er Produkt mit Wahrscheinlichkeit groß XN diesen A N und diese Wahrscheinlichkeit das X ist ist hier die Wahrscheinlichkeit groß XI kleiner gleich klein XII ist das gerade F wie von X wir sind fertig okay keiner spricht er dann comma zugegen Richtungen es gelte also Sternen wer das heißt dass die Wahrscheinlichkeit das X 1 in einem Intervall I 1 ist und so weiter bis X N 1 der die 1 vielleicht ist ein Produkt der 1 Wahrscheinlichkeiten des für alle in der Wale die 1 wie Sie in der folgenden Bauart na ja muss und halt offenes Intervall von mir müssen endlich bis x 1 1 x abgeschlossen und dieses System wenn ich mal 10 machen andere Buchstabe fällt mir gerade nicht ein was glaubt ihr und die passende aber ich kann auch keine aussieht es ihm was man den 10 während dieses Szene dessen Erzeuger von Bereichen Sigmar Gebhardt die linke und die rechte Seite sind als Funktion von E 1 alle andern festgehalten endliche Maße komme gleich zu Ihnen wir nehmen wir den Fortsetzung Satz für endliche Maße dann gibt es sogar wenn i 1 wenn ich jede Menge aus B haben und nicht nur mehr 1 fragen wenn Sie ISO werden dann und das hinschreiben was mir Definition steht dann steht auf der linken Seite des da und auf der rechten Seite das und dazwischen Gleichheitszeichen immer die könnten mehr und das war an der Stelle zu zeigen will beliebige X 1 nein wir zeigen ja gerade Dienst indiziert rechts also das haben vorausgesetzt wenn ich in die Definition jetzt diese Mengen an die Einsätze dann steht als Spezialfall diese Beziehung dar okay oder doch nicht also Definition ist ja was mit allgemein Mengen I 1 bis sie Ende so muss man sicher zeigen nach Definition ich setze jetzt nicht Definition spezielle diese Mengen allen dann heißt es genau das da ist genau das und das war es genau das und so dann die Frage die Frage hat sich erklärt wird und so fragen zum okay und jetzt eine Zeugin genau umgekehrt vor wir nehmen alles gilt Sterne die haben die Beziehung für die in der Wale der ich während ich mache den genau gleichen Trick liegen beweist da vor der also wegen der von 10 bis gleich B weilte Signal Algebra dieser halboffenen der weil es ein weiterer Zeuge der Bereichen Algebra ab weil sie sehen sofort diese halboffenen der Wahlen wenn sie davon die erzeugte Sigmar Algebra betrachten dann wir die alle in der Wahlen zumindest allerdings offenen rechts halboffenen der Wale die können Sie als Differenz zweier solche in der Intervall stellen schreiben habe sogar alle in der weil mit einem der beiden sehen die berechtigten retten also folgt Look zum Beweis von Satz 4 8 oder folgt wie im Fall 2 wer weiß von Satz 4 8 also ich halt jetzt die Mengen I 2 bis sie ihn fest er betrachte das Ganze als der Funktion von I 1 linke und rechte Seite sind endliche maßlichen fortsetzen Satz Einsatz zu eindeutigen Fortsetzung von Maßen an und ich habe dann die Wahrscheinlichkeit das X 1 1 B 1 kümmere x 2 aus I 2 ist X N aus IN ist leicht Produkt von Wahrscheinlichkeit von X 1 aus B 1 nix aus ihr 2 für alle wie aus und die 2 bis E N S C ja nicht sehen wie Sie sich sind so durchs weitergeht das mache ich jetzt mal also jetzt mache ich es nächste mit die
2 kann die 2 auswählen können die 3 ausgewählten und den fertig also in Aalen das Ganze ja solche mein Schreiben Rechnen Schreiben Behauptung Behauptung daraus folgt aber x 1 B 6 n unabhängig und dann haben wir ja den Ratssaal gezeigt das ist ja wunderbar ok Fragen so weit zu an das was ihren die 1 sein Jahres vollständig richtig Dankeschön sind des tauchte gaben auf muss wie sein sonstige Anmerkungen Fragen ok dann comma zum Teil B ein ja ein Teil ist leichter als der andere Teil welcher Teil meinen Sie vielleicht erst Ruhrtal also damit eine genau dann den Beziehungen zu zeigen zeigen wir besser zunächst das Sterben die rechte Seite indiziert was einfach alles zeigen wir besser die rechte Seite impliziert Stern was einfach was würden Sie sagen was ich behaupte eine von beiden Richtungen könnten sie unmittelbar aus den bereits genannten folgen das geht ganz schnell mehr wenn Sie das noch wissen was wir gehabt haben aus rechts wollt Direktlinks Jahr damit durch 1 auch anfangen mehr das war nicht das was sie unmittelbar folgen können euch von o rechts vor direkt ins an also kann zwar gute Frage sie konnten gar nicht falsch liegen sie werden also enorme nicht mit dem angefangen hat was wir direkt Vorgang können und haben sie auch Idee wie aus rechts links folgt sie würden die gerade raus schmeißen das heißt sie integrieren wir ja leicht auch machen mehr das heißt das gilt wir werden dann mal f von x 1 bis x N das ist ja die Wahrscheinlichkeit das ja Grosics 1 muss klar gleich kleine x 1 sein und so weiter bis große Csendes kleiner gleich klein XN sein dann kann ich auch sagen es ist das gleiche wie der Zufall es Vektor x 1 bis x n muss im Holzprodukte Intervall minus nennt dich bis X 1 und so weiter diesen müssen endlich bis X sein und wenn ich das so mache dann sehen sie hängt es jetzt ein nicht nur von der gemeinsamen Verteilung der X 1 bis x N ab davon richtig der Wahrscheinlichkeit von ausrechnen ich habe vorausgesetzt ich es existiert eine dichte F und weil es eben die Dichte von diesen Zufall Sektor ist also er festigte von X kann ich da direkt wie Sie gesagt haben sind die gerade rausschmeißen ich Kansas integral umschreiben ich habe in der Frage von minus endlich X 1 Kreuz und so weiter der von F von X 1 wie sieht's der von Bugs 1 17 er jetzt kann ich die Voraussetzungen wenden dass dieses F von X 1 bis x N gleich dem Produkt der FG ist der Evonik sehen es von x 1 bis 6 N ja und damit habe ich meine integralen was wollen Sie jetzt machen jetzt 14 sind dazu sowie genau was ich habe hier einen integralen er oben Ende aber nach Dubini keines umschreiben in 1 L Endphase der jetzt integral und ich habe sogar so ein schönes Kreuzprodukt Integrationsbereich das heißt ich kann wunderschön Integrationsbereich aufspalten also werden Zucchini an und kommen auf das integral von Min dessen endlich mit X 1 sie müssen endlich bis X 2 sie müssen endlich bis X N über dieses Produkt ja und dann sehen Sie sehen dann kann ich aus dem Innersten integral alles rausziehen bis auf das alles müssen F I Felix diese heißen an der Stelle kann ich alles raus denn dies auf das F n ja und ich sollte er nicht genauso x 1 besitzt ein schreiben wie hier also machen vielleicht mal gut aus damit der Integrations- Verschiedenes 1 x die sonst auftauchen habe welchen und hier schon so n mit 2 Uhr 1
dann kann ich aus den enden aus dem Innersten integral kann ich alles aus dem bis auf das FN von UN dann bleibt dennoch das integral von Ines ein bis X N 11 NEUN die UN übrig ist sich dann aus den ganzen integral als Konstante raus und wenn ich das einmal macht vieles Produkte einst gerade da X 1 11 1 von 1 die U 1 der UN ja und jetzt sind aber die FIS Dichten von den ICE dann sehen Sie das 1. gerade die Wahrscheinlichkeit wenn das X 1 klar gleich X 1 ist oder die kleine erwiesen doch dichten von Großefehn fernsehen sehen seit Herr Flemmer her dichte und groß was ist leicht über von es ist direkt umschreiben in F 1 von X 1 was das empfindlichste und dessen fertigte ok Fragen so weit alles war der einfache Taiwan geglaubt habe es gibt noch ein einfachen und das ist die Umkehrung Ansatzes dennoch ein war doch nicht da noch einfacher mal sehen ob sie draufkommen warum die Umkehrung des wir haben vorausgesetzt also was ich gerade zeigen möchte vor Sie schreiben gerade noch ab und zu ließ mich hochschieben was ich gerade raus setzen zeigen möchte ist er also wir zeigen jetzt von links nach rechts und links ist die Beziehung das heißt wir haben wir gegeben die Verteilungsfunktion ist leicht dem Produkte einzeln Verteilungsfunktion ich möchte daraus folgern erweckt fast überall alle erst wieder der was über alles die Dichte gleichen Produkte 1 einrichten und wir hatten aber handelt einen Zusammenhang zwischen Verteilungsfunktionen dichten werden sich noch ja genau vorschläge Zusammenhang zwischen Sonne dichten wir wissen wenn wir eine dichte haben ist ein diese Verteilungsfunktion fast überall differenzierbar wenn danach wieder Variable einzeln ableiten richtig und rauskonnte dichten das heißt ich mache genau das ich nehme diese Beziehung beide sie nach jeder Variable einmal ab da steht hier die Dichte gemeinsame Dichte von den und die Dichte von Groß F und hier kann ich die einzelnen jeweils einmal ableiten dass ist das Handy einzurichten mehr also folgt mit Different Aktion von Sternen und da brauchen wir jetzt Bemerkungen ja Bemerkung 3 11 b ja das ging schnell aber sie wissen vielleicht auch warum ich drauf kommen dass es nicht ein ist nicht gestattet sie schlagen raten alternativ Beweise vor das heißt sie wollen das Ganze rückwärts machen das heißt ja was soll man gerade zeigen wir haben dieses Beziehung standen gegeben wir wissen das da ist gegeben also das ist leicht den wir schreiben das einerseits dann also wir wissen ganz oben links ist gleich in der Mitte unten rechts in der Mitte Mitte unten das ist gleich wir wissen das ganz oben links ist leicht gehen wir wissen das untere können wir umschreiben zu den mit vor nie dann haben Sie die beiden vielleicht halten und dann wollten Sie daraus folgern dass die in der Granden erwägt was über übereinstimmen wie machen Sie das doch nur na ich meine warum nicht also die vor Nervous Probleme der Kuppel also ich sehe keine Probleme eine ich meine also Sie Sie wissen dass da ist leicht nehmen wollen daraus schließen die Voraussetzung des geltende es ist die Frage wie machen Sie
das also im Prinzip haben Sie das ist leicht wenn sie hier alle nennen aus B entstehen hätten also oder wenn sie allgemein ein Maß Traum vom Formiga an mir haben und mir messbare Funktion f und Sie wissen über messbare L Funktionen wenn sie über alle Mengen aus Skript integrieren diese Funktion f dem kommt nur raus dann können Sie fordern die Funktion ist fast überall gleich 0 und jetzt bilden hier die Differenz der beiden in der Grad der beiden in die Granden das integral gleich 0 Sie haben noch nicht alle Mengen aus will n über die sie integrieren was ein gewisses Problem an der Geschichte ist sie könnten sich aber weiterhin in den sehen jetzt wieder versuchen Sie machen Fortsetzung für Maße also sagen als Funktion der 1. Menge ist das ganze Ding wie Maß wobei es kein Maß ist eine weil es Vereins zweier Funktionen ist wirklich unbedingt er nicht negativ sein und Sie brauchen und wie sie kann eigentlich immer so und so was und es folgen zu können aber ja guten Sitten eigentliches Maßnahmen in Bergmassen einmal signierte also müsste Differenz von 2 Maßen sogenannte signierte Maße und dafür ist Sensationen in okay wer aber er also warum wann ich das nicht einfach und seiner ganz einfach ich habe diese allgemeine vom nicht gezeigte wenn sich erinnern damals und wir bauen wir glaube ich vor einer Woche 2 Wochen ich habe noch gesagt ich wenn es nie eine Sekunde würden wie die Klafter geneigt es ist nicht ganz richtig werden also im Prinzip Daniela Lücke wir hatten gerade Weise vorschlagen was retten kann aber der eigentliche Beweise gegen darüber was was erst nächste Stunde machen hätt ich im Prinzip auch schon machen können wir weitere Charakterisierung der Unabhängigkeit bei Unabhängigkeit ist die also eigentlich ist der Satz der hier formuliert ist nicht die allgemeinste Version die allgemeine oder was normalerweise formulieren wurde der Einsatz wie es sind die Zufallsvariablen unabhängig und haben die einzelnen kommt die 1 Zufallsvariablen so hat auch der Zufall Sekt ohne dich tun das ist das Produkt der Einzel Zufallsvariablen und da die dichten Welt fast die Wahl eindeutig sinnvoll dann diese Beziehung Trost und so was zeigen sie in dem sie ausnutzen weil es werden nächsten mal drauf eingehen bei Unabhängigkeit weitere wichtiger Dosierung der Unabhängigkeit Unabhängigkeit ist die gemeinsame Verteilung gleich den direkten Produkte an und dann können Sie ihn sowie allgemein im Maas Raum anwenden und die entsprechende Beziehung zeigen okay ich habe noch jede Menge Zeit eine der na ja doch sie würden schon so als ob sie gehen wollen machen keine Chance ich aber noch viel Platz nicht alle also wir können aber den Satz 14 schreiben und beim nächsten Mal weiß man dann mehr der Satz 14. war auch ein Satz der den in Einführung der Stochastik mal gemacht haben aber ich bewiesen haben mehr und mehr gesagt wenn ich endlich viele unabhängige Welle Zufallsvariablen habe mit jeweils existierenden endlichen Erwartungs werden dann existiert auch Erwartungswert von Produkte Zufallsvariablen und ist gleich dem Produkt der einzelnen Erwartungswerte 10 x 1 bis 6 N unabhängige Welle Zufallsvariablen auf Umwege abnehmen X Sie endlich so gilt Erwartungswert von Produkt ist leicht dem Produkte einzeln Erwartungswerte mehr und das da ist existent
weil das existiert auch entsprechendes werden das
später mal benötigen können wir auch für komplexe erdige Zufallsvariablen machen wo wir weil wir dann den Erwartungswert definieren als Erwartungswert von Real Zahl Müsli mal Erwartungswert von imaginiert hat okay haben Sie Fragen so weit dann der ich fertig
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