Bildmaße und Verteilungen

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Formal Metadata

Title
Bildmaße und Verteilungen
Title of Series
Part Number
4
Number of Parts
28
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
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Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
Mathematics Measurable function Content (media) Abbildung <Physik> Module (mathematics) Set (mathematics) Fiber (mathematics) Rollbewegung Random variable Probability theory
Algebra Measurable function Abbildung <Physik> Set (mathematics) Fiber (mathematics)
Real number Mathematikstudium Integrationstheorie Set (mathematics) Continuous function Connected space Number Algebra Measurable function Quotient Abbildung <Physik> Continuous function Fiber (mathematics) Chain rule
Maßtheorie Product (category theory) Euclidean vector Propositional formula Integrationstheorie Cartesian product Generating function Connected space Film editing Algebra Measurable function Abbildung <Physik> Vector graphics Continuous function Fiber (mathematics)
Film editing Abbildung <Physik> Integrationstheorie Sequence Number
Stochastic Index Abbildung <Physik> Set (mathematics) Integrationstheorie Set (mathematics) Mass Summation Fiber (mathematics) Random variable
Product (category theory) Raum <Mathematik> Ende <Graphentheorie> Total S.A. Mass Set (mathematics) Cartesian product Generating function Algebra Measurable function Abbildung <Physik> Ecke Direktes Produkt Fiber (mathematics) Tuple Random variable
Probability distribution Product (category theory) Sequel Coalition Durchschnitt <Mengenlehre> Zufallsvektor Uniqueness quantification Integrationstheorie Set (mathematics) Mass Generating function Cartesian product Connected space Mathematics Stochastic Film editing Algebra Abbildung <Physik> Vector graphics Direktes Produkt Fiber (mathematics) Random variable
so genau sind die Änderungen der immer so seine Haftstrafe
Lernmaterialien an der TU Darmstadt
Jahr begrüßen Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung in der Wahrscheinlichkeitstheorie ich habe Ihnen da an die Tafel den Klausurtermine geschrieben für die schriftliche Prüfung ist am Montag 1. März 2010 von 10 bis 11 Uhr 30 als anderthalb Stunden wie beim letzten Mal auch ohne alle Hilfsmittel es wird der Wiederholungsprüfung geben halbes Jahr später also wie jede Petschler Klausur wird jedes halbe Jahr angeboten und ein halbes Jahr später als bei den nächsten Terminen werde ich noch mal die Aufgaben stellen die Prüfung ist es Prüfung für alle die die Herzschlag er Mathematik studieren wie die Lehramt studieren können gehen da mal gesagt ich mache statt der 9 keine Points Prüfung der 4 comma decimal 5 Creditpoints Prüfung aus also werden Inhalte sprechen absprechen und vor bekanntgeben welche Teile der Vorlesung weggelassen werden und sie können sich dann die schriftlich anrechnen lassen und ich habe immer gesagt ich rede noch mit Herrn Kiel wegen denn ganz alt ist oder alten Studiengängen beim Bett schlafe ohne mündliche Prüfung vorgesehen war und wegen den Diplom- studiengängen ich habe man Kiel vollen getroffen er das Ganze kommt in den Studienausschuss erst noch aber wir planen es so zu machen dass auch die Diploma und die anderen freiwillig an dieser Prüfung teilnehmen können und sich die Prüfung dann anrechnen lassen können auf das entsprechende kommen gut Modul später weißen wären Zusatzangebot der als sie müssen nicht hingehen ich würde sie noch später gemeinsam mündlich prüfen aber die als native wer eben wenn Sie es jetzt dann machen wenn es so weit durch die Studienausschuss geht was wahrscheinlich bis Weihnachten geklärt ist wenn Sie jetzt dann machen dann haben sie die Prüfung eben weg und wir wissen nur diesen kleinen teilhaben und können später entsprechend weniger werden okay so viel zur Prüfung wie gesagt da gebe ich Ihnen noch mal Bescheid wegen inzwischen Klausuren dadurch gerade gefragt wo man sich dann Sekretariat anmelden muss nein da müssen Sie sich nicht an den der gehen Sie einfach hier also zwischen Klausur der 1. Termin war 24. 11. der 2. Termin war im Januar wegen dem Bonus da gehen Sie einfach Anmeldung ist nicht erforderlich okay das eine gute Frage also beim letzten Mal so gemacht und der Vergangenheit habe es immer so gemacht bei den Prüfung ich hatte den Bonus gibt es eigentlich nur für die nächste Prüfung ist aber nicht sinnvoll also ich kann Ihnen sicher den Bonus auch müsste mit den vom Gott noch mal reden beim nächsten Mal auch noch geben aber natürlich nicht zweimal wenn Sie einmal die Prüfung nicht bestehen kriegen sie am nächsten manischen Bonus okay aber wenn sie einmal krank sind müssen sie beim nächsten Mal nicht man sieht den glatten bin und genauso kriegen sonst noch Fragen okay dann komme ich schnell zur Wiederholung Wasser beim letzten Mal gemacht haben ich habe in der kleine Wiederholungs- wurde wieder vorbereitet wir hatten mehr als 1 0 Bildersammlung von Begriffen haben angefangen mit dem Begriff der messbaren Abbildung Wir haben es Rollen ohne Arnegger Strich comma mehr Abbildung X 1 ohne Ghana um den Strich heißt messbar dann für alle Mengen im in der Sigmar 1 Bildbereich gilt das Urbild von dieser Menge bei dieser Abbildung X ist in der zigmal Debra in Definitionsbereich ich verwende dafür die Schreibweise X ist Abbildung vom Paar um aber ins Haar und Nigger Strich comma weisen Abkürzung für Existen Abbildung von Anlegern und wieder strich und diese Abbildung ist comma messbar wie das Ganze hier oben ausführlich heißen würde eine Zufallsvariablen habe dann schon ein Messe Trauben Definitionsbereich ein Wahrscheinlichkeit und wieder abgeht zugrunde liegen haben Weltraum 1 EL Messe Raum und einer Zufallsvariablen denn eine messbare Abbildung X von Amiga nach einiger strich wir haben dann als
Einsatz gesehen X 1 und wieder nach einiger Strich ist f und wieder strich von 10 heißt messbar bezüglich der von C im Bildbereich erzeugten zigmal Algebra genau dann wenn eben diese Beziehung nicht mehr für alle comma aus der Signalgeber so nur alle Aalstrich aus dem was soll das ist dem vorliegt wenn Sie so was beweisen wollen ist es ist die folgende Beziehung hilfreich die in Armee gar von XO minus 1 1 C erzeugte Sigmar gebar stimmt mit X oben minus 1 von der hin und wieder strich von C erzeugen zigmal Gebräu überein wir haben dann Folgerungen betrachtet die zum Beispiel x SAB Quernes Basix geht jetzt von illegal nach erklärt genau dann den für alle alt war er nennt er die Menge aller und egal wo ich zum und wieder klar gleich alt war abgekürzt mit Xtra gleich einfallen richtig in Klammern in ist und 2. Satz ich habe ein bisschen allgemeiner hingeschrieben aber eigentlich gesagt sowas wie jede Stadt bestätige Abbildung 11 von erinnere am PIN WM messbar ja ich Versuchs comma dazu schmeißen muss weiß ich sehr gute und dann ist er für die Aufnahme okay dann beim letzten Mal hatten wir wahrscheinlich Satz 2 9 nach Satz 2 9 kommt dieser Vorlesung Satz 2 Zehen was relativ simpel ist ach so ich war die Tafel beleuchten machen nicht ok wenn sie Unterhaltung so weit einstellen könnten Dankeschön dort kann ich Scheiße wissen abgekürzt denn wir haben ja messbarer Abbildungen von einiger 1 noch und wieder 2 zigmal des Prinzen
A 1 bzw. A 2 ich will auch der zweite messbar Abbildungen y wie geht hier los versicherten Abbildung von X von Amiga 1 nach und 2 dies A 1 A 2 messbar ich habe na Bildung y und wieder 2 nach und Eggert 3 A 2 A 3 messbar wenn ich dann y Ring X würde bekomme ich der Abbildung von Onmeda 1 nach und wieder 3 und die Behauptung ist dies A 1 comma A 3 messbar und wer weiß es eigentlich klar also muss sie nur zeigen klar machen dass muss vielleicht zeigen zeigen muss man das Urbild von jeder Menge 3 und Skript A 3 bei der Abbildung y Ring X liegt in der sich mal der war 1 und wenn sie angucken was passiert wenn sie das Urbild bilden von
einer Menge wenn Sie mal 3 dann gehen sie eben das Urbild die Beziehung könnten sie aus den 1. Jahre Mathematikstudium kennen in den sie erst das Urbild von A 3 bei y bilden und dann das Urbild von der entsprechenden Abbildung bei X bilden und wenn die Menge jetzt in der Algebra Skript A 3 liegt dann liegt nach der Definition der Messbarkeit von y y oben minus 1 von A 3 in der Signal Algebra Skript A 2 und nach
der Definition der Messbarkeit der Abbildung X mit dann das Urbild XO minus 1 von dieser Menge in der Signalgeber gebar A 1 und wir sind fertig alle Schweizer verkürzt den habe ich glaube es klar oder ok dann comma 2 ältesten Corolla für x 1 und Rieger A nach der MGM und eine stetige Abbildung des von er 1 nach R n ist Gehring It's von ohne nach RNA sprich PIN messbar für Aids von Amiga nachher im DIN und gehe zum er in Marianne stehe n gilt mich weil sie dafür kurz trennen die Creme X ist Abbildung von nachher ein dies messbar bezüglich der Bereichen Sigmar Ehepaar auf deren kann es jemand bei Ihnen begründen genau wie haben schon gesehen die stetige Funktion geht ist dann BMW N und dann werden wir den Satz 2 Zehen an das was ich brauche keine Beweise dazu schreiben dann zitiere ich noch 2 Sachen aus der die mir eigentlich aus der Nähe und in der Integrationstheorie standardmäßig behandelt und sagen was dazu und überweisen schreiben wir haben es Raum und wieder an Zeile Betracht ich Abbildungen X definiert auf und Nigeria in den Zahlen die messbar sind bezüglich AB mehr versicherten Abbildungen habe Abbildung XN von und mit einer Art nach er die AB messbar sind ich bastle mir neue Abbildungen y in ich von Anlegern nach oben in dem ich als Komponenten des Bildes einfach x 1 von ohne gab ist XN von Ohliger betrachte es war also y von und nach der oben N definiert durch y und egal ist gleich x 1 von ohne gab ist XM von Amiga und die Behauptung ist dann dann ist dieses y geben messbar nein und dann geht's noch weiter ja wenn dieses Volk Kette mit einer messbaren Abbildung von RAM in den in allen zahlen dann ist natürlich die Verkettung auch entsprechend ab messbar das man mir noch comma hin Grund ist Gene Abbildungen von ja im B M der wenn so wild Gehring y geht von und an nach erwies ok so weit zum Teile Detail ist primär eine Folgerung daraus ich betrachte messbar Bildung x 1 x 2 von oder gar nach die Behauptung ist dann kann es auch die den Jahr Kombination von dieser messbaren Abbildungen das Produkt dieser beiden es waren Abbildungen der Quotient dieser beiden S-Bahner Bildung sofern der Patient existiert ab messbar fallen also X 1 0 x 2 messbare Abbildungen dann sind erst mal einfach x x 1 bis Peter X X 2 wobei als Arbeiter beliebige reelle Zahlen sind 1 x 1 x x 2 und wäre der Patient der beiden Abbildung x 1 durch x 2 sofern eben diese Prozent existiert das heißt die Abbildung werden jeweils period Weise gebildet also klein und Megawatt abgebildet hier auf als war von 1 x x x
1 von ohne gab es bei der x x 2. ohne gar hier wird kleiner und Ärger abgebildet auf x 1 hin und wieder mal x 2 von gab und beim Patienten und im abgebildet auf x 1 hin und wieder durch x 2 von Amiga wo ich eben Frau sitzen muss das X 2 von Amiga ungleich 0 es für alle und Anleger diese Abbildungen sind messbar okay seine Frage zum unteren Teil von der wäre wenn es richtig mitbekommen habe so richtig das immer ganz gut aber Sie wollen ganz gerne von G verwendete stetiges vor allein in meine sie die mehr habe ich jetzt wenn die stetig fordere oder ich und die messbar fordern sie den ist weniger sich welche Forderungen wie ja ja ja ja ok genau also die aus freudig ist nicht das eine Abbildung von und mit Anna er ist mir das wär ein bisschen langweilig nicht sondern die eigentlich aus gerade ist der also diese abkürzende Schreibweise das ist der Abbildung von Amiga er die AB messbar ist und hier steht als Voraussetzung das ist Abbildung von er er nach er die es passt also Schreibweise es ein bisschen gewöhnungsbedürftig aber ich glaube nicht mehr okay zum Beweis vielleicht nochmals ich sage nur was mündlich dazu wie würden Sie also ist klar der zweite Teil von folgenden brausen 1. Teil von das heißt sie müssen einen 1. Fall von machen weil dann verwenden wir einfach unsere Verkettung von messbaren Abbildung ist messbar wie würden Sie den ersten Teil von beweisen haben dann Vorschlag also für die die Integrationstheorie gehört haben mehr okay wir schauen uns Mengen Urwälder von denen an die von speziellen Typ sind und da brauchen wir halt Aussagen über Erzeuger Systeme ein solches der Zeuge System von WM werden einfach die das Kreuz Produkte von den dreien aber sie können auch genauso gut die Kreuze Produkte von dabei nehmen wobei alle in der Weile bis auf 1 EL der ganze PR Raum sind und dann sehen Sie ja da wenn ich daran Kugeln dieses y liegt da drinnen und ich mache vielleicht noch so ein halb offenes Intervall von minus 1 es einfach nur kann ich auch in einzelne Komponenten machen dann sehen Sie da muss eben das 1. X 1 den 1. halboffenen Intervall drin liegen das 2. zweiten halboffen der Wahl und so weiter dass der ganze Vektoren Kreuzprodukt kündigt das heißt es gibt einfach ein Schnitt von solchen einzeln Urbildern und wir die einzelnen sind in der 7. Algebra also es auch in die Billstedt trennen also habe ich für diese Mengen und ich muss halt wissen die erzeugen Zeisigbauer spezielle erzeuge Systeme für gehen wir werden später noch mal wahrscheinlich beim nächsten Mal 1. diesen machen beim Produkt Misstrauen gut dann die folgende Weg aus wenn wir aber haben okay also wir packen das ganze dient in einen Vektor einen wenden drauf an haben eine Abbildung von Amiga in R 2 die A B 2 messbar ist und fügen dann der weitere Abbildung an so dass die Verknüpfung die entsprechenden Abbildung hier gibt das heißt hier ist einfach Wandel Jahr Kombination das heißt dass der Vektor x 1 x 2 wohl abgebildet auf 1 x x x 1 das Peter Malicks weil es klare stetige Abbildung von R 2 ach ja und damit will es war hier ist ein schönes Produkt x 1 x 2 deckt aber ab Gebilde aus Produkt auch die Abbildung ist stetig damit messbar hier 7 Prozent die Abbildung des nicht mehr stetige weil sie nicht nur bei der Verlierer wir können sagen da wo sie den mir dass es stetig und wir haben ein kleines Problem mit der Definition wirke und Sie können sich dann überlegen macht ihn das Problem der Definition Stücke was oder macht denn das Problem nichts wenn Sie das vermeiden wollen dann gehen sie unmittelbar über führen das zurück auf das da und die Tatsache dass X 2 er messbar ist das dann auch 1 durch x 2 messbar ist Opern 1 x 2 ungleich 0 ist und das zeigen sie in indem sie überlegen sie konnten die Urbilder bei 1 durch x 2 von so halboffenen der Wahlen von den müssen endlich ist am besten einfach dann müssen sich überlegen es 1 durch x 2 kleiner gleich alt war das können Sie durch Munition um vom müssen müssen aufpassen ist x 2 der großen nur kleiner 0 aber letztenendes auf Mengen die auf und der Messbarkeit von x 2 Ihnen drin liegen und kriege Verknüpfung davon okay Ansicht nach keiner weiß werden mündlich so'n bisschen schreibe nur weiß Integrationstheorie bzw. es Maßtheorie Skript was ich ihnen ins Netz gesetzt habe dann kommt noch genau Einsatz von der Bauarten lösen damit durch es gibt 2 13 Satz Wir haben ein Misstrauen ohne geahnt und X von Amerikanern erklärt diesen weg wir messbar und die Behauptung ist dann sind auch aber die Abbildung die Kleinanleger auf das in vielen der XM von Amiga abbildet also Infineon werden nichts ändern diese Abbildung des an quer messbar genauso das gleiche mit dem zu bringen dann der Limes super wo der Limes inferior ich schreibe es mal mit
Limes fall drüber X in strich darüber Strich drunter XM und das wird es auch der Limes der XM sofern existent dann sind auch alle diese Abbildungen
quer messbar ok das können Sie oder einige von ihnen könnten es auch wieder aus der Integrationstheorie kennen Sie würden Sie also was beweisen okay der Vorschlag kommt das in Scheu schauen wir uns und Bilder von Heidi offenen der an das heißt um zu zeigen dass dieses diese Abbildungen diese numerische Abbildungen wir messbar ist müssen wir nur zeigen dass man in der Form und diese numerischem Abbildung größer gleich als ist in Art reinlegen und wenn sich überlegen wann ist es in 5 von unserer Zahlenfolge größer gleich alt war ja genau dann wenn alle Zahlen größer gleich als was sind das heißt es ist ein Schnitt von allen Dingen die X große gleich als sind und wenn die X N selber messbar sind dann sind diese Mengen alle in der sich mal die Brandt halten damit auch dieser unendliche steht
okay das 1. dann was machen Sie denn so bringen ein mehr genau lässt sich auch das Infineon Zust würden des Supreme über XL ist minus den in vielen über minus X N dann überlegen sich dass der Limes super Rio Limes inferior mit in vielen so prima geschrieben kann und zwar es eine als in vielen vom Supreme um das anderer zu bringen von ihn wie immer und der Liebe es stimmt mit dem Limes super wir über einen existiert er setzt man es Sie müssen nur zeigen führen alles andere drauf zurück also wir kommen nochmal auf Beweise die Integrationstheorie ich glaube ich müsste und Integrationstheorie weiter abkürzen okay ansehen Fragen so weit fragen keine Fragen nein comma zum neuen Abschnitt 2 2 bei geht Bild Maße Umverteilungen jetzt kommt ein Satz der gehört zum Standard oder würde zum stand er bei meiner Einführung in die Stochastik nämlich der das war dazu sogenannte Bild Maß beziehungsweise Verteilung eingeführt wird das 2 14 wir haben Misstrauen Norweger Amiga comma A strichen Abbildung X von ohne gar einiger Strich comma und Mühen was auf an mehr also X ist Abbildung von Onmeda nach und wieder strich die messbar ist und müssen was auf Monika oder auf Art und die eigentliche Aussage ist durch für X von einer Menge Aalstrich es sei gleich Mühe von X minus 1 von sprich das also Mühe wenn Sie das Urbild ausschreiben von der Menge aller und illegalen Großanleger Projektion und egal Art drin liegt nächste gangbar sprich und das der mir ich auch als wir wollen jetzt ein rechteckigen Klammern will man Aalstrich für comma es gibt comma durch diese Bildungs- Vorschrift oder durch diese Definition wird eine Abbildung definierten diese Abbildung ist ein Maß auf comma mehr wird ein Maß das sogenannte Bild als mir geht's auf comma definiert und den Spezialfall dass müde an Wahrscheinlichkeit Smart ist ist möglichst auch Unwahrscheinlichkeit aus mehr ok ich weiß nie ob ich da zum Beweis was sagen muss wird eine zum standen die Einführung die Stochastik einerseits ist wichtiger begriff eigentlich das Bild Maß also wenn Sie wollen kann es nochmal machen aber sonst würde sagen werden sind Einführung Stochastik noch mal okay zwar noch mal es war ein nochmal ich Mehrheitsabstimmung gemacht zur doch niemand gehauen aber nochmal sagte Christen okay was zeigen wir beweise ich fange an wird in mehreren Schritten gefangen war man nicht überschritten 0 das ganze Ding ist wohl
definiert das ganze Ding ist wohl definiert da muss ich mir klarmachen dass das den Definitionsbereich von liegt also diese Menge muss den sein aber das gilt aufgrund des sieht er aufgrund der Messbarkeit von Aids er lebt für eine Menge Aalstrich ausgibt comma XO minus 1 1 comma in also Mühe wohldefiniert x wohldefiniert dafür aber spricht es gibt sprich die die zumindest eines von stressigsten nächste Bedingungen ja was wollen wir für Maß die Maß Werte müssen größer gleich 0 sein das Maß von der leeren Menge mussten wir sein und wir brauchen sich mal die vität warum ist IS-Milizen Aalstrich größer gleich 0 bei mir selbst Kurse gleich 0 ist das nach Definition Müll von minus 1 von comma das größer gleich 0 da Maß 2. zahlen wechselnde wären Menge ja das ist mir von X um minus 1 leere Menge ich exogenes einzelner leere Menge Abbildung oben das der Menges über die leere Menge war nicht Sinn der Menge drin liegt also viel von der Lehre Menge das ist 0 darum immer aus 3. Eigenschaft ich nehme mir ein Strich A 2 Strich und so weiter paarweise disjunkt USA comma dann konnten sie sich x um minus 1 von einstrich exogenes minus 1 102 Strich und so weiter diese Mengen Folge da x messbar ist mit diesem Mengen Folge in und sie machen sich leicht haben die ursprüngliche Mengen paarweise disjunkt sind dann sind auch die was ist Jugend weil wenn Sie jetzt ein und wir haben das in 2 dieser Mengen drinliegt dann mit dem X von Onmeda sowohl in der 1. Menge als 100 2. Menge drin was nicht sein kann weil diese gesteht man mit dem Strich oben dran war der paarweise disjunkt ja was ich jetzt sagen muss ist viel von dieser und den Wechsel dieser ländlichen Vereinigung der strich das soll die ist und somit der einzelnen Experte sein da gucken sich die Definition an das ist mir folgen XO minus 1 von dieser Vereinigung dann nehmen Sie den Satz den wir hatten dass die das Urbild von Vereinigung gleich der Vereinigung der Urbilder ist das war Satz 2 2 an dann verwenden wir diese Vereinigung hier das jetzt aber ist es die Unternehmen aus da mühen Basis ist mir von dieser Vereinigung die Summe wenngleich 1 bis unendlich damit werde der einzelnen Mengen ja und jetzt kommen aber die Definition und wir in den 1. Teil des Satzes fertig der zweite Satz des Satzes ist klar bemühen Wahrscheinlichkeit smartes dann Müll von Norweger gleich 1 wenn sich aber Mühe X 1 Omegas strich angucken das wäre mir von XO 1 von Amiga strich X um minus 1 von und wieder strich so Milliardenhilfen gar der sogleich 1 okay ansehen Fragen so weit wenn ich würde ich an der Stelle 5 Minuten Pause machen zum Tafel wischen und ich mache dann weiter um 3 Uhr 13 Rock okay das Bild Maß von gerade eben definieren wird als Verteilung einer Zufallsvariablen sofort Investitionsbereich immer Unwahrscheinlichkeit Smarts gegeben ist ja man Wahrscheinlichkeit Raum um wieder abgeben wir haben Misstrauen und egal Strich an Strich und die andere Zufallsvariable Ixion Anleger noch und widerspricht der Index X also jetzt mit P anstelle von dem das heißt dann Verteilung der Zufallsvariable X und ich mache mir Sprechweise A Strich gleich 1 dann
sprechen wir davon dazu sagen wir fast sicher oder P fast sicher alle abgekürzt P hyphen F period es mit XNA als die Verteilung einer Zufallsvariablen ist das der Zufalls variabel zugeordnete Bild Maß eine Bemerkung ich habe Wahrscheinlichkeit Raum ohne Räume und Strich comma und egal comma A 2 gestrichen ich habe dann X messbar Abbildung von ohne einiger Strich an Strich und y messbar von einiger Strich an Strich noch und wieder 2 gestrichen 2 gestrichen und die Behauptung ist dann gilt ich könnte mir kommt mir y verkettet mit X an dessen Abbildungen von um illegal noch Amiga 2 gestrichen von der schon wissen dass sie messbar ist ich bilde dazu das Bild also ich habe auf aber da habe ich Wahrscheinlichkeit SPD zugrunde gelegt ich kann dann bezüglich dieser Zufallsvariable von Anlegern und wieder 2 strich das Bild Maß bilden ich kann auch was anderes machen ich kann erst mal die Verteilung von Exxon ankucken die Verteilung von X ist ein Wahrscheinlichkeit Maß auf und gar strich comma O dass du gehöre zu den Messe Raum definiert ist essen strich noch damit ist auch und gar Strich comma B x 1 Wahrscheinlichkeit Raum und ich kann bezüglich diesen vor Wahrscheinlichkeit Frauen wieder die Verteilung von Epson beachten betrachten das ist dann ein Maß ebenfalls definiert auf A 2 Strich sowie dieses Maß auch und die Behauptung es beide Maße sind gleich ok klingt ein bisschen quatschen auf an auf 1. gucken während ab und zu mal in der vor weiteren vorlesen verwenden Sie momentan nicht unbedingt Thomas brauchen wir begründen setzt man das geht relativ einfach ja aber es muss sich zeigen ich habe schon argumentiert beide sind per sehe Maße definiert auf A 2 gestrichen nach Definition also das unbedingten und unmittelbaren Bild Maß und das dessen Bild Maß zum weiteren Bild Maß auf comma also muss ich nur zeigen dass die Funktionswerte übereinstimmen also ich nehme A 2 gestrichen Austritt A 2 gestrichen aus Gruppe die linke Seite an Verteilung von Ibsen geringe x von A 2 gestrichen ob man die Definition an Herr von y geringe X um minus 1 wir machen das Gleiche wie gerade eben also y verkehrte mit X um minus 1 ist ferner Menge ist X um minus 1 von Y minus 1 von der Menge das ist ne Menge aus kriegt A 2 gestrichen das Urbild bei der Abbildung y von dieser Menge im Zimmer messbar von einiger Strichen und wieder 2 gestrichen liegt in der zigmal Gebaren Definitionsbereich also Aalstrich das heißt ich setze hier irgendein Aalstrich ein bildet P von X um minus 1 von diesen comma nach Definition der Verteilung ja das Kriegs von zumindest 1 1 A 2 gestrichen es wäre dass die Definition des X hier oben was Definition von P y Kreneks und jetzt betrachte ich BX leisten fest das Maß wäre Maß von Y nur minus 1 von A 2 gestrichen das wäre Verteilung zu diesem Maß von der Menge K 2 gestrichen hier die Definition von der Verteilung von y zu was PX und das war das was ich zeigen wollte okay Fragen hatten ja Sirenen vielleicht schon aber nicht in mir okay comma zu Definition 2 17 also wie gesagt ich würde später noch nochmal brauchen wir haben es Räume um IAI was ich definiert sie die Produkt zigmal Algebra und zwar nur von endlich vielen das räumen ich setze das Kreuzprodukt der Amiga 1 das schreibe ich ja ich weiß aber nicht und ich ob es mit zum Produkt schreibt sieht zu aus das Herz Frauensekretärin getippten habe nicht gewusst würden Kreuz und will das wieder Ladwig Commander für das Kreuz drinsteht und B als als ich dann gemerkt habe stand schon über die Lunge das ist halte vielleicht ja so ein Kreuz nehmen aber okay ist eine Frage des der Definition der also der von dir das meist Kreuzprodukt wenn Sie es ist lustig nur weil ich war ich mir ernsthafte Bemerkungen ich irgendwie komisch gemeint die aus und wieder gleich 1 bis 1 er dass er
die mal bezeichnete das Kreuzprodukt von diesen Mängeln und dann die Produkt zigmal war was ich suche jetzt mit wohl der Signalgeber auf diesem Produkt ich könnte naiv erst mal sagen ok wir nehmen einfach die Kreuze Produkte von allen Dingen A 1 bis A N wobei der fordern aber es nur es gibt ihn aber stellt sich aus diese Kreuzprodukt den also wachen Sie meinen Fall in gleich 2 Kreuze Produkte von und vielleicht und einst obgleich um wieder 2 gleich R A 1 gleich A 2 gleich B dann würde ich nenne Sigmar gerade versuchen oder suchen auf er Kreuz er also auf er oben 2 und ich wenn die als in dem ich alle Kreuz Produkte von Mengen aus B nehme es ist klar wenn sie ne Menge haben diesen Kreuzprodukt ist oder 2 Mengen haben diese Goldprodukte sind und die miteinander vereinigen also Menge haben Sie vielleicht einen haben Sie hier eine Menge haben siehe unten die vereinigen sie dann gibt es nicht so schönes recht Ecke gibt es kein weiteres Kreuzprodukt mir das heißt es klappt nicht aber stattdessen macht man nennt dieses Mengen System als Erzeuger von der 7 Algebra also Produkt sieht Kipar Kreuz Kreis gleich 1 bis Ende wird definiert als die von diesen Dingen Systemen in dieser Menge erzeugten zigmal gefragt weil sie Produkt Signal geht waren um die Schreibweise hierzu wenn Listenkreuz Kreis I gleich 1 bis 1 Ferrari ist die von und jetzt nämlich alle Kreuz Produkte von den Dingen hat Kreuzprodukt vermengen A I wobei die I aus Skript AI sind in eben diesem wer Kreuzprodukt Omegas erzeugte gebracht und ich mache dann gleicht ohne Bezeichnung dazu nämlich die Bezeichnung des Produkt messe Raumes das ist bereits Kreis die gleich 1 bis n der Dromedare hier als Menge dem das Kreuzprodukt der Amiga ihn als Sigmar geht an dem wir die Produk- zigmal gebe dem ist der so genannte Produkt Messe Raum in der Bemerkung dazu oder Beispiel je nachdem ich meine Bemerkung lassen Beispielen mehr ob sie als Beispiel geführt wenn nicht die Produkt Signal gepaart zu beenden betrachte dann bekomme ich eben BN Plus also Bereiche Sigmar gebar in dem er oben entriß was in die polnische 7 Algebra oben in in die Bereiche sieht Malibran er oben bilde die kleinste mal die die von einem Kreuz Produkten von denen aus diesen sich mal Gipfel erzeugt werden identifiziere dann wenn er oben N Kreuz er oben mit dem er oben entriß M und bekomme dann die entrissen also mit Identifizierung gilt wenn ich Kreuz Kreis der dann komme ich auf den Enden fest und dann sehen Sie andere Möglichkeit einig die Sigmar Algebra der Bereiche Mengen erhoben in einzuführen wer eben das einfache direkte Produkt der zigmal gebrannt er mit sich selber zu nehmen wobei dann müssen Sie halt aufpassen ja wenn wir so ein direktes Produkten machen und von mir aus einer kommen auch ein paar raus also hier speziell wenn Sie zum Beispiel dem er oben 2 Kreuze obendrein machen dann bekommen Sie ab Paare einig ein Lichthupe sind Elemente und des 1. 1 erst Eintrages 2. 2. Einlage sind 3 Toten und dieses Tupel identifiziere ich eben mit dem ganz normalen 5 Truppen an der Stelle okay fragen so weit wenn nicht dann comma zu Bemerkung 2 18 wir betrachten Abbildung X die von ohne Gala und E H I also messbare Abbildungen von noch egal wie bezüglich Margit Brennan und dann mache ich das gleich wieder vollen gemacht haben wir für die Bereiche Signalgebern das heißt ich fasse die Abbildung in der dort zusammen und bekomme messbar Abbildung bezüglich der Q-Tip Produkt Algebra also X geht jetzt von und Nigeria Szene ins Produkt Veronika E Kreuzprodukt X von Honegger ist gleich Ruth und Heinz von Monika bis X den von und wieder und wieder aus und wieder diese Abbildung ist Al strich 3. das Produkt der messbar also wenn das ist jetzt das Allgemeine hingeschrieben von dem was wir vorhin hatten wenn ich eben berücksichtige alsdann allgemeiner wenn Sie mir glauben dass das direkte Produkt von der
Bereichen mal gepaart mit sich selber das einfacher eben das B in der dann ist es die entsprechende Verallgemeinerungen die Begründung ist können jetzt diesmal geben wir verwenden wieder den Satz 2 6 ich am Anfang der Vorlesung zitiert habe das heißt ich muss ein ich Messbarkeit so zeigen nur zeigen das nur Bilder aus einem Erzeuger System von dieser Sigmar Algebra drin liegen als Erzeuger System in wir das was nach Definition des erzeuge System ist nämlich das direkte Produkt von diesen Mengen das heißt ich muss mir angucken was passiert mit ich habe Mengen A I aus trifft A mehr ich habe mir dann XO minus 1 voran dem Kreuzprodukt der man Ali an ja Wasser gibt es wenn Sie angucken was das Urbild bei dieser Abbildung von so einem Produkt der Mengen A 1 bis 1 man kriegt entschied über die Bilder von X 1 bis 6 wenn es richtig also wenn sich überlegen wann liegt X 1 von Amiga bis N von gar in A 1 kreuzt period Übung bis er in den Meyer X 1 2 Norweger müssen einzeln legen ich sei mit einer 2 und so weiter bis 6 in von Amiga muss nach innen drin liegen das heißt hier kommt einfach bis der Schmidt die gleich 1 bis 1 der XO minus 1 der ja aus jetzt und zwar der die oben minus 1 von Ali Russ der zweier XI ist war das heißt das Ganze den es sind rar bei jedem des X vor messbar ist dann sehen Sie dann ist der Schmidt selber damit er mir die Bilder vom Erzeuger System sind in A enthalten damit sind alle Bilder drin wer nach Satz 2 6 es 2 6 von Behauptungen okay mehr Fragen
dazu dann kommen noch 10 war der bemerkten betreffend Fortsetzung von Maßen wer die Aussage ist ein Wahrscheinlichkeit Maß auf diesen Kreuzprodukt ist eindeutig festgelegt durch seine Werte auf der Erzeuger von dieser Signal geht wenn Daten 2 19 also dann wieder Messe Räume und wieder die II gleich 1 bis n ein Wahrscheinlichkeit Maß auf auf dem direkten Produkte Signal getrennt das ist eindeutig festgelegt durch seine Werte auf diesen das ist die und da muss jetzt nur der Zeuge der Produk- zigmal geht beim Schreiben also diese entfachen kartesischen Produkte ja im Prinzip können Sie jetzt versuchen das zu zeigen mit dem was ich bereits schon zitiert habe über die Fortsetzung von Maßen und eindeutige Fortsetzung vermaßen es reicht aber nicht aus und braucht ein bisschen allgemeiner also es folgt entsprechend aus den allgemeinen Sätzen so Fortsetzung eindeutigen Fortsetzungen von Massen der mir hier sogar Wahrscheinlichkeit Maß das heißt auf alle Fälle wäre 7. eigentlich weiß sogar endlich ist und wir haben hier einen Durchschnitt stabilen Erzeuger das heißt wenn mit 2 Mengen aus dem Erzeuger ist auch der Schnitt von diesen beiden Dingen wieder Zeuge drinnen einfach weil es den beiden Einzelkomponenten schneiden müssen da sind die Städte wieder in einzelnen zigmal getrennt hatten und sie brauchen so genannte durch die stabile Erzeuger zur eindeutigen Fortsetzung von außen also wir ich mache Wiederbegründung sie Integrationstheorie gebeichtet und man demnächst mit der ganzen Begründung sie Integrationstheorie auf wird das demnächst aber alles es kommen aber Grenzwert setze Meyer sieht die Konvergenz ihre monotone Konvergenz und dass die sie eilig aus Nahles es kennen entsprechenden Allgemeinheit und das war's dann okay jetzt kann noch zu Begriffen wie gemeinsame Verteilung also in wir hatten in der Einführung die Stochastik vor allem nur Elle Zufallsvariablen betrachtet das neue ist jetzt dass wir auch Zufalls Vektoren anpacken da können wir uns die gemeinsame Verteilung angucken das einfach die Ver Teilung von der gesamten Zufallsvariable und die Rand Verteilungen dessen Verteilung unter den einzelnen Komponenten und das konnte als nächstes alles 1 Begriff der hat in der Einführung die Stochastik einig ausgespart er hält sich natürlich immer relativ natürlich nur zu machen können 2 20 Definition ja wahrscheinlich Heizraum ohne gab Misstrauen und egal wie I und Zufallsvariablen drauf also ich schreibs mal so n x sein um egal die Zufallsvariablen offen Wahrscheinlichkeit Raum Norweger ablehnen wir x 2 gleich x 1 bis x N so wie wir es im vorigen Definition schon zusammengefasst haben oder Bemerkungen und die Verteilung von X heißt dann gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X 1 bis 6 in ja nein die Verteilung p x von x mit p x vor Menge an das ist eben die Wahrscheinlichkeit dass diese ganze Rektor jede Menge drin liegt und da wenn ich jetzt naheliegenderweise aus dem direkten Produkt der Signal geht trifft ihn nein mehr und ich könnt alternativ auch für andere so Kreuz Produkte zu lassen weil wir gerade die Bemerkung hatten das das Wahrscheinlichkeit Maß durch diese Holzprodukte schon eindeutig festgelegt ist wird auf diesen Holzprodukten ein das heißt gemeinsame Verteilung das heißt gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X 1 bis 6 N nein und anstelle des habe ich diese X die sind alle Zufallsvariablen definiert auf dem Wahrscheinlichkeit sagen und gar ablehnt ja natürlich auch der einzelne Verteilung also diese Zufallsvariablen habe ich in PXE und dieses PX sie ist die sogenannte rein Verteilung also PXE mit XII von einer Menge das wäre eigentlich nach Definition die Wahrscheinlichkeit dass X in der Menge drin liegt das heißt Herr von exogenes 1 von und das kann ich auch etwa umschreiben als P von nein muss XII Berlin hiervon x 1 bis x N erlernen kann 1 Kreuz das brauche ich um wie 1 Holz H E Kreuz der Kreuz und wieder N für aus Skript da ihn und heißt Rand Verteilung von Pecs nach heißen 1 Verteilungen wir mehr von Pecs das heißt wir haben Zufalls Vektor hier bestehend aus Komponenten die alle zufällig sind wie die Kommunen sich gemeinsam zufällig Verhalten beschreiben durch die gemeinsame Verteilung wie sich eine einzelne Komponente verhält er sich greift immer für die 1. Kommunen der aus ich mich nur die war ja die 1. Komponente der Rest ist mir egal beschreibt die Rand Verteilung die 1. Komponenten mehr mehr mehr mehr wir mehr mehr werden wir werden wir bekommen zu Bemerkung 2 21 ich mache die gleichen Bezeichnung der Definition da vor die Aussage ist im Allgemeinen ist die gemeinsame Verteilung nicht bereits durch die Rand Verteilung eindeutig festgelegt also Keks ist ohne Zusatz Voraussetzungen anders durch mehr ihre fortan Verteilungen weil die Verteilung durch ihre Verteilungen Änderung nicht eindeutig festgelegt Mitte also wenn sie die einen Verteilung von einem Zufalls Viktor kennen also wissen wie verhalten sich die einzelnen Komponenten zufällig belegt das doch nicht klar die gemeinsame fest wären Sie ihnen Übungen selber sich ein Beispiel konstruieren ja ich glaube ja doch ich habe euch nach 4 Minuten ein Uhr geht der Vorhang glücklich ist die ja die Projektions- Abbildungen Produkt K gleich 1 bis n Monika Cranach und egal wie die Projektions- Abbildungen er da wurde eben klein 1 bis Olga N mehr dort abgebildet auf die Idee kommen Ende die Koalition sah Bildung es klar messbar bezüglich der Produkt Signalgeber und der Produkt und der Algebra A I auf Amiga E war wenn Sie das Urbild von sondern Menge angucken dann gibt es eben gerade über alle die Omegas nur unter ihnen Komponente steht die Menge A E S sind Zeuge System der Produkt gebrannt halten mehr der so gilt EXE ist gleich das Bild Maß von der gemeinsamen Verteilung von X bei der Projektions- Abbildung ich schaffe gerade dort die Begründung nein aber ist die Übungen mehr werden und wie ist sehen wir so rum wenn sich die rechte Seite ankucken dann hatten wir wollen so ein bisschen technische Bemerkung kann oder gesehen haben wenn ich Verteilung von zu von der 1. Abbildung bilden und dann noch die Verteilung dazu von der zweiten Abbildung dann war das die Verteilung von der Verkettung und wenn sich überlegen dass war die Bemerkungen denn kommt 2 16 wenn man sich überlegen was passiert wenn ich bei den Vektor x bestehend aus den x 1 bis x n auf die Idee Komponente Holztiere mehr kommt gerade XI raus das heißt dass es gerade EXE da die NX geben gleich der Abbildung mit viel okay damit ich immer noch 30 Sekunden habe ich schon fertig und und wir sehen uns dann am Montag glaube ich jeder
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