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Bedingte Erwartung Teil 1

Video in TIB AV-Portal: Bedingte Erwartung Teil 1

Formal Metadata

Title
Bedingte Erwartung Teil 1
Title of Series
Part Number
19
Number of Parts
28
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
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Cumulative distribution function Population density Unabhängige Zufallsvariable Abbildung <Physik> Modulform Summation Mass Direktes Produkt Convolution Random variable Physical quantity
Zeitintervall Propositional formula Lebensdauer Set (mathematics) Erneuerungsprozess Convolution Subset Population density Film editing Algebra Negative number Abbildung <Physik> Summierbarkeit Summation Fiber (mathematics) Wiener filter Random variable
Stochastic process INTEGRAL Set (mathematics) Mittelungsverfahren Conditional expectation Expected value Population density Spherical cap Index Zusammenhang <Mathematik> Average Integration by parts Abbildung <Physik> Number theory Summation Antiderivative Factorization Fiber (mathematics) Random variable
Expected value Maßtheorie Population density Zusammenhang <Mathematik> Integrationstheorie Conditional expectation Mass
Restriktion <Mathematik> Maßtheorie Signed measure Uniqueness quantification Propositional formula Integrationstheorie Function (mathematics) Mass Set (mathematics) Mittelungsverfahren Conditional expectation Subset Inversion (music) Mathematics Algebra Abbildung <Physik> Derived set (mathematics) Random variable
Population density Signed measure Function (mathematics) Set (mathematics) Mass
Restriktion <Mathematik> INTEGRAL Uniqueness quantification Set (mathematics) Function (mathematics) Conditional expectation Erneuerungsprozess Equivalence relation Subset Expected value Mathematics Algebra Measurable function Average Measurable function Ecke Energy level Factorization Random variable Social class
Expected value Logical constant Metre Algebra Maß <Volumen> Modulform Set (mathematics) Derived set (mathematics) Random variable
Logical constant Expected value Coarse graining Complementarity Measurable function Set (mathematics) Mittelungsverfahren Conditional expectation Sphere Random variable Derived set (mathematics)
ja begrüße ich Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung mag vielleicht mal die Tür zu über ab mehr wir haben beim letzten Mal waren wir den Begriff der so genannten Faltungen Haltung zwar W Maße P und Q er wir bilden das direkte Produkt von Bier und Co oder Produkt Maß des Grolls Kreis Kreiscup und machen dazu die Geldverteilung bezüglich der Abbildung T von R 2 nach er aber die von XY ist gleich X plus Y alternativ ist die Faltung einfach die Verteilung der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen wobei die 1. Zufallsvariable die was die Verteilung also Teilung erhalten die zweite Zufallsvariable also zahlen Kurses 2. aus ja Nein Formen gesehen für Verteilungsfunktion dichten und so weiter wenn die unabhängige Zufallsvariablen X und Y haben dann gilt für die Verteilungsfunktion H von der Summe ist die schreiben als integrale bei er Verteilungsfunktionen F ist die Verteilungsfunktion von X an der Stelle Thémines y integriert bezüglich der Verteilungsfunktion G von y wenn nun Grosics eine dichte F hat so hat auch Gross seine Dichte und diese Dichte kleiner H von T kann ich Bereichen als integrale er will integral über die Dichte kleine F von X einer Stelle y integriert bezüglich der Verteilung von Y Unfalls die Verteilung von Apps
denn auch noch eine dichte hat dann kann ich das wieder umschreiben als integral über R von Times y x Dichte von Y D Y das Ganze für dann so Prüfungsfragen Nummer 26 also 1 bis
25 haben Sie vielleicht schon auf der Homepage gesehen von uns Prüfungsfragen Nummer 26 geben Sie 2 fehlende Definition der Faltung zweier Wahrscheinlichkeit smarte an welche Formel gilt bei Vorliegen von dichten und das wär mir eine Frage für eine mündliche Prüfung dann müssen sie eben Reformen angeben und was wir jetzt gleichmachen für zur Frage Nummer 27 zeigen Sie sind 1 die 2 und so weiter und dabei nie exponential voneinander verteilt so ist wird sie größer 0 entziehen des Supreme aus allen aus N T 1 plus und so weiter bis bis die entlang gleich die Aussagen von Landrat des verteilt wobei es so der Lehrenden gleich 0 ist und da ich Hinweis zu geben der Hinweis würde wäre man kann das NT gleich K umschreiben als das Ereignis das die 1 plus und so weiter lustig Haarklammer gleich die ist und aber nicht gleichzeitig die 1 plus und so weiter bis die gab es eines klar gleich die ist und das als Hinweis noch die Dichte der Kammerlander in Verteilung gegeben weil das machen wir gleich das für die Prüfungsfrage dazu dann haben wir unabhängige nicht negative den Vorteil nicht negative Zufallsvariablen T 1 T 2 und so weiter das unsere Lebensdauern ist die 1 wenn ich gerade gleich 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 das heißt die Wahrscheinlichkeit was die 1 sollen 2 kleiner als 1 wir haben dieses NT eingeführt wenn die hat gezielt wie viel also wenn ich die das Lebensdauer von Bauelementen betrachte und die Bauelemente und unmittelbar nach dem Ausfall wieder austauschen dann zählt für Bauelemente ich in Zeiten dabei von 0 bis die eingebaut habe also entziehen zur Brennelement in die Summe der ersten n seit langer gleich wobei es so bringen die leere Menge gleich 0 sein die 1 und so weiter dieses Folge der Partial Summen dieses T 1 plus und so weiter was denn das ist der der sogenannte Erneuerungsprozess und dieses NT indiziert mit C aus Plus dass der sogenannte Zivilprozess zum Erneuerungsprozess wenn die selber gibt die Anzahl der Neuerungen im Zeitintervall von 0 bis an werden wer kann sie 1. überlegen was ist es endlich mal gleichen Aussage über die Verteilung und das machen zu können sollten Zufallsvariable sein ist es wirklich Zufallsvariablen ja ist klar es ist essen Werte in der 0 an eventuell noch unendlich ebenfalls und um mir zu überlegen ob sie Zufallsvariable ist muss sich eben überlegen ob diese Ereignisse das NT wir hingewiesen wird K 1 und Wiener in einer 7 Algebra liegen Versicherten Wahrscheinlichkeit Raum und die auf dem diese ganzen sowas variabel definiert sind also NTM ist eine 0 quer wertige Zufallsvariablen das sei ein Mühlenverein endlich fertige Zufallsvariablen denn wenn wir uns überlegen NT gleich K alles Ereignis was entgehen festen wird annimmt das kann ich jetzt wieder umschreiben das T 1 plus T 2 und so weiter bis die kam muss klar gleich die sollen aber diese Summe bis gab es 1 muss das nicht mehr kleiner als die sein also ohne und dann sehen Sie dass das meiner Algebra drin also ohne gab es zugrunde liegende zuvor der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeit zu haben und dass das mir Sigmar drin und damit ist auch die Differenz in period dann Urbild von unendliches ebenfalls drinnen bei NT gleichen endlich das heißt eine solche Partial so müssen klare gleich die sagen also König umschreiben das Vereinigungen wenn aus allen der 1 und so weiter N ferner beistehen jetzt sind diese einzelnen Ereignisse in und damit ist auch der unendliche Schnitt in trennen und dann sehen Sie in der Tat diese Abbildung ist messbar weil wenn Sie jetzt ein zum Beispiel als reale Abbildung aufgefasst setzen Urbild nehmen oder arbeitet reellwertige Abbildungen Entsetzen Urbild nehmen von einer Bereichen Menge Teilmenge von
er dann können Sie dieses Urbild eben umschreiben als Vereinigungen der Urwälder Bilder von allen diesen Einkommen die da wo die Einkommen drin liegen also in der Tat Wärme Zufallsvariable vorliegen jetzt machen wir Aussage über die Verteilung dieser Zufallsvariablen es gibt den Satz 6 22 ist die nächste Anzahl von Lander verteilt so ist in den aus aufeinander T verteilt Oberlander größer 0 ist so SNT die Zufallsvariable entlehnt aus aufeinander T verteilt period für alle T aus bloß und diese Familie Zufallsvariablen NT wir nur dann als so genannter Post Prozess bezeichne sind sogenannter stochastische Prozesse das heißt ich habe Zufallsvariablen die noch mit einem weiteren Index indiziert sind was ich habe Zufallsvariablen hier unten kann ich als Zeit Index sollten weiteren Index indiziert sind im Prinzip würde ich sagen ja ich kann der von Anfang an einigen Zufallsvariablen machen so war ja bisher Abbildungen wo ich eben auch noch dieses Erbe plus in die in des Amiga mit einschlägigen das heißt diese Zufallsvariablen diese Ente ist eine Abbildung von um mir gar nach ja oder quer in dem Fall und das habe ich es für jedes einzelne T also kann ich auch sagen ich habe einige Abbildungen von egal Kreuz ja Plus nach er er dann hätt ich dann würde ich wenn ich es ganz als Zufallsvariable so deuten würde ich noch eine stärkere Messbarkeit Anforderungen machen die hier nicht drin und das hier am Beispiel von sogenannten Wasser Prozess haben Sie Fragen so weit dann comma zum Beweis wie machen wir das also wir haben die T 1 T 2 und so weiter sind unabhängig Ex-Mainzer voneinander verteilt ich will ich rechne mal ziemlich der von den NT gleich klar aus die Wahrscheinlichkeit das entweder gleich klar ist das mache ich jetzt mit der Beziehung dieser eigenes kann umschreiben was Differenz von 2 Ereignissen dieses hintere Ereignis im vorderen enthalten weil wenn sie 1 plus und so weiter bis DK plus 1 kleine leichte ist Politiker sind alle gleich 0 wenn es auch die Summe die 1. paar klar gleich das heißt dieses Wahrscheinlichkeit ist dann gerade die Differenz von den beiden Ereignissen hallo jetzt haben wir letzten Mal oder was wo letztes Mal gesehen Aussage über die Verteilung des von außen unabhängiger exponential von verteilte Zufallsvariablen das ergibt begann Verteilung und zwar mit Kammerlander comma in Verteilung oder gar hier das eine Gamma dann comma K das ist mir Jamal Lander comma gab es 1 von der Dame Verteilung kennen wir die Dichte wenngleich die Wahrscheinlichkeiten schreibende das heißt ich komme aus integralen von minus endlich bis 10 über die Dichte von Kammerlander comma K und dann minus dem integral über minus nennt ist die Dichte von Kammerlander K bis 1 Dichte der Gamer Verteilung also Dichte von exponential dann aber ein andermal EU-Genossen dar und dann haben sie ein anderes und Faktor 1 macht das heißt sie kommen hier auf dem Lande hoch K durch kam minus 1 Fakultät mal x hoch minus 1 mal E ob man das Lamm da XTX wenn es recht weit stimmen Sie zu ja sie Stellensuche vorragend wer das Ganze jetzt mit plus 1 und allerdings nicht von mir endlich nach das Wendische gut mehr das muss ja natürlich auf 0 los wenn Sie ein Zugeständnis klingt gut nicht so viel Ehre zu werden nun ist der okay es nur schwer Leichen noch meine Capes 1 nur noch gab es 1 durch gab es einst war der Tag X ich suche Karte Altiok minus nahm da Ex Felix und das sieht nicht so aus ob diesen Weg gehen könne ja mehr der zweite stimmt auch nicht mehr danke schön bei der 2. ich den einfach kam ein 2. wenn 1. richtig wach okay wenn er das sieht nicht so aus als was integrieren könnte wobei Vakanz im Prinzip integrieren durch partielle Integration wir also Sie leiten den 1. April den 2. hoch aber ich muss es genau anders rum ich mache keine partielle Integration wo ich den 1. oben die Quere den 2. ableitet damit diesen die gerade auskommt das heißt die machen hier ein spricht raus und hier eine Frau dann der gleich ja Island auch gerade durch und auch gar durch Fakultät x x super Frau Strolch ist gleich minus Namen um das man da X und jetzt
sehen Sie was hinten steht im in der Kranken wenn ich mal Frau strich ausrechnen dann komme ich gerade auf das hintere bis auf das minus das heißt das da ist in der Tat minus erforscht Recht und dann sehen Sie wenn ich jetzt partielle Integration mache dann bekomme ich ja integral über die untere Zeile minus Stammfunktion ausgewertet worden den und von den beiden nicht abgeleiteten funktioniere und das integral über die untere Zeile weit hinten gerade wieder weg abgezogen also nicht die Art der Integration von 1. tja mache das heißt ich habe partielle Integration des 1. Integrals wir ja dann fliegt es in die Decke hinter den die Grafik auch weg und es bleibt noch übrig das Produkt der gestrichen das Wessels ja lange Hochkar durch K verwaltet x x hoch Mario minus man X ausgewählte inständigst gleich 0 und Themen X gleich 0 eingesetzt verschwinde das ganze X die eingesetzt wird der C Hochkar durch K man Änderungen und das geschickterweise gerade die Zelldichte von Personal nötig an der Stelle kann und jetzt kann man sich noch überlegen stimmt das für alle K und man sieht eigentlich für K gleich 0 stimmt irgendwie nicht warum stimmt für gleich 0 nicht weil ich da nix ob sie richtig Berater also wenn NT gleich 0 ist eine stimmt doch sogar gleich befinden also NT gleich klar ist wer hat mir viel gar gleichen bestimmt nicht weil er diese Summe kann nicht Kammerlander Kommune verteilt sein also circa aus für Karl Größen Karin N das heißt die müssen im Fall K gleich 0 noch separat untersuchen also uns überlegen was ist die Wahrscheinlichkeit dass Ende gleich 0 ist an da die Wahrscheinlichkeit dass NT gleich 0 ist dieser Ziele Prozess ist gleich 0 nein ja wenn diese Bremen die leere Menge ist das heißt die einzumischen größer als die sein die 1 6 wenn sie aufeinander verteilt das heißt es ist integral von ist wahr unser aufeinander verteilt das heißt es integral von T wissen endlich wir haben aber die Hoffnung dass Sonderthemen Kriterien Stammfunktion das Ministerium das Mandat des bei X X Xtra wissen endlich wenn endlich der Zweck gerade noch ihre muss man natürlich nicht okay tragen so weit also fragen oder sie starren zu müssen unglaublich an aber dennoch noch keine Fragen also diesen nachgerechnet und es kann etwas aufeinander die Verteilung aus es war die gleiche zierliche was aufeinander die Verteilung dieses gleichen endlich muss ich dann ausrechnen weil die ganzen erfolgt Jänner schon so 1 so ich bin fertig und es war mir ja es waren in dieser 3. also müsse für aber ich habe ihn als Prüfungsfrage draufgesetzt und ich habe ja den Hinweis gegeben also der Hinweis steht drauf und die Dichte steht auch drauf und damit können Sie runterrechnen rechnen theoretisch und Sie sehen halten weitere Zusammenhang zwischen der oder Sie sehen einen Zusammenhang zwischen der Ressortverteilung und der Verteilung die Ressortverteilung kann ich auffassen als kommt aus als der Prozess zu Xtra ins Jahr verteilten Wartezeiten also wenn die Kunden gemäß einer exponential Verteilung eintreffen die Zeiten zwischen 2 erkunden dann ist die Anzahl Kunden in gewissen Intervall ebenfalls sofort ab gut nachfragen ok dann comma zum neuen Begriff gibt Kapitel 7 bedingte Erwartungen also Erwartungswert kennen sie alle anschauliche Bedeutung vom Erwartungswert wenn ab Mittelwert gucken anders konnte mit raus bediente Erwartung ist wir gucken jetzt an was konnte Mittel aus wenn wir um das festhalten als in Maschen
beobachteten bisschen Zusatzinformationen haben wir die ändert sich dann der Erwartungswert und das fängt es an Definition oder das Ganze führt offen Definition die völlig abstraktes für die allgemeinen wo man nicht mehr sieht was der Zusammenhang damit ist aber dann erreichen dafür herleiten dann aber die Definition immer wieder modifizieren und am Schluss comma offen Definition nämlich den faktorisieren bedingten Erwartungswert wo am 1. Sie dass es das ist was ich an ich glaube das ist nämlich im Erwartungswert bei festgehalten werden und Sachen ok ich war noch ein bisschen Maßtheorie oder aus Integrationstheorie und zwar bräuchten es Platz 1 Rahden über die möglichen vorstellen werde also was ist bekannt ja man Messe Raum oder gar an ich habe dann ein 2 Maße haben was drauf und nur 7 comma decimal 1 auf an dieses man dieses nü habe eine dichte bezüglich mehr fertigte und das F FSF Funktion von um wieder an ja grüß geküsst bezüglich bezüglich will und das der mir ich mir naheliegenderweise so dass ich sage ich kann Ihnen die Werte von als integral über 11 ausdrücken bezüglich des das Ende für alle klar aus Art das werde ich nie von an ist gleich integral über ja mehr kennen Sie vom der wichtige wie bedeckt Maß ist oder eben sagen was seine Dichte bezüglich der dem Gebäck Maß wenn ich eben den Maß wert schreiben kann heißen integral über die Funktion f bezüglich dem mit was wenn es jetzt angucken dann gibt es eine ganz klare Aussage nämlich wenn die Eigenschaft hat das ist 1 0 Mängel bezüglich Mühe also nie von gleich 0 1 nie von auch gleich 0 also in diesem Falle wird für alle es viel von aber gleich 0 dann ist auch es war gleich 0 und was ich jetzt brauche ist der Einsatz von Rahden über den und der Satz von waren
die also deren Integration wenden dichte vorlegt dann gilt wenn die von gleich 0 dass es immer auch Hilfen war gleich 0 der Satz dekodieren macht Aussage die Umkehrung gilt auch das heißt wenn diese Beziehung Vorbild hielte wenn also immer wenn wir von war gleich 0 ist auch nicht immer gleich 0 ist dann kann ich mir von also schreiben das heißt ich finde eine Funktion f mit dieser Eigenschaft also das ist abstrakt angucken dann sehen Sie dessen Existenz Aussage und sie wissen vermutlich aus der Mathematik Existenz Aussagen sind immer und wie tiefgehend das sind Aussagen sind nicht einfach zu zeigen aber so dazu haben über die nächste Existenz aus in den brauche ich im Folgenden ich formulieren ein bisschen allgemeiner als hier steht allerdings nur für Spezialform von von 1 von Wahrscheinlichkeit Massen bei der Satz vom bedienen vereinfacht ich weiß für die Diener Integrationstheorie waren sie gemacht weiß noch gesehen sehen aber nie bewiesen also finde weißen mal Maßtheorie Skript wenn sie wollen allerdings auch nicht von der Fassung die ich an reicht die Fassung gleich für sogenannte signierte Maße formuliere also wo das Maß ist eine Differenz von zweier Maße das heißt dass signierte Marška auf einmal auch negativ werden ok wir haben Misstrauen und wieder ich ja man endlich das Maß also darauf bezieht das vereinfacht ähnliches maßen wir uns an wir haben signiertes endlich maßen wir auf ja das hat auf das heißt dieses nicht Differenz von 2 endlich am sind und kann es gelte die Beziehung von gerade eben also für alle aber aus aber in diesen gleich 0 ist dann ist die von gleich 0 dann existiert eine integrierbare und zwar bezüglich mündlich Überfunktion es und wieder RB mit der Eigenschaft für alle aus an das nie von Art kann ich schreiben als integral über an das stimmt und es ist eindeutig ist auf der Grenze gleich mit das über alle also mir fast überlebt Gleichheit erfasst und nicht mehr unter das heißt ich muss irgendwie mischen ohne Salz wenn wir Pause und ich mich alles wenn man vielleicht pause mich alles ok vielleicht vor noch kurz es war dazu was aber jetzt ihren wir haben genau die Umkehrung der also wir haben die Umkehrung von gerade eben sie haben gesehen wenn Sonnenlicht existiert dann die diese Beziehung also wenn wir von gleich 0 ist es auch nie von war gleich 0 man spricht da dann davon dass dieses ohne Mühe tätig ist in der Satzung waren über dem sagt es gibt sogar die Umkehrung Umkehrungen diese Beziehung wiederum gilt bin ich ein F und wie gesagt dessen Existenz Aussage nicht ganz einfach zu beweisen brauchen Sie ungefähr 2 vollen Stunden dafür für das Ding aber wir machen sie nicht sondern sie glaube es mir vielleicht ein fragen sind so weit gute mal 5 Minuten Pause zum mischen ich mache dann um 10 Uhr 29 weiter okay wäre ja das was ich noch gesagt habe mache ich noch als Bemerkung dazu dieses es ist eindeutig bis auf etwa Lenz gleich mit fast überall man entwickelt und Entwicklung und dem Boden stehen und und und das sehen sie eigentlich fast weil wenn Sie 2 Funktionen G haben diese Eigenschaft ist eben das integral über AFP Mühe gleich integral über G f dem für alle aber es dann ist das integral über über diese Differenz F minus gegen gleich 0 für alle Mengen und daraus können Sie fordern sehen Sie gleich im nächsten am Ende vom nächsten beweist dass es gleich G wie fast über alles und das Ganze ist die so genannte Rat Nikodim Ableitung von nach nein Kadannikow den Ableitungen da gibt auch Bescheid weiß dass dafür es gleich wenn wir nach dem Willen von wir nach will okay das war jetzt um den die folgenden zentralen Satz hinzuschreiben wobei ich den vielleicht unter Verschwendung von Platz hier hinschreibe damit er unter einander steht es gibt den Satz 7 1 den nein also
was ich jetzt mache dessen Existenz Satz der aus diesen Existenz als darum folgt durch zeigen wenn ich nenne integrierbare Zufallsvariablen habe ich gebe eine und das Signal Algebra vom Definitionsbereich vor dann existiert eine weitere Zufallsvariablen mit gewissen Eigenschaften also wir haben Wahrscheinlichkeit Raum und wieder abnehmen mehr der integrierbare Zufallsvariablen X wir und sind die Arbeit als Trainer die sein kann also von und mit Athena erteilt Becker und ich habe eine und das Signal Algebra C Teilmenge an ich habe mir Sigmar gebar c Teilmenge ab also C ist kleiner als er und dann behaupte ich es existiert eine Zufallsvariablen X von und mit AP nach RB mit den folgenden 2 Eigenschaften mehr wie nicht X Sonnenlicht hat neu mehr und was ich mache ich machen Art Vergröberung von meiner ursprünglichen Sigmar von einem ursprünglichen Zufallsvariablen diese Vergröberung mache ich durch 2 Forderungen die 1. Forderung ist dieses ursprüngliche X war B quer messbar ich vor jetzt für das Z 1. B messbar ist der weil C kleiner als ist es eine Einschränkung also wenn 7 kleinere Signal Gebran Definitionsbereich haben dann wird die Zufallsvariable um die also da muss die irgendwie da die kann weniger variieren Medizin weniger davon mit also 1. Eigenschaft Steam dieses Z ist CBS waren wir werden mehr der und 2 Sterne 11 oder ich dieses diese Verteilung von Z soll was zu tun habe mit der Verteilung von X und was das ist was es zu tun haben soll ja für alle C aus sie aus C soll gelten wenn ich X über sie in die Quere dann soll es das gleiche sein die ich Z über 10. kreieren wir machen und ich mache mir Eindeutigkeit Aussage dafür dieses Z ist eindeutig bis auf weg war Lenz mehr wird den und eigentlich kömmlichen P fast überall schreiben aber da ich eine CD Messbarkeit machen will und das ist P fast überall gleich in die Anderson auch noch CD messbar sein dann muss die 10 Menge auf der sie gleich ist auch noch aus sein das heißt ich kann genauso gut ein gleich macht dann die Restriktionen auf c von P fast überall über ein machen allein ich bin ich gehe fast über machen aber da die beiden Abbildungen oder 2 sich Abbildung der beide die CD messbar sein muss eben diese ausnahmen mehr wo sich übereinstimmen auch noch aus sein alle sehen sich ohne komisch aus zu noch mal was es ist ich habe eine Zufallsvariable gegeben ich behaupte es existiert eine neue Zufallsvariablen die einerseits was zu tun hat der Umverteilung was zu tun hat mit der alten das ist die Bedienung Ihres können sie umschreiben lassen in die geradezu damit Verteilung nächsten sehen Sie dessen Aussage über die Verteilung jetzt ist also die Verteilung von X etwas zu tun mit der Verteilung verzerrt rund 1 und zwar in dem Sinne dass wenn ich über Mengen aus C in die Quere also darüber Mittel dann kommt beides Mal das Gleiche raus und 2. sie ist wie gröber als die alte Zufallsvariable weil ich weil sie hier messbar ist bezüglich der Zufallsvariablen oder bezüglich Signalgebern Polit beigetragen Definitionsbereich kleine ich meine zusätzlich habe es noch älter dichtmachen aber das ist kein großes Ding weil die alte war integrierbar wenn die integrierbar ist dann können diese erweitert reellwertige Werte also plus unendlich minus man dich nur mit Wahrscheinlichkeiten angenommen werden das heißt ich habe sie erst noch von Müllmenge abgeändert habe dort dann mehr L der dicke Zufallsvariable draus gemacht und dann kommt kommen diese beiden Bedingungen rein okay Fragen zu weit weil das unsere technischer Satz in der sich mit dem Satz darum beweisen wird relativ einfach gehen sie werde nicht alt kennen Beweise verletzende steckt anderer einfach dahinter und dann wird das da und Definition der bedingten Erwartung geben wenn vielleicht nach mal darüber was einig ist also bedingt Erwartung und komischer Weise irgendwie dazu was variabel sein die der Messbarkeit zudem gefüllt und in die Krallen ok gut dann können wir glaube ich mal anfangen wer weiß wer weiß nein ich mache das ganz in dem Sinne Rat über dem Ableitung macht ich der Emir mehr einfiele von 10 nach er seit definiert als sie Fernsehen wissen integral über 10 XT bringen und das kann ich umschreiben was integrale bei X plus minus integralen X minus mehr und dann sehen Sie diese integral über die nicht negativen Funktionen sind jeweils Maße und zwar eigentlich sogar endliche Maße weil die ursprüngliche Funktion der in die für das heißt was ich hier habe ist
ein endliches signiertes Maß 1. period und die letztendliche signierte Maß nämlich da weiß man was Snyder oben werden und daraus folgt ist endlich wir sind wird das Maß und was ich jetzt machen möchte ich möchte dieses wie von darstellen als integrale und andere Funktion Z die wobei das dann das nämlich als meine Art Dichte und das hat meine waren über den ableiten zu ja und da muss sich die Voraussetzung überprüfen mit was haben wir hier für alle sie aus sie haben wir wenn die von gleich 0 ist dann ist natürlich auch wie von sie als integrale wird XDP gleichen jetzt wenn ich den Satz von waren die Nikodim an wir werden werden und zwar die Wände mit mir gleich der am und gleich gehen mehr in man kann existiert jetzt ja alle Funktionen ja was haben wir hier 11 die nämlich jetzt Z von und gar nach RB ist die Frage Was ist mein obiger ja man um als Mann und milder aber sichert an den ich ziehe existiert ein Z von und wieder 10 Jahre ab gar C auch RWE er wird mehr werden nein nun haben mehr mit 1. unserer Zeit ist CB messbar ja gut aber in der oberen Schreibweise schon eingeschrieben im und mehr 2. unser Zeit ist integrierbar wir werden kann die der bezüglich des Maß Mindestmaße sein ich P und man sieht mal C also P eingeschränkt auf 10 mehr und drittens für alle C aus C bei sich er meint sie Fernsehen bis gleich integral überziehen Z ist ne eingeschränkt auf C wir das kann ich umschreiben was meint wie Fernsehen meint wie von Ziebart integral CXT P werden und dann bekomme ich hier das integral überziehen Z P eingeschränk- auf 10 und da ja selbst CB messbar ist ist es egal ob ich bezüglich des eingeschränkt auf 10. Kriege oder bezüglich des was eine fiese kleine Sache aber das ist das gleiche die Garzeit DP über C da Z ziel messbar sie erhalten werden ja das machen sich nach dem sich erstmal Zeit als einfache Funktion vorgeben wird vielleicht Indikator Funktionen und das gerade Indikator Funktionen von einer Menge USC dann wäre dieses jemals eingeschränkt auf C das Gleiche wie des Primas von der ursprünglichen Menge dann nehmen Sie Zeit als nicht negativ einfache Funktionen die können dann schreiben was eine im Jahr Kombination mit Mengen die alle aus C sind wenn sie messbar ist das 2. Jahr CD messbar dann nehmen sie Genialität an haben die Beziehung dann dann sitze das nicht negativ Funktionen können das als Grenzwert Schreiben von bezüglich von CD messbaren einfachen Funktionen die period Weise von unten konvergieren mit sind entsprechend hoch und Einfluss als als der allgemeinen teilte legen diesen Prosit alsbald negativ was eigentlich müssen Sie Sonne Beziehungen nur sehen fern Indikator Funktionen die Karte Funktion ja und damit haben wir eigentlich sterben Zeit ist die die Vesper und wir haben auch 2 Sternen diese in die gerade den und habe ich irgendwie integrierbaren Einsatz vergessen einzuschreiben das können sollen ja war das ist da muss ich einen die Rede war zu schreiben wir stellen immer schneller handele und integrierbar wir mehr nein und die sind wir weit aber gleich auch noch und damit haben wir ein ich alles bis
auf die Eindeutigkeit okay Fragen so weit keine Fragen immer mal schnell die Eindeutigkeit zur Eindeutigkeit mehr mehr wir haben wir also was machen Sie zur Eindeutigkeit sie man sie haben 2 solche Funktionen Z 1 und Z 2 dann haben Sie Stern stammen stand starren impliziert denn dann wenn sie für alle C aus wenn das integral über 10 Z 1 DP betrachten dann kommt es in die gerade wird sie seit 2 die heraus für 2 CB messbare Funktion dabei ist bei die 3 sollen ja gleich dem integral über XDP in Sigrid über die Menge C sein wie ich die Differenz dann sehen Sie für alle C ausziehen sie habe ich in gerade über sie fällt 1 minus Z 2 IBM ist die Differenz der Integrale ist gleich 0 werden mehr wir machen mal andere ich rechne analoge Folgerungen daraus folgt jetzt wenn ich spezielle C als Menge Einsätze wohl Z 1 größer als der 2. dann komme ich auf integral über Z 1 Minister 2 mal Indikator vom Ereignis das Z 1 minus der 2 größer 0 ist der Pflege das ist ja gerade das integral über Z 1 Minister 2 größer 0 mehr Z 1 minus der 2 ja das ist dann die 0 nach oben der in der Grand den ich hier habe ist jetzt aber größer gleich 0 weil entweder der Indikator ist gleich 0 oder aber der 1. Faktors größer gleich 0 der Indikator gleich das große gleich 0 dann wissen wir schon wer eine Funktion über ganz arme gar integriert gleich 0 ergibt und der nicht negativ ist dann muss der in die Grand fast sicher gleich 0 sein was daraus folgt es wird 1 minus Z 2 mal 1 hat 1 Minister 2 größer 0 ist gleich 0 man fast sicher also bekomme es auch für kleine 0 weil ich mich erst noch dann 7 fertig danach gewinnen Rechnung guten Tag einzurichten mehr Pollok im Angebot wir haben und und und wir ja und damit ist ein Z 1 minus der zweimal Indikator Funktion das Z 1 Mini Z 1 ungleich Z 2 ist die fast sicher gleich 0 ja aber damit muss Z 1 gleich Z 2 fast sicher sein also daraus folgt ist ein Zeichen setzt ganz sicher okay tragen so weit wenn man jetzt noch mal langsam Sie wollen an welcher Stelle hier haben also was ich jetzt hier gemacht habe sie Frage was ich hier genau gemacht habe ich habe ihren integraler ganz umgegangen geschriebenes rechtlichen unnütze aus dieses integral ist eigentlich oder diesen ist das gleiche wie diesen die gerade das im Prinzip egal an diesen diesen diesen gerade so definierte und jetzt bezeichne ich das als meine Menge ziehe und was Sie argumentieren muss ist diese Menge C muss in das Sigmar gebar Skripts die den drin liegen das tut sie aber bei Z 1 und Z 2 als CD messbaren genommen sind diesen Übergang an dem Grenze zu schon hier vorne gemacht werden an der Stelle also hier muss ich in einer machen damit hat ich das da jetzt nicht nur bezüglich des eingeschränkt aufzehren Integrati einen auf C soll bezüglich an beliebigen integral nein weitere Fragen also was er bisher gemacht ich hatte den Einsatz hingeschrieben ohne Beweis der Wahrung wie schwieriger raus war einigermaßen plausibel 1 Existenz ich habe ihn dann daraus eine Folgerung hingeschrieben die irgendwie komisch aus der Gericht zu und ich habe mir weiß gemeint gemachte genau so komisch aus allen also war nicht und das andere und der Hammer ist jetzt kommt im gleichen Stil noch die Definition dazu und dann überlegen uns noch ob sie vielleicht nicht vielleicht nicht doch noch Fragen haben weiter mehr mehr also leider ein Prinzip denken können Nation zum komischen Satz aus den Beweis sieht man dann was der komische Satz bedeutet aber dummerweise war der Beweis genauso komischen und das sieht leider nichts dran ach so ich habe noch gerade eben eine Sache vergessen ich habe ihren P fast sicher gezeigt ein ich wollt ich an Restriktionen P eingeschränkt auf C fast sicher zeigen das aber das gleiche weil Z 1 und Z 2 CB messbar sind als ich werden von immer wieder zwischen diese Restriktion sehen wir fast sicher und mir fast sicher hin und her wechseln was nicht ausmacht bei bei messbaren Funktionen ich macht es gleich weil ich da oben von dieser Zufallsvariablen wie wir da oben den Satz drin
haben vielleicht nicht mehr die einzige Zufall die einzelne Zufallsvariablen sondern die ganze Äquivalenzklasse als er bediente Erwartungswerte Premiere und da macht es dann Sinn dieses Restriktion CP fast überall zu verwenden weil ich dir nur er auf 0 Mengen Bezüge in die meine C drin sind drin sind ändern möchte ich auf andere Mengen was ich möchte die Messbarkeit und wir halten okay es gibt Definition 7 2. wir haben Wahrscheinlichkeit Raum um wir haben ihn war Zufallsvariablen X von Olga die nach Art der Weg wir werden das werden werden wir werden Version wir haben es Signal Algebra C Teilmenge verwendeten die Äquivalenzklasse der Zufallsvariable Z wir werden also etwa ins Glas der im oberen Sinne also im Sinne von dem Satz oben also im Sinne von diesen Restriktionen CP fast überall der Zufallsvariable Z von der ablehne RB period oder auch ein wird verpassen an dieser Ecke Lenz lassen das heißt bediente Erwartungen also schreibe dieses oder ein Repräsentant nicht Hinweise Platz aus heißt bedingte Erwartungen richtig von X bei gegebenen C mehr handeln und und die Schreibweise dafür der Erwartungswert X geben 10 und also wie wird mir eben wie so oft in der Mathematik die grenzt das mit einem ihrer Vertreter identifizieren das heißt ich will nur von der Funktionen aus dieser Ecke lasse würde ich auch schon als bedingt Erwartung von X bei geben Sie sprechen jetzt könnt ich öffnen Robien ob ich auf die Seite projizieren kann weil wenn ich Sie jetzt frage ob sie Fragen haben behaupten Sie sicher Sie haben keine aber ich habe ein Stoppschild mit gepackt wer eingeführte Begriff ist schwierig bitte fragen Sie sofern etwas unklar ist und das nicht unklar ist kann ich seinen bei der also fragen Sie mal weil die Frage war warum ich hier eine Art Querweg wir zulassen warum ich nicht nur RB zulasse Jahr weil eben manchmal Einwendungen notwendigerweise oder automatisch er Querweg für auftaucht ja zum Beispiel von diesen Haus sofort das Gesehene diesem Ziel Prozess zum Erneuerungsprozess der Wörthersee sie eigentlich erklärt er dich und ich das ausschließen würde dann wäre es eben weniger allgemein aber da integrierbar ist kommt sowieso nur mit Wahrscheinlichkeit 0 vor aber um eben vorher bevor ich den bedingten Erwartungswerte bildet vermeiden Sie müssen dass ich da erst mal das Ding reell wirklich machen muss deswegen schreibe ich gleich allgemein okay gut weitere Fragen die Frage ist ist der gewinnst lasse die unten steht die der Zufallsvariable zählt der Zufallsvariablen Z oder die der Integrale über diese Zufallsvariablen nein es ist die der Zufallsvariablen das das heißt unser Bedienter Erwartungswert ist der See eine Zufallsvariable und eine Quelle ins Klasse von Zufallsvariablen nein ja frage sie bestehen sie nicht weil der sowohl der hat uns aber früher immer ein Wert ich würde sagen es ist wie bei Trippel X wir sind beim nächstkleinere solle also geht er also es ist dann ich gebe vollständig zu werden sie am falsch nicht gut das Problem erkannt mehr ist es ganz komische erwarten aber früher Mittelwert und es ging es eine Zufallsvariablen das versteht man so nicht in dem Sinne eines Mittelwertes eine das kommt aber später und wir werden später bedienen also ist die Frage was hat sich hier ein späterer dich einsetzen Zufallsvariablen er die zigmal Gefahr die von einer anderen Zufallsvariable erzeugt wird das heißt die kleinste sieht Algebra die wäre der bezüglich dieser andere Zufallsvariablen messbar ist sodann Erwartungswert von X gegeben andere Zufallsvariablen bis in sein wird immer noch als Zufallsvariable auskommen allerdings würde wäre dann so deutbar sein dass wir sagen der Wert bei also wenn wenn sie klein und wieder einsetzen dann hat uns irgendwann von O Meghan Wert und dann kommt der Mittelwert raus als hier als zufälliger wert oder als Wert für dieses und gab den das X 1 wenn y diesen wer von Amiga annimmt und später werden wir noch weitergehen nach Weihnachten ich wird genau auf Werte von Zufallsvariablen bedienen das heißt ich werde mit Dingen Erwartungswert von X gegeben groß Y gleich wird von kleinen bilden und das wird es sein das was sie sich vorstellen also der bedingte es der der Mittelwert sein fertig sein wenn große Psion in der kleinen sind nur um des ganzen oder um die ganzen Eigenschaften herleiten zu können bietet sich eben diese abstrakte Definition an ok noch Fragen vielleicht noch im rechten Teil noch keine Fragen stellte der linke Teil war schon ganz gut vertreten also fragen sie wollen fragen was mir gute Frage werde sich stellen kann da das ist ihre Aufgabe ganz einfach ist es nicht mehr wir können ja der Prüfung fragen Was soll ich antworten aber was genau wollen Sie jetzt hören Herr Kohl eine gleiche das Ganze der würde
also können darauf hinaus gehen also es entscheidende waren da diese beiden Bedingungen die wir haben wo die alles eine war die Messbarkeit die Messbarkeit das war eben bezüglich der kleineren zigmal Algebra und unbeschränkt automatisch die Funktion ein alles entspricht also wie Sie sehen wenn ich hier zum Beispiel jetzt eines einzigen Algebra gerade die Lehrer Mengen und mit einer einsetzen würde dann müsste die Zufallsvariablen konstant sein und dann werden wir wahrscheinlich beim nächsten mal als Beispiel sehen dann kommt gerade aus der aber diese Zufallsvariablen dient als Konstanten Wartungs- sehen Sie ich auch schon fast weil damit die Zufallsvariable konstant diese variables konstant dann setzen sich hier ganz um wieder ein 14 setzen sie und wieder 1 den Signalgeber und ist Rindern das integral über und Jäger XDP der Erwartungswert von X soll gleich das integral über diese Konstante seines integral die Konstante ist die Konstante das heißt die übersandte muss Wartungsvertrag und das 2. hier wird eben zwischen den zur Funktions- werden von Zeit und den Funktions- werden von X besteht diese Beziehungen das wenn Sie über die Menge aus 10 Metern dann sehen Sie kein Unterschied rein nein ok vielleicht noch eine Frage bevor ich weitermache dort auch noch ok die Frage ist warum heißt diese Rate gediehen diese Funktion in einer Art und über den Einsatz andere über den auftaucht Ableitungen von dem Maaßen mir bezüglich ja ich habe ihn Freunde Formen runterschlagen aus dem Skript ich hätte auch so was schreiben können also Defi nach der Mühe könnten erstmal Defi nachdem wir ableiten und dann den Dill nach die mir ableiten solche Formen werden zum Beispiel und damit können Sie sagen ja der gelten so analoge Formen die aber Ableitungen und der das solche Formen gelten das das sind so also ganze so Sachen wie werden X nötigte der habe dann können Sie es integral über H von X oder H A vom kleinen Hafenklang XDP x 1 x umschreiben als Hafen klein x x F von X X und dann sehen Sie da kommt gerade zum Produkt von den beiden Sachen aus aber so richtig war und dessen Ableitung sein soll was es wirklich mit ableiten zu tun hatte sehe ich dass er auch nicht Land okay mir scheint sie haben keine Fragen mehr oder sie wollen keinen ausspucken aber immerhin wir hatten ja einige dann könne nur noch ein bisschen ok was habe ich hier noch ja an sich haben schon paar mal gesagt kam auch schon mal drauf dieses dieser bedingt Erwartungswert von XC ist eigentlich so lange eine ganze Menge von Zufallsvariablen aber wenn wir nur ein Repräsentantenhaus der WLANs lassen denn ist eine einzige zu versorgen ab alles nicht mehr so wie bisher das ist irgendwie in konstanter werde gehen wir haben in Natur wir werden
wir könnten mehr mit und wir können dieses EX gegeben sie als eine Vergröberungen der Zufallsvariablen X auffassen und jetzt kommt noch eine Bemerkung werden also aus dem Satz folgt unmittelbar dieses EXC ist ja nichts anderes wenn ich die waren Ableitung von dem sie bezüglich P eingeschränkt auf C bilden mit unserm von C war das integral über 10 x der Blick alles habe ich ich gemacht dann kommen Beispielen in den Himmel 1. triviales Beispiel wenn der C gleich an den also 10 ist die gleiche Signal bezüglich der auch X messbar ist was kommt dann raus was bedingt Erwartungswert also vielleicht durch die hintere nochmal hochschieben weil ich habe ich die beiden Bedingungen schon weg gewischt also wir hatten ja ja ich habe so wie weggewischt also was wir als Eigenschaften bräuchten von dieser neuen variabel Z 1 CB Messbarkeit und das integral über Mengen C aus sie von ZIP soll das gleiche sein integral über X gegeben wenn Sie jetzt vielleicht aber das kommt bei mir aus da kommt wieder X aus genau zwar noch ein Unterschied dieses wird in der Wartung soll wird sollte der wirklich sein das heißt Sie müssen's essen weil auf der 0 Menge wo wo X denn wer plus oder minus unendlich annimmt abändern das heißt da kommt man XP was sich daraus und die Begründung wäre ja ist klar dieses X erfüllt ja die Messbarkeit Bedingungen weil es ist ja oder ABBA messbar also es muss soll ab dem 1. seines Lebens ist auf eine mehr abändern und es dafür natürlich die integral den werden 2. Trial Fall der von gerade eben wenn ich C gleich jeder Menge um übersetzen mehr ja habe ich schon gesagt was kommt dann aus kommt Erwartungswert Russen und ich auch wieder fast sicher oder sehr gut und der Gründung dazu dieses EXC soll ja sie dem messbar sein die mehr und deswegen SDXC konstant wir werden und dann sehen Sie integral über ohne gar nix geht mehr sondern gleich integral geräumiger E x gegeben sehr BP sein daraus folgt die behauptet weil damit dieses integral also das da wären die konstante mal integral und DP was gerade die Konstante der und was ich jetzt an ich gerade nachgerechnet habe ist wenn Sie behaupten Zufallsvariable ist dann muss es die Konstante sein da ich annehme weiß einigte Existenz Aussage Uneindeutigkeit Satz Satz hatte Hetze einig auch Bild und machen ab sofort so dass ich eigentlich zeige diese Konstante Funktion erfüllt die Bewegung aus dem Satz diese Konstante Funktion es reell werde ich dies messbar und sehr für die integrale dienen wir sehen sie unmittelbar bald integral die leere Menge über X oder über eine Funktion des Balles mal gleich 0 und sie gerade mal ganz raus gesamten Raum ergibt eben hier auch den Erwartungswert die es ok das war noch einfach comma zum zentralen schon interessanter wir machen C gleich die von einer Menge B erzeugte Signalgeber die muss enthalten leere Menge ohne gar die Menge B und musste sich mal die Wahl sein also ich brauche leere Menge und da ich brauche B und damit ich jetzt das Signal die paar brauche auch ich um das Kompliment von Fernsehen oder habe auch ich es Kompliment und die auch noch wobei nur kleiner beliefern die kleine 1 wir ja wir sehen die CB messbaren Funktion aus wenn ich diese Bilder nein sie nehmen maximal 2 Werte an ein auf Bierlein noch die Komplement also müssen konstant sein auf der noch kommt dann zwar noch B Kompliment weil so viel von dem einzeln wird muss ja in der die leere Menge um Gabi oder wie kommt man zu das heißt sie sehen ich habe einen Fall einiger ausgehen ich habe einen Fall ohne gar nicht ausbilden mehr und dann ist die Frage was kommt da aus na ja bei Amiga aus ich Mittel 1 x x x über B und Teile der nur P von Bell und bei ohne gar nicht ausgehen natürlich Ex-OB Komplement ein Teil der durch die Form des kommt damit wurde und das Ding hier könnten wir jetzt noch einführen als elementaren bedingten Erwartungswert von X gegeben B das heißt Mitteln dieses X über die Menge den auch ja vielleicht noch mündlich wie sehen wir dass das stimmt was ich dann geschrieben habe also die zeigen Sie das werden haben Mahnung aus ok also die an des Sie machen es so dass die prüfen die Bedingungen von den Satz nach das waren 2 Bedingungen die eine die Messbarkeit die Messbarkeit ist klar aber die Funktion der konstantes auf Bier und die Komplement und das zweite den die gerade gingen und da müssen Sie jetzt eben selber integrieren einmal über die leere Menge einmal über warum über Biologie Kompliment über die leere Menge ist klar über B und D Kompliment rechtlichen beim nächsten Mal vor das genau richtige auskommt und dann kommt aber auch das Richtige aus wenn sie über ganz ohne gerettet werden und damit einzigartig da bin ich für heute fertig und wir sehen uns dann am Donnerstag
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