Der Lechtenfeld ist in Korea. Insofern bin ich jetzt wieder da. Wir schieben ein Thema zwischen so halb, also das steht im Skript drin, auf einer Seite. Ich habe es ein bisschen ausgebaut. Und es ist

eigentlich die Fortsetzung von dem, was ihr letzte Woche gemacht habt. Letzte Woche, soweit ich informiert bin, war ja Super-String-Theorie mit Verti-Supersymmetrie, aber wir machen jetzt das Ganze für Raumzeitsupersymmetrie. Also heißt auch Green-Schwarz-Formalismus.

Also was man beim Morgenniveau Schwarz-Formalismus rauskriegt, das was ihr letztes Mal besprochen

haben solltet, ist ja, dass man das supersymmetrische Spektrum erst nach GSO-Projektion bekommt. Und wenn wir jetzt dringend mit Raumzeitsupersymmetrie betrachten, haben wir den Vorteil, dass wir keine Projektion machen müssen, sondern gleich ein supersymmetrisches Spektrum rauskriegen. Also bisher war das ja so, wir hatten diese Felder, also die heißen

Xμ von tau und sigma. Tau und sigma sind die Worldsheet-Koordinaten, Xμ sind dann Koordinaten in der Raumzeit. Also das Ganze geht hier vom Worldsheet in die Raumzeit ab.

Ja und diese Felder hier sind bosonisch. So und die Idee ist jetzt, also die Idee in

der letzten Vorlesung war, man nimmt sich fermionische Koordinaten auf den Worldsheet. Die Idee ist jetzt, man nimmt sich sozusagen zusätzliche Felder, die auch in die Raumzeit abbilden, die dann aber fermionisch sind. Also das heißt, man macht eine Erweiterung und

zwar nenne ich die jetzt theta a. Die hängen wieder von den Worldsheet-Koordinaten ab und die Worldsheet-Koordinaten bleiben auch so wie sie waren, also bosonisch in dem Fall. So das geht ja auch vom Worldsheet in die Raumzeit und ist jetzt aber fermionisch.

So das was man rauskriegt, die Koordinaten hier, also man hat jetzt bosonische und fermionische Koordinaten, die leben dann im sogenannten Superraum. Werden wir hier nicht weiter besprechen, ist aber erstmal nur die Idee. Also was wir uns jetzt angucken, ist erstmal

die Stringwirkung, die man mit dieser Erweiterung hinschreiben kann und dann natürlich auch die Symmetrien, die die Wirkung hat. So dann gucken wir uns an,

welche Stringtheorie-Typen wir hier rauskriegen. Ja und dann am Ende quantisieren wir das

und gucken uns das Spektrum an. Also zunächst mal die Wirkung. Das was wir in der Vorlesung

ganz am Anfang hatten im Skript, das war ja die bosonische Stringwirkung, lief auch

unter Polyakov-Wirkung. So und das Ganze sah so aus. Ich nenne die mal erst bosonisch.

Die hat hier erstmal ein Vorfaktor und dann integral über die Worldsheet-Koordinaten. So also man hat hier die Worldsheet-Metrik drin und dann Ableitungen über die

bosonischen Koordinaten. Jetzt wäre die Idee, wo ich ja gesagt hatte, wir hatten vorher bosonische Koordinaten, dann nehmen wir einfach fermionische Koordinaten dazu. Ja, dass man die jetzt in irgendeiner Form einfach damit dranschreibt als neuen Sommanten oder so. Es stellt sich aber raus, wenn man das einfach so naiv macht, dass die Wirkung nicht die Symmetrien hat, die man haben will am Ende. Und ich werde

das jetzt so machen, ich schreibe euch einfach die Wirkung hin, die die passenden Symmetrien hat. Ich leite die hier nicht her, weil das dauert ewig. Dann gucken wir uns einfach an, dass sie die Symmetrien hat, die sie haben soll. Also supersymmetrische Erweiterung. Die heißt jetzt S und besteht aus zwei Teilen und zwar S1 plus S2. Und die

Teile sehen so aus. Also zwei Teile, Zeichenerklärung kommt gleich. Zunächst

mal hier habe ich eine Größe eingeführt, die heißt Pi-Alpha. Die hat eigentlich zwei Indizes und zwar Alpha und Mu. Und das ist einfach die Ableitung von der bosonischen Koordinate minus noch ein Ausdruck mit fermionischen Koordinaten dran. So, jetzt

also Zeichenerklärung, was bedeutet der ganze Kram, den ich hier angeschrieben habe. Wir haben zunächst mal hier diese Tetas drin, mit einem Index 1 oder Index 2. Das

sind Spinoren. Und zwar haben die einen großen Index A und eigentlich haben sie auch noch einen kleinen Index. Ich sage gleich, was die Indizes bedeuten. Das sind also erstmal fermionische Koordinaten. Also genau die Koordinaten, die ich da oben angeschrieben

hatte, als Erweiterung. Und das sind auch gleichzeitig Raumzeitspinoren in zehn Dimensionen. Ja, ich kann auch mal komplett umsortieren. Kann man das hier unten noch

lesen? Okay, also die Tetas sind Raumzeitspinoren und haben zwei Indizes. Und ich hatte ja gesagt, der Index A hier, der nimmt in der Wirkung die Werte 1 und 2 an.

Also A läuft eigentlich allgemein bis zu irgendeinem Wert n. Und das ist der Susi-Multiplat-Index. Also der gibt an, wie viele Spinoren wir hier drin haben. Wir werden gleich sehen,

dass wir nur n gleich 2 Susi haben können. So, und A ist der Raumzeitindex,

allerdings für Spinoren. Also der bezeichnet dann die Komponenten der fermionischen Koordinaten in der Raumzeit. So, dann hatten wir hier in der Wirkung, genau wie oben, noch das H-Alphabet da drin. Das ist einfach die Wolschigmetrik. Okay, dann haben wir

wieder Gammas drin. Gamma sind wie vor zwei Wochen Dirac-Matrizen. Und wir haben auch

immer noch bosonische Koordinaten, die heißen nach wie vor xµ. Okay, µ läuft

von 1 bis D und ist auch ein Raumzeitindex, allerdings für bosonische Koordinaten. Und wir

haben noch ein Epsilon drin. Epsilon-Alphabet, das ist also wie gehabt, ein antisemitrischer Tensor. So, ja, also die Erweiterung ist hier jetzt so ähnlich wie bei der Wolschig-Supersymmetrie,

also dass man erstmal einfach, wenn man sich das Pi hier nochmal anguckt, das ist ja erstmal einfach eine Ableitung der bosonischen Koordinaten. Und dann ist hier noch mit etwas drumrum eine Ableitung von fermionischen Koordinaten drin. Und wenn man das einmal genau ausschreibt,

sieht man, dass der erste Term im Prinzip nur dieser Term hier aus der bosonischen Wirkung ist plus noch eine Ableitung von fermionischen Koordinaten drauf addiert. Und dann kommt eben noch ein weiterer Term dazu, den man eben so schnell nicht erklären kann. Ja,

aber wir können uns angucken, welche Symmetrien jetzt diese Wirkung hat. Du meinst hier

vorne, ne? Das ist glaube ich eine Konventionssache. Müssen wir mal gucken, aus welchem Buch das

kommt. Spielt aber auch keine Rolle für die Symmetrien. Gut, also dieses Ding hier ist jetzt zunächst mal invariant unter globalen Susi-Transformationen. So, das heißt,

wir variieren die fermionischen Koordinaten, also Delta Teta. Ich nehme jetzt erstmal nur den Susi-Index, den Raumzeitindex nehmen wir erstmal nicht mit. Aber man sollte nicht vergessen, dass das Ding eigentlich noch einen Raumzeitindex hat. So, das soll gleich sein

Epsilon A und Epsilon A ist ein konstantes Binor. So, und wir variieren die bosonischen

Koordinaten. Und zwar soll Delta X gleich I Epsilon quer Gamma Min Teta sein. Wobei hier über das A summiert wird, über das Große. So, um zu prüfen, dass die Wirkung

invariant ist unter diesen Transformationen, variiert man die hier unten und setzt dann die Transformationen ein. Und es stellt sich heraus, dass erstmal alles verschwindet, dann sind da ein paar Randtherme mit drin, die verschwinden auch. Es bleibt aber ein Term übrig. Also einsetzen die Wirkung. So, und dieser Term sieht so aus. Er ist

proportional zu Epsilon quer Gamma Min. Und dann nimmt man einen antisymmetrischen Produkt aus drei Spinoren und zwar sieht das so aus. Und ich habe hier einfach

diese Psi eingeführt, um den Index besser schreiben zu können. Das Psi ist eigentlich nur die Ableitung von dem Teta. Das ist ein bisschen kompliziert aufgeschrieben. Also Psi 1, Psi 2, Psi 3 ist einfach nur Name für Teta, für Teta Strich und Teta Punkt.

Also Ableitung dieser fermionischen Koordinaten nach Tau und nach Sigma. Und man schreibt das so, damit man hier die Antisymmetrisierung schön kompakt aufschreiben kann. Ja, und es stellt sich dann heraus, dieser Term hier, wenn man noch ein bisschen damit rumrechnet, verschwindet allerdings nur in vier speziellen Fällen. Und diese Fälle sind jetzt spezielle

Dimensionen der Raumzeit. Also zunächst mal für D gleich 3, für D gleich 4, für D gleich 6 und für D gleich 10. Und zusätzlich müssen die Spinoren in

diesen Raumzeitdimensionen noch spezielle Bedingungen erfüllen. Und zwar braucht man hier Majoranaspinoren, also ja, diese Spinoren hier, die Fermionen. Also die sollen hier Majorana

sein. In diesem Fall hier sollen sie Weihel sein. So, also in den ersten beiden Fällen

müssen sie Majorana sein, hier müssen sie Weihel sein und hier müssen sie Majorana Weihel sein. Also nochmal. Also ich kürze das hier mal mit M, W ab. Also Majorana Weihel.

Das heißt, die klassische Theorie mit Raumzeit-Subersymmetrie existiert in diesen

Fällen. Stellt sich aber raus bei Quantisierung, dass nur ein Fall übrig bleibt und das ist D gleich 10. So, wenn wir uns jetzt nochmal die Wirkung hier angucken. Ich hatte ja gesagt,

dass der erste Term im Prinzip nur eine direkte Erweiterung der bosonischen Wirkung ist, dass man aber ja diesen S2-Term hier noch ranhängt, also diesen Term hier. Jetzt könnte man sich ja denken, also man kann erst mal nachrechnen, dass allein der S1-Term,

also der hier, dass der schon invariant ist unter den globalen Susi-Transformationen da oben. Das könnte einen ja auf die Idee bringen, das reicht im Grunde schon. Also man braucht nur den ersten Term, dann hat man schon eine supersymmetrische Wirkung. Aber stellt sich jetzt raus, dass der Term S2, wenn man ihn dazu nimmt, dass dann die Wirkung insgesamt noch eine andere Symmetrie erfüllt. Ja, und zwar ist das innenvariant unter lokalen

Susi-Transformationen, wird auch als Kappa-Symmetrie oder als lokale fermionische Symmetrie bezeichnet. So, um das zu sehen, definiert man sich jetzt erstmal

einen Projektor. Den nenne ich p-Alpha-Better, also Alpha-Better, jetzt wieder Worldsheet-Indizes und plus minus. Und der ist ein halb h-Alpha-Better plus minus epsilon-Alpha-Better durch Wurzel h.

So, was der macht, der nimmt zweidimensionale Vektoren und projiziert die auf ihren sogenannten antiselbstualen oder selbstualen Anteil. Also je nachdem, ob man hier ein plus

oder ein minus hat, sind die Anteile selbstual oder antiselbstual. So, den Projektor brauchen

wir gleich. Wir gucken uns jetzt aber erstmal eine neue Susi-Transformation an. Und zwar erstmal variieren wir nur die bosonische Koordinate, also delta x mu soll gleich

i theta quer a gamma mu delta theta a sein. So, das kann man jetzt erstmal in die Wirkung hier unten wieder einsetzen, ein bisschen rumrechnen. Und es stellt sich dann raus, dass die Wirkung mit dieser Variation, also das delta theta, lässt man erstmal

stehen, kriegt eine Form, in der diese Projektoren vorkommen. Und zwar sieht das ungefähr so aus. Also die Variation ist dann proportional, immer noch integral, die Quadrat sigma. Und dann kommt hier ein Ausdruck mit p plus. Und dann kommt noch ein Summand mit p minus drin. Okay,

noch ein bisschen Beiwerk drumherum. Und da ja diese p plus und p minus,

wie sie hier unten definiert sind, Projektoren sind und die Räume, auf die sie projizieren, auch sich nicht vermischen. Sieht man jetzt, wenn man hier für die Variation irgendwas wählt, was proportional zu dem anderen Projektor ist, dann wird das ganze Ding hier null. Also wenn das hier proportional zu p minus, dann steht hier p minus p plus, das projiziert

alles raus. Und hier hinten p plus p minus projiziert auch alles raus. Also die Variation verschwindet, wenn das delta theta quer eins proportional zum p minus Projektor ist und das

delta theta quer zwei proportional zum p plus Projektor. Genauer kann man das jetzt noch mal aufschreiben, und zwar folgendermaßen. Also wir setzen delta theta eins quer gleich kappa

eins quer p minus und delta theta zwei quer gleich kappa zwei quer p minus. Und diese

Kapas hier sind erstmal Majorana-Weilles-Binoren. Erstmal beliebig. Gut, und wenn man das hat,

dann kann man sich durch ein bisschen umformen und hin und her schieben, eine Susi-Transformation definieren, die dann also zu dieser Transformation da oben von den bosonischen Koordinaten gehört. Und hier dann die Form delta theta a, wieder mit ein paar Vorfaktoren.

Und hier hinten steht dieses kappa. Kappa ist ja jetzt ein Spino, hat also wieder einen Susi-Index und einen Raumzeitindex. Ja, und man kann sich also hier dran so ungefähr überlegen,

dass die Wirkung eben invariant ist unter diesen zusätzlichen Transformationen. Es stellt sich raus, also das hatte ich ja glaube ich schon angedeutet, das Ding ist eine lokale Symmetrie. Und diese Symmetrie sorgt dafür, dass die Hälfte der theta a-Komponenten

von der Theorie entkoppelt. Also sozusagen eine zusätzliche Eichfreiheit. Ja, und wir werden

nachher sehen, dass genau durch diese Symmetrie sichergestellt wird, dass wir die richtige Anzahl an bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden haben, um eine supersymmetrische

Theorie zu kriegen. Okay, also dass man jetzt auf diese zusätzliche Symmetrie kommt,

ist erstmal glaube ich nicht offensichtlich ein Weg, das zu sehen wäre, dass man sich erstmal die Wirkung nicht von einem String hinschreibt, sondern von einem Punktteilchen. Das Ganze

supersymmetrisch macht auf diese, wie ich angedeutet hatte, also eher naive Art, indem man einfach hier die fermionischen Koordinaten dazu nimmt. Dann guckt man sich für das Punktteilchen die Wirkung an und stellt fest, dass sie genau diese Symmetrie hat. Und die Idee ist dann, dass man die Stringwirkung genauso konstruiert,

eben nicht nur mit dem ersten Term, sondern so, dass sie auch diese Kappa-Symmetrie hat. Ja, also das ist so ungefähr die Skizze, wie man darauf kommen kann. Okay, dann,

wenn man die Wirkung hat – gut, ich habe mich jetzt gerade weggewischt, aber die brauchen wir auch erstmal nicht, so direkt – kann man sich natürlich einfach die Bewegungsgleichung hinschreiben. Ja, es stellt sich raus, dass die

Bewegungsgleichung nicht linear sind und ziemlich kompliziert. Also, die sehen so aus. Das ist die erste. Aus der kriegt man raus, dass der Energieimpulstensor

hier verschwindet, also T-Alpha, Beta gleich Null. Dann haben wir noch eine. Okay,

das Ganze nochmal für Theta 2. Und noch eine, wo die Wirkung mit drin ist. Ja,

also die hat hier die Wirkung drin und dann hat sie noch zwei Term, in denen hier die

Projektoren vorkommen. Wir brauchen die jetzt auch nicht explizit hinschreiben, weil wir die hier nicht weiter brauchen. So, das verschwindet auch. Nur der Vollständigkeit halber. So, also das ist ein nicht lineares System von Differenzialgleichung und nicht mal ebenso lösbar. Ja, insbesondere

funktioniert die Kovariante-Quantisierung mit diesem System nicht. Es stellt sich aber zum Glück heraus, dass wenn man in Lichtkegeleichung übergeht, das heißt die Wirkung umschreibt mit Lichtkegelkoordinaten, dann wird das hier alles schön linear und man kann das Ganze quantisieren und damit weiterarbeiten. So, bevor wir das explizit machen, gucken wir uns

nochmal an, welche Typen von String-Theorie wir hier rauskriegen. Einfach durch diese supersymmetrische Erweiterung. Also wir haben 10 Dimensionen. Das hatte ich vorhin

gesagt, dass bei Quantisierung nur die 10 Dimensionen überbleiben. Das heißt, wir nehmen die auch erstmal und konzentrieren uns da drauf. Dann haben wir in diesen

10 Dimensionen Majorana Weisspinuren. Das hatte ich vorhin kurz erwähnt. Wir haben 2 Spinnuren, also Täter 1 und Täter 2. Die Tatsache, dass sie Weisspinuren sind, heißt,

dass sie eine Chiralität haben. Das heißt, wenn wir uns angucken, welche Theorien wir hier

kriegen können, dann haben wir schon mal zwei Möglichkeiten. Nämlich entweder die beiden haben gleiche Chiralität oder beide haben entgegengesetzte Chiralität. Dann kann man ja im Prinzip

Theorien haben, in denen nur geschlossene Strings vorkommen oder Theorien mit offenen Strings. Jetzt sind bei geschlossenen String-Theorien die Spinnuren unabhängig voneinander. Es wird sich herausstellen, dass die links und rechts Läufer beschreiben. Das heißt, in geschlossenen String-Theorien haben wir im Prinzip beide Möglichkeiten. Bei offenen String-Theorien muss man aber die beiden Spinnuren an den Enden sozusagen

verkleben können und deswegen müssen sie auf jeden Fall beide gleiche Chiralität haben. Also, wenn man anfängt mit offenen Strings, dann kriegt man Typ 1 Super-String-Theorie. So,

das ist also eine Theorie mit offenen und nicht orientierten Strings und zusätzlich

auch noch mit geschlossenen Strings. Weil, sobald man offene Strings in der Theorie hat, hat man die Möglichkeit, dass die offenen Strings am Ende zusammenkleben und dann kriegt man durch die offenen Strings wieder geschlossene Strings. Das heißt also,

jede Theorie mit offenen Strings hat auch geschlossene Strings. Dann hat man in dieser

Theorie Randbedingungen an die Täter 1 und Täter 2. Ich hatte ja schon gesagt, die sollen an den Rändern verklebbar sein und daraus folgt, das werden wir nachher noch sehen. Das Ende gleich 1, also dass man nur eine Supersymmetrie hat. Und ein Punkt ist hier

noch, dass auf den String-Enden, also der offenen Strings, dass man da Yang-Mills-Quantenzahlen haben kann. Also, die heißen auch Schan-Pattern-Indizes, kamen glaube ich schon mal in der Übung vor. Das heißt im Prinzip, dass man ja jedem Ende einen Index zuordnen kann, der zu einer

Eichgruppe gehört. Okay, und das funktioniert auch nur bei offenen Strings. Gut, dann haben

wir noch Theorien, in denen wir nur geschlossene Strings haben. Die heißen Typ 2. Und in dem Fall haben wir zwei Möglichkeiten, wie ich oben angedeutet habe, also entweder gleiche Chiralität

oder entgegengesetzte Chiralität. Also Typ 2a hat entgegengesetzte Chiralität für Täter 1 und Täter 2. Und in dem Fall hatte ich eben schon angedeutet, also die Täter 1 und Täter 2

beschreiben unabhängige Rechts- und Linksläufer. Ja, und die sind in dem Fall dann auch

orientiert. Und die ganze Theorie ist links-rechts-symmetrisch, also das heißt auch nicht chiral. Okay,

und dann kann man natürlich noch den Fall haben, dass man bei Täter 1 und Täter 2 gleiche Chiralität hat. Das wäre dann Typ 2b-Theorie. In dem Fall hat man die Möglichkeit, die Rechts-

und Linksläufer zu symmetrisieren. Und was man dann kriegt, ist wieder Typ 1-Theorie,

das war der geschlossene Sektor, also das, was ich da oben an der Tafel hatte. Oder man

symmetrisiert eben nicht und dann kriegt man eine Theorie mit geschlossenen Strings, die in dem Fall aber chiral ist, also nicht links-rechts-symmetrisch. Okay, und dann

gibt es im Prinzip noch die Möglichkeit, Links- und Rechtsläufer irgendwie, also nicht

nur Super-Strings als Links- und Rechtsläufer zu nehmen, sondern zum Beispiel bosonische Strings mit Super-Strings zu kombinieren. Das besprechen wir hier nicht, aber das kommt wahrscheinlich irgendwann noch mal dran. Das sind nämlich dann die hetero-tischen Theorien. Also als andere Typen kann man eben noch hetero-tische String-Theorien haben. Davon

gibt es zwei, sodass man am Ende fünf Typen von Super-String-Theorien kriegt. Okay,

dann gucken wir uns jetzt mal die Quantisierung an von der Green-Schwarz-Wirkung,

die wir hier ganz am Anfang an der Tafel hatten. Also wir betrachten den gleich 10 und der

Grund ist, dass nur in diesem Fall alle Lorenz-Kommutatoren verschwinden, und zwar an Licht-Titel-Eichungen. Also insbesondere dieser Kommutator hier ist nur für D gleich 10 0.

Also zu den Indizes sage ich gleich noch was. So, dann hatten wir gesagt, in dem Fall sind die Spinuren Majorana Weils-Spinuren und wir können erst mal die konform flache Eichung

wählen. Also das heißt, wir haben jetzt als Worldsheet-Metrik H-Alphabeter, einfach

Eta-Alphabeter. So, das Ganze können wir machen, weil die Theorie Weil in Variante ist, genauso wie die bosonische Theorie. So, und dann als nächstes die Frage, wie viel Freiheitsgrade haben wir? Also wie viel bosonische und wie viel fermionische? Weil wenn die nicht

übereinstimmen, dann wäre keine supersymmetrische Theorie. Okay, dazu erst mal die Bosonen,

also wir wählen Lichtkegeleichung. Und das hatte ich ja vorhin schon kurz erwähnt,

also wenn man nicht zu Lichtkegeleichung übergeht, dann hat man hier dieses komplizierte System von Bewegungsgleichungen, was nicht mal ebenso lösbar ist. So, und in der Lichtkegeleichung kriegen wir aus den bosonischen Koordinaten, also das waren ja erst mal

x0 bis xd-1 oder in diesem Fall eben x9, weil wir in zehn Dimensionen sind. Die kombinieren

wir jetzt neu, und zwar zu x plus minus und den restlichen xi. Und i läuft dann von, in unserem Fall von 1 bis 8, also weil man die 0. und die 9. Richtung kombiniert zu den x plus minus. Und ja, es bleiben die Richtungen 1 bis 8 übrig. Also x plus minus ist

x0 plus minus x9. Und dann haben wir hier also diese acht Richtungen, die nicht angefasst werden, heißen dann transversal. Und das hier sind dann zeitartige Richtungen. So, dann habt ihr

irgendwann mal gesehen beim bosonischen String, man kann jetzt hier x plus festlegen, x minus durch die anderen ausdrücken. Und das ist das gleiche, wie wenn man die Hälfte der Moden zu 0 setzt. Also man kann jetzt hier die alpha n plus Moden gleich 0 setzen für n

und gleich 0. Und x plus nimmt die Form an, klein x plus plus p plus tau. So, und das heißt,

nur die acht transversalen Koordinaten bleiben frei. Ja, und das heißt, für die bosonischen

Fertigwerden werden nämlich dann genau acht bosonische Freiheitsgrade. Okay, bei den

funktioniert das Ganze ein bisschen anders, weil das ja jetzt Spinoren sind. Und zwar gucken wir uns an, wie viele Komponenten von Teta 1 und Teta 2 wir haben. So, zunächst mal haben wir

ja Dirac-Spinoren in zehn Dimensionen. Also das wäre die kleinste Spinor-Darstellung. Die

haben dann jeweils 2 hoch d halbe Komponenten. Und das wären in zehn Dimensionen dann 2 hoch 5, also 32. Okay, die Spinoren sollen aber ja die Majoraner-Bedingung erfüllen. Hier

man nichts weiter fordert. Und Majoraner ist ja eine Realitätsbedingung, das heißt, man behält 32 Komponenten für jeden Spinor. Allerdings werden die jetzt reell. Also wir haben wieder 32 bis 32. Okay, dann sollen die Spinoren aber gleichzeitig noch Weil-Spinoren

sein. Und diese Weil-Bedingung, die reduziert nochmal die Hälfte der Freiheitsgrade. Das

heißt, wir haben jetzt 16 plus 16. Und die bleiben auch reell. Gut, dann haben wir gesagt, wir benutzen Lichtkegel-Eichung. Es stellt sich raus, das werde ich gleich noch ein bisschen

genauer erklären, dass durch Lichtkegel-Eichung nochmal bei jedem Spinor die Hälfte der Komponenten verschwindet. Das heißt, wir haben jetzt hier 8 plus 8. So, das sieht schon ganz gut aus. Wir hatten 8 bosonische Freiheitsgrade und hier kriegen wir jetzt 8 plus 8

fermionische Freiheitsgrade. Und man kann jetzt hier zusätzlich noch die Dirac-Bedingung stellen. Also wenn man das macht, dann stellt sich heraus, es fliegen nochmal 8 Komponenten

raus. Also es bleiben nur 8 übrig. Okay, also wir haben tatsächlich ein super Multiplett. Wir haben 8 bosonische und 8 fermionische Freiheitsgrade. Jetzt nochmal zu dieser

Sache hier. Also warum verliert man durch Lichtkegel-Eichung die Hälfte der Koordinaten?

Ich hatte das ja vorhin schon kurz angedeutet. Wir haben ja Kappersymmetrie für die Wirkung und Kappersymmetrie schmeißt uns die Hälfte der Koordinaten raus. Also wir können jetzt

eine Eichung wählen, die so aussieht. Also gamma plus zeta 1 und gamma plus zeta 2 sind 0. Und das gamma plus ist hier das Analogon zu den x plus bosonischen Koordinaten. Also gamma plus

minus ist mit der entsprechenden Normierung die 0. Dirac-Matrix plus minus die letzte, also die neunte in diesem Fall. Ja, vorstellen kann man sich das so. Also man kann immer durch diese Kappersymmetrie eine Transformation finden, wo das hier lokal gilt. Jetzt die Frage

eigentlich, warum gucken wir uns hier die gamma-Matrizen an und nicht die spinoren. Der Punkt ist aber, dass das hier tatsächlich die super Partner sind in Lichtkegeleichung zu den bosonischen Koordinaten. Also gamma plus minus ist das Analogon zu dem x plus minus.

Sieht man schon daran, dass gamma und nicht dieser spinor hier den Raumzeitindex trägt.

Also ich kann das auch nochmal so ausdrücken. Gamma plus zeta ist der super Partner zu x plus.

Und zwar sieht man das daran, dass hier die Transformation gilt. Delta x plus ist epsilon k4a zeta plus gamma plus zeta a. Man kann eben zeigen, indem man sich die Wirkung dieser

Matrizen auf die spinoren anguckt, kann man zeigen, dass in der Eichung genau die Hälfte der Spinorfreiheit gerade entkoppelt. Also es geht so, dass man sich die Eigenwerte von

zeta plus und von zeta minus anguckt und die Summe aus den beiden. Okay, dann gucken wir

uns als nächstes die Darstellung an von den übrigen Spinor-Komponenten. Also zunächst

mal in Lichtkegeleichung, hatte ich ja gesagt, es bleiben acht transversale Richtungen frei. Die anderen beiden sind zeitartig und die liegen fest, allein durch die Eichung.

Also das heißt, wir haben zwei feste Raumrichtungen und acht transversale Richtungen.

Das heißt, wir hatten ursprünglich SO19, Lorenz-Symmetrie auf dem Raum. Jetzt bleibt davon die SO8-Symmetrie übrig, also für die acht transversalen Richtungen, die noch frei sind.

An diesem Punkt braucht man ein bisschen Darstellungstheorie von den irreduziblen Darstellungen von SO8.

Das können wir hier nicht machen. Ich sage euch einfach das, was wir brauchen. Es gibt nämlich drei irreducible achtdimensionale Darstellungen von SO8. Eine Vektor-Darstellung und zwei Spinor-Darstellungen mit den entsprechenden Chiralitäten.

Die heißen 8V für Vektor und 8S und 8C. Das sind die Spinor-Darstellungen.

Das stellt sich dann heraus, dass die acht übrig gebliebenen Spinor-Darstellungen sich genau in diesen Darstellungen transformieren.

Ja, das kann gut sein. Ne, das ist einfach dadurch, dass du zwei Richtungen festlegst,

belzst du für die anderen die Rotationssymmetrie übrig. Mir geht da erstmal nicht rein.

Die acht Spinor-Komponenten transformieren jetzt in einer achtdimensionalen Darstellung von SO8.

Das ist eine Spinor-Darstellung, weil wir jetzt durch Konstruktion Spinoren haben.

Und zwar entweder in 8S, dafür nehmen wir den Index A, oder eben in 8C und dafür nehmen wir den Index A Punkt. Das ist einfach Konvention. Das hier sind die Spinor-Komponenten. Die Darstellung ist achtdimensional, weil wir acht überlebende Spinor-Komponenten haben.

Und das hier sind aber die Raumzeitfreiheitsgrade.

Okay, ich nenne jetzt die Spinor-Komponenten, die wir noch haben oben. Also wir schreiben für Teta 1 S1A oder S1A Punkt.

Also je nachdem in welcher Darstellung S oder C das Ding lebt, kriegt das eben ein A oder ein A Punkt Index. Und für Teta 2 das Gleiche. Also das heißt, hier haben wir den Raumzeitindex immer unterdrückt und hier haben wir ihn jetzt wieder damit drin.

Ja, und dann ist es eine Konventionssache. Also man hat entweder entgegengesetzte oder gleiche Chiralitäten. Dementsprechend leben entweder beide in 8S oder einer lebt in 8S, einer lebt in 8C. Und wir wählen jetzt einfach S1 lebt in 8S.

Ja, und dementsprechend hat man entweder S2 in 8S oder in 8C, je nachdem welchen String-Theorie-Typen man hat.

Also je nachdem eben ob die Chiralitäten gleich und entgegengesetzt sind. Also das ist nach der Klassifizierung, die wir vorhin hatten, Typ 1 oder 2B.

Oder eben S2 in 8C und dann haben wir Typ 2A. Ja, und wir beschränken uns jetzt erstmal auf den Fall, in dem beide in 8S leben.

Also wir halten im Hinterhof, dass es den anderen auch noch gibt, aber den benutze ich jetzt erstmal nicht.

So, und jetzt habe ich ja die beiden hier, also die übrigen Komponenten vom ersten, vom zweiten Spino. Die packe ich jetzt zusammen in ein neues Objekt. Das nenne ich einfach SA. Und das hat jetzt also als erste Einträge die S1A und die S2A als zweite Einträge.

Und das ist ein zweikomponentiger Marjoraner Weilspinor. Okay, und dann können wir jetzt in dieser Eichung auch die Wirkung hinschreiben.

Und zwar sieht die so aus.

Du kriegt also schon mal eine sehr viel einfache Reform. Was hier jetzt noch bemerkenswert ist, wir hatten ja vorher die Tetas als zwar Raumzeit-Spinoren, aber Worldsheet-Skalare. Und jetzt hat man hier diese neuen Spinoren drin, diese SAs, die wir uns gebastelt haben, aus den Spino-Komponenten, die übrig bleiben.

Und es stellt sich raus, dass die jetzt sowohl als Raumzeit-Spinoren als auch als Worldsheet-Spinoren transformieren. Also das, ja, nur am Rande. So, hier draus kriegen wir wieder Bewegungsgleichung. Und die sehen jetzt schon mal sehr viel schöner aus als die von vorhin.

Und zwar, ja, das war's schon.

Also die vereinfachen sich hier sehr stark. Und die sind auch schön linear, die kann man lösen, und damit kann man auch die Theorie quantisieren.

So, also als nächstes zur Quantisierung. Und sagst du nochmal zur Erinnerung, also man hat die Bewegungsgleichung mit Randbedingungen, die hier noch zu wählen sind. Erstmal ganz klassisch.

Daraus ergibt sich die Lösung für die Felder. Also in diesem Fall für die XIs und für die S1A und 2A. Dann erfüllen die Felder ja eine Vertauschungsrelation. Und man schreibt dann, sobald man die explizite Lösung hat und die Vertauschungsrelation,

kriegt man daraus die Vertauschungsrelation für die Moden-Operatoren. Also die Quantisierung ist der Übergang von den Poisson-Klammern oder Poisson-Vertauschungsrelation eben zu Operator-Vertauschungsrelation. Ja, und wenn man das hat, wenn man also die Moden-Operatoren hat, dann kriegt man daraus das Spektrum.

Das ist also ganz grob das, was wir jetzt auch hier nochmal machen. Also im Grunde das Gleiche wie für den bosonischen String.

So, wir gucken uns hier aber nur die fermionischen Moden an, weil die bosonischen genauso laufen wie für den bosonischen String. Oder eben für das, was wir letzte Woche gemacht haben, für Virgil's Supersymmetrie.

Ja, also das läuft genauso wie bei der Ramoneville-Schwarz-Quantisierung. So, für die S1 und 2As müssen wir jetzt aber uns das nochmal genauer angucken. Und zwar haben wir hier die kanonischen Anti-Vertauschungsrelation.

Also das sind jetzt Anti-Vertauschungsrelation, nicht mehr Vertauschungsrelation, weil wir hier Fermionen haben. Und zwar sehen die so aus.

So, um jetzt die Bewegungsgleichung lösen zu können und das ganze Ding hier quantisieren zu können,

brauchen wir noch Randbedingungen. Und es tritt das Problem auf beim offenen String, dass die Randbedingungen die Susi brechen können. Also eine Theorie mit ungebrochener Supersymmetrie hat immer auf jedem Massenlevel ein eigenständiges Susi-Multiplate.

Das heißt also, auf jedem Massenlevel hat man gleiche Anzahl von fermionischen und bosonischen Zuständen. Oder eben mit anderen Worten, jedes Teilchen hat einen Superpartner mit gleicher Masse. So, und das heißt, wenn wir hier jetzt die Supersymmetrie nicht brechen wollen, zumindest im Grundzustand nicht, dann müssen die Randbedingungen die fermionischen Nullmoden erhalten.

Also wir haben bosonische Nullmoden allein aus der Quantisierung, die man schon kennt. Und wir müssen jetzt darauf achten, dass wir auch weiterhin fermionische Nullmoden haben.

So, also wir fordern, dass mindestens eine von den zwei ursprünglichen Supersymmetrien erhalten bleibt.

Ja, und es stellt sich raus, dass es nur eine Möglichkeit gibt für die Randbedingungen.

Und zwar, dass an den Stringenden S1a, also erstmal von Null und Tau, gleich S2a von Null und Tau ist. Und das gleiche auch nochmal für das andere Ende mit Pi.

So, und daraus folgt dann Epsilon 1 gleich Epsilon 2 wegen der globalen Supersymmetrie-Transformation.

Und zwar, die war ja Delta Theta a gleich Epsilon a. Na ja gut, und das hier ist ja nichts anderes als die Komponenten der Theta a-Spinuren. Und das heißt, wenn man die gleich setzt an den Rändern, dann müssen auch diese Transformationsspinuren gleich sein. Und das heißt, dass hier nur eine Supersymmetrie übrig bleibt.

Wenn man hier jetzt ein Minuszeichen einsetzen würde, das ging ja bei Wolschig-Supersymmetrie, dann hätte man hier überhaupt keine Supersymmetrie mehr und würde bei einer ganz anderen Theorie ankommen.

Ja, so und hierdraus folgt auch noch das S1 und S2 in der gleichen Darstellung leben.

Gut, man kommt jetzt aus diesen Randbedingungen und aus den Bewegungsgleichungen bekommt man ja die Modenentwicklung. Und die sieht in diesem Fall so aus. Na ja, man hat hier wieder einen Satz von Kooffizienten drin und die erfüllen entsprechend zu den Vertauschungsrelationen hier oben.

Die jetzt verdeckt sind, erfüllen die Antivertauschungsrelationen Sma Snb gleich Delta ab Delta m plus n.

So, für die geschlossenen Strings, also das war offen, jetzt kommt hier geschlossene Strings,

hat man nach wie vor wie bei den Bursonen nur eine Randbedingung und zwar, dass die Strings zusammenkleben, also dass die Werte bei Null und bei Pi die gleichen sind. Und zwar für beide, also für S1 und S2.

Also S von Sigma und Tau soll gleich S von Sigma plus Pi und Tau sein.

So, daraus kriegt man eine etwas andere Modenentwicklung.

Ja, also man sieht hier, man hat zwei verschiedene Sätzen von Moden.

Und das heißt, die S1 und S2 beschreiben Links- und Rechtsläufer. Und die sind in dem Fall unabhängig voneinander. Ja, und dann hat man wieder die zwei Möglichkeiten. Entweder leben die S1 und S2 in einer gleichen Darstellung oder eben in verschiedenen Darstellungen. Und dann kriegt man wieder die zwei Typen, Typ 2a und Typ 2b raus.

Ja, sollte man wohl. Also wie gehabt.

Gut, dann gucken wir uns als letztes noch das Spektrum an, was man hier rauskriegt. Also zunächst mal in den offenen String. Da haben wir die Massenschalenbedingung.

Die sieht jetzt so aus, also besteht aus einer Summe von fermionischen und bosonischen Moden.

Also hier Boson und hier Fermion. Und man sieht sofort, man hat keine Konstante mehr drin in der Massenschalenbedingung. Und das heißt, wenn man die anwendet auf den Grundzustand, bekommt man keine negative Masse.

Also hat die Theorie keinen Tachion.

Ja, das ist ganz schön. Also sonst musste man das Tachion ja irgendwie per Hand entfernen aus dem Spektrum. Hier bekommen wir eine Theorie, wo gar keins drin ist. Okay, der Grundzustand wird jetzt wieder so definiert wie im nur bosonischen Fall.

Also das heißt, er wird jetzt von allen bosonischen und fermionischen Absteigern vernichtet. Das heißt, wir haben alpha n i von Null und s n a von Null gleich Null.

Und da ist natürlich auch noch ein Impulseigenzustand für die bosonischen Moden. Also alpha Null gibt den Impulseigenwirt raus. So, und man kann sich dann überlegen, dass der Grundzustand eine Darstellung der s Null a-Algebra ist.

Daraus folgt, dass der Grundzustand aus zwei irreduziblen SO8-Darstellungen besteht. Und zwar einmal der Vector-Darstellung mit acht Komponenten und einer Spinor-Darstellung mit acht Komponenten.

So, ich nenne ihn C Null. Naja, und die Komponenten in der Vector-Darstellung werden mit i indiziert und in dieser 8 C-Darstellung mit a Punkt.

Sollte ich jetzt noch ein paar Sachen über das Spektrum hier sagen. Ich denke mal, ich spar mir das, weil sowieso die Zeit gleich um ist. Dann gucken wir uns lieber noch mal kurz das Spektrum vom geschlossenen String an.

Also die Idee ist, wir haben hier ja Rechts- und Linksläufer. Und wir haben das Spektrum vom offenen String. Und man konstruiert sich jetzt das Spektrum vom geschlossenen String sozusagen als zwei Kopien vom offenen String. Also Tensorprodukt aus Darstellung von Rechtsläufer und offener String und Darstellung von Linksläufer und offener String.

Also ich hatte das hier mit 4 Null benannt. Das heißt, man kann das jetzt hier 4 Null nennen. Tensor, also das wäre der Linksläufer, dann Tensorspektrum vom Rechtsläufer.

So, und dann kann man sich wieder die zwei verschiedenen Typen angucken. Also für 2a haben wir mal Jorana Weisbinorn mit im Gegensatz zur Keralität.

So, wir kriegen dann insgesamt 16 mal 16. Also 256 masselose Zustände.

Also das kommt hier aus dem Tensorprodukt, weil man hier oben ja 8 plus 8 Zustände hatte. Das sind 16 und dann macht man das Tensorprodukt hier aus Rechts- und Linksläufern und kriegt halt 16 mal 16. Ja, und die Darstellungen sehen dann so aus.

Und zwar hatten wir ja gesagt, also ein Linksläufer lebt in einer Vektordarstellung plus in einer C-Spinordarstellung. Und das tensorieren wir jetzt mit dem gleichen Ding hier, nur mit dem Gegengesetz der Keralität. Also das 8v bleibt, wie es ist.

Und hier hinten kriegen wir jetzt ein 8s. Ja, und man kann dieses Tensorprodukt explizit zerlegen. Und dann kriegt man alle bosonischen oder alle fermionischen Felder, die in dieser Theorie drin sind. Also das kommt raus 1 plus 28.

Ja, also das sind jetzt die Dimensionen der Darstellungen.

Also man bildet das Tensorprodukt von diesen Darstellungen und guckt sich dann an, wie das wieder unter SO8-Wirkung zerfällt. Und es kommen dann irreducible Blöcke raus mit dieser Dimension. Und das hier sind eben die Blöcke, die fermionische Felder beschreiben. Hier oben, die die bosonische Felder beschreiben und hier unten, die die fermionische Felder beschreiben. Ja, und für Typ 2b kann man das im Prinzip genauso machen.

Man macht wieder dann das Tensorprodukt im Grunde wie hier, nur dass man hier halt zweimal jetzt 8c drin hat und nicht 8s und 8c. Also 8v plus 8c. Tensor 8v plus 8c. Und das zerlegt man dann wieder in SO8, irreducible Darstellung.

Und kriegt dann raus das hier für die Boson und für die Fermion wieder das Gleiche hier.

Okay, also man sollte gleich noch kurz dazu sagen, das hier ist der Feldinhalt von Typ 2a Supergravitation.

Und hier eben von Typ 2b Supergravitation.

Ja, hier könnte man jetzt noch symmetrisieren, dann kriegt man wieder etwas anderen Feldinhalt raus, aber das schenken wir uns hier. Okay, dann bin ich so weit durch und ich habe hier noch ein Skript für euch. Also ihr könnt euch wieder eine Kopie mitnehmen.