Kommt zur zweiten Runde. Ich sehe, dass der eine oder andere es nicht geschafft hat oder sich entschieden hat, zu der anderen Vorlesung zu gehen.

Mal schauen, wie das dann funktioniert mit den Aufzeichnungen, ob das für die Beteiligten dann so funktioniert. Ich hatte gestern begonnen, die Grundlagen des klassischen personischen Strings aufzuschreiben.

Die Vorstellung ist die, wir haben String-Koordinaten, die eine Abbildung darstellen von einem Parameterraum Sigma. Das ist ein Teil von einem zweidimensionalen Minkowski-Raum, Parameter Tau und Sigma.

In einen sogenannten Targetraum, eine Raumzeit, in der der String eingebettet ist. Das Bild ist für einen offenen String, dass in dieser Raumzeit dann der String eine Weltfläche überstreicht,

die Form eines Streifens hat und für einen geschlossenen String gibt es sich dann halt ein Stück eines Zylinders, eines Schlauches.

Die Koordinaten hier, Sigma und Tau, hatte ich auch abgekürzt als Xi Alpha. Alpha läuft von 0 bis 1 und die entscheidenden Objekte geometrisch an dieser Weltfläche waren die Tangentialvektoren

x Punkt und x Strich, Punkt die Ableitung nach Tau und Strich die Ableitung nach Sigma bedeuten. Die geometrische Wirkung für einen solchen String, offen oder geschlossen, dazu

muss man dann Periodizität in Sigma oder Randbedingungen in Sigma formulieren, war die Nambu-Goto-Wirkung, ein Funktional der Stringkonfiguration, das jedem solchen eingebetteten Weltfläche eine Zahl zuordnet.

Bewegungsgleichen wie immer in der klassischen Physik, die Konfiguration beschreiben die klassische Wirkung, die diese Zahl extremieren. Für die die Wirkung möglichst groß und möglichst klein, also ein lokales Maximum oder Minimum bedeuten. Das ist das Wirkungsprinzip.

Dazu braucht man die Wirkung. Die Wirkung hat die Form eines Integrals über die Koordinaten Sigma und Tau. Wir haben hier einen Parameterbereich Sigma und Tau und der wird durch x abgebildet.

Das heißt Koordinatenlinien Sigma gleich konstant und Tau gleich konstant werden dann hier irgendwelche Linien auf der Weltfläche.

Die Wirkung war einfach das Integral über den Parameterbereich. Das ist einfach der Flächeninhalt eines Stückes dieser Weltfläche. Den berechnet man dadurch, dass man die Metrik in dem Mikowski-Raum benutzt, um den Oberflächeninhalt auszurechnen.

Einfach den Flächeninhalt dieser Weltfläche und das war Wurzel aus Minus-Determinante der induzierten Metrik und die hat die Form, ich schreibe es mal als 2 mal 2 Matrix auf, x Punkt Quadrat, x Strich Quadrat, x Punkt mal x Strich, x Punkt mal x Strich,

wobei das Quadrieren und Skalarprodukt bilden mit Hilfe der Mikowski-Metrik durchgeführt wird.

Alpha Strich, ein dimensionsbehafter Parameter von der Dimension Zentimeter Quadrat. Dann hatten wir uns die kanonisch konjugierte Impulse angeguckt und konstatiert, dass der Phasenraum dieser Theorie nicht ohne Zwangsbedingungen ist.

Es gibt zwei Zwangsbedingungen, die da lauten, dass Pi mal x Strich gleich Null ist und dass Pi Quadrat plus 1 durch 4 Pi Alpha Strich Quadrat,

x Strich Quadrat Null ist. Zwangsbedingungen.

Diese Zwangsbedingungen haben zu tun oder zu unmittelbarer Folge der Reparametrisierungsinvarianz oder Unparametrisierungsinvarianz der Wirkung.

Das heißt, Sie können die Koordinaten wählen, wie Sie wollen. Die Wirkung hängt davon nicht ab. Insbesondere kann man geschickte Wahl der Koordinaten treffen. Die Wahl, die ich dann vorgestellt habe, unter dem Stichwort Eichfixing, ist die, dass man sagt, diese induzierte Metrik soll einfach die Form haben,

ein Faktor, der von Xi abhängen kann, mal der Mikowski-Metrik.

Und das bedeutet, wenn Sie das vergleichen hier oben, mit dem, das da oben steht, dass die Tangentialvektoren senkrecht aufeinander stehen sollen, im Vierer-, oder im Mikowski-Sinne. Skalarprodukt immer im raumzeitlichen Sinne. Wie Sie das aus der vierdimensionalen Spezialinitivität kennen.

Und dass diese beiden Vektoren hier, x Punkt und x Strich, gleiche Länge haben. Aber natürlich umgekehrt das Vorzeichen, weil das Mikowski-Skalarprodukt bei einem zeitartigen Vektor, x Punkt, muss negativ sein. Wir haben die Konvention getroffen, dass die zeitartigen Vektoren negatives Längenquadrat haben,

und die raumartigen positiv. Also, die Metrik hat die, hier auch in der Raumzeit, die Signatur Minus, plus plus plus plus und so weiter. Das heißt also, in der Tangentialvektoren hier, Linien 41, hier haben wir x Strich und hier x Punkt.

Und die sollen halt hier in der Länge aufeinander bezogen sein und senkrecht zueinander. Das ist also eine mögliche Koordinatenwahl. Und das nennt sich dann orthogonaler Eichung, aus diesem Grund.

Oder auch Konforme Eichung, aus Gründen, die wir gleich noch sehen werden. Und in dieser Eichung nahmen die Größen, die ich ausgerechnet habe, in besonders einfache Form an.

Insbesondere die Wirkung wurde quadratisch. Also die eichfixierte Wirkung war proportional x Punkt Quadrat Minus x Strich Quadrat.

Und die Zwangsbedingungen, da habe ich Linearkombinationen gebildet, aus diesem und diesem. Und die t Plus Plus und t Minus Minus genannt.

x Punkt Plus oder Minus x Strich zum Quadrat. Gleich Null. Also das ist sozusagen t Plus Plus und t Minus Minus ist nur eine Abkürzung für diesen Ausdruck.

Und die Bedingung heißt, diese beiden Skalarprodukte sollen verschwinden. Wenn Sie das ausmultiplizieren, kriegen Sie wieder x Punkt Quadrat Plus. Das lag jetzt daran, das x Punkt ist im Wesentlichen das Pi.

Der Faktor ist dann der Richtige. Also x Punkt Quadrat Plus x Strich Quadrat ist Null und x Punkt Mal x Strich ist gleich Null. Das sind gerade die beiden Ausdruck, die Sie hier durch Summe und Differenz bekommen. An dieser Stelle sieht man, dies hier lässt sich quantisieren, das ist eine eichfixierte Wirkung, die ist quadratisch.

Quadratische Wirkungen lieben wir in der Physik. Da kann man die Bewegungsgleichung leicht hinschreiben, diesen Linear lässt sich lösen. Ich könnte jetzt hiermit weitermachen. Es ist aber nützlich, diese Wirkung noch einmal anders abzuleiten, einen etwas anderen Standpunkt einzunehmen.

Dieser Standpunkt erlaubt einem auch eine andere Interpretation dieser nicht linearen Wirkung, die von sich aus schwer zu quantisieren ist. Sie beantworten auch eine andere Frage, nämlich eine Frage, die Sie hätten stellen können.

Warum quantisiere ich oder warum betrachte ich die String-Theorie und nicht die Membran-Theorie oder irgendeine Theorie von höherdimensionalen Objekten? Wenn ich einmal weggehe von punktförmigen Objekten, warum erweitere ich mein Objekt nur in einer Dimension? Warum betrachte ich das als ausgedehnt nur in eine weitere räumliche Dimension und nicht in mehreren?

Das können Sie im Prinzip natürlich machen, ist klassisch auch kein Problem. Es stellt sich nur heraus, dass die Quantentheorie von solchen höherdimensionalen Objekten nicht bekannt ist. Es ist niemandem gelungen, bisher eine relativistische Membran, wir wollen relativistische Theorien haben, die Konsistenz zu quantisieren.

Ich sollte immer dazu sagen, relativistisch, natürlich, wenn Sie nicht relativistische Theorien haben, Sie können nochmal eine klassische Mechanik, eine Membran machen, da ist kein Problem, Sie können das auch quantisieren. Aber sobald die Theorie relativistisch wird, haben Sie Zwangsbedingungen, weil relativistische Theorien, immer Theorien,

die sind mit Reparatisierungsinvariants, um diese Zwangsbedingungen haben Sie Schwierigkeiten bei der Quantisierung und diese Schwierigkeiten hat noch niemand überwunden bis heute. Es ist nicht klar, das liegt im Wesentlichen daran, dass es nicht gelingt, die Wirkungen sind einfach nicht linear.

Nicht-linear Theorien lassen sich extrem schwer quantisieren. Bei der String-Theorie, das werde ich gleich zeigen, haben Sie ein Glücksfall, dass die Theorie linearisierbar ist. Sie ist so formulierbar, dass sie linear wird und deshalb kein Problem.

Das hat zu tun, das sieht man am besten in einer anderen Formulierung. Diese Formulierung ist von Paul Jacobs zuerst hingeschrieben worden, mit einer Wirkung vorschlagen, die alternativ zu dieser Wirkung, die nach Namu Goto benannt ist, in der Literatur zu finden ist.

Die Idee ist die Folgende. Wir haben eine Theorie, die ist Reparatisierungsinvariants, das heißt Invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen.

Woher kennen Sie das sonst noch? Die Theorie, die allgemeinen Koordinatentransformationen sind, sind als prototypisch Gravitationstheorien. Allgemeine Relativitätstheorie ist das Paradebeispiel.

Das heißt, man sollte eigentlich denken, wir haben hier vielleicht etwas wie eine zweidimensionale Gravitationstheorie vorliegen. Also wenn Sie das vom Standpunkt nicht dieser Raumzeit an sich betrachten, sondern als Theorie in dieser Sigma-Tau-Ebene,

dann sind diese X Felder, Sie können sie statt als Koordinaten als Felder auffassen, in einer zweidimensionalen Feldtheorie. Wenn sich diejenigen von Ihnen die Feldtheoretischen Wirkungen schon gesehen haben, zum Beispiel der Elektrodynamik, da kann man auch Wirkungen, Lagrangstichen hinschreiben, das sind dann Integrale über die,

naja, die Raumzeit ist dann vierdimensional, aber Sie könnten ja auch eine niedrigdimensionalere Raumzeit haben. Also ich vertausche jetzt sozusagen die Interpretation ein bisschen und betrachte dieses hier als meine Raumzeit. Und dann sind die X sind dann Felder, so wie die elektromagnischen Felder a µ von X und T sind dann die X Funktion von Sigma und Tau.

Und das ist dann eine Feldtheoretische Wirkung. Und die ist in Bayern eben unter Koordinatenänderung hier. Und das heißt, das sieht aus wie, hat so den Geschmack einer zweidimensionalen Gravitation.

Und in der Tat kann man das so formulieren, aber eine zweidimensionalen Gravitation heißt, Sie brauchen eine Metrik. Die Metrik gibt es hier noch nicht. Die X sind einfach unsere Felder, unsere Materiefreiheitsgrade, wenn Sie so wollen, in dieser zweidimensionalen Gravitation.

Aber Polyakov vorgeschlagen, die Metrik wieder einzuführen. In die Wirkung. Und nun, wenn diese Felder, das einfachste, was man hinschreiben kann, sind massellose Skalarfelder.

Und wie sehen massellose Skalarfelder in einer Gravitationstheorie aus? Und die koppeln einfach mit ihrem kinetischen Thermen. Kinetische Thermen, mit der, wobei die Ableitungen mit der Metrik kontrahiert werden. Und das sieht folgendermaßen aus. Zweitimensionale Metrik, die nenne ich H.

Der hat zwei Indizes, also symmetrische 2x2 Rang-2-Tensor. Und der Vorfaktor ist ähnlich. Ich erkläre gleich, was ich da anschreibe.

Das ist ein quadratischer Ausdruck. Das sind die, xµ sind die Felder, unsere Materiefelder.

Die alpha x ist ein Gradient, der zweidimensionale Gradient. Der wird kontrahiert mit der inversen Metrik. Und dann müssen Sie noch mit der Wurzeldeterminante der Metrik multiplizieren.

Das ist in der Gravitationstheorie immer so, damit das Integrationsmaß invariant wird, reparametrisierungsinvariant wird. Denn die D2x, wenn Sie das umparametrisieren, kommt da die Transfirmationsdeterminante, der ja Transfirmationsmaß ist, die Akubi-Determinante zum Vorschein.

Und die wird kompensiert durch die entsprechende Determinante, die aus der Metrik kommt. Diese Kombination hat die richtige Invariance-Eigenschaft. Das ist jetzt die Kopplung der Materiefelder an die Metrik. Und dann braucht man natürlich auch noch den Einstein-Hilbert-Term.

Die Grundlage der ersten Term, die man hinschreiben würde in einer Relativstheorie, ist natürlich Wurzel G mal R. Die Einstein-Hilbert-Wirkung, die auf die Einstein-Gleichung führt. Könnte ich dazu addieren jetzt, tue ich im Moment aber noch nicht. Ich sage Ihnen gleich, warum nicht. Also das wäre hier praktisch der Teil der Wirkung, der die Materiefelder an die Gravitation koppelt.

Und Sie sehen, ich kann das auch folgendermaßen formulieren. Was hier steht, dies hier ist gerade unsere indizierte Metrik.

Also statt der Wurzel aus der Deminante von Gamma habe ich Gamma multipliziert mit H invers und mit der Deminante von H.

Die Wurzel da draus. So, diese Wirkung ist ebenfalls Parametrisierungsinvariant, natürlich. Also Invariant unter Koordinatentransformation.

Und die lauten, schreibe ich mal kurz an, also ich kann die Koordinaten xµ, also nicht die Koordinaten, die Felder xµ, nach Änderung der Koordinaten x, ja das wäre eine allgemeine Koordinatentransformation, infinitesimal, mit einem kleinen Epsilon.

Und die entsprechende, indizierte Änderung der Funktionen unserer Felder sind folgendermaßen transformiert in bekannter Weise das x. Aber die Metrik muss natürlich auch transformieren. Ich schreibe sie mal für die inverse Metrik an.

Und das ist, hier ist der normale Konvektionsterm der Verschiebung, also der Taylor-Term. Und dann gibt es, weil es ja ein Tensor ist, noch weitere Beiträge.

A alpha Gamma, D Gamma epsilon Alpha. Ja, das so transformiert in der Relativitätstheorie die inverse Metrik.

Und Sie können nachrechnen im Prinzip, dass das Invariant ist darunter. Das ist aber eigentlich aus Konstruktionsprinzip bereits so, weil wir hier ja alle Indizes kontrahiert haben und wir darauf achten, dass ko und kontra während der Objekte in der richtigen Indexstellung auftauchen.

Es gibt aber hier eine weitere Symmetrie. Und die ist folgendermaßen, die Wirkung ist auch invariant, darunter, dass Sie an den xen gar nichts tun,

aber die Metrik mit einem ortsabhängigen Faktor skalieren. Warum ist das so?

Und wenn Sie die Metrik mit 5 multiplizieren, dann multipliziert sich das H obenalphabeter mit 1 durch 5. Das ist ja die inverse Metrik. Das H hier in der Determinante mit 5, aber das ist die Determinante einer 2 mal 2 Matrix,

ist quadratisch, also mit dem Faktor 25. Und wenn Sie die Wurzel ziehen, ist es wieder 5. Das hebt sich weg gegenüber der 1 Fünftel von dem H obenalphabeter. Also das liegt gerade an der Tatsache, dass hier zwei Dimensionen sind. In mehreren Dimensionen würde die Determinante in eine Höherpotenz von Lambda skalieren

und würde das nicht mehr wegheben. Das ist also eine Eigenschaft, die nur in zwei Dimensionen funktioniert. Diese Symmetrie nennt man Weill-Invarianz, also unter Weill-Transformation oder Weill-Reskalierung.

Das heißt, wir haben jetzt, das ist auch eine lokale Transformation, Epsilon und Lambda hängen von Xi ab. Das heißt, die haben an jedem Raumzeitpunkt drei Funktionen, drei Zahlen frei.

Epsilon 0, Epsilon 1 und Lambda. Das ist so ähnlich wie in der Elektrodynamik. Da haben Sie an jedem Punkt einen Wert. Wenn Sie an die Eich-Transforms-Elektrodynamik denken, da ist der Eich-Parameter eine skalare Funktion. Alpha A mu geht nach A mu plus D mu Epsilon, eine Funktion Epsilon.

Hier haben Sie drei Funktionen. Und nun, was sich herausstellt, ist, diese drei Funktionen reichen aus, um die drei Komponenten der Metrik hier wieder zu eliminieren.

Das ist immer ein Wechselspiel. Wenn Sie Eich-Symmetrie haben, haben Sie eigentlich keine Symmetrie. Symmetrie ist nicht der richtige Ausdruck hier, sondern man sollte besser von Redundanzen reden. Denken Sie mal an die Elektrodynamik. Da gibt es vier Komponenten für das Eich-Potential, A mu. Aber die sind ja nicht physikalisch. Sie können Eich-Transformationen machen.

Wie viele physikalische Freiheitsgrade haben Sie denn? Nun, zunächst mal können Sie einen Freiheitsgrad eliminieren, wegen der Eich-Transformation. Also zum Beispiel können Sie A0 gleich 0 wählen. Oder die Lorenz-Eichung wählen. Das ist eine skalare Bedingung. Pro Eich-Parameter können Sie eine Bedingung wählen, um eine Komponente Ihres Eichfeldes zu entfernen.

Wir haben eine Beschreibung mit zu vielen Freiheitsgraden. Das ist der Bequemlichkeit halber, weil es sich sehr viel besser formulieren lässt mit überzähliger Zahl von Freiheitsgraden. Aber wir haben dann immer diese Redundanz im Spiel. Genauso hier. Die Elektrodynamik ist etwas komplizierter.

Das kommt hier auch. Denn Sie wissen, das Photon hat nur zwei Freiheitsgrade. Wir müssen also von 4 auf 2. Einer wird durch die Eich-Bedingung reduziert. Der andere wird dann dadurch reduziert, dass wir immer noch Äquivalenz haben. Verschiebung des Eichpotenzials um einen longitudinalen Anteil

ändert die Physik nicht. Hier ist es ähnlich. Wir können eine ähnliche Zählung machen. Wir haben drei Komponenten in der Metrik hier. Das ist ein symmetrischer Zweimal-Zweitenso. Diese drei Komponenten können Sie wieder eliminieren, indem Sie die Freiheiten hier in Epsilon und Lambda verwenden.

Das heißt, die Metrik ist komplett unphysikalisch. Sie ist nur eine Hilfsmetrik. Das ist aber eine Eigenschaft der zweidimensionalen Gravitation. Das zeigt sich auch an einer anderen Stelle. Wenn Sie die Einstein-Hilbert-Gleichung hinschreiben in zwei Dimensionen, stellen Sie fest, die sind identisch erfüllt.

Das ist anders als in vier Dimensionen. Die einsteinischen Bewegungsgleichungen, die aus der Einstein-Hilbert-Gleichung folgen, sind in zwei Dimensionen trivial. Das liegt genau an dieser Tatsache, dass eine zweidimensionale Gravitationstheorie keine Freiheitsskala hat. Sie können auch die Wirkung hinschreiben.

Die Einstein-Hilbert-Wirkung in zwei Dimensionen stellt sich heraus, das ist eine Konstante. Die hängt im Wesentlichen nur von der topologischen Eigenschaft der Konfiguration ab. Wenn Sie eine Konstante variieren, ändert sich nichts. Das heißt, die Bewegungsgleichungen sind einfach null gleich null. Das heißt, wir haben hier eine Art entartete Gravitation

oder triviale Gravitation vorliegen, aber es ist trotzdem nützlich. Lassen Sie uns dann schauen, wie die Bewegungsgleichungen in dieser Theorie aussehen.

Ich multipliziere geschickterweise diesen Faktor Wurzel 4πα' nach oben und dividiere durch diese Determinante der Hilfsmetrik, nachdem ich die Wirkung variiere.

Jetzt hängt es davon ab, ob Sie das schon mal gemacht haben in der Gravitationstheorie, in der Relativitätstheorie oder nicht. Wenn Sie so etwas nach der Metrik variieren, gibt es zwei Terme. Offensichtlich steht hier die inverse Metrik. Wenn Sie danach nach variieren, geht das weg und das Integral entfällt.

Sie haben einen Term Wurzel minus H mal Gamma Alpha Beta. Durch das teile ich das. D.h. es gibt auf jeden Fall von der direkten Variation nach diesem Faktor gibt es Gamma Alpha Beta, was ja ist dX mal dX, dAlpha mal dBeta, dAlphaX mal dBetaX.

Das ist das Gamma Alpha Beta. Ich habe jetzt nur die Metrik hier versteckt in dem Punkt, das Skalarprodukt. Aber das ist nicht alles, denn hier steckt ja auch noch eine Metrik drin. D.h. Sie müssen auch die Terminante der Metrik variieren.

Wer von Ihnen weiß, wie das geht? Oder wer weiß nicht, wie das geht? Sie wissen das? Sie wissen es nicht? Das ist nützlich zu wissen einfach als, wie soll man sagen, das braucht man fürs Leben. Das brauchen Sie später immer wieder. Wenn Sie das noch nicht gesehen haben,

dann sollte ich Ihnen das kurz zeigen. Nebenrechnung. Wie variiert man eine Determinante? Variation einer Determinante einer Matrix, ganz abstrakt.

Was verwenden Sie dafür? Der erste Trick ist, Sie schreiben die Determinante als E hoch Spur Logarithmus. Das ist die Formel, die man sich merken sollte. Der Logarithmus der Determinante ist die Spur vom Logarithmus.

Wenn Sie das nicht kennen, schauen Sie mal nach. Wikipedia, sonst wo, finden Sie leichten Beweis. Ist auch nicht schwer. Das ist nützlich, weil man die E-Funktion leicht differenzieren kann. Und die Variation in der inneren Ableitung kann ich in die Spur reinziehen.

Spur ist linear. Wie Sie den Logarithmus differenzieren, wissen Sie. Ableitungslogarithmus ist eins durch Argument. Also A-Inverse mal die Variation von A, innere Ableitung.

Jetzt habe ich die Kettenregeln mehrfach verwendet, bis zum bitteren Ende. Ich erinnere mich, dass der erste Faktor gerade wieder der Determinante A ist. Und im Wesentlichen ist es das. Ich kann hier auch noch Folgendes machen.

Ich kann auch, wenn ich, also erstens, ich kann das so schreiben. Spur, auch wieder eins der Determinante A. Ich kann das aber auch schreiben. Wenn ich nicht A variiere, sondern A-Inverse, kann ich mich daran erinnern, dass wegen dieser Relation, dass ich dies hier umschreiben kann.

Mit einem Minuszeichen in dieser Form.

Wobei ich hier die Reihenfolge vertauscht habe. Oder hier oben. Sie können es auch andersrum machen. Also ob Sie den Inversenfaktor zuerst schreiben oder zu zweit, ist ja egal. Es geht in beiden Richtungen.

Aber ich habe hier halt vertauscht, was ich unter der Spur ja darf. Davon ist das kein Problem. Wir müssen immer gucken, ob Sie nach A, also das A-Inverse variieren. Und hier variieren wir nach der Inversenmetrik.

Das heißt, was in diesem Fall hier rauskommt, ist ein Minus. Ja, das reproduziert sich einfach mal diesen Faktor. Ja, dann haben wir das, das bleibt dann übrig.

Dann kann man es schauen. Also dieses hier kommt, multipliziert ja die Determinante. Ach so, und ich habe eine Wurzel noch. Eine Wurzel heißt, wenn Sie die Wurzel aus der Determinante nehmen, das heißt, die Omexperten stehen Faktor ein halb. Das heißt, wenn Sie es differenzieren kriegen, ist es noch mal ein Faktor halb nach vorne. Also Minus ein halb.

Dann, ja, die Determinante, also was schreibe ich jetzt gerade an? Ich will ja den Faktor h-Alpha-battern nochmal haben. Wo kommt der her? Ach so, richtig.

Dieser Ausdruck hier ist natürlich, das ist jetzt die Variation. Das heißt, wenn ich, ich schreibe das vielleicht hier erst noch weiter. Die Determinante h nach h-Alpha-batter wäre dann Minus Determinante h.

Und wenn ich dann teile durch h-Alpha-batter, kommt dann hier h-Alpha-batter wieder raus. Denn das ist ja, also die Variation ist das Delta h-Alpha-batter, das nehme ich aus der Spur raus. Also hier steht ja, wenn Sie so wollen,

das hier wäre h-Alpha-batter, Delta h-Alpha-batter. Das ist die Spur und das Produkt. Es ist ja symmetrisch. Also dieses wäre das. Und wenn ich dann durch das Delta h-Alpha-batter dividiere, bleibt h-Alpha-batter über, wenn Sie so wollen.

Hier anschreiben und dann multipliziere ich das mit Determinante h. Aber durch die Determinante h oder durch die Wurzel der Determinante h, da steht der Faktor halb im Exponenten nach wie vor, das habe ich ja hier rausdividiert.

Und dann steht dann natürlich noch der Faktor, der das Ganze multipliziert, nämlich der. Ich habe ja nur das variiert, dann muss ich immer noch multiplizieren mit h mal Gamma. Also mal h, wenn Sie so wollen, Gamma, Delta,

das ist einfach unbenannt. Diesen Ausdruck, den kürze ich ab, den nenne ich t-Alpha-batter. Mit einem Alpha-Strich noch davor.

Ich benutze wieder das Symbol t, denn Sie werden gleich sehen, dieses t ist nur eine lineare Kombination meiner beiden t-Plus-Plus und t-Minus-Minus, die ich da oben schon habe.

Das ist also die Bewegungsgleichung für die Metrik. Schauen Sie, die Bewegungsgleichung für die Metrik ist keine Differentialgleichung. Die Metrik steht hier drin, also als inverse. Hier steht sie nicht drin, sie steht nur hier drin. Die Metrik steht hier algebraisch.

Das sind keine Ableitungen auf h. h kommt nicht mit Ableitungen vor. Das ist eine gebranische Gleichung, das heißt, Sie können im Prinzip die Lösung einer gebranischen Gleichung, das h, ausrechnen. Bewegungsgleichung lösen.

Jetzt kann ich zwei Dinge tun. Ich kann das erstmal mit der Namburgutto-Wirkung vergleichen, indem ich genau das tue. Die Lösung der Bewegungsgleichung. Es gibt noch eine zweite Bewegungsgleichung. Das ist ds0 nach dx0 natürlich.

Die betrachte ich später. Zunächst einmal nur die Bewegungsgleichung bezüglich der Metrik. Wir haben jetzt zwei Felder, x und h. Wir müssen nach beiden variieren. Was sind die Lösungen dieser Bewegungsgleichung?

Vielleicht auf den ersten Blick nicht so leicht zu sehen. Dieses t ist ein Funktional immer noch von x und h. Und welches h löst diese Gleichung?

Naja, es stellt sich heraus, dass dies hier,

also h gleicheinfach proportional zur induzierten Metrik gamma, die Bewegungsgleichung löst. Warum sieht man das? Naja, wenn h proportional zu gamma ist,

was passiert dann mit dem Faktor hier hinten? Dann ist h-Alphabet mal h, ich schreibe es mal so, was hier steht, ist Spur von h-inverse mal gamma.

Dieser Ausdruck. Da hebt sich offensichtlich der Faktor lambda heraus, denn hier steht die inverse Metrik, hier steht die Metrik. Dann ist das einfach gamma-Alphabet mal Spur gamma-inverse gamma. Aber das ist die 1, das ist die Identität.

Und die Spur der Identität in zwei Dimensionen ist 2. Also 2 gamma-Alphabeter. Naja, und das hier ist auch gamma-Alphabeter. Das ist gamma-Alphabeter gewesen. Und gamma-Alphabeter minus ½ mal 2 gamma-Alphabeter ist 0.

Also ganz offensichtlich eine Lösung. Das ist auch die allgemeinste Lösung. Gut, dann kann ich jetzt Folgendes tun. Ich kann mal passieren, nachschauen, wie sieht die Poliakoff-Wirkung aus auf den Lösungen dieser Bewegungsgleichung. Also wenn ich die Bewegungsgleichung für die Metrik einsetze,

wieder in die Poliakoff-Wirkung, dann habe ich das hier eliminiert. Dann bekomme ich eine Wirkung, die nur noch von x abhängt. Dann können Sie dreimal raten, was das für eine Wirkung sein sollte. Machen wir es. Also Poliakoff-Wirkung ist 0 von x.

Und h ist gleich, also h-Alphabeter ist gleich lambda mal gamma. Gamma von x. Wenn ich also für h hier einsetze, meine Lösung, die da drüber steht.

Naja, minus 1 durch 4 pi d2 xi. So, dann haben wir die Wurzel aus minus h. h ist lambda mal gamma.

Dann ist die Determinante, ist lambda² mal die Determinante von gamma. 2 mal 2 Determinante. Die inverse Metrik ist lambda auch minus 1, gamma auch minus 1. Mal gamma.

Ich habe es einfach hier oben, hier eingesetzt. h gleich lambda mal gamma. Den beiden Stellen. Und genauso wie hier, das ist gamma invers. Das ist die Inverse der 2 mal 2 Matrix. Eine komplizierte Funktion von x. Diese 2 mal 2 Matrix mit den quadratischen Ausdrucken x.

Aber das ist, das hier ist die Identität. Also Spur von Identität ist also 2. Das lambda geht raus. Und übrig bleibt einfach mit dem Faktor 2,

minus 1 durch 2, die alpha prime Integral d2 xi, vorzu minus gamma. Und das ist die Nabogoto-Wirkung. Das heißt, sie bekommen diese Nabogoto-Wirkung wieder zurück.

Und damit ist gezeigt, dass die Bewegungsgleichungen in dieser erweiterten Theorie dieselben sind, wenn sie die Metrik einmal eliminiert haben. Natürlich gibt es allgemeinere Konfigurationen, die eben die Bewegungsgleichungen für h nicht lösen, die sie in der Nabogoto-Wirkung nicht finden. Sie können sozusagen Lösungen finden der Bewegungsgleichung,

die eben ein anderes h haben im Prinzip. Aber das ist halt nicht klassisch. Also für die klassischen Bewegungsgleichungen sind die Theorien äquivalent.

Ich hätte natürlich diese Wirkung nicht eingeführt, wenn ich nur damit einfach nur zeigen will, dass ich wieder zurückkomme zur Nabogoto-Wirkung. Der Vorteil dieser Wirkung ist natürlich, dass wir genauso wie bei der Nabogoto-Wirkung die Reparametrisierungsinvariance nutzen können, um eine geschickte Eichung zu wählen, eine geschickte Koordinatenwahl zu treffen. Diese Koordinatenwahl betrifft jetzt eben nicht nur x, sondern auch h.

Wir können diese Symmetrie oder Redundanz verwenden, um die Wirkung möglichst einfach zu gestalten. Denn die ist ja immer noch nicht einfach, ist zwar quadratisch ein x, aber hier steht eine Determinante von h, eine inverse Metrik, das ist kompliziert.

Also das werde ich erst tun. Ich werde jetzt wiederum eine Eichung in dieser Polerkoff-Theorie wählen. Naja, und das Ergebnis wird Sie nicht überraschen.

Wir hatten ja schon eine einfache quadratische Wirkung, und die wird auf diese Art und Weise wiederum herauskommen.

Gut, konforme Eichung. Autoronale oder konforme Eichung in diesem Falle.

Nun, eine Eichung ist eine Bedingung an die Felder, Freiheitsgrade, Koordinaten, wie man sie nennen wollen. In dem Fall haben wir in der Polerkoff-Wirkung x und h. Wir könnten sich irgendeine Gleichung wünschen an x und h, eine Bedingung.

Vorher hatten wir in der Navogurte Wirkung die Bedingung, dass die x Punkt und x Strich aufeinander senkrecht standen und x Punkt Quadrat plus x Strich Quadrat Null war. Hier wähle ich jetzt zur Abwechslung eine Bedingung nur an h. Natürlich muss man zeigen, dass die auch immer erreichbar ist.

Das ist die konforme Eichbedingung. Wir wählen die Hilfsmetrik einfach proportional zur Minkowski-Metrik. Das ist eine algebraische Gleichung, sowie a nun gleich Null in der Elektrodynamik.

Natürlich, wie gesagt, was ich Ihnen schuldig bleiben werde, ist der Beweis, dass man durch diese Symmetrietransformation von jeder vorgegebenen Konfiguration h-Alphabet auch dahin kommen kann. Lokal geht das immer, global könnten da Schwierigkeiten entstehen. Also Stichwort für Mathematiker, aber glaube ich heute nicht hier,

ist man muss die sogenannte Beltrami-Gleichung lösen. Das Ganze hat auch viel zu tun mit der Geometrie von Riemannflächen. Die Weltflächen sind zweidimensionale Flächen und die haben eine konforme Struktur, sind Riemannflächen. Es gibt ein Uniformisierungstheorem, das sagt,

dass Sie in jeder Riemannfläche in zweidimensionalen Koordinaten finden können, die orthogonal sind. Das ist ein altes, klassisches Geometrisproblem. Finden Sie auf einer Brezelfläche, mit zwei Löchern sagen wir mal, die Koordinaten, ein orthogonales Koordinatensystem.

Und wenn ich Ihnen ein Koordinatensystem gebe, was nicht orthogonal ist, dann müssen Sie eine Gleichung lösen, um dieses Koordinatensystem zu finden. Das ist sozusagen die Beltrami-Gleichung. Nach dem Mathematiker 19. Jahrhundert oder 18. Jahrhundert benannt. Und man kann beweisen, dass diese Gleichung, diese Differenzial-Gleichung, zweite Ordnung, dass sie auch Lösung hat.

Gut, die schreibe ich Ihnen aber jetzt nicht an, sondern das ist halbwegs plausibel, dass man so etwas tun kann. Ich möchte Ihnen jetzt einfach zeigen, wie die Wirkung dann aussieht. Die Eich-fixierte Wirkung, also gauge-fixed. Im Fall der Polyakov-Wirkung, hängt dann nur noch von x ab,

denn ich habe ja das h sozusagen nicht durch seine Bewegungsgleichung, sondern durch Festsetzung eliminiert. Ich habe einfach eine Wahl getroffen für h. Das ist jetzt s0 von x und h gleich lambda mal eta.

So, das lässt sich jetzt natürlich leicht feststellen. Erstens, was ist mit der Determinante? Die Determinante von eta ist einfach nur 1 oder minus 1.

Die Determinante von minus eta, also nicht der Minus-Zeichen. Ich habe die Polyakov-Wirkung jetzt weggewischt, aber das war ja einfach genug. Sieht man sich, die Wurzel-Determinante minus h ist dann einfach lambda. Das hebt sich weg mit dem lambda, mit dem h-Inverse, h-Alphabet.

Und was über euch bleibt, ist einfach nur eta-alpha-beta-Index oben, d-alpha-x-mu, d-beta-x-mu, eta-minu. Na ja, und was steht hier? Hier steht die Metrik mit dieser Struktur.

Das heißt, hier steht x-Punkt x-Punkt von dem Eintrag mit dem Minus-Zeichen und x-Strich x-Strich von dem Eintrag. Alpha gleich 0 ist die Ableitung nach tau, alpha gleich 1 ist die Ableitung nach sigma.

Und das Quadrieren wird ja hier durch Kontraktion der Raumzeitlohensindex mit dem eta-Menu erreicht. Das heißt, genau die Wirkung, die ich auch schon vorher als eichfixierte Wirkung

in der Namburgote-Wirkung bekommen hatte. Also jetzt auf eine andere Art und Weise, in einer erweiterten Theorie mit einer anderen Eichbedingung. Gut, und jetzt endlich die Bewegungsgleichung für x.

Zunächst mal ohne Eichfixierung, also für die nicht-fixierte Theorie.

Na ja, jetzt habe ich die Poliakov-Wirkung natürlich wieder nicht mehr da stehen. Aber die Poliakov-Wirkung ist die Wirkung von freien masselosen Feldern gekoppelt für diese Gravitation. Das heißt, die Wirkung für das Skalarfeld

muss einfach das eines freien masselosen Skalarfeldes sein, für jedes xµ in der Gravitation. Das ist einfach die kurveilende Wellengleichung. Sie können es auch dadurch sehen. Wir können hier im Prinzip, vielleicht noch mal zur Erinnerung, da steht Wurzelminus der Terminante H, H-Inverse, d alpha x, d beta x.

So sah das ja aus. Wir können das einmal partiell integrieren. Wir werden Randterme hier ignorieren in dem Moment. Wenn ich also beispielsweise die Ableitung d alpha rüberwerfe,

dann könnte ich das schreiben als x mal Wurzel mal d alpha von Wurzel minus H, H alpha beta d beta x. Einmal partiell integriert mit einem Minus-Zeichen.

Wobei das Punkt bezieht sich auf die Kontraktion der unterdrückten Indizes Menü hier. Und Sie sehen, wenn ich das nach x variere, ich kriege immer zwei Termine, das ist quadratisch, aber die sind ja beide gleich, weil es symmetrisch ist, nur Faktor 2. Es reicht also, wenn ich nach diesem x variere und Faktor 2 spendiere. Wenn Sie das hier nach differenzieren, sehen Sie die covariante Laplace-Gleichung.

Das ist einfach der Laplace-Operator in beliebigen krummeligen Koordinaten in zwei Dimensionen. Heißt also, das ist proportional zu, man kann das auch so schreiben, das ist die Ableitung, das ist die covariante Ableitung,

das Ganze ist dann der covariante Laplace-Operator. Also eine Abkürzung für das, was schon da steht. So, und wenn ich das Eich fixiere wiederum, in der Konform-Eichung,

da ist die Metrik flach. Was passiert mit der covarianten Laplace-Gleichung? Wenn die Metrik flach ist, da wird die normale Laplace-Gleichung da draus. Und in zwei Dimensionen, das ist nicht die Laplace-Gleichung, das ist die Wellengleichung, weil die Metrik eine Mikowski-Metrik ist. Das ist einfach nur Box x µ, was in dem Fall nur eine Abkürzung ist

für die Tau-Quadrat minus die Sigma-Quadrat. Und Sie sehen, die Bewegungsgleichung ist einfach die zweidimensionale Wellengleichung. Einfacher kann es gar nicht sein.

Ja, wir könnten die Weil-Invarianz benutzen, um die Eichung weiter zu fixieren. Schauen Sie, wir haben nur zwei der drei Freiheitsgrade benutzt. Wir haben die Metrik, naja, wir haben hier die Metrik fixiert,

also alle drei Freiheitsgrade scheinbar, aber wir haben noch hier wieder ein Freiheitsgrad offen gelassen, Lambda. Ja, also hier steht auf der Diagonalen, steht im Prinzip eine beliebige Funktion Lambda noch. Die könnte ich auch mit der Weil-Reskalierung, die ich auch noch habe, zu einsetzen. Aber es ist nicht nötig, denn Lambda fällt überall immer heraus. Und es ist auch nicht sinnvoll, weil in der Quantentheorie diese klassische Invarianz anomal wird.

Das ist eine der ersten Überraschungen bei der Quantisierung. Diese Reskalierungsinvarianz ist nicht aufrechtzuerhalten in der Quantentheorie. Die Quantentheorie bricht diese Weil-Invarianz. Und deshalb ist es nützlich, die mitzunehmen hier.

Und ich einfach das, was ich klassisch tun kann, auch tue, weil ich es in der Quantentheorie nicht mehr darf. Ja, da ist so eine Bemerkung hier zu. Ja, der zweite Punkt ist ein grundsätzlicher. Immer wenn Sie Zwangsbedingungen haben oder Eichfreiheit haben, dürfen Sie einen Fehler nicht machen.

Sie dürfen nicht die Eichung fixieren und dann in der Eich-fixierten Theorie die Bewegungsgleichung verwenden und nichts weiter. Das ist so wie in Elektrodynamik. Da gibt es das auch. Wenn Sie zum Beispiel die A0 gleich 0 Eichung wählen, temporale Eichung,

und dann schreiben Sie die Bewegungsgleichung hin, aus der Wirkung abgeleitet, dann fehlt was. Sie haben nämlich den Freiheitsgrad, den Sie eliminiert haben, A0 gleich 0. Dessen Bewegungsgleichung haben Sie dann verloren. Das ist hier auch so.

Diese Bewegungsgleichung ist zwar relevant, aber nicht jede Lösung der Wellengleichung ist schon eine klassische Lösung. Denn was Sie vergessen haben, ist die Variation nach H. Dies hier ist auch eine Gleichung. Die muss auch erfüllt werden, auch in der Eich-fixierten Theorie.

Das H haben Sie zwar eliminiert, aber seine Bewegungsgleichung brauchen Sie nach wie vor. Und in der Elektrodynamik gibt es das Gleiche. Ich glaube, das ist nicht die A0 gleich 0 Eichung, wenn Sie die Coulomb-Eichung wählen. Da sehen Sie das. Dann ist es nämlich eine Bedingung, Sie bekommen das Gauss-Gesetz.

Wenn Sie die Coulomb-Eichung wählen, einsetzen in Ihrer Wirkung, dann variieren. In der Elektrodynamik kriegen Sie zwar die Maxwell-Gleichung, aber Sie kriegen nicht das Gauss-Gesetz. Sie kriegen nicht alle Maxwell-Gleichungen. Sie müssen auch die Variation Ihrer, ja, Sie wollen diese Eichbedingungen mit betrachten.

Also hier muss man die Bewegungsgleichung für den eliminierten Freiheitsgrad mit berücksichtigen. Das heißt, wir brauchen zusätzlich die Bewegungsgleichung für H, obwohl H eliminiert wurde.

Und die Bewegungsgleichung von H, nun die steht ja hier, das ist T gleich 0. Wie sieht T in der Eich-fixierten Form aus? Also 0, 0 gleich T alpha beta, alpha prime.

Jetzt müssen wir hier bei H gleich lambda mal eta setzen. Dann ist das hier einfach die, okay, ich schreibe es einfach hin, bzw. ja, vielleicht schreibe ich es tatsächlich mal aus.

Also das ist das d alpha x mal d beta x minus ein halb eta alpha beta. Lambda hebt sich wieder raus. Und hier steht die Kontraktion mit der inversen Mikrofosgemetrik dann.

Also eta gamma delta mal d gamma x d delta x. So sieht das aus. Und jetzt können wir uns nun anschauen, was sind die Komponenten davon? Das ist eine 2 mal 2 Matrix.

Als Matrix, was steht in der, gucken wir erst mal an, was in der Nebendiagonale steht. Die Nebendiagonale ist besonders einfach, da ist der dann nämlich 0, eta 0, 1, eta sehr diagonal.

Da steht dann nur d 0 x mal d 1 x, also x Punkt mal x Strich. Sie erinnern, d 0 x ist x Punkt, d 1 x ist x Strich. Ich benutze immer diese Abkürzung. Das heißt, da steht nur x Punkt mal x Strich und hier steht x Strich mal x Punkt.

Was steht auf der Diagonal? Gucken wir uns den 00 Term an, alpha Bereich beta gleich 0. Da steht x Punkt Quadrat, x Punkt mal x Punkt. Und hier drin, vielleicht gucken wir uns erst mal an, was ich da abziehen muss. Dieser Ausdruck hier ist minus x Punkt Quadrat plus x Strich Quadrat.

Hier steht ja jeweils die Kontraktion mit der Metrik, also mit einem minus 1, also mit plus 1. So, und das eta 00 ist minus 1.

Also mit minus 1,5 wird plus 1,5. Also steht hier x Punkt Quadrat plus 1,5 mal minus x Punkt Quadrat plus x Strich Quadrat. Also dieser Term hier wird nicht abgezogen, in dem Fall addiert.

Und hier steht x Strich Quadrat, alpha gleich beta gleich 1. Etta 11 ist plus 1, also minus 1,5 mal minus x Punkt Quadrat plus x Strich Quadrat. Naja, und jetzt sehen Sie, das kombiniert sich genau zu 1,5 mal x Punkt Quadrat minus x Strich Quadrat und dies hier ebenfalls.

Beide Damen sind gleich. Also hier steht 1,5 Punkt Quadrat, ne, nicht minus, sondern plus, Moment, plus, ja, nicht minus.

So, das sieht schon relativ ähnlich aus zu dem T plus plus und T minus minus, was wir hatten. Sie erinnern sich gleich, wir gucken, wie sah das genau aus. T plus plus 2 alpha Punkt 1 durch 4, ja.

Also ich schreib's mal so. T plus plus und T minus minus war proportional zu x Punkt Plus oder minus x Strich Quadrat. Was ja dann x Punkt Quadrat plus x Strich Quadrat plus minus 2 mal x Punkt Strich.

Das heißt, Sie drehen genau dieselben Linearkombinationen wieder. Das heißt, offensichtlich ist das physikalisch dieselbe Bedingung, ja. Ist nur anders arrangiert.

Im Übrigen, Sie können noch einen anderen Vergleich heranziehen. Statt der Elektrodynamik, einen anderen Vergleich, den ich gerne heranziehe, ist der des relativistischen Punkteichens wieder. Da passiert das Gleiche. Wie ist die Bewegungsgleichung für das relativistische Punkteichen in einer Eichung? Sie können zum Beispiel die Eichung wählen, x Null gleich T. Wir haben ja x Null.

x1 bis x3 in vier Dimensionen, vier Komponenten, ihre Koordinaten und Sie können das x0 einfach mit t identifizieren. Das wäre sozusagen die Koordinateneichung, wo die Koordinatenzeit als x0 verwendet wird. Und dann ist die Wirkung einfach Wurzel aus 1 minus v² durch c². Das ist die Lagrange-Funktion.

Wenn Sie daraus die Bewegungsgleichung ableiten, bekommen Sie ganz normal x2 Punkt gleich 0. Wie es sich gehört, die Judenische Bewegungsgleichung. Aber Sie haben was vergessen. Sie haben vergessen, dass es da ja noch ein x0 gab, was eliminiert wurde, was jetzt t ist.

Und die Bewegungsgleichung dafür sorgt für eine weitere Bedingung, eine Nebenbedingung. Nicht jede Lösung der Begleichung x2 Punkt gleich 0 ist eine Lösung Ihrer relativistischen Punktteilchenbewegung. Sondern Sie haben auch noch die Zwangsbedingung p² plus m² gleich 0. Diese Zwangsbedingung, wenn Sie denken, p ist x Punkt, das heißt, dass x Punkt Quadrat plus 1 gleich 0 ist für ein massives Teilchen.

Das ist analog zu 0 gleich p² plus m² und p ist im Wesentlichen x Punkt Quadrat plus m².

Vielleicht noch ein m irgendwo. Ich glaube, x Punkt ist, Moment. Es kann sein, dass noch ein a proportional bis auf Faktoren. x Punkt Quadrat ist nicht beliebig, sondern x Punkt Quadrat ist festgelegt. Die Länge von x Punkt. Das war ja gerade die Eichung.

Wenn Sie x gleich tau wählen, x0 gleich t wählen, dann ist x Punkt festgelegt. Hier ist p². Das ist eine Nebenbedingung.

Diese Bedingungen sind wichtig, insofern, dass die gesamte nicht triviale Physik hier nicht in der Bewegungsgleichung steckt. Die ist einfach zu lösen. Die Komplikation kommt aus der Zwangsbedingung. Denn die sind quadratisch. Die machen uns den ganzen Ärger.

Man kann das Ganze mit einem kleinen Bild noch illustrieren. In dem Skript habe ich das so aufgemalt. Wir haben hier einen Konfigurationsraum gesketcht von Objekten x und h.

Also die Hilfsmetrik und die Stringkoordinaten. Und irgendeine Eichbedingung ist irgendeine Kurve hier drin. Also das wäre eine Eichbedingung.

Zum Beispiel irgendeine Funktion von x und h sei 0. Das kann ich immer so schreiben. Eine Bedingung an x und h. Gibt dann eine Hüberfläche in diesem Raum. Und ich kann aber die Bewegungsgleichung lösen. Also wenn ich die h klassisch gleich lambda mal eta.

Das wäre die Lösung der Bewegungsgleichung hier. Wo steht es? Steht nicht mehr da. Doch hier.

Schon das Mal lambda gamma. Von x. Da h als Funktion von x ist irgendeine Kurve. Denkt sich das als Graf. H als Funktion von x ist dann eine konkrete Kurve hier drin. Und wieder eine Hüberfläche. Also die klassischen lösende Bewegungsgleichung zeichnet irgendeine Kurve hier aus.

Und da, wo die beiden sich schneiden, ist die eindeutige Lösung, wenn sie so wollen, der Bewegungsgleichung in der Eichfixierten Theorie. Also da haben wir hier sozusagen ein x klassisch Eichfixiert. Und hier haben wir ein h klassisch Eichfixiert.

Und wenn wir die Eichung ändern, dann verschiebt sich dieser Punkt. Aber das ist kein Problem. So kann man das sich vorstellen. Um diesen Zusammenhang etwas formal klarer zu fassen,

empfiehlt es sich, sogenannte Lichtkegelkoordinaten einzuführen. Und da ich die später immer wieder brauche, mache ich das hier einmal. Lichtkegelkoordinaten sind einfach nur Kombinationen,

Linearkombinationen von tau und sigma, die die Gleichung vereinfachen. Und Sie kennen das vermutlich, eigentlich sollten Sie das aus den Rechenmethoden kennen. Die zweidimensionale Wellengleichung ist besonders einfach zu lösen. Wir können die nämlich faktorisieren, indem Sie Koordinaten t plus x und t minus x einführen.

In diesen Koordinaten ist die Lösung der Wellengleichung einfach, naja, jede Funktion, die eine Summe ist aus einer Funktion der Kombination t plus x und der Kombination t minus x. Für t, mein t heißt jetzt tau, mein x heißt sigma.

Also sollte ich Koordinaten einführen, die folgendermaßen aussehen.

Auf der Weltfläche, ich werde etwas später auch Lichtkegelkoordinaten in der Raumzeit einführen. Das ist auch nützlich. Aber auf der Weltfläche sind sie noch zentraler.

Das sind die Kombinationen xi plus und minus. Einfach aus Summe und Differenz von tau und sigma. Und daraus ergeben sich dann entsprechende Ableitungen.

D plus minus steht für mich, ist einfach eine Abkürzung für D nach D xi plus und D nach D xi minus. Und die Ableitungen transformieren dann. Hab ich es gerade falsch rum gemacht?

Und dann können Sie jeden Tensor jetzt umrechnen von kathesischen auf Lichtkegelkoordinaten, wenn Sie wollen. Ich gebe Ihnen ein Beispiel.

Also umrechnen von Tensorkomponenten. Bei einem Vektor ist schon irgendwie klar. Also ein Vektor A, A plus, hat die Komponente einfach ein halb A null plus oder A null minus A eins.

Beim Tensor zweiter Stufe nehmen wir mal ein Tensor T, Komponenten T plus plus. Und da stellt sich dann raus, das ist T null null plus T eins eins plus minus T null eins plus minus T eins null.

Für plus oder minus. Und für die gemischte Komponenten sieht das so aus.

Plus minus plus T null eins plus minus T eins null. Das ist jetzt reine Fleißarbeit, das nachzurechnen. Und Sie können sich jetzt die Mühe machen, für unser T-Alphabet, was hier steht, das mal einzusetzen.

Und dann kommt raus, was Sie erwarten. Das, was ich hier als T plus plus und T minus minus geschrieben habe, sind gerade die Linealkombinationen, die sich hier heraus ergeben. Sie sehen es vielleicht, wenn Sie die Summe der Diagonalelemente nehmen und dann addieren Sie oder subtrahieren Sie die Summe der off-Diagonalelemente.

Das ist dann das plus das minus plus oder minus das mal das und das. Also das im Wesentlichen, das plus oder minus das ist genau das, was hier steht. Aber das sind nur die Komponenten T plus plus und T minus minus.

Was ist mit der Komponente T plus minus? Wir haben hier noch eine weitere. Da es hier ein symmetrischer Tensor ist, sind die beiden gleich. Wenn Sie es einsetzen, ist die Differenz dieser beiden und die Differenz der beiden. Aber die Differenz der Diagonalelemente ist Null und die Differenz der Linealkombinationen ist auch Null.

Das heißt, es kommt hier heraus, T plus minus oder minus plus ist identisch Null. Der Tensor hat nicht drei unabhängige Komponenten, sondern nur zwei. Ja, in dem Fall lässt sich noch der Zusammenhang zur Gravitationstheorie etwas verdeutlichen.

Das Ding heißt T aus gutem Grund. In der Relativitätstheorie gibt es nämlich auch einen Tensor, der T heißt. Das ist der Energieimpulstensor. Und das ist natürlich in der Relativitätstheorie genau das, was Sie bekommen, wenn Sie die Wirkung nach der Metrik variieren. Kriegen Sie einen Energieimpulstensor?

Das haben wir hier gemacht. Das war das, was Null gesetzt wurde. Aber das war gleich Null und nicht gleich der Einstein-Gleichung. Also in der allgemeinen Relativitätstheorie haben Sie R-minu minus ein halb G-minu R ist proportional T-minu.

So sehen die Einstein-Gleichungen aus. Diesen Teil bekommen Sie durch Variation des Materieanteils der Wirkung nach der Metrik. Also Sie schreiben die Wirkung als ein Einstein-Hilbert-Term plus ein Materie-Term.

Und der Einstein-Hilbert-Term ist im Wesentlichen Integralwurzel aus G mal R. Die Variation hiervon nach der Metrik ist hier T-minu. Das ist genauso, wie wir das hier gemacht haben. Ja, aber der ist normalerweise nicht gleich Null, sondern der ist gleich der Variation von dem Einstein-Hilbert-Term nach der Metrik.

Das gibt gerade die Einstein-Gleichung. Aber ich sagte Ihnen ja schon, dass in zwei Dimensionen dies hier eine topologische Invariante ist, eine Konstante. Und wenn Sie die variieren, kriegen Sie identisch Null. Das ist, was ich sagte. Setzen Sie das mal in zwei Dimensionen ein, stellen Sie fest, R-minu ist gleich ein halb G-minu R, egal welche Metrik Sie wählen.

Das ist identisch. Das heißt, die linke Seite verschwindet in zwei Dimensionen und Sie kriegen T-minu gleich Null. Das ist das, was wir bekommen haben. Also ohne, dass Sie irgendetwas von String-Theorie wissen, wir hätten einfach nur zweidimensionale Gravitation machen können. Wir hätten auch dahingekommen. Einzig, was wir speziell haben, wir haben eine Materie-Theorie gewählt, sodass diese Materiewirkung die Poliakoff-Wirkung ist.

Freie, masselose Felder in zwei Dimensionen. D-Stück. Mu gleich Null bis D-1. Der Energieimpulstensor hat noch weitere Eigenschaften. Der ist kovariant erhalten. Nabla-Mu T-minu gleich Null.

Das ist auch eine Eigenschaft der Relativitätstheorie. Das gilt hier auch. Zwei Eigenschaften, kovariant erhalten. Komme ich gleich noch darauf zurück.

Und die Tatsache, dass diese Komponente verschwindet, kann man auch verstehen. Denn dies ist nichts anderes als die Spur. Wenn Sie das umrechnen. Hier steht im Wesentlichen ja das hier. Und das ist die, mit der Minkowski-Metrik versehen, ist die Spur. T-Null-Null minus T-1-1.

Warum ist die Spur Null? Na gut, das ist Trace-T original T-Null-Null minus T-1-1. Muss verschwinden, weil unsere Wirkung ist invariant unter diesen Weiltransformationen.

Ich kann das mal explizit ausführen. Die Wirkung, die Weiltransformationen betreffen nur das H und nicht das X.

Das heißt, nach der Kettenregel, ist das die Variation der Wirkung. Die Lambda von X war Null. Brauche ich nicht den Term, sondern nur die Lambda von H-Alphabeta. Ds nach dH-Inverse ist im Wesentlichen, bis auf diesen Faktor,

ist das der In-Kimpulstensor. So haben wir ihn abgeleitet. Das war die Zwangsbedingung. Und Delta H ist einfach Lambda mal H.

Aber was hier steht, ist die Spur. Das hier mal das ist einfach die Kontraktion von T mit der inversen Metrik. Das ist die Spur von T.

Und Sie sehen, in einer Weilinvariantentheorie muss der Energieimpulstensor spurfrei sein. Das folgt unmittelbar aus dem Zusammenhang, wie man ihn erhält aus der Variation nach der Metrik. Das heißt, auch diese Eigenschaft lässt sich geometrisch erklären.

Jetzt kann ich auch die Frage beantworten, warum Membran-Theorien so schwierig zu behandeln sind. Wir könnten entweder diese Namburgoto-Wirkung verallgemeinern. Das wurde gemacht. Das heißt dann manchmal Namburgoto-Dirak-Wirkung. Dirak hat das auch schon hingeschrieben.

Wirkung für Membrane. Was wäre die Wirkung? Wirkung wäre proportional dem Volumeninhalt des Weltvolumens einer zweidimensionalen Membran. Bleiben wir mal bei Zweidimensionen. Da muss man nicht von P-Branen und mehrdimensionalen Volumina reden. Drei-dimensionale Volumina sind das, was man normalerweise gewöhnt ist.

Aber die Theorie ist schwer zu quantisieren, weil diese Zwangsbedingungen kompliziert werden. Das ist nicht linear. Aber es gibt auch eine Poliakoff-Variante dieser Membran. Denn wir können auch auf dem Weltvolumen einer Membran eine Hilfsmetrik einführen. Sie können das als dreidimensionale Gravitation formulieren.

Genauso, da steht die Poliakoff-Wirkung nicht mehr hier. Das hier nochmal angedeutet. Wir können das im Prinzip in beliebigen Dimensionen machen. Dann laufen die Inities alpha und beta nicht über 0 und 1, sondern über 0, 1 und 2.

Das ist dann einfach die freie masselose Felder gekoppelt an eine dreidimensionale Gravitation. Nur, dass dann natürlich zunächst mal der Anschein der Hilbert-Termen nicht null ist. Wir haben jetzt eine nicht triviale Gravitation in drei Dimensionen. Das zeigt sich daran, dass wir in der Bewegungsgleichung für H,

die werden jetzt kompliziert. Und wir haben nicht mehr genug Eichfreiheit, um H komplett zu eliminieren. Das ist der entscheidende Punkt. Hier gab es drei Komponenten in dieser Hilfsmetrik und es gab genau drei Eichfreiheiten. Epsilon und Lambda. Also die Freiheiten in den Transformationen in Epsilon und Lambda.

Wie ist das in D-Dimensionen? In D-Dimensionen haben Sie für Reparametrisierung einen Epsilon alpha, wobei alpha jetzt über D-Komponenten läuft. Und das war's. Diese Weillinvariance ist speziell für zwei Dimensionen. Das hebt sich nur weg in zwei Dimensionen. Aber die Metrik hat in D-Dimensionen

eine halbe D mal D plus eins Komponenten. Und das ist viel mehr. Das bedeutet, in mehr als zwei Dimensionen wird es Ihnen nicht mehr gelingen, die Metrik zu eliminieren. Die Theorie ist nicht einfach reduzierbar auf eine Nabogoto-artige Theorie. Das heißt, die Poliakov-artige Wirkung

führt zu einer anderen Theorie als die Nabogoto-artige Wirkung. Und weder die eine noch die andere können Sie leicht quantisieren. Weil eine Eichfixierung, die auf eine quadratische Wirkung und linear Bewegungsgleichung führt, klappt bei den Membranen nicht mehr. Das haben Leute versucht, aber sie kommen in der Quantentheorie sofort in Schwierigkeiten mit Normalordnungen,

nicht lineare Theorien. Wir wissen nicht, wie man nicht lineare Theorien richtig quantisiert. Wir können es nur als Störungstheorie um lineare Theorien machen. Also linear Bewegungsgleichung, sprich quadratische Wirkung. Diese Lichtgegelkoordinaten

sind auch in anderer Hinsicht sehr wichtig. Nämlich zur Beschreibung von residualen Eichtransformationen. Diese Eichungen, die ich hier vorgeführt habe, sind nämlich nicht vollständig. Wiederum Appell an Ihre Kenntnis der Elektrodynamik. Wenn Sie Lorenz-Eichung wählen,

ist nicht vollständig. Sie haben immer noch West-Eich-Transformation. Oder wählen Sie die A0-gleich-0-Eichung. Das ist noch einfacher. Wenn Sie A0-gleich-0 wählen, können Sie immer noch Horz-abhängige Eich-Transformationen durchführen. Mit Eichparametern, die nicht von der Zeit abhängen. Ändert diese A0-gleich-0-Bedingung nicht.

Denn A0 wird nur abgeändert um ein D0 von Lambda. Genauso, wenn Sie die Lorenz-Eichung wählen, können Sie immer noch Eich-Transformationen machen mit einem Eichparameter, der die Wellengleichung erfüllt. Also zur Erinnerung,

wenn Sie A0-gleich-0 wählen, wählen Sie einen Eichparameter Lambda, der die Wellengleichung erfüllt. Dann ist eine Variation, A geht nach Aµ geht nach Aµ plus Dµ Lambda. Oder laut Eich-Transformation in der Elektrodynamik.

Dann wird die Eich-Bedingung verschoben. Die soll ja sich nicht ändern. Im Box Lambda. Aber wenn Lambda eine Lösung der Wellengleichung ist, dann dürfen Sie das. Ändert Sie die Eich-Bedingung nicht. Es ist eine Eich-Transformation, die immer noch möglich ist innerhalb der Eichklasse. Und sowas haben wir hier auch. Es gibt hier Eich-Transformationen,

die die orthogonale Eichung erhalten. Dieses Skalarprodukt, dieses Sägerecht aufeinander stehende Tangentialvektor nicht ändert. Und die kann man analysieren.

In der Konform-Eichung. Also Suche, Y, Alpha. Also Koordinatentransformation.

Sodass die Variation unserer Metrik an der Stelle H gleich Lambda Eta. Also das ist unsere orthogonale Eichung. Nicht Null sein.

Also wir müssen ein bisschen aufpassen. Es muss nicht verschwinden. Es reicht, wenn die Variation der Metrik kompensiert wird durch eine Weiltransformation. Wir haben ja auch noch diese Weiltransformation. Die dürfen wir auch noch zulassen. Also wenn wir es schaffen, Koordinatentransformation zu finden, unter denen sich die Metrik nur weile reeskaliert,

dann ist das okay. Und ein Delta Lambda mal H Alpha Beta. Also das ist ja unsere Eichbedingung. Dass das H Alpha Beta

proportional zu, nicht? Also die Eichbedingung war noch mal H Alpha Beta ist proportional zu Eta Alpha Beta. Und wenn ich eine

Änderung der von H finde, sodass die Änderung, es muss nicht Null sein, dann muss auch nur proportional zu Eta wieder sein. Dann ist die geänderte Metrik immer noch proportional zu Eta. Mit einem anderen Vorfaktor, aber das ist ja okay. Der Vorfaktor fiel da immer raus. Also wir müssen diese Gleichung lösen.

Ich hatte Ihnen vorhin aufgeschrieben, was die Variation von H ist. Das müssen Sie einfach angucken und analysieren. Das macht man am besten in diesen Lichtgegelkoordinaten. Also zunächst mal bekommt man eine Gleichung, die so aussieht.

Wobei diese Klammer bedeutet Symmetrisierung. Also das ist D Alpha Epsilon Beta Plus D Beta Epsilon Alpha ist gleich dem. Gut, und die kann man jetzt algebraisch analysieren. Und wenn man

das in Lichtgegelkoordinaten macht, dann wähle ich eben auch für meine Eichparameter diese Kombination.

Dann lautet diese Gleichung sehr einfach. Die wird nämlich entkoppeln. Das sind ja drei Gleichungen hier. Für Alpha Beta gleich Null Null, eins eins und Null eins. Für Null eins,

also eine der drei Kombinationen ist wieder, also die sind nur zwei unabhängig wieder von den drei Kombinationen. Und die beiden unabhängigen Kombinationen lesen sich folgendermaßen. D Plus Epsilon Minus Gleich Null und D Minus Epsilon Plus Gleich Null. Was heißt das?

Das heißt, das können Sie sofort lösen. Das heißt Epsilon Plus ist eine Funktion nur von Xi Plus. Und Epsilon Minus ist nur eine Funktion von Xi Minus. Dies heißt ja, dass Epsilon, allgemein sind ja

alle diese Funktionen von Xi Plus und Xi Minus. Also von Sigma und Tau. Also von Sigma Plus Tau und Sigma Minus Tau. Die Linearkombinationen. Wenn aber die Ableitung der Funktion nach Xi Plus verschwindet, bedeutet das, dass sie eben nur von Xi Minus abhängt und umgekehrt. Das heißt, diese Funktion Epsilon Plus hängt nur von einer der beiden

Lichtgegelkombinationen ab. Das sieht schon so ähnlich wie eine Wellengleichung. Es fällt in eine Funktion von Xi Plus von Sigma Plus Tau und Sigma Minus Tau. Und insbesondere folgt daraus auch, dass, wenn Sie nochmal

differenzieren mit D Minus, in dieser Schreibweise ist der Wellenapparat ja nichts anderes als D Plus D Minus. Wenn Sie das nochmal mit D Minus hier oder mit D Plus hier drauf anwenden, dass alle Komponenten von Epsilon eben die Wellengleichung erfüllen.

So, und das erlaubt jetzt tatsächlich die Eichung elegant komplett zu fixieren. Das geht aber nur unter Aufgabe der Lorentz-Invarianz. Bisher haben wir alles so formuliert, dass es im Tagetraum Lorentz-Kurveient war. Wir hatten immer Eta Mu, X Mu, X Mu schön

alles immer kontrahiert mit den entsprechenden Lorentz-Indizes in D Dimension. Und wir können jetzt Folgendes machen.

Ja, wir können ach so, richtig, das heißt, ich soll erst mal Folgendes sagen, wir können neue Koordinaten wählen. F Plus gleich F Plus von Xi Plus allein

und F Minus gleich F Minus von Xi Minus wählen. Ohne die Eichung zu ändern. Das ist jetzt ein Global. Das wäre ja infinitismal, wir können das auch exponenzieren und die Globalen, eine globale Koordinattransformation machen. Das ist jetzt im Minkowski-Raum

in Signatur Minus Plus. Wenn Sie das selbe im Euklidischen machen würden, dann würde das, wäre das nichts anderes als eine konforme Transformation. Dann müssen Sie das, okay, das erhält die Winkel. Das sind Transformationen, das Euklidische Analog davon sind Transformationen, die die Winkel nicht ändern,

sogenannte konforme Transformationen. Und das erklärt auch, warum der Skalarprodukt zwischen den Tangentialvektoren sich nicht ändert, bei diesen Transformationen. Das ist eine spezielle Unterklasse von Koordinatentransformationen, die noch erlaubt ist. genau, jetzt können wir verwenden die Tatsache,

die wir schon kennen, dass nämlich unsere Stringkoordinaten der Wellengleichung genügen, um eine der neuen Koordinaten zu identifizieren mit einer Komponente, die neuen Wettflächenkoordinaten zu identifizieren mit einer der String Komponenten, x.

Also können identifizieren die neue Koordinate ja, f zum Beispiel f0, eine von

den F0, das ist jetzt f plus oder minus eins durch Wurzel 2, ja, eins, wenn das ist, die uns die Summe nehmen, ein halb f plus plus f minus, ja, mit

einer Komponente, mit einer Kombination n µ x µ, mit einer Linearkombination, wobei n µ irgendein Vektor ist, ein fester Vektor. Das ist das Analoge von der Eichung bei dem Punktteichen, wo Sie

x0 gleich t wählen, ja, das machen wir oft, wir wählen die Nullkomponente von unserem Teilchen, und identifizieren mit der Koordinatenzeit. Genau das habe ich hier auch gemacht. Ich habe eine Linearkombination meiner x µ, kann ich identifizieren mit einer neuen Koordinatenzeit. Das ist unser neues Tau.

Ich habe ja wenn Sie so wollen, Tau Strich, die neue Koordinatenzeit. Das heißt also, ich schreibe es nochmal in Tau gleich

n µ x µ. Das nennt man transversale Eichung. Das ist eine Untereichung oder eine weitere Festlegung innerhalb der Konformeichung, kann ich weiter eichen, kann diese zusätzliche Wahl treffen. Das ist möglich, weil beide Seiten erfüllen die Wellengleichung.

So, und was ich tun werde nächste Woche, werde einen konkreten Vektor eta µ wählen, und zwar

einen lichtartigen Vektor. Wähle eta µ lichtartig, und zwar eta µ gleich, habe ich keinen Platz hier,

eta µ 2 alfa3p plus, ich sagte nochmal,"Wenn was dazu'. 0 0 0,1. Was heißt das?

Ich wähle eine Vektor der die Nullkomponente in meiner Raumzeit, und das ist die letzte Komponente. Einfach eine Linearkombination die lichtartig ist von der ersten in der letzten. Das ist eine Konvention, ich könnte auch einen anderen wählen.

Beta ist ein Parameter, den ich 1 oder 2 wähle. Für offene Strings wählt es ja der 1 und 2 für geschlossene Strings. Das werden wir dann sehen, warum das sinnvoll ist. Das hat damit zu tun, dass P plus der Stringimpuls in diese Richtung ist.

Mit dieser Eichung wird es uns gelingen, die Zwangsbedingungen aufzulösen und eine x-Komponente zu eliminieren.

Wenn Sie x0 mit t identifizieren, können Sie die Zwangsbedingungen auflösen. Sie haben die Lorentz-Invarianz kompromittiert, denn Sie haben eine Koordinat ausgezeichnet. Man muss sich entscheiden, entweder man ist kovariant und hat dann immer noch restliche Eichfreiheiten

und hat diese Zwangsbedingungen oder man gibt die Lorentz-Kovariance formal auf, kann die Eichung vollständig machen, kann die Zwangsbedingungen lösen, kann die überflüssigen Redundantenkomponenten eliminieren,

muss aber dann in einem nicht Lorentz-Kovarianten Rahmen arbeiten und muss am Ende des Tages überprüfen, ob die Theorie nach der Qualisierung insbesondere immer noch Lorentz-invariant ist. Also es kommt immer um seinen Preis. Gut, das werden wir dann nächste Woche im Detail sehen. Dankeschön.