Ja, ich hab hier gegrüßt, wir sind in der dritten Woche jetzt und ich hab auch mal nachgefragt,

ob außerhalb andere Amtsverzuher haben von außerhalb, in der Tat zumindest von Bielefeld habe ich Antwort bekommen, da wurde nachgefragt, da gibt es Leute, die sich die Aufzeichnung anschauen. Mal schauen, was die anderen Plätze noch mir rückmelden. Gut, ja ich hatte gehört, es gab eventuell einige Probleme technisch, weswegen die Vorlesung

vom letzten Mittwoch noch nicht im Netz steht, für den Fall, dass Sie mal nachgeschaut haben, aber das wird hoffentlich demnächst dann nachgeholt. Ja, ich hab gehört, die Übung ist soweit einigermaßen gut vonstatten gegangen,

letzten Donnerstag, also Sie können auch gerne an mich rückmelden, wenn Sie da irgendwelche Probleme mit hatten oder die Aufgaben zu heftig oder zu leicht oder nicht angemessen waren, dann werde ich dann entsprechend versuchen nachzukorrigieren. Ich bin ja immer in Kontakt mit der Frau Thormellen, die mir zusammen die Aufgaben entwirft.

Die nächste Übung wird dann entsprechend kommenden Donnerstag sein, also nicht morgen, sondern in der Woche drauf. Ja, ich sollte kurz wieder rekapitulieren, damit Sie hier reinkommen, wo wir stehen. Ich hatte Ihnen die Bewegungsgleichung gelöst und die Bewegungsgleichungen waren einfach

nur Wellengleichungen für den offenen oder geschlossenen Stringkoordinaten und die Lösung ist einfach eine Summe von einer Funktion von tau minus sigma, Rechtsläufer und eine Funktion von tau plus sigma, Linksläufer plus Randbedingungen für den offenen String

beziehungsweise Periodizität für den geschlossenen String und die Lösung war dann kodiert worden in einer Fourier-Entwicklung und die Fourier-Moden spielen eine wichtige Rolle, die werden in der Quantentheorie dann auch ganz zentral werden, deswegen schreibe ich das nochmal

zur Erinnerung auf. Also für den geschlossenen String hatte das die Form einer Schwerpunktkoordinate, eines Terms linear in tau, dessen Koffizient im Wesentlichen der Schwerpunktsimpuls

ist, dann möglicherweise ein Term linear in sigma, aber ich klammer den mal ein, weil der nur auftaucht, wenn wir einen nicht trivial zusammenhängenden Tagetraum haben, der das String sich irgendwie wickeln kann, eine Windungszahl besitzt und die unendliche

Reihe von Schwingungsanregungen, von harmonischen Moden, wie man das von physikalischen Seiten kennt, die halt schwingen können, die Musik im wahrsten Sinne des Wortes steckt in diesen Termen, die Ober-Töne, das war also die Ingredienz des geschlossenen Strings,

wobei die Alphas entsprechenden Hermetizitätsbedingungen genügen formal und die P und Q hermetische Größen sind, also hermetizitäts- realitätsbedingungen, wir sind ja noch bei der klassischen String,

und es empfahl sich, Alpha Null einzuführen, das schreibe ich vielleicht auch nochmal hin, Alpha Null My ist proportional zu Pr, wir hatten Pr und Pl, ich unterscheide mal jetzt

vielleicht hier gerade nicht, ich schreibe einfach nur P, P My, na gut, schreibe mal P My R, also wir hatten ja R und L und der Mittelwert von P My R und P My L war P My, mit Schlangen entsprechend, also ich schreibe nicht alle gleich und jetzt noch einmal auf, nur so um Sie wieder zu erinnern, wie die Dinge zusammenhängen.

Für den offenen String Situationen ähnlich, wir hatten für eine Dirichlet-Koordinate beziehungsweise Neumann-Koordinate, das sieht so aus, T, also die obere Zeile

gilt jeweils für Neumann-Randbedingungen und die untere Zeile für Dirichlet-Randbedingungen

entweder Cosinus N Sigma oder I Sinus N Sigma, ja ist klar, hier verschwindet diese Funktion, verschwindet am Rand und diese nicht, aber da verschwindet die Ableitung

am Rand, gut, also für Neumann oder Dirichlet, ja und die Hauptproblematik besteht nun darin, für die, also um Lösungen, klassische Lösungen zu finden, um klassische

Bewegung des Strings zu konstruieren, an die Anfangsbedingungen, die Zwangsbedingungen zu stellen, also die Zwangsbedingungen zu lösen für die Anfangsbedingungen, also die als Einschränkungen in die Anfangsbedingungen zu überprüfen, ja, zu lösen. Also Zwangsbedingungen gleich Einschränkungen der Anfangswerte, das heißt x,

zum Beispiel wenn ich Tau gleich Null wähle, x für Tau gleich Null in Sigma, ja, denn ich habe Ihnen gezeigt, dass dann auch die Zwangsbedingungen erfüllt sind für alle späteren Zeiten, aufgrund der, als Folge der Bewegungsgleichung.

Und die Anfangsbedingungen selbst, ja, habe ich auch Folie zerlegt, das ist T minus minus, für Tau gleich Null jetzt, das reicht aus, und die Moden heißen Ln,

und für T plus plus heißen die Moden N Schlange, L Schlange, und diese Moden lassen sich,

Also ist das vom Punkt für die ganze Zeit über gelten, oder ist das eher Zufall, dass man es dann gefunden hat? Nee, nee, das lässt sich beweisen. Ja, das lässt sich beweisen, aber wo das nicht der Fall ist. Nö, was heißt Modelle, ja, also in der Stringtheorie.

Sie könnten natürlich auf die Idee kommen, ich wähle irgendeine andere Einschränkung meiner Anfangsbedingungen, die dann nichts mehr zu tun hat, dann wird die in aller Regel natürlich nicht in der Zeit erhalten sein, ja. Das ist schon so, dass das etwas zu tun hat mit den Bewegungsgleichungen, das kommt ja ursprünglich aus einer Theorie, in der das auch Teil der Bewegungsgleichung

war, wenn Sie an den Polyakov String denken, die Polyakov Formulierung, da ist die Bewegungsgleichung letztendlich für die Hilfsmetrik. Und die Hilfsmetrik und die Stringkoordinaten sind ja verheiratet sozusagen in der geometrischen Wirkung.

Das heißt, die hängen schon, deren Bewegungsgleichungen sind jetzt nicht völlig, ja, wie soll ich sagen, moralisch völlig unabhängig voneinander. Die haben schon was miteinander zu tun. Ja, denn das sind ja, diese Bedingungen sagen etwas letztendlich, wenn Sie es denn im Hamburg-Gottes-String auch angucken, über die Eigenschaften dieser

Koordinaten, also Orthogonalität und so weiter. Ja, also ich will sagen, wenn Sie mit Koordinaten anfangen, wo x Punkt und x Strich halt senkrecht stehen, dann sehen Sie schon, die Wellengleichung

ändert diese Eigenschaft nicht, das sieht man fast zu Fuß. Ja, was wir brauchen werden, sind halt eben auch die Ausdrücke dieser Moden in Begriffen dieser Moden hier, der Alphas und der Betas.

Also wir müssen diese Lns durch Alphas und Betas ausdrücken, was wir können, denn wir wissen, dass die hier, diese T's quadratische Objekte in x sind und das ist eine einfache Übung, in Folieanalyse das auszurechnen, das hatte ich Ihnen auch schon hingeschrieben, dass es im Wesentlichen die folgenden Summen sind.

Ja, es ist eine halbe Summe m, alpha n minus m, alpha m und hier entsprechend. Dann eine wesentliche Rolle spielt der Null-Mod, L0, also

der Mittelwert quasi dieser Zwangsbedingungen und da schreibe ich die Summe und die Differenz nochmal hin. Also die anfangs, ja wie soll ich sagen, das ist also Null und das

ist Null, das ist die Zwangsbedingung selbst und die Differenz und die Summe hat da eine besonders nette Form, nr minus nL, wobei

okay, nr und nL kann ich gleich nochmal hinschreiben, was das ist. Das ist jetzt für den geschlossenen String, ich mache im Moment, ja,

also ich bin jetzt nicht immer ganz klar in der Unterscheidung hier, natürlich für den, das ist jetzt für den geschlossenen String, für den offenen String kann ich die Ausdruck auch hinschreiben, da gibt es kein unabhängiges T plus plus, sondern da gibt es nur eine entsprechende Linearkombination von

T plus plus und T minus minus, eine Kombination, die Alphas, die heißen ja dann Betas, aber das ist der gleiche Ausdruck, ja, ich schreibe ihn jetzt nicht hin. Also lassen Sie mich einfach hier wieder über den geschlossenen String reden, ja, für den geschlossenen String

und ich sage dann einfach, was sich ändert im geschlossenen, im offenen Fall. So und das n, die ns, nr ist einfach eine Abkürzung für die Summe m plus 0 alpha minus m alpha m, ja,

denn bei der L0-Bedingung steht ja hier n gleich 0, das heißt, die Indizitionen addieren sich zu 0 und dann gibt es jeden Index, jeden doppelt, einmal für m ersetzt durch minus m, außer für m gleich 0, ja, und den nehme ich raus aus der Summe, der steht zum Beispiel hier, das ist das p-Quadrat,

also es gibt ein halb alpha 0-Quadrat in dieser Summe, das habe ich explizit hingeschrieben, alle, hier stehen alle Alphas drin, deren Index von 0 verschieden ist, die eigentlichen Modenanregungen, das alpha 0 ist ja der Schwerpunktimpuls und

entspricht natürlich für nl mit den getilteten Moden. Ja, diese Bedingung, falls w jetzt 0 ist, sagt uns das etwas, dass eben Rechts- und

Linksläufer die gleiche Stärke, wenn sie so wollen, von Schwingungsanregungen haben müssen, ja, und ja, dieses hier ist ein interessantes Gleiching, denn sie gibt eine Beziehung zwischen p-Quadrat, also dem Raumzeitimpuls Quadrat, Schwerpunktimpuls des

Stringes und den Anregungen, das ist etwas, was analog ist zu dem, was bei der Quantisierung, oder nicht bei der Quantisierung, beim relativistischen Punktteilchen auftritt, da haben sie ja die Zwangsbedingung p-Quadrat plus m-Quadrat gleich 0, in der von mir gewählten Metrik, ja, das heißt,

das ist die Massenschalenbedingung, wobei hier die Masse, wenn sie so wollen, für den String, wenn er weit entfernt als Punktteilchen erscheint, nichts ist, was sie irgendwie erfinden, sondern das hängt ab von seinem Schwingungszustand, nämlich von der Größe, von der Anzahl, von dem Wert dieser Größen nL und nR,

wie sehr der angeregt ist, und das möchte ich ein bisschen mehr erläutern, vielleicht erst noch für den offenen String, kurz, das habe ich ja auch aufgeschrieben, für den offenen String gibt es eben nur ein Ln,

zum Beispiel das, ja, oder ich schreibe die L0-Bedingung mal hin, das Ln schreibe ich jetzt nicht hin, 0 gleich L0, gleich ein halb, ja, das ist ein Beta 0-Quadrat plus Summe Beta minus m Beta m,

m größer 0, also es sieht ganz ähnlich aus, wie hier für die Summe, nur dass eben nur eine Art von Oszillatoren auftritt, und wir können das ebenfalls so schreiben plus n,

wobei das n hier natürlich einfach nur dieser zweite Term ist, nämlich Summe m größer 0, Beta minus m Beta m, ja, das ist sozusagen die offene Stringvariante,

da gibt es eben nur eine Bedingung. Ja, und das lassen Sie mich mal folgende Situation betrachten, ja, nehme, wir kompaktifizieren den String,

und zwar folgendermaßen, die Koordinaten mu seien zerlegt in Koordinaten m, das wären jetzt externe Raumzeitkoordinaten,

das sind also die Koordinaten, die Ihnen die nicht kompakten Richtungen zeigen, also wenn wir nach vier Dimensionen kompaktifizieren, würde das m laufen über 0, 1, 2, 3, vier Dimensionen Mikowski Raum, die übrigen D minus 4,

ja, Koordinaten seien kompakt, und die nenne ich, einfach mit großlateinischem Buchstaben, kürze ich die ab, wobei man hier nochmal unterscheiden kann, also das sind die internen Koordinaten, und die internen Koordinaten können hier auch mal zerlegen in einige, die Neumann und andere, die Dirichle,

für den offenen String zumindest, Randbedingungen genügen, ja, für den geschlossenen String spielt das jetzt keine Rolle, aber da könnte es Koordinaten geben, wo nicht triviale Windungen auftauchen und solche, wo das nicht auftaucht, ja, das analoge zu der Dirichle-Randbedingung beim offenen String, wo wir ein W haben, ja,

das seht ihr da oben in der zweiten Zeile, ist beim geschlossenen String eben die Möglichkeit eines Winding, ja, also wir können auch beim geschlossenen String so eine Unterscheidung machen zwischen Dimensionen, die sowas haben und solche, die es nicht haben, und das heißt jetzt natürlich, das p-Quadrat, ja,

wenn ich das zerlege, ist einfach ein p-Extern-Quadrat plus ein p-Intern-Quadrat, einfach die Summe dieser Therme, und wir haben das mit dem W natürlich auch,

ja, also wenn ich jetzt gucke, Moment, richtig, bei dem geschlossenen String, ne, beim offenen String zum Beispiel, wäre es jetzt so, dass wir gar keinen, nicht unbedingt so ein p haben, da ist das p einfach ersetzt, ja,

zum Beispiel in der Neumann-Richtung haben wir ein p, in der Dirichle-Richtung haben wir ein w, ja, und das tritt auch hier in der Kombination immer auf, tritt immer p-Quadrat plus w-Quadrat auf, also es gibt sozusagen Beiträge von den Neumann-Richtungen und es gibt Beiträge von den Dirichle-Richtungen, ja, das ist immer die Summe.

Ja, was ist jetzt die Masse, die ein punktförmiger String von weit weg haben soll oder hat? Also ein sozusagen unter geringer Auflösung betrachtet,

wirkt, erscheint, wirkt ein String wie ein Punktteilchen

mit Masse, Massenquadrat, m-Quadrat gleich minus p-Externquadrat, ja, das sind ja die Komponenten des Impulses,

die in vier Dimensionen dann die Masse bilden, ja, das liegt ja auch in der Massenschale, und ich kann jetzt dieses m-Quadrat ausrechnen, indem ich einfach hier natürlich dergleichen hier nach p-Externquadrat auflöse, ja, das ist hier die Summe, also folgt aus dieser Bedingung alpha Strich mal m-Quadrat

mit alpha Strich, dass ich mich da nicht durchteilen muss, ich sagte jetzt minus alpha Strich p-Externquadrat und das ist, naja, im geschlossenen String die Summe dieser beiden mal zwei,

nun hatte ich im geschlossenen String auch ein n definiert, nämlich einfach hier n war definiert worden als, was war das, das war der Mittelwert, ein halbnr plus nl habe ich auch für den offenen String benutzt,

dann steht hier, wenn ich das mit zwei multipliziere, dann zwei und hier steht die Summe, das heißt, ich kriege ein vier, ja, 4n, wenn dieses hier ist zwei mal n und hier habe ich einfach halbe, alpha Strich halbe, also 4n, während hier habe ich einfach nur n.

Vier ist beta-Quadrat, denn ich habe, schreibe ich gleich nochmal in, diese Größe beta eingeführt und der restliche Term ist derselbe, alpha Strich p-Quadrat p-Internquadrat plus d-Quadrat. Diese Formel gilt also für den offenen und den geschlossenen String,

beta gleich eins für open oder offen und beta vielleicht zwei für geschlossen. Dann wird dieselbe Formel verwendet mit den entsprechenden Definitionen.

Das heißt, die Erkenntnis hier ist, dass die Masse eines solchen Strings gegeben ist im Wesentlichen durch die, natürlich durch den Impuls in Richtung der kompaktisierten Koordinaten,

aber auch durch die Anregungsmoden, die er hat, die Stärke der Anregung. Dann möchte ich zum Schluss dieses Kapitels ein bisschen noch sagen über Lösungen. Das sind jetzt eigentlich, wir haben jetzt alles zusammengetragen, was man braucht. Dann ist die Frage, wie gehe ich vor, wenn ich wirklich konkrete Lösungen mir beschaffen möchte? Wenn ich wissen will, kann ich mir einen Sprungsseil aus einem relativistischen Nambu-Goto-String bauen?

Funktioniert das? Solche Aufgaben findet man in manchen Stringbüchern, zu Übungsaufgaben. Das ist ganz spaßig, die mal zu versuchen zu lösen. Das wird hier für die Vorlesungen etwas zu kompliziert, aber drei einfache Beispiele möchte ich doch vorführen.

Ich beginne mit dem offenen String, weil der in der Hinsicht etwas einfacher ist. Klassische Stringlösungen. Ich lehre die Überschrift zunächst mal offen.

Vielleicht fange ich mit der folgenden allgemeinen Beobachtung an.

Für diesen Zweck wähle ich jetzt nicht, ich wähle die konforme Eichung, die autokonale Eichung, aber ich wähle nicht die Lichtgegel-Unter-Eichung oder transversale Unter-Eichung, ich wähle eine andere, ich wähle eine temporale Unter-Eichung. Wir hatten ja gesehen, in der konformen Eichung habe ich noch residuelle Eich-Transformation, also Koordinatenfreiheit, und ich hatte die benutzt, um eine Koordinate proportional zu tau zu wählen.

Ich hatte eine Lichtgegel-Kombination gewählt, weil das gewisse Vorteile hat. Hier für den Fall wähle ich aber, das ist mir Standard, einfach die nulle String-Komponente, also x0 identifiziere ich im Wesentlichen mit tau. Das ist das, was man beim Punktteichen ja auch macht. Das ist meine temporale Eichung.

Also Eichung konform oder orthogonal plus temporal. Temporal heißt, ich wähle x0 gleich irgendeinen Proportionalitätsfaktor brauche ich,

zumindest nützlich aus Dimensionsgründen, denn Sigma und tau sind dimensionslos, Sigma läuft von 0 bis Pi, und die String-Koordinaten haben eigentlich Dimension, das sind ja Längen, Zentimeter zum Beispiel, also sollte ich irgendwie

Dann erinnere ich nochmal an die Lösung im offenen String, das steht hier jetzt nicht mehr so da, aber wenn Sie in der Aufzeichnung gucken, sehen Sie, dass ich diese Funktion schreiben konnte, als die Summe von einem Rechtsläufer und einem Linksläufer,

wobei im Gegensatz zum geschlossenen String diese beiden Funktionen dieselbe Funktion waren. Ich schreibe es nochmal hin, xµ open, und jetzt nicht xµ open, sondern xi, weil x0 habe ich ja schon festgelegt, und die anderen Koordinaten laufen jetzt von 1 bis d-1,

das sind dann die räumlichen Koordinaten, und die Lösung konnte ich in der Form schreiben, tau minus Sigma plus oder minus je nach Randbedingung tau plus Sigma, wobei halt hier, wie gesagt, das f ist dieselbe Funktion, das war eine Linearkombination von x links und x rechts.

Die wichtige Eigenschaft, die das f hat, ist, dass es quasi periodisch ist, und zwar Periode 2π, weil die ursprünglichen Bestandteile, aus denen ich das zusammengebaut habe, kamen ja vom geschlossenen String. Diese Funktionen sind periodisch bis auf eine Verschiebung,

die Verschiebung hängt direkt mit dem Impuls zusammen oder mit der Windungszahl, je nachdem, ob wir in die Richtlinienbedingungen sind, und natürlich muss diese Funktion f einer Nebenbedingung genügen, einer Einschränkung, die von unseren Zwangsbedingungen kommt.

Also wir müssen ja diese Verasoro-Bedingungen, so heißen sie, irgendwie erfüllen, und das lässt sich nachrechnen, dass in dieser Eichung diese ganzen Bedingungen sehr einfach werden. Es ist nämlich nur die Bedingung, dass fi' – also fi' ist die Ableitung –

gleich kappa² ist. Also das ist einfach das räumliche Skalarprodukt von der Ableitung der Funktion. Das heißt, die Ableitung von f ist sozusagen ein Vektor konstanter Länge.

Und das ist alles. Und man sieht, dass diese Kurve, schreibt man so f von u, ist gerade der linke Sigma gleich Null-Rand des offenen Strings.

Sigma gleich Null wählen, dann steht hier ja f für die Neumann-Randbedingungen. Die richtige Randbedingung hebt es weg.

Da ist ja auch Null. Wenn ich x von Null gleich Null wähle, tut es dann, ja, dann ist das Minuszeichen hier. Im anderen Fall addiert es sich zweimal, also es ist einfach ein Faktor 2, die Funktion addiert sich zu sich selbst. Und ein Halb, also ist a der f. Also xi open von Sigma gleich Null ist fi' von Null. Ja, von tau schon, von tau.

Und alle anderen Punkte sind quasi, wenn sie sollen, Mittelwerte von dem Wert dieser Funktion einfach verschoben nach oben und nach unten. Das heißt, es sieht irgendwie so aus, wir haben ja in ihrer Raumzeit irgendwie, hier sind die Werte. Und diese Funktion ist periodisch. Also dieses Bild ist nicht gut.

Die ist, ich versuche mal ein Bild zu malen. Vielleicht male ich es hier. Vielleicht sieht das so aus. Hier wäre also, das wären die Punkte der Vektor, der vom Ursprung irgendwie hin zeigt auf ein F. An einem bestimmten Wert u. u ist der Parameter.

Und das ist, wenn u um 2 pi erhöht wird, dann ist der Funktionswert einfach nur um einen festen Vektor verschoben. Diesen Vektor 4 pi Alpha' mal pi zum Beispiel. Das heißt, das wiederholt sich. Sie müssen also die Funktion nur kennen über eine Periode.

Der Rest wird periodisch fortgesetzt. Das sagt Ihnen schon ein bisschen was über die Stringbewegung aus. Und das ist der linke Rand. Und alle anderen Punkte zu einem festen Zeitpunkt tau, also wenn wir zum Beispiel hier hingehen, das entspricht einem Wert tau. Wie kriegen wir die? Nun, wir müssen einfach ein Stück nach sigma hier nach oben wandern.

Also sagen wir mal, hier ist tau, hier ist jetzt tau plus sigma. Und hier wäre tau minus sigma. Ein Stück weiter zurück. Und dann ist das der Mittelwert. Eine andere Farbe.

Der Punkt hier wäre dann der Wert x Vektor oder x i von tau und diesem Wert von sigma. Und wenn ich jetzt dieses sigma laufen lasse, also dann gibt es halt weitere Mittelwerte.

Und alle diese Mittelwerte sind die Punkte, auf denen für diesen Wert von tau der String liegt.

Das andere Ende des Strings ist erreicht, wenn sigma den Wert pi annimmt. Ich darf also nur bis pi gehen. Also hier irgendwo ist sigma gleich pi. Also hier ist tau plus pi. Und hier meinetwegen ist tau minus pi. Und das ist dann der letzte Mittelwert, den ich bilden muss.

Ich habe das jetzt schlecht gezeichnet, also irgendwo hier ist dann Schluss. Das ist sozusagen der Schnappschuss des Strings zu diesem Zeitpunkt tau, der zu diesem Endpunkt gehört hier. Und Sie können das jetzt quasi zu jedem Zeitpunkt tau machen

und dann kriegen Sie eine Bewegung des Strings. Sie sehen, wie sich das andere Ende bewegt und alles, wie die Punkte dazwischen zu jedem Zeitpunkt tau aussehen. Also es gibt eine geometrische Konstruktion. Es ist nicht so kompliziert wirklich. Aber es treten interessante Sachen auf. Also beispielsweise kann es passieren, dass im String hier selber, in der Weltfläche,

Punkte mit Lichtgeschwindigkeit sich plötzlich bewegen. Und dann gibt es sogenannte Knicke. Man kann es sich vorstellen, dass an einer Stelle hier so eine Art Das deutet sich ja fast schon hier an, dass sich diese Linien hier so überschneiden. Und dann können Knicke auftreten, die sich dann mit Lichtgeschwindigkeit innerhalb des Strings von Innenpunkten nach außen bewegen

und vom Rand reflektiert werden. Also es kann recht kompliziert werden. Also nicht so ganz simpel, diese Stringlösung. Gut. Das zur allgemeinen Bewegung. Dann stelle ich Ihnen einfach noch drei konkrete Lösungen vor.

Erstmal zwei für den offenen String. Ich glaube, ich schreibe das am besten hin. Ja, ich mache es mal so. Also X von Sigma und Tau.

Wissen wir ja, ist ein halb. Ach so, ich könnte das eigentlich jetzt übernehmen. Na ja, ich schreibe es ruhig. Ich schreibe es mal so. A von Sigma plus Tau.

Das ist einfach eine Parametrisierung. Plus ein halb B von Sigma minus Tau. Und die Constraints, die Zwangsbedingungen führen dann dazu, dass, also einmal X Punkt mal X Strich. Ja, jetzt muss ich überlegen. Vielleicht schreibe ich das hier unten noch hin. In dieser Eichung geht natürlich X Null Punkt ist gleich Kappa.

Und X Strich Null ist Null. Ja, also diese Teile sind immer einfach. Das heißt, wenn ich das Skalarprodukt bilde, kriege ich hier mal, der Termtreg nicht bei. Und von dem hier kriege ich dann einfach nur,

also ich bekomme X Punkt mal X Strich. Und das ist dann, ach so, jetzt muss ich das ausrechnen, weil ich einmal die, genau, X Punkt, richtig, ich brauche X Punkt und X Strich, also X Punkt.

Vektor ist ein halb, ich schreibe es mal A Strich. Strich ist jetzt die Ableitung nach dem Argument. Minus B Strich und X Strich ist ein halb A Strich plus B Strich.

Und beim Ableiten nach Tau bekomme ich hier aus der inneren Ableitung Vorzeichen. Wenn ich das Skalarprodukt bilde, sehen Sie, über die binomische Formel, es gibt nur A Quadrat minus B Quadrat. Also es kommt daraus ein halb A Strich Quadrat minus B Strich Quadrat.

Und die andere Bedingung war ja, X Punkt Quadrat plus X Strich Quadrat soll verschwinden. Und wenn ich das auswerte, dann sehen Sie, X Punkt Quadrat liefert jetzt hier von der Nullkomponente einen Beitrag, weil wir die Metrik Minus Plus Plus Plus haben, ja, Minkowski, ist das ein Minus Kappa Quadrat.

Und der Rest ist einfach X Vektor Punkt Quadrat plus X Vektor Strich Quadrat, also die räumlichen Anteile. Aber die kann ich leicht hier ablesen. Wenn Sie das quadrieren und das quadrieren und das addieren, dann fallen die Mischterme wieder weg.

Und Sie kriegen zweimal ein halb, ich kann gucken, wie es aussieht, kriegen ein Viertel, muss wieder ein halb geben, glaube ich, wenn ich das richtig sehe, ein halb A Strich Quadrat plus B Strich Quadrat.

Also Plus Kappa Quadrat, also Minus Kappa Quadrat habe ich vergessen. Das bleibt ja wieder da stehen. Genau, das heißt, hieraus lerne ich A Strich Quadrat gleich B Strich Quadrat gleich Kappa Quadrat.

Und jetzt muss ich nur eine geeignete Funktion A und B wählen, die mir eine Lösung gibt. Und das einfachste Beispiel wäre, ich schreibe einfach die Lösung hin,

x1, also x0 haben wir ja schon, steht da oben, das ist eine 1, kein Strich, x1 ist gleich L mal Cosinus Sigma mal Cosinus Tau.

x2 ist gleich L Cosinus Sigma Sinus Tau. Und alle anderen sind 0.

Ja, jetzt muss ich im Grunde, Sie können sich selber überlegen, was die Funktionen A und B in dem Fall sind. Also ich kann das schreiben als eine Funktion von Sigma Tau, Plus Tau und Sigma Minus Tau, also mit Exponentialfunktion,

das ist nicht weiter schwer. Ich kann aber jetzt auch nachprüfen, ob das den Bedingungen genügt, das kann ich auch direkt machen. Und dann sehen Sie, weil x Punkt,

x Punkt und x Strich den Senkrecht aufeinander, das sieht man sehr schnell. Also x Punkt, vielleicht schreibe ich es mal so. Also x Punkt ist gleich, hier oben steht Kappa, die Nullkomponente und die anderen Komponenten sind Minus L Cosinus Sigma Cosinus Tau

und hier L Cosinus Sigma Cosinus Tau und x Strich ist, und die anderen Komponenten sind 0. Und hier haben wir Null und hier haben wir, differenzieren nach Sigma, ist Minus L Sinus Sigma Cosinus Tau

Minus L Sinus Sigma Sinus Tau und Sie sehen, und Null natürlich, Sie sehen, dass diese Vektoren senkrecht aufeinander stehen und Sie sehen, wenn Sie die Summe Lorenz quadrieren,

dann steht hier Minus Kappa Quadrat und diese restlichen Räumlichen Anteile geben einfach L Quadrat. Also was Sie lernen ist, L muss gleich Kappa sein, damit das stimmt. Das ist einfach, A Strich Quadrat und B Strich Quadrat ist einfach das, was hier steht, das ist L Quadrat in dem Fall.

Aber hier, es muss ja gleich Kappa Quadrat sein. Also Plus oder Minus Vorzeichen, spielt ja keine Rolle. Das heißt, die Wahl des Kappa hier in der Eichung bestimmt das L und das L hat was mit der Länge zu tun, denn es ist klar, der String reicht, wenn Sie sich zum Beispiel den Zeitpunkt tau gleich Null angucken,

zum Zeitpunkt tau gleich Null, wie sieht das aus? Dann ist das hier Null und wenn wir in die X1, X2 Ebene gucken, hat der String dann einfach die Ausdehnung,

tau gleich Null läuft hier, ist das 1, ist einfach X, ach so, Entschuldigung, ich muss hier gucken, tau gleich Null ist, X2 ist Null, das ist 1 und das ist einfach L mal Cosinus Sigma. Also das läuft, Sigma läuft ja von Null bis Pi,

also läuft das von Pi mal L bis Minus Pi mal L, diese Koordinate, liegt also einfach L bis Minus L in die 1-Richtung. Das wäre sozusagen der String, wobei hier der Rand,

das wäre Sigma gleich Null und hier ist der Rand Sigma gleich Pi. Und was passiert beim späteren Zeitpunkt? Das ist eine Rotation in der 1, 2 Ebene, das Ding fängt einfach an, na wie rum, mal gucken, für etwas größere Zeitpunkte wächst,

für Sigma gleich Null, wird das positiv, also so rum schätze ich mal, wenn das Ding so rotiert, mit einer Winkelgeschwindigkeit, die man leicht ausrechnen kann. Ja, das ist ja schon die Lösung,

das heißt, die Länge ist 2L und hat direkt zu tun mit der Parametrisierung, mit diesem Proportionalitätsfaktor Kappa, den ich gewählt habe. Man kann die Energie ausrechnen, die Energie von dem String ist ja einfach P Null,

der Wert der Nullkomponente, das war ja einfach 1 durch 2 Pi Alpha Strich mal Integral, die Sigma von X Punkt Null, von Null bis Pi, das können Sie sofort einsetzen,

X Punkt Null ist einfach Kappa, da steht Pi mal Kappa durch 2 Pi Alpha Strich und wenn ich die Stringspannung einführe, das ist also Pi mal Kappa mal, oder Kappa ist L, Pi mal L mal T, T ist die Stringspannung,

das ist 1 durch 2 Pi Alpha Strich, war das, und L ist ja Kappa, habe ich ja schon gerade gesehen, das ist die Energie. Ich kann auch die Masse ausrechnen, die Masse ist einfach minus P My P My, und was ist das?

Na gut, das ist minus P Null Quadrat plus, Entschuldigung, P Null Quadrat minus P Vektor Quadrat, P Vektor Quadrat ist Null, denn der Schwerpunkt des Strings bleibt in Ruhe, der liegt ja immer, wie man sieht, in der Lösung im Ursprung, also es gibt keinen Schwerpunktsempuls, aber es gibt ein P Null natürlich, das haben wir im Wesentlichen ja hier ausgerechnet,

also wir müssen einfach nur das Quadrieren, also die Energie ist einfach Pi Quadrat, L Quadrat, T Quadrat. Wir können auch den Drehimpuls ausrechnen, Drehimpuls in der 1, 2 Ebene,

J ist nichts anderes als J 1, 2, also wir haben keine anderen Bewegungen in einer anderen Ebene, und ich gebe einfach das Ergebnis an, also das lässt sich leicht nachrechnen mit den Ausdrucken, die ich angegeben habe, ist L Quadrat mal Pi mal T, und das heißt, es gibt eine Beziehung zwischen Masse und Drehimpuls,

also hieraus lesen Sie ab, dass der Drehimpuls nichts anderes ist als, naja, weil hier L Quadrat steht, Entschuldigung, das ist das Massen Quadrat,

das ist ja P Quadrat, also M Quadrat, vielleicht schreibe ich einfach M Quadrat, Masse, ja, M Quadrat, ich brauche den Buchstaben. Also Sie sehen, dass ich den Drehimpuls durch die Masse ausdrücken kann,

offensichtlich in beiden Fällen ist es L Quadrat, also wenn ich die Masse nehme, oder Massen Quadrat nehme, muss ich noch durch, was muss ich machen,

ich muss durch T teilen und durch 2 Pi Quadrat, durch 2 Pi teilen, ja, also 1 durch 2 Pi T mal M Quadrat, okay, und diese Größe 1 durch 2 Pi T, naja, T war 1 durch 2 Pi Alpha Strich, das ist gerade Alpha Strich,

und das heißt, ich kann einen Plot machen, hier M Quadrat auftragen und J, und dann gibt es eine Gerade, hier läuft sie nun durch den Ursprung, ja, mit einer Steigung Alpha Strich,

und das ist der eigentliche Grund, warum das Ding Alpha Strich heißt, denn in den alten dualen Resonanzmodellen wurden solche Funktionen Alpha von M Quadrat, wurde geschrieben, J ist gleich Alpha von M Quadrat, ja, als Funktion, und die Steigung, der lineare Anteil,

die ist natürlich Alpha Strich, ja, das war die konstante Ableitung, dieser Gerade, und das hat sich halt bis heute gehalten. Und man kann zeigen, dies ist eine obere Schranke, also allgemein gilt J Quadrat kleiner gleich Alpha Strich M Quadrat,

das heißt, es gibt, dieser ganze Bereich hier ist physikalisch möglich erlaubt,

Stringbewegungen können hier liegen. Gut, und das nennt man auch eine Regid Trajektorie, die ganzen historischen Namen spielen vielleicht keine so große Rolle mehr. Zweites Beispiel, das ist ein Beispiel für die Erich-Lehrer an Bedingungen,

was wäre einfacher als ein eingespanntes String? Dieser ist ja frei, Sie sehen auch, dass sich die End mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, kann man sehr leicht an diesen Ausdrücken nachprüfen.

Ja, wenn ich einen offenen String einspanne zwischen zwei Brains,

so dass die, sagen wir mal, die Koordinate, eine der Koordinaten X2, die Erich-Lehrer an Bedingungen genügt, dann habe ich folgendes, folgende Situation,

folgende Konfiguration, mal mal ein Bildchen, also zwei Richtungen nach oben, eins, zwei,

und ich wähle jetzt eine Brain, die, ja, ich sag mal,

ja, was mache ich mit anderen Richtungen, die hier liegt, und eine zweite Brain, die parallel dazu liegt, also hier ist eine Brain und hier ist eine Brain,

so dass die, ah, ne, Entschuldigung, ich hab's falsch rum gemeint, ich wähle in die Zwei-Richtung, aha, okay. Bewegung soll in die X1-Richtung möglich sein, aber falsch rum. Man muss immer, man muss bei diesen Erich-Lehrer an Bedingungen manchmal dual denken,

mal das Bild nochmal, also andersrum. So, also hier ist die Eins-Richtung, die Zwei-Richtung, ich hätte es auch umlabeln können, na gut, hier ist eine Brain und hier ist eine Brain, moment, das dringert in die Eins, nein,

so hatte ich, also jetzt ist es mir zu bunt, jetzt wählen wir es einfach, wählen wir die Koordinaten um, ja, ich hab keine Lust, neu zu zeichnen,

also das ist halt die Eins-Richtung, das ist die Zwei-Richtung. Okay, das heißt, der String ist hier die Zwei-Koordinate des Strings, ja, die ist eingeschränkt und wir können meinetwegen auch diese Brain eindimensional haben,

also die übrigen Richtungen, ja, wenn die Brain sich nicht ausdehnt in ihre Richtung, ja, in die Drei-Richtung beispielsweise, dann muss das linke Ende des Strings, kann sich nur entlang dieser Achse bewegen, ja, und kann auch nicht auf sie zukommen.

Wenn die Brain ausgedehnt ist, dann hat es die Freiheit natürlich davon wegzukommen. Ich möchte dabei gerne die anderen Koordinaten des Strings, also die Drei- und Vier- und Fünf-Richtung, alle Null setzen, ja, das kann ich zum Beispiel damit erreichen, dass ich hier sage, diese Brain ist nur, ja, die ist eindimensional, das ist jetzt ein räumliches Bild,

Zeitachse ist nicht dabei, ja, und ich möchte, aber wenn ich die Koordinaten komplett Null setze, heißt das aber, dass ich auch, das andere Ende müsste ja auch Null sein, das heißt, das andere Ende des Strings, was ja hier liegt, darf sich aber dann auch nicht hier wegbewegen,

das heißt, diese Brain müsste auch eindimensional sein, ja, dann ist es so, dass wenn die beiden Brain-Sets eindimensional sind, dann ist keine Bewegung des Strings, also ist Bewegung des Strings natürlich in ihrer Richtung möglich, aber die Ränder müssen auf der Tafel bleiben. Und dann heißt es, ich kann Lösungen haben, wo der String komplett in der Ebene sich bewegt und nicht aus der Tafel heraus, das wäre eine spezielle Lösung.

Also man muss ein bisschen überlegen, ja, wie man die Lösung bastelt, gut, und dann habe ich Dimensionen, hier habe ich, das sei eine Ausdehnung L, also das ist mein L, Abstand der beiden Brains, und dann schreibe ich einfach mal eine Lösung an,

wieder kappa mal tau, die temporale Eichung, für x1 lasse ich jetzt eine Bewegung zu, ich schreibe das mal so, v mal t, also v mal tau, also es wäre v mal t, wenn Sie so wollen, wenn t, v mal x0, dann schreibe ich das mal so, und x2, ja, ich wähle einfach einen sehr einfachen String,

der sich eben nicht, der hier nicht gebogen ist, er einfach in der Geradenlinie sich erstreckt und dann nehme ich hier L durch Pi mal Sigma.

Zum Zeitpunkt tau gleich 0, ist die Koordinate hier x1, ja, ist für festes tau konstant, das heißt der String ist einfach eine horizontale Linie hier, ja, und ist parametrisiert,

x2 ist parametrisiert, den String von links nach rechts, und Sie sehen bei Sigma gleich Pi ist x2 gleich L, alle anderen Koordinaten sollen verschwinden, ja, jetzt kann man wieder nachrechnen, die Zwangsbedingungen, und vielleicht, ja, was am einfachsten ist, wir berechnen mal,

ja, das ist, okay, ich schreibe es einfach hin, x0, x Punkt, wäre wieder kappa, kappa v, 0 und so weiter,

Strich ist 0, 0, L durch Pi, 0 und so weiter, und Sie sehen offensichtlich, die Senker hier aufeinander, ja, das ist klar, aber ich muss natürlich die andere Bedingung überprüfen,

die da wäre 0 gleich x Punkt Quadrat plus x Strich Quadrat, und da kriege ich hier, das ist kappa Quadrat mal minus 1 plus v Quadrat plus L durch Pi zum Quadrat,

ja, das können Sie jetzt wieder nach kappa auflösen, und kriegen halt raus, dass kappa gleich L durch Pi mal Wurzel aus 1 minus v Quadrat ist, ja, also v sollte besser nicht größer als 1 werden, 1 ist die Lichtgeschwindigkeit, ja, das sieht man ja auch, ist ein relativistischer String, ist vernünftig,

das ist der Längenkontraktionsfaktor, der sagt, dass die Länge des String mit dieser, ja, dimensionsbehafteten Größe hier in der Eichung über eine Lorenzkontraktion irgendwie zusammenhängt, ja, und sich dann einfach, der bewegt sich, der liegt also hier und bewegt sich einfach nach oben,

das ist quasi die sehr einfache Situation, die hier beschrieben wird. Ja, zum Schluss noch eine Lösung für den geschlossenen String, wieder temporale Eichung,

x0 ist gleich, ja, kappa tau wieder meinetwegen, und ich schreibe einfach eine Lösung an, also man muss ein bisschen raten, ja, man kann irgendwas versuchen und man muss halt immer gucken,

ob diese Anfangsbedingungen erfüllt sind, was ja nicht, mit ein bisschen Übung kann man eine Lösung leicht erzeugen. Ja, cosinus sigma cosinus tau, x2 sieht ähnlich aus wie die Lösung für den offenen String,

ja, die steht ja noch da oben, ein bisschen anders, sinus, ne, cosinus tau,

Entschuldigung, Fehler, cosinus tau, auch ein cosinus hier, gerade gucken, habe ich jetzt, sehe ich die Periodizität,

ja, der Unterschied ist natürlich, da oben lief sigma nur von 0 bis Pi, jetzt läuft sigma von 0 bis 2 Pi, geschlossenes String, das heißt, es ist wirklich geschlossenes String, denn die Funktion ist 2 Pi periodisch, wenn Sie da oben die Lösung weiterlaufen würden, lassen würden, sigma von 0 bis 2 Pi laufen lassen würden,

dann wäre einfach dieser, naja, dann wird es wieder zurückgelaufen, ja, also wäre für tau gleich 0 beispielsweise, wäre das einfach hin und wieder zurückparameterisiert worden, so könnte man auch ein geschlossenes String haben, der halt entartet wird, also auf sich selbst zusammenfaltet,

das ist ein raungeschlossener String, der sähe so aus, aber hier sind die Funktionen ein klein bisschen anders, und dieser etwas unschuldige Unterschied hier mit den Winkelfunktionen, der sorgt dafür, dass eben bei tau gleich 0 Sie jetzt nicht eine Gerade haben, sondern ein Kreis, cosinus in sigma, ja,

also dieser Flip zwischen dem ersten und zweiten Faktor macht den ganzen Unterschied. Gut, man kann wiederum nachrechnen, dass das funktioniert, x Punkt mal x Strich ist in der Tat 0,

und wenn man x Punkt Quadrat plus x Strich Quadrat ausrechnet, dann sieht man wiederum, es gibt einen Beitrag kappa Quadrat von hier oben, minus kappa Quadrat, und von hier unten gibt es einfach 1 plus r Quadrat, also man lernt daraus, dass kappa besser gleich r ist, also wenn man die entsprechende Ausdehnung dieses Strings beschreiben will,

und wie sieht der String hier aus? Nun, der ist einfach, ich mal mal ein räumliches Bild zunächst, in der 1 2 Ebene, der sieht jetzt so aus, mit Abstand r, Radius r, zum Zeitpunkt tau gleich 0, das wäre ja auch hier tau gleich der String zum Zeitpunkt tau gleich 0,

und da oben habe ich dann die Bewegung ja auch angedeutet, das ist der Unterschied, diese Konfiguration gegenüber dieser. Und wie bewegt er sich nun? Nun, der rotiert nicht, der ist eben im Ortsraum schon im Kreis,

aber dieser Faktor hier ist ja einfach ein Schrumpfungsfaktor für diesen Kreis, wenn das 1 ist, ist es ein Kreis des Radius r, wenn dieser Faktor nicht 1 ist, ist der Kreis Radius entsprechend verändert, nämlich kleiner als 1, große wird der maximal 1, das heißt dieser Faktor variiert periodisch zwischen plus 1 und minus 1 und geht durch 0, das heißt dieser Kreis,

String wird anfangen zu schrumpfen, bleibt immer ein konzentrischer Kreis, geht durch einen Kollaps, durch einen Ursprung, dann ist es punktförmig und dehnt sich wieder aus, dann ist es r geht nach minus r über, also die Punkte gehen durcheinander, sozusagen auf die entgegenliegende Seite und so weiter, das heißt das raumzeitliche Bild, das versuche zu zeichnen,

also hier die 1 und 2 Eben und hier die 0 Eben, dann hätten wir irgendwie zu einem Zeitpunkt tau gleich 0, ein Kreis und dann geht das halt periodisch sofort, aber in die Richtung.

Und Sie sehen es ist schon gar nicht so einfach Singularitäten zu vermeiden bei geschlossenen Stringlösungen, das ist relativ typisch, das ist ja auch naheliegend anschaulich, denn der String steht unter Spannung und ein String, wenn Sie einen offenen String einfach nehmen und der den Enden würde nicht mit Lichtgeschwindigkeit rotieren, würde er ja zusammenschnurren, die Tatsache, dass er sich aber mit Lichtgeschwindigkeit bewegen muss an den Enden,

verhindert das, die Zertifugalkraft, wenn Sie so wollen, ist groß genug, aber einen geschlossenen String haben wir diese Bedingungen nicht, das heißt, wenn Sie ihn irgendwo hinlegen und dem keinen Anfangsimpuls irgendwie zertifugal geben, dann schrumpft er natürlich einfach zusammen, aber der kann da nicht bleiben, weil die Energie muss erhalten bleiben, das heißt, der schwingt immer hin und zurück, es muss ja auch periodisch gehen, wie wir gesehen haben.

Also man kann ein bisschen Intuition entwickeln auf die Art und Weise. Mehr wollte ich eigentlich nicht sagen, wer sich dafür interessiert, kann in einschlägigen Büchern, auch gerne von mir, mehr Beispiele finden, es gibt da durchaus Exotisches, es gibt auch Computer, Programme, die Leute verwendet haben, um alle möglichen Lösungen zu erzeugen.

Es ist eine Spielwiese, die aber mit der Anwendung in der Elementarteichenphysik und in der fundamentalen Physik wenig zu tun hat. Denn für diese Anwendung...

Jetzt muss der String quantisiert werden. Das ist der eigentliche Witz natürlich, dass dieser quantisierte String ja irgendetwas zu tun hat mit Quantenfeldtheorie, mit Gravitation und möglicherweise das Spektrum der Elementarteichen kodiert,

die Wechselwirkung vereinigt und dazu müssen wir zur Quantenversion dieses String. Wir müssen uns überlegen, was passiert, jetzt wenn ich versuche, dieses Objekt zu quantisieren.

Nun wissen Sie vielleicht, dass es bei Punkteilchen dort sozusagen zwei Ansätze gibt. Nicht relativistische Punkteilchen quantisiert man einfach, indem man, ich schrull ihn gleich und hinschreibt, also das lernen Sie in der Quantenmechanik.

Wenn Sie das für relativistische Punkteilchen machen, gibt es Schwierigkeiten. Die haben wir ein bisschen schon gesehen, es gibt diese Zwangsbedingungen und vor allen Dingen wissen Sie, es gibt dieses einfache physikalische Argument, dass relativistische Punkteilchen nicht in Ihrer Teilchenzahl erhalten sind. Es können Quantenprozesse geben, wenn Sie Wechselwirkung haben,

insbesondere, dass Sie Teilchen und Antiteilchen erzeugen können. Das heißt, die Zahl der Teilchen kann sich schlagartig ändern in Ihrer Dynamik. Das heißt, Sie brauchen eine Mehrteilchenbeschreibung Ihres Systems. Und die eleganteste Beschreibung ist einfach eine, die mit beliebigen Teilchenzahlen klarkommt. Und das ist also eine, Sie wollen ein Vielteilchenproblem.

Und die beste Formulierung davon ist Feldtheorie. Denn die entsprechenden Besetzungszahlen, Zustände werden am elegantesten formuliert als Zustände eines Quantenfeldes. Und dann sind Sie bei einer Formulierung, die automatisch relativistisch ist und speziell relativistisch ist und konsistent.

Das würde man gern für den String auch haben. Also eine Stringfeldtheorie, relativistische Stringfeldtheorie, das ist aber enorm kompliziert. Und es gibt es auch für den offenen personischen String. Aber ich könnte das jetzt sozusagen aufziehen.

Aber es ist sehr, sehr viel mehr gemacht worden, der Stringtheorie in einer etwas naiveren quantenmechanischen Formulierung. Die der quantenmechanischen Quantisierung eines Punkteichens korrespondiert. Und wo ich diesen Vielteilcheneffekt, die Möglichkeit eben mehr Teilchenzustände zu betrachten,

also mehr Stringzustände, erstmal ausklammern. Das kommt ja sowieso erst zum Tragen, wenn wir Wechselwirkungen betrachten. Eine freie Teilchentheorie ist kein Problem. Die können sich auch relativistisch ganz normal als Quantenmechanik behandeln.

Das heißt, ich bewegen mich eigentlich in dieser Formulierung immer nur auf dem Niveau einer String-Quantenmechanik. Das darf man also nicht ganz vergessen. Okay, das ist praktisch Vorrede zum Kapitel 2. Quantisierung, wie hatte ich es genannt, bosonischer String quantisiert.

Und dann gibt es mehrere Methoden, wie man Teilchen quantisiert.

Man kann es entweder kanonisch machen oder über das Quad-Integral. Oder eine Art Variante davon, die man in beiden Ansätzen verwenden kann, ist die sogenannte BRST, eine BRS-Quantisierung, die dann elegant Nutz bringt, wenn man Einschränkungen hat wie Zwangsbedingungen,

so wie wir das hier auch haben. Also ich könnte jetzt, würde jetzt im Allgemeinen das mit BRST aufziehen, aber der Formalismus ist ein bisschen technisch. Man muss aber schon ein bisschen was einführen. Ich weiß nicht, der eine oder andere hat das vielleicht schon gesehen, bei einem Trager möglicherweise. Und ich werde das aber nicht tun, weil zum Verständnis der Struktur, des Spektrums, der Eigenschaften

braucht man das nicht wirklich. Es hilft insbesondere für die Wechselwirkung später. Aber um den freien String in seinen Quanteneigenschaften zu verstehen, komme ich ohne das aus. Und es wurde auch historisch zunächst ohne entwickelt. Ich werde das also ganz zu Fuß mit den Methoden machen,

die man auch beim Punktteilchen traditionell verwendet. Und das ist kanonische Quantisierung. Und zwar beginne ich mit dem, was man nennt, Co-Variante kanonische Quantisierung.

Co-Variante heißt, ich werde eine Eichung wählen, eine Koordinatenwahl, die die Lorenz-Symmetrie manifest respektiert. Und wie ich schon im klassischen Fall gesagt habe, wird das natürlich zu Problemen führen, weil wir die Zwangsbedingungen haben. Sie haben eine Co-Variante-Formulierung

und leben mit den Zwangsbedingungen. Oder sie eliminieren die Zwangsbedingungen, aber dann auf Kosten der Co-Variance. Sie müssen sich für eine der Welten entscheiden. Und die anderen Aspekte sind dann immer schwierig zu prüfen. Was wären die kanonischen Vertauschungsrelationen für meinen String?

Für Punktteilchen gibt es eine Vertauschungsrelation zwischen Koordinaten und Impulsen. Ich sage mal, x i von tau, gleichzeitige Vertauschungsrelation, und p j von tau ist gleich i h quer delta i j.

Das wären die fundamentalen Vertauschungsrelationen zwischen x und p. Vielleicht sollte ich den Index i hochstellen. Und für den String?

Gut, ich habe den Index hier nicht relativistisch geschrieben. Wir haben das erste Problem, dass wir, wenn ich das naiv übernehme, Koordinaten und Impulse für alle Raumzeitrichtungen haben, also auch für die Nullrichtung. Das ist schon mal ein bisschen ungewohnt. Ich schreibe das mal hin, wie das aussehen würde. Also x mi von tau und sigma mit den kanonisch konjugierten Impuls,

p mi von tau und einem anderen sigma. Wenn Sie so wollen, ist das sigma, können Sie auffassen als einen weiteren Index. Das ist jetzt nur kontinuierlich. Für einen festen Zeitpunkt tau haben Sie hier einen weiteren Index,

der natürlich hier verschieden sein kann in dem zweiten Ausdruck. Sigma und sigma Strich. Und i h quer brauche ich. Und das entsprechende von dem delta hier ist natürlich ein delta von sigma minus sigma Strich. Also es ist kontinuierlich, also sollte ich ein Dirac delta da haben. Und dann brauche ich natürlich einen entsprechenden kovarianten Ausdruck,

der Null ist, wenn mu ungleich Nü ist, aber eins, wenn mu gleich Nü ist. Aber der kann nicht immer plus eins sein, weil da muss ich eben die Mikrofskirimetrik wählen als invariante Größe. Gut, wenn ich diese Vertauschungsrelation wähle und in meine Fourier-Entwicklung einsetze,

bekomme ich entsprechende Vertauschungsrelation für die Moden, für die Alphas. Ich erinnere noch mal, was das Pi ist. Das Pi Nü ist nichts anderes als eins durch zwei Pi Alpha Strich mal x Nü Punkt in meiner Konforme Eichung. Ich wähle Konforme Eichung, dann ist alles besonders leicht.

Aber ich wähle keine weitere Spezialisierung temporal oder Lichtkegel. Die Standardkonforme Eichung, die wir bisher meistens benutzt haben. Hieraus folgt mit der Fourier-Entwicklung.

Sie können das Fourier entwickeln, das Fourier entwickeln. Sie wissen, wie Sie die Delta-Funktion Fourier entwickeln. Das ist noch bekannt. Da gibt es so eine Summe, eho zwei Pi i n tau. Summe von, oder eho zwei Pi i n x. Summe über alle n ist zwei Pi mal Delta von x.

Das brauchen Sie dann. Dann lesen Sie einfach, machen Sie einen Kompressentenvergleich und lesen ab. Q µ P µ ist i eta µ. Alpha m µ Alpha n µ ist m eta µ delta m plus n,0.

Und Alpha m Schlange, Alpha n Schlange. Alle anderen Kommutatoren verschwinden.

Das reicht. Das heißt, Sie haben Heisenberg-Paare. Hier mit den Koordinaten, Schwerpunktkoordinaten und Impulsen. Sie haben Heisenberg-Paare hier, wobei hier ein komischer Faktor auftritt.

Der Kommutator zwischen, also es ist jetzt nicht so, hier steht erstmal kein i. Aber Sie kennen das schon. Man kann ja, man lernt das im harmonischen Oszillator, Kombination zwischen x und p bilden, die dann zu eins vertauschen. Also Erinnerung harmonischer Oszillator ist, man wählt sowas wie p plus x,

p plus ix und das ist irgendwie ein a. Und ein p minus ix ist ein a Kreuz. Und dann folgt aus diesem Vertauschungsrecht zwischen q und p,

oder q ich wollte vielleicht schreiben, folgt daraus, dass a und a Kreuz zu eins kommutieren. Oder h quer. Ich habe jetzt h quer gleich eins gesetzt hier übrigens. H quer taucht hier nicht mehr auf.

Dies sieht so ähnlich aus, hier steht ja auch kein i. Und i die vertauschen ja nur dann nicht, wenn m und n entgegengesetzte Index haben. Also hieraus folgt zum Beispiel das alpha mu m und alpha mu minus m.

Das wäre ein plus oder minus m. Ob das mu und mu null oder räumlich oder zeitlich ist. Das ist also fast so wie hier.

Aber ich könnte andere Größen einführen. Also ich könnte a und a Kreuz einführen. Also definiere ein a mu m als eins durch Wurzel m mal alpha mu m.

Und ein a mu m Kreuz wäre dann eins durch Wurzel m alpha minus m mu. Das entspricht auch den Komplexkonjugationsregeln, die wir hatten. Und dann sehen Sie daraus folgt das a m mu und a m mu Kreuz gleich eins.

Oder minus eins. Je nachdem ob räumlich oder zeitlich. Das heißt wir haben im Wesentlichen ein Heisenbergh oder ein Paar von Erzeugern und Vernichtern.

Für jeden positiven Wert von m. Der positive Neger ist ja gepaart. Und natürlich für jedes q und jedes p. Das heißt eine unendliche Folge von Oszillatoren eigentlich. Was wir hier haben. Und das ist natürlich einfacher. Jeder weiß wie so was quantisiert wird.

Es ist ja irgendwie auch klar, die Stringanregungen sind harmonische Schwingungen. Und das ist nichts anderes als Oszillatoren. Und wir kennen auch die Frequenz.

Denn die Energie. Was war die Energie? Sie erinnern sich in der Massenformel tauchte dieses n auf.

Also noch mal Erinnerung Massenformel. M² ist gleich. Das war. Mal nachgucken. Das ist die falsche Zähne. Alpha prime M² war Beta mal n.

Plus Alpha prime p intern Quadrat plus b Quadrat. Und das n hier. Ist Summe. Ja ein halb. Ist Mittelwert. Also war ein halb. Nr plus nl.

Und nr zum Beispiel ist. Ich wechsle. R und l. Nr ist das, was ohne Schlangen sind. Einfach Summe über M gleich 0 bis und endlich. Alpha minus M mal Alpha M.

Das heißt, das ist ein Beitrag. Das ist das, was die Schwingungsmoden zur Massen Quadrat beitragen. Und das ist so wie bei einem harmonischen Oszillator. Da ist ja auch der Hamilton-Operator proportional dazu. Also es ist jetzt nicht der.

Es sieht aus wie ein Anzahl-Operator. Der Name suggeriert das aber auch. Man muss aufpassen. Denn das sind ja nicht wirklich die Erzeuger und Vernichter, die wir kennen, sondern das sind bis auf diesen Normierungsfaktor. Das heißt, wenn ich das ausdrücke. Durch die A's, die ich hier definiert habe mit dem Anormierungsfaktor, dann steht hier M mal A M Kreuz.

Dort A M. Und das sind die, die deren Kommutatur 1 geben. Und das heißt, wir wissen, also wir haben unendlich viele Paare.

Harmonische Oszillatoren mit Frequenzen omega M gleich M. H quer gleich 1.

Das heißt, die Energie ist, kennen Sie den aus, jeweils H quer omega plus ein halb. N H quer omega plus ein halb. Also das N ist eine Besetzungszahl. Die habe ich hier nicht, die steht natürlich hier nicht. Wenn Sie jetzt noch eine Besetzungszahl K einführen, dann wäre die Energie, die für einen Lieblingszustand

in diesem Multi-Oszillator vorkommen kann, wäre dann für einen jeweiligen Oszillator, einen Mod, den Sie K-fach besetzt haben, K mal omega plus ein halb. Und das omega ist entsprechend ein ganz zahliger Wert.

Also man kann so eine Verbindung herstellen. Die Summe geht von 1. Danke, Sie haben völlig recht. Die Null haben wir ausgeschlossen. Das waren ja gerade die Terme, die hier stehen.

Zumindest weiß ich, hier in das M-Quadrat reingehen. Ja, dann kann man über Eigenzustände reden. Zumindest weiß ich, die Kommutatorrelationen, die hier stehen,

die sagen einem ja, dass das Kommutieren von den Alphas mit den Nn den Eigenwert ändert. Das sind ja Auf- und Absteigeroperatoren. Und wenn Sie einen Eigenzustand haben, zumindest einen Nr, und Sie wirken auf diesen Eigenzustand mit einem A-Kreuz, dann kriegen Sie einen Eigenzustand mit entsprechend höherer Energie.

Und Sie erhöhen die Energie genau um diesen Wert hier, M. Und damit wir ein Massenquadrat, ein Spektrum für M-Quadrat kriegen, wenn das nach unten beschränkt ist, ist es wichtig, dass das Absteigen in Energie,

wir können ja nicht nur die Energie erhöhen, sondern Sie können durch Wirken von den Absteigeroperatoren auf die Eigenzustände auch erniedrigen. Das sind jetzt alles Operatoren. Wir haben einen Massenoperator und wir können dessen Spektrum, also die Eigenwerte von diesem Massenoperatorprinzip, bestimmen, wenn wir die Eigenwerte von N kennen. Und die Eigenwerte von N sollten besser nach unten beschränkt sein.

Denn wenn das negativ wird, dann haben wir hier ein Problem. Und genau das Gleiche haben Sie beim harmonischen Oszillator. Wie kriegen Sie das hin? Na ja, indem Sie fordern, dass beim Absteigen irgendwann in der Leiter die Null erreicht wird, dass ein Zustand annulliert wird.

Und das ist das Vakuum. Also wir müssen hier auch ein Vakuum haben. Null mit der Eigenschaft, dass eben alle Absteiger das vernichten.

Und zwar Absteiger sind diejenigen, wo das N positiv ist. Das habe ich jetzt so gewählt.

Die mit negativen M sind die Erzeuger. Und ich kann auch Null hinzunehmen. Also Alpha Null ist P. Dann wäre das ein Eigenzustand zum Impuls Null. Also das ist auch vernünftig, denn das Vakuum sollte ja wirklich keinen Impuls tragen. Das definiert unser Vakuumzustand. Damit habe ich jetzt schon angefangen, über Zustände zu reden.

Denn natürlich in einer Quantentheorie müssen wir diese Operatoren irgendwie auf Zustände wirken lassen. Wir brauchen einen Zustandsraum. Das ist ganz gewöhnlich, wie Sie das kennen. Also auch P Null gleich Null.

Harmonische Oszillatoren. Der Fockraum davon hat ein Skalarprodukt. Das heißt, wir haben hier auch auf diesem Raum.

Dieser Raum ist natürlich jetzt komplizierter. Das ist ein Zustandsraum von einer unendlichen Kollektion von Oszillatoren und noch von diesen P's und Q's. Und was diese Oszillatoren angeht, ist die Sache relativ klar. Wenn Sie so wollen, ist der Grundzustand das Tensorprodukt von den Grundzuständen jedes einzelnen Oszillators. Und in jedem dieser Faktorräume, unser Unterräume, habe ich das ganz gewöhnliche Skalarprodukt, was ich kenne.

Und das heißt, ich kann also auch ein Skalarprodukt definieren für diesen gesamten Raum. Ein bisschen schwierig wird es bei dem P und dem Q. Denn das sind ja kontinuierliche Variablen. Das ist wie, das kennen Sie auch, freies Teilchen in einer Dimension. Die Zustände, die Eigenszustände von Impuls sind nicht normierbar.

Das sind Wellenpakete. Die Wellenpakete werden normierbar, Entschuldigung. Ebene Wellen sind das. Ebene Wellen sind nur, das war ein Delta, normierbar. Die sind also uneigentliche Zustände, die leben nicht im Hilbertraum. Kann man sich entweder durch Grenzwertbildung, man macht es diskret oder man steckt es in eine Kasten, macht die Länge nach unendlich. Oder ein Mathematiker definiert irgendwelche Testräume

von Testfunktionen und macht Wellenpakete etc. Man kann das so oder so behandeln. Ich möchte auf die Details nicht eingehen. Das sollte bekannt sein aus der Quantenmechanik, wie man das machen kann. Ich mogel mich hier ein bisschen darum herum, indem ich ein Skalarprodukt einführe,

was so aussieht, als ob wir den String an einen Kasten gesetzt hätten. Wenn der Kasten groß genug ist, ist das quasi kontinuierlich. Denn ich möchte vermeiden, dass dieser Zustand nur Delta normiert ist. Das könnte man auch machen. Dann müsste ich immer über Verhältnisse reden. Wenn ich also irgendeinen Vakuumerwartungswert

oder ein Matrixelement ausrechne von Operatoren, muss ich immer noch dividieren durch das Skalarprodukt, durch die Norm des Zustands. Dann habe ich unendlich durch unendlich und kann das irgendwie kürzen, was natürlich auch nicht ganz koscher ist. Es ist klar, es folgt unmittelbar aus der Eigenschaft der Algebra.

Wenn ich Zustände einführe, also ich füge Eigenszustände, die kann ich immer einfügen zu pµ. pµk ist gleich kµk, so heißen die.

Also das ist ein Operator, das ist eine Zahl. Und daraus folgt unmittelbar, dass k senkrecht auf k' steht, wenn k ungleich k' ist. Denn das ist ein hermitischer Operator.

Wenn jetzt, dann wissen Sie, die Spektrum verschiedener Eigenberäume sind senkrecht aufeinander. Aber wie gesagt, k' ist nicht normiert. Und ich regularisiere durch Einführung eines Kastens,

durch Kompaktierung der Raumzeit. Und dann wäre natürlich kµ diskret. Die möglichen Impulswerte sind nur noch diskret.

Und dann kann ich haben kk gleich 1 ist möglich. Also das ist jetzt, wie gesagt, mathematisch nicht sauber. Aber ich werde das einfach hier so verwenden,

um nicht Verhältnisse bilden zu müssen. Okay, und durch dieses Skalarprodukt sind alle diese Dinge hermetisch.

Und die getildeten entsprechend haben diese hermetische Selbstbildung jetzt nicht mehr komplex konjunktiv, sie sind jetzt hermetische Konjugation. Okay, ja, sofern so gut. Und jetzt sieht man aber sehr schnell ein Problem,

was in jeder relativistischen Theorie auftaucht, die Sie quantisieren möchten. Ich kenne das vielleicht aus der Elektrodynamik. Nämlich, dass die Norm der Zustände, die Sie in Ihrem Zustandsraum hier haben, nicht positiv definiert ist, notwendigerweise. Und das sieht man an folgendem.

Vielleicht schreibe ich noch den Fockraum. Also der Fockraum wird aufgespannt. F wird aufgespannt durch Basiselemente, Basiszustände. Die sehen folgendermaßen aus.

Ich habe im Prinzip, kann jeden Oszillator, also hier mal schreiben, Produkt über alle, vielleicht schreibe ich es einfach. Folgendermaßen, Punkt, Punkt, Punkt.

Alpha minus, sagen wir mal, minus 3. Ach, ich schreibe es mal so. Produkt über S3. Ich schaue mal, ob ich das hinbekomme. Alpha minus 3 hoch mu, mu 3 hoch S3.

Produkt über S2. Alpha minus 2. Mu 2 hoch S2. Produkt über S1.

Ne, Entschuldigung, das ist falsch. Sorry, das war jetzt nicht richtig. Ich probiere es nochmal. Ich muss ja nur über die Komponenten. Produkt über mu.

Genau, so. Jetzt habe ich alpha minus, also mu läuft von 0 bis D minus 1. In groß D habe ich D minus 1. Alpha 3 hoch mu,

hoch ein R, R mu. Ein weiteres Produkt. Wieder, was weiß ich, nu, gleich 0 bis D minus 1, alpha minus 2, hoch nu,

hoch, na ja, nehmen wir das S, nu, 1, o, 1, hoch, o, o, T, o, auf 1 zu Stand K.

Und hier nach links können Sie beliebige weitere Erzeuger anwenden. Also ich könnte jetzt auch noch ein bisschen aus dem Produkt vorüber und so weiter schreiben, aber ich glaube, es ist einfach, man sieht so ein bisschen die Struktur, wenn man das ausschreibt. Sie können mehrere Kopien natürlich

von diesen Erzeugern, das ist ja bosonisch, harmonischer Oszillator, anwenden. Dann besetzen Sie diesen entsprechenden Mod eben mehrfach. Das ist die Potenz hier oben. Und Sie können das mit dem minus 1 Oszillator machen, und zwar für jede Raumzeitrichtung, von 0 bis D minus 1. Und für den minus 2,

für den minus 3 Oszillator, Erzeuger und so weiter. Und natürlich für die mit den Schlangen auch. Also es ist ein ziemlich großer Raum. Das sind die Basiszustände. Alle Linearkombinationen von denen kommen natürlich vor. So, und jetzt gibt es eben ein Problem.

F ist nicht positiv semidefinit. Und das sehen wir sehr schnell mit folgendem Beispiel.

Definiere einen Zustand, eine Linearkombination von den ersten hier. Also nur ein Alpha-Oszillator, nur ein Alpha-Erzeuger, Alpha minus 1 Erzeuger, aufs Vakuum, oder auf diesen Eigenzustand von P.

Und wir nehmen eine Linearkombination davon. Das ist ein Zustand, den kann ich auch nochmal abkürzen, kann ich epsilon k nennen. Der ist gegeben durch den Impuls und gegeben durch einen weiteren Vektor epsilon mu,

der diese Linearkombination definiert. Summe von D-Thermen. Jetzt rechnen wir einfach mal dessen Skalarprodukt, also dessen Norm aus, epsilon mu, Alpha minus 1 mu, k, Normquadrat. Na ja, da muss ich eben den Kett bilden.

Ich kann das epsilon rausziehen. Das epsilon kann im Prinzip sogar komplex sein. Machen wir es reell, ist egal. Also epsilon mu, nein, also epsilon sei reell,

muss aber nicht sein. Ändert nichts an dem Problem. epsilon mu, epsilon mu, k, dann haben wir hier ein Alpha, also das hermetisch konjugierende von Alpha minus 1 gibt Alpha plus 1. Also auf der linken Seite haben wir Alpha plus 1 mu, und hier haben wir ein Alpha minus 1 mu.

Und das lässt sich jetzt einfach mit Hilfe der Algebra hier bestimmen, denn Alpha minus 1 oder hier,

oder hier Alpha minus 1, Alpha 1, Alpha minus 1, der Kommutator. Ich kann das durch den Kommutator ersetzen, denn Alpha plus 1 vernichtet diesen Zustand. Ja, das habe ich jetzt nicht gesagt. Diese Zustände hier haben keine Anregungen. Das heißt, die haben die gleiche Eigenschaft

wie hier oben. Das soll ich vielleicht dazu schreiben. Eine Eigenschaft, dass die Alpha n mu und die Alpha n Schlange mu diesen Zustand auch vernichten, aber für n größer 0. Natürlich nicht für n gleich 0. Aber für n gleich 0 wäre das das P. Das ist ja gerade nicht verschwindender Eigenwert.

Also die Eigenschaften bezüglich der Alphas sind die gleichen wie für dieses Vakuum. Das ist fast so gut wie das Vakuum. Das hat einen Impuls. Wenn Sie so wollen, ist es ein geboostetes Vakuum. Das bedeutet,

ich muss eigentlich nur das Alpha plus 1 hier rüber tauschen und kriege 0. Das heißt, ich muss eigentlich nur den Kommutator verwenden. Naja, und der Kommutator, den kenne ich, das ist diesen Index 1 mal

eta mu nu. Das sagt die Algebra. Ja, und hier steht ein anderes Skalarprodukt. Das Mikowski-Quadrat

von diesem Vektor epsilon. Nur wenn der epsilon eben, dieser Vektor eben jetzt zeitartig ist und nicht raumartig, dann kann das natürlich 0 sein. Das ist nicht definit. Das ist negativ als epsilon zeitartig.

Das ist das Problem. Das heißt, die Normen sind nicht alle positiv. Die Normen in dem Fockraum erben sozusagen die Normen unseres Mikowski-Raums. Und wie geht man damit um? Ich weiß nicht, wer von Ihnen das gesehen hat

bereits. In der Elektrodynamik gibt es das Problem natürlich auch. Wenn Sie das Strahlungsfeld quantisieren, covariant, dann haben Sie ebenfalls Vertauschungsrelation zwischen dem A mu, dem Vektorpotential und dem entsprechenden dem elektrischen Feld. Das ist der entsprechende

Impuls. Und Sie bekommen Zustände, die durch Anwenden des Quantenoperators A mu aufs Vakuum entstehen. Und diese Zustände sind auch zum Teil haben wir die falsche Norm, das falsche Normquadrat, ein negatives Normquadrat, genau mit dem gleichen Mechanismus. Und Sie wissen schon, was passiert da.

Nicht alle vier Anregungen, alle vier Polarisationsrichtungen, die in einem A mu stecken, in ihrem Vektorpotential, sind physikalisch. Sie haben eigentlich nur zwei transversale Anregungen. Die anderen sind unphysikalisch. Und eine Möglichkeit, die loszuwerden, ist eben einen Unterraum zu identifizieren

in ihrem Zustandsraum, der eben die physikalischen Zustände erhält. Das heißt, wir müssen eine Bedingung irgendwie haben, die diesen Unterraum selektiert. Und wir haben ja auch eine Bedingung. Wir haben die Zwangsbedingung ja noch. Irgendwie müssen wir die Zwangsbedingung ja auch noch implementieren in unserer Quantisierung. Hab ich ja bisher nicht gemacht. Darüber werde ich dann morgen.

Okay, danke.