Es wäre nett, wenn Sie es vor Viertel nachschaffen, Ihre Sachen hier hinzulegen. Dann haben wir nicht diesen verzögerten Anfang bzw. noch mal weitere Aktionen hier so mit den Zetteln in der Pause.

Das muss ja vielleicht nicht sein. Etwas zum Jungungsbetrieb nächste Woche. Wie Sie ja wahrscheinlich alle wissen, ist der kommende Dienstag heute in einer Woche ein freier Tag.

Wir können natürlich trotzdem arbeiten. Das Problem ist halt, dass keine Übungen stattfinden. Allerdings nur an dem Dienstag. Eine Mittwoch, die findet natürlich statt. Und es ist jedem freigestellt und wir haben das extra mit den Übungsleitern besprochen. Stattdessen, wenn Sie Übungsbedarf haben, in die Mittwochsübungen zu gehen.

Das wird dann vielleicht ein bisschen voll, aber ich gehe nicht davon aus, dass das jetzt jeder macht. Ich wollte nur die Option in den Raum stellen. Können Sie gerne machen. Denn es wird einen Übungszettel geben. Der ist jetzt nicht so relevant für die Vorlesung. Der wird ein bisschen mathematische Technik, lineare Algebra und so weiter üben. Für die, die es nötig haben.

Sie können ja auch den runterladen und zu Hause anschauen. Das ist nicht verboten. Aber in der Gruppe und mit Tutor ist es natürlich effizienter. Zweites Problem. Dann natürlich, Sie können hier keine Hausübungen abgeben. Und kriegen auch keine neuen an dem Dienstag, weil hier nichts stattfindet. Sie bekommen die neuen Hausübungen natürlich nach wie vor im Netz.

Also ich würde Sie bitten, Sie sich dann einfach runterzuladen. Ich werde am Donnerstag, am 3. Mai dann welche mitbringen. Wenn Sie ein paar Tutors nicht runterladen wollen müssen, haben Sie halt zwei Tage weniger in der Bearbeitungszeit. Aber ich denke, das ist vertretbar. Die alten Hausübungen, die Sie jetzt gleich bekommen in der Pause, geben Sie dann bitte erst am Donnerstag in der Vorlesung zurück.

Das heißt, Sie haben da zwei Tage mehr Zeit. Die Tutoren müssen sich natürlich dann ein bisschen sputen mit der Bearbeitung. Aber das kriegen wir hin. Sie bekommen heute in der Pause zwei Übungszettel. Sie bekommen nicht nur den dritten Zettel, sondern bekommen auch den vierten.

Ich hatte es ja schon angekündigt, es gibt Computerübungen. Das ist der erste Computerübungszettel. Für den haben Sie dann zwei Wochen Zeit. Deshalb jetzt schon. Dafür bekommen Sie nächste Woche halt keinen. Das passt dann wieder mit dem Dienstag, wo es ohnehin nicht geht. Aber Sie hätten sowieso keinen bekommen. Alles verstanden?

Okay, sonst können Sie mich ja noch fragen. Kurz zwei Nachträge zur Vorlesung. Nummer eins, ich hatte eine Formel vergessen oder eine Formelnummer. Die Formel hatte ich eigentlich aufgeschrieben. Ich hatte es auch genannt.

Wichtig, das tritt auch heute wieder auf, der Zusammenhang zwischen hermitischen und unitären Operatoren. Der Wellenzahl-Operator K ist hermitisch. Und das ist gleichbedeutend damit, bitte nicht mehr jetzt. Bitte während der Vorlesung keine Hausübungszettel abgeben.

Dass die Matrix-Operator-Exponentialfunktion von K multipliziert mit I, also E hoch I K, und einer bliebigen reellen Zahl.

Z mal K ist nach wie vor hermitisch, aber I Z mal K ist antihermitisch. Denn wenn Sie Sternen kriegen, sind Minuszeichen. Also Exponenzieren von antihermitischen Operatoren gibt etwas Unitäres. Das sollte die Nummer 129 kriegen. Das hatte ich nicht erwähnt.

Zweiter Punkt. Sie sind möglicherweise verwirrt durch die unterschiedlichen Basen, die wir bei den Polarisationszuständen bei Photon diskutiert haben. Und den Basen, die Sie in den Präsenzübungen beim Spielen ein halb Stern Galaf versuchen und so weiter gesehen haben.

Denn da sind einige Dinge ein bisschen unterschiedlich. Das will ich noch mal kurz thematisieren, damit man da nicht zu sehr durcheinander kommt. Ich stelle das einfach mal einander gegenüber.

Ich hatte das beim Photon Spin genannt. Eigentlich ist es nicht streng genommen. Wenn Sie ein bisschen mehr wissen, dann lernen Sie, das sollte man Helizität nennen. Aber für uns war das der Spin. Und dann hatten wir Spineinhalbsysteme. Das waren diese Elektronen. Ich glaube, wir haben Stern Galaf-Experimente mehrfach in den Übungen.

Helizität, also H heißt diese Größe. Hier H ist 1 und hier ist ein halb. Und wir hatten hier eine Basis, das hatte ich auch so gezeichnet, von horizontalen und vertikalen Polarisationszuständen.

Das war eine Orthonormalbasis. Die beiden Zustände sind senkrecht. Im komplexen Vektorraum brauchen wir zwei Basisvektoren. Die dürfen reell sein, müssen sie aber nicht. Die beiden waren reell. Also, naja, in dieser Basis natürlich 1001 sind sie reell. Also, ein Basisvektor reeller Komplexes hängt natürlich davon ab, in welcher Basis ich sie schreibe. Also, die Komponenten.

Ja, das ist eine leere Aussage eigentlich. Das sind die Basisvektoren. Dann hatte ich eine andere Basis angeschrieben, U und V. Und hatte das etwas grafisch im Etikett so normiert. Eine andere Orthonormalbasis.

Dem entspricht in diesem System eine andere Basis. Also, wir haben natürlich nicht eins zu eins. Wir können jede Basis hier mit jeder Basis identifizieren. Das ist ja nur eine Frage der Wahl. Aber typischerweise, hier ist es diese kanonische... Ja, hier, diese Basis ist so ein bisschen die Standardbasis. Und hier ist die Standardbasis spin up und spin down.

Das haben wir so gekennzeichnet. Das haben Sie gesehen in der Übung. Und wir hatten hier auch eine Basis X plus und X minus, eine andere. Spin rechts und spin links.

Und den Unterschied, den Sie hier vielleicht sehen. Die Basisvektoren senkrecht heißt hier 90 Grad.

Und hier heißt es 180 Grad. Weil das Photon-Kolossation heißt, schwingt einfach in diese Richtung. Es ist kein Unterschied nach oben, nach unten. Beim Elektronen-Spin sind oben und unten die beiden verschiedenen Basisvektoren.

Orthogonal im Sinne eines Zustandsvektors. Nicht im Sinne dieser Pfeile natürlich. Die Pfeile stehen natürlich nicht hier aufeinander. Ich hatte ja schon gesagt, Sie müssen unterscheiden zwischen dem Anschauungsraum, Polarisationsebene und dem abstrakten Zustandsraum. Der ist komplex, ist also nicht das Gleiche. Das sollte man auseinanderhalten.

Natürlich korrespondiert zu einer Polarisation im Anschauungsraum ein Zustandsvektor in den komplexen Zustandsraum. Da gibt es einen Zusammenhang. Aber es ist nicht zu identifizieren. Bitte nicht. Dies ist ein allgemeiner Zusammenhang. Sie sehen, das hängt vom Spin ab, was dieser Winkel ist. Sie könnten jetzt extra polieren, was es für Spin 2 zum Beispiel ist.

Da ist der Winkel dann nur noch 45 Grad. Das kennen Sie vielleicht hier in Hannover. Gravitationswellen. Bei Gravitationswellen, Spin 2, gibt es zwei Polarisationen. Der eine Polarisationsvektor, den würden wir so zeichnen. Und der andere Polarisationsvektor, den würden wir so zeichnen.

Das wäre eine Basis für Spin 2 Polarisationen. Oder Helizität würde man vielleicht da auch sagen, weil es hier für massellose Teilchen handelt. Gravitonen sind massellos. Dann ist das Wort Helizität angebracht. Dann haben Sie einen Winkel von 45 Grad. Sie sehen einen Zusammenhang zwischen den Winkeln im Anschauungsraum

von orthogonalen Basisrekorden. Jetzt können Sie wahrscheinlich sagen, was Spin 5 ist. Okay, gut. Genug der Vorrede. Neues Kapitel. Heute kommt die Schrödinger gleicher. Es geht um Zeitentwicklung.

Schon wieder um Serabi-Oszillation. Ich mache eigentlich das Gleiche wie am letzten Donnerstag.

Nur statt für die räumlichen Entwicklungen von den Zustandsvektoren

betrachte ich eine etwas differenzierte Zeitentwicklung. Also wir haben bisher ebene Wellen. Und die pflanzen sich in Z-Richtung sofort. Und ich füre noch eine weitere kleine Änderung ein.

Die ist ein bisschen optional. Das wäre aber für die Realistik, für den Vergleich mit dem Experiment wichtig. Ich fülle jetzt noch so eine Dämpfung ein. Wenn die Wellen gedämpft sind, dann haben Sie mit dem reellen Lambda einen Abklingfaktor noch drin. Das können Sie auch zu Null setzen, wenn Sie wollen. Wir haben in den Übungen auch Beispiele, wo wir das nicht haben. Aber ich nehme das mal mit hier. Optional.

Das hätte also zu tun mit Absorption. Absorption müssten Sie dann mit so einem Faktor charakterisieren. Bisher hatten wir monochromatische Wellen. Also Omega fest. Und K gleich Omega durch C mal N mit einem Brechungsindex.

Für ein Medium. Variabel. Sie erinnern sich der ordentliche und der außerordentliche Strahl. Verschiedene Ks. Die hatten aber gleich Omega. Deswegen war dieser gemeinsame Vorfaktor E auch minus die Omega T.

Den haben wir abgespalten bei der Definition des Ortsentwicklungsoperators U. Bei U tauchte das nicht auf. Das ist ein gemeinsamer Vorfaktor, der nie eine Rolle spielt. Den kann man immer bei einem Zustand weglassen.

So, jetzt möchte ich zwei Fakten zurückrufen. Das erste ist relativistische Dispersion. Dispersion heißt Beziehung zwischen Energie und Impuls. Die ist ja verschieden bei nicht relativistischen Teilchen

und bei relativistischen Teilchen. Wahrscheinlich haben Sie das irgendwo gesehen. Der Lorenz-Vierervektor des Impulses, also P0 ist in wesentlicher Energie. E durch C und Pµ, die drei Komponenten, drei Ortskomponenten, ist der räumliche Impuls.

Und da gibt es einen Zusammenhang. Dieser Vierervektor ist nicht beliebig, sondern der hat ein festes Viererlängenquadrat. Das ist die invariante Masse oder das invariante Massenquadrat. Also P² ist Pµ, Pµ. Indizis oben, Indizis unten unterscheiden sich durch Metrikfaktor.

Rauf- und runterziehen. P0 oben ist minus P0 unten. Oder welche Metrix verwenden Sie? Plusminusminusminus oder Minusplusplusplus. Meistens, ich glaube, Sie waren wahrscheinlich meistens, wo weiß ich nicht, egal. Im einen Fall kriegen Sie das Minuszeichen so, im anderen so rum. Ich mache so, meine Metrik hat Plusminusminusminus.

Also meine räumlichen Komponenten kriegen Minuszeichen. Rauf- und runterziehen, die zeitliche nicht. Der Vorteil ist die Energie, dass wir immer schon die Energie vorne haben mit einem Plus. Aber der Nachteil ist, dass so viele Minuszeichen auftauchen. Man kann hier alles haben.

Dann ist das der Viererlängenquadrat. Und das ist sozusagen die invariante Masse im Vakuum. Und der zweite Punkt ist die Planck-De Broglie Beziehung zwischen Wellengrößen und Teilchengrößen.

Er sagt nämlich E durch C und P. Diese beiden Größen hängen zusammen mit der Frequenz und dem Wellenvektor von Materiewellen bzw. Licht einfach mit dem Proportionalitätsfaktor h quer.

Also die Oberzahl ist die Planck-Relation, die untere ist die De Broglie-Relation für Materiewellen. Und dann haben wir natürlich auch hier, oder daraus folgt mit dem hier oben,

also aus den beiden Dingen folgt dann natürlich das Omega-Quadrat durch C-Quadrat. Wenn ich diese Gleichen durch h quer teile, minus K-Quadrat ist gleich, da steht der M-Quadrat, C-Quadrat durch h quer-Quadrat, ist auch eine feste Größe.

Und das ist im Wesentlichen zwei Pi durch die Kompenwellenlänge. Ja, zwei Pi durch Lambda C-Quadrat. Also das ist auch fest im Vakuum. Und für M gleich Null haben wir Licht, und für M größer Null haben wir Materiewellen.

Okay, das heißt, wir können auch den Phasenfaktor, wenn Sie das h quer rausziehen, so schreiben, P mal Z minus E mal T, oder minus Lambda T.

Ja, das ist das Gleiche. So, jetzt kriegt man eine Nummer, weil das ist ein Faktor, mit dem ich jetzt gleich weiterspiele. Das Lambda hat beim Teilchen, ja beim Licht hat es natürlich was mit Dämpfung zu tun.

Teilchen, was hat das mit Teilchen zu tun? Wenn Sie eine Materiewelle haben, wenn es da so ein Lambda gibt, ja dann ist die Wahrscheinlichkeit, so ein Teilchen zu finden, die fällt dann exponentiell ab. Das kennen Sie aus Radioaktivität, das hat was mit Lebensdauer zu tun. Die Teilchen zerfallen, ein Teilchen mit endlicher Lebensdauer,

dessen Materiewelle wird durch so eine Dämpfung beschrieben. Lambda ist nichts anderes als 1 durch 2 mal Tau. Tau ist die Lebensdauer des Teilchens, des Materieteilchens.

Natürlich heißt es nicht, dass alle Teilchen schlagartig bei T gleich Tau zerfallen, sondern es ist ein exponentieller Abfall, das heißt, wir haben dieses Zufallsgesetz, was zu einem exponentiellen Abklingen der Amplitude mit Eho minus Lambda Tau und dann der Wahrscheinlichkeit mit Eho minus 2 Lambda Tau, das ist der Faktor 2.

Die Amplitude geht mit Lambda Tau und die Wahrscheinlichkeit dann mit dem Quadrat, also 2 Lambda und deswegen das inverse ist die Lebensdauer. So hängt das zusammen. Also die, wie sagt man, die Halbwertszeit, genau das war das Wort, das mir nicht einfiel.

Das ist die Halbwertszeit. Gut und jetzt, also das haben wir bisher diskutiert, und jetzt drehe ich das ein bisschen um.

Ich lasse P fest oder K und variiere Omega, also E, Omega und E ist ja proportional und E ist, wenn Sie die gleichen da oben auflösen, ja nichts anderes als P Quadrat C Quadrat

minus M Quadrat C auf 4, ja durch Teilchen verschiedener Massen.

Also ich werde in einem Strahl gleich superponieren, so überlagern, Anteile verschiedener Massen, weil P halte ich ja fest und wenn Sie das M ändern, ändern Sie das E. Und dadurch ändert sich das Omega und Sie haben in der Zeitentwicklung einen unterschiedlichen Phasenfaktor. Der kommt dann nicht von da, sondern von hier.

Der ist dann also der zeitabhängige Teil des Phasenfaktors und nicht der ortsabhängige Teil. Sonst ist es genauso wie letzte Woche. Also überlagere 2 Strahlen verschiedener Masse, also das eine ist M

und das vergründe ich gleich nennen, nenne ich die eine Masse M L und die andere nenne ich M S und ich erlaube auch verschiedene Halbwertszeiten, Lebensdauer.

Das heißt, ich erlaube Lambda L und Lambda S. Und naja, L und S steht für Englisch long and short, ja langlebig und kurzlebig

und das Lambda für ein langlebiges Teilchen muss natürlich kleiner sein, das ist ja die inverse Lebensdauer. Langlebiges Teilchen heißt, es klingt langsamer ab, dann ist der Faktor im effizienten Exponenten kleiner. Und dementsprechend ist es gleich bei den Massen, Sie können sich dann überlegen, wie das bei den Massen aussieht.

Das sage ich gleich noch. Also L für long und S für short. Im Skript steht E gleich der Gottsein, dann ist da ein Plus in der Mitte.

Wo steht im Skript welches? Sie haben recht, da muss auch ein Plus hin. Da oben steht ein Minus, aber Sie sehen ja, ich bringe es auf die andere Seite. Ja, sonst hätten wir ein Problem mit P gleich Null. Und hier muss auch ein Vektor stehen.

Jetzt passt es? Dankeschön. Das Beispiel, das ich hier betrachten werde, ist ein ganz konkretes physikalisches Beispiel aus der Teilchenphysik.

Ein hochinteressantes System von neutralen Mesonen, was immer noch Gegenstand aktueller Teilchenforschung ist. Gut, jetzt macht man es nicht mehr mit K-Mesonen, sondern mit Charmed Mesons, also mit B-Mesonen.

Aber die Historie ist die gleiche.

Neutrale K-Mesonen, der Name muss nichts tun. Wenn Sie noch keine Teilchenphysik gesehen oder gehört haben und sich dafür nicht interessieren, nehmen Sie es einfach als Name. Und dieses System ist auch deshalb extrem interessant, weil es sogenannte CP-Verletzung aufweist. Und ein Präzisionsinstrument ist, um extrem genau gewisse fundamentale Größen zu messen.

Diese Subtilität will ich hier ausschließen. Also für die Experten, ich schalte hier die CP-Verletzung ab. Das verkompliziert etwas unnötig hier unsere Diskussion ohne CP-Verletzung.

Ich tue mal so, als ob das nicht der Fall wäre. Diese Zustände, diese Mesonen kommen als Zustände scharfe Masse und Lebensdauer in zwei Versionen vor.

Scharfe Masse, Masse ist eine Eigenschaft, würden Sie jetzt denken, ein Teilchen hat immer eine Masse? Nein, vielleicht haben Sie ja mittlerweile so viel verinnerlicht, dass Sie

sich vorstellen können, wenn ich einen Elektron superponiere mit einem Proton, dass die Superposition ein kohärenter Quantenzustand ist, der keine festgelegte Masse hat.

Die beiden Einzelteile haben, aber wenn ich jetzt einen Massenoperator anwende, der irgendwie die Masse feststellt, wie ein Polfilter, der hinguckt und dann irgendein Ergebnis bringt, dann wird das entweder die Elektronmasse oder die Protonmasse messen, aber mal so, mal so, im Mittel irgendwas anderes.

Also man kann leicht sich einen Zustand vorstellen, der keine definierte Masse hat. Deshalb betone ich das hier, aber es gibt natürlich Zustände fester Masse und da gibt es eben zwei, das ist der ganze Witz, es gibt nicht nur einen. Der eine Zustand heißt KL und Sie dürfen sich wieder überlegen, was das L bedeutet natürlich. Das ist der langlebige Zustand, der hat eine Masse, das ist jetzt irgendeine Einheit von ungefähr 500 MeV,

MeV ist eine Masseneinheit in der Hochenergiefysik und ein Tau L von etwa 500 mal 10 noch minus 10 Sekunden minus 10.

Also er lebt nicht sehr lang und das Lambda L ist dann ungefähr 10 noch minus 7 pro Sekunde, das ist inverse davon.

Das 2 mal ist 10 noch minus 7, 1000 mal 10 noch plus 7, inverse. Der andere Zustand hat eine Masse, die ist auch ungefähr 500 MeV, aber eben

es ist nicht genau gleich, wenn wir gleich sehen, die unterscheiden sich ein wenig. Wo sich wirklich unterscheiden ist in der Lebensdauer, deshalb ist auch der Name nicht für schwer und leicht, sonst hätte man sagen können ein car heavy und ein car light, aber das ist fast das gleiche.

Der große Unterschied ist die Lebensdauer, deshalb die Bezeichnung. Der lebt 500 mal kürzer und dementsprechend ist das Lambda S sehr viel größer, nämlich ungefähr 500 mal 10 noch 7.

Aber es gibt eine Massendifferenz, mL minus mS, wir haben beide Sachen, wir haben die Lebensdauer und die Massen. Die Massen unterscheiden sich, das langlebige ist etwas schwerer und dieser Massenunterschied ist nur,

das ist das interessante an diesem System, 3,5 mal 10 noch minus 6 Elektronenvolt. Im Vergleich zu dieser Masse, mega Elektronenvolt sind eine Million Elektronenvolt, 10 hoch 6. Der Unterschied ist 10 noch minus 6, also die Massendifferenz ist 12 Größenordnungen kleiner als die Massen selber, ein minimaler Unterschied.

Das könnte man normalerweise gar nicht feststellen, so genau sind die Messungen nicht. 12 Stellen im Komma, das können Sie nur in extremen Fällen feststellen, aber dieser Massenunterschied hat interessante Konsequenzen, wie wir gleich sehen werden.

Und diese Konsequenzen können Sie messen, auch wenn der so klein ist, da kommen wir dann gleich zu. Nicht durch direkte Massenbestimmung. Das heißt, in anderen Einheiten sind das etwa 500 mal 10 noch 7, wenn Sie

es umrechnen, mit h quer und so weiter, h quer durch c Quadrat inverse Sekunden. Und Sie sehen, wenn Sie es umrechnen, dass diese Zahl zufällig, und das ist eher zufällig, übereinstimmt mit Lambda L bis auf diese Einheiten.

Das ist also ungefähr h quer durch c Quadrat Lambda S.

Sie können ja immer Zeiten und Massen miteinander umrechnen, mit h quer und c. Das ist kein Problem, also das ist ein experimentelles Faktum.

Das nutze ich dann gleich. So, das war der Input. Diese Zustände pflanzen sich jetzt als materielle Welt fort, und diese Zustände sind Eigenzustände eines Operators.

Der hat einen Namen, der heißt CP.

Das ist wieder nur Name, egal. Natürlich, wenn Sie eine Basis haben, diese Zustände sind jetzt orthogonal aufeinander, wir können sie dann normieren und als Ortonormalsystem verwenden. Und jedes Basissystem ist natürlich Eigenzustand zu irgendeinem Operator.

Wir können immer einen Operator finden, der wird dadurch definiert im Wesentlichen, bis auf Streckfaktoren. Also die Eigenwerte selber können wir nicht festlegen, aber die Eigenrichtung. Wenn Sie zwei Richtungen haben, dann können Sie immer viele Operatoren finden, dessen Eigenrichtung diese beiden sind. Die Eigenwerte können Sie dann einsetzen.

Also im Prinzip in der Basis eine Diagonalmatrix, wo irgendwas auf der Diagonalen steht. A, B. Dieser Operator hat aber die Eigenschaft, dass der eine Basiszustand Eigenwert plus eins haben soll, der andere Eigenwert minus eins. Also genau wie bei unserem Spinnenoperator, die Zustände R und L vorher. Da waren die R und L-Basiszustände Eigenwerte zum Spinnenoperator plus eins und minus eins.

Und der heißt jetzt hier CP, macht aber genau das Gleiche. Also CP auf, und jetzt füge ich den Kett ein, also der Zustandsvektor in unserem Zustandsraum ist plus KS und CP angewandt auf KL sei minus KL.

Man kann also sagen, dass diese beiden Zustände KL und KS einen scharfen CP-Wert haben, nämlich plus eins und minus eins. Das ist eine orthogonal Basis.

Und das Lustige oder Interessante hierbei ist, dass diese Zustände aber durch Teilchen für Experimente anders erzeugt werden. Diese Teilchen sind ja kurzlebig, das heißt die schwirren hier nicht einfach so umher, sondern die müssen sie herstellen durch einen Kollisionsprozess in einem Beschleuniger.

Dann werden die erzeugt, die entstehen. In diesem Entstehungsprozess entstehen die aber nicht als KS und KL. Da entsteht eine Überlagerung. Diese Überlagerung ist charakterisiert durch einen anderen Operator. Sie entstehen als Eigenzustände eines anderen Operators, nicht von CP.

Neutrale Kamezonen werden als Eigenzustände von sogenannter Strangeness, Seltsamkeit, S, wie der Name.

Diese Zustände heißen anders natürlich. Die heißen K0 und K0 quer.

Quer ist das Antiteilchen vom K0 mit Eigenwerten plus und minus eins wiederum. Das ist völlig analog zu den Polarisationszuständen X und Y und U und V. Oder R und L und X und Y, vielleicht besser.

Jetzt haben wir einen Operator, der ist diagonal in dieser Basis, aber nicht in der. Und der Operator CP ist diagonal in der Basis, aber nicht in dieser. Der ganze Rest der Vorlesung ist Spielerei mit diesem Einfahrensystem.

Zwei Operatoren, zwei Paare von Basiszuständen. Und alles andere folgt.

Was Sie jetzt brauchen, folgt noch mit einer zusätzlichen Annahme. Ich habe Ihnen noch nicht gesagt, wie diese Zustände mit Ihnen zusammenhängen. Aber die hängen genauso zusammen wie vorher auch mit den Polarisationsvektoren. Die eine Basis könnt ihr euch die andere ausdrücken und umgekehrt. Das muss ich Ihnen noch geben.

Der Zusammenhang ist K0 ist eins durch Wurzel zwei. Ich normiere die Zustände in der Regel. Deshalb eins durch Wurzel zwei. Müssten Sie aber nicht. Macht die Formeln einfacher.

K plus plus KL. K0 quer ist eins durch Wurzel zwei. Ks minus KL. Also, obwohl das Vektoren in einem komplexen Zustandsraum sind, treten hier nur reelle Koffizienten auf. Und in einem reellen Unterraum ist das einfach eine Drehung um 45 Grad.

Das ist wie die XY-Basis und die UV-Basis. Die liegen genauso zusammen. Eins durch Wurzel zwei mal die Summe, die Differenz. Und das kann ich natürlich auch umkehren. Das ist meine nächste Gleichung, dieser Zusammenhang. Ks ist eins durch Wurzel zwei mal die Summe, wie man unschwer sieht.

Und KL ist die Differenz.

Und somit gilt eine kleine Merkregel. Was passiert, wenn Sie auf K0 Ihren S-Operator anwenden?

Das bleibt K0, da passiert nichts. Nun wenden wir zum Spaß mal den CP-Operator auf den Zustand K0 an. Was passiert? Wenn Sie CP auf K0 anwenden, gucken Sie auf die rechte Seite. CP auf Ks gibt plus Ks. CP auf KL gibt minus KL.

Macht also aus dem wieder denselben und dreht ab das Vorzeichen um. CP auf K0 gibt den mit dem Minus, aber das ist gerade der da unten. Das heißt, der CP-Operator bildet den auf den ab. Und umkehrt wieder zurück.

Also K0 und K0 quer werden durch CP vertauscht. Analog Ks und KL, die Eigenzustände von CP, da passiert nichts bei CP.

Nur ein Vorzeichen. Die werden durch S vertauscht. Wenn Sie S anwenden hier, aus K0 wird K0. Aus K0 quer wird minus K0 quer. Wird ein Vorzeichen wieder geändert hier am zweiten Slot. Dadurch werden die wieder miteinander vertauscht. Also S macht genau das. Jetzt haben wir die Wirkung aller Operatoren auf allen Zuständen.

Das ist eigentlich genug. Und gucken wir die Zeitentwicklung an.

Und die Zeitentwicklung geht mit Phasen, wie es da oben steht. E hoch minus I durch H quer E T minus Lambda T. Und das E hier, ich mache mal so einen Punkt. Punkt ist L oder S.

Wir müssen jetzt einen Index dran schreiben, weil die unterschiedlichen Anteile, also die Ks und KL Anteile, propagieren mit einer festen Phase. Aber diese Überlagerungen hier, K0 und K0 quer, da treten beide Phasen irgendwie in Kombination auf.

Die Ortsabhängigkeit lasse ich weg. E hoch minus I durch H quer P mal Z weg da gemeinsam.

Die Ortsabhängige Phase steht immer vor allem. Ist nicht interessant. Fällt raus. Die fällt aus allen Rechnungen am Ende.

Wenn sich Absolutquadrate bilden, geht die natürlich weg. Ich betrachte jetzt unterschiedliche Situationen. Ich beginne mit einem Zustand zum Zeitpunkt T gleich Null. Und frage mich, wie sieht dieser Zustand zu einem späteren Zeitpunkt aus? Da ich die Phase kenne, kann ich den verfolgen im Lauf der Zeit

und schauen, was sich ändert. Sei Psi zum Zeitpunkt T gleich Null. Das darf ich ruhig in das Etikett reinschreiben. Das ist mein Zustand. Den habe ich irgendwie genannt. Und ich muss die Zeit irgendwie angeben. Ich muss angeben, was meine Uhr sagt.

Die sagt da gerade Null. Das ist ein Zustand. Aber der bleibt nicht, was er ist. Er ändert sich im Lauf der Zeit. Und der sei jetzt, ich wähle mal einfach Ks. Ich starte mit einem solchen Zustand. Das ist also eine, wie er erzeugt wird. Könnte sein, im Experiment, da ist plötzlich Partie gleich Null. Klack, wurde der hergestellt.

Und der ist gerade mal ein Ks und nicht ein Kl. Dann ist zu einem späteren Zeitpunkt, Moment.

Was habe ich gesagt? Nee, Entschuldigung. Gerade verwechselt. Der wird ja nicht als Ks und Kl hergestellt. Der wird als K0 hergestellt. Oder K0 quer. Also eine etwas unrealistische Situation. Er wird als, ich habe einen Zustand Ks irgendwie hergestellt. Nicht durch ein Experiment, wo das Teilchen gerade erzeugt wird. Das passiert ja gerade nicht.

Aber es könnte sein, irgendwie verkauft ihn ein Apparat, der Ks-Messon direkt produziert. Wenn mal ein so was gäbe. Und wir hätten diesen Zustand jetzt irgendwie in unserer Tasche. Und würden gucken, was damit passiert. Dann ist relativ klar, nach dem, was hier steht,

dass der einfach so weiterläuft. Der Zustand wird nur mit dieser Phase multipliziert. Und vielleicht noch mit einer Dämpfung. Durch die endliche Linsdauer. Bleibt aber proportional zur Ks. Also in unserem Zustandsraum bleibt der Zustandsvektor einfach in dieselbe Richtung.

Der Strahl ändert seine Richtung nicht. Er ändert seine Länge in dem Sinne. Na ja, seine Phase verändert sich irgendwie. Aber seine Länge bleibt die gleiche. Das ist langweilig. Deswegen habe ich das nicht erzählt. Und das Omega s ist natürlich, okay, das haben wir oben schon stehen.

So, und die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen später wieder als Ks zu detektieren, ist auch ausgerechnet. Die ist schnell, die ist einfach,

ja, was mache ich da? Da muss ich diesen Zustand auf Ks projizieren. Und absolut Quadrat bilden. Nach unseren Regeln. Und na ja, wenn sie das tun, dann bleibt hier nur die Phase über. Weil der Zustand ist ja normiert.

Also eo i minus i Omega st minus Lambda s mal Ks Ks. Das ist eins. Na ja, es ist nicht nur eine Phase. Ich habe hier immer noch so einen Dämpfungsfaktor eingeschmuggelt. Ich sage da manchmal La-Vida-Phase. Aber es ist keine Phase.

Der Phasenteil verschwindet. Aber es bleibt noch eo minus 2 Lambda st über. Und das ist gerade eo minus t durch Tau s. Aber das beschreibt gerade den Zerfall. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit startet bei 1

und fällt exponentiell ab. Und das liegt einfach an der ähnlichen Nebensdauer. Halbwertszeit, okay? So, das ist nicht so interessant, wie gesagt. Deshalb schaue ich etwas anderes an. Ich sage vielleicht noch Zerfall, für die es interessiert.

Der Zerfall geht in Pi plus Pi minus. Das ist ein paar von anderen Mesonen zu 70 Prozent. Und ein paar von neutralen Pi-Mesonen zu 30 Prozent. Das sind die bevorzugten Zerfallskanäle.

Das bedeutet aber auch, dass die Norm unseres Zustandes, Psi, sich verringert. Nämlich genau mit diesem Faktor. Das heißt, u ist nicht unitär hier.

Dann wäre ein Zeitentwicklung, ein entsprechendes u, der diese Entwicklung beschreibt. Vorher hatten wir die Ortsentwicklung, die Propagation. Jetzt haben wir eine Zeitentwicklung. Ich werde gleich so ein Operator u einführen. In so einem Fall, wenn wir eine Dämpfung haben, kann er nicht unitär sein. Die Wahrscheinlichkeit geht verlustig.

Wir hatten gesehen, unitäre Operatoren erhalten die Norm. Also in so einem Fall passiert das nicht. Gut, das ist die eine Situation. Jetzt mache ich etwas Spannenderes. Seit der Anfangszustand, das ist eben, was ich eben vorausgeeilt bin,

was ich eigentlich machen will, ist das. Denn im Experiment erzeugen die Zustände so. Da brauchen sie keine komplizierte, geheimnisvolle Apparatur, sondern das passiert wirklich im Detektor. Jetzt haben wir eine Frage. E minus i omega t ist eine Phase. Wenn Sie die quadrieren, ist es eins.

Absolut quadrieren. Zahlen, mal komplex konjugierter Zahlen. Das passiert aber nicht mit reellen Termen.

Ja, jetzt fange ich hiermit an. Das ist jetzt ein bisschen komplizierter. Wie rechnen Sie nun die Zeitentwicklung aus? Sie zerlegen den Zustand nach Eigenzuständen von dem CP-Operator, von dem Sie wissen,

nach Eigenzuständen der Zeitentwicklung.

Denn bei denen wissen wir, wie die Phasen aussehen. Also, das heißt, dieser Zustand, ich schreibe es nochmal hin, ist eins durch Wurzel zwei KS plus KL.

Und jetzt kann ich einfach einsetzen, was ich weiß, für größere Zeiten Multipliziert sich jeder dieser beiden Anteile mit einem etwas unterschiedlichen Phasen-Faktor.

Hier steht E minus i omega s t minus lambda s t mal KS. Und hier steht E minus i omega l t minus lambda l t KL.

So, Pause kommt gleich. Aber jetzt will ich natürlich noch gerne wissen, wie sieht die Wahrscheinlichkeit aus, diesen Zustand später wiederzufinden als K0

oder vielleicht sogar als K0 quer. Dazu mache ich mir gerade ein bisschen Platz.

Die Spielregeln sind bekannt.

Also, was ist die Wahrscheinlichkeit zu einem späteren Zeitpunkt?

Ich spiele mal das andere Teilchen, die andere Kombination, einen K0 quer zu finden. Wir haben angefangen mit einem K0,

und der bleibt kein K0, weil die einzelnen Anteile in der Superposition sich unterschiedlich kombinieren im Laufe der Zeit. Und die eine Kombination ist ein K0, die andere ein K0 quer. Also werden wir jetzt auch einen K0 quer irgendwie in dem Strahl haben nach einiger Zeit. Die Frage ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit? Naja, diese Wahrscheinlichkeit ist absolut quadrat von der Wahrscheinlichkeits amplitude.

Die amplitude ist die Projektion unseres Zustandes auf den entsprechenden Eigenzustand, den wir sehen wollen, nämlich K0 quer. Cat, pra, cat. Und setzen wir einfach mal schlichtweg ein.

Hier steht ein 1 durch Wurzel 2. Und wenn ich das absolut quadriere, kriege ich einen Halb. Das ist ein Halbzigmal raus. Dann habe ich einmal die Phase eho minus i omega st minus lambda st

mal die Projektion von dem ersten Anteil, Ks, und das Gleiche für den zweiten Term.

Und absolut quadrat. So, jetzt muss ich eigentlich nur wissen, was ist der Überlapp, das Skalarprodukt, zwischen diesen unterschiedlichen Zuständen. Aber, ja, das ist gerade verschwunden hinter der Tafel dahinter.

Das lesen Sie hier ab. K0 quer multipliziert auf Ks. Können Sie das so oder so machen. Dann machen wir das hier. Hier ist der Zustand Ks ausgedrückt in der Basis. Wenn ich das von links mit K0 quer ran multipliziere, steht hier K0 quer K0. Das ist aber 0, weil das ist der Basiszustände, und K0 quer, K0 quer ist 1.

Also multipliziert einfach hier mit Koeffizient 1 durch Wurzel 2. Wenn ich aber mit K0 quer drauf losgehe, hier mit K0 quer auf den zweiten losgehe, kriege ich ein Minuszeichen.

Minus 1 durch Wurzel 2. Also das ist 1 durch Wurzel 2, und das ist Minus 1 durch Wurzel 2. Na ja, Wurzel 2 quadriert gibt wieder ein Halb, also kann ich ein Viertel schreiben.

Und dann habe ich einfach die Differenz dieser beiden Faktoren, Terme. So, und ich will ja nicht alles verraten. Das ist Teil einer Hausübung, der nächsten Hausübung.

Ich habe eigentlich schon zu viel verraten. Das ist schon der erste Schritt. Kriegen Sie gleich in der Pause die Hausübung. Und zur Vereinfachung machen Sie es sogar noch für Lambda gleich Null. Also einfach geht es gar nicht. Müssen Sie ein bisschen mit komplexen Zahlen rechnen. Ich gebe Ihnen das Ergebnis.

Das Ergebnis sieht so aus.

Das kann ich mal zusammenfassen. Hier brauchen wir keine Klammer.

Das sollten Sie rauskriegen. Das rechnen Sie jetzt nicht vor. Das sollen Sie selber tun. Und das nähere ich jetzt noch ein klein wenig. Ja, das ist ungefähr ein Viertel eo minus 2 Lambda st

plus ein Viertel eo minus 2 Lambda lt minus... So, und jetzt benutze ich verschiedene Dinge.

Ich benutze einmal, dass Lambda s sehr viel größer ist als Lambda l. Und das heißt, hier oben im Exponenten darf ich einfach Lambda s schreiben. Und ich benutze auch das Omega l minus Omega s

ist Delta m mal h quer c Quadrat durch h quer mal Delta m. Und das ist ungefähr Lambda s. Das war dieser experimentelle Faktum.

Das ist die Differenz der Frequenzen. Das ist ungefähr die inverse Lebensdauer von dem kurzen Kurzlebigteichen. Das heißt, hier steht ungefähr Cosinus von Lambda st. So, das ist das Ergebnis.

Und es macht Spaß, das zu plotten. Und das sieht so ungefähr so aus.

Hier ist der Anstieg. Das können Sie sich leicht überzeugen. Der Anstieg bei kleinen Zeiten geht wie etwa wie ein halb Lambda s Quadrat t Quadrat. Und dann gibt es hier eine charakteristische Zeit ungefähr bei der Lebensdauer von dem Kurzen.

Da haben Sie sozusagen die großen Ausschläge. Und dann geht es hier, nähert sich das einer Exponentialfunktion an, die E hoch minus 2 Lambda st geht.

Also Lambda l, Entschuldigung. Für das Abklingverhalten, dies ist ja groß. Das heißt, diese Anteile klingen schnell ab. Das Kurzlebige mehrsonst zerfällt schnell. Und spät im Strahl haben Sie nur noch das Langlebige. Weil dessen Teil länger da ist. Und das ist einfach das Abklingverhalten

von einem mit Tau l zerfallenden einzelnen Messon. Dieser Term hier ist der, der lange überlebt. Die anderen gehen schneller weg. Für große Zeiten. Also für Zeiten irgendwie von Tau l hier hinten,

die ja 500 Mal größer sind als Tau s. Also ist nicht maßstabsgetreu. Die Zeiten, wenn die Dinge mit Lichtgeschwindigkeit im Wesentlichen, das ist ungefähr zweieinhalb Zentimeter nach der Erzeugung. Zweieinhalb Zentimeter nach der Erzeugung sehen Sie diese Oszillation. Und ungefähr 15 Meter, also 500 Mal später weiter,

15 Meter nach dem Erzeugungspunkt sehen Sie nur noch sowas. Sie haben also zwei unterschiedliche Regionen. Und das Schöne ist, Sie können nun das Delta m bestimmen aus dem Experiment durch die Interferenz.

Denn die Interferenzterm ist genau das. Der erzeugt durch die Schwebung, wenn Sie so wollen, der beiden Anteile. Die machen die Oszillation. Und das Delta m ist 14 Größenordnung kleiner als das m selber.

Unmöglich direkt zu messen. Aber diese Oszillation über Meter, die sehen Sie im Experiment. Und daraus kriegen Sie das Delta m ermittelt. Doch clever. Das sind wieder die guten alten Rabi-Ozillationen, die wir am Donnerstag hatten. Hier nur in der Zeit.

Zeit für Pause. Dann geht es weiter mit Fragen. Sie sind noch da. Ich habe gerade gesehen, dass eine von den drei Fragen hinstellen werde noch nicht passt.

Weil noch ein Beitrag dazu notwendig ist. Deswegen mache ich das gleich ein bisschen später. Aber Sie kommen noch dran. Ich möchte jetzt die Zeitentwicklung von beliebigen Zuständen in diesem K0-System anschauen. Wir haben nur zwei konkrete Anfangszustände gehabt.

Ks und K0. Bevor ich das mache, eine Korrektur. Hier wurde entdeckt, dass ich einen Fehler gemacht habe. Natürlich ist es ein Viertel mal zweieinhalb. Das ist übrigens interessant. Machen Sie sich mal die Mühe, diese Formel ein bisschen

damit herumzuspielen. Versuchen Sie mal, dieses Anfangsverhalten herauszukitzeln. Naiv hätte man jetzt vielleicht gedacht, der Cosinus macht ein halb Lambda s² t². Ein halb Mal ein halb ist aber ein Viertel und hat auch das falsche Vorzeichen. Das kann es nicht sein. Das ist ein bisschen komplizierter. Spielen Sie mit herum.

Man lernt ein bisschen was über die Eigenschaften dieses Prozesses, wenn man diese Formel für die Grenzfällen mal anschaut. Wie weit geht das hier hoch? Wo ist das Maximum? Das ist nicht ohne Nährwert. Aber was ich Ihnen erklären will,

ist, wie geht die Zeitentwicklung für beliebige Anfangszustände?

Sie starten mit irgendeinem Zustand, zum Zeitpunkt t gleich Null. Das Argument, ich schreibe jetzt nicht mehr t gleich, sondern wir vereinbaren, dass das Argument einfach die Zeit t ist.

Und das sei jetzt irgendwas. Aber wenn ich jetzt wissen will, was das ist für t größer Null, dann muss ich ja... Gerade eingeschaltet. Danke. Tut mir leid, habe ich zu spät gemerkt. Ich leider auch.

Wird hoffentlich besser gleich. Um das zu bestimmen, wir wissen ja nur, wie die einzelnen Anteile, die CP-Anteile, KS und KL, sich im Laufe der Zeit verhalten. Also müssen wir, was wir immer tun,

ich wiederhole das immer wieder, ich hoffe, irgendwann setzt sich das als Sediment in den Köpfen nieder, zerlegen nach den Eigenzuständen. Eine Eins einschieben, so kann man es auch wieder nennen. Die Vollständigkeit der Basis, die Eigenbasis, die Basis, in der wir die Zeitentwicklung kennen, ist KL und KS. Okay.

Also, ich mache es mal wieder ganz ausführlich. Ich habe hier wieder nur ange... Das, wenn Sie sich den Zustand wegdecken hier,

das plus das ist eins, ist die Identität, ist der Eins-Operator. Das ist der Projektor auf den ersten Basis Zustand, der Projektor auf den zweiten Basis Zustand, bei einer Ortonormalbasis gibt das die Einheitsmatrix. Identität. Sie können einen Zustand mit Identität multiplizieren,

dann bleibt derselbe Zustand. Dann steht hier, Psi von null ist gleich Psi von null. Ich habe gar nichts gemacht, ich habe nur eine Eins eingeschmuggelt. Wo oft ist der Trick ja, irgendwie clever eine Null zu addieren oder eine Eins zu multiplizieren. Das ist hier genau der Fall. Diese Eins ist so gewählt, dass nun die rechte Seite eine Linear-Kombine...

ist von, jetzt switchen sie wieder um, lesen sie nicht so, sondern lesen sie so, klammern sie so, das ist, hier ist eine Zahl, multipliziert mit einem Vektor, ja, die Amplitude des Vektors steht halt hinter dem Vektor, das kommt halt dann automatisch so raus, aber das, da sollten Sie sich gewöhnen, ich sagte ja schon, Äpfel mal zwei, ja, ist auch

zwei Äpfel, also davor oder dahinter schreiben spielt keine Rolle, das ist eine Linearkombination eines Zustandes eben, der kurzlebig ist und eine der langlebig ist, das sind die Eigenzustände der Zeitentwicklung, die propagieren mit festen Phasen, die wir kennen, also können wir jetzt hinschreiben, was das hier ist und ich kürze ein wenig ab, ich möchte nicht immer dieses

Omega s und Lambda s schreiben, erlauben Sie mir, eine komplexe Größe Omega s minus i Lambda s einzuführen und das gleiche für l, denn dann steht

hier einfach e hoch minus i Alpha s t und hier steht e hoch minus i Alpha l t,

das i mit dem minus 1 macht die Dämpfung, okay, der Schritt von hier nach hier ist das, was Sie wissen, Sie nutzen aus, was Sie über die Zustände kennen und jetzt fasse ich das einfach zusammen, das ist ja wiederum ein

Operator, ich switche wieder zurück, ja, also noch mal, hier habe ich geswitcht von dieser Lesart, Projektor mal Zustand auf Kett mal Zahl und

hier flippe ich wieder zurück, Kett mal Zahl, können Sie auch lesen, als Operator angewandt, angewendet auf den Kett Psi von Null, ja, ich habe sozusagen einmal, bin in dieses Bild übergegangen, wo ich weiß, wie die Zustände propagieren, dann gehe ich wieder zurück, aber jetzt hat sich ja

der Zustand verändert, ist das dazugekommen, also hier steht ein Operator, das ist nicht mehr einfach die Summe der Projektoren, ist nicht mehr eins, sondern jeder Teilprojektor ist gewichtet mit einer unterschiedlichen Phase, das hat sich geändert, ja, für, Sie sehen natürlich

für T gleich Null, ist das wieder die Eins, ja, das soll ja so sein, ziehe von Null ist gleich einmal abziehe von Null, aber für größere Zeiten ist es eben nicht mehr die Identität, sondern ein Operator, der zeitabhängig ist und den nenne ich einfach UT, wo ist mir eine 132 verloren gegangen,

kann es sein, steht da oben, das war das Ergebnis, richtig, ja, okay und das UT

ist ein ganz wichtiger Operator, hatten wir ja vorher schon in der räumlichen Entwicklung, hatte ich dann auch U genannt, U steht meistens für unitär, aber ich habe sich auch gewarnt, dieser ist nur unitär, wenn Lambda S und Lambda L Null sind, wenn das Teilchen nicht zerfällt, aber ich

kann ihn mal trotzdem US nennen und UVT nennen, auch wenn das vielleicht die falsche, das falsche suggeriert, das ist der sogenannte Zeitentwicklungsoperator

oder auch Propagator genannt, okay, der sagt Ihnen, wie Sie von T gleich Null

zu T gleich T größer Null kommen, für einen beliebigen Zustand, einfach so genauso wie im Talsit Fall erfüllt dieser Operator aber auch eine schöne Differenzialgleichung, ja, da hatte ich nach Z differenziert, jetzt

differenziere ich nach T, ich differenziere das, was da oben steht,

ich differenziere das nach T und ich multipliziere noch ein I da dran, weil

beim Differenzieren im Exponenten ja immer ein Minus I runterkommt, ich will nicht so viele I's schreiben, wenn ich das mit I durchmultipliziere, dann kann ich die steht da, was passiert, wenn Sie in Gleichung 1,33 in die vorletzte Zeile

gucken, dann kommt da halt ein Alpha S herunter oder ein Alpha L aus dem Exponenten, mehr nicht, also schreibe ich das einfach ab, Alpha S mal E hoch minus I Alpha S T KS KS plus Alpha L wie Alpha LT KL KL angewendet auf

Sie von Null, alright, nicht viel gemacht, jetzt möchte ich das natürlich gerne

wieder durch Sie von T ausdrücken, ja, weil eine Differenzialgleichung für den Zustand, naja, das kann ich dadurch kriegen, ja, kleiner Trick sozusagen,

indem ich wiederum eine 1 einschiebe, hier an dieser Stelle, ja, ich will das hier rausziehen, irgendwie, ich will dieses hier abspalten, ich will eigentlich das wieder ohne den nach rechts abspalten, ich kann hier wieder eine 1 einschieben, KS ket KS bra plus KS KL ket KL bra, aber von den

beiden Termen überliebt immer nur einer, ja, also wenn ich hier einschiebe wiederum, 1 gleich KS KS plus KL KL, ja, dann sehen Sie, weil hier nur eine

Zahl steht, das KS kann ich durchziehen, Skalarprodukt von KS mit KS gibt 1, aber der zweite Term KL mit KS gibt Null, ja, macht also nichts, ich schreibe es nochmal ausführlich hin, also ich kann das so schreiben, Alpha S mal KS

KS plus Alpha L mal KL KL mal dem Ding ohne die Vorfaktoren, ja, also wenn Sie

diese Parketschreibweise verwirrend finden, dann denken Sie, hier ist einfach eine Diagonalmatrix, ja, also nochmal sozusagen durch, für denjenigen, die da Probleme haben, die Matrizen, mit denen wir zu tun hatten, sahen einfach so aus,

in dieser Diagonalbasis, die habe ich differenziert, also zu Verständnis, die habe ich differenziert, I mal D nach DT, steht natürlich rechts immer noch der

Zustand, den habe ich jetzt mal vergessen, dann kommt ein Alpha S runter und hier kommt ein Alpha L runter, die Matrix so aus und die Matrix habe ich jetzt einfach geschrieben als ein Produkt einer Matrix Alpha S Alpha L mal der ursprünglichen, das habe ich nicht gemacht, also das

ist nur in Cat-Brah-Schreibweise, Diagonalmatrizen sind komponentenweise einfach, die Diagonalen abarbeiten, warum habe ich das gemacht?

Naja, weil dies hier jetzt wieder Psi von T ist, ich kann es also schreiben als Alpha SKS, ja und jetzt habe ich eine Defensiallgleichung, I den D nach DT auf den

Zustand gibt, ein Operator, der auf den Zustand wirkt und diesen Operator, dem gebe ich einen Namen, so wie ich dem oben den u-Anamen geben habe,

gebe ich diesen infinitesimalen Zeitentwicklungsoperator einen Namen und ich spalte noch ein H quer ab, naja das liegt, das ist Konvention und nenne das Ding H, das ist die Schrödingergleichung, endlich, okay und das H steht ja da oben, ich sollte es

nochmal hin, H ist nichts anderes als H quer mal Alpha SKS plus H quer mal Alpha L, das ist der Hamilton-Operator, deshalb H in der Eigenbasis von H und

u, sieht er natürlich einfach so aus, Alpha S, Alpha L, ja das ist das Ding hier, was ich abgespalten habe und das H quer habe ich

eingeführt, gucken Sie die Definition von Alpha an ganz da oben, Alpha ist Omega minus I Lambda, Alpha S

ist H quer mal Omega minus I H quer Lambda, H quer mal Omega ist aber E, die Energie, deshalb das H quer ist so eingeführt, dass die Eigenwerte auch die Interpretation von Energien haben und nicht von Frequenzen, also steht da ES

minus I H quer Lambda S auf der Diagonale und hier steht EL minus I H quer Lambda L, ja und das ist der Zusammenhang

zwischen den beiden, also zwischen u und H, ja einen Zusammenhang haben wir

schon gesehen durch Differenzieren des Zustandes, aber ich kann auch den Operator u direkt differenzieren, ich kriege eine Differenzialgleichung für u, I H quer nach dt von ut ist H mal

ut, ja das ist im Prinzip genau das was hier schon steht, wenn ich hier benutze die Differenzialgleichung 1,33 und Psi von t schreibe als ut mal Psi von 0 und hier ut Psi von 0 und dann das Psi von 0 auf beiden Seiten streiche, weil die Zeitableitung geht ja auf das ut, das Psi von 0 ist konstant, dann

steht da eine Differenzialgleichung für den Zeitentwicklungsoperator u, ut, wir haben eine Anfangsbedingung, zu Zeitpunkt t gleich 0 ist das die Identität, da ist nichts passiert und die Lösung dieser Differenzialgleichung ist besonders einfach,

wir haben hier H ein konstanter Operator, also konstant in der Zeit, hier steht kein t drin, sonst wäre es komplizierter, linear-differenzialgleichung 1. Ort mit konstanten Konfizienten, das müssten sie im Schlaf können, wenn man sie morgens um 3 weckt und sagt, wir müssen sofort kommen, was das ist, ohne Nachdenken in der Prüfung,

das ist die Lösung, das geht aber rückwärts, wir können das H auch aus dem u

kriegen, ich schreibe Ihnen die Formel hin, dann sehen wir, ob das stimmt, setzten Sie es ein,

differenzieren Sie das ut, das haben wir ja schon, können wir auch die rechte Seite nehmen, hier ist H mal ut, kommt das H runter, aber ut invers mal ut ist 1 und wichtig ist, H und ut vertauschen,

der Kommutator ist 0, das liegt aber daran, dass ut natürlich gebildet ist von H, jedes Polynom, jedes Monom, jede Funktion von H vertauscht mit H, also vertauscht auch u mit H,

das gilt natürlich hier, weil das ut auf diese einfache Weise gebildet ist, wenn das H von der Zeit abhängt, dann haben wir für verschiedene Zeiten verschiedene Has, und die vertauschen dann nicht mehr miteinander, dann dürfen Sie das nicht machen, Sie werden das auch in den Übungen nochmal thematisieren,

also das ist der einfache Zusammenhang und es ist interessant, das umzurechnen, unterschiedliche Basen, ich mache das mal kurz vor, wenn wir das in die andere Basis berechnen,

in die Strangeness Eigenbasis, wie sehen dann Hamilton-Operator und Zeitentwicklungsoperator aus,

da müssen Sie halt die Linearkombination bilden, 1 durch die Wurzel 2 plus und minus, ich schreibe Ihnen das Ergebnis hin, das ist ein einfacher Linealgebra, eine Basistransformation ist eine Drehung um 45 Grad, dann wird aus der Matrix H, die hier diagonal wird, eine Matrix die so aussieht, gegen Faktor 1 durch die Wurzel 2 zweimal,

also ein halb, und dann stehen hier die Summen und die Differenzen, also ich behaupte das kommt dann raus,

also Hamilton-Operator sieht dann so aus in dieser Basis, es ist nicht mehr diagonal, die Matrix war eigentlich die 1 Matrix, die war zwar diagonal vorher, aber hatte verschiedene Einträge,

Sie können das meinetwegen auch schreiben, wenn Sie wollen, können Sie es zerlegen in Summe, mal Identität plus Differenz, mal die erste Pauli-Matrix, die kommt mir auch vor,

das ist die Matrix 1100, naja, und das Exponenzieren ist auch nicht schwer, wenn Sie diese Matrix Exponenzieren, also wir haben ja zwei Möglichkeiten das U zu beschaffen, entweder Sie machen die Basistransformation nochmal auf der Matrix hier, das ist ja unser U,

oder Sie Exponenzieren gleich die nicht diagonale Matrix, was eigentlich schwieriger ist, aber in dem Fall auch leicht, wenn Sie das Exponenzieren haben Sie immer eine Schwierigkeit, wenn Sie die Summe von zwei Matrizen Exponenzieren und die vertauschen nicht, dann haben Sie ein Problem, ja, weil das Potenzieren, das Multipizieren dieser Matrizen

können sich einfach verschiedene Dinge rausziehen aus den Produkten, aber die 1 Matrix vertauscht immer mit allem, also hier spielt es keine Rolle, hier dürfen Sie vertauschen, die beiden Anteile kommunizieren, und das heißt wir können einfach die getrennt Exponenzieren,

αs plus αlt ist mal die Einheitsmatrix, mal die Identität, und eho minus i Hagwerte halbe, αs minus αlt,

mal die erste Pauli Matrix, naja, und der erste gibt einfach minus i Hagwerte halbe, αs plus αlt, mal die Identität, also als Faktor, und dies hier Exponenziert, das müssen Sie gucken,

σ1 hat die Eigenschaft, dass σ1² die Identität ist, wenn Sie also die Exponenzialerei hinschreiben, jeder zweite Term, jeder gerade Term gibt wieder die Identität, jeder ungerade Term ist proportional zu σ1, und Sie können wieder die gerade und ungeraden Teile der Tellerei zusammenfassen, kriegen den Sinus und den Kosinus, und das heißt auf der Diagonalen stehen die gerade Terms,

das ist der Kosinus, aber T halbe, hier steht ein halb, dieses halbe ist durchaus wichtig hier, weil es dann in die Frequenz eingeht, und hier kommt der Sinus, aber da kommt noch ein i,

und hier ein minus i, das liegt einfach hier an dem i, ne, beides mal minus i, das ist symmetrisch, bleibt symmetrisch, also nicht die Drehmatrix, die Sie kennen,

ich wollte Ihnen mal eine andere Matrix zeigen, das ist auch eine unitäre, also wenn das α real ist, wie gesagt, wenn das λ nicht da ist, dann ist das α real, dann ist das eine unitäre Matrix, also eine S mit Determinante 1, also Kosinus² plus Sinus² ist 1,

eine SU2 spezielle unitäre 2 mal 2 Matrix, aber eben nicht eine, die wir schon mal gesehen hatten, das ist auch eine spezielle unitäre, weil es eine autogonale ist, aber die ist jetzt nun mal komplex, es gibt also noch ein paar andere unitäre Matrizen, die nicht wie Drehungen aussehen, und das ist eine davon,

checken Sie das nach, Sie könnten nachprüfen, dass u Kreuz u gleich 1 ist, z.B. und Determinante u ist 1, 2 Eigenschaften, naja, das können wir jetzt wieder reinmultiplizieren,

und können das auch ein bisschen anders schreiben, der Kosinus ist eine Summe von Exponentialfunktionen, die kann ich hier mit denen wieder zusammenfassen, und dann sieht das ein bisschen freundlicher aus vielleicht,

ich versuche das mal fehlerfrei hier, minus ja, und hier steht wiederum, und hier steht die Summe,

wir können die beiden E-Funktionen hier und hier zusammenfassen, und dann verschwinden die ein halbs hier, weil sie einmal die Summe von zwei gleichen Termen haben, und einmal die Differenz, und in der Differenz hebt sich das alpha L dann hier weg,

und das alpha S addiert sich, deswegen dann nur das alpha S, und hier ist es umgekehrt, also ich lade sie ein, checken sie es nach, ich habe es jetzt nicht vorgerechnet, es ist eine interessante Rechnung, einfach um ein bisschen zu sehen was da passiert, natürlich können sie das auch direkt, indem sie gleich die Basistransformation auf die Diagonalmatrix u machen,

das wäre in dem Fall einfacher gewesen, aber ich behaupte es ist auch interessant das mal so zu rechnen, so, und die Übergangswahrscheinlichkeit, das letzte was ich heute sage, das haben wir unten,

einen k0 quer zum Beispiel zu finden, die kriegen sie einfach dadurch,

dass sie die Zeitentwicklung auf den Anfangszustand anwenden, also bei Anfangszustand psi 0, psi von 0 gleich k0, also ich wiederhole einfach die Rechnung von vorher nochmal, wir checken ob die Formel stimmt, wenn der Anfangszustand ein k0 war, das war ja die Diskussion vorhin,

dann setze ich jetzt ein, psi von d ist u von t mal k0, ich bin ja jetzt in der k0, k0 quer Basis, was da steht, hier ist ein Matrix Element dieses Operators,

in der k0, k0 quer Basis, das ist das rechte, obere Matrix Element, das ist sozusagen das linke untere, ein off-diagonales, zwischen dem einen und dem anderen Basis weg, ich glaube es ist egal, es ist ja gleich, es ist eins von diesen beiden, also nichts anderes, Sie können es ablesen,

aus diesem Ausdruck jetzt, ist es einfach ein Viertel e hoch minus i alpha st minus i alpha e hoch minus i alpha lt, absolut quadrat, und das ist, können Sie nachprüfen, das ist die Formel, die ich schon mal hingeschrieben habe, ich habe sie jetzt nur mit diesem Alpha abgekürzt,

falls die Lambdas null sind, und die Alphas dann reell, dann sind die Teilchen stabil, dann ist der Hamilton-Operator hermetisch, wie man sieht, dann stehen hier keine i's, die Eigenwerte sind reell, und der Zeitlinien-Operator ist unitär.

So, 5 Minuten haben wir noch, und können wir mal gucken, ob Sie etwas mitnehmen von der Vorlesung heute,

läuft's schon? Jetzt. Es ist schon ein bisschen her, aber vielleicht erinnern Sie sich noch,

5 mögliche Antworten, die beiden Versionen Kalon und Kaschort, unterscheiden sich worin? In der Lebensdauer, in ihrem CP-Wert, in ihrer Strangeness, in ihren Massen,

oder vielleicht allem von beiden, oder vielleicht keinem von beiden, was stimmt?

Sie wollen ja nach Hause, oder in die nächste Veranstaltung? Nach Hause.

Okay, Lebensdauer stimmt, da waren Sie aber unentschieden. Die Long- und Short-Versionen sind Eigenzustände von was? Von CP. Deswegen haben Sie einen scharfen CP-Wert,

Sie haben keinen scharfen Strangeness-Wert, weil S-Operator bildet KL auf KS ab und umgekehrt. Deswegen ist die dritte Antwort falsch. Sie haben halt keinen Strangeness-Wert. Antwort 4 ist richtig, die Massen sind verschieden.

Und Antwort 5 ist auch richtig. Materiewellen, es ist nur, waren alle richtig außer 3. Die Omega, wir haben doch Omega-L und Omega-S gehabt. Das ist ja unterschiedlich.

Vielleicht läuft es hier etwas klarer. Der Hamilton-Operator, deshalb habe ich das nicht in der Pause gemacht, weil wir den nicht hatten, der ist diagonal in der Strangeness-Eigenbasis,

in der CP-Eigenbasis, in jeder Basis, oder in der Eigenbasis des Zeitentwicklungs-Operators. Was ist richtig? Es steht an der Tafel.

Ich könnte es verstecken. Aber da steht es ja auch eigentlich. Dahinter.

Wenn Sie sich gemerkt haben, die richtigen Antworten

in der Frage vorher, können Sie diese auch beantworten. 50, magische Grenze. Jetzt stimmt keiner mehr ab. Aber ich kann ja auch aufhören bei 45.

Das ist ja eindeutig. Da brauchen wir nicht mehr reden drüber. Ich verstehe es zwar nicht ganz, hier ist mehr zu stimmen. Wenn es hier nicht stimmt, dann kann es hier auch nicht stimmen.

Das ist natürlich Quatsch. Das ist auch richtig. Die Eigenbasis von UT ist dieselbe wie die Eigenbasis von H. Das eine ist eine Funktion der anderen. Wenn Sie die Eigenbasis eines Operators haben, ist sie auch Eigenbasis von jeder Funktion des selben Operators. Das ist nicht so schwer. Letzte Frage, und die ist ein bisschen tricky.

Wir beginnen mit einem reinen K0-Strahl, was wir auch hier die ganze Zeit hatten. Ich frage nach der Häufigkeit, mit der Messungen zu einem späteren Zeitpunkt,

sondern K0 finden. Die andere Variante, das habe ich nicht vorgerechnet. Was meinen Sie, was da stimmt? Ist diese Wahrscheinlichkeit zeitlich gleichbleibend? Sinkt sie monoton gegen Null? Oszilliert sie zwischen 1 und Null?

Nähert sie sich einem Mittelwert ein halb? Oder oszilliert sie mit einer Frequenz lambda L? Bitte? Oh ja, Sie können ja schon mal nachdenken. Aber danke.

Sie können auch diese Kurve als Stütze nehmen. Die Wahrscheinlichkeit, in der ich frage, ist die komplementäre Wahrscheinlichkeit, aber nicht so ganz, weil die Wahrscheinlichkeit ist nicht erhalten in dem Problem. Die Gesamtwahrscheinlichkeit bleibt nicht 1, denn dann die Teilchen zerfallen.

Aber man kann das als Hilfe verwenden. Sie können natürlich auch die Rechnungen hier durchgehen und hier überall K0 statt K0 quer einsetzen, so schnell im Geiste und sich überlegen, was ändert sich, wenn Sie das so schnell hingerechnet bekommen.

Es ändert sich nicht viel. Es geht langsam, ein bisschen komplizierter Frage.

Wollen Sie noch Zeit? Soll ich Sie erlösen? Ich erlöse Sie. Es ist ein bisschen gemein von meiner Seite,

aber das widerspricht allem, was mich da oben ausgerechnet hat. Da hat sich keiner ins Bockshorn hier anlassen. Sinkmonoton gegen Null? Die Oszillationen haben wir nach wie vor, die haben wir in beiden Fragen.

Rabioszillationen haben wir auch hier, also Monoton ist nicht. Oszilliert zwischen 1 und Null kann auch nicht sein, das geht ja auch nicht zwischen 1 und Null. Also am Anfang war es zwar 1, aber es geht auch nie komplett zu Null.

Und das ist auch nicht richtig, denn generell geht ja alles zu Null wegen exponentiellen Zerfall. Es kann sich nicht an einem endlichen Mittelwert annähern, kann auch nicht stimmen. Schauen Sie mal, was bestimmt die Oszillationen?

Die Oszillationen werden durch Lambda s bestimmt und nicht durch Lambda l. Kleiner Fehler. Das ist die richtige Antwort. Das darf ja auch mal passieren.

Wir sehen uns am Donnerstag. Viel Spaß in den Übungen.