Guten Morgen. Ja, es ist noch früh. Es ist schon dabei hierher, dass wir uns gesehen haben.

Deshalb einen langsamen Einstieg, nochmal kurze Einstimmung auf das, was ich vorletzte Woche Ihnen am Ende erzählt habe. Es ging darum, nochmal die wichtigsten Postulate zusammenzufassen, einige Konsequenzen zu diskutieren, bevor wir dann in die Beispielsysteme einsteigen, die eigentlich jeder Quantenphysiker mal gesehen haben muss.

Also die berühmten Anwendungsfälle, wo man halt die ganze Klasse der Theorie dann auch wirklich durchtesten und bewundern darf. Also nochmal heute und auch am Donnerstag nochmal eher Allgemeines.

Und ich kurz wiederhole nochmal ganz kurz diese wichtigen Punkte, die das Grundgerüst darstellen, letztendlich für alle, für den gesamten Formalismus. Das erste war der Zusammenhang zwischen observablen und selbstadjungierte Operatoren in einem Hilbertraum.

Und die Messwerte haben was zu tun mit dem Eigenwerten.

Die möglichen Resultate einer Messung dieser observablen sind immer die Eigenwerte des zugehörigen Operators.

Und das zweite Postulat betracht die Vertauschungsrelation, die kanonischen Vertauschungsrelationen

zwischen Orts- und Impulskoordinaten im kathesischen Fall, kathesischen System. Das dritte beschreibt die möglichen quantitative Vorhersagen und Erwartungswerte.

Also Zustände, es ging um die Charakterisierung von Zuständen des Systems. Ein Zustand hat zu tun mit einem Dichteroperator oder wird beschrieben durch einen Dichteroperator im Büro.

Das ist auch ein Operator und ist im Hilbertraum. Und im reinen Fall ist RO einfach ein Projektionsoperator. Dieses RO hat eine Eigenschaft, die habe ich diskutiert.

Aber wichtig für das, was wir ausrechnen wollen, ist die Frage, wie berechnet sich jetzt in einem Zustand RO, die der Erwartungswert, also sprich der Mittelwert bei vielen identischen Messungen,

der Mittelwert solcher Messungen an einer observablen Omega. Und die Formel dafür ist sehr einfach, ist linear in RO und in Omega, ist einfach die Spur des Produkts. Wir haben verschiedene Spezialfälle diskutiert.

Ein Spezialfeld zum Beispiel, dass dieser Omega ist ein Projektionsoperator auf einen Eigenwert, ein PI, das ist der Ja-Nein, gehört zur Ja-Nein-Antwort oder Frage zu Messwert i, zu Eigenwert, zum Iten-Eigenwert.

Okay, das ist zusammen ein Grundbaustein, mit dem man alle anderen Observablen zusammensetzen kann. Und dann P4. Nach einer Messung, nach einer idealen Messung, wird RO verändert, schlachartig,

zu einem neuen Dichteroperator und der ist gegeben, Ach so, Messung von Omega mit Wert Klein-Omega,

also das Ergebnis der Messung beeinflusst den Zustand der Messung und der sieht dann so aus,

dass wir den Dichteroperator projizieren müssen auf den Unterraum, der zu dem Eigenwert Klein-Omega gehört. Projektion eines Vektors ist klar, sie multiplizieren den Projektionsoperator auf den Vektor.

Projektion eines Operators, sie müssen von rechts und von links den Projektor anwenden. Das heißt sozusagen, der Operator wird sowohl in seinem, sowohl der Urbildraum wird projiziert auf den Unterraum vom Eigenwert Omega als auch der Bildraum.

Das heißt, wenn Sie sich das als Matrix vorstellen, ein Operator ist eine große Matrix, dann wird sozusagen alle Zeilen und alle Spalten, die nicht zu dem Eigenraum von Klein-Omega gehören, werden halt weggestrichen oder zu Null gemacht. Das heißt, in dieser Art von Kollaps, Kollaps der Wellenfunktion, wie man das nennen will, Zustandsreduktion,

den kann man sich bildlich so vorstellen, dass der Dichteroperator vorher im Hilbertraum irgendwie verteilt ist. Der hat einen Support im Hilbertraum und nach der Messung ist der Support einfach kleiner geworden. Der ist quasi, bitte nicht während der Vorlesung, reduziert.

Das heißt, der Bereich, irgendwann, wenn Sie das oft genug machen und die Messungen, zum Beispiel wenn Sie es messen und der Eigenwert Omega ist nicht entartet, dann ist der Unterraum nur noch eindimensional und dann wird der Dichteroperator reduziert auf einen eindimensionalen Unterraum und dann haben Sie einen reinen Zustand.

Denn ein Dichteroperator, der reduziert ist auf einen Unterraum, ist ein Projektionsoperator in diesem Unterraum und wenn der Rang 1 hat, dann haben Sie diese Situation. Das hatten wir festgestellt, dass bei Messungen, die nicht entartet sind, genau das passiert. Also reine Zustände präparieren durch geeignete Messungen.

Hierzu wollte ich tatsächlich noch eine Sache nachtragen. Dieses Ideal kann man verallgemeinern. Eine Verallgemeinerung würde ich kurz ansprechen, weil die manchmal wichtig ist, insbesondere in der Quanteninformationstheorie, das ist ja heutzutage modern und schon länger.

Das nennt sich POVM, das ist ein englischer Ausdruck, Projector Valued, nein, Positive Operator Valued Measure.

Sie können bei einer Messung auf einen nicht entartetem Eigenwert können Sie das so auffassen, dass die Messung wird charakterisiert

durch einen Projektionsoperator auf den entsprechenden Unterraum. Das heißt, dieser Projektionsoperator definiert eine Art Maß in diesem Zustandsraum und das Maß ist projektionswertig. Das ist nicht wie eine Maßtheorie, ich weiß nicht, in der Mathematik manchmal hören Sie was über Maßtheorie, beim integrieren in höheren Dimensionen, dann müssen Sie über Lebesmaß und solche Sachen lernen.

Es gibt eine Verallgemeinerung in der Maßtheorie, wo das Maß nicht real oder komplexwertig ist, sondern operatorwertig. Das ist hier in der Quantenmechanik die sinnvolle Begriffsbildung.

Das ist ein Maß im unendlich dimensionalen Zustandsraum, im Hilbertraum und es ist operatorwertig. Im Allgemeinen, das was ich hier bei der Idealmessung diskutiert habe, waren diese Maße immer Projektionsoperatoren, projektionsoperatorwertig und das kann man verallgemeinern, deswegen in der Name statt Projektionsoperator einfach positive Operator und da können Sie jetzt nichts darunter vorstellen vielleicht,

aber das einfachste Beispiel sieht so aus, nicht bisher hatten wir immer eine Summe von einer Kollektion von Pi von y gleich 1 bis n oder d, wobei d die Dimension des Zustandsraums ist

und die Projektionsoperatoren hat die Eigenschaften, dass sie eben autogonal sind, wenn sie p² ist p und Pi mal pj ist 0, schon Säckrecht aufeinander und die Summe der Pi ist die Identität. Das ist sozusagen unsere Basis für die Projektionsoperatoren.

Und die Verallgemeinerung haben wir einen Satz von Operatoren, die können wir mal nennen wir sie ffk

und k läuft von 1 bis zu einer anderen Zahl, die kann größer sein als d, also sie ist größer als d im Allgemeinen. Nennen wir sie r, r ist nicht gut, nennen wir sie s, s kann größer als d sein. Mit der Eigenschaft einfach nur, dass die Summe über alle fk gleich die Identität ist, also eine Zerlegung der 1 genauso,

aber zum Beispiel könnte man nicht autogonale Projektoren nehmen.

Also das heißt, wenn sie beispielsweise in einem zweidimensionalen Zustandsraum sind, das ist der einfachste Fall von unserem Kubit, da hatten wir immer als Basis zwei Projektionsoperatoren. Das könnte man zu Situationen haben, wo vielleicht ein Operator existiert, wo sie drei mögliche Messergebnisse haben, nicht nur zwei.

Das geht natürlich nicht mit dem, da können Sie es nicht durch einen selbstautomagierten Operator beschreiben, der eben nur den Sie zerlegen können nach dem Spektraltheorien in der Linearkommendation von Projektoren auf die beiden Unterräume.

Sondern dann haben Sie eine Verallgemeinerung von der Situation da oben, die Observatoren sind da nicht selbstautomagierte Operatoren, sondern etwas Allgemeineres. Und dann gibt es drei mögliche Messwerte und die entsprechenden Projektionsoperatoren auf die drei Unterräume, addieren sich auch zur Identität. Aber sie stehen nicht senkrecht aufeinander.

Und dann sind einige Formeln hier, das zu verallgemeinern. Also ich möchte nur auf Hinweis, falls Ihnen das später mal begegnet, dass Sie sich nicht wundern und sagen, der Lechtenfelder hat da irgendeinen Unsinn erzählt, das ist alles ganz falsch, der Leckbandmechanismus ist eine Verallgemeinerung von dem, was ich Ihnen hier in der Vorlesung im Wesentlichen vortrage. Das gibt es. Okay, das war also nur eine Bemerkung, die mir am Herzen lag.

Und, ja. Das PE-PJ, haben Sie die Synchronika-Deltin bei PE? Können Sie auch Pj schreiben, ist ja egal. Das ist ja der gesamte Ausdruck, die rechte Seite mit Pj.

Keine Summe hier. Hier gilt die einsteinische Subventionskonvention nicht in diesem Ausdruck. War das das, was irritiert? Weil hier steht immer nur ein i und ein j. Bei manchen Formeln muss man dazu sagen, der gilt es halt nicht.

Hier ist keine Summe über i. Das heißt einfach nur P1 mal P2 ist 0. Und P1² ist P1. Also bei diesem Ausdruck, weil es ja proportional zu Delta ist, ob Sie hier i oder j schreiben, ist Jacke wie Hose.

Können Sie machen, wie Sie wollen. Und ich hatte von fünf Postulaten geredet und damit geht es heute neu weiter. Deshalb jetzt wieder ausführlicher. Die zeitliche Entwicklung einer Gesamtheit von Systemen wird beschrieben durch einen unitären Operator.

U von T. Das haben wir schon gesehen in vielen Beispielen. Und dieser Operator wird definiert über eine Gleichung.

ih quer U Punkt von T ist gleich H mal U von T genügt.

Und das braucht natürlich eine Nummer. Gut, jetzt habe ich noch nichts erklärt, weil ich Ihnen natürlich auch sagen muss, was H ist.

Dabei ist H der Hamilton-Operator des Systems. Also der Gesamtheit.

Und die eigentliche Aussage des Postulats ist, dass die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte,

das sind ja unsere Messgrößen, Erwartungswerte, ja Nein-Fragen ja auch, letztlich folgt aus einer Gleichung oder ist gegeben durch Omega-Erwartungswert von T. Die Klammern sagen immer Erwartungswert natürlich im Hinterkopf bei im Zustand rho.

Rho habe ich kündig als Index hier dran malen. Wenn Sie verschiedene Zustände haben, müssen Sie das indizieren, müssen Sie das unterscheiden, aber bei einem gegebenen Zustand behalte ich das im Hinterkopf. Die Formel dafür steht hier da oben, aber die Abhängigkeit von der Zeit wird dadurch beschrieben,

dass Sie in die Formel, die Nummern habe ich jetzt nicht mehr dazugeschrieben, der hatte auch eine Nummer natürlich, weiß nicht mehr, was es war, diese Zeitentwicklungsoperatoren hinein basteln. Auf diese Art und Weise U und U Kreuz schreiben Sie in diese Spur ein.

Natürlich sind hier einige Bemerkungen angebracht. Zunächst mal haben wir ja schon die Schrödinger Gleichung gesehen für reine Zustände

und irgendwie sollte für reine Zustände die Schrödinger Gleichung als Spezialfall da wieder rauskommen. Sonst passt das nicht zusammen, was ich Ihnen vorher erzählt habe. Also bei reinen Zuständen, Äquivalenz zur Schrödinger Gleichung,

also sei Rho gleich ein Projektor auf einem normierten Zustand.

Und das heißt, wir haben zum Zeitpunkt T gleich Null einen Zustand, den nennen wir Psi.

Also das ist bei T gleich Null. Wenn da nichts dabei steht, wenn diese Zustände oder Rhos, ich habe nur gesagt, was die Erwartungswerte sich ändern. Das ist einfach ein zeitunabhängiger Operator im Moment.

Was folgt da draus? Dann folgt der Erwartungswert in diesem Fall. In diesem Fall wissen wir, wie wir den ausrechnen. Das hatten wir mit den Spur-Rho.

Hier oben steht die Formel Nummer Spur-Rho Omega. Wenn Sie das hier einsetzen für Rho in die Spurformel, dann ist das einfach das. Sie können dann unter der Spur das Psi einmal herumziehen und die Spur weglassen. Die Regeln haben wir ja hoffentlich jetzt verwendet.

Das ist das eine. Und jetzt setze ich das hier einmal ein. Meine Formel da.

Ich lasse das von T mal weg. O ist Psi, Psi. U Kreuz Omega. Und auch hier kann ich dieselbe Stoße machen. Ich kann das quasi hier rumziehen und kann die Spur. Die Spur können Sie sich immer als Ring vorstellen.

Die Operatoren werden dann da multipliziert und der letzte Operator wird praktisch wieder mit dem ersten multipliziert. Das ist ja die Spurbildung. Das heißt, bei einer Spur können Sie immer, da Sie jetzt zyklisch unter der Spur vertauschen können, quasi den Ring aufbrechen, wo Sie den Anfang und den Ende setzen, ist egal. Und das mache ich dann hier.

Das heißt, das hier können Sie auch schreiben als, fangen wir hier an, Psi, U Kreuz, Omega, U Rho, Psi. Und jetzt vergleichen Sie diese beiden rechten Seiten hier.

Und dann sehen Sie, dass die gleich sind, genau dann, wenn ... U, Dankeschön, ja. Rho ist ja schon verbraten. Vielmehr egal darauf, dass es nicht passt. Dann sehen Sie, dass die gleich sind, wenn dies hier gleich dem ist.

Das ist hier von T und das ist ja bei Null. Das ist hier der Zustand bei Null und das ist hier, oder vielleicht sollte ich lieber ... Ich habe es jetzt ein bisschen ungeschickt gemacht.

Also von T bedeutet hier ... Lass mich das ein bisschen anders schreiben. Also die Notation ist nicht ganz optimal hier. Ich schreibe das von T mal hier rein.

Da ist irgendwie klarer, dass dieser Kett und dieser Bra halt zeitabhängig sind. So wie er hier. Bei T gleich Null habe ich keinen Index oder kein Argument dran. Aber jetzt möchte ich sozusagen das durch zeitabhängige Zustände beschreiben. Und dann ist klar, dass die zeitabhängigen Zustände ... C von T ist nichts anderes als U angewandt auf C.

Ja, und das war C von Null. Okay. Das heißt ... Ach so, und Omega ist beliebig.

Ja, das gilt für beliebige Omega, deswegen muss das gleich sein. Also das ist sozusagen hier verwendet worden. Omega-beliebig. Und aus dieser Gleichung folgt durch differenzieren.

Also da oben 4,12. Wenn Sie diese Gleichung nach T differenzieren, dann steht hier ... Ja, wenn ich nach T differenziere und nochmal mit IH quer multipliziere,

dann differenzieren Sie auf der rechten Seite. IH quer mal U Punkt, verwenden die Gleichung U12. Und das ist dann H mal U. Aber U mal C ist wieder C von T. Ja, und dann kriegen Sie die Schrödinger Gleichung zurück.

Und das ist die Schrödinger Gleichung. Und dann geben wir auch einen Namen. Okay. Das ist die eine Richtung. Gut, also klar, Spezialfall. Also Äquivalenz in diesem Spezialfall.

Es ist klar, dass Sie auch zurückkommen. Wenn das gilt, können Sie auch das hier einsetzen. Und dann können Sie die Spurformel wieder ausdrücken. Und dann sehen Sie, dass die Formel natürlich äquilent ist. Also eine Kette von Gleichheitszeichen.

Ja, okay. Das ist also die Zeitentwicklung der Erwartungswerte und die Zeitentwicklung von Zuständen.

Jetzt ist die Frage, ob wir die Zeitentwicklung auch allgemeiner auf den Dichteroperator anwenden können. Dieses hier ist ja eine Kombination. Hier stecken der Zustand drin und die Observable. Das ist eine Kombination.

Und wir haben gesagt, im Fall von Reinenzuständen kann ich diese Zeit... Also die Observable hängt nicht von der Zeit ab, die Zustände hängen von der Zeit ab. Die hängen so von der Zeit ab, dass das hier rauskommt. Das U schmeißt sich auf die Zustände und mit dem U entwickeln sich die Zustände im Hübertraum. Die als Pfeile rotieren irgendwo durch die Gegend.

Und die Frage ist, kann ich das auch im allgemeinen Fall für einen Dichteroperator genauso machen? Ich mache mal so in beide Richtungen. Das ist sozusagen die Äquivalenz, ob ich das dann auch darüber sehen kann.

Und in der Tat, das geht. Dazu muss man einfach nur die Formel 4.13 anders interpretieren.

Nämlich so. Und es ist klar, was ist das Rho von T? Das lesen Sie einfach ab. Das ist dann einfach U von T mal Rho mal U Kreuz von T.

Also ich führe jetzt sozusagen neue zeitabhängige Zustände und Dichteroperatoren ein, die aus den alten, die ohne, die bei T gleich Null definiert waren, also keine Zeitabhängigkeit haben,

dadurch hervorgehen, dass wir sie mit U verzieren. Mit dem Zustand von links und dem Dichteroperator von links und von rechts, wie sich das für einen Operator gehört. Und Sie sehen, das ist nur eine Umschreibung derselben Formel. Die Formel schreibt das nicht vor, aber wir dürfen das machen.

Und daraus folgt genauso wie hier, folgt auch für Rho eine Differentialgleichung. Wir können genauso gut 4.12 verwenden. Wir haben hier eine Differentialgleichung für C uns beschafft, indem wir das einfach nach T differenziert haben, diese Beziehung.

Und das können wir auch für Rho machen. Rho von T. Und naja, das läuft genauso. Dann können wir motivieren mit ih quer und differenzieren dieses Rho von T nach T.

Also da, wo Sie jetzt den Pfeil gemacht haben, wo man 3.4.12 einmal differenziert hat, dieses ih quer, ich habe nur mal vergessen, wo kam das denn noch mal?

Okay, machen wir es nochmal ausführlicher. Also ich differenziere diese gleichen. Ich motiviere Sie, das kann ich machen. Ich möchte Sie gerne mit ih quer motivieren. Muss ich das nicht machen? Ich wende dieses hier an auf die linke Seite. Das Ding Differenzation und Multiplikation mit ih quer loslassen auf diesen Zustand.

Dann machen wir das, benutze ich die Gleichung, das habe ich nur eingesetzt. Das ist zeitunabhängig, das heißt die Differenzation wirkt nur auf das u. Das ist aber u Punkt. Jetzt verwenden Sie 4.12 um dieses hier oder ih quer mal u Punkt tatsächlich.

Ich habe das dazugeschrieben und wenn ich jetzt die Formel wirklich mit dem ih quer verwenden kann, das ist einfach h mal u von T angewandt auf C. Aber das ist wiederum C von T.

Einfach noch ein bisschen ausführlicher. Also wenn es ein bisschen zu schnell geht, wenn Zwischenschritte fehlen, die Ihnen nicht einsichtig sind, unterbrechen Sie mich natürlich. Das kann ich jederzeit nochmal ausführlicher sagen. Und ich mache das gleiche jetzt für das ro. Ich differenziere hier jetzt rein.

Also machen wir das ausführlich. D nach dt ist ein Punkt. Punkt heißt D nach dt. Also jetzt haben wir aber die Produktregel. Wir haben eine T-Abhängigkeit hier und hier an zwei Stellen. Müssen wir die Produktregel verwenden. Bleiben jetzt u Punkt von T. Ich lasse das von T mal weg.

Mal u Kreuz plus ih quer u ro u Punkt Kreuz. Beide Stellen differenzieren.

Was u Punkt ist wissen wir, aber was u Punkt Kreuz ist wissen wir nicht. Wie beschafft man sich das? Da braucht man einen einfachen Trick. Den sollte man sich einmal merken. Der kommt immer mal wieder. u ist unitär. Das heißt u Punkt u Kreuz ist das inverse von u.

Wie differenziert man das inverse, wenn man weiß, wie das Original differenziert? Das ist eins durch F. F Strich minus F Strich durch F Quadrat ist irgendwie nicht so nett. Das kennen Sie bei Funktionen, wenn Sie das eins durch F differenzieren. Aber wir haben so Operatoren, da wissen Sie nicht, ist F Quadrat im Nenner, ist das jetzt davor oder dahinter, kommt auf die Reihenfolge an und so.

Alles viel zu kompliziert. Nebenrechnung. Wenn Sie sowas haben, differenzieren Sie nicht das inverse, sondern Sie differenzieren die Gleichung, die das definiert. Die Gleichung sagt, eins ist gleich u Kreuz u oder u Kreuz, worum es sinnvoll ist.

Eigentlich egal. Machen wir u u Kreuz. Das ist ja die Gleichung, die definiert, die sagt Ihnen, dass u Kreuz das inverse von u ist.

Da steht nichts im Nenner, das macht es einfacher, Sie müssen nichts invertieren. Diese Gleichung differenzieren Sie, den nach dt. Was wird dann aus der linken Seite? Das ist eine Konstante. Produktregel.

u Punkt mal u Kreuz plus u mal u Kreuz Punkt. Ah, den wollen Sie. Das steht ja schon da drin in der Gleichung, Sie müssen es aber isolieren. Aber wie geht das? Sie multiplizieren von links mit u Invers. Oder u Invers ist ja u Kreuz, also von links auf die Gleichung.

Dann steht da Null gleich u Kreuz u Punkt u Kreuz plus u Punkt Kreuz. Weil u u Kreuz hier macht einer eins, nimmt das u weg.

U Kreuz u. Jetzt sind Sie fertig, denn jetzt lernen Sie, dass u Kreuz Punkt ist gleich minus u Invers u Kreuz u Punkt u Kreuz. Das ist die Beziehung, die Sie wollten. Sie haben also u Kreuz Punkt durch u Punkt ausgedrückt.

Sie sehen, das ist die Formel mit dem 1 durch f Quadrat, weil u Kreuz ist ja u Invers. Beim Differenzieren von der 1 durch die Funktion kriegen Sie ja die Ableitung durch die Funktionsf Quadrat. Die Funktionsf Quadrat haben Sie hier aufgeteilt. Ein Invers ist hier und ein Invers ist da. So ist die Formel richtig. Sie können die nicht beide auf eine oder beide auf die andere Seite schreiben.

Sie müssen sie schon symmetrisch verteilen. Das kommt raus. Das ist was Sie brauchen und das verwenden wir jetzt einfach. Ich schreibe es also nochmal. Jetzt haben wir hier ein Minuszeichen, weil da ein Minuszeichen steht. Und hier steht jetzt u Kreuz u Punkt u Kreuz.

Und jetzt darf ich einsetzen. Wieder 412. Und dann steht da h mal u u Kreuz.

u u Kreuz h mal u u Kreuz. Das haben wir nur eingesetzt. Jetzt können wir den Ausdruck wieder ein bisschen vereinfachen, weil das ist ja assoziativ das Operatorprodukt. Ob ich hu mal u Kreuz schreibe oder h mal u u Kreuz ist egal.

Aber u Kreuz ist die 1. Und wenn Sie das scharf angucken, dann sehen Sie hier wieder die Kombination Rho von T.

Und hier sehen Sie Rho von T. Und einmal steht das h links und einmal steht das h rechts. Das heißt, das ist der Kommutator von h mit u mit Rho von T. Das heißt, wir haben hier eine interessante Gleichung.

Ich schreibe es nochmal zusammen. i h Quer dt oder Rho Punkt ist gleich h Rho. Diese Gleichung heißt auch Liouville Gleichung.

Genauer weiß ich eigentlich nicht warum. Weil der Herr Liouville, der hat schon lange vor der Quantenmechanik gelebt. Aber wahrscheinlich hat er eine ähnliche Differential-Gleichung diskutiert.

Ja. Da ist ja das hu eingeklammert. Keine Zeit drüber. Ja, genau. Da ist ja das hu eingeklammert. Und dann genau das. Wieso um das u und u k oder um das 1?

Wieso da so ein Klammer? Weil es assoziativ ist. Sie multiplizieren Operatoren. Da gilt das Assoziativgesetz. Denken Sie an Matrizen. Nö, wieso? H ist ein Operator.

Das ist wie eine Matrix. Wenn Sie Matrizen multiplizieren. Wirkt einfach durch Anwenden von links. Das würde auch bei Differentialoperatoren gelten. Wir haben hier die Formel, sage ich mal, eingesetzt.

Das ist hu. Da hatten wir, dass das K wirklich nur auf das u wirbt. Hu, was heißt wirkt? H. Da haben wir ja, dass das K nur auf das u wirbt. H wirkt auf alles, was rechts steht.

Wenn wir jetzt hier stehen, der Gleiche steht ja nichts weiter aus dem u. Also H wirkt multiplicativ einfach. Sie müssen ein bisschen gucken. Natürlich, wenn H im Ortsraum zum Beispiel als Differentialoperator realisiert wird, dann müssen Sie natürlich gucken. Ist richtig, worauf wirkt der. Aber abstrakt ist es nur ein Operator, der einfach von links angewendet wird.

Wie eine Matrix. Denken Sie an eine lineare Operation. Und das kümmert sich nicht darum, ob dahinter noch was steht oder nicht. Wir hatten ja die Beispiele auch. Zwei Mal zwei Matrizen. Also generell Operatoren.

Auch da gilt das Assoziativgesetz. Welche Reihenfolge sieht die an? Wie die dieser Klammern spielt keine Rolle. Ja, und jetzt könnte ich natürlich für einen Reihenfall, kriegen Sie die Schrödinger gleich. Ich glaube, das Schraube ich reibe jetzt nicht hin.

Für einen Reihenfall reduziert sich das dann auf die Schrödinger Gleichung wieder. Und letztendlich, was noch fehlt, wir haben jetzt Differentialgleichungen für den Zustand. Zeitabhängig. Wir haben Differentialgleichungen für den Dichteroperator. Wir werden zeitabhängig machen.

Wir können natürlich auch eine Differentialgleichung für den Erwartungswert. Wo steht da hier? Hierfür kann ich auch eine Differentialgleichung ableiten. Für Omega von T.

Und wie sieht das aus? IH quer dt. Also sagen Sie jetzt, das ist ja Quatsch. Ich habe es schon gelöst. Ich weiß schon, wie es aussieht. Manchmal ist es gut, die Differentialgleichungen zu kennen. Das ist besonders, wenn Sie das U nicht kennen. Aber bei dem Hamilton-Operator wissen,

können Sie oft sehr viel lernen über die Lösung Omega von T. Die können Sie nicht ausrechnen, wenn Sie U nicht kennen. Aber vielleicht wissen Sie H. Dann können Sie schon damit was anfangen. Können Sie das eher integrieren, als das U komplett auszurechnen. Das muss man vielleicht nicht immer machen. Gut, dann benutzen wir diese Formel IH quer.

Und schreiben hier das so wie da oben. Die Zeitabhängigkeit verstecken wir jetzt in dem Roh. Und dann benutzen wir die Liouville-Gleichung 4,16 hier. Da ich das hier da oben einfach einsetze. IH quer ist jetzt weg. Das haben wir vernutzt.

Das ist die Ableitung auf das Roh. Also einmal hier rein. Vielleicht schreiben wir das nochmal hin. Deswegen nochmal IH quer. Spur von Roh Punkt Omega. Und dann 4,16.

Roh Punkt ist jetzt der Kommutator. Dann steht hier der Kommutator in der Spur. H-Rho mit Omega multipliziert. Und das ist noch nicht alles. Das passiert manchmal, dass wir Observablen haben, die explizite Zeitabhängigkeit haben. Das ist doch nicht oft vor. Aber vielleicht ändern sich in der Mechanik.

Da gab es auch schon mal solche Sachen. In der Mechanik hatten wir Observablen. Also Impulse, Drehimpulse. Und dann gibt es so Schwerpunkts. Ich weiß nicht ob Sie das gesehen haben. Bei der Haltung des Schwerpunktes gibt es so eine Koordinatin. Die heißt irgendwie P mal T minus.

Irgendwas anderes. Minus E glaube ich. Da steht explizit ein T drin. So etwas kann es geben. Für diesen Fall muss man noch hier einen Termin dazu addieren. Okay, dann lassen wir das mal. Moment.

Sagen wir mal so. Falls Omega Punkt gleich Null ist. Ja. Falls Omega Punkt nicht Null ist. Wie gesagt, falls Omega explizit zeitabhängig wäre. Dann müssten Sie es natürlich auch noch rein differenzieren.

Dann bekämen Sie einen offensichtlichen Zusatzterm noch. Und da drücke ich mal. So darf man nicht ganz vergessen. Manchmal passiert das. Deswegen will ich die Formel ein wenig relativieren. Ja. Und man kann das noch ein bisschen umschreiben.

Ich behaupte. Ich kann das auch so schreiben. Spur. Ach so. Ich möchte das umschreiben.

Ich behaupte, das kann man auch schreiben als Spur. Rho von T. Rho von T. Vielleicht sollte ich hier T schreiben. Das ist ja Rho von T. Mal den Kommutator von Omega mit H.

Sehen Sie das? Vielleicht nicht. Dann müssen Sie einfach die beiden Terme hinschreiben. Das ist Spur. Okay.

Machen wir einfach mit drei Operatoren. Was ist Spur von A Kommutator B mit C? Ist Spur von A B C minus B A C. Richtig?

Was ist Spur von ... Was habe ich hier gemacht? Rho ist B. Omega ist C. Und H ist A. Ich möchte das vergleichen. Das ist die andere Seite. Das ist Spur von B C A minus B A C.

Das vergleichen Sie. Und dann sehen Sie, dass dieser Term gleich dem ist, weil Sie zyklisch vertauschen. A B C A B C. Das ist die selbe Reihenfolge. Zyklisch verdreht.

B A C. Hier ist sowieso das gleiche. Also können Sie unter der Spur das auch umschreiben. Was habe ich gemacht? Das habe ich deshalb gemacht, weil ich hier wieder meine Formel verwenden kann. Das ist nämlich dann nichts anderes als der Erwartungswert

von dem Kommutator von Omega mit H für den zeitabhängigen Zustand Rho von T. Da habe ich die Formel da oben. Oben in der oberen Zeile. Nur angewandt nicht für Omega, sondern für den Kommutator.

So, und jetzt mache ich das noch ein bisschen allgemeiner. Für den Fall, dass Omega-Punkt nicht Null ist, nennen Sie noch einen weiteren Term. I h quer dT Omega von T.

Und das ist das allgemeine Resultat. Falls also Omega zeitabhängig ist, kriegen Sie natürlich ein explizites D nach dT Omega hier noch rein. Und sonst haben Sie von der Zeitentwicklung des Dichteroperators eben diesen Beitrag. Und das ist die allgemeine Zeitentwicklung eines Erwartungswertes.

Das heißt, wenn Sie jetzt wissen wollen, zum Beispiel Sie haben ausgerechnet in unserem Wellenpaket, Hausübung, Erwartungswert von x². Sie wollen irgendwie die Breite des Wellenpakets. Wie zerfließt das Wellenpaket? Dann gucken Sie als Operator hier x² an.

Wir haben einen Erwartungswert von x selber wäre Null. Dann ist Delta x² ist dann x². Dann können Sie das dadurch ausrechnen, dass Sie einfach den Kommutator von x² mit dem Hamilton-Operator ausrechnen und dessen Erwartungswert. Das hier ist dann Null. Dann haben Sie eine Differentialgleichung für Ihre Breite,

wie Sie sich zeitlich verändern. Die können Sie leicht lösen. Das ist einfach als das Uhr auszurechnen. Das Uhr haben Sie ja gesehen, in Hausübung ist es ein bisschen mühvoller. Aber hier kriegt man eine leichte Differentialgleichung, die lässt sich mühelos integriert.

Noch ein Kommentar zu dieser Zeitentwicklung. Das ist jetzt unitäre Zeitentwicklung. Wir hatten vorher aber auch eine Änderung des Zustandes durch Messung. Das ist nicht unitär. Ein Großteil der philosophischen Diskussionen der Quantenmechanik hat zu tun mit dieser scheinbaren Dekotomie, mit dieser Widersprüchlichkeit, dass ich zwei Arten habe, den Zustand zu ändern.

Entweder, wenn ich ihn einfach sich selber überlasse, dann entwickelt er sich unitär. Alles glatt, schön, Wahrscheinlichkeit beim Erhalten, nichts passiert. Und wenn ich eine Messung mache, kollabiert plötzlich der Zustand, wird schlagartig zu einem anderen. Das ist nicht unitär. Diese Zeitentwicklung, dieser Kollaps der Wellenfunktion,

Zustandsreduktion ist etwas nicht unitäres. Kann man nicht beschreiben durch einen unitären Zeitentwicklungsoperator. Und die Frage ist, wie passt das zusammen? Und die Antwort letztendlich ist die, das passt dann zusammen, wenn Sie Ihren Messoperator mit einbeziehen, in die Beschreibung des Gesamtsystems. Wenn Sie nicht nur das untersuchende System angucken, sondern den Messoperator auch beschreiben,

in einem Quantensystem, das gesamte System, wenn es dann abgeschlossen ist und nicht mit der Umgebung wechselwirkt, genügt immer dieser unitären Zeitentwicklung. Wenn Sie aber ein System zerlegen in zwei Teile, und die wechselwirken miteinander, und Sie gucken sich eben nur das Teilsystem an und versuchen, die Zeitentwicklung des Untersystems zu beschreiben,

unter Ignoranz des Restes, das ist eigentlich aus Messapparats. Dann, das ist jetzt nicht gegenstand dieser Vorlesung, das konnten Sie in Quantentheorie 2 lernen, da wird das genau diskutiert. Dann gibt es Gleichungen, die diese Zeitentwicklung des Untersystems beschreiben und die sind nicht unitär. Und dann können Sie modellieren,

diese Kollaps der Wellenfunktion, können Sie dann modellieren in solchen Modellen, die das berücksichtigen. Das nennt man dann offene Quantensysteme, die sind gekoppelt an die Umgebung und die genügen nicht der Schrödinger Gleichung. Komplizierter. Das sozusagen zum scheinbaren Widerspruch.

Okay, jetzt habe ich einige Fragen vorbereitet, aber das passt noch nicht, weil den Stoff habe ich noch nicht erklärt. Also machen wir eine Pause und dann machen wir das ein bisschen später. Das passt jetzt ganz gut. Fangen wir so um 10 nach wieder an, kurz 10 nach 12 nach.