Guten Morgen, so wie Sie sehen, stehe ich Ihnen wieder zur Verfügung.

Letzte Woche hat mich Herr Wagher vertreten, ich hoffe, das ist einigermaßen über die Bühne gegangen. Ich habe mir die Aufzeichen nicht eingeguckt, das mache ich prinzipiell nicht. Es ist immer peinlich, wenn man sich selber sieht. Gut, aber ich kriege ja von Ihnen wahrscheinlich hoffentlich ohnehin auch Kritik und Verbesserungsvorschläge.

Ich glaube, irgendwann müsste jetzt auch demnächst diese Online-Evaluation anstehen, da dürfen Sie sich dann austoben. Okay, also wir stehen mitten im Kapitel Bewegung von Teilchen. Und ich glaube, Herr Wagher hat das falsch tituliert, das war Teil 3c, B, nicht 3c.

Denn ich habe ein bisschen umgestellt den Stoff, er hatte da ein Manuskript, das war noch nicht angepasst. Und in diesem Teil ging es um das freie Teilchen.

Und in diesem Zusammenhang hat er einige wichtige Dinge eingeführt, die ich ganz kurz noch mal anschreiben will.

Zustände ausgedrückt, die Komponenten eines Zustandsvektors Psi in der Ortseigenbasis X sind eine Funktion der Eigenwerte X, die hier drin stehen. Und diese Funktion von X heißt Wellenfunktion. Das ist im Moment das Objekt der Begierde, diese Wellenfunktion auszurechnen, insbesondere ihre Zeitentwicklung zu bestimmen.

Und diese Zustände X, die hier stehen, sind Eigenzustände von einem Operator X, dem sogenannten Ortsoperator.

Und das bedeutet, da X hermitisch ist, wenn Sie ihn auf einen beliebigen Zustand anwenden und dann angucken, was ist von diesem neuen Zustand die Wellenfunktion, dann ist die einfach X mal die alte Wellenfunktion.

Denn Sie können das nach links anwenden, kriegen X, das ist alles hermit, X Kreuz ist X, kommt auch ein X raus und übrig bleibt wieder die Wellenfunktion. Mit anderen Worten, der Ortsoperator bildet ab die Wellenfunktion auf eine neue Wellenfunktion, Psi.

Ja, wie sie noch mal nennen, Psi, Psi Schlange haben wir auch noch, Psi alt auf Psi neu und Psi neu ist X mal Psi alt. Das soll alles kleine X hier sein.

Das ist also die Wirkung des Ortsoperators und die Zustände sollen, wie alle diese kontinuierlich normierten Zustände, die Eigenschaft haben, dass sie delta-normiert sind und vollständig.

Das sind die beiden Relationen, die Sie immer wieder brauchen. Das stand im Grunde aber auch schon vorletzte Woche da.

Der neue Aspekt war die zusätzliche Einführung des Impulsoperators. Mal gucken, ein Operator P und der war H quer durch I mal einem D-Operator. D ist der Operator, der die Wellenfunktion differenziert.

Also im Sinne von der rechten Seite hier, D bildet ab Psi alt von X auf eine neue Wellenfunktion, die einfach die Ableitung der Alten ist, mal H quer durch I.

Das ist die Wirkung des P-Operators. Oder in anderen Worten, wenn wir das hier umdrehen, heißt das, dass wenn wir das

P hier reinschreiben, ist das dasselbe wie H quer durch I, D nach Dx von Psi. Das heißt, genauso wie Sie hier ein X rausziehen können nach links und die Zahl davor schreiben, können Sie hier ein P nach links rausziehen und schreiben einen Ableitungsoperator dahin.

Das sind die Spielregeln, mit denen Sie dann rechnen. Dann ist es nützlich, die Eigenzustände von P zu wissen. Wir haben also auch uneigentliche, also nicht wirklich im Hilbertraum

befindliche, aber im Grenzwert von Wellenpaketen zu konstruierende P-Eigenzustände. Also X und P sind reelle Zahlen. Und dann gilt, wenn Sie, wir interessieren uns für den Überlab, also die Skalarprodukt zwischen

einem X und einem P-Eigenzustand, dann gibt es folgende kleine Rechnung, die das liefert. Ich kann das ein P davor schreiben, das ist aber dasselbe wie ein P hier reinzuschreiben.

Da habe ich nur diese gleichen da drüber ausgenutzt. Jetzt wende ich das P aber nicht nach rechts, sondern nach links an, und da weiß ich ja, was das ist. Das haben wir hier. Wir müssen nur diese Gleichung adjungieren. Und das ist ein, habe ich gerade geguckt, falsch herum, XP, P, X. Moment.

Darüber haben wir es. Nee, nee, müssen wir gar nicht adjungieren. Entschuldigung, hier steht es ja schon. Also diese Gleichung nehmen nur für PSI gleich P. Dann steht da H quer durch I, D nach DX, XP.

Und schon haben wir eine Differenzialgleichung für diese Funktion XP. Das ist ja eine Funktion, die können wir PSI P von X nennen.

Und diese Gleichung sagt, dass wenn Sie diese Funktion von X differenzieren, kommt im Wesentlichen das P runter. Und die Lösung davon ist die E-Funktion. Also die Lösung davon ist XP ist gleich 1 durch Wurzel 2. Hier ist eine Normierung, die ist so eingeführt, dass die Zustände P und X Delta normiert sind.

Das ist der Überlapp. Und genauso wie wir das hier hatten, die P-Zustände haben die Eigenschaft PP Strich ist Delta.

Und Integral dP P ket P bra ist 1. Aber diese 1, ja okay, ist eine 1. Gut, und das bedeutet, dass wir auch die Wellenfunktion nicht nur im Ortsraum darstellen können.

Also die Komponente des Zustandes im X-Raum, in der X Eigenbasis. Sondern Sie können genauso gut auch in der P Eigenbasis darstellen. Wir haben ja gelernt, wie man Basistransformationen macht.

Vollständiges Einschwiegen einer vollständigen Zerlegung der 1. Und dann können Sie von jeder Basis in jeder andere überwechseln. Und das kann ich auch hier machen, indem ich von der X-Basis zur P-Basis gehe. Und dem den gebe ich einen Namen, das nenne ich mal Psi Schlange. Das ist jetzt eine Funktion von P. Und wenn ich hier eine X einfüge, also die Gleiche da oben einsetze, dann steht hier P X X Psi.

Und jetzt kann ich das ausdrücken durch das, meine X-Basis Wellenfunktion. Und das hier kenne ich, das ist das Komplexkonjugierte, von dem man da steht. Das setze ich also einfach ein, dann steht da D X.

1 durch Wurzel, 2 Pi, H quer. E hoch minus I durch H quer, Komplexkonjugation, P X, mal Psi von X. Und Sie sehen, der Name Psi Schlange ist in gewisser Weise gerechtfertigt. Denn bis auf die Faktoren hier mit dem H quer ist das gerade die Fourier-Transformation.

Also die Fourier-Transformation bringt sich vom X-Raum in den P-Raum und dann natürlich auch wieder zurück. Und eine neue Bemerkung, die glaube ich noch nicht da stand, ist, diese Operatoren X und P, die haben eine interessante Eigenschaft, dass wenn man sie hintereinander anwendet und in verschiedene Reihen folgen, dass es nicht das Gleiche liefert. Die vertauschen nicht miteinander.

Wie kann man das sehen? Nun, wenn Sie das Anwenden auf eine Wellenfunktion, ich schreibe das mal so. Also hier ist gemeint, erst P anwenden auf Psi, dann X und dann das Auswerten im Ortsraum. Und dann umgekehrt, wir wissen ja schon, was das ist.

Also wenn Sie erst P anwenden, dann heißt das ja H quer durch I, mal D nach D X, also Psi von X. Und das Resultat mit X multiplizieren. Erst P anwenden, dann X. In umgekehrter Reihenfolge, Wenden multiplizieren Sie erst mit X und wenden dann den Ableitungsoperator an.

D X, ich schreibe es mal so. X Ableitung. Wenn Sie das hier mit der Produktregel auswerten, ist der zweite Term, wo die Ableitung auf das Psi kommt, genau dasselbe wie der erste Term und hebt sich mit dem ersten Term weg.

Aber es bleibt ein Teil übrig, wenn Sie das X hier differenzieren, gibt das ein 1. Es bleibt also übrig, wenn ich das Minuszeichen dazu benutze, um das H quer nach oben zu bringen, bleibt das über. Und diese Gleichung sagt Ihnen abstrakt als Operatorgleichung, da das ja für jede Wellenfunktion Psi gelten muss,

dass Xp als Kommutator proportional zur Identität sein muss. Das ist eine berühmte Vertauschungsrelation zwischen Ort und Impuls. Die Sie aus dieser Darstellung unschwer zurückgewinnen.

Ja, aber das ist die P1. Sie können das natürlich umdefinieren. Also wir hatten P gleich H quer K und dann gilt natürlich auch dK KK ist 1.

Wie verträgt sich das? Na ja, das verträgt sich dadurch, dass der P ist gleich 1 durch Wurzel H quer mal K und dP ist gleich H quer mal dK.

Dann heben sich die H quer Faktoren halt in dieser Relation wieder raus. Wir müssen es richtig normieren, dann passt das schon. Ja, weil grundsätzlich hatten wir ja gesagt, dass P gleich das da ist. Ja, ist ja auch. Und das hat dies zur Folge.

Das sehen Sie zum Beispiel auch in dieser Relation hier. Wenn Sie das so normieren, wenn Sie den mit 1 normieren, also einmal delta und K genauso mit einmal delta K minus K Strich, dann dürfen Sie nicht vergessen, dass delta von P minus P Strich gleich 1 durch H quer mal delta K minus K Strich ist. Wenn Sie substituieren, dies Jahr einsetzen in die Delta-Funktion, kommt ein 1 durch raus.

Substitutionsregel beim Delta. Und deshalb müssen die Zustände entsprechend mit 1 durch Wurzel H quer. Weil dann kriegen Sie hier ein 1 durch Wurzel H quer, hier ein 1 durch Wurzel H quer, macht zusammen ein 1 durch H quer. Die gleichen Stimmen.

Also so viel dazu. Und dann gab es die Anwendung auf die Zeitentwicklung von Materiewellen.

Jetzt werden die Zustände alle zeitabhängig. Wir betrachten eine, wie wir das auch schon behandelt haben, bei dem Kaon-System, sehen Sie an sich. Das ist also die Wellenfunktion für zeitabhängige Zustände, Psi von T.

Und der Trick hier ist der, dass wir beim freien Teilchen die Energie in eine sehr einfache Formen Funktion des Impulses ist. Nennt sich 1 durch P Quadrat durch 2m. Das ist die klassische Relation.

Und wir wissen auch, dass die Zeitentwicklung diesen Faktor immer beinhaltet. Für Materiewellen eine festen Frequenz omega. Und nach der de Broglie-Relation ist omega gleich E durch H quer.

Also ist das die phase, die zeitliche Abhängigkeit der Phase eines Zustandes, feste Frequenz bzw. feste Energie. Eine Materiewelle, die jetzt keine Superposition verschiedener Energieanteile hat, sondern eine feste Energie, pflanzt sich in der Zeit mit diesem Faktor fort. Nun ist das E eine Funktion von P. Also ich kann es mal hinschreiben. P Quadrat durch 2m.

Das ist also der Phasenfaktor, der mit einem Zustand geht, der einen festen Impuls P hat. So ein Zustand, Psi von T, ist aber eine Überlagung in der Regel. Hier sind wir im Ortsraum.

Um also dessen Zeitentwicklung zu finden, ist es am sinnvollsten, den auszudrücken im Impulsraum. Weil da wissen wir, jeder Anteil im Impulsraum, wie der sich genau in der Zeit entwickelt. Also was machen Sie? Sie schieben eine vollständige Basis im P-Raum ein. Das wurde sicherlich gemacht.

Und jetzt das hier kennen Sie. Also das erste hier ist einfach 1 durch Wurzel 2 Pi h quer, i hoch i Px, i durch h quer Px.

Das ist das. Und das hier ist einfach dieser Faktor mal die Wellenfunktion bei Psi von 0.

Das hier hängt mit dem zusammen genau bei diesem Faktor. Jetzt habe ich das eingesetzt, die beiden Dinge eingesetzt. Und jetzt sehen Sie, wie Sie aus der Wellenfunktion im Impulsraum zum Zeitpunkt

T gleich 0 die Wellenfunktion im Ortsraum zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt bekommen. Das hier ist die Schlange von 0, wenn Sie so wollen. Das heißt, wenn Sie eine Ortsverteilung haben, was machen Sie? Sie haben eine Verteilung im Ortsraum. Sie sagen, das Wellenpaket sieht zum Zeitpunkt T so und so aus, T gleich 0.

Sie müssen das Fourier transformieren in den Impulsraum und hier einsetzen. Und dann das P-Integral ausführen. Sie müssen zweimal ein P-Integral durchführen. Einmal für die Fourier-Transformation. Ne, Sie müssen erst eine Fourier-Transformation führen vom Ortsraum vom x nach p und dann zurück transformieren.

Also einmal hin, einmal zurück. Und zwischendurch machen Sie die Zeitentwicklung. Einsetzen dieses Faktors. Das ist die entsprechende Formel. Ich kann es nochmal zusammenfassen.

Also dP, Wurzel aus 2pH quer, E hoch. Dann kann ich die beiden Terme zusammenfassen. Dann steht da px minus p² durch 2mT mal Z-Schlange von p0.

Also ich sollte hier nicht 0 schreiben, sondern p und 0. Das hängt dann noch von p ab. Und dann gab es eine Differentialgleichung.

Diese Relation liefert eine Differentialgleichung für die Wellenfunktion. Jetzt können wir es erst auf den Zuständen machen. Dann übersetzen wir ihn im Ortsraum. Minus h quer Quadrat durch 2m, w nach dx Quadrat, c.

Oder gleichbedeutend im Abstrakt. E h quer dT Zustand ist gleich h mal c von T. Und h ist der Operator p Quadrat durch 2m.

Das ist der Energieoperator, der auf den Zustand, auf p Eigenzuständen, den Eigenwert p Quadrat durch 2m, also die Energie, liefert. Und das im Ortsraum sieht dann so aus. Denn p Quadrat, p ist im Wesentlichen d nach h quer durch i, d nach dx.

Und wenn Sie es zweimal anwenden, kriegen Sie die zweite Ableitung. Das i macht Minuszeichen. Dann steht da die zeitabhängige Schrödingergleichung. Ich habe ihn im Beispiel eingeführt, dass er da den Impuls herauszieht mit dieser Form.

Ist das immer? Ja, ich habe ihn in der Allgemein eingeführt, so wie da oben steht. Als den Operator, der die Ortswellenfunktion differenziert. Das können Sie immer machen. Dass der auf einer Ebenenwelle genau so funktioniert, war jetzt nur eine Anwendung.

Ich halte jetzt diese Anwendung, dass ich bei p aufnehme, dass ich auf p mal p Quadrat. Ach so, das ist so definiert. Das ist die Definition der Eigenzustände. Also das war ja unsere Nomenklatur. P ist ein hermitischer Operator.

Das können Sie testen. Der ist also, wenn Sie komplex konjugieren, durch das einmal partiell integrieren, wenn Sie im Ortsraum darstellen mit der Ableitung, einmal partiell integrieren, gibt Minuszeichen, aber h quer durch i, komplex konjugieren, wieder Minuszeichen, der ist also hermitisch, wenn Sie es nach rechts und nach links anwenden. Das heißt, der hat reelle Eigenwerte, in Anführungszeichen. Der kann ja wirklich einen Eigenwert im mathematischen Sinne, aber wir tun so.

Und die nennen wir einfach p, und die Eigenzustände nennen wir ketp. Das ist die Definition. Und ich habe ja nur ausgerechnet, dann in der Zeile drunter habe ich ihn bewiesen, dass mit dieser Definition diese Zustände, diese Komponenten im Ortsraum haben, nämlich eor i p i durch h quer p x.

Da ist also nichts angenommen. Das ist einfach eine Kette von Definitionen und Schlussfolgerungen. Entschuldigung. So, dann hat Ihnen Herr Bargier unschärfe Relationen abgeleitet.

Das war der letzte Teil, der vorletzte Teil seiner Vorlesung. Wenn wir zwei Operatoren haben, a und b, dann gibt es Unschärfen, Delta a und Delta b, die man ausrechnen kann.

Die hängen vom Zustand ab. Also sie sind nicht abstrakt, sondern in einem gegebenen Zustand. Das ist ja definiert als, das war zum Beispiel a minus Erwartungswert von a.

Das ist eine Zahl. Zahl können Sie multipliziert mit 1, wenn Sie wollen, abziehen. Und dann nochmal das quadrieren und zwischen den Zustand sie nehmen. Das ist sozusagen die Definition für Delta a und entsprechend für b. Die Varianz der Verteilung der Messwerte dieses Operators a.

Und dann hat er Ihnen gezeigt, da gibt es eine Relation, eine Ungleichung. Die kann man relativ gut ableiten. Die sagt, dass das, dass diese Produkt dieser Unschärfen nicht kleiner werden kann als diese Größe.

Diese Größe ist der Erwartungswert des Kommutators. Das ist wie ein Operator in dem gegebenen Zustand c. Ich könnte hier eigentlich noch einen kleinen c dran hängen. Das hängt immer von dem Zustand ab. Und das zeigt sich hier auch an dieser Schranke.

Die Schranke hängt auch von dem Zustand c ab. Diese Zahl ist eine komplexe Zahl, deren Absolutquadrat multipliziert mit 1,5. Das ist die Schranke, untere Schranke für diese Unschärfe. Man kann das tatsächlich noch verbessern. Diese Unschärferelation kommt von Robertson 1929.

Ich kann vielleicht etwas zuschrauben. Und Schrödinger hat die ein Jahr später verbessert. Also nur für die Leute, die es genau wissen wollen.

Man kann diese Schranke noch ein bisschen verschärfen.

Schrödinger hat 1930, ein Jahr später, diese Ungleichung, die ich Ihnen aber hier nicht beweisen werde, abgeleitet. Hier steht der Antikommutator. Der Antikommutator ist ab plus ba. Statt ab minus ba.

Also diese Gleichung gilt auch. Und wenn Sie Beispiele benutzen, können Sie feststellen, dass dies hier noch ein bisschen schärfer ist als das. Aber die werde ich hier nicht benutzen. Sie haben als Beispiel gesehen a gleich x und b gleich p.

Und der Antikommutator zwischen x und p ist einfach i hq mal 1. Das ist besonders einfach auszurechnen. Dann gilt dann delta x mal delta p größer gleich ein halb mal. Naja, hier steht, der Antikommutator ist hq mal i mal 1, die Einheitsmatrix hier eingesetzt.

Dann hängt das Ergebnis nicht mehr vom Zustand ab. Weil hier einfach nur dann die Normierung des Zustandes bleibt. In diesen Formeln haben wir immer vorausgesetzt, wenn ich nichts anderes sage, sind die Zustände immer auf 1 normiert.

Sonst müssen Sie die Formel immer korrigieren. Sie müssen immer durch die Norm teilen. Das spare ich mir. Ich nehme immer an, die sind auf 1 normiert. Es kann ja nicht sein, dass diese Schranke von der Norm abhängt. Sonst könnten Sie die Zustände mit 5 multiplizieren, dann würde hier 25 rauskommen. Das kann es nicht sein. Wenn Sie die Zustände umnormieren als Test, muss das rausfallen.

Wenn Sie allgemeine Formel haben, müssen Sie durch eine entsprechende Potenz von Psi zu einem Psi-Norm teilen. Dann ist das natürlich so einfach. Dann steht hier einfach nur hq mal i. Das müssen Sie quadrieren. Das gibt hq mal ein Minuszeichen. Aber es ist ja absolut quadrat.

Dann bleibt da einfach ein halb. Moment, was habe ich jetzt? Wo haben wir das Quadrat gelassen? Gute Frage. In irgendeiner Stelle.

Ach so, hier ist kein Quadrat. Ja, ich sehe gerade, ich habe den Fehler gemacht. Hier ist kein Quadrat. Hier sind Quadrat, da sind hier aber auch keine Quadrate. Ach so, okay, Entschuldigung. So ist die Formel richtig. Entschuldigung, also hier ist kein Quadrat.

Die Formel wurde ursprünglich für die Quadrate abgeleitet. Dann haben wir die Wurzel gezogen, so war das. Wenn Sie Wurzeln nicht ziehen, hier können Sie auch die Wurzeln ziehen. Dann bekommen Sie Wurzeln aus der Summe der beiden Terme. So ist es auch konsistent. Wenn der Term weg ist, dann geht das in das wieder über. Das heißt, absolut Quadrat geht das i weg und es bleibt einfach nur hq über.

Also hq halber. Das ist die berühmte Unschärfe-Relation. So, und jetzt kann man sich fragen, gibt es Zustände Psi? Ja, das ist ja die Unschärfe. Die Unschärfe, also die Schranke hängt hier nicht vom Zustand Psi ab. Aber das gemessene Delta x und Delta p hängt natürlich sehr wohl vom Zustand ab, wenn Sie das ausrechnen.

Und Sie können Delta x und Delta Psi haben, deren Produkt viel größer ist als hq halber. Die Frage war, gibt es Zustände, die so sind, dass Sie die Schranke saturieren, dass Sie an die Schranke rankommen? Ja, minimale Unschärfe-Zustände. Und da hat Ihnen Herr Bagui eine Differential-Gleichung verabgeleitet, die man lösen kann in diesem einfachen Fall.

Und die Lösungen waren diese gaussischen Wellenpakete. Also minimale Unschärfe-Zustände. Also Delta x mal Delta p gleich hq halber.

Und diese Zustände waren gaussische Wellenpakete. Und die sehen so aus.

Ja, 1 Normierung. Nicht wichtig, schreib sie trotzdem an. 2 pi Delta x². Vierte Wurzel im Nenner. Und dann e hoch i durch hq.

P0 x. Und Sie können noch Folgendes machen. Wenn Sie wollen, können Sie hier x minus x0 schreiben. Denn das wird nur eine Phase. Wenn Sie den Termin i P0 x0 mal hq, das ist eine konstante Phase. Im Zustand ist e immer nur bis auf eine Phase bestimmt.

Sie können immer dazu multiplizieren an die Normierung. Also das x0 schreibe ich hier mal dazu, spielt keine Rolle. Es sieht vielleicht ein bisschen schöner aus, weil dann alles nur von x minus x0 abhängt.

Ah, Entschuldigung, hier steht kein Fehler gemacht. Das i durch hq, hier steht die Klammer davor. Also es gibt eine Phase hier. Die Standardphase mit einem Impuls P0. Und es gibt hier ein gaussisches Abfallverhalten im Ortsraum.

Also e hoch minus x², sag ich mal. Also ein quadratisches Glockenkurvenverhalten im Ortsraum. Also man kann das irgendwie so. Sie haben eine Frage? Wie ist es, dass diese minimale Rundschraube angenommen wird,

um zu vereinbaren mit der Schrödinger Ungleichung? Weil da steht ja ein bisschen mehr, wo es größer sein muss. Hier meinen Sie, mit dieser Schrödinger Ungleichung. Der Term wird dann verschwinden in diesem Fall. Ja, Sie müssen gucken.

Ja, das ist ein gutes, also probieren Sie es mal aus, ja. Ja, das Schöne ist, Sie haben das gesehen, auch diese Weltenpakete haben die gleiche Eigenschaft, wenn Sie x drauf anwenden, wenn Sie p drauf anwenden. Das ist proportional, das ist gerade diese Gleichung, die das determiniert. Die Gleichung sorgt dafür, dass dieser Term verschwindet.

So, und diese Wellenpakete sind gegeben durch zwei Größen, oder drei Größen durch p0, x0 und delta x. Das sind die drei Größen, die eingehen. p0 und x0 ist so was wie, x0 ist die Position des Wellenpakets,

das heißt irgendwie im Ortsraum zentriert um eine Stelle x0, das hat eine Breite von delta x und es bewegt sich in irgendeiner Form mit einer Geschwindigkeit. Ja, das kommt dann später, wenn Sie die Zeitentwicklung angucken, wird dieses p0 Ihnen sagen, wie schnell das Ding sich bewegt.

Also Impulseigenwert, mittlerer Impuls sag ich mal so. Das war gleich in 330 und die Ortsunschärfe und die Impulsunschärfe hängen unmittelbar zusammen. Gut, das ist klar, delta p ist einfach, wie Sie dann aus der Gleichung da oben ableiten,

delta p ist einfach delta x, h quer halbe, geteilt durch delta x. Nicht unabhängig.

Ja, und die Wahrscheinlichkeitsverteilung, also die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Ortsraum bekommen Sie natürlich, wenn Sie das quadrieren. Das ist ja immer wieder die Amplitude und Wahrscheinlichkeit immer absolut quadratbilden, dann fällt das hier sowieso raus und dann bekommen Sie hier das mit dem Faktor 2, weil Sie es quadrieren, dann bekommen Sie also nur die Glockenkurve.

Ja, und das letzte glaube ich, das hat er glaube ich noch angeschrieben, damit beschäftigen Sie sich mit den Übungen, oder haben Sie, die zeitliche, nein, haben Sie nicht gemacht, machen Sie heute und morgen. Die zeitliche Entwicklung eines solchen minimalen Wellenpakets.

Dieses Wellenpaket nennt man ein minimales gaussisches Wellenpaket. Es gibt auch nicht minimale gaussische Wellenpakete, die werden wir jetzt sehen,

also das war gleich um 3.30, wir können wie bei allen Zuständen,

bei allen Wellenfunktionen im Prinzip ausrechnen, wie die zeitliche Entwicklung geht, mit Hilfe der Formel, die da steht. Das kann man hier auch machen, und da muss man nur gaussische Integrale lösen.

Da Sie das in der Übung machen, fühle ich Ihnen das jetzt nicht vor, ich gebe Ihnen das Resultat an. Also Psi von x und 0 sei das da oben, also sei unser Psi,

wie nennen wir das, nennen wir das mal Psi min. Wir starten hiermit und lösen sozusagen die Schrödinger Gleichung. Oder wir kennen die Lösung, wir gehen durch das Integral da oben, hier.

Hier steht die Lösung, wir müssen nur einsetzen. Natürlich müssen wir die Integrale auswerten, das geht aber in diesem Fall. Gaussische Integrale kann man immer ausführen, da gibt es eine Masterformel, die kann man eigentlich immer anwenden, die führt dann auf einfache Lösungen, in dem Fall wieder auf gaussische Integrale. Und das Resultat sieht so aus, wir haben wieder diese Normierung,

1 durch vierte Wurzel aus zwei Pi. Jetzt steht hier aber, muss man aufpassen, ein Delta x von t zum Quadrat, das ist ein neues Delta x, das ist nicht das alte, ich sage Ihnen gleich, was das Delta x ist. e hoch i durch h quer P0 x minus x0 minus x minus x0 von t.

Ich bin jetzt nicht, na, das x0, lassen wir das hier mal weg. Jetzt bin ich gerade nicht sicher, ob ich hier x minus x0 schreiben darf. Moment, x0 von t, t durch m, vielleicht nicht, also ich lasse das mal weg.

Aber Sie rechnen es ja ohnehin aus, das sieht so aus.

Jetzt müssen wir mal gucken, ich gebe Ihnen die Resultate an. Was sind jetzt hier die neuen Größen? x0 von t ist x0 plus P0 durch m mal t.

Und Delta x von t zum Quadrat ist das alte Delta x Quadrat plus ein Termin h quer Quadrat t Quadrat

durch 4m Quadrat Delta x Quadrat. Das sind die neuen Größen, also Sie sehen bei t gleich 0, aber ich glaube, ich muss hier auch wieder x0 schreiben. Entschuldigung.

Ja, das ist jetzt der Fluch, ich habe mir das da oben eingehandelt. Für t gleich 0 geht das zurück auf das, was da oben steht. Und dann ist der Termin weg und das ist weg, dann haben Sie das alte. Das einzige, was passiert ist, dass unser x0 jetzt quasi sich mit der Zeit ändert

und das Delta x ändert sich auch mit der Zeit. Dieses Wellenpaket ist nicht minimal, denn Sie können jetzt ausrechnen, der Wartungswert von P bleibt tatsächlich P0, da ändert sich nichts.

Aber der Wartungswert von x ist eben x0 plus P0 durch m mal t. Das sagt Ihnen, dass das Wellenpaket den gleichen durchschnittlichen Impuls hat,

mittleren Impuls, aber der mittlere Ort, also das Zentrum des Wellenpakets wandert im Laufe der Zeit, und zwar eigentlich so, wie man es klassisch erwarten würde, mit V mal t. Aber was eben anders ist, ist das Delta, ist Delta x mal Delta P ist eben nicht mehr,

also Delta P ist nach wie vor h quer durch 2 Delta x. Delta P von t ist gleich Delta P von 0, das ändert sich nicht.

Aber Delta x von t ist eben Wurzel aus Delta x² plus etwas Neues, was da drüber steht. Das heißt, das Produkt aus Delta x mal Delta P ist jetzt wirklich größer als h quer halber.

Nur für t gleich 0 ist es h gleich h quer halber, weil das Tier vergrößert sich. Und Sie können das auch grafisch darstellen, wenn ich hier t auftrage

und hier Delta x von t, dann startet diese Funktion mit einem Wert Delta x von 0. Das ist der Input in die Anfangswellenfunktion, damit starten Sie, den geben Sie vor. Und was macht diese Funktion für große Zeiten? Ziehen Sie die Wurzel.

Für große Zeiten wird das hier immer größer. Wenn t sehr groß wird, ist das klein. Und dann geht das linear wie h quer t durch 2m Delta x. Hier hinten geht es linear und dazwischen gibt es einen Übergangsbereich.

Hier ist ein lineares Verhalten und hier geht es wie h quer t durch 2m Delta x. Das heißt, Sie sehen hier einen interessanten Effekt. Je größer die Unschärfe am Anfang ist,

desto langsamer steigt das im Laufe der Zeit. Wenn Sie die Unschärfe klein machen, dann wird das aber zu hinten später schneller ansteigt. Da steht Delta x im Nenner. Das ist auch Ausdruck der Unschärfe, denn das hat was mit der Geschwindigkeit mit dem Delta P zu tun. Das ist wie immer die Fourier-Transformation.

Haben Sie das schon mal gesehen, wenn Sie versuchen, ein Wellenpaket im Ortsraum besonders scharf zu machen, dann ist im Impulsraum das Ding besonders breit. Ein Extrembeispiel ist die Delta-Zacke. Die Fourier-Transformation ist eine Konstante. Und umgekehrt. Das sehen Sie hier auch wieder. Das Ganze ist bekannt unter dem Namen Zerfließen des Wellenpakets.

Denn die Breite wird immer größer. Sie starten also mit einem Ding, das läuft im Laufe der Zeit in irgendeine Richtung und wird immer breiter.

Eine interessante Frage, die Sie stellen können, ist, wie passt das zusammen mit dem Verständnis von freien Teilchen, wie wir es kennen? Wenn Sie also ein Elektron beschreiben wollen, mit dieser Schrödinger-Gleichung,

und Sie stellen sich vor, das Elektron ist im Ortsraum beschrieben durch eine scharf lokalisierte Wellenfunktion, die einen sehr scharfen Peak hat, vielleicht mit der Breite des klassischen Elektronradius oder so etwas, und Sie lassen das Elektron jetzt frei laufen im Universum und gucken irgendwie später noch mal hin,

dann ist das Elektron plötzlich größer geworden. Die Wellenfunktion hat sich verbreitert. Das passt irgendwie nicht zusammen mit unseren experimentellen Fakten, wie sich Elementarteilchen verhalten. Das ist eine interessante Frage. Ich lasse das mal im Raum offen. Kommen wir vielleicht später noch mal darauf zurück.

Der Stichwort zur Lösung dieses Problems besteht in dem kleinen Artikel frei. Wir betrachten hier das freie Teilchen. Und Elementarteilchen sind nie wirklich frei. Na ja, pünktchen, pünktchen, pünktchen. Gut, aber das ist eine Konsequenz der Schrödinger-Gleichung.

Ich betege ihn unendlich, und dann klappt das hier ab, gegen null oder so. Dann verschwindet das Teilchen irgendwie plötzlich. Nicht plötzlich, es verbreitet sich quasi im ganzen Raum aus.

Zu etlichen Zeiten sehen Sie immer noch einen Peak, der ist nur immer breiter. Aber sobald Sie wieder eine Ortsmessung machen, verändert sich der Zustand. Wenn Sie dann eine Ortsmessung an diesem breiten Zustand machen, dann haben Sie das Teilchen ja in dem Moment irgendwo lokalisiert.

Das Betragsquadrat, dieses Psi, gibt Ihnen ja die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden. Wenn Sie es gefunden haben, ist der Zustand nach der Messung wieder scharf. Das heißt, wenn Sie oder irgendjemand anders permanent hinguckt oder immer wieder

in kurzen Abständen hinguckt, dann verhindern Sie im Wesentlichen, dass das passiert. Das ist die Antwort auf meine Frage. Noch mal kurz zusammengefasst, wie berechnen wir die Zeitentwicklung im freien Fall?

Das brauchen Sie auch für die Hausübung. Sie haben es in der Präsenz oder in der letzten Übung gemacht, da gab es das Problem für ein Teilchen, das einen festen Impuls hatte, im Anfangszustand.

In der neuen Hausübung machen Sie es für ein Teilchen, das nicht im Impulsraum lokalisiert ist, sondern im Ortsraum. Das ist also eine Delta-Zacke am Anfang, weil T gleich Null Delta lokalisiert ist. Wie ändert sich das im Laufe der Zeit? Da gibt es drei Verfahren, um das auszurechnen. Zumindest wahrscheinlich noch mehr, aber Variante 1.

Über die Entwicklung nach Impulseigenszuständen. Das ist im Wesentlichen die Formel, die wir dann schon haben. Sie starten mit der Anfangswellenzustandsfunktion im Ortsraum. Dann berechnen Sie durch Fourier-Transformation das Ding im Impulsraum, indem Sie die Fourier-Transformation in die eine Richtung machen.

Eo minus i durch h quer Px Psi von x Null. Und dann müssen Sie es einsetzen und wieder zurück Fourier transformieren.

Eo i Px. Und das Neue beim Zurücktransformieren ist eben diesen Faktor hier oben, den T-Faktor, den die Zeitentwicklung angibt.

Und fertig ist die Laufe. Zwei Integrale, zwei Fourier-Transformationen. Das ist eben nicht das Fourier-Transformierte von x Null, weil hier noch ein zusätzlicher Faktor ist.

Das ist die eine Variante. Variante 2. Über den Propagator in der Ortsdarstellung. Das geht so. Wir haben ja diesen unitären Zeitentwicklungsopparator.

Den hatte ich Ihnen beim Karrensystem zum Beispiel eingeführt. Den gibt es immer. Wir können also Psi von T schreiben als U von T, angewendet auf Psi von Null. Und es ist möglich für den Fall des freien Teilchens, dieses U von T explizit auszurechnen.

Wir können uns den beschaffen. Ein für allemal. Und das geht so. Na ja, man muss hier wieder irgendwas einschieben. Für ein vollständiges System ein, im Ortsraum. X habe ich schon verbraucht, also nehme ich mal Y als Buchstaben.

Und dann lese ich ab, was das ist. Das ist die Abkürzung für dieses Objekt. Das Matrix-Element von diesem Zeitentwicklungsopparator zwischen den Ortseigenzuständen X und Y.

Das ist eine Funktion von X und Y und natürlich von T. Diese Funktion gilt es zu bestimmen. Und wir wissen, was diese Funktion ist. Das ist nämlich, wenn Sie schon Impulseigenzustände benutzen, statt Ortseigenzuständ, also wieder ein P einfügen.

Wenn Sie das hier und hier einfügen, stellt sich aber heraus, dieser Operator ist diagonal im Impulsraum. Das wissen wir schon, weil der Impuls ändert sich ja nicht. Das heißt, wir haben einfach nur für jeden Impulseigenzustand die Zeitentwicklung, die kennen wir schon.

Das ist einfach minus i durch h quer, das steht da an der Tafel noch. Und wieder P, Y. Unser U ist im Wesentlichen Integral dP, ket P, diesen Faktor bra P.

Das steht da im Wesentlichen da drüben schon. Naja, aber was das und das ist, wissen wir ja auch. Das heißt, das ist, ich schreibe mal hier weiter, hier haben wir zwei Pi h quer.

Die Normierung, jetzt haben wir die Zustände zweimal, einmal XP und einmal P, Y. Einmal und einmal komplex konjugiert, das heißt, es kommt mit unterschiedlichen Vorzeichen im Exponenten. Das sind die beiden Skalarprodukte, die da stehen.

Und dann steht natürlich das T mal P² durch 2m. Und dieses Integral ist, oh Wunder, wieder ein Gausschuss. Die Integrationsvariable P ist quadratisch im Exponenten.

Hier habe ich einen P vergessen, Entschuldigung. Ich weiß nicht, ob Sie es lesen können. P mal X minus Y, hier ist die P². Das P kommt von dem hier, dieser Zustand. Dieser Überlapp ist E plus oder minus i durch h quer mal Px eingesetzt. Also linear und quadratisch in P.

Und so ein Integral gibt es eine Masterformel. Einfach Augen zu und durch. Und das Ergebnis ist 2pi h quer t. Natürlich wieder eine gaussische Funktion.

Einfach durch quadratische Ergänzungen im Exponenten. Und das ist, jetzt habe ich gerade, fehlen mir irgendwie zwei Gleichungen, glaube ich.

Mal kurz zurückgehen. 3,31 war das hier. Und 3,32 sollten die Eigenschaften sein unseres Nicht-Klima-Einwellen-Pakets. Dann ist 3,33 die Formel für den Zeitermegungsoperator.

Sie sehen auch hier, diese Breite hier im Exponenten, verändert sich im Laufe der T. Und hier gibt es auch einen T im Nenner. Das sind so die beiden Effekte. Da tritt das T in zwei Stellen auf.

Und es hängt nur von X minus Y ab. Also nur von der Differenz. Das hat was zu tun mit der Translation. Was ist noch dazu zu sagen? Die Formel, die wir brauchen am Ende, ist jetzt natürlich Psi von X und T.

Das ist ja dies hier, ist einfach gegeben durch das Integral über Y. Ich schreibe diese Formel einfach nochmal an, mit dieser Abkürzung. U von X, Y und T, mal Psi von Y und Null.

Das ist also eine Art Integralformel. Das ist ein Integralkern, der in die Zeitentwicklung gibt. Zum Schluss Variante 3.

Variante 3 über den Hamilton-Operator, den wir schon kennen. Wir können es auch nochmal anders machen. Denn der Zeitentwicklungsoperator ist nichts anderes als E hoch minus I durch H quer T,

mal den Hamilton-Operator. Das ist mein U. Das wissen wir ja auch. Und wir wissen, wie der Hamilton-Operator auf die Ortseigenzustände wirkt.

Nämlich, das ist P quadrat und P ist H quer durch I, D nach Dx. Das können Sie nach links anwenden und rausziehen. Jede Funktion, wie es da oben steht, PxPsi ist gleich H quer durch I, D nach Dx. Also, wir können das P nach links rausziehen und ersetzen durch H quer durch I mal eine Ableitung.

Und jede Funktion von P auch. P quadrat, P hoch 5, E hoch P, genauso. Also, bedeutet, wir können das hier schreiben als E hoch, weil H ist gleich P quadrat durch 2m, als E hoch I H quer T durch 2m, D nach Dx quadrat, angewendet auf x Psi von 0.

Der Exponent kommt dadurch zustande, Sie haben einfach I durch H quer, aber Sie haben jedes D nach D, jedes P, liefert Ihnen einen H quer durch I. Also, haben Sie zwei Potenzen von H quer durch I und eine Potenz von I durch H quer.

Übrig bleibt das. Durch 2m steht hier, das T steht hier, von da. Und das P quadrat macht Ihnen zwei Ableitungen. Sie müssen also diesen Differentialoperator exponentieren. Das ist also irgendwie ein ziemlich ungemütliches Biest.

Aber wenn man diese Funktion explizit kennt, kann man ja versuchen, in einer Reihenentwicklung immer weiter zu differenzieren und das irgendwie auszurechnen und diese Reihenentwicklung aufzumieren. Das ist eine Tellerentwicklung. In Ableitungen von Psi.

3,34, 0, weitere Formel. Jetzt haben Sie drei Möglichkeiten. Eine von denen sollte ja nun funktionieren. Kein H quer, habe ich den vergessen? Ah, doch, Entschuldigung, ja, ja, da sollte schon ein H quer sein.

Nein, habe ich vergessen. Danke schön. Gut, 10 Minuten Pause, 20 nach geht es weiter. Hier sind, einige haben es schon abgeholt, zwei neue Hausübungen. Platz 6 und Platz 7, Computerübung, die nächste.

Aber Sie haben zwei beziehungsweise drei Wochen Zeit. Denn, Pfingstwoche. Ich lege die mal hier vorne aus.