Schönen guten Morgen. Ich hole nach, was am Dienstag zeitlich nicht mehr ging, nämlich die Fragen zur Vorlesung.

Die sehen Sie da oben. Die erste liegt jetzt schon ein klein bisschen zurück, aber vielleicht erinnern Sie sich dran. Zur Einstimmung. Wie sieht das aus? Es geht um den Translationsoperator und seine Wirkung, und ich biete Ihnen an, dass der so wirkt,

oder so wirkt, nach links oder nach rechts mit der Verschiebung des X-Eigenkets um plus A. Sie erinnern sich, ich hatte so ein bisschen diskutiert, ob plus A, minus A, nach links, nach rechts. Die Frage ist vertauscht mit dem Impulsoperator.

Hier ist so ein Vorschlag für mögliche Eigenwerte. Diese fünf Eigenwerte kommen dir alle vor, oder vielleicht nicht alle. Und die Behauptung ist, es gibt genau eine A-periodische, oder A ist Alpha.

Entschuldigung, Alpha ist ein bisschen schwierig. Wohl hätte ich machen können. Erst habe ich A genutzt. A oder Alpha ist glaube ich egal. Eine Eigenmutzung, was meinen Sie? Freigeben sollte ich es natürlich auch noch. Sie hätten der Scheiß zu überlegen.

Dann können Sie jetzt abstimmen. Hier hat aber jemand Rabiat.

Haben Sie sich aber nicht vorbereitet auf die Vorlesung?

Ich zähle 30 Personen hier. Dann warte ich mal mindestens bis 20.

Sie sitzen wahrscheinlich ja in Ihrem Hausübungszettel. In dieser Woche, sollte ich vielleicht noch bemerken, ist der Hausübungszettel ein wenig rechenintensiver als sonst. Aber das geht wieder vorbei, denn danach wird wieder weniger.

In der Quantenmechanik muss man schon mehr rechnen. Die interessanten Aufgaben sind schon etwas arbeitsintensiver als in der Mechanik. Das ist leider so. Bitte? Ach so, ja.

Gut, dann schauen wir mal. Aha, B gewinnt über A. Das ist auch richtig, weil ich hatte den...

Moment, das überlege ich gerade. War es richtig? Selber nicht mehr genau. Ich glaube ja. Darum hatte ich es verschoben. Translation. Ja, gucken. Man kann es so und so machen, natürlich, aber ich hatte eine Konvention verwendet.

Ich hatte die Antwort B als... Also ich hatte hier ein Minus in der Definition, vielleicht deren sich noch. Das war da so gemacht, dass die Wellenfunktion, die ja durch Anwenden des Bras x entsteht aus dem Zustand,

dass die nach plus A verschoben wird. Deswegen die zweite Antwort. Ist richtig, die erste nicht. Aber das ist Konvention. Das ist klar, eine Translation um Minus A ist auch eine Translation. Da können Sie es so und so machen. Das ist rechts und links vertauschen. Hier haben Sie kein Vertrauen in die richtige Antwort. Jede Funktion von P vertauscht mit P.

Und wir hatten ja gesehen, dass der Translationsoperator eine Exponentialfunktion in P ist. Also vertauscht sie auch mit P. Okay, keiner wollte das als Antwort, aber weiß es fast richtig. Der einzige Eigenwert, der nicht vorkommt, ist Null.

Die Eigenwerte sind Phasen und 1i, Minus i und Minus 1 sind alles Phasen. Die haben Betrag 1, nur die Null nicht. Also insofern hat sich keiner Irre filmen lassen. Hier auch so ein bisschen unentschieden, scheinbar. Dabei ist die Antwort auch richtig. Die Eigenfunktionen sind quasi periodisch.

Blochwellen, erinnern Sie sich? Produkt von einer Exponentialfunktion Ero Ikx, einer Ebenwelle mit einer richtig periodischen Funktion. Nur wenn die Ebenwelle, die 2 Pi, durch K periodisch und nicht A periodisch ist. Der Vorfaktor Ero Ikx, wenn der konstant ist. Und das ist der Fall bei K gleich Null. K gleich Null, dieser Eigenzustand ist wirklich periodisch.

Genau richtig. Also, 3 richtige Antworten dieses Mal. Vielleicht ungewöhnlich, aber kann das mal passieren. Ich hatte über den harmonischen Oszillator gesprochen.

Und da war dieser Absteigeoperator Klein A aufgetaucht, der eine wichtige Rolle spielt. Und zu dessen Eigenschaften gibt es hier ein paar Fragen oder Vorschläge. Ist der hermitisch? Kommutiert er mit seinem hermitisch konjugierten Operator?

Na ja gut, wenn er hermitisch ist, kommutiert er mit sich selber. Wenn also Antwort A richtig ist, ist Antwort B auch richtig. Der Operator kommutiert ja mit sich selbst. Wenn A nicht richtig ist, ist B unklar. Müssen Sie dann überlegen, kann Ja oder Nein sein.

Vertausch mit dem hermitischen Operator. Überlegen Sie mal, der hermitische Operator, den hatte ich ausgedrückt. Durch diesen Operator N. H quer Omega mal N plus ein halb. Und die Frage ist, ob A mit N vertauscht.

Das hatte ich benutzt, die Vertauschungsrelation. Grundzustand, Ketten Null. Der hatte eine wichtige Eigenschaft bezüglich des Vernichtungsoperators oder Absteigeoperators. Stand gegen N da. Sehen Sie an die Leiter an das Absteigen.

Was passiert da? Was passiert beim Grundzustand? Wenn Sie weiter absteigen. Und ist das Ding eine reelle Linearkombination von X und P? Ohne die Koffizienten. Die Hamilton-operator war so was wie P Quadrat plus X Quadrat. Und wir hatten das geschrieben als A Kreuz mal A.

Dann war das faktorisiert. Die Frage ist, können Sie das durch Linearfaktoren zerlegen. Das X Quadrat plus P Quadrat mit reellen Koffizienten. Oder ist das nicht so? Haben wir gut geredet? Schauen wir mal.

Okay, sehr schön. A und A Kreuz, sonst hätte ich nicht A Kreuz schreiben müssen. Das ist aufgefallen. Kommutiert mit dem Hamilton-operator? Nein. Der Kommutator von A und A Kreuz war 1. Ganz zentraler Kommutator. Vertauscht mit dem Hamilton-operator?

Was glaubt? Kaum jemand. Ist auch falsch. Antwort D ist richtig. Und Antwort E eben nicht. Weil da steht Reell. Und da war ein I dazwischen. Das I ist wichtig, damit das funktioniert. Immerhin, die meisten liegen sehr gut hier. Letzte Frage.

Das war am Schluss. Das Energiespektrum des harmonischen Oszillators hatte die Form H Quer Omega. Aber da ich H Quer nicht schreiben kann mit dem Programm, in der Zeichenvorrat, habe ich H Nü geschrieben.

Das ist aber dasselbe. Mal N plus ein Halb. N ist eine ganze Zahl. Das war ja, weil der Hamilton-operator H Quer Omega mal dem Anzahloperator A Kreuz A war. Die Eigenwerte von N waren ja Kleinen.

Den Beweis hatte ich ihm vorgeführt. Ich habe ihm noch nicht gezeigt, dass der Grundzustand existiert. Aber wenn er existiert, dann sind das die Eigenwerte. Dazu hatte ich verschiedene Dinge benutzen müssen. Was habe ich benutzen müssen? Habe ich die Normierbarkeit benutzt? Habe ich die Unitarität der Zeitentwicklung verwendet?

Habe ich verwendet, dass dieser Anzahloperator hermetisch ist? Habe ich die Vertauschungsrelation von A mit N benutzt? Habe ich behauptet, dass der Grundzustand gleich der Zahl Null ist? Null gleich Null?

Wie so viele Nullen? Was davon habe ich verwendet, um dieses Spektrum abzuleiten? Sie können auch in Ihre Notizen gucken, falls Sie mitgeschrieben haben oder das Skript verwenden von Fokkerroth. Da steht das wahrscheinlich auch noch drin.

Wie sieht es aus? Normierbarkeit der Eigenzustände. Trauen sich nicht viele, habe ich aber verwendet. Das Problem war, wenn Sie weit genug absteigen, wird das Normquadrat der Eigenzustände negativ.

Das war eine Eigenschaft. Ein Grund, warum diese Absteigeleiter abbrechen muss. Wir haben die Normen ausgerechnet. Unitarität der Zeitentwicklung, das war natürlich Blödsinn. Wir haben überhaupt nie von Zeitentwicklung geredet. Wir gucken uns das stationäre Problem an. Zeitentwicklung taucht überhaupt nicht auf, noch nicht.

Endes hermetisch, das habe ich insofern verwendet, dass die Eigenwerte real sind. Das war kein zentraler Punkt. Die Vertauschung von A mit N war zentral. Die letzte Aussage ist natürlich Blödsinn. Die Zahl 0 hat nichts zu tun mit dem Zustand 0. Zustand 0 ist ein ganz normaler, normierbarer Zustand.

Den werden wir gleich genauer sehen. Das ist ein bisschen Verwirrungstaktik. Drei richtige Antworten. Zumindest sind das die drei Antworten mit den meisten Stimmen. Insofern liegen sie nicht schlecht.

Okay, dann erst mal danke für die Beteiligung. Jetzt können Sie wieder in den Tiefschlaf gehen. Ich schalte mal hier die Tafel frei.

Entschuldigung, mir bin nicht so klar, was ist Licht Nummer 1 und was ist Licht Nummer 2. Sie haben ja schon einige Fragen richtig beantwortet,

aber trotzdem noch mal ganz kurz die wesentlichen Formeln. Der harmonische Oszillator hat dieses Potential,

x². Ich hatte es etwas massiert umgeschrieben in dieser Form,

wobei A und A Kreuz, das kann ich mal hinschreiben, A war Wurzel aus M Omega durch 2 h quer x plus i durch Wurzel aus 2m h quer Omega

mal p und A Kreuz entsprechend. Die komplex konjugierte, hermetisch konjugierte Kombination. Und ein,

wo haben wir das, habe ich das hingeschrieben, A Kreuz, naja klar. Wichtige Vertauschungsrelation, A Kreuz ist 1,

oder Identität, n ist da oben definiert, n ist A Kreuz A und entsprechend kann man sofort nachrechnen, dass n mit A minus A ist und n mit A Kreuz gleich plus A Kreuz.

Die letzte Gleichung habe ich Ihnen, glaube ich, nicht abgeleitet, aber ich denke, das können Sie leicht nachvollziehen, genauso wie das nur einfach durchkommutieren, mit n gleich A Kreuz A. Und dann

folgte das A angewandt auf, wir definieren Eigenzustände, n und wir haben gelernt, dass die Eigenwerte n ganze Zahlen sind,

wenn die Zustände normierbar sind, also 0, 1, 2, damit n 1 ist. Oder besser gesagt, das ist ein hermetischer Operator,

sind Eigenzustände, also sind sie auch autokonal. Wir haben ein vollständiges Autokonalsystem, ein autonormalsystem und das wäre nicht möglich, wenn diese Eigenwerte nicht ganz zahlig sind, dann haben wir das Problem mit dem Absteigen. Und die schöne Eigenschaft dieser Auf- und Absteigeroperator,

also Absteiger, Ab- und Aufsteiger, und man nennt die auch Leiteroperatoren aus offensichtlichem Grund.

Das A angewandt auf n proportional zu n-1, also steigt ab im Eigenwert von Groß n und naja, die sind auf 1 normiert, also proportional, wir haben den Proportionalitätsfaktor, die Normierung und das der Eigenschaft, wir hatten a a Kreuz n zwischen die Zustände n n gepackt

und festgestellt, dass da dann der Koffizient n rauskommt, im Vergleich musste das dann der Koffizient sein. Und was ich Ihnen auch noch nicht vorgerechnet habe, ist das entsprechende Eigenschaft für a Kreuz. Aber ich glaube, das mache ich jetzt auch, das ist auch offensichtlich dieselbe Rechnung,

Sie ziehen einfach, wenn Sie das ausrechnen, wenn Sie wenden n drauf an, Groß n, benutzen diese Vertauschungsrelation und zeigen, dass das Ergebnis wieder ein Eigenzustand ist zu Groß n, aber mit Eigenwert Klein n plus 1. Dann können Sie genauso die Norm ausrechnen

und ein klein bisschen anders ist hier n plus 1 als Wurzel n plus 1. Das sind also die wesentlichen Eigenschaften. Und der Grundzustand ist der, der von a vernichtet wird und das bedeutet, Sie können diese Relation verwenden,

Sie können mit 0 starten, hier mit 0, dann kriegen Sie Wurzel aus 1, also 1 mal 1, kriegen Sie den ersten Zustand. Wenn Sie wieder a Kreuz anwenden, kriegen Sie Wurzel 2 mal den Zustand 2 usw. Durch n-faches Anwenden von a Kreuz kriegen Sie Wurzel 1 mal Wurzel 2 mal Wurzel 3 mal Wurzel bis Wurzel n

mal den Zustand n. Wenn Sie dann durch Wurzel n-Fakultät teilen, haben Sie aufgelöst nach dem Zustand ket n. Ket n ist also 1 durch Wurzel n-Fakultät mal a Kreuz n mal angewendet auf den Grundzustand. Das ist das Vakuum

und natürlich auch auf 1 normiert, wie alle diese Zustände.

So, das war glaube ich im Wesentlichen das, was an der Tafel stand und diese gleichen hatte auch eine Nummer, das war glaube ich 527, die letzte, die ich angeschrieben habe. Zusätzlich haben wir natürlich nicht nur das,

sondern wir haben auch die Vollständigkeitsrelation, kann ich vielleicht auch noch anschreiben, das ist die Orthogonalität und genauso haben wir natürlich die Summe n, n, n gleich 0 bis unendlich ist die 1. Orthogonalität und Vollständigkeit.

Wir haben einen hermetischen Operator, das sind alle Eigenzustände oder selbstartige Operatoren ist das der Fall. Der Operator groß n heißt Anzahloperator oder Zahloperator einfach

natürlich weil er einfach als Eigenwerte die ganzen Zahlen hat, und der zählt, wir haben ja quasi jetzt das Spektrum, das ist equidistant und das zählt einfach,

wie viele Energiequanten sie haben in ihrem harmonischen Oszillator. Ein stationärer Zustand ist ein Zustand mit einer festen Anzahl der Energie, das schreibe ich gleich an, mit einem festen Eigenwert von n. Man kann das sozusagen als Quantisierung der möglichen Energiewerte auffassen,

also die Eigenwerte E-Spektrum, der Energiespektrum, wenn ich sage Spektrum, meine ich in der Regel Energiespektrum, ist E gleich h quer Omega mal die Eigenwerte von n, und die Eigenwerte von n ist klein n bis ein halb. Das heißt wir haben, wenn wir das aufmalen,

E gibt es hier die Null, und dann startet das mit ein halb, also wir haben sozusagen h quer Omega, oder wenn ich E normiere durch h quer Omega, das ist mein E null, das sind also die Epsilon-Werte, das war mein dimensionsloser Energieparameter,

dann hat der die Werte ein halb, drei halbe, fünf halbe, sieben halbe und so weiter, das sind also die möglichen Energiewerte, und dann geht es weiter, die erlaubt sind. Muss ich wischen,

gucken wir mal, ich glaube nicht, dass ich bis zur Pause mit zwei oder drei Tafeln rauskomme,

außerdem weiß ich nicht, ob dieser Text hier in einem Video auftauchen sollte, den Sie sich angucken, was haben wir denn hier, wirkt sich hier auch was drunter,

okay, doch, oben,

na schön,

es fehlt noch der Beweis

der Existenz von null, naja, irgendwie muss dieser Zustand existieren, denn sonst gäbe es überhaupt keine normierbaren Eigenzustände, und das widerspricht so der Intuition, dass es im gebundenen Potential

Eigenzustände geben muss, und die können keine Streuzustände sein, also überzeug ich mich davon, dass es den Zustand gibt, die Eigenschaft ist A0 gleich 0, wie schlachte ich diese Eigenschaft aus? Nun, eine Möglichkeit ist,

immer von abstrakten Operatorgleichungen in eine gewisse Basis zu gehen, ich gucke mir diese Gleichung in einer Eigenbasis eines anderen Operators an, typischerweise Ortseigenbasis oder Impulseigenbasis, gucken wir sie im Ortsraum an, auf Ortsraum projizieren heißt immer mit dem Bra x von links ran multiplizieren,

dann kriegen Sie eine Gleichung in Wellenfunktion, also multipliziere ich das ran, dann heißt die Gleichung, so, okay, was habe ich gelernt? Ich mache es nicht mit x, Entschuldigung, ich will da keine dimensionsbehafteten Größe, ich will keine M-Omega-Hquere mit rum schleppen,

ich benutze meine dimensionslosen Ortsparameter Xi, so, und was ist das? Nun, ich erinnere mich vielleicht A, wie war A? A hatte die Form in dimensionslosen Größen, 1 durch Wurzel 2 Xi plus I Pi,

wir können es auch da oben ablesen, da steht das A ja sogar, und die Vorfaktoren mit den Wurzeln, das sind gerade die 1 durch X0 und 1 durch P0, die hatte ich ja durchdividiert,

um diese dimensionslosen Größen zu bekommen. So, und im Ortsraum wissen Sie schon, ich schreibe es mal von der Seite, damit ich hier weiterschreiben kann,

wenn ich das alles rausziehe, und dann muss ich die Mathexilien mit dem Ortsraum angucken, und Xi ist einfach, das war klassisch, jetzt war ich ein bisschen zu voreilig, ich muss die Operatoren schreiben, so ist es richtig, A ist ja ein Operator,

und Großbuchstaben waren die Operatoren. So, wenn ich das jetzt anwende, Sie wissen, das sind die Orts-Eigenzustände,

und Sie wissen auch, was der Operator P macht, P ist kein Eigenzustand, aber P im Ortsraum ist der kanonisch konjugierte Operator, der wird 1 durch I mal D nach D Xi, ich schreibe es mal so, ich könnte auch eine gleiche schreiben,

Angewandt auf den Zustand etc., genauso wie der Ortsoperator normalerweise mit X, und der Pulsoperator mit H quer durch I D nach D X, auf Zuständen im Ortsraum. Das mache ich jetzt hier auch, das heißt, hier kommt 1 durch Wurzel 2,

ich das A rausziehe, Multiplikation mit Xi plus I durch I, Ableitung nach Xi, auf die Grundzustandswellenfunktion ist Null, das ist das A quasi im Ortsraum, das ist eine Linearkombination

von Orts- und Impulsoperator, also Multiplikation und Ableitung, I kürzt sich, also ich habe eine Differentialgleichung, also eine Differentialgleichung für die Grundzustandswellenfunktion,

die nenne ich mal Phi Null, Phi Null ist eine Abkürzung für das, die Differentialgleichung lautet, Wurzel 2 kann ich hochmultiplizieren, das ist unerheblich,

D Xi plus Xi angewandt auf Phi Null, gleich Null. Diese Differentialgleichung ist viel einfacher zu lösen als die Schrödinger Gleichung, wenn man die Schrödinger Gleichung hat, auf irgendeinen Eigenzustand hätte er

minus D Xi Quadrat plus Xi Quadrat angewandt auf Phi, ist gleich E mal Phi. Das ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Und der große Vorteil unseres Verfahrens, unseres algebraischen Verfahrens ist das, ist der, dass wir den Hamilton-Operator, den Differential-Operator zweiter Ordnung,

faktorisiert haben als ein Produkt von Differential-Operatoren erster Ordnung. Das ist ja linear in P, A und A Kreuz ist linear in P. Wenn Sie es im Ortsraum schreiben, ist es jedes Mal ein Differential-Operator. Sie können D nach der X Quadrat plus X Quadrat schreiben als X plus I nach D nach der X mal X minus I

D nach der X und dann symmetrisieren. Also wir haben sozusagen mit A und A Kreuz Differential-Operatoren, die erster Ordnung sind in der Ableitung. Und der Grundzustand erfüllt eben eine einfache Gleichung, die nur von dieser ersten Ordnung ist. Und das ist viel einfacher zu lösen natürlich.

Also diese Gleichung können Sie alle lösen. Ich schreibe die Lösung an. Die Lösung lautet Phi Null von Xi. Erst müssen wir noch normieren. Eins durch vierte Wurzel von Pi ist die Normierung Eho minus ein halb Xi Quadrat.

Wenn Sie es differenzieren, kommt Minus Xi runter und hebt sich dann weg mit Xi mal Phi Null. Und das ist nichts anderes als wieder eine Gaussche Funktion. Also der Grundzustand ist eine Gaussche Funktion.

Das ist die nächste Gleichung, 28 und ist auf eins normiert. Wir haben also die Integral d Xi Phi Null von Xi Quadrat

seriell ist eins. Also Grundzustand. Das heißt das Bild, was wir haben, sieht irgendwie so aus.

Ich mache nochmal so eine Leiter N Null, eins, zwei, drei. Ich zeichne auch mal die Negativen auf. Das sind die möglichen Eigenwerte von Groß N.

Und der Operator A Kreuz bildet nach rechts ab und der Operator A nach links. In dieser Leiter. Und das heißt sie können quasi hier runterlaufen. Aber von hier nach hier kommen sie nicht mehr. Weil dieser Zustand wird auf Null abgebildet.

Die Zahl Null. Und das liegt daran. Das können Sie auch direkt prüfen. Wir rechnen mal die Ortswellenfunktion für den Operator aus. Ne, wir versuchen,

das habe ich ja gesehen. Das ist proportional zu d Xi plus Xi angewandt auf e hoch minus ein halb Xi Quadrat.

Und das ist Null. Das ist sozusagen der Grund für diese Eigenschaft. Jetzt könnten Sie spitzfindig sein und sagen, ja gut, diese Zustände sind anonymierbar.

Jetzt könnten Sie spitzfindig sein und sagen, na ja, ich könnte ja auch hier unten starten mit einem Zustand mit Eigenwert minus drei und nach oben laufen. Vielleicht komme ich ja dann irgendwann hier rein. Wäre ja auch interessant. Diese Zustände sind nicht normierbar, das hatten wir gesehen.

Negative Längquadrate darf man nicht haben. In einem definierten, im Höhepunkt, in einem positiv definierten Skalarprodukt. Aber was passiert, wenn ich mit a jetzt hier nach rechts gehe, mit a Kreuz, also das mit a und hier mit a Kreuz, dann komme ich irgendwann zum Zustand

minus eins. Kann ich mal ausrechnen. Wie sieht der Zustand aus? Na ja, das kann man sich überlegen. Der Zustand minus eins, ich sage Ihnen mal, wie der aussieht.

Also, wie gesagt, wir hatten den Zustand Xi Null, ist von der Form E auch minus ein halb Xi Quadrat. Und der Zustand Xi minus eins ist plus ein halb Xi Xi Quadrat. Habe ich jetzt nicht vorgerechnet,

kann man im Prinzip natürlich machen. Sie müssen einfach die Differentialgleichung lösen. Das a drauf, das n drauf angewendet, wir müssen die Differentialgleichung in 2. Ordnung testen, weil jetzt n drauf angewendet gibt den Eigenwert. Ich behaupte, das kommt raus. Und wenn Sie dann jetzt hier das mal nachrechnen,

dann ist das hier proportional zu dem Differentialoperator d Xi minus Xi. Oder Xi minus, also eigentlich der andere Vorzeichen, weil a und a Kreuz unterscheiden sich ja genau hier um das Vorzeichen.

Und eins durch i steht in dem Fall dabei. Das heißt, das eine wird plus eins, das andere wird minus eins. Ich habe jetzt das Minuszeichen, aber es ist ja overall Minuszeichen egal. Hier steht ein Minuszeichen, da steht ein Plus. Man könnte es auch so machen. Das wäre a Kreuz. Und a Kreuz, wenn Sie es als Anwendung auf diese Wellenfunktion

eher plus ein halb Xi Quadrat, dann sehen Sie eigentlich schnell, dass es auch wieder Null ist. Das heißt, auch wenn ich von hier aufsteigen will, komme ich hier auch nicht weiter. Ich komme hier nicht durch. Hier ist so eine Art Barriere. Also von links komme ich auch nie zu den positiven Zuständen.

Das war die einzige Differentialgline, die ich lösen musste. Und da ich ja diese Aufsteigoperatoren habe, kann ich mir jetzt sehr leicht die Wellenfunktion auch von den angeregten Zuständen beschaffen. Für eins, zwei, drei und so weiter.

Indem ich einfach a Kreuz loslasse. Die angeregten Zustandswellenfunktionen, die bekomme ich folgendermaßen.

Ich streife die mal Phi n von Xi. Das ist per Definition einfach das. Und nun weiß ich ja schon, wie ich diesen Zustand aus dem Grundzustand bekomme, indem ich einfach diese Normierung a Kreuz n mal anwende.

Und a Kreuz kann ich ja rausziehen. Das weiß ich schon. Das gibt diesen Differentialoperator. Da habe ich einmal nur Wurzel 2. Die bekomme ich n mal. Also 2 hoch n. N Fakultät. Und dann bekomme ich diesen Differentialoperator.

Xi minus d nach d Xi. Das ist a Kreuz. Xi minus d nach d Xi. Das ist nicht plus, sondern minus. A Kreuz ist ja nicht a. Also n mal.

Angewandt auf die Grundzustandswellenfunktion. Dann kriegen Sie den angeregten Zustand. Und was gibt das? Das kann man jetzt leicht ausrechnen. Jedes Mal, wenn Sie differenzieren, bekommen Sie aus einem Exponenten ein Xi runter.

Und wenn Sie multiplizieren, kriegen Sie auch ein Xi. Das heißt, wenn Sie das n mal anwenden, kriegen Sie einen Polynomen enden Grades. Dieser Differentialoperator wirkt ja dann auch auf Faktoren, die bereits runtergezogen sind. Also Sie kriegen Polynome runter.

Und hiermit erniedrigen Sie den Grad um 1. Und hiermit erhöhen Sie den Grad um 1. Also der maximale Grad ist n. Und dann gibt es Terme mit geringerem Grad, die darunter differenzieren entstehen. Also ein Polynomen enden Grades. Dieses Polynom hat einen Namen. Sie können das als Definition auffassen. Hier ist die Normierung noch mal.

Zwei hoch n mal n Fakultät. Dann haben wir hier noch eine Wurzel Pi. Diese Wurzel Pi, das war die vierte Wurzel Pi, die wir in der Normierung von unserer Kunstzustandswellenfunktion haben, die haben wir dann auch noch. Und alles, was übrig bleibt, ist ein Polynom. Dieses Polynom heißt Hn. Und natürlich bleibt die Exponentialfunktion stehen.

Ich sage Ihnen, dass das Hn ist. Hn von Xi ist eben definiert dadurch, dass Sie das anwenden auf diese Exponentialfunktion, diesen Differentialoperator. Und dann wieder am Ende teilen, also multiplizieren mit e hoch plus ein halb Xi Quadrat,

um das wieder wegzubekommen. Sie können das definieren als e hoch ein halb Xi Quadrat Xi minus d nach d Xi n mal e hoch minus ein halb Xi Quadrat. Das ist eine Möglichkeit, wie man das ausrechnet. Das können Sie mit Mathematikern machen,

auf Ihrem favorisierten Programm. Man kann das auch noch umschreiben. Dann können wir überlegen, warum das stimmt. Das ist jetzt eine kleine technische Angelegenheit. Man kann das auch schreiben, indem man hier den Koffizierten ein halb durch eins ersetzt.

Und hier nur die Ableitung schreibt. Das ist behauptlich dasselbe. Das sieht man nicht sofort. Aber Sie sehen es dann, wenn Sie das schreiben als ein Produkt von zweimal diesen Faktor. Also e hoch minus ein halb, e hoch minus ein halb. Und hier auch e hoch plus ein halb, e hoch plus ein halb. Und dann ziehen Sie den Operator durch den ersten Faktor durch,

durch e hoch minus ein halb Xi Quadrat. Der zweite bleibt außen stehen. Wenn Sie das durchziehen durch e hoch minus ein halb Xi Quadrat, dann kommt beim Differenzieren immer, jedes Mal wenn Sie den Differentialoperator durchziehen, dann reproduziert er sich, aber der wird verschoben um ein Xi.

Dann ändert sich dieser Operator in diesen Operator. Man kann das am Beispiel relativ leicht nachvollziehen. Das ist eine einfache Formel, mit der können Sie schnell errechnen. Das ist einfach der Grund, warum die nützlich ist. Das startet, wenn Sie es nachgucken, mit zwei hoch n mal Xi hoch n. Das ist der höchste Term. Plus Terme der Ordnung Xi hoch n minus zwei.

Das ist ein Polynom. Und die heißen Hermite Polynome, nach dem französischen Mathematiker Hermite. Und das Ganze, also beides hier,

sollte eine Gleichnussnummer tragen. Das sind die angeregten Zustände. Ein bisschen noch zu diesen Polynomen. Die sind ganz bemerkenswert.

Die haben interessante Eigenschaften. Ich gebe Ihnen ein paar an. Das sind orthogonal bezüglich eines Integrationsmaßes.

Integrationsmaßes. Dm, ich schreibe das mal so, ist gleich d Xi mal eho minus Xi². Was heißt das?

Das heißt, wenn Sie diese Polynome integrieren, mit diesem Gewichtsfaktor, dann ist das 0, wenn M ungleich N ist.

Aber wenn M gleich N ist, ist es nicht 1. Also nicht orthonormiert, aber orthogonal. Also wenn N und M verschieden sind, ziehen diese Zustände senkrecht aufeinander. Das wissen wir im Grunde schon. Das ist genau die Eigenschaft da oben, die unterstrichen ist M mit N, das Skalarprodukt.

Wenn Sie das Skalarprodukt bilden, müssen Sie die beiden Funktionen miteinander multiplizieren. Wenn Sie die multiplizieren, haben alle diese Wellenfunktionen diesen Faktor. Der drückt dann zweimal auf. Deswegen kommt er mit dem 1 im Exponenten.

Der Rest ist die Polynomie davorstehend. Dann müssen Sie miteinander multiplizieren. M mal phi N integriert muss delta M N sein, proportional delta M N. Das ist der Vorfaktor, also nicht normiert. Es gibt eine erzeugende Funktion.

Ich weiß nicht, ob Ihnen das Konzept der erzeugenden Funktion vertraut ist. Das ist eine sehr nützliche Geschichte in der Mathematik. Wenn Sie eine Kollektion von Größen haben, Sie haben unendlich viele Funktionen. F0, F1, F2, F3. Sie können eine Tabelle schreiben.

Die Tabelle wird dann unendlich lang. Das ist nicht sehr praktisch. Sie können aber auch ein Parameter finden. Das nennen wir in T. Sie können F0 plus T mal F1 plus T² mal F2 plus T auf 3 mal F3

und die Reihe aufsummieren. Das ist ein einfacheres Objekt. Sie können die Reihe aufsummieren und kriegen eine einfache Funktion. Wenn Sie diese Funktion kennen, müssen Sie nur die Funktion nach dieser Hilfsvariabe T entwickeln.

Dann kriegen Sie als Koeffizient Ihre gesuchte N-T-Funktion. Das ist meine erzeugende Funktion. Ich schreibe mir an, was hier aussieht. Die erzeugende Funktion ist E hoch minus T² plus 2T Xi. Einfach quadratisch eine Gaussfunktion

in T und Xi. Wenn ich die Taylor entwickle, dann kriege ich eine Summe. Also die Impotenzen von T. 1 durch N Fakultät mal T hoch N. Der Koeffizient ist einfach mein Hermit-Polinom.

Wenn Sie den 5. Hermit-Polinom wissen wollen, können Sie fünfmal differenzieren. Sie können diese Exponentialfunktion bis zum 5. Kleta entwicklen in D. Wir erfüllen eine einfache Differentialgleichung.

D Xi Quadrat minus 2 Xi D Xi plus 2 N H N gleich 0.

Das ist im Wesentlichen die Schrödinger-Gleichung. Wenn Sie das auf die andere Seite bringen, ist das der Eigenwert. Das ist im Wesentlichen die Schrödinger-Gleichung.

Dann haben wir noch die Symmetrie und Knotenanzahl. Symmetrie H N von minus Xi ist gleich minus 1 hoch N H N von Xi.

Also Parität ist hier gültig. Wir haben ein symmetrisches Potential. Also werden die Funktionen im Kastenbeispiel abwechselnd, symmetrisch und antisymmetrisch sein. Die Grundzustandsfunktion ist offensichtlich symmetrisch.

H N hat genau N Knoten oder Nullstellen. Das ist ein Polinom N Grades. Es könnte weniger haben, aber es sind N Nullstellen. Ich gebe ein paar Beispiele an. H N ist natürlich 1. H 1 ist 2 Xi.

H 2 ist 4 Xi Quadrat minus 2. H 3 ist 8 Xi hoch 3 minus 12 Xi. H 4 ist 16 Xi hoch 4

minus 48 Xi Quadrat plus 12. Und so weiter. So sieht das aus. Damit Sie ein bisschen vertrauter werden mit diesen Objekten. Als nächstes auf meiner Agenda ist

die Operatoren, die wir benutzt haben, A, A Kreuz, N und so weiter, nicht im Ortsraum oder im Impulsraum, sondern in der Energie-Eigenbasis zu schreiben. Die haben ja jetzt eine Basis da oben, die ist vollständig. Und wir können im Prinzip alle diese Operatoren natürlich, die werden dann nicht Differentialoperatoren,

sondern in der Energie-Eigenbasis. Wir können die entwickeln. Alle Zustände entwickeln in diesen Eigenzuständen. Und die Operatoren sind einfach entsprechende Matrizen. Die sind natürlich unendlich groß, weil N bis unendlich läuft. Aber halb unendlich, starten alle bei Null. Sie haben das in der Präsenzübung gesehen am Dienstag und Mittwoch.

Deswegen halte ich mich da ein bisschen kurz.

Was wir ausrechnen wollen, ist zum Beispiel A die Matrizelemente, zum Beispiel vom Absteige-Operator. Das ist per Definition das.

Ein Matrizelement ist einfach, sich packen es zwischen zwei verschiedenen Basiszustände. Die Basis ist sozusagen, wenn Sie so wollen, der Zustand Null ist 1,000,000, der Zustand 1 ist 0, 1, 0 und so weiter.

Sie realisieren in Ihrem Zustandsraum den Enden-Basiszustand durch einen Spaltenvektor, der an der Enden-Stelle eine 1 hat. Und es geht nach unendlich lang weiter. Das können wir ausrechnen. Sie können einfach A anwenden auf M.

Wir wissen ja schon, was das gibt. Das gibt Wurzel M mal M minus 1. Und dies hier ist Delta L M minus 1.

Und wie sieht diese Matrix aus in dieser Basis? Jetzt kann man sich überlegen, wo die Eigenwerte stehen. Die stehen auf der, wenn L und M sich gerade um 1 unterscheiden. Das ist 1 neben der Diagonale. In dem Fall 1 drüber, sieht so aus.

Und A Kreuz entsprechend. Das schreibe ich jetzt nicht an. Das ist natürlich hermitisch konjugiert. Sie können auch A A Kreuz hinschreiben.

A A Kreuz hat in dieser Basis die Form 1, 0. Quatsch. 1, 2, 3 ist eine Diagonalmatrix. Und A Kreuz A ist auch eine Diagonalmatrix, aber startet mit 0. Das ist der Unterschied. Und Sie sehen hier explizit, dass wenn Sie Differenz bilden

zwischen A A Kreuz und A Kreuz A, den Kommutator, dass da genau die Einheitsmatrix überbleibt. Das ist der Anzahloperator. Und Sie können das auch quadrieren. Wenn Sie A Quadrat brauchen, wie sieht A Quadrat aus? Vielleicht schreibe ich noch das Beispiel an.

Wenn Sie so eine Tri-Ex-Matrix mit sich selber multiplizieren, dann bleibt das eine Tri-Ex-Matrix. In der Tat, wenn hier Nullen stehen, wird das Tri-Ex immer kleiner bei jedem Schritt. Nächsten Schritt kommen hier auch Nullen. Hier bleiben die Nullen auf der Diagonal. Hier kommen jetzt auch Nullen.

Und der nächste ist hier Wurzel aus 1 mal 2, Wurzel aus 2 mal 3, Wurzel aus 3 mal 4 etc. So sieht das dann aus. Also es ist relativ einfach mit diesen Dingen zu rechnen, wenn man die einmal explizit sich hinschreibt.

Noch vielleicht interessant, hier sieht man einen Beweis, sehr schnell Beweis, dass der Hilbertraum unendlich dimensional sein muss.

Nehmen wir an, wir wollen A Kreuz A, also wir wollen diese Relation A A Kreuz gleich 1.

Die wollen wir realisieren in einem Zustandsraum. Wir versuchen das mal in einem zweidimensionalen Zustandsraum oder einem fünftimensionalen Zustandsraum und endlich mal dritzen zu machen. Das geht nicht aus folgender einfachen Überlegung.

Wir wissen schon, wenn wir einen Kommutator nehmen und die Spur bilden, Trace, das muss verschwinden, denn unter der Spur können wir zügig vertauschen. Das ist ja Spur von A A Kreuz minus Spur von A Kreuz A und das vertauschen Sie ihm, das ist null offensichtlich.

Unter der Spur können Sie es umdrehen. Auf der anderen Seite ist das die Spur vom Einheitsoperator nach Vertauschungsrelation. Die ist aber nicht null.

Wo ist die Auflösung des Widerspruchs? Eine ungenste Anleitung, was benutzt, was nicht gilt für unseren harmonischen Oszillator, denn da haben wir ja eine Realisierung dieser Algebra. Was ich benutzt habe, ist, dass die Dimension

des Raums endlich ist. Das Vertauschen hier gilt nur, wenn die Dimension endlich ist oder für gewisse Operatoren. Wenn die Dimension unendlich ist,

gibt es Operatoren, wo das falsch ist. Also es gilt, Trace A B ist im Allgemeinen nicht gleich Trace B A. Diese Operatoren, wo das gilt, nennt man Trace Class.

Es gibt viele Operatoren, wo das nicht der Fall ist. Insbesondere unbeschränkte Operatoren können so sein, dass sie nicht so sind. Diese Operatoren, wo wir das vertauschen, heißen normale Operatoren, A und A Kreuz sind aber nicht normal. Bei normalen Operatoren ist es auch so,

dass ein Operator mit seinem hermetisch konjugierten vertauscht. Das können Sie auch beweisen, in einem endlich dimensionalen Hilbertraum vertauscht immer ein Operator mit seinem hermetisch konjugierten. Da kann so etwas gar nicht funktionieren, genau aus dem Grund. Wir brauchen unendlich viele Dimensionen, damit wir aus diesem Dilemma rauskommen, sonst können wir diese Algebra gar nicht realisieren.

Noch ein paar Worte zu dem. Ich mache gleich die Pause. Wie sieht das Ganze in X und P wieder am Ende aus,

in dimensionellen Größen, der Vollständigkeit halber? Wenn Sie X zu X übergehen, statt Xi, dann die Wellenfunktion phi n von X schreiben. Ich mache mal einen Großphi, denn das ist nicht dieselbe Funktion. Sie müssen nicht nur Xi durch X ersetzen,

sondern die Normierung ist auch anders, weil das Integral nicht über dx geht und nicht über dx. X und Xi haben über diesen Faktor zusammen, deswegen ist der Normierungsfaktor ein anderer. Das erinnert sich bei P und K. Wenn Sie eine Skalierung machen, müssen Sie aufpassen auf die Normierung. Deswegen steht M omega durch pi h quer hoch ein Viertel.

Vorher stand da nur pi, jetzt kommt noch M omega h quer dazu. Das ist die geänderte Normierung. Dann haben wir diesen Faktor, den Sie schon mehrfach gesehen haben, 2 hoch n in Fakultät, Wurzel pi. Wurzel pi haben wir schon hier, den brauchen wir nicht. Dann haben wir das Hermit-Polinom ausgewertet, aber an Xi.

Xi ist M omega durch h quer mal X. Dann müssen wir hier oben auch einsetzen, minus M omega x² durch 2 h quer. Das ist sozusagen der n-angeregte Zustand. Das ist einer vollen Schönheit. Die Energieeigenwerte E n sind natürlich h quer omega n plus 1 halb.

Es gibt eine Nullpunktenergie. Das ist das Resultat am Ende. 30. Sie sehen, bei n gleich 0, es gibt eine Nullpunktenergie E0.

Die ist 1 halb h quer omega.

Dann machen wir jetzt eine kurze Pause. Dann erzähle ich Ihnen etwas über Schwankungen, über klassisches Verhalten und über kohärente Zustände.