Wir hatten zuletzt den Spin betrachtet und gesehen, dass man einen neuen Freiheitsgrad einführen muss,

nämlich den Spin, um die Beobachtung zu erklären.

Der Spin ist ein neuer Freiheitsgrad, der Teil der inneren Struktur der Teilchen ist.

Für seine Beschreibung brauchen wir eine weitere Darstellung, ds der Drehgruppe, beschrieben durch die Operatoren s, auf einem weiteren Spinraum rs.

Teilchen können verschiedenen Spinn haben, Elementarteilchen, Fermionen haben wir immer Spin 1,5, also Elementar-Fermionen und Spin 1,5, irgendwo so einen Spin 0, 1 oder 2 haben können.

Der komplette Zustandsraum ist also jetzt der Produktraum,

hs nennen wir ihn, der als einen Faktor hat den bisherigen Hilbertraum,

der z.B. Ortswellenfunktionen, mal einen weiteren Faktor, diesen neuen Spinraum rs. Die Elemente dieses Raumes schreiben wir in dieser Doppel-Cat-Notation,

parametrisiert durch eine Ortswellenfunktion und einen Spin. Die lassen sich dann schreiben als Linearkombination der verschiedenen Gewichte dieses Spins,

also Summe über die Gewichte von minus s bis s, dann die Ortsraumwellenfunktion, eine je möglichen Gewicht, mal diesen uns jetzt bekannten Zustand im Spinraum,

parametrisiert durch den Spin und das Gewicht, das war Gleichung 6,29.

Das heißt also, dass unsere bisherige Beschreibung vor der Einführung des Spins unvollständig ist,

da z.B. Ortsraum-Eigenzustände, z.B. ist jeder Orts-Eigenzustand,

mit anderen Worten Wellenfunktion im Ortsraum, ist jetzt 2s plus 1 fach entartet, weil es 2s plus 1 mögliche Spins gibt für den Zustand.

Das heißt, wir haben den Orts-Eigenzustand R, parametrisiert durch eine Position,

mal diesen Spin-Zustand, wobei ms, wie gewohnt von minus s bis s, läuft.

Diese Erweiterung der Beschreibung erfordert jetzt ein neues Postulat,

was wir zu den bisherigen Postulaten der Quantenmechanik hinzufügen müssen. Dieses neue Postulat hat im Gegensatz zu den anderen keine Korrespondenz im klassischen Fall,

keine klassische Korrespondenz, es ist ein reines Quantenphänomen. Das neue Postulat können wir formulieren als P6, die Orts-Komponente,

Komponenten XI und die Spin-Komponente S3, mit anderen Worten das Gewicht,

ms und eventuell weitere bisher noch nicht enthaltene innere Freiheitsgrade,

von denen wir jetzt erstmal noch nichts wissen, aber es könnte ja sein, dass welche hinzukommen, so wie der Spin jetzt auch hinzukam. Also die Orts-Komponenten und die Spin-Komponente bilden jetzt eine vollständige Menge

Vertauschbarer Observablen eines Teiles.

Der einfachste Fall liegt vor, wenn wir Spin 1 1, also S gleich 1 1. Das ist zum Beispiel der Fall für Elektronen, das Proton, das Neutron und die Neutrinos.

In dem Fall haben wir diesen Gesamtzustand gegeben als einen Zustand C plus,

mal jetzt zum Beispiel im Ortsraum C plus, mal den Spin-Zustand S gleich 1 1 und ms vielleicht plus 1 1, plus eine weitere Komponente C minus, mal dem anderen möglichen Spin-Zustand, nämlich 1 1 minus 1 1.

Das schreiben wir auch kürzer als C plus, mal plus, plus C minus, mal minus.

Oder auch, wenn wir eine Matrix-Darstellung für den Spin-Einhalbraum nehmen, einfach als Vektor, zweikomponentigen Vektor, C plus, C minus.

Also in diesem Fall haben wir gesetzt 1 1, plus 1 1, dargestellt als 1 0. Und 1 1 minus 1 1 dargestellt als 0 1.

Die transformieren jetzt, wie wir es für den Drehimpuls besprochen haben,

in dieser D-Einhalb-Darstellung der Drehgruppe. Solche Objekte, Alpha, Beta aus diesem Spin-Raum für Spin-Einhalb,

heißen Spinoren oder auch Pauli-Spinoren.

Hier sind Alpha und Beta erst mal komplexe Zahlen.

Wir können allerdings ein paar Einschränkungen machen. Also übliche Einschränkungen führen von den vier reellen Freiheitsgraden. Die zwei komplexen Zahlen haben vier reelle Freiheitsgrade,

führen von den vier auf zwei reelle Freiheitsgrade. Und diese Einschränkungen sind erstens, wie immer, die Norm.

Das heißt, wir wollen natürlich unseren Zustand normieren. Das heißt, wir haben 1 ist gleich psi psi, Doppel psi,

ist gleich psi plus, psi plus, mal plus plus, plus, psi minus, psi minus, mal minus minus und dir.

Diese bisherigen Komponenten sind, nehmen wir an, sind normiert. Dann haben wir hier stehen, Alpha Quadrat plus Beta Quadrat.

Das ist eine Einschränkung. Zweitens die Phase. Wenn wir den Zustand mit einer Phase multiplizieren, ändert das nichts, wie üblich.

Das heißt, wir können diese Identifikation machen zwischen allen Zuständen, die über eine Phase verknüpft sind. Das heißt, die gemeinsame Phase von Alpha und Beta ist irrelevant.

Es bleiben also zwei relevante Freiheitsgrade.

Wenn wir so einen Zustand haben, können wir natürlich die Projektionen bilden. Also zum Beispiel können wir auf festgelegte Spin-Komponenten projizieren, plus oder minus, diesen Gesamtzustand.

Dann haben wir natürlich diese entsprechenden Komponenten dort. Also Projektion führt zu psi plus oder minus. Genauso können wir wie bisher zum Beispiel in den Ortsraum gehen.

Dann haben wir, diese Projektion wirkt auf den ersten Faktor. Das heißt, hier haben wir jetzt psi plus von x Ortsraum Wellenfunktion mal Spin-Zustand plus plus psi minus von x mal Spin-Zustand minus.

Wir können das natürlich auch kombinieren. Wir können in den Ortszustand gehen und in dem anderen Faktor auf plus oder minus projizieren.

Dann haben wir entsprechend psi plus oder minus von x und das ist die Spin-Wellenfunktion.

Weiter haben wir wie üblich eine Vollständigkeitsrelation im Spin-Raum.

Das heißt, die Eins in diesem Spin-Raum lässt sich schreiben als Projektor auf plus plus Projektor auf minus.

Und wir haben, wie ich schon gesagt habe, die Drehgruppe, die Raumbildung in der Darstellung der Drehgruppe. Die Drehgruppe operiert auf Spinoren in diesem Spin-Raum via der Darstellung hier jetzt ein halb, Spin ein halb.

Darstellung des Drehgruppenelements S. S i, Komponente S i ist ein halb sigma i, wobei sigma i die Pauli-Matrizen sind.

Das heißt, wenn wir eine endliche Drehung machen, haben wir das Exponential. Theta ist der Drehwinkel, n die Drehachse, dann ist das einfach entsprechend e hoch minus i halbe theta n sigma.

Nachdem wir jetzt diesen zusätzlichen Bestandteil des Zustandsraums haben, haben wir entsprechend auch eine Erweiterung des Hamilton-Operators.

Das führt jetzt zurück auf die Diskussion, die wir direkt vor der Einführung des Spins hatten.

Voller Hamilton-Operator ist also H gleich H0, wie gehabt, plus unser Wechselwirkungsterm, den hatte ich letztes Mal beschrieben, Koppelung an das elektromagnetische Potential plus diesen Extra-Wechselwirkungsterm für den Spin.

Die Wechselwirkungsterme fassen wir zusammen als Hint für Interaction für H0.

H0 ist der alte Operator P quadrat durch 2m plus möglicherweise Potential und der Wechselwirkungsterm ist

minus e Ladung h quer durch 2mc mal Drehimpulsoperator plus dieses gyromagnetische Moment mal Drehoperator im Spinraum mal Magnetfeld.

Das schreiben wir auch als minus magnetisches Moment mal B, wobei das magnetische Moment gleich aus einem Bahn,

einem Teil besteht, der aus dem Bahndrehimpuls kommt, und einem Teil aus dem Spin. Für das Elektron hatten wir ja gesagt, ist dieser gyromagnetische Faktor G ungefähr gleich 2.

Für unsere Belange können wir ihn genau gleich 2 setzen. Dann haben wir das borsche Magneton, eine Konstante, mal Drehimpulsoperator im alten Raumanteil plus Sigma für den Spin.

Also das wirkt auf C plus minus, das wirkt auf plus minus in diesem Produktzustand.

Das ist nicht gleich dem borschen Magneton mal Bahndrehimpuls plus Spin, weil die Kopplung des Spins an den Transmagnetfeld

mit diesem gyromagnetischen Faktor versehen ist, der klassisch für den klassischen Drehimpuls immer gleich 1 wäre, hier aber jetzt ungleich 1 ist.

H0, das ist hier 6,30 und das ist 6,31. Entsprechend des erweiterten Zustandsraums müssen wir natürlich auch die Gleichung erweitern, die die Zustände beschreibt.

Also die Schrödinger Gleichung für Elektronen, geschrieben in Spin-Komponenten,

schreibt sich als ih quer, Zeitableitung auf den Spinor ist gleich wie gehabt p² durch 2m.

Die bisherigen Terme wirken auf beide Komponenten gleich, kommen also im Spinor-Raum mit Einheitsmatrizen.

Und dann haben wir diesen Term, der nicht trivial im Spinor-Raum wirkt, μB, borsches Magneton, H, drehimpuls, der auf die bisherigen Komponenten wirkt, mal Magnetfeld,

der wirkt auch noch trivial im Spin-Raum, also das alles kommt mit der Einheitsmatrix im Spin-Raum, plus jetzt aber der nicht triviale Term im Spin-Raum, borsches Magneton, sigma mal b.

Sigma sind die Pauli-Matrizen und hier steht der Spino.

Als wir letztes Mal diesen Term hingeschrieben haben, diese Wechselwirkung mit dem Magnetfeld, haben wir ein paar Annahmen gemacht, die relativ allgemeingültig sind, aber nicht komplett allgemeingültig. Also in voller Allgemeinheit muss man hier schreiben 1 durch 2m.

Wir hatten zum Beispiel angenommen, dass das Magnetfeld nicht zu groß ist und darum die diamagnetischen Terme vernachlässigbar sind. Im Allgemeinen steht hier P minus Ladung durch Lichtgeschwindigkeit mal Vektorpotenzial

zum Quadrat plus Ladung mal statisches Potenzial, auch das hatten wir letztes Mal 0 gesetzt. Diese Gleichung ist die Pauli-Gleichung und daher kommt auch der Name Pauli-Matrizen.

Jetzt haben wir diesen erweiterten Zustandsraum.

Dadurch erweitert sich auch unser Satz von vertauschbaren Observablen. Also jetzt ist der vollständige Satz, da haben wir natürlich eine gewisse Wahlfreiheit,

welche Observablen wir benutzen möchten, um die Zustände zu bezeichnen. Vollständige Sätze, es gibt verschiedene, wir können einen wählen, vertauschbare Observablen für jetzt Spin 1,5.

Also S² ist gleich 1,5 mal 1,5 plus 1, also 3 Viertel fest.

Wenn wir diesen Spinwert festhalten, dann gehen also nicht mit zählen als Observable, sondern als globale Konstante, dann haben wir zum Beispiel können wir wählen die

X-Dioortsraumkomponenten und die Spinprojektion auf die Z-Achse. Das ist gerade der Inhalt unseres neuen Postulates, dass diese einen vollständigen Satz bilden. Wir können aber auch stattdessen zum Beispiel den Abstand vom Ursprung nehmen,

den Bahndrehimpuls, das Quadrat des Bahndrehimpulses, die Projektion des Bahndrehimpulses auf die Z-Achse und Spin auf die Z-Achse. Das hier sind 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4.

Wir können auch nehmen R², L², J² und J3, wobei jetzt J gleich L plus S der Gesamtdrehimpuls ist.

Statt R² können wir natürlich auch noch andere Observablen nehmen, zum Beispiel statt R² können wir auch nehmen P² oder die Energie,

je nachdem was wir beschreiben oder messen wollen. P² durch 2m plus, also jetzt H0 in diesem Fall, V von R, auch möglich.

Damit ist die Beschreibung eigentlich vollständig. Wir haben den gesamten Raum hingeschrieben, die Wirkung aller Operatoren, die uns interessieren, die Gleichung, die die Dynamik beschreibt. Es kam ein neues Postulat hinzu und damit können wir das Kapitel Spin eigentlich abschließen und weitermachen.

Vor der Pause haben wir noch ein bisschen Zeit. Mit dem nächsten Kapitel, also im nächsten Kapitel geht es um Symmetrien in der Quantenmechanik.

Wir haben jetzt sehr viel über Drehimpuls gesprochen,

die Entartung von Zuständen durch den Drehimpuls, den Spin, der auch ein Drehimpuls ist. Der Drehimpuls hat mit der Drehgruppe zu tun. Drehungen sind oft Symmetrien, also physikalische Probleme sind oft invariant unter Drehungen.

Das ist also ein konkretes Beispiel für eine Symmetrie. Jetzt wollen wir die Behandlung von Symmetrien auf etwas allgemeinere Füße stellen,

also einen Schritt zurückgehen und etwas allgemeiner darauf gucken. Was haben wir im klassischen Fall? In der klassischen Mechanik ist unser Zustandsraum der Phasenraum.

Da ist in der Hamilton-Mechanik eine Symmetrie beschrieben durch eine Abbildung der Phasenraumkoordinaten Q und P,

eine Transformation dieser Koordinaten auf neue Koordinaten Q' und P' von Q und P.

Diese Transformation soll so sein, dass die Hamilton-Gleichungen invariant sind.

Die dynamischen Gleichungen, die das System beschreiben, sollen invariant sein unter dieser Transformation.

Wenn das der Fall ist, dann nennt sich diese Transformation kanonisch,

mit der Eigenschaft, dass der Hamilton-Operator in den neuen Variablen die gleiche Form hat, wie der Hamilton-Operator in den alten Variablen. Wenn wir so eine Transformation haben, oder besser gesagt,

typischerweise hat man eine ganze Schale von Transformationen, wie zum Beispiel Drehungen um eine Achse. Man kann um einen beliebigen Winkel drehen, das heißt, wir haben eine ganze Familie von Transformationen. In dem Fall haben wir das Noether-Theorem für eine Schar von Transformationen,

beschrieben durch einen Parameter, kontinuierlichen Parameter epsilon. Diese Familie Schar von Transformationen soll zusammenhängend sein mit der Identität,

das heißt, der trivialen Transformation ist konventionell für epsilon gleich Null. Transformationen haben ja gleich Null, haben keine Transformation, also Drehungen um den Winkel Null zum Beispiel.

Sagen wir mal, wir haben so eine Schar von Transformationen, dann sagt das Noether-Theorem, dass es eine Erhaltungsgröße gibt,

nennen wir sie g, von einer Funktion der Phasenraumkoordinaten q und p, das heißt, erhalten heißt, die Zeitableitung von g ist gleich Null,

und diese Erhaltungsgröße lässt sich berechnen aus der infinitesimalen Transformation,

also im Fall der Drehungen zum Beispiel, aus der Drehung um den infinitesimalen Winkel.

Umgekehrt erzeugt diese Erhaltungsgröße g, g erzeugt die Transformation, die Symmetrie-Transformation im Phasenraum mittels Poisson-Klammer,

also delta omega, wobei omega in der Phasenraumgröße ist, ist unser Parameter epsilon mal die Poisson-Klammer von omega mit g,

Poisson-Bracket infinitesimal, also für kleines epsilon.

Jetzt wollen wir das vergleichen mit der Quantenmechanik,

und das machen wir am besten nach einer kurzen Pause.