Symmetrien in der Quantenmechanik. Hier haben wir als Observable, Observablen

sind die Erwartungswerte von Operatoren, nicht die Eigenwerte, sondern die Erwartungswerte.

Wenn wir hier von der Symmetrie sprechen, dann müssen wir also eine Transformation haben. Die Erwartungswerte zum Beispiel Orts, Erwartungswert des Ortes, Erwartungswert des Impulses, abbildet auf transformierte Erwartungswerte.

Im klassischen Fall hatten wir die Bedingung, dass die Hamilton-Funktion invariant ist unter der Transformation. Jetzt wollen wir fordern, dass der Erwartungswert des Hamilton-Operators invariant ist und ebenso die Norm der Zustände invariant.

Solche Transformationen wollen wir betrachten. Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten da drauf zu gucken.

Entweder wir machen aktive Transformation, das heißt der transformierte Zustand C' ist eine Transformation des alten Zustands,

während wir die Operatoren belassen, wie sie sind. Transformierte Operatoren sind gleich den alten, ursprünglichen Operatoren.

Wenn wir so eine Transformation anwenden, kriegen wir für die transformierte Norm, setzen wir einfach ein,

haben wir den alten Zustand adjugiert, mal den alten Zustand adjugiert, das Skalarprodukt, das soll jetzt gerne gleich sein, der Norm des alten Zustands, das soll für alle Zustände gelten, das heißt U muss unitär sein.

Ebenso können wir uns angucken den Erwartungswert des Hamilton-Operators, der soll ja auch invariant sein,

also Psi H Psi transformiert ist gleich Psi U adjungiert H U Psi, das soll bitte gerne gleich dem alten Erwartungswert sein,

Psi H Psi, das bedeutet U adjungiert H U muss gleich H sein, soll gleich H sein, mit anderen Worten U, die Transformation muss mit H kommutieren.

Alternativ können wir auch passive Transformationen betrachten.

In dem Fall belassen wir die Zustände wie sie sind und transformieren stattdessen die Operatoren, also transformierte Operatoren, alle Operatoren werden transformiert auf diese Art und Weise, der neue transformierte Operator ist U adjungiert, mal der alte Operator mal U,

dann machen wir die gleiche Analyse für die Norm, die Norm ist 1, die Norm war 1, die transformierte Norm soll auch 1 sein,

das heißt anders gesagt in der Norm, die Norm ist Psi mal Identität mal Psi,

so die transformierte Identität ist nach dieser Vorschrift U dagger U, U dagger 1 U, das soll bitte 1 die Identität bleiben,

das heißt wie vorher kriegen wir die gleiche Bedingung, U adjungiert U soll die Identität sein

und für den Hamilton-Operator kriegen wir, dass der transformierte Hamilton-Operator U adjungiert H U ist, wie vorher soll bitte auch gleich dem alten Hamilton-Operator sein, das heißt wie vorher U und H müssen kommutieren.

In beiden Fällen ist der transformierte Erwartungswert derselbe, das heißt für die Erwartungswerte spielt es keine Rolle,

ob wir die Transformation aktiv oder passiv machen, in beiden Fällen ist die transformierte, der transformierte Erwartungswert Psi U adjungiert Omega U Psi, das ist 6.32. Betrachten wir ein Beispiel?

Einfachstes Beispiel Translation, Translation im Ort, also die Transformation U hängt ab von dem Parameter Epsilon,

ist E hoch minus I durch A quer Epsilon P, Impuls oder Translationsoperator, damit ist U adjungiert gleich von Epsilon,

gleich U von Minus Epsilon, inverse Transformation verschiebt zurück.

In diesem Fall haben wir im aktiven Bild die transformierte Wellenfunktion,

die ja nichts anderes ist als X Zustand projiziert auf Ortspunkt X, das ist also X Transformation von Epsilon Psi,

das ist wegen P gleich Minus I hat der dX, Ableitung nach X steht hier E hoch minus Epsilon Ableitung nach X von X Psi,

und das ist nichts anderes als X Minus Epsilon Psi, also Psi an der Stelle X Minus Epsilon.

Also, mit anderen Worten, X U von Epsilon ist gleich X Minus Epsilon, das heißt U von Epsilon auf jetzt den Kett X,

der ja adjungiert ist zu dem Bra X, ist also U ist nichts anderes als U adjungiert, U von Epsilon ist U adjungiert von Minus Epsilon,

also Kett X plus Epsilon. Im passiven Bild haben wir jetzt, dass der Ortsoperator transformiert ist U adjungiert,

also E hoch I durch H quer Epsilon P mal der untransformierte Ortsoperator mal E hoch Minus I durch H quer Epsilon P,

das ist für Kleines Epsilon ist das X plus I durch H quer Epsilon mal der Kommutator von P mit X,

und das ist nichts anderes als X, Kommutator P mit X ist Minus I H quer, das heißt hier steht X plus Epsilon mal 1, und für den Impulsoperator können wir das gleiche machen, transformiert der Impulsoperator ist E hoch I durch H quer Epsilon P P,

E hoch Minus I durch H quer Epsilon P, hier steht überall P, P kommuniziert natürlich mit sich selbst, das heißt ich kann den Operator hier durchziehen, es wird die Identität, da steht also einfach P, das heißt P ist ein Variant.

P ist in diesem Fall genau die Erhaltungsgröße, die zu der Symmetrie gehört.

Damit diese Translation eine Symmetrie ist des gegebenen Problems, muss, haben wir gesehen, der Hamilton-Operator muss sich mit dem Hamilton-Operator kommunizieren, das heißt wir müssen haben,

dass dieser Kommutator vielleicht Null ist, hier haben wir die Exponentialfunktion des Impulsoperators, das heißt das ist gleichbedeutend damit, dass der Impulsoperator mit dem Hamilton-Operator kommuniziert,

der Hamilton-Operator enthält den kinetischen Term und den Potentialterm, also wir betrachten jetzt,

hat er den kinetischen Term und den Potentialterm, mit dem kinetischen Term kommuniziert P trivialerweise, mit dem Potentialterm, das Kommutieren mit dem Potentialterm müssen wir einfordern, das heißt wir müssen haben, dass P mit dem Potential V kommuniziert, das Potential ist eine Funktion des Ortes,

wenn wir kommunizieren mit irgendeiner Funktion des Ortes, kriegen wir die Ableitung dieser Funktion,

mal ein Kommutator von P mit dem Ort, das heißt minus i h quer Ableitung des Potentials an x, das soll Null sein, das heißt V das Potential muss konstant sein, das ist einleuchtend,

wir können nur eine Translationssymmetrie haben, wenn das Potential konstant ist, im klassischen Bild zum Vergleich haben wir für die Translation das Q verschoben wird um Epsilon,

P bleibt P und die Erhaltungsgröße ist P, das ist jetzt ein relativ triviales Beispiel, aber es illustriert das Konzept,

zurück zum allgemeinen Fall, können wir eine Transformation,

ich hatte ja gesagt, dass wir fordern wollen, dass die Schar von Transformationen mit der trivialen Transformation zusammenhängt,

das heißt für Epsilon gleich Null haben wir die Identität, das heißt wir können um diesen Punkt herum entwickeln und haben eben die Identität, minus i durch h quer Parameter mal einem Operator, den nennen wir groß G plus höhere Terme in Epsilon,

weil U adiungiert mal U die Identität sein soll, muss G adiungiert gleich G sein, sieht man einfach, wenn man das ausrechnet,

und weil U mit H kommunizieren soll, muss auch G mit H kommunizieren, wenn wir einen Operator G haben,

der diese Eigenschaften erfüllt, dann heißt G Symmetrie Generator, das sind die Forderungen an Symmetrie,

das Äquivalent zum Noether Theorem ist dann, wir nehmen an, dass dieser Generator G keine explizite Zeitabhängigkeit hat,

in dem Fall ist die Totalzeitableitung des Erratungswerts von G gleich eins durch ih quer, Zeitentwicklung wird generiert vom Hamilton-Operator, das heißt wir haben hier Kommutator mit dem Hamilton-Operator,

das soll Null sein, das heißt der Erwartungswert ist auch Null, das heißt diesen Sachverhalt bezeichnen wir mit Operator G ist erhalten,

das heißt der Erwartungswert ändert sich nicht unter dieser Transformation,

die Umkehrung von G, von dem Generator G zur endlichen G war die infinitesimale Form der Transformation, jetzt wollen wir umkehren zu der endlichen Transformation, das machen wir per Konstruktion,

das heißt zu einem gegebenen G können wir ein endliches U konstruieren durch die Exponentialabbildung,

also U von Epsilon ist der Liemes, also ein Weg die Exponentialabbildung zu schreiben ist der Liemes n nach unendlich, von Identität minus i durch h quer mal Epsilon durch groß n hoch n,

das ist nichts anderes als die Exponentialfunktion von minus i durch h quer Epsilon mal G,

das ist 36 und das ist die endliche Transformation zu G,

für einen beliebigen Operator ist der transformierte Operator, jetzt hatten wir ja gesagt E hoch i durch h quer Epsilon G,

das ist U beziehungsweise U radiongiert mal Omega mal U, U ist E hoch minus i durch h quer Epsilon G nach Baker-Kempel-Hausdorf Formel,

ist das der ursprüngliche Operator plus i durch h quer, weil wir jetzt hier Operatoren haben,

im Exponenten, bis wir diese Formel benutzen, kriegen wir Kommutatoren Epsilon G mit Omega, im ersten nicht trivialen Term plus ein halb mal i durch h quer Epsilon Quadrat,

mal den zweifach iterierten Kommutator von G mit Omega und so weiter,

also wir haben eine ganze Reihe, eins durch n Fakultät, mal i durch h quer Epsilon hoch n, mal den n fach iterierten Kommutator und so weiter,

das ist nichts anderes als das Exponential von i durch h quer Epsilon,

mal jetzt der adjungierten Darstellung von G, Exponential der adjungierten Darstellung, adjungierte Darstellung heißt, die G wirkt per Kommutator auf Omega,

ja, Baker-Kempel-Hausdorf,

wenn man für die beiden Exponentialfunktionen hier die Reihenentwicklung hinschreibt,

die Terme sortiert nach Potenzen von Epsilon, dann kriegt man gerade die rechte Seite, ja, ne, das kann eigentlich nicht sein, nein, nein, nein, natürlich, sehr gute Frage, hier steht natürlich G.

In unserem einfachen Beispiel der Translation ist der Generator G einfach der Impulsoperator oder Translationsoperator

und die Zeitableitung D nach dem T von P hat man ja gesehen,

vom Erwartungswert von P bis Null, also P erzeugt Translationen, okay.

Eine Bemerkung, klassische Symmetrien operieren in endlich-dimensionalen, im endlich-dimensionalen Phasenraum

als symplektische Transformation, dagegen operieren quantenmechanische Symmetrien im unendlich-dimensionalen Hilbertraum

als unitäre Transformation, es gibt aber auch einfache Fälle, in einfachen Fällen ist auch der quantenmechanische Hilbertraum

endlich-dimensional, zum Beispiel haben wir den zweidimensionalen Hilbertraum bei Spineinhalb hatten wir gesehen,

oder auch bei der Photonpolarisation gibt es also diese Fälle, da hatten wir schon zum Beispiel die Transformation R Drehungen e hoch i theta s,

das haben wir ja im letzten Kapitel behandelt, zwei mal zwei Matrizen, in dem Fall haben wir also endliche,

in endlich-dimensionalen Hilbertraum, der einfach C2 ist. Jetzt führen wir das ganze einen Schritt weiter.

Ja, das war das Beispiel, was wir hatten, genau. P ist nur eine Symmetrie, wenn das Potential konstant ist. Symmetriegruppen, wir hatten jetzt immer betrachtet eine Einparameter Schar von Transformationen,

Einparameter Schar von Transformationen mit U von Epsilon, die haben die Eigenschaft, dass U von Epsilon mal U von Epsilon Strich

gleich U von Epsilon Plus Epsilon Strich ist, das folgt einfach aus der Schreibweise als Exponential mit dem Generator.

In diesem Fall spricht man von Bilden dieser Transformation U von Epsilon, Bilden eine abelsche Gruppe,

abelsch heißt, dass alle Gruppenelemente miteinander komputieren, weil es nur einen Generator gibt.

Falls der Parameter Epsilon aus den reellen Zahlen ist, über die reellen Zahlen laufen kann,

haben wir die Gruppe, als abstrakte Gruppe, haben wir die Gruppe der reellen Zahlen mit der Plusoperation. Wenn Epsilon aus dem Einheitskreis ist, zum Beispiel im Fall von Rotation,

dann ist die Gruppe, die abstrakte Gruppe, gleich die U1, die eindimensionalen unitären Matrizen,

also gleich S1, der Einheitskreis. Zum Beispiel hier, in dem ersten Fall haben wir beide Translationen,

in diesem Fall haben wir, wenn wir zum Beispiel den Rotationsoperator in einer Dimension, also um eine bestimmte Achse betrachten,

also G gleich L3 zum Beispiel, allgemeiner, jetzt haben wir einen Parameterschal, allgemeiner können wir auch mehr Symmetrien haben, eine größere Symmetriegruppe,

also bei mehreren Parametern, die unsere Symmetrietransformationen parametrisieren, repräsentiert ein Vektor Epsilon, der aus mehreren Parametern besteht,

ein Gruppenelement einer größeren Gruppe, das Gruppenelement in Vektorin G, das ist wieder über die Exponentialabbildung definiert, e hoch minus i durch h quer,

jetzt Vektor Epsilon multipliziert mit all den verschiedenen Generatoren, die wir haben, falls es eben mehrere gibt, und dann erweitert sich diese Multiplikation der Transformation,

u vom Element der Gruppe, die Transformation, die zu einem Gruppenelement gehört, gefolgt von der Transformation, die zu einem anderen Gruppenelement gehört,

erfüllt jetzt diese Eigenschaft, dass ich innerhalb der Gruppe die Komposition bilden kann, der beiden Elemente, und dann die entsprechende Transformation bilden, das heißt, die Transformationen u bilden eine Darstellung der Gruppe mit der weiteren Eigenschaft,

dass u adjungiert vom Gruppenelement gleich das Inverse von u von dem Gruppenelement ist,

und das ist gleich u von dem Inversen des Gruppenelements, und weiterhin ist u die Transformation, die zum Einheitselement in der Gruppe gehört, die Identität,

u mit diesen Eigenschaften heißt unitäre Darstellung der Gruppe groß g,

die besteht also aus all den Elementen klein g, zum Beispiel können das Matrizen sein. Genau das haben wir beim Drehimpuls gesehen. Die Drehgruppe ist eine nicht ablische Gruppe mit drei Generatoren,

die drei verschiedenen Drehungen in drei Dimensionen, und die Darstellung ist zum Beispiel im Fall des Spins gegeben durch die Pauli-Matrizen, oder im Fall von einem höheren anderen Drehimpuls der Drehimpuls. Die Darstellung hatten wir mit L, die verschiedenen Darstellungen haben wir mit L nummeriert,

und für jedes L gibt es eine andere Darstellung derselben Gruppe, Der lineare Raum, auf dem u operiert, in diesem Fall ist das der Hilbertraum,

heißt in der Theorie der Gruppen und ihrer Darstellung ein Darstellungsraum, oder auch Gruppenmodul, oder auch nur Modul.

Wenn wir jetzt so eine Symmetrie haben, sei sie ablisch mit einem Generator, oder nicht ablisch mit mehreren Generatoren, bedeutet das nach dieser ganzen Vorrede,

dass der Hamilton-Operator mit dieser ganzen Gruppe kommutiert, und wenn wir diesen Fall haben, das wissen wir jetzt schon, bedeutet das, dass für das Eigenwertproblem des Hamilton-Operators es eine Entartung gibt,

also zu jeder festen Energie haben wir einen ganzen Raum von Zuständen, der sich unter dieser Gruppe transformiert, eine Darstellung dieser Gruppe bildet, und der ganze Raum hat denselben Eigenwert. Gut, das können wir nächstes Mal nochmal anschreiben, für heute soll das genug sein.