Fibonaccifolge
This is a modal window.
The media could not be loaded, either because the server or network failed or because the format is not supported.
Formal Metadata
Title |
| |
Title of Series | ||
Part Number | 1 | |
Number of Parts | 8 | |
Author | 0000-0002-7299-4943 (ORCID) | |
License | CC Attribution - ShareAlike 3.0 Unported: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
Identifiers | 10.5446/19856 (DOI) | |
Publisher | 0044w3h23 (ROR) 0000-0002-7299-4943 (ORCID) | |
Release Date | ||
Language |
Content Metadata
Subject Area | ||
Genre | ||
Abstract |
|
1
2
3
6
7
8
00:00
SequenceGolden ratioMathematicsSet (mathematics)Natural numberNumerical analysisRational numberStatistical hypothesis testingNetwork topologyZahlBerechnungFrequencyModulformWell-formed formulaZusammenhang <Mathematik>RecursionTotal S.A.Energy levelArithmetic meanDreizehnPlane (geometry)Hausdorff spaceIrrational numberPower (physics)Moment (mathematics)MultiplicationPhysical systemResultantSpiralAngleNumberRecursive languageOvalReal numberFibonacci numberMathematicianRootPoint (geometry)Ocean currentDirection (geometry)Graph coloringClosed setDifferent (Kate Ryan album)CalculationElement (mathematics)Multiplication signRule of inferenceSpacetimeRight angle1 (number)SequenceMathematicsFibonacci numberComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
00:03
Okay, so, wir hatten uns ja gerade mit Zahlenfolgen befasst und haben hier mal bei verschiedenen Beispielen die rekursive Definition und die explizite Definition oder die geschlossene Form von verschiedenen Folgen gefunden und bei einer Folge da haben wir relativ schnell
00:20
die rekursive Definition gefunden, aber die geschlossene nicht und mit der Folge beschäftigen wir uns jetzt erstmal ein wenig. So, ja, es geht um Kaninchen, okay? Die Person, die Sie hier unten links sehen, ist Leonardo da Pisa. Leonardo da Pisa ist ein Mathematiker aus dem 12. und 13. Jahrhundert,
00:46
ist also schon länger tot, der insbesondere unter dem Namen Fibonacci bekannt wurde. Warum Fibonacci? Weil er auf Lateinisch gesprochen der Filius Bonacci war, also
01:04
Filius Bonacci war ja sein Beiname sozusagen und der Sohn des Bonaccius oder so ähnlich und aus diesem Zusammenhang wurde Fibonacci gebildet und ja, seitdem nennt man ihn
01:20
so und er ist insbesondere bekannt geworden, weil eine berühmte Zahlenfolge nach ihm benannt ist, nämlich die sogenannte Fibonacci-Folge. Er hat diese Folge letztlich begründet, indem er eine Geschichte erfunden hat, die mit Kaninchen zu tun hat und zwar lautet
01:48
in etwa, Sie haben irgendwie einen Käfig, da ist beliebig viel Platz drin, okay, für Kaninchen und die Kaninchen, die können da nicht raus, die nehmen niemals irgendein
02:03
Kaninchen aus diesem Käfig raus und jetzt tun sie da am Anfang ein Kaninchenpärchen rein. So, okay, Kaninchenpärchen. Jetzt können Sie sich vorstellen, was passiert in einem Gehege,
02:21
in das Sie ein Kaninchenpärchen reingesteckt haben. Sie haben bald mehr als ein Kaninchenpärchen. Jetzt ist aber so, das Kaninchenpärchen ist noch jung, die sind noch nicht geschlechtsreif, das heißt, sie müssen erstmal ein bisschen erwachsen werden. Und jetzt ist es so, die
02:40
Regel ist, die brauchen einen Monat, also das haben wir so reingetan, im nächsten Monat sind sie auch noch nicht geschlechtsreif, okay, sondern die werden erstmal erwachsen. Nachdem sie jetzt einen Monat da drin waren, werden sie auf einmal erwachsen und dann geht es los. Und sie werfen, und das ist die zweite Regel, die man beachten muss, jedes Kaninchenpärchen,
03:07
das geschlechtsreif ist, wirft pro Monat ein neues Kaninchenpärchen. Also sie verdoppeln sich sozusagen, das vorhandene geschlechtsreife Kaninchenpärchen. Okay, das ist jetzt keine
03:23
echte Anwendungsaufgabe, die Biologen schlagen die Hände über dem Kopf zusammen, sagen, das ist auch Quatsch. Aber das ist natürlich eine eingekleidete Aufgabe, eine künstliche Aufgabe, die es ein bisschen schicker machen soll, sich mit der Zahlenfolge zu befassen. Also dieses eine Kaninchen verdoppelt sich jetzt, die werfen. So, okay, jetzt ist es so,
03:48
jetzt haben wir hier ja ein altes Kaninchenpärchen, das ist dieses hier, und das neue. Nach der Regel muss das neue erst mal einen Monat warten, bis es geschlechtsreif
04:03
ist. Also, welches Kaninchenpärchen kann jetzt im vierten Monat nochmal werfen? Bitte? Das erste, genau das alte. Die werfen jetzt nochmal. Das heißt, dieses hier kann werfen, das heißt im nächsten Monat ist es so, wir haben die beiden aktuellen
04:27
Kaninchenpärchen plus dasjenige, das jetzt von dem alten bereits geschlechtsreifend hinzugefügt wird, okay? So, jetzt wird es spannend. Wie sieht es im nächsten
04:44
Monat aus? Ja, zwei dazukommende, oder? Genau, jetzt ist es so, wir haben zwei,
05:07
die geschlechtsreif sind. Also in dem neuen Monat sind diese beiden hier geschlechtsreif. Dieses neue hier, dieses kleine süße da, das ist ja erst dazugekommen, das ist nur nicht geschlechtsreif. Das heißt, im nächsten Monat ist es so, wir haben die aktuellen
05:24
Kaninchenpärchen plus diejenigen, die dazukommen, weil nämlich diese hier geschlechtsreif sind, die bereits ein Monat lang existieren, die verdoppeln sich. So, wie sieht es
05:44
im nächsten Monat aus? Im nächsten Monat ist es natürlich so, die Kaninchen sterben auch nie in dem Beispiel. Das heißt, wenn sie so weitermachen, dann werden sie ein reicher Mann, wenn sie Kaninchenzucht aufmachen. Also das werden doch keine rausgenommen, nee, dann haben sie Platzprobleme irgendwann mal. Okay, auf jeden Fall haben
06:04
wir jetzt also die fünf bestehenden Kaninchenpärchen. Und was passiert jetzt? Wie viele kommen dazu? Ja, warum kommen drei dazu? Genau, also von denen hier, von
06:37
diesen, sind nur die hier geschlechtsreif in dem Monat. Diese beiden sind ja gerade
06:41
erst dazugekommen. Das sind die neun, die sind erst im übernächsten Monat geschlechtsreif. Das heißt, zu diesen hier kommen drei dazu. Diese hier sind da nämlich schon geschlechtsreif. Okay, so, wie funktioniert also diese Kaninchenfolge? Wenn ich mir
07:11
überlege, wie viele kommen im neuen Monat oder wie viele Kaninchen habe ich im neuen Monat? Das ist ja so eine rekursive Denkweise. Ich denke aus den vorherigen
07:21
Monaten übertrage ich auf den aktuellen Monat. Also woraus ergibt sich so eine Kaninchenzahl? Kurz nachgedacht. Ich will jetzt angenommen, ich will jetzt für
07:41
diesen Monat hier, für den aktuellen Monat die Kaninchenanzahl bestimmen. Das heißt, ich nehme doch die bestehenden, das sind diese hier, die die gerade drin sind. Und außerdem muss ich schauen, wie viele kommen hinzu. Und das ist gerade
08:02
die Anzahl aus dem Monat davor, die hier rot markiert sind. Das sind nämlich die, die in diesem Monat hier geschlechtsreif sind. Also, die bestehenden aus dem Vormonat plus es kommen diejenigen dazu aus dem Vor-Vormonat, weil die sind geschlechtsreif,
08:21
die verdoppeln sich. Jetzt gucken wir mal, wie viele haben wir denn insgesamt? Hier ein bisschen mit der Stiftfarbe experimentieren. Also, hier im ersten Monat haben wir eins, noch eins, so zwei. In diesem Monat hier haben wir die
08:49
bestehenden zwei und die sind geschlechtsreif. Hier kommt eins dazu, also drei. In diesem Monat haben wir die bestehenden drei plus diejenigen,
09:01
die noch mal sich verdoppeln, das sind die hier, die kommen dazu haben wir fünf. So, und diese hier, in diesem Monat haben wir die bestehenden fünf plus die drei hier vorne, die werfen, also acht. Kommt Ihnen die Folge bekannt vor?
09:28
Damit haben wir uns gerade befasst. Das ist genau die Folge, mit der wir uns gerade
09:41
plus zwei ist gleich Fn plus Fn plus eins. Vorher hat man eine andere Schreibweise
10:01
gefunden. Man kann natürlich auch Folgendes sagen, man sagt Fn plus eins ist gleich Fn plus Fn minus eins. Ist völlig wurscht, ob Sie jetzt hier Fn plus zwei oder Fn plus eins berechnen wollen, Sie müssen immer die beiden vorherigen nehmen.
10:28
So, das ist die Rekursion, die Rekursionsvorschrift der Fibonacci-Zahlen. Nimm die beiden vorherigen, also die bestehenden Kaninchen plus diejenigen, die vorher da sind, die sind geschlechtsreif, bei dir sie, hast du die neue Anzahl der
10:41
Kaninchen, Paare. Natürlich haben wir auch schon festgestellt, hier muss man aufpassen, man muss auch die ersten explizit festlegen. Also jetzt hier, das erste Mal kann ich diese Rekursionsvorschrift anwenden, hier bei diesem Monat. Das heißt, ich muss also auch festlegen, dass F1 eins ist und dass F2 eins ist. Ja, das ist die Fibonacci-Folge.
11:10
Jetzt kann man sagen, schöne Folge, wozu braucht man die? Da komme ich gleich noch darauf zu sprechen. Das ist also jetzt ein Beispiel aus der Natur in Anführungszeichen,
11:22
das kein echtes natürliches Beispiel ist. Das Interessante ist aber, die Fibonacci-Folge kommt tatsächlich in der Natur vor. Wo, da gebe ich gleich mal ein Beispiel. Zunächst aber mal die Frage, naja, jetzt haben wir die Rekursionsvorschrift gefunden, die Rekursive-Definition. Jetzt wäre es ja schön, die geschlossene Form zu finden.
11:41
Und wir hatten gerade besprochen, die geschlossene Form zu finden, ist oft sehr schwierig im Vergleich zur Rekursion. Aber wenn man sie mal hat, ist es extrem praktisch. Dann kann man nämlich jedes beliebige Element direkt ausrechnen. Wenn ich jetzt hier wissen will, im tausendsten Monat wie viele Kaninchen habe ich, dann wird es schwierig. Da muss ich jetzt
12:01
F von tausend berechnen. Dazu brauche ich F von 999 und F von 998. Die muss ich addieren. Dazu brauche ich aber F von 998 und F von 997 muss ich auch addieren und so weiter und so weiter. Also da gibt es jede Menge Berechnungsaufwand. Schön wäre es, wenn ich das direkt angeben
12:21
könnte. Einfach in eine Formel tausend einsetzen und berechnen. Jetzt zeige ich Ich bin ein bisschen enttäuscht von Ihnen. Da hätte man schon drauf kommen können, finde ich.
12:42
Okay, Scherz beiseite. Da kommt natürlich kein Mensch drauf. Binet ist drauf gekommen. Das ist hier so eine geschlossene Form, in die man das einsetzen kann. Können Sie mal zu Hause experimentieren, mal einen Taschenrechner eingeben. Tausend mal einsetzen, also für n gleich tausend einsetzen, gucken, was rauskommt. Oder einfach mal umformen oder so.
13:09
Ja, also Sie sehen, da kommt man von selbst nicht drauf. Aber wenn man die mal hat, ist es sehr einfach, die tausendste Zahl in der Fibonacci Folge anzugeben. Ich gebe einfach tausend da rein, fertig. So, das Verblüffende an dieser Formel ist,
13:28
das ist wirklich verblüffend, dass hier, eigentlich wollte ich die rote Farbe, na egal,
13:45
dass hier Wurzel 5 drin vorkommt. Wurzel 5 ist eine irrationale Zahl. Die kann man nicht als Bruch darstellen, sondern Wurzel 5 ist eine Zahl in den reellen Zahlen, die nicht als
14:05
Bruch darstellt, also keine rationale Zahl, eine irrationale Zahl. Das ist eine Kommazahl, die kein System hat hinter dem Komma. Keine Periode oder so. Die geht unendlich weiter hinter
14:20
dem Komma ohne System. So, jetzt können Sie mit dieser Formel die tausendste oder jede beliebige Fibonacci Zahl ausrechnen. Und was mit dieser Formel rauskommt, sind immer natürliche Zahlen. Ist doch komisch, oder? Wenn Sie da 3 einsetzen, von 3 setzt es ein,
14:41
kommt 3 raus. Obwohl der Wurzel 5 drin steht. Egal was Sie einsetzen an N, kommt immer eine natürliche Zahl raus. Das verblüfft einen an der Stelle, ist aber so. Kann man
15:07
ein Naturbeispiel von Fibonacci Zahlen? Ein Beispiel, das immer wieder vorkommt, ist die Sonnenblume. Wenn Sie in die Sonnenblume reinschauen, in den Blütenstand, da erkennt man Spiralen. Je nachdem, ob Sie links oder rechts drehen sind sozusagen. Und wenn
15:24
man die Spiralen zählt, sind es immer Fibonacci Zahlen. Komisch, oder? 13 Spiralen oder 21 Spiralen oder 34. Das zu verstehen, da müsste man ein bisschen in die Biologie
15:44
noch schauen, warum das der Fall ist. Vielleicht da hängt der goldene Winkel mit zusammen, der goldene Schnitt und so weiter. Ich möchte Ihnen aber mal ein anderes Beispiel geben. Und zwar bleiben wir mal bei der Vermehrung von Tieren. Gucken
16:03
wir uns jetzt erstmal den Stammbaum des Menschen an. Da kommen die Fibonacci Zahlen noch nicht vor, aber eine andere Folge, die uns heute schon begegnet ist. Also, gucken wir uns mal den Stammbaum des Menschen an. Hier unten beginnen wir mit dem Kind. Wie viele Vorfahren hat ein Kind? Wie viele direkte Vorfahren? Zwei. Vater
16:24
und Mutter. Sowohl Vater als auch Mutter haben zwei Vorfahren jeweils. Also Oma und Opa. Väterlicherseits und Mütterlicherseits. Die wiederum ihrerseits zwei Vorfahren
16:42
haben. Wie viele Vorfahren oder wie viele Personen gibt es im Stammbaum auf der Enten-Ebene? Hier unten haben wir die erste Ebene. Wie viele Personen haben wir da? Eine. Hier unten haben wir eine. Auf dieser Ebene hier haben wir zwei,
17:09
hier haben wir vier und hier haben wir auf dieser Ebene haben wir acht. Eins, zwei, vier, acht, sechzehn, zweiunddreißig, vierundsechzig und so weiter. Die Folge
17:24
hatten wir gerade schon gehabt. Das ist die Folge der Zweierpotenz. Man kann jetzt hier um von eins zum anderen kommen einfach mal zwei nehmen. Da steckt die Rekursionsvorschrift drin. An plus eins ist gleich zwei mal An. Also gerade die Ebene vorher. Oder man sagt
17:44
gleich haben wir auch gefunden die Formel. Auf der Enten-Ebene habe ich zwei hoch n minus eins Elemente. Zwei hoch n minus eins. Auf der ersten Ebene habe ich zwei hoch null ein Element. Auf der zweiten Ebene zwei hoch zwei minus eins. Also zwei
18:07
hoch zwei. Mit dieser Formel oder dieser Zahlenfolge der Zweierpotenzen gibt wieder die Anzahl der Menschen in einem Stammbaum. Jetzt gucken wir uns mal den Stammbaum eines
18:22
anderen Lebewesens an. Nämlich der Honigbiene. Bei der Honigbiene hat man einen speziellen Eier entstehen. Also so eine Honigbiene legt Eier. Manche davon sind befruchtet. Manche
18:44
davon sind nicht befruchtet. Die nicht befruchteten da entstehen die Männchen draus. Die drohnen. Aus den befruchteten die werden dann noch speziell gefüttert und so weiter. Die kriegen so ganz leckeren Honig oder was. So einen speziellen Saft kriegen die.
19:03
Daraus werden die Königinnen. Also. Und die können wiederum ihrerseits Eier legen. Also. Die Männchen entstehen aus unbefruchteten Eiern. Haben also nur einen Vorfahren, die Königin. Während Königinnen aus befruchteten Eiern entstehen. Die haben also als Vorfahren
19:23
eine Königin plus ein Männchen eine Drohne. Jetzt gucken wir uns mal den Vorfahren einer Drohne an. Also eines Männchens. Ein Männchen entsteht aus unbefruchteten Eiern. Also auf der Ebene vorher gibt es nur eine Königin. Die Königin selbst ist aber aus
19:43
einem befruchteten Ei entstanden. Also. Vorfahren einer Königin ist eine Königin und eine Drohne. Jetzt gehen wir weiter. Diese Drohne, die links, die hat natürlich wieder nur einen Vorfahren und eine Königin. Während diese Königin hier zwei Vorfahren
20:00
hat. Also sie hat nur eine Königin. Die hat zwei Vorfahren, Drohne und Königin. Diese Königin hat ihrerseits wiederum zwei Vorfahren. Während diese hier, die Drohne, wieder nur eine Königin als Vorfahren hat. Und diese Königin, Drohne und Königin. Jetzt kann man mal gucken, wie viele wir haben auf jeder Ebene. Hier haben wir eins,
20:27
zwei, drei, fünf. Sie wissen, wie es weitergeht, weil sie mittlerweile Fibonacci-Experten sind. Acht, dreizehn, einundzwanzig und so weiter. Okay, wir wissen noch nicht genau,
20:46
warum das so ist. Aber hier entstehen die Fibonacci-Zahlen. Und warum das so ist, kann man sich ganz einfach überlegen. Also, passen Sie auf. Wir wollen wissen, wie viele Elemente gibt es auf jeder Ebene. Also wir wollen wissen, wie viele Elemente
21:04
gibt es auf jeder Ebene. Und wie viele Bienen sozusagen gibt es in jeder Ebene. Und das nennen wir mal BN. Also B1 ist eins, B2 ist eins, B3 ist zwei, dann ist hier B4 ist drei und so weiter. Auf jeder Ebene setzt sich die Anzahl der Bienen zusammen
21:27
aus der Anzahl der Drohnen auf dieser Ebene plus der Anzahl der Königinnen auf dieser Ebene. Nenne ich jetzt mal KN und DN. Auf jeder Ebene habe ich N Bienen, davon
21:42
sind N Drohnen und N Königinnen. Auf dieser Ebene, auf der obersten hier, habe ich fünf Bienen, von denen sind zwei Drohnen und drei Königinnen, also insgesamt fünf. Wenn ich mir jetzt mal die Anzahl der Königinnen anschaue auf einer Ebene, KN, zum Beispiel
22:12
die hier mal, KN, diese, auf dieser Ebene habe ich zwei Königinnen. Es gibt genauso
22:22
viele Königinnen auf dieser Ebene, wie es in der danachfolgenden Kinder gibt. Jedes dieser Kinder hier ist entstanden aus einer Königin. Die hat hier noch eine Drohne
22:41
mit dabei, diese Königin, aber insgesamt gibt es hier so viele Königinnen, wie es hier Bienen gibt. Das heißt die Anzahl der Königinnen auf der Ebene N ist gleich die Anzahl der Bienen auf der Ebene N minus eins. Hier habe ich zwei Bienen,
23:03
da zwei Königinnen. Hier habe ich drei Bienen, da drei Königinnen. Außerdem, gleich fertig, außerdem, gucken wir uns jetzt mal die Drohnen an, die Anzahl der Drohnen DN ist gleich, die Anzahl der Drohnen auf einer Ebene ist gleich der Anzahl der Königinnen
23:27
auf der nächsten Ebene. Jede Königin entsteht aus einer Drohne, einer Königin. Das heißt nur die Königinnen haben Drohnen als Vorfahren. Diese Drohnen hier, das ist
23:45
die gleiche Anzahl wie die Anzahl der Königinnen hier. Genauso, hier habe ich eine Drohne auf dieser Ebene und nur eine Königin auf der nächsten. Hier auch eine Drohne auf dieser Ebene, eine Königin auf der nächsten. Das heißt die Anzahl der Drohnen in der einen Ebene ist gleich der Anzahl der Königinnen auf der vorherigen. Wir
24:09
wissen aber die Anzahl der Königinnen auf dieser Ebene ist gleich der Anzahl der Bienen auf der nächsten. Das haben wir hier gesagt, Königinnenanzahl ist gleich die Anzahl der Bienen auf der nächsten. Das heißt KN-1 ist exakt das gleiche wie BN-2. Also,
24:28
auf dieser Ebene gibt es genauso viele Drohnen, wie es hier Königinnen gibt und das ist die gleiche Anzahl, wie es hier Bienen gibt. Jetzt kann man das auch einsetzen. Die Anzahl der Bienen auf einer Ebene ist gleich die Anzahl der Drohnen,
24:42
das ist BN-2, also DN, wissen wir ja, ist BN-2 plus die Anzahl der Königinnen auf der Ebene und das ist BN-1. So, okay. Und jetzt haben Sie die Rekursionsvorschrift
25:03
stehen der Fibonacci-Folge. BN ist gleich BN-2 plus BN-1. Sie addieren einfach zwei Bienenanzahlen zusammen und bekommen diejenige der nächsten Ebene. Okay, das ist so ein typisches Beispiel, wo die Fibonacci-Zahlen tatsächlich in der Natur vorkommen und
25:24
hätte das Fibonacci gewusst, hätte er vielleicht das als Beispiel genommen, so hat er sich ein bisschen künstliches Beispiel mit Kaninchen ausgedacht, aber das ist ja auch relativ anschaulich. Okay, vielen herzlichen Dank.