Fibonaccifolge

ok so haben dass er gerade mit Zahlenfolgen befasst und haben hier mal bei verschiedenen Beispielen die rekursive Definition und die explizite Definition eine geschlossene Form von verschiedenen Folgen gefunden bei einer Folge haben da haben wir relativ schnell die rekursive Definition gefunden aber die geschlossenen nicht mit der Folge beschäftigen uns jetzt erst mal ein wenig aber so habe ja

aber es geht um Kaninchen ok die Person die sie unten links sehen dass Leonardo da Pisa Leonardo da Pisa ist ein Mathematiker aus dem 12. 13. Jahrhunderts ist also schon länger tot der insbesondere unter dem Namen Fibonacci bekannt wurde so warum Fibonacci weil er auf Lateinisch gesprochen der Filius wie geboten Schiit war so viel los und Abschied war ja sehr eng beieinander sozusagen und des Sohnes ein und Unentschieden ist und aus diesen Zusammenhang wurde Fibonacci gebildet und für alle Zeiten in meinem Sohn und er ist insbesondere bekannt bekanntgeworden weil eine berühmte Zahlenfolgen nach ihm benannt ist nämlich die sogenannte Fibonacci-Folge hat das Ganze wird diese Folge letztlich begründet indem er eine eigene Geschichte erfunden hat halten die mit Kaninchen zu tun hat er und zwar durch die folgendermaßen in etwa sie haben irgendwie einen Käfig da ist beliebig viel Platz drin ok für Kaninchen und die Kaninchen die können da nicht raus Personen denen niemals irgendein Kaninchen aus dem Käfig raus und jetzt tun Sie da am Anfang ein Kaninchen welche 3 so ok welche es können sich vorstellen was passiert in einem Gehege in das sie ein Kaninchen welchen reingesteckt aber sie haben bald mehr als ein Kaninchen ich jetzt ist es aber so dass Kaninchen ist noch jung okay die sind noch nicht geschlechtsreif das heißt wir müssen erst mal bis erwachsen werden und jetzt ist es so die Rede ist die brauchen einen Monat ist aber so eingetragen im nächsten Monat sind sie auch noch nicht geschlechtsreife ok sondern die werden erst mal wachsen nach nachdem setzt einen Monat da drinnen waren werden sie auf einmal Erwachsenen geht es rund und sie werfen und das ist die 2. Weg immer beachten muss jedes Kaninchen erreichen dass geschlechtsreif ist wirft pro Monat ein neues Kaninchen ja also verdoppeln sich sozusagen das vorhandene geschlechtsreif Kaninchen ok das ist jetzt keine echte Anwendungsaufgaben den Biologen schlagen immer vom Kopf zusammen sagen so falsch aber das natürlich eingekleidet Aufgaben künftig auch nicht Aufgabe diesen bis Sieger machen soll in der Zahlenfolge befasst also dieses eine Kaninchen verdoppelt sich jetzt nur die werfen sorgt ok jetzt ist es so jetzt haben wir hier ja ein altes Kaninchen Pärchen das ist dieses hier nur ok und das neue nach der Regel muss das neue erst mal einen Monat warten bis sie geschlechtsreif ist also welches Kaninchen erreichen kann jetzt im 4. Monat nochmal werfen mit der das 1. genau das Alter oder die werfen jetzt noch nochmal das ist dieses hier kann werfen das es im nächsten nur das ist so wir haben die beiden aktuellen Kaninchen welchen +plus dasjenige das er jetzt von den alten bereits geschlechtsreifen hinzugefügt wird ok so jetzt wird's spannend wie sieht im nächsten Monat auf Jahr 2 2. dazu kommen dann mehr oder ja genau jetzt ist ist so wir haben 2 die geschlechtsreif sind wir also in den neuen Monat sind diese beiden Geschlechtsreife dieses dieses neue hier dieses kleine Nische daher ja dass erst dazu kommen dass nicht geschlechtsreif das heißt im nächsten Monat also wir haben die aktuellen Kaninchen welchen +plus diejenigen wiederzukommen weil nämlich die sie geschlechtsreif hier bereits einen Monat lang existieren die verdoppeln sich so wie sie es im nächsten Monat aus im nächsten Monat ist natürlich so die Kaninchen sterben auch in dem Beispiel wäre das heißt wenn sie so weitermachen werden dann werden sie bereichern Mann wenn sie Kaninchenzucht aufmachen als es werde keine ausgenommen den dann haben das Problem irgendwann mal ok auf jeden Fall haben wir jetzt also die 5 bestehenden Kaninchen erreichen ja und was passiert jetzt wie viele kommen dazu wie kommen dazu ja warum kommen 3 dazu genau also von denen hier von diesen sind nur die Geschäfte geschlechtsreifen dem Monat diese beiden Sender gab müssen die neuen die sind erst im übernächsten Monat geschlechtsreif nur das heißt zu diesem hier kommen 3 dazu wie diese hier sind dann eben schon geschlechtsreif ok so wie funktioniert also diese Kaninchen Folge wenn ich überlege wie viele kommen in den neuen Monat oder wie viele Kaninchen habe ich im neuen Monat das ist also eine rekursive Denkweise welche Band aus den vorherigen Monaten übertrage ich auf den aktuellen Monat also woraus ergibt sich so eine Kaninchen Zahl kurz nachgedacht als

ich will jetzt einen und ich werde in diesem Monat hier aktuellen oder die kann nicht an 2. Stelle das heißt ich nehme doch die bestehenden das sind diese hier ja die die gerade drin sind und außerdem muss ich schauen wie kommen zu dass es gerade die Anzahl aus dem Monat davor die rot markierten das nämlich die die die in diesen Monaten geschlechtsreif sind also die bestehenden aus dem Vormonat +plus es kommen diejenigen dazu aus dem Vorwurf Vormonat weil diese geschlechtsreif die verdoppeln sich zum Beispiel haben wir den insgesamt mir müssen mit dem Bleistift

Farbe experimentieren sorgt also hier im 1.

Monat haben wir 1 noch 1 zur 2 in diesem Monat hier ja aber die bestehenden 2 und diesen Geschlechtsreife kommt 1 dazu also 3 in diesem Monat haben wir die bestehenden 3 +plus diejenigen die noch einmal sich verdoppeln bis in die ihr bekommen dazu haben wir 5 dort und diese hier nur in diesem Monat haben wir die bestehenden 5 plus die 3 hier vorne werfen also 8 mal 8 kommt in der Folge bekannt vor damit haben es kapiert was das genau die für die folgende was gerade befasst haben und zwar mit der folgenden Regel können wir sagen es Ihnen +plus 2 =ist gleich 11 n +plus 1 nicht zu schreiben mit den Dingen plus 11 n +plus 1 Jahr vorher eine andere Schreibweise gefunden kann natürlich auch Folgendes sagen also 8 11 n +plus 1 =ist gleich F 1 +plus F 1 -minus 1 nur ist völlig wurscht ob sezieren F 1 +plus 2 oder endlos Eis brechen wollen sie müssen immer die beiden vorherigen die Sorge dass die rekursive die Rekursion ihre Konsums Vorschrift der Fibonacci-Zahlen Miniwald vorheriger sie bestehende Kaninchen +plus diejenigen die vor da sie geschlechtsreif sie als sie neue Anzahl der Kaninchen aber natürlich aber auch schon festgestellt da muss man aufpassen muss auf die 1. explizit festlegen also jetzt hier das 1. Mal kann ich diese Rekursion Vorschrift anwenden ich hier bei in diesen Monat das heißt ich muss also auch festlegen dass 11 1 1 ist und das Heft 2 1 2 ja das die Fibonacci-Folge kann man sagen schöne Folge zu braucht man die nur komme ich gleich darauf zu sprechen dass alles ein Beispiel aus der Natur in "anführungszeichen es kann ich das natürliches Beispiel ist das interessant ist aber die Fibonacci-Folge kommt tatsächlich in der Natur vor der geb ich gleich mal ein Beispiel zunächst aber mal die Frage wer als aber gesund Vorschrift gefunden die rekursive Definition jetzt wäre es sehr schön die geschlossene Form zu finden und werden gerade besprochen die geschlossene Form zu finden ist oft sehr schwierig im Vergleich zur Dikussion aber wenn man sie mal hat ist es extrem praktisch nur da kann man nämlich jedes beliebige Elemente direkt ausrichten Schätzchen ist über 1 Tausend Einwohner die Kaninchen habe ich dann wird's schwierig da muss ich jetzt aber 11 von 1000 gerechter Vorsteher von 999 er von 198 die mich in dir dazu brauch ich aber eher von unter 0 8 0 11 197 auch addieren und so weiter und so weiter also da gibt es jede Menge Berechnungs auf schön wäre es wenn ich es direkt angeben könnte einfach eine Formel Tausend Einsätzen berechnet wird es eigentlich immer die geschlossene Form

sie hatten gerade versucht die selbst zu finden wenn ein bisschen enttäuscht von Ihnen da hätte man schon drauf kommen können finde ich ok Scherz beiseite da kommt natürlich kein Mensch drauf wie es draufgekommen dass ist der Sommer ja die geschlossene Form in man das einsetzen kann wenn sie mir zu Hause experimentieren und Taschenrechner eingeben und 1000 mal 1 also 1. endlich Tausend Einsätzen gucken was rauskommen oder einfach mal umformen oder so ja also sehen da ,komma von selbst nicht drauf aber wenn man die Machart ist ist sehr einfach die tausendste Zahlen der Fibonacci-Folge umzugehen weil der Beifall tausender rein fertig so das verblüffende an dieser Formel ist das ist wirklich verblüffend dass hier nur ,komma rote Farbe mehr egal dass hier Wurzeln 5. vorkommt Wurzel 5 ist eine irrationale Zahl die kann man nicht als Bruch darstellen und Wurzel 5. eine Zahl in den reellen Zahlen die nicht eine als Bruch darstellbar ist keine rationale Zahl eine irrationale Zahl auf das ,komma zahlen die kein System hat hinter dem Komma keine Periode oder so nur die geht nun endlich weiter ,komma und das ist es auch jetzt können Sie mit dieser Formel die tausendste oder jede beliebige verwundert Stückzahl ausrichten und was mit dieser Formel rauskommt sind immer natürliche Zahlen komisch oder wenn 3 Einsätze der von 3 Sat 1 kommt 3 raus obwohl der Wurzel richtig wäre egal was sie alle Anforderungen an ein Ende kommt immer eine natürliche Zahl aus das verblüfft an einer Stelle ist aber so ,komma Matthes wer aber ok jetzt hab ich gesagt interessant des Alltags oder der Natur Beispiele von Fibonacci-Zahlen ein Beispiel das immer wieder vorkommt die Sonnenblume wenn sie die Sonnenblume reinschauen in Blütenstand der erkennt man Spiralen hatte ob sie links oder rechts drehen sind sozusagen und die Wärme die Spiralen selten über Fibonacci-Zahlen komischen 13 Spirale oder 21 Spirale oder 34 um das zu verstehen dann müssen wissen wie viel die noch schauen warum das der Fall ist ein zu leichter in der Goldenen Winkel mit zusammen der Goldene Schnitt und so weiter ich möchte aber man anderes Beispiel geben und zwar bleiben wir mal bei der Vermehrung von Tieren bewohnt 2 Stammbäume einen gucken wird das erstmal den Stammbaum des Menschen und da kommen die Fibonacci-Zahlen nicht vor aber noch andere folgen sollte schon begegnet ist alles gut ein Stammbaum des Menschen hier unten beginnen wir mit dem Kind wie viele Vorfahren hat ein Kind wie viel direkter Vorfahren 2 der Vater und Mutter sowohl Vater als auch Mutter haben 2 Vorfahren jeweils also Oma und Opa väterlicherseits und mütterlicherseits die wiederum ihrerseits 2 Vorfahren so wie viele Vorfahren wie viele Personen gibt es im Stammbaum auf der NDR Ebene die Region damit die 1. Ebene wie viele Personen haben wir eine so gute Nummer 1 auf dieser Ebene hier haben wir 2 hier haben wir 4 und hier haben wir auf dieser Ebene haben wir 8 zu 1 2 4 8 16 32 64 und so weiter die Folge hat gerade schon gehabt das ist die Folge der Zweierpotenzen oder kann es hier um von einem zum anderen kommen einfach mal 2 nehmen ,komma die Rekursion Vorschrift für den A 1 +plus 1 =ist gleich 2 mal n also gerade die eben vorher oder man sagt gleich von auch gefunden die Formel auf der Insel Ebene habe ich 2 hoch N minus 1 Element nur 2 hoch N minus 1 auf der 1. Ebene habe ich 2 hoch 0 ein Element auf der 2. Ebene 2 hoch 2 minus 1 ist zwar auch ein 2 Elemente und sowas also mit dieser Formel oder diese diese sozialen Folgen der zweier Potenzen geht wieder die Anzahl der Menschen in einen Stammbaum so dass haben uns mal den Stammbaum eines anderen Lebewesens am nämlich der Honigbiene bei der Honigbiene hat man einen einen speziellen Fall in der Natur wenn Honigbienen können auch aus unbefruchteten Eiern entstehen also unsere Honigbiene legt Eier manche davon sind befruchtete manche davon sind nicht befruchtet die nicht befruchteten da entstehen die Menschen draußen die Drohnen aus dem befruchteten Ei die werden nur noch speziell gefüttert und so weiter die kriegen so ganz leckeren Honig oder was er sonst speziellen Saft kriegen die daraus wenn die Königin also und die können wiederum ihrerseits Eier legen also die Menschen entstehen aus unbefruchteten Eiern haben also nur einen Vorfahren die Königin während Königinnen aus befruchteten Eiern entstehen die haben also das Vorfahren eine Königin plus 1 Menschen bedrohen getroffen und zwar den Vorfahren eine Drohne an also eines Männchens ein Mensch entsteht aus unbefruchteten Eiern also auf der Ebene vorgezogene Könige Königinnen selbst aber aus einem befruchteten Ei entstand also Vorfahren einer Königin ist eine Königin und einen drohenden immer weiter dieser Drohne die Links der hat natürlich wieder einen Vorfahren kündigen wir diese Königin hier 2 Vorfahren hat was er gerne kündigen ja 2 vor Drohnen kündigen diese Königin der ihrerseits wiederum 2 Vorfahren während die sich hier die Drohne wieder nur eine Königin als Vorfahren hat und diese können den Thron von Königin ist mal gucken wie viel wir haben auf jeder Ebene aber wir haben war 1 1 2 3 5 7 7 es weitergeht weil sie mittlerweile 400 Experten sind der 8 13 21 und so weiter ok wir wissen nicht genau warum das so ist aber hier entstehen Fibonacci-Zahlen und warum das so ist kann man sich

ganz einfach überlege also passen Sie auf wir wollen wissen wie viele Elemente gibt es auf jeder Ebene ja also wollen wissen wie viele Elemente gibt es auf jeder Ebene und wie Philippinen sozusagen gibt's in jeder Ebene und das mal B e r also B 1 bis 1 GBit 2. 1 B 3 1 2 1 4 wie viel ist 3 und so weiter auf jeder Ebene setzt sich die Anzahl der zusammen aus der Anzahl der Drohnen auf dieser Ebene plus der Anzahl der Königin auf dieser Ebene nämlich erstmal K und e r auf jeder Ebene hab ich in Wien und davon sind Drohnen in Könige genau auf dieser Ebene für obersten hier habe ich 5 Millionen von denen 2 Drohnen und 3 Königinnen also nicht ganz so wenig mir zwar die Anzahl der Königinnen schaue auf einer Ebene km ja zum Beispiel die hier mal kN diese auf dieser Ebene hab ich 2 Königinnen es gibt genauso viele Königinnen auf dieser Ebene wie in der nachfolgenden Kindergeld jedes dieser Kinder hier ist entstanden aus einer Königin die hat die hat ja noch eine Drohne mit dabei diese kündigen ok aber insgesamt gibt es hier so so viele Königinnen Disziplinen gibt das heißt die Anzahl der Königin auf der Ebene n =ist gleich die Anzahl der Bienen auf der Ebene E E -minus 1 jährlich 2 Bienen da 2 Könige jährlich 3 dienen da 3 Königinnen außerdem gleich Verdeck außerdem ,komma dass man die Drohnen an die Anzahl der Drohne DEN =ist gleich die Anzahl der Drohnen auf einer Ebene ist gleich der Anzahl der Königinnen auf der nächsten Ebene jede Königin entsteht aus einer Drohnen und der Königin das heißt nur die Königinnen haben Drohnen als Vorfahren diese Drohnen hier dass die gleiche Anzahl der Anzahl der Königin hier genauso wie habe ich eine Drohne auf dieser Ebene nur eine Königin auf der nächsten ja auch eine Drohne auf dieser Ebene eine Königin auf den ist das heißt die Anzahl der Drohnen in der einen Ebene ist gleich der Anzahl der Königinnen auf der vorherigen so wissen aber die Anzahl der Königinnen auf dieser Ebene ist gleich der Anzahl der Bienen auf der nächsten mir gesagt Königinnen Anzahl =ist gleich also werden auch wenn es das heißt K 1 -minus 1 ist exakt das gleiche wie B e -minus 2 also auf dieser Ebene gibt es genauso viele Drohnen ist hier Königinnen gibt und das ist die gleiche Anzahl Disziplinen gibt es ,komma das doch einsetzen die Anzahl der Bienen auf einer Ebene ist gleich der Anzahl der Drohnen des BR -minus 2 also DEN müssen wir als WDR minus 2 plus die Anzahl der Königin auf der Ebene und es ist WM -minus 1 so ok jetzt haben sie die Rekursion Vorschrift stehen der Fibonacci-Folge werden =ist gleich P -minus 2 +plus B -minus 1 der einfach 2 Schienen Anzahl zusammen bekommen diejenigen der nächsten ok das ist ein typisches Beispiel für wo die Fibonacci-Zahlen tatsächlich in der Natur vorkommen hätte das viermonatige Wurzelgeflecht das als Beispiel genommen so dass ich ein bisschen künstliches Beispiel Kaninchen ausgedacht aber das auch relativ anschauen ok vielen herzlichen Dank