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Die Kunst des Zählens

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ok heute geht es um die Kunst des Zählens wissen der Zellen ist sozusagen einer der Ausgangspunkte überhaupt der Beschäftigung mit der Mathematik also Kinder in die Grundschule kommen die können schon ganz oft Zellen und wir kennen vielleicht auch bereits die Probleme die damit verbunden sind ganz entsetzlich später um flexibler rächen Strategien geht das man das Zählen der rechnen abgelöst und so weiter und so weiter also zählen als Ausgangspunkt der ihrer mathematischen Beschäftigung mit Zahlen und vielleicht haben Sie auch schon mal verschiedene Verfahren kennen gelernt wie man bestimmte Dinge geschickt zählt oder nicht nur kennen gelernt und auch selbst überlegt nur jeder kennt die Situation wird immer zu Hause Riesen Flasche mit Münzen tritt er vor dem will man die Zelle ganz intuitive Art und Weise wie zählt man die Flasche mit dem sich viele Zellen können wir machen nehmen wir an ok man sortiert die Geldstücke in 10 Cent und 5 werden so weit das hab ich dann auf 15 Cent stärker was mache ich da genau sie machen Türmchen mathematisch gesprochen würde man sagen man Bühnenbild also man packt macht so 10 natürlich dann aber vielleicht 10 Türmchen packt zusammen zu 10 Türmchen also 100 Tom Blöcken oder so gar um anschließend nur die größeren Einheiten zu ansonsten selten man wenn man erzählt man sich da kann man wieder von vorne anfangen so dass also ein Aspekt der Kunst des Zählens dass man geschickt zählt dass man Dinge gruppiert so und ja es gibt ne ganze Unterdisziplin der Mathematik die sich damit befasst wie man geschickt zählt ok ändern damit befassen und sollten mit der Kombinatorik so es
gibt insgesamt 4 Fälle die man klassischerweise unterscheidet der Kombinatorik werden uns jetzt mit diesen 4 Fällen nacheinander befassen und jeweils an einem grundlegenden Beispiel und anschauen von links oben im Norden in Menge anderen Männer und weiß ganz allgemein A B C D E F das 6 Elemente drin ok und jetzt kann man folgende Dinge tun Jazzformationen sagt und sagt dass die Menge oder sind diese Elemente drinnen A B C D E R jetzt kann ich eine bestimmte Anzahl dieser Elemente aus dem Sack rausziehen und neben den wenigen so offen auf das ist hier mit Mengen gemeint ich zitiere beispielsweise mit derart aus diesem sagt heraus gesehen jetzt kann ich ihn nicht nur auf den Haufen legen sondern ich kann sie auch eine bestimmte Reihenfolge legen also schon vor schaffen sagte wir daraus und legst sie in einer bestimmten Reihenfolge werden das heißt wenn ich dieselben Elemente nehmen in einer anderen Reihenfolge hinlege hätt ich ne andere Liste von Elementen anderer Reihenfolge ok das ist hier unten mit einfachen Liste gemeint also die linke Spalte unterscheidet sich im 2. oder wird aufgespalten 2 Zeilen einmal 4 Elemente zum Beispiel dass man wenn raus und legt einfach den ungeordnetes egal in welcher Reihenfolge und einmalige sehen da spielt die Reihenfolge eine Rolle also da wäre die uns die Reihenfolge ABF angegeben oder wäre jetzt echt Alibi was anderes während oben bei der Menge wissen Sie dass die Reihenfolge egal ok die Spalte die mittlere Spalte hier bedeutet gleichzeitig ohne Wiederholung ein Element kann in der Menge oder einer einfachen Liste nur genau einmal vorkommt also die Elemente die ich gezogen habe die tu ich nicht wieder zurückgewinnen sagte können Sie noch mal zu ich ziehe aus dem Sack und lege entweder ungeordnet oder geordnet hin und tu nichts wieder zurück und jetzt die rechte Spalte unterscheidet sich von der mittleren Spalte dadurch dass ich jetzt die gezogen werden wenn sie wieder zurück zu und wir ziehen kann ja in diesem Sinne können beispielsweise einen Haufen bilden mit Elementen aus der Menge aber M A B C D E F als Elemente und da kann kein Element auch mehrfach drin vorkommt allerdings auch wieder da spielt die Reihenfolge keine Rolle oder rechts und in der Ecke die Liste hier können die Elemente mehrfach vorkommen unterstrich die Reihenfolge Rolle also 2 Listen mit denselben Elementen aber anderen Anordnungen während 2 unterschiedliche Listen werden bei Multi Mengen ist wiederum egal in welcher Reihenfolge die Elemente vorkommen dass die vielfältigen unterscheiden einmal ohne Reihenfolge mit der Reihenfolge und ohne Wiederholung und mit Wiederholungen so und diese 4 Fälle betrachtet im einzelnen machen wir gehen mal in den einfachsten Fall der einfachste Fall der ist rechts unten die Ecke die Liste und zwar ziehen wir aus unserem sag ja aus der Menge Elemente mit Wiederholungen der also mehrfach vorkommen aber die Reihenfolge ist entscheidend so zum typisches
Alltagsbeispiele ist ein Zahlenschloss sie haben jetzt wollen es niemandem Diebstahl unterstellt ok Sie haben Ihr Fahrrad abgestellt am Heidelberger Hauptbahnhof und abgeschlossen was da eine ganz gute und sinnvolle Sache ist ja haben aber dummerweise ihr Zahlenschloss werden ehe er schloss er den Schlüssel vergessen wir es nicht mehr genau jetzt anschließend war ja wir haben diese Schloss mit 4 Stellen sind ja mit vielen Rädchen an denen man drehen kann so und jetzt na ja gut dass wenn man seinen Schlüssel vergessen hatte muss man ausprobieren also wird überhaupt gar keine Ahnung hat Frage an Sie wie viele verschiedene Codes gibt es den wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es denn das Zahlenschloss einzustellen dpa 2 Minuten Zeit mit Nachbarn nach und zu überlegen wie viele Möglichkeiten das sind ok so welche Ideen gibt es wenn Sie sagen ja also ich bloß mal laut den auf 10 hoch 4 also 10 mal 10 mal 10 mal 10 warum wie kommen Sie auch ok ich wiederhole nur kurz also beim 1. aber der 1. der westlichen sieht sie Möglichkeiten stellen sie irgendwas ein und egal was sie einstellen ein 2. Mädchen können Sie wiederum 10 verschiedene Möglichkeiten einstellen das heißt sie können 10 Möglichkeiten kombinieren mit 10 weiteren Möglichkeiten ok und wie die weiter ja ja genau also Sender 100 Möglichkeit mit 2 Mädchen dann können Sie wieder jede dieser 100 Möglichkeiten mit dem 3. Rädchen kombinieren das sie wiederum zu Möglichkeiten drauf aber 10 mal 10 mal 10 also 10 noch 3 und 4. Rädchen 10 hofiert genau richtig hat in eine andere Begründung gefunden warum Szene nur 4 Möglichkeiten sind er manchmal denkt man ein bisschen komplizierter als es sein muss welche zahlen können Sie dann einstellen auf dem Zahlenschloss von bist was die kleinste Zahl Mitte der also sind ist der von 0 bis 9 drauf noch Zahlenschloss also was die kleinste Zahl 0 0 0 0 0 1 die größte 909 4 Zahlen sind das 10 Tausend mehr als Ende 1990 in den USA dazu also 10 Tausend oder 10 Uhr 4 Sterne auf das ganze jetzt mal abstrakt
gezeigt am und Modelle der geringste Ordner und das ziehen Sie es haben sie in ihrer Menge in der Menge aus der wir ziehen sie besonders aus und sagt dass sie daraus ja am Anfang sagt gesagt ab sofort sagen oder zu Geld aus der ohne das sind die Elemente ihrer bemängelt das haben wir hier 10 Elemente von 0 bis 9 jetzt ziehen wir aus der oder aus und legen die Elemente ab und zwar hier auf dem auf dem Zahlenschloss das könne beispielsweise mal eine andere mit rausziehen die 7 Mehr schick oder die 6 Frühlings immer wieder zurück war einige Wochen legen zurück der erschienen Zahlenschloss kann jede beliebige Ziffer einstellen der egal welcher vorherrschen schon eingestellt weil sich bei der 1. Stelle die 7 eingestellt hat könnte auch bei der 3. noch die 7 einstellen spielte keine Rolle aber die Reihenfolge ist relevanten und der Code 7 6 7 1 Essen anderer Code als der Code 7 7 1 6 oder 1 6 7 7 das heißt wir haben hier genau den Fall den von beschrieben habe rechte untere Ecke mit Wiederholung also die einzelnen Zahlen können wir oft vor mehrfach vorkommen aber mit Reihenfolge also mit Wiederholungen mit Reihenfolge ok vielleicht an der Stelle einen kleinen Dank an die Christine der 1. war er mit der ich auch diese Vorlesung mal dieser diese eine mal gemacht hatte und sich für die Schule zur Verfügung gestellt die so schick gestaltet sind ok also während genau ihre Begründung diese forderten nur bei der 1. Stelle gibt es die Möglichkeit einer 2. Dezember 3. sich führten gibt sehen also insgesamt 10 hoch 4 Möglichkeiten ich hab also allen Elemente links in einer Runde ohne und ich habe jetzt eine Stelle 4 Positionen zu besetzen und die zu besetzende Position gekürzt wird sondern die Verfasser abstrakt mit K Position also in dem Fall dass allen gleich 10 und karg gleich 4 und wenn man jetzt
allgemein mal schaut wie viele Möglichkeiten gibt es denn bei allen Elementen in der Menge und K zu besetzenden Positionen in der Liste dann ist die Formel mit der man das berechnen kann die Anzahl der Möglichkeiten kann das NOK unser Verlag Halle in gleich 10 und K gleich 4 10 Elemente der Menge K zu besetzende Position in dieser Frage viel Sitze Position haben wir 10 hoch Graph jede gute Position der Chartpositionen habe ich allen Möglichkeiten aber allen mal eben ein Ehrenmal in Kramer ok gibt an der Stelle Fragen von Ihrer Seite welche ok aber weiter so ist damit
die rechte untere Ecke unserer Übersicht abgehakt nach mit Reihenfolge mit Wiederholung jetzt gehen wir mal Kreis um und schauen uns dieses dieses Jahr dieses Element mit Reihenfolge aber ohne Wiederholung was bedeutet bei dem Zahlenschloss würde das bedeuten wir stellen einen Code ein bei dem jede Ziffer nur einmal vorkommen darf also nicht bereits eine zu verwendet hat auf die nächste nicht mehr vorkommen dass wir eine Variante Zärtlichkeiten keine keine realistische na da gut mal wo das vorkommt hier
Validation Sie haben einen Raum mit den Hörsaal hier mit 100 Plätzen zu jetzt haben 100 Leute auf wie viele Arten können sich die Leute hier im Raum hinsetzen Plätze durchnummeriert von 1 bis 100 rund 100 Leute auf wie viele Arten können sich Personen im Raum hinsetzen doch Strategie wenn man so große Zahlen hat das häufig meist kleinere wir also 100 denken wir nicht sondern wir wollen mal am 5 ok wir nur mit 5 Plätzen und 5 Personen auf wie viele Arten weisen können 5 Personen auf 5 Plätze den 2 Minuten Zeit nach benachbarte diskutieren ok was ist Ihre Lösung welche die haben sie mehr das wäre eine Möglichkeiten der ja ah ja ok also ihre globaler auch der ihre Lösung wäre die am 5 freie Plätze die 1. Person also die AG sieht den sozusagen folgendermaßen an 5 Freiplätze eine Person kommt und darf sich irgendwo hinsetzen diese Person hat 5 Möglichkeiten zur Auswahl an setzte sich hin dann kommt die nächste Person hat noch viele Möglichkeiten denn auch das heißt für die 1. 2 Personen zusammen die 1. 5 Möglichkeiten 2. 4 Möglichkeiten haben wir wie viele Möglichkeiten 20 genau 5 mal 4 bis dann die 3. Person hat 3 Möglichkeiten der Inhaber 5 mal 4 mal 3 und so weiter das ist letzlich 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal eine Möglichkeit und die abgekürzte Sprechweise dafür dass 5 Fakultät oder hat jeder von ihnen anders gedacht sie haben 5 freie Plätze Personen kommen 43 1 der 5 aus man kann auch anders denken ja bitte wie würden Sie das mal wir haben das also war die 1. Aktion ok Hey glauben sie betreibt Plätze aber 40 Personen genau wird dann wird's schwierig mit dieser Argumentationsweise kommt 1. 1 3 Plätze aber wer kommt den reichen nur insofern könnte man da anders denken und zwar von den Stühlen aus dem einen Stuhl alle 5 zu lösen und als der 1. Stuhl die wir den Blick und das gucken wir welche Person selbst darauf wie viele Möglichkeit für 5 Personen der 5 neue ist es auf den 1. Stuhl eine von 5 Personen und eingebunden 2. Stuhl an welche mit Personen können jetzt auch drauf setzen viele Möglichkeiten nur einen 3. Stuhl 3 und so weiter mit der Denkweise die so in die Richtung hat sie gedacht nicht genau bei der Denkweise können auf folgendes Problem lösen und 40 Personen 3 Stühle so wurden 1. Stuhl und wie viele Personen können sich da drauf sehr sehr viele Möglichkeiten gibt es 40 Jahre und damit den 2. 39 und beim 3. 38 also alle 3 Stühle besetzt ok 37 Personen keinen Platz gekriegt aber wir wissen auf wie viele Arten weisen sich man aus diesen 40 3 herausnehmen kann den setzt kann genau aber einer bestimmten Reihenfolge das entscheidende okay ist ,komma das auch mal hier am
und Modell an und so habe ich jetzt hier 4 Personen in der Menge ok mein n ist 4 und ich habe viele Stühle zu besetzen also mein K ist auch viel so und das ist genau das gleiche oder so ähnlich wie eben bei den Zahlenschloss mit dem einzigen Unterschied dass sobald sich eine Personen Gesetze zum Beispiel Personen 3 hier in dass die dann nicht mehr zurückgelegt werden an die sitzt er schon so das heißt für die 1. Stelle haben wir viele Möglichkeiten ein 2 3 oder 4 zu 1 und entschieden und haben für die 2. Stelle nur noch 3 Möglichkeiten zur Lucie sie entschieden haben noch 2 Möglichkeiten und am Schluss noch eine Möglichkeit also ergeben sich 4 mal 3 mal 2 mal 1 Möglichkeit ok und das ist viel Fakultät der von Ihnen kennt diese Schreibweise 4 Fakultäten ok das haben die alten sein sich so halbiert werden sie eine bekennt andere nicht also das Fakultät Zeichen bedeutet 4 Fakultäten bedeutet multipliziere alle natürlichen Zahlen die kleine gleich sind miteinander ja also 10 Fakultät für über 7 9 8 7 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 dieses Ergebnis oder 100 Fakultät ist hundertmal 99 mal 8 9 2 7 9 4 6 0 und so weiter bis man dreimal 2 mal 1 ok an der Stelle
spielt Haydn wichtige Begriffe der Mathematik eine Rolle nämlich den der Permutation wenn Sie diese 4 Elemente in 4 3 2 1 10 können Sie die auf unterschiedliche Art und Weise und schreibe nur 4 3 2 1 1 2 3 4 2 3 4 1 1 3 4 2 und so weit und so weit das alles verschiedene Möglichkeiten diese Elemente schreiben ohne Wiederholungen und dann spricht man von einer Mutation also einem durch Mischen von Element jede mögliche Antworten von allen Elementen in der alle Elemente verwendet werden das heißt Permutation diese Elemente das heißt wenn Sie 5 verschiedene Bücher haben den 10 verschiedene Bücher okay sie wollen wissen welche Art Art und Weise kann diese 5 verschiedene Bücher hier hinstellt wer gar nicht wo so 1 bis 2 Buch 3 Bouffier Buch 5 oder Buch 2 Buch 1 Buch 3 Bouffier wo 5 oder Buch eines Buch von 2. war also ich kenne mich alle durchmischen alle diese Aufstellung Möglichkeiten sind Mutationen und wie viele Möglichkeiten gibt es ja für die 1. Stelle habe ich 5 Bücher zur Auswahl für die 2. Stelle dann noch 4 für die 3. Stelle noch 3 noch 2 noch 1 also auch hier wieder 5 Fakultäten Möglichkeit oder allgemein gesprochen bei allen Elementen hab ich n mal 1 1 1 mal im zweimal punkten .punkt mal 2 mal 1 Möglichkeiten also n Fakultät seine diejenigen die
jetzt mit dem Begriff der Fakultät nicht so richtig viel anfangen konnten hier noch mal wie ist das Ding definiert und zwar hat mir schon mal über Rekursion gesprochen das Grundprinzip ist das
folgende das Grundprinzip ist das folgende wenig 5 Fakultät berechnen will ja nicht 5 Fakultät berechnen will dann schaue ich mir mal die Definition hier an und auf der A 1 Fakultät ist eine komische Definition der werden verschiedene Fälle schien aber das kennen wir schon von rekursiven Definition siedeln sich rekursive Definition hatten wir immerhin einen eine kussions Anfang und dann in eines der größeren Schritt man immer 2 Definitionen gewesen bei den Zahlen von ok hier jetzt 3 Fälle für n gleich 0 n gleich 1 unverändert größer ist ok so aber wenn wir n Fakultät berechnen wollen 5 also von in gleich 5 ist dann aber welche der 3 Fälle trifft zu der Unterordner weil in größer 1 also muss ich berechnen n Fakultät ist allen mal n -minus 1 Fakultät also ist gleich fünfmal 5 minus 1 Fakultät also anders gesagt 5 mal -minus 1 ,komma Kopf 4 Fakultät zu jetzt sich 4 Fakultäten ist was ist viel Fakultät welcher Teil der Definition trifft zu denn auch wenn es weiterhin größer als 1 also muss ich wieder die 3. den 3. Teil der Definition nehmen also 5 kommt 4 mal 3 Fakultät 1 ist muss ich 3 Fakultät berechnen sowie den anderen Fall dem das ist 5 4 mal 3 mal 2 Fakultät ok es von nur 2 Fakultät der trifft auch der Fall 2 das ist 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 Fakultät so und jetzt trifft erstmals anderer Fall zu nämlich der mittlere hier für n gleich 1 ist 1 Fakultät gleich 1 ok also müssen wir 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 mal dennoch sehen also haben wir 5 verkohlt jedes 5. 400 1 zu 1 1 1 1 das war tatsächlich der der rekursive Definition so abgesch abgespielt hat er warum ist 0 Fakultät gleich 1 ist eine komische Sache das kann man sich so nicht erklären sondern die Fakultät wird in verschiedenen Kontexten verwendet und in den Kontexten wie man sie verwendet stellt man fest dass es sinnvoll ist nun Fakultät genauso zu definieren es ist eine Definition der Definition des von der frei ganzes einigermaßen sinnvoll definiert so das haben wollen aber den anderen Probleme des Wissen aus und machen sollen und aus pragmatischen Gründen werden wir die als 1 definieren 0 Fakultät gleich 1 und wir werden auch gleich sehen warum ok so jetzt gehen mal
genau auf das Beispiel das Sie vorhin genannt haben sie 40 Personen 3 Spieler der in unserem Fall haben wir jetzt hier zu 9 Personen und 4 Stühle auf wie viele Arten können man die neuen Personen auf die 4 Stühle verteilt ist immer noch im selben denselben fehlt von den 4 Feldern der Arbeitslosen Spezialfall auf diese Art und Weise kann ich die 9 Personen auf 4 Stühle verteilt wer kann weil die Rechnung sagte das Ergebnis kann man den Taschenrechner ausrechnen wie muss ich rechnen 9 Personen auf 4 Stühle welche Möglichkeiten hätten der ja genau 9 8 0 7 6 wie sind Sie darauf gekommen wäre es 1. bei der 1. beim 1. also war die 1. Person 4 Wahlmöglichkeiten der eine auf den 1. Stuhl kündigten ja also theoretisch 9 ich auf einmal natürlich sondern einer von 9 kann so sich zu setzen was aber neue Möglichkeiten für den genau können noch 8 genau auf Schule 9 noch ein 2. Stufe 1 8 6 1 7 6 9 1 7 1 8 7 6 hat jemand eine Idee wie man das mit Fakultät ausdrücken könnte man das diese auf dem Weg zur Formel zur allgemeinen Formen wir haben Plätze allen Personen wie könnte man das mit Fakultät ausdrücken kann man 9 8 1 7 6 Berichten Fakultät ja Vorschlag 9 Fakultät -minus 5 Fakultät dass meine andere dazu der neuen Fakultät durch 5 Fakultät ja da wird oben Bescheid sechsmal auf also das Spiel es wieder ab weil gut das ist klar zu also wir haben noch einmal 8 mal 7 mal 6 wollen wir ausrechnen wer das ist das gleiche wie neuen Fakultät durch 5 Fakultät als Verlierer auf den Bulli wieder drauf und zwar mit
folgender Begründung also wir haben 9 Fakultät durch 5 Fakultät dass das Gleiche wie 9 1 8 mal 7 mal 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 durch 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 Jahr eine vergoldete 5 Fakultäten sind natürlich dass ich genauer diese einzelnen Faktoren der wegkürzen weil die 5 Fakultät der sozusagen der neuen Fakultät enthalten ist und was bleibt übrig 9 8 1 7 6 zur neuen Fakultät der 5 Fakultät aber jetzt habe ich in unserem Beispiel der 9 Personen und 4 Plätze ich ich neuen Fakultät durch 5 Fakultäten wie komme ich auf die 5 nicht sie von der neuen von der Zahl 9 die Anzahl der Plätze ab und lassen wir diejenigen Personen übrig bleiben 5 Jahre das heißt ich muss von der neuen 4 abziehen also 9 Personen -minus 4 Personen die sich hingesetzt haben sind 5 Personen die bleiben übrig die Mission in dem Schreiben das heißt allgemein gesprochen habe ich 9 Fakultät durch durchführen Fakultät und dann die bin ich darauf gekommen nämlich neue Fakultät durch 9 -minus 4 Fakultät Recht das ab
und das führt ein sozusagen zu der allgemeinen Formel ich hab n Elemente und K Plätze zu besetzen die Reihenfolge ist relevant und ich darf nicht wieder zurücklegen dann rechne ich n Fakultät n Fakultät für die Anzahl der Möglichkeiten wenig allen Personen sind Plätze zur Verfügung hätte aber von feststellt n Fakultät muss aber dividieren durch die Fakultät derjenigen Personen die keinen Platz gekriegt haben und das sind äh -minus K wenig K Plätze zu Verfügung also unseren fallen 9 Personen 4 Plätze 9 Fakultät durch 9 -minus 4 n Fakultät oder in Ihrem Fall freuen Sie hatten 40 Personen und 3 Plätze für müsste man dann rechnen genau 40 Fakultät durch 40 -minus 3 in Klammern Fakultät also 40 Fakultät durch 37 Fakultät was nichts anderes ist als 40 mal 39 mal 38 natürlich würde man so denken und so rechne aber ganz allgemein aufschreiben möchte und später weiterzuverarbeiten kann man diese Formel in die so sie
merken werden schrittweise komplexer aber keine Angst aber der nächste Fall baut jetzt auch wieder direkt daran an und zwar wechseln wir jetzt mal folgendes fällt der Wechsel in dieses Feld hier genauso wie eben ich zitiere ich aus einer Urkunde mit allen Elementen K raus durchwegs sie nicht in eine bestimmte Reihe soll ich schmeiß sie auf einen Haufen ok und das völlig egal in welcher Reihenfolge ich die 4 Elemente rausgezogen hat die Schule sie aus der darunter raus legt sie nicht wieder zurück aber liegt sie auf einen Haufen und dieser Haufen ist mein Ergebnis egal in welcher Reihenfolge ich daraus gezogen hat wissen Sie welches Alltagsbeispiele dieser Variante entspricht ganz berühmt ist Sie haben eine ohne sich Zylinder Kugeln raus wegen die und es ganz egal in welcher Reihenfolge sie rausgezogen haben Alltagsbeispiele nur genau wie wir sie haben eine Urne mit 49 Kugeln treffen sie ziehen aus dieser und 6 Kugeln raus glaube ich oder 6 aus 49 genommen Zusatzzahl und so weiter alles das neue also mit den 6 Kugeln raus und es ist mir völlig egal in welcher Reihenfolge sie die rausgezogen haben wenn sie 6 richtige haben haben 6 richtige egal in welcher Reihenfolge die Kolosse ohne gezogen und also die Reihenfolge spielt keine Rolle
sagt ok es steht der sie auf einmal 4 aus 49 drüber das egal ok Lotto ist das
Beispiel das heißt es vom Prinzip her als immer wieder weniger zahlen damit sie neuen zahle sich 49 Leser mit den mit der kleineren Zahl 9 zahlen und ich habe es jetzt hier raus ja also 4 aus neuen gewinnt und es ist ganz egal in welcher Reihenfolge sie in die Welt hier drin irgendwie in diese Boxen diese Ergebnisse Box reingelegt ist völlig egal in welcher Reihenfolge die gezogen wurden die Zahlen 2 3 6 und 7 mit dem gewinnt man egal ob jetzt 7 3 6 2 gezogen von nur 3 7 2 6 oder so das ist so ähnlich wie das Beispiel dass wir eben gerade hatten wir nicht aus den Elementen kam raus aber die Reihenfolge spielt das keine Rolle ich gebe jetzt mal 3 Minuten Zeit um über eine Minute mehr dazu die in 3 Minuten Zeit nach Bremen Nachbarn dazu diskutieren in diesem Beispiel werden 9 Kugeln und 14 aus also nicht 6 aus 49 sondern 4 aus neuen ok bei den Leuten 7 4 raus wie viele Möglichkeiten gibt gibt es viele Kugeln aus 9 rauszuziehen wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt der Raum versteht nicht okay 3 Minuten Zeit ok wie würde man da vorgehen welche Ideen haben Sie wie würde man das Vorgehen ich war wir auch in der Rede Übersicht und ist aus der Schule vielleicht auch andere n über k war das also in diesem Fall ja genau er mir 9 über 4 das wir zu geschrieben ja ohne Bruchstrich kann Bruchstrich man 9 über 4 das war in diesem kann man zieht aus 9 4 raus Reihenfolge spielt keine Rolle wie chatten geht das OK und es gab ein Taschenrechner eingebe gut was bedeuten jetzt 9 über 4 während andere Ideen ok ich wiederhole nur ganz kurz ich habe kurz mit der also wir können von dem ausgehend von der gerade waren wir ziehen 4 aus 9 aber erstmal mit Reihenfolge der genau das in unserem Fall 9 Fakultät über Karten einig über 9 Fakultät durch 5 Fakultät 1 zu 1 dann hätten wir 4 Plätze besetzt mit Reihenfolge so ok ja genau ok ich wiederhole meine laut wichtige Ideen ist ich hab jetzt für eine Situation ich hab jetzt 4 Kugeln aus 9 rausgezogen ok 4 außer rausgezogen aber erstmal mit der Formel oben ist die Reihenfolge erhalten geblieben also da ist jetzt 7 3 6 2 was anderes als 3 6 2 7 und das ist jedoch etwas anderes als 3 2 7 6 oder so so und jetzt müssen wir gucken wir auf wie viele verschiedene Möglichkeiten kann ich in diese 4 Anordnung da haben Sie vorgeschlagen sich 4 Fakultät ne also 7 3 6 2 kann der 4 Fakultäten Möglichkeiten an Ort und ich habe es gibt 4 Fakultät verschiedener Reihenfolgen diese 4 Elemente hatten mir vorhin auch schon mal betrachtet was machen wir der 4 Fakultäten sie multiplizieren das eine Bruchlandung ich werde gefragt genau habe 2 Vorschläge Sibel multiplizieren Sie würden die Gärtner was ist denn das Problem wenn wir jetzt ohne wenn jetzt mal mit der Reihenfolge denken wir also beziehen aus neuen Elementen 4 raus mit Reihenfolge 9 vergoldete Filmfakultät haben wir dann mehr oder weniger Möglichkeiten als wir eigentlich haben wollen wir sagen zu verteidigen sie sich hier beim jetzigen Stand bevor wir jetzt diese 4 verkohlte betrachten es 7 3 6 2 was anderes als 3 6 7 2 und auch noch mal was anderes als 3 2 7 6 genau hier gleiche über Möglichkeiten nicht Wahrscheinlichkeiten genau also wie die Reihenfolge beachten haben wir mehr Möglichkeiten als wir eigentlich haben wollen weil weil Reihenfolge die eigentlich dasselbe bedeuten noch als unterschiedliche gezählt werden ja in diesem Fall werden 7 3 6 2 immer das gleiche wie 3 6 7 2 3 2 3 6 7 oder das heißt wir müssen jetzt dividieren müssten alle doppelten und dreifachen vielfache Möglichkeiten Haus und genau bei 4 bei 4 Kugeln jetzt Fall gibt es 4 Fakultät verschiedene Kombinationsmöglichkeiten alle doppelt auftauchen das heißt wir müssen da durch die DDR das heißt wenn nicht aus den Elementen Carlos Ziele und nicht die Reihenfolge beachten darf beachte ich erst die Reihenfolge das hat mir eben gerade gehabt als 9 Fakultäten Sorgfalt durch 9 -minus 4 Fakultäten und anschließend die die ich noch einmal durch alle die Kombinationsmöglichkeiten die sich durch die Reihenfolge ergeben also insofern 4 Fakultäten Möglichkeiten wie diese Figuren anlaufen können diese doppelt und dreifach Lösung bestand nach außen deswegen wird nochmal dadurch die das ist etwas das muss man durchaus auch mal alleine noch mal durchdenken oder eine Lerngruppe insofern würde ich Ihnen empfehlen ständig die Folie nachher ins Netz das sie sich eine Lerngruppe das auch noch mal durchdenken und an mehreren Zahlenbeispiel und auch in der Übung vielleicht mit dem Foto nochmal besprechen falls die wir denken und so ganz habe ich es noch nicht verstanden ganz allgemein
gesprochen die Medien wir die neuen Fakultät also habe neuen Fakultät durch 5 Fakultäten plädiert also ich 9 -minus 4 Fakultäten nochmal durch 4 Fakultäten und allgemein gesprochen bedeutet n über k ZEN Fakultät mal wenn durch in -minus K Fakultät das aber vorher schon gemacht und nochmal durch K Fakultät mit ganzen doppelten und dreifachen rauszugehen und dazu sagt man n über k n über k bedeutet das Gleiche wie ich will aus allen Elementen K auswählen und die Reihenfolge spielt keine Rolle so es gibt ein paar Regeln auf
wie viele Arten und Weisen kann 0 Elemente aus den Elementen rausholen auf eigene nur es gibt nur eine Möglichkeit 0 Elemente auszuwählen gibt genau eine nämlich Comics raus dass bei allen über 0 müsste 1 rauskommen und das ist auch die Begründung die
zurück warum 0 Fakultät 1 sein muss setzen sie mal K gleich 0 1 n über 0 ist dasselbe wie wenn Fakultät durch n -minus 0 Fakultät bekommt immer n verkohlte draußen mal 0 Fakultät also N über
0 würde bedeuten ich hab hier eine 0 stehen und da eine 0 stehen soll was dann rauskommt ist n Fakultät durch n Fakultät nahe also eine Fakultät durch das haben wir hier in -minus 0 Fakultät ist er wie n Fakultät soll und das muss ich hier hinten mal 0 Fakultät nehmen und wir wissen 1 muss raus rauskommen das heißt es geht gar nicht anders als nur Fakultät 1 wird damit n Fakultät durch n Fakultät auch einst als Gesamtergebnis also über solche
Argumente wofür werden die Formel verwendet definiert man dann dass ich auch meine Fakultät gleich 1 genauso is N über n Fakultät gleich 1 nur wenig Elemente aus allen auswählen kann ich auch genau auf eine Art machen wenn Sie Lotto spielen und sie spielen 49 aus 49 wir haben alle in der 49 er okay weil sie nämlich 49 Kugeln und eine Art und Weise ziehen können ,komma ob das stimmt mit der Formel 1 hier draufpacken es auf
die Formel auf der Folie n mehr zerstört endlich hier n einsetzen kann wie n Fakultät billig aber einer also
wenn einen Kugel aus allen auswählen haben wir n Fakultät durch n -minus n Fakultät mal allen Fakultäten Anwürfe K gleich in einsetzen und auch hier vorne haben wir wieder 0 Fakultät stehen deswegen Fakultät gleich 1 ok und da kommt 1 raus gut doch wenn man das
jetzt in die Formel 1 selbst für die Formel 1 für K 1 in über eigens dann kommt eben raus warum das wenn Sie bei ein wenn sie für K 1 setzen in über 1 kommt immer Auswertefälle Begründung was bedeutet in über 1 Jahr genau also auch da funktioniert die Formel was passiert denn wenn ich aus allen Elementen in -minus 1 Elemente auswählen möchte wie viele Arten weisen die das steht hier auf Erden Weise hat jemand dafür eine Begründung ich will ausziehen Kugeln neuen auswählen und es geht auf genau 10 Möglichkeiten warum viel aus 10 Kugeln 9 auswählen es geht auf genau 10 Möglichkeiten warum gerne Musik genau das gibt hier Möglichkeiten einen nicht mit den das ist genau der selbe Fall hier nur mit der viele einer aus ob ich neuen auswählen und einen der ohne lassen oder ob ich eine rausnehme oder eine auswählen 9. das ist das gleiche wie Barriere sozusagen in 1 und 9 Element das führt einen zu der allgemeinen Erkenntnis dass wir nicht cha Elemente aus denen also so n über k das ist das gleiche ist also wenig N -minus K Elemente aus allen auswählen also Beispiel das ist das Gleiche ob Windows 10 Ellen aus 10 Kugeln 3 auswählen oder 7 das die gleiche Anzahl von Möglichkeiten wenn ich 3 Kugeln aus ohne rausholen bleiben 7 zurück welche davon ausgewählt sind sie erst mal wurscht ob Sie die auswählen die sie rausholen die auswählen lassen galt das heißt in über 3 oder 10 über 30 der Medizin über 7 es gibt genauso viele Arten weisen 3 Kugeln aussehen auszuwählen die 7 Kugeln aussehen so das heißt ja das können Sie sich Ihre sein die Mächtigkeit auch der mathematischen Formel Sprache wenn man weg aber jetzt bin ich hier so schön Regeln definieren wir und später auch beim Rechnen mit diesen Binomialkoeffizienten heißen die n überkam den Binomialkoeffizienten anwenden kann man können einfach irgendwo mal in über entsteht der ganz einfach 1 einsetzen oder wenn sie 10 über 8 ausrichten wollen viele Arten weisen kann ich 8 Kugeln aus 10 auswählen dann ist es einfacher sich zu überlegen ob wir Weise kann nicht 2 ausziehen auswählen und dann einfach seine Ergebnisse ok jetzt
kommen wir zu den 4. Fall und das ist jetzt ein Fall der oft nicht gemacht wird weil er am schwierigsten zu verstehen ist ich versuche mal in einem ganz einfachen Beispiel zu erläutern was verändern wir jetzt eine Situation wo wir tun so als würden wir Lotto spielen aber die Lottokugeln immer wieder zurückfliegen das heißt wir haben den Kugeln aus dem Zylinder welche raustun selber wieder einen und die gezogenen Ergebnisse deren Reihenfolge spielt keine Rolle was sie haben erlauben Wiederholung der unten bei dem Beispiel Quelle Multimedia kommt aber und FF vor aber die Reihenfolge spielt keine Rolle also wie Lotto ziehen um mehrere Zeilen gleichzeitig vorkommen dürfte ein
analoges Beispiel ist sie sind Obsthändler ob sind und sie packen Obst pflücken so ich sag mal das Sonderangebot töten ok 10 Früchte nur für 1 99 ist haben 3 Sorten Früchte sie haben rote Äpfel grüne Äpfel und Birnen zum Beispiel oder was auch immer das ist rote Äpfel grüne Pfründe jetzt haben sie einen Sack nur kommen 10 Früchte tragen wie viele verschiedene Frucht töten kann geben also klar ist könnten fuchtelte mit roten Äpfel zusammenpacken und eine rot-grüne und eine mit gelben Ärzte ergeben wird so oder so machen 4 rote Äpfel und 5 gelbe werden oder 3 grüne Äpfel 3 rote Äpfel und viel Geld und so weiter sie haben eine Urne mit 3 Elementen Apfel roter Apfel Birne sie greifen einen grünen Apfel aus Polen wieder rein also gedanklich sie können werden sie sich dafür beliebig viele Gründe für rausholen sorgt das heißt sie leben nicht wieder zurück aber sie können immer bei jedem dieser 10 Plätze 4 kommt es zu Grünabfällen roter Apfel oder eine Birne ich gebe Ihnen mal 5 Minuten Zeit eine Strategie zu entwickeln wird da drauf kommen könnte ok welche Ideen haben Sie hat jemand von ihr eine Idee hat jemand eine Idee n ok aber ich hatte jetzt was wird kann ist auch eigentlich drauf an dass jetzt merken dass es schwierig ist er setzt keine Idee haben es ist nicht ganz so tragisch weil ich würde vermuten auf die Lösung dieser Aufgabe kommt man nicht so ohne weiteres von selbst ich werde auch nicht raufgekommen gebe es auch einen gewesen wäre also ich geb zu ich bin auch ich selbst drauf gekommen sondern das ist was das muss war der muss ja vielleicht diesen diesen diesen der Knackpunkte muss aber gezeigt bekommen also auf das und so
und der mich darum gemalt und auch das sind 3 Elemente drin also n =ist gleich 3 wir können es Elemente ziehen aber nichts zurücklegen also mit Wiederholungen und die Reihenfolge spielt keine Rolle also das ist eine
mögliche Anordnung das ist
eine mögliche Anordnung
das ist eine andere Anordnung der Steine sprechen dann ist es völlig egal wer diese Dinge können auch durcheinander liegen innerhalb einer innerhalb einer Linie also die Bedenken seines Lebens das gleich Tüte mischt sich das sie durch neue zu dass in so verschiedene Möglichkeiten also das entscheidende ist jetzt wir stellen uns jetzt mal vor auch wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt legen Sie mal so sortiert sind wir wissen aber ok aller alle also dieselbe Reihenfolge wenn die Grünen frühlingsleicht so dass wir das alles nicht Doppeltsehen spielt aber keine Rolle für die Betrachtung 2 Länder in die Reihenfolge in sortiert werden und stellen uns vor wir würden hier Striche machen zwischen als Grenzen zwischen den einzelnen Sorten sie haben also 10 Plätze zu vergeben und die Frage ist wo trennen Sie die Sorten den 2 Striche mit denen sie Sorten trennen können was war deutlich ich habe jetzt sie und mal 12 Lehrer Früchte hingemalt 12 Stück ok und 2 davon Nachricht zum Trennstrich
also ich sage mal hier ist eine Trennung und da ist der Trennung was bedeuten soll dass wir 3 Router haben 1 2 3 4 5 Grüne und 2 gelbe ok das sind 10 3 +plus 5 +plus 2 Szenen ich habe 12 mit 2 davon streiche ganz Trennung so das ist jetzt die Trennung von und die Beschreibung von 3 rote 5 grünen Zweige so ne andere Möglichkeit wäre die Trennung hier zu machen und in der Schweiz und hier zu machen und da dahin zu machen das würde das bedeuten was würde das bedeuten welche Trennung hier machen ja genau einen roten 8 Grüne und einen gelben Mehr sah denn auch so was kann ich noch machen ich kann die Trennung auch hier machen was soll es bedeuten 10 rote genau was würde es bedeuten wenn die Trennung nicht hier machen Bayern und ja nicht oder es ganz eindeutig ne ja 10 Grüne der 1. Trennstrich geht an die Trennung zwischen Rot und Grün Rot gibt es also keine 0 Roter dann kommt der 1. Trennstrich dann kommen die Grünen und dann kommt der Trend Sternkunde gelten für alle grün Geld und 2 Trennstrich letztlich kommt auf diese Reihenfolge gar nicht so genau an diese Trennung sei er dann nur wie viel hab ich von jeder Sorte der 0 1 2 3 4 oder 5 und so weiter ich habe also folgende Aufgabe ich muss aus 12 Früchten nur 12 Plätzen 2 auswählen für die Trennung die Frage ist an welchem dieser 12 Plätze mach ich meine Trennstriche meine 2 das heißt ich wähle aus 12 über 2 ich packe ich ein paar Plätze mehr dazu als ehrlicher Arbeit habe ich 10 ich packe Partner dazu für die Trennungen wie viele Trennungen hat bei 3 Obst sorgen 2 war um 3 Uhr zu unserem durch 2 Trennung um 5 ob es dort zu trennen brauche ich viele Trennungen und so weiter das heißt ich muss von einer Anzahl der Früchte über 1 abziehen das hier hinten ist die Anzahl der Trennung in meinem Fall 2 ok kommt auf 12. ohne und wie viel muss ich auswählen ich muss wieder auswählen 2 nämlich gerade diese Trennstriche die Studie Trennstriche dazu oben und die muss auch wir auswählen 12 über 2 unserem Fall oder allgemein gesprochen ich habe ka Plätze zu vergeben tue N -minus 1 Trennstriche dazu und alle N -minus 1 aus ich hab ka Plätze vergeben 10 Plätze vergeben werden -minus 1 Plätze Parklichter dazu für die Trennstriche und dann werde ich im -minus 1 Trennstrich aus und das ist die Trennung zwischen beiden Sorten und jetzt ist klar dass über die Form des an der rechts Erekat +plus e -minus einzig in 1 oft wird es folgendermaßen angegeben bewegen wir uns jetzt mal zu der Formel die normalerweise angegeben wird ich kann hier oben auch n und K tauschen n +plus kann -minus 1 spiele keine Rolle K +plus N -minus 1 oder endlos kann -minus 1 =ist gleich 1 durch N -minus 1 so und jetzt haben wir vorhin noch eine Regel kennen gelernt beim Binomialkoeffizienten ist es egal ob ich ausziehen 2 oder 8 aus wäre es egal ob ich aus 100 Elementen 3 oder 97 auswählen also 10 über 100 über 3 =ist gleich 100 über 97 oder 10 über 4 =ist gleich über 6 bis 10 über 1 =ist gleich über 9 das heißt in den unteren Teil die beiden Elemente die gleich sind im unteren Teile gibt es jeweils über in das und Jonathan oben ja 10 über eines der Medizin über 9 100 über 20 ist sehr gewundert über 80 +plus kann -minus 1 über N -minus 1 ist dasselbe wie n +plus Kh -minus 1 über K der n +plus Kh -minus einzelne Zahl die umstellt sie über 2 =ist gleich über 8 n +plus kann -minus 1 überein -minus 1 =ist gleich n +plus kalt minus 1 über K das praktisch genau dieser analoge diese symmetrische Fall das
heißt gut allgemeinen Formalisten steht immer darüber eine Überlegung ist sie tun ihren K Plätzen in -minus 1 dazu als Trainer und wählen davon 1 -minus 1 aus also 2 sie könnten aber auch n +plus kam -minus 1 Plätze schaffen also 12 Äpfel und davon 10 auswählen nämlich 10 nicht der gestrichen werden damit werden automatisch 2 andere gestrichen so
wird es noch einmal in der Übersicht darstellt dann aber so Änderungen sind von hier unten rechts losgelaufen das war das Zahlenschloss da gabs n über k n hochkam Möglichkeiten dann sind wir gegangen zu sie zur Sitzplatz Auswahl da keine wir keine Wiederholung Möglichkeiten mehr aber die Reihenfolge spielt weiter eine Rolle dabei dass diese Formel gewesen dann sind wir zum Lottospielen gegangen und mussten hier nochmal dividiert durch die wir doppelt und dreifach und vierfach ausgezogen hatten und schließlich sind wir zu den schwierigsten Fall übergegangen mit Wiederholung ohne Reihenfolge der Obst Beispiele von wir trennen Element hinzufügen mussten um und zwischen einzelnen Sorten zu treffen
Kombinatorik
Mathematik
Strategisches Spiel
Mathematik
Zählen
Hausdorff-Raum
Kombinatorik
Zahl
Computeranimation
Maßeinheit
Multiplikation
Multiplikation
Kombinatorik
Menge
Anordnung <Mathematik>
Element <Mathematik>
Menge
Zahl
Ecke
Computeranimation
Ziffer
Graph
Position
Menge
Rundung
Element <Mathematik>
Extrempunkt
Zahl
Ecke
Computeranimation
Kreis
Ziffer
Multiplikation
Gruppenoperation
Menge
Zahl
Ecke
Computeranimation
Richtung
Permutation
Punkt
Mathematik
Menge
Natürliche Zahl
Fakultät <Mathematik>
Element <Mathematik>
Permutation
Gesetz <Physik>
Computeranimation
Fakultät <Mathematik>
Rekursion
Extrempunkt
Zahl
Computeranimation
Faktorisierung
Feld <Physik>
Homogenes Polynom
Fakultät <Mathematik>
Zahl
Computeranimation
Multiplikation
Zylinder
Reihe
Element <Mathematik>
Menge
Computeranimation
Fakultät <Mathematik>
Element <Mathematik>
Zahl
Computeranimation
Binomialkoeffizient
Fakultät <Mathematik>
Element <Mathematik>
Computeranimation
Element <Mathematik>
Computeranimation
Parametersystem
Computeranimation
Kugel
Fakultät <Mathematik>
Computeranimation
Multiplikation
Mathematik
Zylinder
Binomialkoeffizient
Element <Mathematik>
Rechnen
Menge
Computeranimation
Feuchteleitung
Element <Mathematik>
Computeranimation
Sorte <Logik>
Computeranimation
Linie
Binomialkoeffizient
Element <Mathematik>
Sorte <Logik>
Menge
Zahl
Computeranimation
Diagramm
Sorte <Logik>
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Die Kunst des Zählens
Untertitel Kombinatorik
Serientitel Ausgewählte Kapitel der Mathematik
Teil 07
Anzahl der Teile 08
Autor Totaro, D.
Spannagel, Christian
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/19857
Herausgeber Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHH)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg.

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