Ok, heute geht es um die Kunst des Zählens. Wir wissen ja, Zählen ist sozusagen einer der Ausgangspunkte überhaupt der Beschäftigung mit der Mathematik. Also Kinder, die in die Grundschule kommen, die können schon ganz oft zählen und sie bekennen vielleicht auch bereits die Probleme, die damit verbunden sind,

wenn es dann letztlich später um flexible Rechenstrategien geht, dass man das zählende Rechnen ablöst und so weiter und so weiter. Also zählen als Ausgangspunkt der mathematischen Beschäftigung mit Zahlen. Und vielleicht haben Sie auch schon mal verschiedene Verfahren kennengelernt, wie man bestimmte Dinge geschickt zählt oder nicht nur kennengelernt, sondern auch selbst überlegt.

Jeder kennt die Situation, man hat irgendwie zu Hause eine riesen Flasche mit Münzen drin. Und jetzt will man die zählen. Ganz intuitive Art und Weise, wie zählt man die? So eine Flasche mit Münzen, ich will die zählen.

Was kann man da machen? Wie würden Sie da angehen? Ok, man sortiert die Geldstücke in 10 Cent und 5 Cent und so weiter. Jetzt habe ich da einen Haufen 10 Cent Stücke, was mache ich da? Genau, Sie machen Türmchen.

Mathematisch gesprochen würde man sagen, man bündelt. Also man macht so 10er Türmchen, dann macht man vielleicht 10er Türmchen, dann packt man zusammen zu 10 Türmchen, also 100er Turmblöcken oder so, um anschließend nur die größeren Einheiten zu zählen. Ansonsten zählt man und irgendwann verzählt man sich, dann kann man wieder von vorne anfangen.

Das ist also ein Aspekt der Kunst des Zählens. Also dass man geschickt zählt, dass man Dinge gruppiert. So, und ja, es gibt eine ganze Unterdisziplin der Mathematik, die sich damit befasst. Wie man geschickt zählt. Ok, und damit befassen wir uns heute mit der Kombinatorik.

So, es gibt insgesamt vier Fälle, die man klassischerweise unterscheidet in der Kombinatorik. Wir werden uns jetzt mit diesen vier Fällen nacheinander befassen und jeweils an einem grundlegenden Beispiel uns anschauen.

Links oben nehmen wir mal eine Menge an. Eine Menge, und zwar ganz allgemein A, B, C, D, E, F. Das sind sechs Elemente drin. Ok, und jetzt kann man folgende Dinge tun.

Stellen Sie sich vor, man hat so einen Sack. Ja, so ein Sack, das ist die Menge, und da sind diese Elemente drin. A, B, C, D, E, F. Jetzt kann ich eine bestimmte Anzahl dieser Elemente aus dem Sack rausziehen und neben hin legen.

So auf einen Haufen. Das ist hier mit Menge gemeint. Ich ziehe beispielsweise Elemente A, B, E, F aus diesem Sack heraus und lege sie hin. Jetzt kann ich die nicht nur auf den Haufen legen, sondern ich kann sie auch in eine bestimmte Reihenfolge legen.

Also stellen Sie sich vor, ich habe so einen Sack, nehme ich Elemente raus und lege sie in einer bestimmten Reihenfolge hin. Das heißt, wenn ich dieselben Elemente nehme, in einer anderen Reihenfolge hinlege, hätte ich eine andere Liste von Elementen, eine andere Reihenfolge. Das ist hier unten mit einfach Liste gemeint.

Also, die linke Spalte wird aufgespaltet in zwei Zeilen. Einmal ziehe ich vier Elemente aus meiner Menge heraus und lege sie einfach hin. Das ist ungeordnet, es ist egal in welcher Reihenfolge. Und einmal lege ich sie hin, da spielt die Reihenfolge eine Rolle. Also da wäre hier unten die Reihenfolge A, B, E, F angegeben. Nur da wäre jetzt F, A, E, B was anderes.

Während oben bei der Menge wissen Sie ja erst, die Reihenfolge ist egal. Okay, die Spalte, die mittlere Spalte hier, bedeutet gleichzeitig ohne Wiederholung. Ein Element kann in der Menge oder in der einfachen Liste nur genau einmal vorkommen. Also die Elemente, die ich gezogen habe, die tue ich nicht wieder zurück in den Sack und kann sie nochmal ziehen.

Ich ziehe aus dem Sack und lege entweder ungeordnet oder geordnet hin und tue nichts wieder zurück. Jetzt die rechte Spalte unterscheidet sich von der mittleren Spalte dadurch, dass ich jetzt die gezogenen Elemente wieder zurück tue und wieder ziehen kann.

Ja, in diesem Sinne könnte ich beispielsweise einen Haufen bilden mit Elementen aus der Menge A, B, C, D, E, F als Elemente und da können Elemente auch mehrfach vorkommen. Allerdings auch wieder, da spielt die Reihenfolge keine Rolle.

Oder rechts unten in der Ecke die Liste. Hier können die Elemente mehrfach vorkommen und da spielt die Reihenfolge eine Rolle. Also zwei Listen mit denselben Elementen, aber einer anderen Anordnung wären zwei unterschiedliche Listen. Während bei Multimengen ist es wiederum egal, in welcher Reihenfolge die Elemente vorkommen.

Das sind die vier Fälle, die wir unterscheiden. Einmal ohne Reihenfolge, mit Reihenfolge und ohne Wiederholung und mit Wiederholung. Und diese vier Fälle betrachten wir jetzt im Einzelnen nacheinander. Wir gehen mal in den einfachsten Fall.

Der einfachste Fall, der ist rechts unten die Ecke, die Liste. Und zwar ziehen wir aus unserem Sack, aus der Menge, Elemente mit Wiederholung. Die dürfen also mehrfach vorkommen, aber die Reihenfolge ist entscheidend.

So ein typisches Alltagsbeispiel ist ein Zahlenschloss. Wir wollen jetzt niemanden im Diebstahl unterstellen. Sie haben ihr Fahrrad abgestellt am Heidelberger Hauptbahnhof. Und abgeschlossen, was da eine ganz gute und sinnvolle Sache ist.

Haben aber dummerweise ihren Schlüssel vergessen. Sie wissen nicht mehr genau, wie ihr Zahlenschlüssel war. Sie haben jetzt dieses Schloss hier mit vier Stellen, mit vier Drädchen, an denen man drehen kann. Wenn man seinen Schlüssel vergessen hat, muss man ausprobieren,

wenn man überhaupt keine Ahnung hat. Frage an Sie. Wie viele verschiedene Codes gibt es denn? Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es denn, das Zahlenschloss einzustellen?

Ich gebe Ihnen mal zwei Minuten Zeit, mit Nachbarinnen und Nachbarn zu überlegen, wie viele Möglichkeiten das sind. Okay, so, welche Ideen gibt es?

Was würden Sie sagen? Also ich wiederhole es mal laut wegen der Aufzeichnung. 10 hoch 4, also 10 mal 10 mal 10 mal 10. Warum, wie kommen Sie da drauf?

Okay, ich wiederhole mal kurz. Also beim ersten Rädchen haben Sie zehn Möglichkeiten, stellen Sie irgendwas ein. Und egal, was Sie einstellen, beim zweiten Rädchen können Sie wiederum

zehn verschiedene Möglichkeiten einstellen. Das heißt, Sie können zehn Möglichkeiten kombinieren mit zehn weiteren Möglichkeiten. Okay, wie geht es weiter? Ja, genau.

Also Sie haben da 100 Möglichkeiten mit zwei Rädchen. Dann können Sie wieder jede dieser 100 Möglichkeiten mit dem dritten Rädchen kombinieren. Und da sind wiederum zehn Möglichkeiten drauf. Da haben wir 10 mal 10 mal 10, also 10 hoch 3. Und beim vierten Rädchen 10 hoch 4. Genau. Richtig. Hat jemand eine andere Begründung gefunden, warum es 10 hoch 4 Möglichkeiten sind?

Ja, manchmal denkt man ein bisschen komplizierter, als es sein muss. Welche Zahlen können Sie dann einstellen auf dem Zahlenschloss? Von, bis?

Was ist die kleinste Zahl? Bitte? Also es sind Ziffern von 0 bis 9 drauf auf so einem Zahlenschloss. Also was ist die kleinste Zahl? 0, 0, 0, 0. Und die größte? 9, 9, 9, 9. Wie viele Zahlen sind das? Zehntausend.

Also 9.999 und die Null muss auch dazu. Also 10.000 oder 10 hoch 4. Genau. Das Ganze jetzt mal abstrakt gezeigt am Urnenmodell.

Sie haben hier links eine Urne. Und jetzt haben Sie in Ihrer Menge N, in der Menge, aus der wir ziehen. Sie erinnern sich am Anfang aus dem Sack, da ziehen wir raus. Ich habe am Anfang Sack gesagt, ab sofort sagen wir mal Urne dazu. Aus der Urne, da sind die Elemente Ihrer Menge drin. Und jetzt haben wir hier 10 Elemente von 0 bis 9.

Jetzt ziehen wir aus der Urne raus und legen die Elemente ab. Und zwar hier auf dem Zahlenschloss. Jetzt können wir hier beispielsweise mal ein Element rausziehen, die 7. Schick, oder?

Die 6. Und wir legen es immer wieder zurück, weil, warum legen wir es zurück? Na ja, auf jedem Zahlenschloss kann ich ja jede beliebige Ziffer einstellen, egal welche da vorher schon eingestellt war. Also wenn ich bei der ersten Stelle die 7 eingestellt habe, kann ich auch bei der dritten noch die 7 einstellen. Das spielt ja keine Rolle.

Aber die Reihenfolge ist relevant. Der Code 7671 ist ein anderer Code als der Code 7716 oder 1677. Das heißt, wir haben hier genau den Fall, den ich vorhin beschrieben habe, rechte untere Ecke, mit Wiederholung, also die einzelnen Zahlen können wieder oft mehrfach vorkommen, aber mit Reihenfolge.

Also mit Wiederholung, mit Reihenfolge. Okay, vielleicht an der Stelle mal einen kleinen Dank an die Christine Bescherer, mit der ich auch diese Vorlesung mal, diese eine da mal gemacht hatte, und sie hat mir die Folien zur Verfügung gestellt, die so schick gestaltet sind.

Okay, also wir haben genau ihre Begründung, die Sie vorhin hatten. Bei der ersten Stelle gibt es 10 Möglichkeiten, bei der zweiten gibt es 10, bei der dritten gibt es 10, bei der vierten gibt es 10. Also insgesamt 10 hoch 4 Möglichkeiten. Ich habe also N Element hier links in meiner Urne und habe jetzt an der Stelle 4 Positionen zu besetzen.

Und die zu besetzenden Positionen, die kürzen wir jetzt mal, oder die, fassen wir mal abstrakt, mit k Positionen. Also in dem Fall ist N gleich 10 und k gleich 4. Und wenn man jetzt allgemein mal schaut,

wie viele Möglichkeiten gibt es denn bei N Elementen in der Menge und k zu besetzenden Positionen in der Liste, dann ist die Formel, mit der man das berechnen kann, die Anzahl der Möglichkeiten berechnen kann, ist N hoch k.

In unserem Fall war gerade N gleich 10 und k gleich 4. 10 Elemente in der Menge, k zu besetzenden Positionen. In unserem Fall 4 zu besetzenden Positionen. Dann haben wir 10 hoch k. Für jede Position der k Position habe ich N Möglichkeiten.

Ich habe also N mal N mal N mal N, k mal. Okay, gibt es an der Stelle Fragen von Ihrer Seite? Nee, okay.

Schauen wir weiter. So, jetzt haben wir die rechte untere Ecke in unserer Übersicht abgehakt. Mit Reihenfolge, mit Wiederholung. Jetzt gehen wir mal kreisum und schauen uns dieses Element an. Mit Reihenfolge, aber ohne Wiederholung.

Was bedeutet? Bei dem Zahlenschluss würde das bedeuten, wir stellen ein Code ein, bei dem jede Ziffer nur einmal vorkommen darf. Also wenn ich bereits eine Ziffer verwendet habe, darf die nächste nicht mehr vorkommen. Das wäre eine Variante.

Das ist natürlich keine realistische. Gucken wir mal, wo das vorkommt. Folgende Situation. Sie haben einen Raum wie den Hörsaal hier mit 100 Plätzen. Jetzt haben Sie 100 Leute.

Auf wie viele Arten können sich die Leute hier im Raum hinsetzen? Plätze durchnummeriert von 1 bis 100 und 100 Leute. Auf wie viele Arten können sich die Personen im Raum hinsetzen? Strategie, wenn man so große Zahlen hat, ist häufig mal kleinere nehmen.

Also mit 100 denken wir immer nicht, sondern nehmen wir mal 5. Sie haben einen Raum mit 5 Plätzen und 5 Personen. Auf wie viele Arten und Weisen können sich die 5 Personen auf 5 Plätze setzen?

Ich gebe Ihnen 2 Minuten Zeit mit Nachbarinnen und Nachbarn zu diskutieren. Ok. Was ist Ihre Lösung? Welche Ideen haben Sie?

Das wäre eine Möglichkeit. Ok. Ihre Lösung wiederholen wir laut.

Ihre Lösung wäre, Sie haben 5 freie Plätze. Sie denken folgendermaßen, Sie haben 5 freie Plätze. Eine Person kommt und darf sich irgendwo hinsetzen. Diese Person hat 5 Möglichkeiten zur Auswahl. Sie setzt sich hin.

Die nächste Person hat nur noch 4 Möglichkeiten. Die 1. Person hat 5 Möglichkeiten. Die 2. Person hat 4 Möglichkeiten. Wie viele Möglichkeiten haben wir? 20. Die 3. Person hat 3 Möglichkeiten.

Dann haben wir 5 x 4 x 3 und so weiter. Das heißt 5 x 4 x 3 x 2 x 1 Möglichkeit. Die abgekürzte Sprechweise dafür ist 5 Fakultät. Hat jemand von Ihnen anders gedacht? Sie haben 5 freie Plätze. Eine Person kommt rein und sucht sich einen der 5 aus.

Man kann auch anders rumdenken. Sagen Sie mal die erste Aktion.

Wenn Sie nur 3 Plätze haben, aber 40 Personen.

Dann wird es schwierig mit dieser Argumentationsweise. Die 1. Person hat 3 Plätze. Aber wer kommt denn rein? Insofern könnte man da anders rumdenken. Von den Stühlen aus. Sie haben einen Stuhl.

Alle 5 Stühle sind noch unbesetzt. Den 1. Stuhl nehmen wir in den Blick. Jetzt gucken wir, welche Person setzt da drauf. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 5 Personen? 5. Jetzt sitzt auf dem 1. Stuhl eine von den 5 Personen. Und dann gucken wir den 2. Stuhl an. Welche Personen können sich jetzt noch draufsetzen? 4 Möglichkeiten. Bei dem 3. Stuhl 3 und so weiter.

Mit der Denkweise könnten wir folgendes Problem lösen. Wir haben 40 Personen und 3 Stühle. Jetzt gucken wir den 1. Stuhl an. Wie viele Personen können sich da draufsetzen? Wie viele Möglichkeiten gibt es? 40. Und dann bei dem 2. Stuhl 39. Und beim 3. Stuhl 38.

Dann sind alle 3 Stühle besetzt. 37 Personen haben keinen Platz gekriegt. Aber wir wissen, auf wie viele Art und Weise man sich aus diesen 43 herausnehmen kann und hinsetzen kann. Genau. Aber in einer bestimmten Reihenfolge. Das ist entscheidend. Jetzt gucken wir uns auch mal hier am Urnenmodell an.

Und zwar habe ich hier 4 Personen in der Menge. Mein N ist 4. Und ich habe 4 Stühle zu besetzen. Also mein K ist auch 4. Und es ist genau das gleiche. Oder so ähnlich wie eben bei dem Zahlenschloss.

Mit dem einzigen Unterschied. Dass sobald sich eine Person hingesetzt hat. Zum Beispiel Person 3 hier hin. Dass die dann nicht mehr zurückgelegt wird. Die sitzt ja schon. Das heißt, für die 1. Stelle haben wir 4 Möglichkeiten. 1, 2, 3 oder 4. Jetzt haben wir uns entschieden. Dann haben wir für die 2. Stelle nur noch 3 Möglichkeiten. Sobald wir uns hier entschieden haben.

Noch 2 Möglichkeiten. Und am Schluss noch eine Möglichkeit. Also ergeben sich 4 x 3 x 2 x 1 Möglichkeiten. Und das ist 4 Fakultät. Wer von Ihnen kennt diese Schreibweise? 4 Fakultät?

Okay, interessant. Sie haben sich schon so halbiert irgendwie. Dass die eine Hälfte kennt, die andere nicht. Also das Fakultätzeichen bedeutet. 4 Fakultät bedeutet. Multipliziere alle natürlichen Zahlen. Die kleiner gleich 4 sind miteinander. Also 10 Fakultät wäre.

10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Dieses Ergebnis. Oder 100 Fakultät. Das ist 100 x 99 x 98 x 97 x 96 und so weiter. Bis 3 x 2 x 1. Okay.

An der Stelle spielt ein wichtiger Begriff in der Mathematik eine Rolle. Nämlich den der Permutation.

Wenn Sie diese 4 Elemente nehmen. 4, 3, 2, 1. Dann können Sie die auf unterschiedliche Art und Weisen hinschreiben. 4, 3, 2, 1. 1, 2, 3, 4. 2, 3, 4, 1. 1, 3, 4, 2. Und so weiter und so weiter. Es sind alles verschiedene Möglichkeiten diese Elemente hinzuschreiben. Ohne Wiederholung.

Und dann spricht man von einer Permutation. Also einem Durchmischen von Elementen. Jede mögliche Anordnung von N Elementen in der alle Elemente verwendet werden. Heißt Permutation diese Elemente. Das heißt wenn Sie 5 verschiedene Bücher haben.

Sie haben 5 verschiedene Bücher. Okay. Und Sie wollen wissen in welchen Art und Weisen kann ich diese 5 Bücher hier hinstellen. Dann kann ich Buch 1, Buch 2, Buch 3, Buch 4, Buch 5. Oder Buch 2, Buch 1, Buch 3, Buch 4, Buch 5. Oder Buch 1, Buch 3 und so weiter. Also ich kann die Bücher alle durchmischen.

All diese Aufstellmöglichkeiten sind Permutationen. Und wie viele Möglichkeiten gibt es? Für die erste Stelle habe ich 5 Bücher zur Auswahl. Für die zweite Stelle dann noch 4. Für die dritte Stelle noch 3. Noch 2. Noch 1. Also auch hier wieder 5 Fakultätmöglichkeiten. Oder allgemein gesprochen bei N Elementen habe ich N.

Mal N minus 1. Mal N minus 2. Mal Punkt, Punkt, Punkt. Mal 2 mal 1 Möglichkeiten. Also N Fakultät. Für all diejenigen die jetzt mit dem Begriff der Fakultät noch nicht so richtig viel anfangen konnten.

Hier nochmal wie ist das Ding definiert. Und zwar, wir hatten ja schon mal über Rekursion gesprochen.

Das Grundprinzip ist das folgende. Das Grundprinzip ist das folgende. Wenn ich 5 Fakultät berechnen will. Wenn ich 5 Fakultät berechnen will.

Dann schaue ich mir mal die Definition hier an. Und bei N Fakultät ist das so eine komische Definition. Da werden verschiedene Fälle unterschieden. Aber das kennen wir schon von rekursiven Definitionen. Sie erinnern sich, bei rekursiven Definitionen hatten wir immer einen Rekursionsanfang. Und dann den eigentlichen Rekursionsschritt.

Das waren immer zwei Definitionen gewesen. Bei den Zahlenfolgen. Ok, hier haben wir jetzt 3 Fälle für N gleich 0. N gleich 1. Und für N größer 1. Ok. Wenn wir N Fakultät berechnen wollen. 5. Also wenn N gleich 5 ist.

Welche der 3 Fälle trifft zu? Der untere. Weil N größer 1 ist. Also muss ich berechnen. N Fakultät ist N mal N minus 1 Fakultät. Also ist gleich 5 mal 5 minus 1 Fakultät.

Also anders gesagt 5 mal minus 1 können wir im Kopf. 4 Fakultät. Jetzt muss ich 4 Fakultät wissen. Was ist 4 Fakultät? Welcher Teil der Definition trifft zu?

Genau. N ist weiterhin größer als 1. Also muss ich wieder den dritten Teil der Definition nehmen. Also 5 mal. Jetzt kommt 4 mal 3 Fakultät.

Jetzt muss ich 3 Fakultät berechnen. Also wieder den unteren Fall nehmen. Das ist 5 mal 4 mal 3 mal 2 Fakultät. Ok. Jetzt brauchen wir noch 2 Fakultät. Da trifft auch der untere Fall zu. Das ist 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 Fakultät.

Und jetzt trifft erstmals ein anderer Fall zu. Nämlich der mittlere hier für N gleich 1. Ist 1 Fakultät gleich 1. Also wissen wir 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1.

Sie sehen also 5 Fakultät ist 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1. Wenn man es jetzt mal tatsächlich nach der rekursiven Definition so abgespielt hat. Warum ist 0 Fakultät gleich 1? Das ist eine komische Sache.

Das kann man sich so nicht erklären. Sondern die Fakultät wird in verschiedenen Kontexten verwendet. Und in den Kontexten, in denen man sie verwendet, stellt man fest, dass es sinnvoll ist 0 Fakultät genauso zu definieren. Es ist ja eine Definition. Bei Definitionen ist man ja frei.

Wir haben es jetzt einigermaßen sinnvoll definiert, so wie wir es haben wollen. Bei der Null haben wir ein Problem, da wissen wir nicht so genau, was wir machen sollen. Und aus pragmatischen Gründen werden wir die als 1 definieren. 0 Fakultät gleich 1. Und wir werden auch gleich sehen, warum.

Jetzt gehen wir mal genau auf das Beispiel, das Sie vorhin genannt hatten. Also wir haben 40 Personen und 3 Stühle. In unserem Fall haben wir jetzt hier 9 Personen und 4 Stühle.

Auf wie viele Arten kann man die 9 Personen auf die 4 Stühle verteilen? Wir sind immer noch in dem selben Feld von den 4 Feldern. Aber jetzt im Spezialfall. Auf wie viele Arten und Weisen kann ich die 9 Personen auf 4 Stühle verteilen? Wer kann mal die Rechnung sagen?

Das Ergebnis kann man mit dem Taschenrechner ausrechnen. Wie muss ich rechnen? 9 Personen auf 4 Stühle. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Genau, 9 mal 8 mal 7 mal 6. Wie sind Sie darauf gekommen?

Also die 1. Person hat 4 Wahlmöglichkeiten. Auf den 1. Stuhl können sich 9 auf den 1. Stuhl setzen.

Keiner von 9 kann sich auf den 1. Stuhl setzen. Deshalb haben wir 9 Möglichkeiten. Auf den 1. Stuhl können sich 8 auf den 2. Stuhl setzen. 9 mal 8 mal 7 mal 6. Hat jemand eine Idee, wie man das mit Fakultät ausdrücken könnte?

Wir sind auf dem Weg zur Formel. Wir haben K-Plätze für N Personen. Wie könnte man das mit Fakultät ausdrücken? Wie kann man 9 mal 8 mal 7 mal 6 berechnen mit Fakultät?

Vorschlag 9 Fakultät minus 5 Fakultät. Was meinen die anderen dazu? 9 Fakultät durch 5 Fakultät.

Ich schreibe es mal auf. Jetzt spiele ich es wieder ab. Wir haben 9 mal 8 mal 7 mal 6.

Das ist das gleiche wie 9 Fakultät durch 5 Fakultät. Ich schreibe es mal auf die Folie wieder drauf. Mit folgender Begründung. Wir haben 9 Fakultät durch 5 Fakultät.

Das ist das gleiche wie 9 mal 8 mal 7 mal 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1. Durch 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1.

9 Fakultät durch 5 Fakultät. Dann kürze ich die einzelnen Faktoren weg. Die 5 Fakultät ist in der 9 Fakultät enthalten. Was bleibt übrig? 9 mal 8 mal 7 mal 6. 9 Fakultät durch 5 Fakultät.

Jetzt habe ich in unserem Beispiel 9 Personen und 4 Plätze. Ich will rechnen 9 Fakultät durch 5 Fakultät. Wie komme ich auf die 5? Ich ziehe von der 9 die Anzahl der Plätze ab. Das sind diejenigen Personen, die übrig bleiben.

5. Das heißt, ich muss von der 9 4 abziehen. Also 9 Personen minus 4 Personen, die sich hingesetzt haben, sind 5 Personen. Die bleiben übrig und die muss hier unten hinschreiben. Allgemeingesprochen habe ich 9 Fakultät durch 5 Fakultät.

Wie bin ich darauf gekommen? Ich nehme 9 Fakultät durch 9 minus 4 Fakultätrechner. Das führt einen zu der allgemeinen Formel.

Ich habe n Elemente und k Plätze zu besetzen. Die Reihenfolge ist relevant und ich darf nicht wieder zurücklegen. Dann rechne ich n Fakultät. N Fakultät wäre die Anzahl der Möglichkeiten, wenn ich bei n Personen n Plätze zur Verfügung hätte.

Das haben wir vorhin festgestellt. N Fakultät muss aber dividieren durch die Fakultät derjenigen Personen, die keinen Platz gekriegt haben. Das sind n minus k, wenn ich k Plätze zur Verfügung habe.

In unserem Fall 9 Personen, 4 Plätze, 9 Fakultät durch 9 minus 4 Fakultät. Oder in Ihrem Fall vorhin hatten Sie 40 Personen und 3 Plätze. Wie müsste man dann rechnen? Genau, 40 Fakultät durch 40 minus 3 in Klammern Fakultät.

Also 40 Fakultät durch 37 Fakultät. Was nix anderes ist als 40 mal 39 mal 38. Natürlich würde man so denken und so rechnen. Aber wenn man es mal allgemein aufschreiben möchte, um es dann später weiter zu verarbeiten, dann kann man diese Formel hier nehmen.

Sie merken, wir werden schrittweise komplexer. Aber keine Angst, der nächste Fall baut jetzt auch wieder direkt daran an.

Und zwar wechseln wir jetzt mal in folgendes Feld. Wir wechseln jetzt in dieses Feld hier. Genauso wie eben ziehe ich aus einer Urne mit n Elementen k raus.

Nur ich lege sie nicht in eine bestimmte Reihe, sondern ich schmeiße sie auf einen Haufen. Und es ist völlig egal, in welcher Reihenfolge ich die vier Elemente rausgezogen habe.

Ich hole sie aus der Urne raus, lege sie nicht wieder zurück, aber lege sie auf einen Haufen. Und dieser Haufen ist mein Ergebnis. Und egal, in welcher Reihenfolge ich die Elemente rausgezogen habe. Wissen Sie, welches Alltagsbeispiel dieser Variante entspricht?

Ganz berühmt ist, Sie haben eine Urne, Sie ziehen da Kugeln raus, legen die hin. Und es ist ganz egal, in welcher Reihenfolge Sie sie rausgezogen haben. Alltagsbeispiel? Lotto, genau.

Sie haben eine Urne mit 49 Kugeln drin. Sie ziehen aus dieser Urne 6 Kugeln raus, glaube ich. 6 aus 49, mit Zusatzzahl und so weiter. Also, Sie ziehen 6 Kugeln raus, und es ist völlig egal, in welcher Reihenfolge Sie sie rausgezogen haben.

Wenn Sie 6 richtige haben, haben Sie 6 richtige. Egal, in welcher Reihenfolge die Kugeln aus der Urne gezogen wurden. Also, die Reihenfolge spielt keine Rolle. Wieso steht hier auf einmal 4 aus 49 drüber? Na, ist egal.

Ok, Lotto ist das Beispiel. Das heißt, vom Prinzip her, jetzt nehmen wir mal wieder weniger Zahlen. Wir haben jetzt hier 9 Zahlen, also nicht 49, aber wir legen es uns mal mit einer kleineren Zahl.

9 Zahlen, und ich ziehe jetzt 4 raus. Also, 4 aus 9 gewinnt. Und es ist ganz egal, in welcher Reihenfolge Sie sehen. Die werden jetzt hier drin irgendwie in diese Ergebnisbox reingelegt. Es ist völlig egal, in welcher Reihenfolge die gezogen wurden. Die Zahlen 2, 3, 6 und 7, mit denen gewinnt man.

Egal, ob jetzt hier 7, 3, 6, 2 gezogen wurden oder 3, 7, 2, 6 oder so. Das ist ja so ähnlich wie das Beispiel, das wir eben gerade hatten. Ich ziehe aus N Elementen K raus, aber die Reihenfolge spielt jetzt keine Rolle.

Ich gebe Ihnen jetzt mal 3 Minuten Zeit. Es kommt immer eine Minute mehr dazu. Ich gebe Ihnen 3 Minuten Zeit, mit Nachbarinnen und Nachbarn mal zu diskutieren. In diesem Beispiel, bei 9 Kugeln, und 4 ziehen wir raus, also nicht 6 aus 49, sondern 4 aus 9.

Bei den 9 Kugeln ziehen wir 4 raus. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Kugeln aus 9 rauszuziehen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt?

Ja, der Raum versteht mich. Okay, 3 Minuten Zeit.

Okay, wie würde man da vorgehen? Welche Ideen haben Sie?

Wie würde man da vorgehen?

Da redet man sich vielleicht ein bisschen aus der Schule dran. N über K war das, also in diesem Fall 9 über 4. Das wird so hingeschrieben. Ohne Bruchstrich. Keinen Bruchstrich machen.

9 über 4. Das war in diesem Bekannt, man zieht aus 9 4 raus. Reihenfolge spielt keine Rolle. Auf wie viele Möglichkeiten gibt es? Okay, und jetzt kann man in den Taschenrechner eingeben. Was bedeutet denn jetzt 9 über 4?

Oder werden andere Ideen?

Okay, ich wiederhole mal ganz kurz. Ich schreibe mal kurz mit. Also, wir können von dem ausgehen, wo wir gerade waren. Wir ziehen 4 aus 9, aber erst mal mit Reihenfolge. Genau. Und das wäre in unserem Fall 9 Fakultät über, Quatsch, endlich über, 9 Fakultät durch 5 Fakultät.

Dann hätten wir 4 Plätze besetzt. Mit Reihenfolge. So, okay. Ja, genau.

Okay, ich wiederhole noch mal laut. Richtig Ideen. Ich habe jetzt folgende Situation. Ich habe jetzt 4 Kugeln aus 9 rausgezogen. Okay, 4 aus 9 rausgezogen. Aber erst mal mit der Formel hier oben ist die Reihenfolge erhalten geblieben.

Also da ist jetzt 7, 3, 6, 2 was anderes als 3, 6, 2, 7. Und das ist wiederum was anderes als 3, 2, 7, 6 oder so. Und jetzt müssen wir gucken, auf wie viele verschiedene Möglichkeiten kann ich denn diese 4 anordnen.

Da haben Sie vorgeschlagen, das sind 4 Fakultät. Also 7, 3, 6, 2 kann ich auf 4 Fakultätmöglichkeiten anordnen. Es gibt 4 Fakultät verschiedene Reihenfolgen dieser 4 Elemente. Das hatten wir vorhin auch schon mal betrachtet. Was machen wir jetzt mit der 4 Fakultät? Sie haben vorgeschlagen, wir multiplizieren das an den Bruchrandwerk.

Genau, wir haben jetzt 2 Vorschläge. Sie würden multiplizieren, Sie würden dividieren. Was ist denn das Problem, wenn wir jetzt mal mit Reihenfolge denken?

Also wir ziehen aus 9 Elementen 4 raus mit Reihenfolge. 9 Fakultät durch 5 Fakultät. Haben wir dann mehr oder weniger Möglichkeiten, als wir eigentlich haben wollen.

Ja, sagen Sie es? Jetzt verteidigen Sie sich. Beim jetzigen Stand, bevor wir jetzt diese 4 Fakultät betrachten,

ist 7, 3, 6, 2 was anderes als 3, 6, 7, 2. Und auch nochmal was anderes als 3, 2, 7, 6. Wir rechnen über Möglichkeiten, nicht Wahrscheinlichkeiten.

Genau. Also wenn wir die Reihenfolge beachten, haben wir mehr Möglichkeiten, als wir eigentlich haben wollen. Weil Reihenfolgen, die eigentlich dasselbe bedeuten, doch als unterschiedliche gezählt werden.

In unserem Fall wäre 7, 3, 6, 2 immer noch das gleiche wie 3, 6, 7, 2 oder 2, 3, 6, 7 oder so. Das heißt, wir müssen jetzt dividieren. Wir müssen alle doppelten und dreifachen und vierfachen Möglichkeiten rausholen. Und genau, bei vier Kugeln jetzt in dem Fall gibt es 4 Fakultät,

verschiedene Kombinationsmöglichkeiten, die alle doppelt auftauchen. Das heißt, wir müssen dadurch dividieren.

Das heißt, wenn ich aus N Elementen K rausziehe und nicht die Reihenfolge beachten darf, beachte ich erstmal die Reihenfolge. Das hatten wir eben gerade gehabt, als 9 Fakultät in unserem Fall durch 9-4 Fakultät. Und anschließend dividiere ich nochmal durch all die Kombinationsmöglichkeiten,

die sich durch die Reihenfolge ergeben. Also in unserem Fall haben wir 4 Fakultätmöglichkeiten, wie wir diese vier Kugeln anordnen können. Diese doppelten und dreifachen Lösungen würde ich nochmal rausnehmen. Deswegen wird nochmal dadurch dividiert. Das ist etwas, das muss man durchaus auch mal alleine nochmal durchdenken oder in der Lerngruppe.

Insofern würde ich Ihnen empfehlen, ich stelle die Folie nachher ans Netz. Dass Sie sich in der Lerngruppe das auch nochmal durchdenken, an mehreren Zahlen beispielen und auch in der Übung vielleicht mit dem Tutor nochmal besprechen, falls Sie denken, so ganz habe ich es jetzt noch nicht verstanden.

Ganz allgemein gesprochen dividieren wir die neuen Fakultät. Also wir haben gerade die neuen Fakultät durch 5 Fakultät dividiert, also durch 9-4 Fakultät und nochmal durch 4 Fakultät. Und allgemein gesprochen bedeutet N über K,

dasselbe wie N Fakultät, mal, dann dividieren wir durch N-K Fakultät, das haben wir vorhin schon gemacht, und nochmal durch K Fakultät, um die ganzen doppelten und dreifachen rauszunehmen. Und dazu sagt man N über K.

N über K bedeutet das gleiche wie, ich will aus N Elementen K auswählen. Und die Reihenfolge spielt keine Rolle.

So, jetzt gibt es ein paar Regeln.

Auf wie viele Arten und Weisen kann ich 0 Elemente aus N Elementen rausholen? Auf eine. Es gibt nur eine Möglichkeit, 0 Elemente auszuwählen.

Es gibt genau eine, nämlich ich tue nichts raus. Das heißt, bei N über 0 müsste 1 rauskommen. Und das ist jetzt auch die Begründung, ich gehe nochmal zurück, warum 0 Fakultät 1 sein muss. Setzen Sie mal für K gleich 0 ein. N über 0 ist dasselbe wie N Fakultät durch N-0 Fakultät.

Da kommt nochmal N Fakultät raus, mal 0 Fakultät. Also N über 0 würde bedeuten, ich habe hier eine 0 stehen und da eine 0 stehen. So, was dann rauskommt ist N Fakultät durch N Fakultät mal.

Also N Fakultät durch. Jetzt haben wir hier N-0 Fakultät, dasselbe wie N Fakultät. Und jetzt muss ich hier hinten mal 0 Fakultät nehmen. Und wir wissen, 1 muss rauskommen. Das heißt, es geht gar nicht an, dass das 0 Fakultät 1 wird,

damit N Fakultät durch N Fakultät auch 1 als Gesamtergebnis liefert. Also über solche Argumente, wofür werden die Formel verwendet, definiert man dann tatsächlich auch 0 Fakultät gleich 1. Genauso ist N über N Fakultät gleich 1. Wenn ich N Elemente aus N auswähle, kann ich auch genau auf eine Art machen.

Wenn Sie Lotto spielen und sie spielen 49 aus 49, haben alle immer 49 richtige. Weil sie nämlich 49 Kugeln aus 49 auf genau eine Art und Weise ziehen können. Gucken wir mal, ob das stimmt mit der Formel.

Ich hätte die noch mal hier draufpacken müssen, auf die Formel. N über N. Wenn wir jetzt hier für N hier N einsetzen, dann haben wir N Fakultät durch, wenn wir N Kugeln aus N auswählen, dann haben wir N Fakultät durch N minus N Fakultät mal N Fakultät,

wenn wir für K gleich N einsetzen. Und auch hier vorne haben wir wieder 0 Fakultät stehen, weswegen N Fakultät gleich 1 sein muss.

Okay, auch da kommt 1 raus. Wenn man das jetzt in die Formel einsetzt,

wenn man die Formel 1 für K einsetzt, N über 1, dann kommt N raus. Warum das? Wenn Sie für K einsetzen, N über 1, kommt N raus. Wer hat da für eine Begründung?

Was bedeutet N über 1? Ja, genau. Also auch da funktioniert die Formel. Was passiert denn, wenn ich aus N Elementen N minus 1 Elemente auswählen möchte?

Auf wie viele Arten und Weisen geht das? Da steht hier auf N Weisen. Hat jemand da für eine Begründung? Ich will aus 10 Kugeln 9 auswählen. Und das geht auf genau 10 Möglichkeiten. Warum?

Ich will aus 10 Kugeln 9 auswählen. Das geht auf genau 10 Möglichkeiten. Warum? Ja, nochmal Sie?

Genau, es gibt 10 Möglichkeiten eine nicht mitzunehmen. Das ist genau derselbe Fall wie hier. Ich wähle eine aus. Ob ich 9 auswähle und eine in der Urne lasse, oder ob ich eine rausnehme oder eine auswähle und 9 drin lasse, ist das gleiche. Ich separiere sozusagen in 1 und 9 Elemente.

Das führt einen zu der allgemeinen Erkenntnis, dass wenn ich K Elemente aus N auswähle, also N über K, dass das das gleiche ist, als wenn ich N minus K Elemente aus N auswähle.

Also Beispiel, es ist das gleiche, ob wenn ich aus 10 Kugeln 3 auswähle oder 7. Das ist die gleiche Anzahl von Möglichkeiten. Wenn ich 3 Kugeln aus der Urne raushole, bleiben 7 zurück.

Welche davon ausgewählt sind, ist ja erstmal wurscht. Ob sie die auswählen, die sie rausholen, oder die auswählen, die sie drin lassen, ist egal. Das heißt, N über 3 oder 10 über 3 ist dasselbe wie 10 über 7. Es gibt genauso viele Art und Weisen, 3 Kugeln aus 10 auszuwählen, wie 7 Kugeln aus 10.

Das heißt, jetzt können Sie sehen, hier sozusagen die Mächtigkeit auch der mathematischen Formelsprache. Dann kann man jetzt nämlich hier so schön Regeln definieren, die man später auch beim Rechnen mit diesen binomial-Koeffizienten heißen, die N über K mit den binomial-Koeffizienten anwenden kann.

Wenn irgendwo mal N über N steht, dann können Sie einfach 1 dafür einsetzen. Oder wenn Sie 10 über 8 ausrechnen wollen, auf wie viele Art und Weisen kann ich 8 Kugeln aus 10 auswählen, dann ist es einfacher sich zu überlegen, auf wie viele Art und Weisen kann ich 2 aus 10 auswählen

und dann einfach selbe Ergebnis. Okay, jetzt kommen wir zu dem vierten Fall. Und das ist jetzt ein Fall, der oft nicht gemacht wird,

weil er am schwierigsten zu verstehen ist. Ich versuche mal, Ihnen an einem ganz einfachen Beispiel zu erläutern.

Was verändern wir jetzt an der Situation? Wir tun so, als würden wir Lotto spielen, aber die Lottokugeln immer wieder zurücklegen. Das heißt, wir haben N Kugeln, aus denen ziehen wir welche raus, tun sie aber wieder rein, und die gezogenen Ergebnisse deren Reihenfolge spielt keine Rolle.

Also wir erlauben Wiederholung. Hier unten bei der Multimenge kommt A, A und F, F vor, aber die Reihenfolge spielt keine Rolle. Also wie Lotto ziehen, wo mehrere Zahlen gleichzeitig vorkommen dürfen. Ein analoges Beispiel ist, Sie sind Obsthändler.

Obsthändler und Sie packen Obsttüten. Sonderangebotstüten. Zehn Früchte nur für 1,99.

Jetzt haben Sie drei Sorten Früchte. Sie haben rote Äpfel, grüne Äpfel und Birnen zum Beispiel. Oder was auch immer das ist. Rote Äpfel, grüne Äpfel und Birnen. Jetzt haben Sie einen Sack, da kommen zehn Früchte rein.

Wie viele verschiedene Fruchtüten kann es geben? Also klar ist, Sie könnten eine Fruchtüte nur mit roten Äpfeln zusammenpacken. Und eine nur mit grünen Äpfeln. Und eine nur mit gelben Birnen.

Oder Sie machen vier rote Äpfel und fünf gelbe Birnen. Oder drei grüne Äpfel, drei rote Äpfel und vier gelbe Birnen und so weiter. Sie haben eine Urne mit drei Elementen. Grüne Äpfel, rote Äpfel und Birne.

Sie greifen einen grünen Apfel raus und tun ihn wieder rein. Sie können einfach beliebig viele grüne Äpfel rausholen. Das heißt, Sie legen nicht wieder zurück. Aber Sie können bei jedem dieser zehn Plätze für Ihre Tüte entscheiden. Kommt jetzt ein grüner Apfel hin, ein roter Apfel oder eine Birne.

Ich gebe Ihnen mal fünf Minuten Zeit. Eine Strategie zu entwickeln, wie man da drauf kommen könnte. Okay, welche Ideen haben Sie? Hat jemand von Ihnen eine Idee?

Hat jemand eine Idee? Okay, ich verrate Ihnen jetzt etwas. Mir kam es jetzt auch eigentlich darauf an, dass Sie jetzt merken, dass es schwierig ist.

Wenn Sie jetzt keine Idee haben, ist das nicht ganz so tragisch. Weil ich würde vermuten, auf die Lösung dieser Aufgabe kommt man nicht so ohne Weiteres von selbst. Ich werde auch nicht darauf gekommen. Ich habe mir das auch angelesen.

Also ich gebe zu, ich bin da auch nicht selbst drauf gekommen. Da muss man vielleicht den Knackpunkt mal gezeigt bekommen. Passen Sie auf. Das ist unsere Urne. Die habe ich da oben mal hingemalt. Urne, okay. Da sind drei Elemente drin.

Also N ist gleich 3. Wir können das Elemente ziehen, aber mit Zurücklegen, also mit Wiederholung. Und die Reihenfolge spielt keine Rolle. Also das ist eine mögliche Anordnung. Das ist eine mögliche Anordnung. Das ist eine Anordnung. Von Anordnung darf ich gar nicht sprechen. Das ist völlig egal.

Diese Dinge können auch durcheinander liegen innerhalb einer Linie hier. Also die Binnen können jetzt auch links liegen. Das ist ja das gleiche. In der Tüte mischt sich das eh durch. Das sind so verschiedene Möglichkeiten. Das Entscheidende ist jetzt, wir stellen uns jetzt mal vor,

auch wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, wir legen sie mal so sortiert hin. Wir wissen aber, okay, also dieselbe Reihenfolge, wenn die Grünen links oder rechts liegen würden oder so, das wäre dasselbe, es dürfte nicht doppelt sein, spielt aber keine Rolle. Für die Betrachtung legen wir es jetzt mal in die Reihenfolge hin, sortiert hin und stellen uns vor, wir würden hier Striche machen.

Also Grenzen zwischen den einzelnen Sorten. Sie haben also 10 Plätze zu vergeben. Und die Frage ist, wo trennen Sie die Sorten? Sie haben zwei Striche, mit denen Sie die Sorten trennen können.

Ich mache es mal deutlich. Ich habe jetzt hier unten mal 12 leere Früchte hingemalt. 12 Stück. Und zwei davon mache ich zu einem Trennstrich.

Ich sage mal, hier ist eine Trennung und da ist eine Trennung. Was bedeuten soll, dass wir 3 rote haben, 1, 2, 3, 4, 5 grüne und 2 gelbe.

Das sind 10. 3 plus 5 plus 2 ist 10. Ich habe ja 12 Früchte hingemalt, 2 davon streiche ich weg als Trennung. Das ist jetzt die Trennung von, oder die Beschreibung von 3 rot, 5 grün, 2 gelb.

Eine andere Möglichkeit wäre, die Trennung hier hin zu machen und da hin zu machen. Was würde das bedeuten?

Wenn ich die Trennung hier hin mache? 1 roten, 8 grüne und 1 gelben. Was kann ich noch machen?

Ich könnte die Trennung auch hier hin machen. Was würde das bedeuten? 10 rote. Was würde es bedeuten, wenn ich die Trennung hier hin mache? Da hin und da hin.

Nicht oder? Das ist ganz eindeutig. 10 grüne. Der 1. Trennstrich gibt an die Trennung zwischen rot und grün. Rot gibt es also keine, 0 rote.

Dann kommt der 1. Trennstrich, dann kommen die grünen, dann kommt der Trennstrich, dann kommen die gelben. Also immer rot, grün, gelb und 2 Trennstriche. Letztlich kommt es auf diese Reihenfolge gar nicht so genau an. Diese Trennung sagt einem nur, wie viel habe ich von jeder Sorte.

0, 1, 2, 3, 4 oder 5 und so weiter. Ich habe also folgende Aufgabe. Ich muss aus 12 Früchten oder aus 12 Plätzen 2 auswählen für die Trennung.

Die Frage ist, an welchen dieser 12 Plätze mache ich meine Trennstriche, meine 2?

Das heißt, ich wähle aus 12 über 2. Ich packe ein paar Plätze mehr dazu, als ich eigentlich habe.

Eigentlich habe ich ja nur 10. Ich packe ein paar mehr dazu für die Trennungen. Wie viele Trennungen habe ich bei drei Obstsorten? 2. Um 3 Obstsorten zu trennen, brauche ich 2 Trennungen. Um 5 Obstsorten zu trennen, brauche ich 4 Trennungen und so weiter.

Das heißt, ich muss von meiner Anzahl der Früchte immer eins abziehen. Das hier hinten ist die Anzahl der Trennungen. In meinem Fall 2. Okay, da komme ich auf 12 da oben. Und wie viele muss ich auswählen? Ich muss wieder auswählen 2, nämlich gerade diese Trennstriche.

Ich tue die Trennstriche dazu oben und die muss ich auch wieder auswählen. 12 über 2 in unserem Fall. Oder allgemein gesprochen, ich habe K Plätze zu vergeben,

tue N-1 Trennstriche dazu und wähle N-1 aus.

Ich habe K Plätze zu vergeben, 10 Plätze zu vergeben, N-1 Plätze packe ich dazu für die Trennstriche und dann wähle ich da N-1 Trennstriche aus. Und das ist die Trennung zwischen meinen Sorten. Und jetzt ist klar, schauen Sie mal die Formel jetzt hier an.

Hier rechts, K plus N-1 durch N-1. Oft wird es folgendermaßen angegeben. Wir bewegen uns jetzt mal zu der Formel, die normalerweise angegeben wird. Ich kann hier oben auch N und K tauschen. N plus K minus 1. Das spielt keine Rolle, K plus N minus 1 oder N plus K minus 1 ist das Gleiche.

Durch N minus 1. So, und jetzt haben wir vorhin noch eine Regel kennengelernt beim Binomial-Koeffizienten. Es ist egal, ob ich aus 10, 2 oder 8 auswähle.

Es ist egal, ob ich aus 100 Elementen 3 oder 97 auswähle. Also 100 über 3 ist das Gleiche wie 100 über 97. Oder 10 über 4 ist das Gleiche wie 10 über 6. 10 über 1 ist das Gleiche wie 10 über 9.

Das heißt, in dem unteren Teil, die beiden Elemente die gleich sind, in dem unteren Teil ergibt es jeweils immer N, das ist die O-Zahl oben. 10 über 1 ist dasselbe wie 10 über 9. 100 über 20 ist dasselbe wie 100 über 80.

N plus K minus 1 über N minus 1 ist dasselbe wie N plus K minus 1 über K. Denn N plus K minus 1 ist die Zahl, die oben steht. 10 über 2 ist das Gleiche wie 10 über 8.

N plus K minus 1 über N minus 1 ist das Gleiche wie N plus K minus 1 über K. Das ist praktisch genau dieser analoge Fall, dieser symmetrische Fall.

Das heißt, hier nochmal allgemein, für Formalisten steht hier immer drüber, die Überlegung ist, sie tun zu ihren K-Plätzen N minus 1 dazu als Trenner

und wählen davon N minus 1 aus, also 2. Sie könnten aber auch N plus K minus 1 Plätze schaffen, also 12 Äpfel, und davon 10 auswählen, nämlich 10, die nicht weggestrichen werden. Damit werden automatisch zwei andere weggestrichen.

Wenn man das nochmal in der Übersicht darstellt, dann, Zur Erinnerung, wir sind von hier unten rechts losgelaufen, das war das Zahlenschloss.

Da gab es N hoch K Möglichkeiten. Dann sind wir gegangen zur Sitzplatzauswahl. Da hatten wir keine Wiederholungsmöglichkeit mehr, aber die Reihenfolge spielte weiterhin eine Rolle. Da war das diese Formel gewesen.

Dann sind wir zum Lottospielen gegangen und mussten hier nochmal dividieren durch diejenigen, die wir doppelt und dreifach und vierfach rausgezogen hatten. Und schließlich sind wir zu dem schwierigsten Fall übergegangen, mit Wiederholung ohne Reihenfolge, dem Obstbeispiel, wo wir Trennelement hinzufügen mussten, um zwischen den einzelnen Sorten zu trennen.