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Taxigeometrie

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ok heute beschäftigen uns mit Taxi Geometrie und ich habe so eine kleine Story am anfang mitgebracht um das Problem aufzureißen und zwar so hat neulich mal
einen Mathematik Kongress in Mannheim stattgefunden ja ok das Fantasy-Story also nicht wirklich stattgefunden Kongress in Mannheim und da ist Mathematiker von weit angereisten zwar nicht aus Luxemburg sondern noch viele weitere Jahre der kam aus Griechenland
sorgt Mathematiker so typisch Mathematiker mit Bart und so ein bisschen nachdenklich hält der ist zudem Mathematikerkongress nach Mannheim gereist und daraus macht man sozusagen wenn man ankommt in Mannheim und will erst mal ins Hotel und steht also am Bahnhof und will ins Hotel und wenn man sich nicht auskennt in dem fremden Land ist die einfachste Variante im Taxi zu nehmen doch am Bahnhof stehen noch
jede Menge Taxen um war kann man sich als greifen in der Regel muss man das gehen das ganz vorne steht und das macht der Mathematiker auch werde gilt als ersetzt Weltformel zu denjenigen der da vorne sitzt
und es ist sowieso ein seltsamer Taxifahrer in dem man sich sehr komisch wenn man einmal sieht aus wie der Akademiker der eben kein Job gekriegt hat okay aber er fährt Taxi also dass es eben sehr gut das Schicksal vieler Mathematiker ok vielleicht auch Mathematiker kann schlechtberaten ok also der Mathematiker Taxifahrer rechts der sitzt im Taxi und fragt also wo es hingeht und der Mathematiker in Mathematiker sagt ja ich bin zum Teil und weil der Mathematiker der zentrale Hotel will auch gleich immer als Mathematiker aber steckt das er nicht über das Ohr gehauen wird im fremden Land wenn wir ja nicht zu viel zahlen das Taxi und so und die Taxifahrer die fahren ja vielleicht auch mal irgendwie kleinen Umwegen bisschen dazu verdienen also um alle diese aus dem Weg zu gehen aber schon im Kopf überschlagen wie viel es etwa kosten das ist okay so und was kriegt der raus 12 Euro müsse ungefähr kosten los Behälter so für sicheres Fahren der sich mit dem Taxi zum Hotel und der Hotel angekommen sagt der Taxifahrer 20
Euro sagt der Mathematiker will ich hab das überschlagen es kann höchstens 12 Euro kosten vielleicht 13 oder so aber eigentlich nicht mehr als 12 nach der anderen Mail schon richtig so ich war keine Umwege und so wurde es verbietet mir meine Berufsehre sondern ich bin den kürzesten Weg gefahren unter 20 Euro Prozent oder kürzer geht nicht sagt der in Mathematik in dem Moment also ich bezeichne sie mal auf als in der Lösung bleibt hier das also was
auch aber die Kunden oder Konferenz Bahnhof begann und ich zum Hotel war okay und wenn ich von A nach B will dann ist der kürzeste Weg weist man die Strecke zwischen diesen beiden Punkten ist die Strecke die beiden Punkte verbinden die Länge dieser Strecke der Länge des kürzesten X also bitte wenn Sie schon hier waren in diesem Sinne und der kostet 12 Euro mehr wurde kommt
das Taxi fahren sagt er tut mir leid Herr scheint kann verstehen sind ortsunkundigen ok aber wenn ich jetzt von A A nach B will dann kann ich den Weg den Sie vorgeschlagen haben gar nicht fahren sondern ich zeige mal wie ich gefahren bin ich bin zugefahren hier ja warum na ja ich kenne
den Stadtplan von Mannheim und ich kann leider nicht durch Häuser durch durchfahren das heißt ich muss die Straßen entlang fahren und ist in die Innenstadt von Mannheim die sie zu schönen systematisch aus nur dass man kann sie sind 2 kleine Rechteck aber man kann sich vorstellen dass kleine Quadrate sind okay das ist die Straßen sind so relativ rechtwinklig quadratisch angeordnet und gleich die Straßenbahn fahren sehr viel kostet 20 Euro und jetzt sind wir mittendrin in einer anderen Geometrie in der andere Abstand Maßregeln der Abstand zweier Punkte sowie in der Mathematiker gefasst hat als streck als Länge der der Strecke dabei wie die beiden Punkte verbindet dieser Abstände dieses Abstands gilt nicht sondern hier gilt ein Abstand zum Mars dass die Länge des kürzesten Weges letztlich bestimmt über die Länge der Strecke entlang der Straße und diese Geometrie bezeichnet man als Taxi Geometrie über das Halten Taxis ist nebenbei bemerkt manchmal wird ja auch als Mensch hätte Geometrie oder der Abschied als hätten Abstand bezeichnet einfach weil mal in den sieht ähnlich aus wie man Mannheim ja an der Stelle kann man sich fragen warum melden oder man hätte in Mannheim ja ob das in Manila vielleicht auch so aussieht ok so
auch Taxi Geometrie wird folgendermaßen Sie haben hier wird so getan Netz von Straßen nach und diese die Linien wie Sie hier sehen die er eigentlich endlich weiter das heißt es sind gerade die Kammern bezeichnen als Taxi gerade ok und es gibt Taxi gefahren wird in 2 verschiedene Richtungen verlaufen wenn Sie so wollen und die Taxi geraden Weg kreuzen sich dementsprechend auch und das die Kreuzungen der Straßen und die Kreuzungen werden als Taxi .punkt bezeichnet und damit haben wir die 2 wesentlichen Komponenten die man braucht um eine Geometrie zu begründen nämlich geraten und .punkt ok gerade Punkte sind die wesentlichen Komponenten einer Geometrie sein es kann man mal überlegen was bedeutet das einen Abstand zwischen 2 Taxi .punkt zu bestehen also ein grade gesehen der Abstand zwischen 2 Zeitachse Punkten das geht nicht so dass man die Strecke die Verbindungsstrecke einzeichnet sondern man muss entlang der Taxi geraten sich bewegen können wir gucken wie kann sie es wissen .punkt also .punkt willkommene gibt es viele Möglichkeiten zum Beispiel die Frage 3 Clemens dafür nach oben und 1 nach rechts die Länge dieses Weges beträgt 8 zu 8 Einheiten 8 Blöcke oder sowas und was sagen Sie zu den Weg nach Bislich der kürzeste genau das heißt es gibt kürzer wir können wir zum Beispiel kürzer fahren so jetzt habe ich eine Weglänge 6 gibt noch kürzer Mehr ok geht nicht kürzer aber ich muss auf jeden Fall 2 nach links und 4 nach oben egal wie viele es gibt eine andere Variante ich die Länge 6 fahren kann so beispielsweise ja oder man andere einzuzeichnen könnte auch sofort oder so oder so ja es gibt verschiedene Möglichkeiten und alle haben die Ränge 6 so das heißt es gibt werden wir also gibt unendlich viele Wege von A nach B gibt unendlich viele Wege von A nach B es gibt eine bestimmte Anzahl von wegen I am kürzesten sind und die Länge der kürzesten Wege die bezeichnen als Taxi Abstand ok also am Taxi geraden Jahren Taxi Punkte und die Länge des kürzesten Weges zwischen 2 taxiert Punkten entlang der Taxi gerade als Taxi Abstand also die beiden Punkte ja mit Taxi Abstand von 6 okay wir mittags der Abstand der beiden Punkte beträgt 6 weil die Länge des kürzesten Weges zwischen diesen beiden Taxi .punkt entlang der Achse geraten Länge 6 doch jetzt gibt es
viele verschiedene Aufgaben die wir mal gemeinsam lösen können als 2 Punkte A und B dass wir mal gucken wie groß ist denn der Taxi Abstand zwischen A und B im Besitz der 8 8 Einheiten 8 Längeneinheit genau wie haben Sie gesagt wie sind Sie gefahren dass sie so wie losgefahren ok ja kann man machen wenn es waren hier so und dann so ok andere Wege wie auch die Länge 8 haben ja nur so können auch andere Möglichkeiten noch eine welche Möglichkeiten es noch mit 8 Jahren im Zickzack allenfalls mit Zickzack oder mir genau das kann irgendwie Zickzack fahren ich muss immer aufpassen nicht über die 3 rauszukommen hier und da nicht über die 5 also ich muss mich innerhalb dieses Rechts Rechtstext wegen der Slogans auch waren so sobald herauskommen und weichen und Umweg Umwege fahren wir nicht immer nur den direkten Weg oder den kürzesten Weg und hier ich muss wird sich innerhalb eines Rechtecks bleiben ok das ja alles mögliche Wege der Länge 8 das 1. Taxi Abstand dieser beiden Punkte beträgt 8 so jetzt Aufgabe B geben sie alle Taxi .punkt an die zu Art dem Taxi Abstand 3 Jahre welche müsste ich hier markieren er ja genau also sagen ab gewinnt und nur 3 nach links von A sich übereinander her diesen Abstand 3 Burg und 3 nach oben frei nach und ok also die zwischen genau also zum Beispiel der hier genau das war ich 1 nach rechts und 2 nach oben also das ist definitiv ein .punkt den Abstand 3 oder ich war 2 nach rechts und 1 nach oben und ich war 2. rechts als nach unten so und es fest ok ich kann diese Punkte alle markieren 1 nach links 2 nach unten auf 3 oder 2 1 links 1 nach unten wo OK gibt es noch weitere Punkte die den Taxi Abstand 3 Arten von haben ja welchen inneren nämlich zum Beispiel wer hier markieren also rund 1 allerdings als darum ja auch der Taxi-App schon 3 Jahre genau ein Jahr genau mit der Wirkung des der eingezeichnet StÃdtetags Abstand 1 von A ok das heißt man muss aufpassen dass man keinen umgekehrt auch ok im .punkt müsse wieder wegnehmen kann ist dass wenn die wieder wegmachen okay weil sie so normal sich wünschen aber der war nicht da so ok ok jetzt haben hier die Punkte die allen Taxi-App Abstand 3 Jahre und können sich vorstellen aber man kann die Geometrie auch so verstehen dass man jetzt nicht nur diese Straßen hat sondern dass auch beliebig viele unendliche unendlich viele Straßen dazwischen hat er also dass wir letztlich vom diskreten zum kontinuierlichen übergeht und dann könnte man sich auch vorstellen dass man die Punkte verbindet ja also ich gehe 0 Komma 5 nach rechts und 2 Komma 5 nach und was die 0 Komma 1 rechts und 2 Komma 9 nach oben oder so dass wir auch den Ball sondern sind beliebig viele Straßen mit Straße zwischen 2 Straßen wird letztlich von allen nach er übergehen würde dann kann man es auch so als ok jetzt kommt die spannende Frage wie könnte man das Ding denn denen die man von ihn erledigen lassen den könnte dieser .punkt Venedig gerade eingezahlt hat das ist die Menge aller Punkte die von einem gegebenen Punkt denselben Abstand haben wir das alles ganz gut wir bei denen die Geometrie zurück die wir kennen wir gehen mal unsere Geometrie an ich hab .punkt hier in der nicht mal n ok ja sagen wir genau Taxi Kreis Singkreis Kreis naja ok wenn davon nur so es gibt es keinen Kreis so heißt es ist ja auch kein Kreis Taxipreis mal die man mal eben in die Geometrie die wir kennen bisher genannt .punkt eingezeichnet wo liegen alle Punkte die von diesem eingezeichneten .punkt denselben Abstand habe beispielsweise Abstand 3 was muss dazu machen wir den Kreis Unna also wenn ich jetzt hier .punkt haben und für alle .punkt den Abstand irgendwas haben Abstand haben ja dass sich hier im Kreis rum und na ok müssen unseren Kreis oder ich es eigentlich so dass alle Punkte die denselben Abstand zu einem gegebenen .punkt haben diese .punkt Menge heißt Kreis genauso ist das jetzt hinnatakse Geometrie die Menge aller derjenigen Punkte die denselben Abstand von A haben also können wir diese Punktmengen doch Taxi Kreis werden auch wenn es nicht so aussieht wie ein Kreis den wir kennen in denen die einfach so und das ist ja das ist letztlich eine mathematische Vorgehensweise sich aufzulösen von der Anschauungen von dem was man kennt als Anschauungen und eine Definition abstrakten abstrakter Art und Weise vorzunehmen auch eines der Anschauungen nicht entspricht also dem Ende der herkömmlichen Geometrie sagt die Menge aller Punkte im der Abstand haben beim gegeben .punkt heißen Reis und wenn ich das ist aus unserer herkömmlichen Geometrie übertrage auf jede beliebige andere Geometrie in der andere Abstand zum Mars erschienen dann könnte man auch das als Kreis bezeichnen aber .punkt an denselben Abstand von einem gegeben .punkt sind also extrem davon ab welches Abstands maßt sich aber so dass ich letztlich in Abhängigkeit von den Abstand zum was nun die Begrifflichkeiten der Taxi Geometrie neu neu definieren kann dich auch aus der herkömmlichen Geometrie wie wir sie kennen bereits kennen gucken wir mal die nächste Aufgabe an also das ist der Taxipreis können so
Aufgabe C angenommen werden C 2 von Wohnungen von Anna und Bernhard ok und sie wollen alle die beiden wollten der Taxi die beiden Sender der Stadtplanung tätig wollte zwischen ihren beiden Wohnungen eine Haltestelle gelegentlich gleich weit weg entfernt das von ihren beiden vom er damit keine von beiden länger laufen muss als die anderen so welche Taxi Punkte kommen dafür in Frage fern von festgestellt die beiden Wohnungen sind 8 Taxi Einheiten auseinander also welche können aber schon eher ja wir gewünscht Beispiel laufen von aus 4 Einrichtungen wie er also sagen wir mal ein Beispiel die Gemeinde durchlaufen 2 zur Seite 2 1 und ok dieser .punkt ist 4 entfernt von A und 4 Einheiten entfernt von be ok hoffen .punkt übergelaufen beginnen war sie nach rechts 1 1 2 3 4 also hier 1 des 4 von einem 4 von B noch welcher die Diagonale die entsteht genau 3 1 rechts 1 nach unten 1 nach rechts 3 nach unten und so nahe es denn wirklich mit sehr guten alles von den seinem Rechteck des Vereins betrachtet haben aber so schräg dazwischen nur OK gibt es noch weitere Punkte die gleichweit entfernt sind von A und B R wo übernachten nach oben und nach unten Mehr Geld für diesen Punkt aus ihr Recht .punkt aus darum auch Uhrmann also überhaupt behaupten jetzt dieser Punkt hier damit auch dazu genau das 5 von Ahlbeck 1 2 3 4 5 und von B 1 2 3 4 5 ok ich bisher gar nicht gefordert dass die Gesamtlänge 8 ergibt 2 der nur gefordert dass die Punkte also die Punkte suchen gleich weit weg sind von A und B und dieser Punkt jetzt auch gleich weit weg von allem wenn ich beides mal 5 soll der sagen sie auch noch weiter nach oben also der ja auch noch das sind 6 weit weg es kommt dem gerade 1 dazu und zu sowohl zu diesen Weg also zu diesem Weg kommt jetzt 1 dazu dass ist diese Punkte 6 weit weg von allem und diese 7 weitere und dieses 8 weil dieses neuen Einheiten weit weg und so weiter wie geht es weiter weiter noch einige Punkte werden nun ja ,komma noch ungenauer sein wir hier Entfernung 5 und ja auch die Entfernung von die Entfernung 6 7 8 wollen und so weiter und so weiter bisher weitere Punkte warum kann ich nicht seitlich weg also vom kann ich nicht nur Rechtsweg und bei dem er zum Beispiel August Helfer waren
vor 8 da dieser .punkt jener
das rechts geben würde dann würde ich ganz dicht an die vorbei laufen von einem das heißt dieser Punkte ist nicht gleich der von A und B dass nämlich 3 weit weg von Bier und 5 von 8 ok 5 plus 3 8. weil die Gesamtlänge das ist dieser Punkt ist nicht gleich genauso wie diese anderen Punkte liegen alle mehr bei ps ba genauso die sich hier liegen alle mehr war als der Weg das heißt also wir haben jetzt hier nur verbinden würde dann würde sie davon ausgeht dass inzwischen auch überall solche Texte Geraden liegen nicht wir so ein bisschen eingeknickt das Bild jetzt wieder die Frage wie könnten wir die Menge aller dieser Punkte die ich jetzt gezeichnet haben einen guten in unsere Geometrie unsere bekannte ich habe 2 Punkte A und B Wort wo liegen denn alle die Punkte die von A und B gleich weit weg sind die von A und B denselben Abstand aber wo liegen die der er sich schon entsprechende Handbewegungen werden d. ja sie gerade orthogonal zur Strecke von A und B sieht als die Strecke AB zeigt nicht mal ein Jahr war durch die Mitte der Strecke genau das muss die mit Bildung der ungefähr hier und dann die gerade also dieses unendlich weiter er schöne würde dieses dieses etwas wackelige Zeichen dass die Grünen in den Rechner hier die gerade die durch die Mitte von der Strecke AB geht wie nennt man denn diese gerade Mittelsenkrechten genau das heißt was hier eingezeichnet haben rechts das ist die Taxi Mittelsenkrechten ok die ist genauso wenig senkrecht wieder Taxi Kreis Kreis ist aber aber wenn wir diese Begriffe aus der herkömmlichen Geometrie übertragen könnte man sagen ok wenn ich das Abstands Maße Taxi Abstand aber oder nennt hätten Abstand dann entsteht so ein Ermittler senkrecht einem Taxi Mittelsenkrechten die Menge aller Punkte die von AMD den gleichen Abstand haben interessante setzt das Taxi Mittelsenkrechten durchaus unterschiedlich aussehen können je nachdem wo A und B liegen Guzman genauer an also nehmen wir mal A und C oder den Sommer nicht stehen sondern nur hier die sie so wie Sie es jetzt hier wie weit von Ahlbeck Weltwassertags Abstand auch 8 genau auch so super mal welche Punkte sind alle gleich weit weg von A und C also nur diese die aber den
Diagonalen übervollen
eingezeichnet hatten nach also
hier und lieber eingezeichnet haben der Vielzahl der Gerichtszweige nach unten oder 3 nach rechts als jeweils 4 Weg von A und C und diese jetzt auch 4 weg von Amts wegen der und der doch 4 nach rechts 4 nach unten oder hier 4 4 und so weiter und jetzt können wir auch die entsprechenden Strecken 1 in die .punkt Zeichen davon gefunden haben weil diese hier ist 5 weit weg von A und C ist diese auch nicht einhalten ,komma 6 7 8 und so weiter so in China unten der genauso gleich oder ne gesorgt die letzten Punkte sind ein sehr sehr nahe der hier wieder ist das einzige Werk 5 1 2 3 4 5 und von A 1 2. Aufl wäre ok diesen auch alle gleich weit weg von A also in jeder für sich genommen noch genauso aus aber welche kennen welche von nach rechts hier allerdings 1 1 2 3 4 der je 8 komisch gegen eben was auch anders gewesen aber jetzt aber so hier dass dieser Punkt 5 weit weg ist von A 5 Einheiten 5 Einheiten von W und diese hier 1 2 3 4 5 6 Einheiten von A 1 2 3 4 5 6 innerhalb von wenigen genauso der und der 7 8 Einheiten können welche jener Jahre ist relativ symmetrische Situation natürlich und so weiter und so weiter wollen das Herz eben bei A und B ging es jeweils in eine Richtung Weg geht ,komma weiter Richtung dazu komisch war weil die Tagesthemen Mittelsenkrechten diese fernen Spiegel hat sich wiederholt über den Aufzeichnungen und ja ist sehr symmetrisch was macht es denn so symmetrisch die Situation ja ja genau A und C sind die Eckpunkte eines Quadrats während A und B die Eckpunkte eines Rechtecks waren dass kein Quadrat ist er also hier A und C sind Eckpunkte eines Quadrats so dass man die Situation so extrem symmetrisch werden wenn a und b dem Rechteck liegen dass kein Quadrants Eckpunkte eines Rechtecks dann hat man sondern asymmetrische Situation so dass man nur eine Richtung besprechen wir gehen keinen andern es sondern wir bei dem ein .punkt das bei dem anderen ok ja und es gibt noch weitere Situation und das ist eine der Aufgaben denen sich auch zu Hause beschäftigen sollen mal schauen welche Situationen gibt es dennoch und wie sehen diese Taxi Mittelsenkrechten alle aus dem herkömmlichen Geometrie da sind Taxi da sie Mittelsenkrechten immer gleich aus nur sehen immer so aus wie immer eine gerade die senkrecht steht auf der verbliebenen Strecke und zwar in der Mitte dieser Strecke soll und hier sieht es anders aus je nachdem wie das heißt hier haben wir unterschiedliche Situation ok aber alles im Taxi Mittelsenkrechten sehen jetzt es extrem spannend für Mathematiker herzugehen umzuschauen ok ich hab mal ein anderes Abstand zum als Taxi Abstand nützen wenn ich das mal werden jetzt schau ich mir mal an was passiert mit meiner Geometrie wenn ich ein anderes Abstand zum Arzt und auf einmal in den Kreis anders aus als bislang nur dem Mittelsenkrechten sieht anders aus als wir bislang mehr das kann man mal gucken wie sieht denn so eine Ellipse aus wichtig denn wir ein was was letztlich auf den Abstand zum Mars definiert ist und darauf muss musste sich der irgendwie anders aus und das ist spannend und wir es gleich damit befasst man sich noch ganz andere Geometrien denken kann dann kann man schauen sich das dann aus mit dem Taxi mit senkrechten Taxi so oder den greisen Insekten ok also die Ursache war das ist alles anders aus das andere Abstands Maß kann können aber extrem Kritiker kommen und sagen können ist dass der Abstand was für komische Frage als im Abstand von Mathematikern festgelegt was ein Abstand ist und alles das was ich Abstand nimmt muss man prüfen daraufhin ob es tatsächlich auch alle die Anforderungen erfüllt die man so ein Abstände hat zur Folge dass zu prüfen müssen wir gucken wir prüfen jetzt ob der Taxi Abstand überhaupt den Abstand ist um das zu prüfen müssen sich überlegen wie man denn eigentlich berichtet also auch gut nur
mal im Taxi Abstand an und der Taxi-App stand der jedes Mal abgekürzt mit D T D führt ist uns ja war bis ins Taxi weshalb ich darunter geschrieben der Taxifahrer hieß dessen Name ist Hermann Minkowski Hermann Minkowski ist deutscher Mathematiker und Physiker der sich unter anderem mit solchen Fragen befasst sich mit einer sagen würde sich ins können sonst noch befasst hatten deswegen berühmt geworden ist aber 1 ein Aspekte einer der Aspekte des befasste durch Abstands Masse gewesen so also Taxi Abstand DT hier sehen wird von allen ebenso so schöne Situation Taxi-App statt 8 gewesen war so wie könnte man die jetzt in der Formel packen wir schauen mal ich habe das Ganze im Koordinatensystem eingetragen als er mit 2 Achsen x und y ok und jeder dieser Punkte A und B erhält dadurch auf einmal Koordinaten hatten wir vorher nicht vorhandene wo die Punkte liegen jetzt haben wir hier eine 1 0 .punkt einen Ursprung des Koordinatensystems eingetragen und die Axt entsprechend dem Taxi gerade gelegt so Sätze sagen können okay jeder .punkt hat bestimmte Codina also der .punkt Art hier Koordinaten x H und y A und .punkt wir die Kundendaten XP und y ok und wenn es mal konkret machen wird .punkt Art die x-Koordinate 3 1 2 3 100 x a ist 3 Worte und die uns ein goldener also 1 2 3 4 5 6 regional fordert neben 6 und YB x-Koordinate 1 2 3 4 5 6 7 8 und die Ex geht schon Goldener Herbst 3 also es Kurden 8. zum guten nach Brand so wie könnten wir jetzt den Taxi Abstand von a und b Berechnen Sie die Koordinaten kennen welche Möglichkeit gibt da ich weiß dass die Kundendaten von Automobilen X und wir wollen ja gleichen Abstand Bericht der normalen XP -minus x a statt bisher in der X x B -minus x aber genau nach was ,komma geschlechtlichen X X aber als einen dann wir genau nicht einfach jeweils die Koordinaten von einer abzielende so also XP x aber wir 8 -minus 3 Schriften darunter Begründungen Minirechner nur 8 -minus 3 bekommt 5 raus und hier schon abends schon B +plus 6 -minus 3 so als x-Koordinate von anderer bekommt der 5 raus und die wurden Daten von kommt 3 raus so manches am Ende ihre kommt 8 raus das genau das Achse Abstände zwischen Andrea ok Frage warum haben Sie jetzt einmal XP -minus x a gerechnet also erstmal weg von abgezogen bezüglich hatte würde sogar das einmal A von B oder B von A B 1 Jahr genau nur bis jetzt 4 x AA -minus XP-Rechner würde welcher bei minus 5 Liter wie die Punkte liegen werde ich nicht von welchen abziehen muss so ähnlich dass selbst sehr interessiert ich will nicht wissen ob aber oberhalb oder unterhalb oder links oder rechts von was können ich dann machen in der Formel Betragsstriche nehmen genau weil ich zieh einfach immer XP von X und der Betragsstriche drohen muss vollkommen egal ob es um 5 oder minus 5 ist der wird immer durch die Betragsstriche positiv und aus dem Grund berechnet man die Taxi Taxi Abstand nehmen Koordinatensystem folgendermaßen XA -minus XP Betragsstriche Tumoren ist in dem Fall jetzt hier 3 -minus 8 ,komma unterschreiben unserem Fall würde es hier extra ist 3 minus 8 da kommt einiges negatives raus aber die Betragsstriche machen positiv und sind dann abends YB ist 1 6 minus 13 betrat ich bräuchte man den Betrag jetzt es nicht aber es schadet auch nicht so warm und bisher 5 raus und da 3 das ist also der britische Ertragsrechnung umsetzen wird immer positiv und damit haben mittags Abstand berechnet egal woran wir liegen soll also berechnet man die CD so gucken wir uns mal unsere
herkömmliche Geometrie an die man auch als die euklidische bezeichneten das verrate ich in der der Mathematiker war der in Sachsen gestiegen ist das war natürlich wirklich ok so so hat der hat jetzt natürlich anderen Abstand fördert den euklidischen Abstand das euklidische Abstand vor den möglichen mit viel sozusagen das zugrunde liegende Abstands Masters der in den Bezeichnung weil DIE folglich das wissen wir okay hier ist der Abstand die Länge der Verbindungsstrecke wie muss ich das bestimmen wir berechnen zeichne mal eine kleine Hilfe vor allem als er die Koordinaten von A und B und ich will die Länge der blauen Strecke berechnet er ja genau so ist das Handeln der verwendet Ansatz genau Satz von Pythagoras also Sie haben die A Quadrat also wenn ich diese diese Strecke aber Zeichen er diese Strecke als B diese als C arg drahtlos Quadrat gleich C-Quadrat beziehungsweise sie ist die Wurzel aus a Quadrat liegt also könnte es hier sagen ok die Strecke c =ist gleich die Länge der Strecke C =ist gleich die Wurzel aus a Quadrat +plus b EG-Vertrag so und was ist jeweils A und B wie kann ich A und B bestimmen kein Weg ja ja genau können Sie wieder sagen den Betrag von x 1 x B das ist aber der Betrag wird Sonnabend schon bislang wie genau so ich kann ich kann den Betrag aber auch weglassen an der Stelle weil ich gratuliere also x an -minus XP können zum Quadrat nehmen dann quadrieren Werke könnte sprechen Betrag nehmen dann Quartieren aber Betrag ist gar nicht so richtig notwendig Volksvertreter auch so also könnte ich jetzt die Länge der Strecke c berechnen x 1 x diese längere aber zum Quadrat diese Länge wie zum Quadrat mit erklärt und die Wurzel großgezogen so berechtigt der kritischen Abstand so auch jetzt können wir schauen jetzt
überprüfen ob das was wir gebildet haben einen Abstand als das in der Mathematik gibt es ein Alternativen Begriff dafür der heißt Metrik ok Abstand oder niedrig Spiel das man keine Rolle ok Mathematiker sind gekommen und haben gesagt also fast noch bevor ich irgendwas Metrik oder abstimmen dürfen muss das was er da hat bestimmten Anforderungen genügen und zwar beschreiben die Anforderungen mal folgendermaßen jetzt sehr formal uns formalen machen also ja einen Abstand Smart oder irgend Funktion von der er behauptet sie sei eine Metrik oder den Abstand zum Arzt für diese Funktion die ja aber die genannte muss folgendes gelten wenn er der Zeitpunkt der hat die bestimmt kleingeschrieben einfach weil das allgemein abstrakt das muss muss nicht unbedingt .punkt sein ok aber in unserem Fall sind an .punkt folgende Bedingungen müssen andere Funktionen muss eine Funktion erfüllen damit diese Abstand nehmen wir einmal die folgende wenig 2 Punkte habe A und B .punkt in in "anführungszeichen "anführungszeichen wenn .punkt aber a und b dann ist der Abstand genau dann 0 wenn Art gleich wie es also ja irgendwie 2 beliebigen 2 beliebige Punkte der Abstand zwischen den beiden .punkt ist dann und nur dann 0 wenn die beiden Punkte identisch sind ok dürfen keinen Zeitpunkt irgendwo liegen die die nicht identisch sind mit den Abstimmungen haben also ich bin ich in dieser Funktion hat ,komma gesund sind und somit möglichst Funktionen der Lärm der sorgt das ULD verkommen Rom 2 Elemente rein so 2 Punkte ,komma rein und ohne selbst die von avira aus wäre es ja Funktion immer vorsichtig zu sein .punkt 3 Runden kommt den Verbrauch aus Anlass dieser werden dann 0 sein wenn die beiden .punkt auch tatsächlich identisch so dass die Nummer 1 die Bedienung Nummer 2 lautet wenn wir 2 Punkte in ihrer Funktion reinsteckt da muss es gleich darauf ,komma sie andersrum reinstecken würde also der Abstand vom .punkt aber weder muss immer identisch sein mit dem Abschuss von B und A bildlich gesprochen das ist wurscht ob man von A nach B 0 5 Fernweh nach aber die die wirklich nicht immer die gleiche das nennt man auch Symmetrie ist das das Image von von A nach B laufen von General darf keine Rolle spielen soll und die 3. Bedingung dass wenn wir Funktion 2 Punkte reinsteckt A und B das was da raus kommt es immer kleiner gleich als einen Weg über einen 3. Punkt C also wenn ich erst von A nach C laufen würde und dann von 10 nach will also wenig nichts Zeit .punkt aber A und B A
und B .punkt nach seinem Volk
Winzer .punkt aber a und b dann der Abstand der beiden .punkt also die wird der Wert der rauskommt wenn nicht überein .punkt in die reinstecke immer kleiner gleich als wenn ich über einen 3. .punkt sie laufen würde also Abstand dieser beiden Punkte hier ist kleiner gleich als Abstand hier über ein anderes QC verwendet .punkt Sie jetzt außerhalb der Strecke liegt sie .punkt sehen immer wenn wahnsinnig hierüber ist größer als der direkte Weg welche 3. Punkt sehe aber hier drauf legen würde dann werden gleich lang sein aber wir man Menschen an Bärlauch oder wenn ich von A nach C laufen dann in der Nähe der Beispiel keine Rolle was in diesem Fall wäre der Weg über zieht gleich lang in diesem Fall wäre aber länger das heißt wenn ich über den anderen .punkt Zierlauch vor und dann ist der Weg immer gleich lang oder länger niemals kürzer als der entscheidende Aussage weiß jemand wie dieser ungleichen hier unten heißt der den berühmten Namen genauer Dreiecksungleichung dass die Dreiecksungleichung deswegen da die Dreiecksungleichung gesagt die Länge einer Seite ein dreijähriges immer kürzer als die Summe der beiden Längen der anderen Seite ok kleiner gleich letztlich nur weil dieser dieser .punkt eben auch auf der Strecke setzte ok das heißt wenn wir eine Funktion ab von der behauptet sie seien Abstand zum Arzt oder eine Metrik dann muss gelten dass der Abstand zweier Punkte genau dann 0 ist wenn die beiden .punkt aufeinander das Buch stürmischen andere wie laufen davon weder A und B Dreiecksungleichung muss Geld also einen Umweg über einen 3. .punkt zählt also über den Weg gebahnt hat .punkt es allerhöchstens gleich lang aber in der Regel größer als wenn ich den direkten Weg das kann überlegen
ist dass unser Abstand Smart c't eine Metrik wird muss es war die 1. beiden Bedingungen weil die letzte ist ein es komplizierter also wann ist denn das hier oben 0 1 kommt hier oben nur aus wenn man nur die Gleichungen sind diese Gleichung waren wirklich 0 ja ja genau diese gleiche und kann nur 0 werden wenn ich 0 +plus 0 rechnen ja die können nicht negativ werden werden links rechts Addition zeitlichen beträgt das heißt auf jeden Fall größer gleich 0 so das heißt die gesamte Summe kann unter 0 werden beide 1 0 sind und weil es sind dann 0 Phoenix AG gleich XPS 14 gleich YB also wenn die beiden .punkt aufeinander liegen jetzt intuitiv gesprochen aber es formal müsse es ein so auf aber intuitiv gesprochen wie die Gleichung genau dann 0 wenn a gleich viel wie sieht's aus ist es wurscht ob ich gehe von berechnet die von VIA warum es ist egal ob der Kommutativgesetz ok das Kommutativgesetz geht es leider nicht bei der Subtraktion aber wir haben uns die Situation vereinfacht also warum können das in dem Fall doch gelten lassen wenn Betragsstriche genauere Fehlbetrag Schilderung ist es völlig egal ob ich den PXA von XP Aktie oder umgedreht Malcom 5 raus mal minus 5 oder so möchte tragliche machen weil es positiv der Abstand zwischen beiden Punkten beim Kölner hat es immer gleich groß vom Betrag ok das heißt das gilt auch und die 3. Gleichung rettete und Gleichungen und wie kann man auch überprüfen gleichen wird auch das heißt diese funktioniert die wir hier ganz formal geschrieben haben erfüllt alle Bedingungen an eine Metrik und deswegen darf man sie auch Abstand nehmen soll genauso der
euklidischen Abstand oder diese Funktion weg wie oben geschrieben aber der man wirklich 0 da werden wir auch wieder den Sommer und hier links und rechts stehen 2 positiven Summanden und die werden nur dann 0 wenn ich sage ich XP ist wirklich schon dieselbe Situation und es ist egal ob ich nix aber von XP Erzieher umgedreht weil ich gratuliere und die Dreiecksungleichung gilt auch er also auch de darf man nicht regnet es kann auf folgender grandiose Idee kommen die Dinge sehen sich
endlich sie geschädigt hat der Taxi Abstand sieht so aus und euklidische Abstand sieht so aus ich hab es ist ein bisschen anders sehen geschrieben ich habe jetzt Betragsstriche wiedereingeführt okay sagte gab ich Betragsstriche nehmen oder nicht also kann es auch hinschreiben wie Stadtquartiere das SA Quadrat von eben das ist Quadratzentimeter nicht und zieht die Wurzel und die Wurzel ziehen ist identisch mit hoch einhalb nur die 2. oder die Quadratwurzel ziehen das Gleiche wie hoch eine Einhalt zu sehen war es keine Überlegung geht was passiert denn mit folgender gleichen stehen jetzt mal D 3 von A Frauen B können Folgendes machen macht das Gleiche wie in Sachen XA -minus XP oder U 1 X A -minus x
XP hoch 3 plus -minus nicht mal y a -minus Beziehungen nie zum Betrag von 3 und das Ganze dann wird sich die 3. Wurzel raussuchen 3. vor schien angesichts B U 3 also vom Betrag her und 3 der 10 an die sich an den Betrag von 3 und dann nur ein Drittel der ich habe hier einfach geschaut wie oben habe ich hier oben habe ich jetzt alles 6 wie hoch 1 plus 1 ist und wie hoch einzelne ziemlich die 1. und draus hoch 1 Buch einzig ein sehr spielt keine Rolle es keine Wurzeln sondern wie hoch hoch 1 durch einstellen kann der B-Klasse hier hab ich auf einen Betrag zwischen betrug 2 stehen ist die 2. Wurzel und können dann einfach eine Funktion erfüllt und sagen was passiert denn eigentlich wenn jetzt hier hoch 3 nehme und die 3. Wurzel ziehen oder wenig hoch 4 nehme und die 4. Wurzel ziehen oder wenig hoch 5 nehme und die 5. Wurzel ziehen und genauso wenig Examen XP zum Quadrat nehme hoch K +plus Armenvierteln PUK und die Karte Wurzelziehen aus dem ganzen das als Karte zeigt ja gerade geprüft das 1. Abstand Maßnahme trägt das ist Metrik das kann uns überlegen ist das ja auch Metrik erfüllt dass ja auch die 3 Bedingungen eine Metrik und mit auch 4 für das eine Bedingung eine Metrik und hier hoch K erfüllt für das eine Bedingung eine Metrik man kann tatsächlich zeigen dass alle diese Funktionen das sind unendlich viele Funktionen die alle dieselbe Struktur haben hoch K übernimmt die Abstände der jeweiligen Koordinaten hoch K und sie dann in die Karte Wurzel würde so nur dass das tatsächlich alle Anforderungen an eine Metrik erfüllt und deswegen sagte zu allen diesen Funktionen oder zu der Menge dieser Funktionen Minkowski Metrik das heißt alle diese Funktion erfüllen die Anforderungen der niedrigen jetzt kann man folgende Idee haben wir was passiert jetzt eigentlich wenn nicht die 3 als Abstandswahrer 7 Präsident einen Kreis aus den das Nein Abstands Maß ist stellen wir Ihnen die Idee die Differenzen der Kundendaten jeweils Secondat Sekundärteilchen hochpreisige 3. Wurzel wie sie dann Kreis aus oder wie denn dann überhaupt einen Meter senkrecht aus oder wenn ich das ganze machen mit die mit 15 a x 1 x Bio 15 und sonnabends wir 15 würde das ganze 15. wozu wie den Kreis aus wenn das Absturz Maß ist wie sie die Menge aller Punkte aus die angegeben .punkt denselben Abstand haben sie den Abstand die 15 Uhr kann man im Kopf Ausmaß bemerkt aber dass man die auf einmal in Gegenden kommt in dem man mit irgendwelchen Absturz Maßen agieren kann und relativ abstrakten wenn Sie so wollen Geometrie und Minkowski war einer der sich in solchen mehrdimensionalen Geschichten rumgetrieben hat und das war einer derjenigen der Raumzeit also viel das vierdimensionale Konstrukt der Raumzeit entwickelt hat aber gesagt ein könnte man die Zeit als 4. Dimension geben und das Ganze sozusagen hat er in die Relativitätstheorie eingebracht als mit unterschiedlichen Dimensionen hielt sie können sich vorstellen dass es für Mathematiker extrem spannend ist einmal zu gucken wir bei diesen ganzen abstimmen zum Beispiel was passiert denn dann mit unseren herkömmlichen Begriffen der Geometrie anderes Absturz Maß ok das war nur ein kleiner Exkurs in die Welt der Metriken am Schluss noch
einmal ein Hinweis was das Ganze auch Mathematik didaktische Bedeutung letztlich geht in den beiden Köpfen
der Person unterschiedliches vor während hier Euklids hat als Abstand zum Mars der kritischen Abstand im Kopf während Minkowski als
Taxifahrer und kommt auf 12 Euro als Ergebnisse werden Kowski
als Taxifahrer wegen Taxi Abstand im Kopf hatte und auf ein anderes Ergebnis kommen wir haben dieselbe Situation in der Welt das sind 2 Menschen im Taxi und wollen ein Ergebnis berichten nämlich den Preis der Taxifahrt und beide kommen zu unterschiedlichen Ergebnissen wie kann das eigentlich sein und oft hat man das in der Welt wenn man Mathematik treibt das unterschiedliche Menschen zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen aber die gar nicht unterschiedlich gar nicht falsch gerechnet habe keiner von denen hat falsch gerechnet haben aber unterschiedliche Modelle im Kopf es in der Berechnung zugrunde gelegt haben und das verweist auf Mathematik didaktischen Aspekt in der Schule auch immer wieder eine wichtige Rolle spielt immer mehr dass der mathematischen Modelle Bildung und zwar kann ist das
folgen folgendermaßen vorstellen machen was man wirklich liebt ja wie funktioniert und mathematische Modellierung also wir haben reale Situation wir befinden uns im Taxi einer und wir wollen jetzt ich wieder wie viel kostet Taxifahrt der 1. Schritt den man bei der Modellbildung macht ist man überführt die reale Situation in einer realen Modell wenn man nur die wesentlichen Dingen aus der realen Situation raus von denen man sagt diesen ist für die Berechnung richtig ok also hier beispielsweise wo liegen die Punkte A und B nicht so wichtig ist ob es gerade regnet oder nicht ob ich heute gut geschlafen habe ob ich was gegessen habe ob ich gerade telefoniert habe oder so dass alle Dinge die in der Welt passiert aber keine Rolle spielt das heißt ich übertrage meine realen Modelle diejenigen Aspekte der Realität die für meine Berechnung wichtig zu sein scheint und dann verlasse ich die Realität und gegen die Welt der Mathematik und bilden ein mathematisches Modell der realen Situation in diesem Fall ist ein mathematisches Modell Grande Dame griechischer Abstammung jetzt bin ich innerhalb der Mathematik haben ein mathematisches Modell und
jetzt kann ich die in diesem Land mathematische Modelle rechnen und komme zu einem mathematischen Ergebnis das lautet 12 Euro nämlich in diese Modellrechnung und jetzt ist der letzte Schritt der mathematische Modelle Bildung die
Rückübertragung dieses mathematischen Ergebnisses in die Realität an sich zu die 12 Euro aus dem Portmonee raus hat 12 Euro Bereich also muss das der Preis sein und dann in einem nächsten Schritt validieren ich dieses Ergebnis an realen Situation in diesem Fall wären eine Validierung ich gebe mein Geld den Taxifahrer und schraubte damit zufrieden ist oder nicht so doch es habe ich hier einmal die Modellierung Kreislauf durchlaufen und stelle letztlich fest dass mein Ergebnis gar nicht stimmen aber woran liegt es dass meine gibt es gar nicht denn das liegt nicht daran dass ich hier oben falsch gerechnet hat sondern sich daraus daran dass sich eine moderne gebildet habe dass nicht die Realität so abgebildet wie es wünschenswert wäre das heißt ich muss noch einmal in diesem Kreislauf Reisen geht unter Umständen besser Stimmenergebnis stimmt gar nicht und am überlegen ob ich nicht was an Real Modelle oder mathematischen Modelle und genau das
macht den Kosten immer wieder haben anderes haben die beiden Punkte sondern Straßenverlauf als Raster als Straßen Abbild soll dann bitte hier rüber ins mathematische Modelle und ein besseres Abstands Maß ist die Realität besser abbilden wird ist der Taxi-App statt es kommt der hier oben durch Berechnung zu einem anderen Ergebnis das
aber in der Realität mehr entspricht ok das heißt der mathematischen Modellierung kann man je nachdem welches Modell man bildet so unterschiedlich mathematischen Ergebnissen kommen die gut gespielt die Welt eine unterschiedliche Bedeutung haben wenn man sie in der Realität überprüfen validiert OK und das hat natürlich ganz große Bedeutung für Unterricht würden in der Schule mit Schülern gemeinsam in die reale Welt Kontext Mathematik treibt es von Bedeutung Mitschüler genau Aspekte auszuarbeiten also dass es unterschiedliche Aspekte der Realität für bedeutsam hält das zu unterschiedlichen mathematischen Modellen für die zu unterschiedlichen Ergebnissen führen und dann kann man letztlich nicht sagen was falsch gerechnet sondern man muss sich über seine Modelle unterhalten was für das Grundannahme genommen was denn deine Annahme was ist eine Voraussetzung Normalspur das mit in die der modernen eingenommen warum machst du das nicht mit den der Modellreihen genommen es gibt letztlich keine falsche Modell es gibt nur mehr oder weniger nützlich und das ist ein Aspekt den man auch in der Schule im Kontext mathematischer Modelle Bildung auf
Mathematiker
Mathematik
Geometrie
Computeranimation
Menge
Mathematiker
Mathematik
Weltformel
Computeranimation
Mathematiker
Strecke
Länge
Punkt
Mathematik
Momentenproblem
Mathematiker
Mathematik
Ausgleichsrechnung
Computeranimation
Strecke
Länge
Quadrat
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Mathematiker
Gasströmung
Geometrie
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Einfach zusammenhängender Raum
Kreis
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Rang <Mathematik>
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Computeranimation
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Maßeinheit
Punktmenge
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Menge
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Geometrie
Gerade
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Diagonale <Geometrie>
Computeranimation
Minkowski, Hermann
Maßeinheit
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Kreis
Punkt
Rechenbuch
Menge
Ruhmasse
Diagonale <Geometrie>
Gerade
Geometrie
Computeranimation
Minkowski, Hermann
Kreis
Punkt
Mathematik
Rechteck
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Hausdorff-Raum
Computeranimation
Maßeinheit
Richtung
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Quadrat
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Mathematiker
Geometrie
Minkowski, Hermann
Länge
Physiker
Berechnung
EUKLID <Programm>
Computeranimation
Strecke
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Achse <Mathematik>
Mathematiker
Koordinaten
Geometrie
Minkowski, Hermann
Abbildung <Physik>
Abstimmung <Frequenz>
Punkt
Mathematik
Symmetrie
Rundung
Mathematiker
EUKLID <Programm>
Menge
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Strecke
Summe
Abbildung <Physik>
Länge
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Dreiecksungleichung
Menge
Computeranimation
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EUKLID <Programm>
Computeranimation
Summe
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Betrag <Mathematik>
Minkowski, Hermann
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Computeranimation
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Mathematik
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Relativitätstheorie
Ruhmasse
Computeranimation
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Menge
Minkowski-Raum
Meter
Mathematiker
Koordinaten
Geometrie
Minkowski, Hermann
Funktion <Mathematik>
Mathematik
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Numerisches Modell
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Mathematische Modellierung
Mathematik
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Numerisches Modell
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Mathematik
Validierung
Computeranimation
Numerisches Modell
Mathematische Modellierung
Mathematik
Reelle Zahl
Mathematische Modellierung
Mathematik
Computeranimation
Numerisches Modell

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Taxigeometrie
Serientitel Ausgewählte Kapitel der Mathematik
Teil 02
Anzahl der Teile 08
Autor Totaro, D.
Spannagel, Christian
Lizenz CC-Namensnennung 3.0 Unported:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/19859
Herausgeber Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHH)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Ein Vortrag über Taxigeometrie, Metriken und mathematische Modellbildung Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg.

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