Schauen wir uns mal etwas ähnliches an. Gucken wir uns mal die Verschiebung,

gucken wir uns mal die Spiegelung an zwei Geraden an, die sich schneiden, also die nicht parallel sind. Und dazu konstruiere ich jetzt auch mal so eine kleine, mache ich eine kleine Hilfskonstruktion. Ich konstruiere mir erstmal einen Kreis, hat keine größere Bedeutung und setze hier einen Punkt drauf. Wenn ich jetzt hier

einen Punkt auf den Kreis setze, ist das Schöne hier, der bleibt auf der Kreislinie. Jetzt lege ich mir mal hier zwei Geraden durch oder eine Gerade erst mal und jetzt

sieht man ja, wenn ich jetzt hier diesen Punkt bewege, dann dreht sich die Gerade schön mit, bleibt im Punkt A verhaftet, das ist der Mittelpunkt von dem Kreis und den Punkt B den brauche ich eigentlich nicht, den tue ich mal hier unten hin. So und jetzt kann ich hier schön den Punkt C

verschieben und die Gerade auch entsprechend um den Punkt A herum. So, jetzt möchte ich eine zweite Gerade hier hinein legen, ich kann es ja mal machen. So, jetzt habe ich zwei Spiegelgeraden,

die sich schneiden, okay, die sind jetzt nicht mehr parallel, sondern diese beiden Spiegelgeraden schneiden sich. Jetzt möchte ich aber auch den Winkel bestimmen oder den Winkel beeinflussen können hier der beiden Geraden. Da kann ich folgendes machen, ich mache mal rückgängig. Ich mache mir hier wieder einen Schieberegler hin und sage, der Schieberegler,

der soll den Namen Alpha haben, weil so Winkel in der Regel heißen, der soll ein Winkel sein und zwischen 0 und 360 Grad. Okay, jetzt habe ich hier so einen Winkelschieber,

da kann ich hier verschiedene Winkel einstellen. Und jetzt kann ich einen Winkel hier anlegen, ich kann einen Winkel mit einer festen Größe konstruieren und zwar an die Strecke CA heran mit der Größe und jetzt nicht 45 Grad, sondern Alpha. So, sehen Sie, ich habe jetzt hier

einen Winkel konstruiert, der dem Winkel hier entspricht. Wenn ich den Winkel hier verändere, dann wird dieser Winkel hier auch größer oder kleiner. Das heißt, ich habe jetzt ein schönes Werkzeug hier, mit dem ich den Winkel zwischen diesen beiden Geraden ändern kann. Gut,

den Kreis mal ein bisschen kleiner. Jetzt spiegele ich an den beiden Geraden nacheinander. Wir wollen ja wieder Achsenspiegelung miteinander verknüpfen. Also, ich spiegele ein Dreieck

zuerst an der ersten Geraden und dann an der zweiten Geraden. Was vermuten Sie ist jetzt

passiert, wenn ich das erste und das dritte Dreieck anschaue? Vergessen Sie das mittlere Dreieck? Ja, wir wollen ja die beiden Achsenspiegelungen wieder verknüpfen. Was ist mit dem, oder wie kann ich dieses Dreieck direkt auf dieses hier abbilden? Hat jemand eine Idee? Sieht aus wie eine

Um welchen Punkt? Um den Mittelpunkt des Kreises, genau. F wurde auf F2' gedreht, E auf E2' und D auf D2'.

Okay, was vermuten Sie passiert, wenn ich den Winkel ändere? Was passiert, wenn ich den

Winkel ändere? Mit dem Winkel wird die Drehung größer. Warum? Wenn man die hier verschiebt,

ja, genau. Also der Abstand, wenn ich diese Achse hier verschiebe, da wird der Abstand zwischen E und der Achse größer und damit, ich strich eine Achse, damit auch zwischen der Achse und E2' strich. Schauen wir mal. Ja, genau. Also das war klar. Wenn ich diesen Winkel hier

größer mache, dann verschiebt sich dieses Dreieck auch weiter nach links. Also das resultierende Dreieck, das resultierende gedrehte Dreieck ist weiter weg. Der Winkel wird größer. So, was passiert denn, wenn ich jetzt hier an diesem Punkt greife, das ist ja ein fester Winkel hier, wenn ich diesen Winkel, also diese beiden Achsen gemeinsam um den Punkt

A herum drehe, in ihrem Winkel. Schauen Sie mal. Das ist der gleiche Effekt wie eben. Nur das

mittlere Dreieck ändert sich. Das hier bleibt liegen. Warum? Wer sieht es? Ja, genau. Wenn

der Abstand hier kleiner wird, dann wird er hier größer. Wenn der Abstand zwischen D und D'

kleiner wird, wird er zwischen D' und D2' größer. Oder vielmehr die Lage von D' innerhalb dieses Winkels ändert sich, rutscht sozusagen näher an die eine Spiegelachse heran, entfernt sich damit weiter von der anderen. Ich zeichne Ihnen mal folgendes ein. Ich

zeichne mal folgendes ein. Ich zeichne mal den Winkel DAC ein. Winkel DAC und den Winkel CAD.

Sehen Sie, was ich gemacht habe? Ich habe den Winkel, machen wir mal die Strecken noch dazu, ich habe die Winkel DAC eingezeichnet. Das ist dieser kleine grüne Winkel und dieser

Winkel aussagen. Ich habe dieses Dreieck hier, diese Konstruktion an dieser Achse hier gespiegelt hier rüber. Was ist mit diesen Winkeln hier? Die sind gleich groß. Achsenspiegelung ist

winkeltreu. Wenn ich diesen Winkel hier an der Achse spiegele, ist er gleich groß. Jetzt zeichne ich mal noch zwei Winkel ein. Nenne ich diesen hier, da ändere ich mal die Farbe,

den mache ich mal rot. Ich kriege ihn gerade nicht. Der ist es hier, glaube ich. So,

gleich haben wir es. Also, ich habe jetzt auch diesen Winkel hier, wir betrachten mal

diese Spiegelung von diesem Dreieck auf dieses Dreieck und habe jetzt diesen Winkel hier und diesen Winkel markiert, diese beiden. Vielleicht kann ich den Winkel mal größer machen, den Gesamtwinkel mal größer. Ja, so wäre es natürlich auch einfacher gewesen. Was ist mit diesen beiden Winkeln hier? Na ja, die sind natürlich auch gleich groß,

weil dieser Winkel wurde auf diesen abgebildet durch die Achsenspiegelung. Was können Sie hier jetzt, oder ich markiere jetzt noch mal hier die Spiegelachsen, die ursprünglichen Spiegelachsen, die mache ich mal grün. So, jetzt haben Sie hier die beiden Spiegelachsen.

Was können Sie über den Drehwinkel aussagen? Sie haben hier jetzt den Drehwinkel, das ist ja dieser gesamte Winkel hier. Sie haben dieses Dreieck gedreht um den Punkt A

auf dieses Dreieck um diesen Winkel. Wie hängt der Drehwinkel zusammen mit den beiden Achsen, die für die Spiegelungen verantwortlich sind? Ja, das ist zweimal der Winkel der beiden

Achsen. Ich habe hier die beiden Spiegelachsen, ich habe erst hier gespiegelt, dann daran gespiegelt. Also erst an diese Achse gespiegelt, dann komme ich von da nach da und dann spiegele ich an diese Achse und komme nach da. Der Winkel hier zwischen, der besteht aus einem roten und einem grünen Winkel. Zu diesem Winkel kommt hinzu noch mal ein

grüner und noch mal ein roter und diese zusammen bilden den Drehwinkel. Das heißt, der Drehwinkel ist doppelt so groß wie der Winkel der Spiegelachsen. Das ist die gleiche Situation wie eben beim Verschieben. Da war der Abstand der Verschiebung doppelt

so groß wie der Abstand der parallelen Achse, an dem man gespiegelt hat. Hier ist es so, wenn sich die beiden Spiegelachsen schneiden, dann habe ich keine Verschiebung, sondern eine Drehung und die Drehung erfolgt um einen Winkel, der doppelt so groß ist wie der Winkel der Achsen. Das heißt aber letztlich, was haben wir jetzt herausgefunden? Wir hatten

ja drei Konkurrenzabbildungen. Wir hatten die Konkurrenzabbildung Spiegelung, Drehung und Verschiebung. Wir haben jetzt herausgefunden, dass die Drehung, wie sie hier abgebildet ist, nichts anderes ist, als die Verspiegelung an zwei Spiegelachsen, die sie schneiden,

während die Verschiebung nichts anderes ist, als die Nacheinander-Spiegelung an zwei Spiegelachsen, die parallel verlaufen. Das bedeutet letztlich, dass man diese Konkurrenzabbildungen alle auf die Verkettung von Spiegelachsen zurückführen kann. Die

Verkettung von Spiegelungen an Spiegelachsen zurückführen kann. Also, dass die Achsen-Spiegelung so etwas ist, wie etwas total Grundlegendes für Konkurrenzabbildungen. Und wenn ich dann zwei dieser Achsen-Spiegelungen nehme, miteinander verknüpfe, dann kommt auch

sowas wie Verschiebung oder Drehung heraus.