Ok, das Thema heute ist Ähnlichkeit und Verhältnisse. Und bei dem Thema, das wir heute besprechen, wird sozusagen noch mal der fächerverbindender Aspekt bestimmter mathematischer Inhalte deutlich. Wir werden jetzt heute die Mathematik zum Teil verlassen und in andere Wissenschaften schauen.

Und ja, das Thema Ähnlichkeit und Verhältnisse aus verschiedenen Perspektiven oder aus den Perspektiven verschiedener Wissenschaften anschauen. Und wir gehen tatsächlich jetzt auch mal erstmal gar nicht in die Mathematik, sondern in den Zoo.

Wer von Ihnen ist schon mal in der Wilhelma gewesen in Stuttgart? Oh, ja, schon einige, genau. Wenn Sie in die Wilhelma reingehen, begegnen Ihnen als erstes folgende Tiere. Die hier. Das sind Brillenpinguine. Brillenpinguine heißen die, weil die so weiße Ränder um die Augen drum herum haben.

Also schwarz-weiße Ränder. Das sieht aus wie Brillen. Wenn man dann in der Wilhelma weiter rum geht, oder vielleicht erstmal dazu, das sind relativ kleine Pinguine.

Das sind so kleine, schnuckelige Pinguine, die watschen dadurch die Gegend und springen ins Wasser und schwimmen rum. Vor einigen Jahren ist das mal ein bisschen in die Presse geraten, weil jemand einen Pinguin geklaut hat in der Wilhelma. Das war wirklich traurig. Babe wurde geklaut und Babe hatte einen Lebensgefährten, den Fritzi.

Der war dann sehr deprimiert und traurig die ganze Zeit. Ich weiß nicht, wie es ausgegangen ist. Ich glaube, Babe hat ihn mal nie gefunden. Also hat irgendjemand mitgenommen. Das war so ein zutraulicher Pinguin. Ich habe den Vortrag damals schon gehalten und da hat man mich verdächtigt, dass ich den geklaut hätte,

weil ich hier über Pinguine was bei der Kinderuni erzählt habe. Aber ich bin es nicht gewesen. Also die Brillenpinguine, so kleine Pinguine. Klein werden so 60 bis 70 cm groß.

Also Kniehöhe vielleicht. Ein bisschen höher als Kniehöhe. So, dann geht man weiter durch die Wilhelma und dann begegnen einem größere Pinguine. Das sind die Königspinguine, die ein bisschen weniger schnell und schnuckelig durch die Gegend watscheln,

sondern eher ein bisschen behäbiger da sitzen. Und da stellt man fest, die sind wesentlich größer als die Brillenpinguine. Die Königspinguine hier werden so 85 bis 95 cm hoch und wesentlich voluminöser.

Es gibt noch größere Pinguine, allerdings nicht in der Wilhelma. Das sind die Kaiserpinguine. Die sind nochmal eine Stufe größer als die Königspinguine. Die werden so bis zu 1,30 m groß. Das sind richtige Kavenzmänner. Okay, also, aber hier in der Wilhelma hatten wir bereits diese beiden ganz unterschiedlichen Pinguingrößen.

Okay, und das Thema der Vorlesung heute wird sein, die Frage zu klären, wie es sein kann, dass Pinguine unterschiedliche Körpergrößen haben und so extrem unterschiedliche Körpergrößen. Also, man könnte sagen, die Kaiserpinguine, die sind fast doppelt so groß.

Gesundheit. Ja, es wird schon kalt hier drin, Kaiserpinguine. Die sind fast doppelt so groß wie die Brillenpinguine. Und es gibt noch kleinere Pinguine. Schauen wir uns gleich mal an. Also, Pinguine haben eine extrem große Spannbreite in ihrer Körpergröße. Und die Frage ist, warum ist das so?

Okay, und dieser Frage nähern wir uns aus verschiedenen Perspektiven. Einmal aus der Sicht der Biologie. Also, wir werden uns jetzt erstmal mit der Welt der Pinguine befassen, um anschließend eine weitere Wissenschaft hinzuzunehmen, nämlich die Physik.

Sie können sich vorstellen, dass Körpergrößen auch irgendwie was mit physikalischen Eigenschaften zu tun haben. Das heißt, wir gucken auch in die Physik und am Schluss schauen wir in die Mathematik. Die Mathematik liefert nämlich wertvolle Informationen zur Beantwortung der Frage, warum es große und kleine Pinguine gibt.

So, okay. Ich habe Ihnen schon angedeutet, es gibt noch größere Pinguine, nämlich die Kaiserpinguine. Die Kaiserpinguine, die sind bekannt geworden in den letzten Jahren, insbesondere durch berühmte Kinofilme.

Die Reise der Pinguine, wer hat die Reise der Pinguine mal gesehen? Oh, nur so wenige nur. Das ist ein super Film, das sind tolle Aufnahmen und so. Oder Happy Feet, wer hat Happy Feet gesehen?

Leute, ihr müsst mehr ins Kino gehen. Happy Feet ist so ein süßer Zeichentrickfilm, da kommen auch Kaiserpinguine drin vor. Okay, man sieht hier Kaiserpinguine in der Antarktis. Okay, und Sie können sich vorstellen, in der Antarktis ist es kalt.

Und zwar extrem kalt. Ich habe mal hier einen Text mitgebracht aus einem Was ist Was Buch. Die sind auch super Bücher hier. Ich lese jetzt kurz einen kleinen Abschnitt vor. Ich zitiere mal aus dem kleinen Abschnitt hier von Seite 17.

Der beschreibt, wie verdammt kalt das in der Antarktis ist. Und was für Überlebenskünstler das eigentlich sind, diese Pinguine. Also die wahren Überlebenskünstler im Eis sind die Kaiserpinguine hier. Sie brüten während des antarktischen Winters.

Also während des antarktischen Winters, das ist nochmal eine Stufe kälter. Und müssen von allen warmblütigen Tieren der Erde die niedrigsten Temperaturen ertragen. Sie trotzen Temperaturen von mehr als minus 40 Grad Celsius. Also wir beschweren uns hier über das Wetter die ganze Zeit.

Da unten ist es ein bisschen härter. Und Schneestürme, die mit einer Geschwindigkeit von 130 Stundenkilometern über das Eis fegen. Also extreme Schneestürme, die wahrscheinlich nochmal sich ein bisschen kälter anfühlen als die minus 40 Grad Celsius, die es sowieso schon gibt. Die gefühlte Temperatur bei den extremsten Bedingungen des antarktischen Winters beträgt tatsächlich minus 180 Grad Celsius.

Okay? Antarktis Forscher berichten, der Mensch ist geblendet durch die Eismaske, die sich in wenigen Sekunden auf seinem Gesicht bildet, wie gut er auch ausgerüstet sei.

Eine kleine Fläche nackter Haut gefriert in 40 Sekunden. Nach 50 Metern vergeht ihm Hören und Sehen. Er verliert jede Orientierung und findet seine Unterkunft nicht mehr. Also als Mensch ist man letztlich nur mit extremer Spezialausrüstung da unten überlebensfähig.

Und wenn da ein bisschen was fehlt von, dann ist man sozusagen gleich aufgeschmissen. Sollte man besser nicht in die Antarktis gehen und die wohnen da. Und vielleicht haben Sie es schon mal gesehen, also die Pinguine, also die Männchen von den Kalsepinguinen, die brüten die Eier aus, während die Weibchen Futter holen gehen.

Und dann stehen die da in einem riesigen Pulk und der Schneesturm fegt über die Pinguine weg und die sind mit Schnee bedeckt und Eis und so weiter und die stehen da und brüten. So, das halten die da aus. Schon extrem muss man sagen.

Wenn wir das Ganze mal auf der Weltkarte verorten, also hier haben wir die Weltkarte, dann muss man die Kaiserpinguine da unten ansetzen. Hier in der Antarktis oder subantarktische Inseln auch. Hier unten also extrem kalt.

Jetzt gucken wir mal, wo die Brillenpinguine leben. So, jetzt sieht man hier die Brillenpinguine, da sieht man irgendwie kein Eis. Weiß jemand, wo das ist hier? Das sieht man natürlich nicht besonders gut, also es gibt keinen Hinweis, wo das sein könnte, aber weiß jemand, wo Brillenpinguine leben?

Neuseeland Australien, fast, ist nicht Neuseeland Australien, da leben die Zwergpinguine, die zeige ich Ihnen gleich noch. Madagaskar, ja genau, also Südafrika, im Süden von Afrika.

Das ist jetzt tatsächlich auch Südafrika, das ist das Land Südafrika, da wohnen die am Strand. Sie können sich vorstellen, da stinkt es auch so ein bisschen nach Fisch. Okay, also die Brillenpinguine leben in Afrika.

Ich weiß nicht, ob jemand schon wusste, dass Pinguine in Afrika leben. Ja, weiß man vielleicht aus dem Film Madagaskar. Ne, da kommen die Pinguine aus dem Zoo, aber die fahren in die Antarktis und frieren sich tierisch, genau sagen, besser nicht. Weil die Brillenpinguine, die leben nicht im Eis, die leben nicht im Eis, sondern die wollen es warm haben.

Also, die leben hier in Südafrika. Zum Beispiel, ich zeige Ihnen noch ein paar weitere Pinguine. Hier, der Galapagos-Pinguin. Das ist auch ein Brillenpinguin, sieht man hier so ein bisschen an dem Ring um die Augen.

Galapagos-Pinguin lebt, naja, auf den Galapagos-Inseln. Weiß jemand, wo die sind? Ja, bei Äquador, ja, von der Lage her am Äquador halt.

Genau, richtig. Also, im Pazifik am Äquator, da können Sie sich vorstellen, da ist es richtig heiß. Brillenpinguine und Galapagos-Pinguine leben dort, wo es warm ist.

Genauso der Zwergpinguin, den hatten Sie gerade angesprochen. Der ist noch mal eine Stufe kleiner. Der wird so circa, ja, 35 bis 40 Zentimeter hoch. So, 35 bis 40 Zentimeter.

So gute, weiß nicht, Kinder-Baby-Größe oder so. Der lebt in Neuseeland. So, und der ist auch das, weiß nicht, ob jemand von Ihnen Linux zu Hause verwendet. Der ist die Vorlage für den Linux-Pinguin. Für Tux heißt der, glaube ich. Ja, genau.

Also, das ist der Neuseeländische Zwergpinguin. Wenn wir jetzt mal auf die Weltkarte schauen und die Pinguine weiter verorten, dann lebt also der Galapagos-Pinguin hier, so Richtung Äquator. Und hier rechts lebt der Zwergpinguin. So. Gehen wir nochmal zurück.

Die Königspinguine, die leben übrigens auch hier unten in der Ecke, also Richtung Antarktis, subantarktische Inseln.

Was auffällig ist, also es gibt ja ein paar Auffälligkeiten. Die erste Auffälligkeit ist, je weiter nach Süden man kommt, umso größer werden die Pinguine. Also, die größten Pinguine, die leben unten da, wo es saukalt ist. Und die kleinsten Pinguine, die leben eher am Äquator oder dort, wo es warm ist,

eher in nördlicheren Teilen der Südhalbkugel. Was einem auch auffällt, ist, es gibt keine Pinguine auf der Nordhalbkugel. Da gab es früher mal die Alke. Die sind aber irgendwann mal ausgestorben. Die wurden durch menschliche Ausrottungsaktivitäten, also letztlich vom Erdboden, ausgerottet halt.

Okay. Also in Nordhalbkugel gibt es keine Pinguine. In Nordhalbkugel lebt der Eisbär. Ich kann sie beruhigen. Das ist auch so eine Fehlvorstellung, die man häufig irgendwie als Kind erwirbt. Das die Eisbären Pinguine fressen.

Die Eisbären fressen keine Pinguine. Die kennen sich gar nicht. Die Eisbären, die leben in der Nordhalbkugel, Grönland und so weiter. Nicht in der Antarktis, während die Pinguine, Kaiser-Pinguine, Königspinguine hier unten in den arktischen Gebieten leben.

Okay. Also, Eisbären und Pinguine fressen sich nicht gegenseitig. Okay. Und je wärmer es wird, umso kleiner werden die Pinguine. Oder andersrum, je kälter es wird, umso größer werden die Pinguine. Es scheint also irgendetwas zu tun zu haben mit Temperaturen und der Anpassung der Tiere an die äußeren gegebenen Temperaturen.

So. Insofern ist das ein nächster Hinweis für uns, uns mit, ja, Temperaturen zu befassen.

Mit Körpergrößen, Temperaturen und Energie. Und dann ist man sofort in einer anderen Wissenschaft, ja, nämlich in der Physik. Und jetzt schauen wir mal mit der Physikbrille auf diese Gegebenheiten.

Und können mal ein kleines Experiment durchführen. Und zwar habe ich das Experiment mal folgendermaßen durchgeführt. Sie nehmen sich zwei Bechergläser. Tarnen die als Pinguine? Okay. Also der Deckel ist auch wichtig, ja, damit jetzt hier nicht

so viel Wasserdampf hier rausgeht und damit Energie sozusagen aus dem Glas verschwindet. Sie haben hier zwei Bechergläser, die relativ ähnlich aussehen. Das eine ist nur größer als das andere. Und jetzt gießen Sie da siedendes Wasser rein.

Da muss man ein bisschen üben, wenn man das macht. Deswegen fühle ich es jetzt gerade auch nicht vor. Und dann muss man also mit dem Wasserkocher kochen und dann relativ schnell eingießen. Am besten gleichzeitig, weil da bereits durch das Eingießen Energie entweicht. Also sozusagen das Wasser kälter wird dadurch.

Und jetzt gießen Sie das Wasser rein. Dann haben Sie hier Thermometer. Hier habe ich noch so kleine Thermometer reingesteckt oben, mit denen die Wassertemperatur gemessen wird. Und jetzt kann man mal schauen, was passiert, wenn man hier das über einen gewissen Zeitraum abkühlen lässt, das Wasser. Hier habe ich so einen Wecker noch, also eine Zeitmessuhr.

Und da wird dann alle 15 Minuten hier mal gemessen. Okay, also großes Glas, kleines Glas. Und am Anfang habe ich gemessen 74 Grad Celsius. Also es waren nicht ganz ein paar 90, 100 oder so.

Also es war gleich kälter, nachdem der Wasserkocher gepüftet hat. Okay, also in beiden 74 Grad Celsius warmes Wasser. Jetzt hätte ich gerne Ihre Hypothese. Wie ist der Temperaturverlauf in den beiden Gläsern?

Es gibt drei Varianten. Variante A, das Wasser kühlt in beiden Gläsern gleich schnell ab. Variante B, das Wasser kühlt im großen Becherglas schneller ab als im kleinen. Und Variante C, das Wasser kühlt im kleinen Becherglas schneller ab als im großen.

So, wer ist für Variante A gleich schnell? Keiner. Okay, wer ist für Variante B im großen Becherglas kühlt es schneller ab? Mal die Hand heben, bitte. Deutlich heben.

Nee, es ist nicht gleich viel Wasser drin. Also ich habe beide voll gemacht. So, ganz voll. Bis zum Anschlag voll. Und dann messe ich die Temperatur in dem darin befindlichen Wasser.

In dem kleinen ist natürlich weniger Wasser drin als im großen. Also wer glaubt, das große kühlt schneller ab als das kleine? Auch keiner. Wer glaubt, das Wasser im kleinen kühlt schneller ab als im großen? Oh, die meisten. Hat jemand eine Begründung dafür?

Ja? Sehr schön. Die Oberfläche beim kleinen Glas ist im Verhältnis zur Masse,

ich nehme mal genau so wie Sie es gesagt haben, zur Masse, die sich darin befindet, kleiner als im großen. Genau. Das ist auch tatsächlich der Grund, weshalb das schneller abkühlt. Wir gucken mal, ob es wirklich so ist. Ich habe das ja auch gemessen hier. Sie sehen, wenn man jetzt hier den Temperaturverlauf mal verfolgt,

dann sieht man, in dem kleinen Glas kühlt sich das Wasser schneller ab als im großen. Also scheint was mit der Oberfläche im Volumen zu tun zu haben. Ach so, Entschuldigung. Ich habe gerade versehentlich kleiner gesagt.

Genau. In dem kleinen Glas ist die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen größer als im großen Glas. So, genau. Richtig. Also die Oberfläche beim kleinen Glas im Verhältnis größer zum Volumen als beim großen Becherglas.

Und jetzt haben wir hier ein physikalisches Experiment durchgeführt, um uns nochmal davon zu überzeugen, dass das Wasser tatsächlich schneller abkühlt im kleinen Becherglas. Und jetzt sind wir mit unseren Hypothesen, mit den Begriffen Oberfläche, Volumen und Verhältnis natürlich in der Mathematik. Das heißt, wir schauen uns jetzt mal an, was die Mathematik dazu zu sagen hat.

Okay? Und ein wesentliches Konzept in der Mathematik, das hier eine Rolle spielt, ist das der Ähnlichkeit. Also, hier sieht man die beiden Bechergläser nochmal. Und ich habe gerade eben formuliert, die sind ähnlich.

Ähnlich in dem Sinne, dass das eine größere Variante des anderen ist. Ich formuliere es mal so informell. Ich habe hier noch drei andere Situationen hier mal hingemacht, mit einem Würfel und jeweils hier unten Zylindern.

Was würden Sie sagen? Welche dieser Figuren, dieser Paare, sind ähnlich zueinander und welche nicht? Wir nähern uns jetzt mal dem Begriff der Ähnlichkeit.

Was würden Sie sagen? Links oben, die beiden Würfel, sind die ähnlich? Ja, kann man sagen, sind beides Würfel, oder? Sieht ähnlich aus. Wie ist das hier unten links mit den beiden Zylindern? Sind die ähnlich?

Ja? Sie würden ja sagen, warum sind die ähnlich? Okay, beiden Kreisaltzitonflächen, genau. Sind beides Zylinder, okay. Hier sind auch jeweils zwei Zylinder, ne? Sie sagen, die sind ähnlich, die links unten sind ähnlich, weil zwei Zylinder sind, ja.

Ah ja, genau. Bei dem links unten hier in der Ecke ist das Verhältnis zwischen Grundfläche und Höhen anderes, ne? Hier, was meinen Sie da? Könnte passen, ne?

Die beiden Körper hier unten links sind tatsächlich nicht ähnlich. Im Sinne von mathematisch ähnlich, ne? Alltagssprache, ich könnte mal sagen, na gut, die beiden sind ähnlicher als zu denen da oben oder so, ne? Aber sie sind nicht ähnlich, weil dieser Zylinder keine... Wie soll ich sagen? Gleichmäßig größere Variante des kleineren ist.

Es wurde unterschiedlich gestreckt in den verschiedenen Dimensionen. Während hier links unten scheint es tatsächlich eine größere Variante zu sein. Rechts unten, also eine größere Variante der Zylinder rechts unten als der kleine Zylinder. Ähnlichkeit in der Mathematik bedeutet, oder zwei Figuren sind dann ähnlich,

wenn sie durch eine zentrische Streckung ineinander überführbar sind. Das ist jetzt sozusagen die formale Definition. Jetzt nochmal ein bisschen intuitiver gesprochen. In alle Dimensionen werden sie gleichmäßig aufgeblasen oder geschrumpft. Also wenn Sie sich vorstellen, dass das Luftballons sind und Sie pusten rein, okay?

Dann, wenn Sie den kleinen Zylinder ganz links unten in der Ecke hernehmen, also den hier, wenn Sie den kleinen Zylinder ganz links unten in der Ecke hernehmen und gleichmäßig aufpusten, dürfte nicht dieser hier rauskommen. Das heißt, die hier links sind nicht ähnlich,

weil sie nicht gleichmäßig in allen Dimensionen vergrößert oder verkleinert wurden. Das Wesentliche ist jetzt also hier die Ähnlichkeit bei dem Würfel. Die Würfel wurden in alle Richtungen gleichmäßig vergrößert. Die Zylinder rechts unten auch in alle Richtungen gleichmäßig. Und die Bechergläser habe ich tatsächlich auch so gewählt,

dass das Große eine große Variante des Kleinen ist und nicht noch eine schmalere. Ich habe jetzt kein Reagenzglas genommen oder so, was schmal und sehr hoch wäre, weil das nicht ähnlich wäre. Und jetzt schauen wir uns mal an.

Was passiert denn, wenn man Figuren vergrößert oder verkleinert? Wir gehen jetzt mal von der Vergrößerung aus. Verkleinerung ist analog mit Oberfläche und Volumen, beziehungsweise mit Flächeninhalten und Volumina und Rauminhalten.

Und dazu gucken wir uns jetzt erstmal das ganze Zweidimensionale an. Und das haben Sie bereits in Vorbereitung zu heute gemacht. Deswegen machen wir es jetzt kürzer. Und Sie geben mir Ihre Erkenntnisse mal. Also, schauen wir uns erstmal im Zweidimensionalen ein Quadrat an, okay?

Das ist ein kleines Quadrat mit Seitenlänge a. Wie ist der Flächeninhalt des kleinen Quadrats?

a², genau. Also der Flächeninhalt des kleinen Quadrats ist jetzt mal a, a1 ist gleich a². Jetzt machen wir das Folgen.

Wir strecken das Quadrat in alle Richtungen um den gleichen Faktor. Wir machen es also gleichmäßig größer. Das ist sozusagen ein zweidimensionaler Luftballon, der größer geblasen wird. Das heißt, alle Längen werden um den Faktor k verlängert. Zum Beispiel könnte man sich vorstellen, der Faktor ist 2 oder 3 oder 5 oder 0,3 oder irgendwas.

Also 0,3 wäre, würde dann kleiner gemacht werden. Alle Längen werden im Faktor k vergrößert. Was passiert jetzt mit dem Flächeninhalt?

Was würden Sie sagen, wie ist der Flächeninhalt jetzt? Von dem großen Quadrat? k a², genau. Also der Flächeninhalt hier, ich schreibe es mal hier hin jetzt. a² ist gleich, das mit dem Stift hier ist auch nichts, Mensch.

k a². Und das kann ich ja jetzt hier mal ausmultiplizieren. Das ist ja k a x k a. Also kann ich auch schreiben, das ist k² x a².

Und jetzt weiß ich ja, der Flächeninhalt des alten Quadrats, des kleinen Quadrats, ist a². Das a², das taucht hier auch auf, also ist doch der Flächeninhalt des großen Quadrats k² x der Flächeninhalt des kleinen Quadrats.

Also wenn ich die Seitenlängen um den Faktor k vergrößere, dann vergrößert sich der Flächeninhalt um den Faktor k² beim Quadrat. Also wenn ich beispielsweise die Seitenlängen um den Faktor 2 vergrößere, dann

vergrößert sich der Flächeninhalt des Quadrats um den Faktor 4, nämlich k². Das kann man sich so vorstellen, wenn ich das kleine Quadrat um den Faktor 2 vergrößere, dann würde es ja bedeuten, dass ich hier 4 kleine Quadrate erhalte.

Und damit hätte sich der Flächeninhalt vervierfacht. Okay, jetzt kann man sagen, na gut, dass da der Flächeninhalt um k² größer wird. Es liegt da dran, dass das ein Quadrat ist. Schauen wir uns mal eine andere Figur an. Schauen wir uns mal einen Rechteck an, mit den Seitenlängen a und b.

Okay, ich schreibe es gleich mal hin. Also hier wäre jetzt a1, der Flächeninhalt natürlich a mal b. Beim Rechteck a mal b. Und jetzt mache ich das folgende. Jetzt vergrößere ich das Rechteck in alle Richtungen um den gleichen Faktor.

Also ich mache es mal so, dass es ähnlich ist. Ich darf das nicht nur in eine Richtung vergrößern, sondern in beide gleichmäßig. Ich habe also hier k mal a und hier k mal b als Seitenlängen. Was passiert jetzt mit dem Flächeninhalt des Rechtecks?

Ach so, ja wieso? Wie kommen Sie darauf? Sie haben recht. Also es wird um k² wieder größer.

Ja, genau. Also die Seite wird mit k verlängert. Und das wirkt sich sozusagen beim Flächenhaltsberechnung, weil die beiden Seiten miteinander multipliziert werden, mit k² aus. Wenn man es mal formelmäßig hinschreibt, wäre jetzt hier a2 wieder k mal a.

Also die eine Seitenlänge mal die andere Seitenlänge. K mal a. Oh, in den Situationen bin ich immer dankbar, dass es noch drauf bleibt hier. K mal a mal k mal b. Ja, die eine Seitenlänge mal die andere.

Naja, wenn ich jetzt ein bisschen umstelle, habe ich hier k² mal a. Ach, ruhig bleiben. K² mal a mal b umgestellt. Und das ist ja gerade k² mal a1.

Der alte Flächenhalt von dem Kleinen ist ja a mal b. Und deshalb hier k² mal a mal b. Naja, dann komme ich auf k² mal a1. Also auch der Flächenhalt hat es tatsächlich um exakt k² vergrößert. Ich habe die beiden Seitenlänge um k verlängert. Und weil die miteinander multipliziert werden, muss der Flächenhalt um k² größer werden in dem Fall.

Okay, jetzt haben wir ja hier nur rechteckige Formen angeschaut. Gucken wir uns mal was anderes an. So, schauen wir uns mal hier ein Dreieck an.

Wie berechnet man den Flächenhalt eines Dreiecks? Ein halb g mal h beispielsweise. Hier also habe ich die Grundseite g. Dann muss ich die Höhe eintragen.

H. Und dann ist jetzt hier, ich schreibe es jetzt immer neben dran, a1 gleich ein halb g h.

Okay, so. Jetzt mache ich wieder das Folgende, ja. Ich plustere das auf und verlängere alle Seitenlängen um den Faktor k. Das muss jetzt ein ähnliches Dreieck bleiben.

Ich habe es versucht, ähnlich zu zeichnen. Es darf jetzt nicht in die eine Richtung mehr als in die andere gestreckt werden und so, sondern in alle Dimensionen, alle Richtungen gleich lang. So, das bedeutet letztlich, alle Strecken, egal welche Strecke ich betrachte, alle Strecken werden um den Faktor k verlängert.

Die Seitenlängen des Dreiecks, die Höhe, was auch immer alles wird um k größer. Das bedeutet um den Faktor k Strecken. Das heißt, ich habe hier unten k mal g und hier die Höhe ist k mal h.

Was passiert jetzt mit dem Flächenhalt? Wer kann mal diktieren, was ich hier ausrechnen muss? a2 ist gleich. Was? Ein halb.

Was kommt dann? g h k. Was ist denn die Grundseite? Wie lang ist denn die Grundseite?

g mal k oder k g steht hier unten. Das heißt nicht Kilogramm, sondern k mal g. Die Grundseite ist k mal g lang. Wie lang ist die Höhe? k mal h. Genau.

Okay. Ein halb k mal g mal k mal h. Ein halb mal Grundseite mal Höhe. Und Sie sehen schon vielleicht, kann man es wieder umstellen. Ich kann die beiden k's mal nach vorne holen. Dann steht da k² mal, okay, relax hier, ein halb mal g mal h.

Ein halb k mal g mal k mal h ist vielleicht k² mal ein halb mal g mal h. Also einfach die beiden k's nach vorne geholt und dann ist es gerade wieder k² mal a1.

Also selbst beim Dreieck vergrößert sich der Flächeninhalt um den Faktor k².

Flächeninhalt vom Kreis? Na, wie berechnet man Flächeninhalt vom Kreis?

Pi mal r², okay. Pi r², so. Und was mache ich jetzt natürlich? Vergrößere ich den Kreis wieder gleichmäßig, sodass alle Längen um den Faktor k gestreckt werden.

Also auch der Radius. Die Länge Radius wird um den Faktor k gestreckt. So, ich mache das jetzt mal kurz hier. a2 ist gleich dann dementsprechend Pi. Der Radius ist ja jetzt kr².

Der neue Radius ist ja k mal r, okay. Und dann kann ich das k² wieder nach draußen ziehen. Da steht da k² mal Pi r². Und das ist gerade k² mal a1.

So, also auch hier wurde der Flächeninhalt um k² größer. So, jetzt kommt noch eine grundsätzliche Überlegung. Wie sieht es denn bei dieser Figur hier aus?

Alien, oder? So, wenn ich diese Figur um den Faktor k vergrößere,

alle Länge um den Faktor k, was passiert mit dem Flächeninhalt? Vergrößere ich um k², das haben Sie jetzt geraten, oder? Oder haben Sie eine Begründung? Weil es immer so ist irgendwie, ne? Genau, also bislang haben wir hier immer k², Sie haben auch völlig recht, ne? Also würde auch um k² größer werden. Also immer exakt k².

Warum? Hat jemand eine Begründung? Wie könnte man das hier nachvollziehen oder begründbar machen?

Ja, jede Strecke. Aber der Flächeninhalt da, den auszurechnen, ist schwierig, ne? Genau, und welche nehmen wir denn da? Ja, genau, Dreiecke.

Wir können das Ding hier in Dreiecke aufteilen. So, so, so, so, so, so und so weiter und so weiter. Und diese kleinen Dreiecke. Jede Länge wird im Faktor k größer. Das heißt, der Flächeninhalt all dieser Dreiecke vergrößert sich im Faktor k². Das haben wir vorhin gesehen. Also auch das gesamte Ding.

Und das ist jetzt die Begründung, dass wir sagen können, okay, es ist völlig egal, wie eine Figur aussieht. Der Flächeninhalt wird immer um den Faktor k² größer, wenn ich die Längen um den Faktor k strecke. Selbst sowas hier. Ja? Das kann ich auch in Dreiecke einteilen. Das werden ganze Mini-Dreiecke.

Warum geht das Licht jetzt aus? Das werden Mini-Dreiecke. Ja, da kann ich so diese runden Kurven, die kann ich mit kleinen Mini-Dreiecken annähern. Und dann wird auch das um k² größer. Genauso wie beim Kreis auch und so, ne? Also, Fazit.

Wenn ich eine zweidimensionale Figur um den Faktor k vergrößere bezüglich der Längen, dann wird der Flächeninhalt exakt um k² größer. Nicht um 0,3 k² und nicht um 7 k², sondern um k².

Also, der Flächeninhalt wächst um k². So, jetzt gehen wir auf die Folie, die ich Ihnen die ganze Zeit schon mal kurz gezeigt habe. Jetzt gehen wir mal ins Dreidimensionale. Beim Dreidimensionalen interessiert natürlich insbesondere das Volumen. So. Jetzt haben wir hier einen Würfel.

Was passiert, wenn ich jetzt alle... Entschuldigung, Quatsch, falsch. Beim kleinen Würfel seien auch mal die Seitenlängen a. Okay, dann ist das Volumen natürlich a hoch 3. Was passiert mit dem Volumen,

wenn ich alle Seitenlängen mit Faktor k vergrößere? Genau. Das Volumen hier, v2, das war v1, hat das Volumen k hoch 3 mal a hoch 3.

So, und das ist natürlich dann k hoch 3 mal v1. So, also hier auch...

Was heißt auch? Hier wird das Volumen um den Faktor k hoch 3 größer. Jetzt können Sie das Gleiche durchmachen, was wir eben mit allen möglichen zweidimensionalen Figuren gemacht haben. Wenn Sie jetzt Körper nehmen, Kugel, Zylinder, Pyramide,

immer wird das Volumen um k hoch 3 größer werden. Wenn man beispielsweise mal von einem Zylinder oder von einem... Dann nehmen wir mal den Zylinder, genau.

Da ist das Volumen ja ein halb Grundseite mal Höhe. Wobei die Grundseite... Entschuldigung, Quatsch. Grundseite mal Höhe.

Beim Zylinder haben Sie beispielsweise die Formel Grundfläche mal Höhe. Also Grundfläche mal Höhe. Grundfläche ist eine Kreisform und mal die Höhe. Wenn Sie jetzt um den Faktor k strecken, wissen wir ja,

Flächen wachsen um den Faktor k² und die Höhe wächst um den Faktor k. Das heißt, das ganze Ding würde auch wieder exakt um k hoch 3 größer werden. Wenn Sie mal eine Pyramide nehmen, da haben Sie die Formel ein Drittel g mal h. Also ein Drittel Grundfläche mal Höhe. Das heißt, auch hier würde die Fläche wieder um Faktor k² größer werden.

Die Höhe um Faktor k, auch hier wieder k hoch 3. Also egal, welche dreidimensionale Figur Sie nehmen, das Volumen wird um k hoch 3 größer. So, und jetzt bringen wir das zusammen im Verhältnis von Oberfläche und Volumen.

Wir wissen, wenn ich hier die Oberfläche O1 habe, nennen Sie mal O1, wenn ich hier die Länge mit k multipliziere, was passiert dann mit O2? Haben wir gerade gesagt, die Oberflächen sind ja Flächen,

das sind zweidimensionale Figuren, wenn Sie so wollen. Das vergrößert sich um k². K²O1, das Volumen, wenn ich das mit k strecke,

vergrößert sich um k hoch 3. Das heißt, wenn ich etwas aufplustere, etwas größer mache,

dann wächst die Oberfläche quadratisch und das Volumen kubisch mit hoch 3. Das heißt, das Volumen wächst wesentlich schneller als die Oberfläche, wenn ich etwas größer mache. Das heißt, wenn ich etwas vergrößere in dieser Form, dann wird das Volumen im Verhältnis zu seiner Oberfläche

schneller, größer. Oder andersrum, die Oberfläche wächst weniger schnell und dementsprechend wird sie im Verhältnis zum Volumen kleiner. Wenn ich jetzt hier das Verhältnis bilde, O2 zu V2,

dann ist das gleich k²O1 durch k hoch 3 V1. Und das k² kürzt sich gegen das k. Also ich habe hier einfach 1 durch k mal das alte Verhältnis, O1 durch V1.

Das alte Verhältnis nehme ich, Oberflächenvolumenverhältnis, dividiere es durch k und dann kriege ich das neue Oberflächenvolumenverhältnis. Das heißt, das Verhältnis wird kleiner, wenn k größer ist als 1. Wenn ich also vergrößere, also k größer ist als 1, dann wird das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen kleiner.

Das Ganze kann man sich auch noch ein bisschen veranschaulichen hier an folgendem Bild jetzt mit Würfeln. Und das kann man letztlich auch mit Kindern sehr gut an dieser Stelle besprechen. Man kann es nämlich mal Folgendes vorstellen. Wir bauen Häuser.

Okay, Häuser hier Würfelhäuser. Und diese kleinen Würfel hier, die kleinen Würfel sind Zimmer. Das heißt, ganz links, das eine Haus, das besteht aus einem Zimmer. Das nächste Haus ist um den Faktor k gleich 2 gestreckt.

Das heißt, hier habe ich dann auf einmal 8 Zimmer. Und in dem großen Haus hier habe ich 3 mal 3 mal 3 Zimmer. Um den Faktor 3 gestreckt vom kleinen Haus aus gesehen. So, das heißt, ich habe jetzt hier unterschiedlich große Häuser mit Zimmern.

Und die Frage ist jetzt, im Winter, wenn es kalt ist, dann verheilt sich die Häuser und da geht die Energie ja über die Oberfläche raus. Ja, so über die Zimmerwände. Und jetzt gehen wir mal von aus, also Boden ist jetzt auch wurscht. In alle Richtungen geht die Energie raus, gleichermaßen. Und jetzt kann man ja mal zählen, bei den unterschiedlichen Häusern,

wie viel Zimmer haben wir? Das entspricht dem Volumen. Und wie viele Außenwände haben wir? Wie viele kleine Zimmeraußenwände haben wir? Das entspricht der Oberfläche. Also, hier haben wir 1 Zimmer und 6 Außenwände.

Ja, nämlich der kleine Würfel hat 6 Wände. Hier haben wir schon gesehen, hier haben wir 8 Würfel, also 8 Zimmer. Wie viele Außenwände haben wir? Wie viele kleine Zimmeraußenwände?

Ja, 24. Wie kommen sie drauf? Ja, jede Seite hat 4 kleine Zimmeraußenwände. Und wir haben 6 Würfelseiten insgesamt, also 24 Außenwände. Ja, so. Jetzt haben wir, hier haben wir gerade gesagt 3 mal 3 mal 3, also 27 Zimmer.

Wie viele Außenwände haben wir? Ja? 54, 6 mal 9.

Jede Seite hat 9 Zimmeraußenwände und das ganze mal 6 sind 54. Okay. Und jetzt bilden wir mal das Verhältnis von Oberfläche und Volumen. Die Frage entsprechend lautet, wie viele Außenwände kommen auf ein Zimmer?

Wie viele Außenwände habe ich pro Zimmer? Ich dividiere also die Anzahl der Flächen, Außenwände durch die Anzahl der Zimmer. Da komme ich hierbei 6 durch 1 gleich 6 raus. Ich habe 6 Außenwände auf einem Zimmer. Hier habe ich 24 Außenwände, kommen auf 8 Zimmer.

Und hier kommen 54 Außenwände auf 2 Zimmer. Witzigerweise geht das bei den ersten 3 Fällen auch auf. Also wenn wir jetzt mit 4 vergrößern würden, würde das nicht aufgehen. Aber hier kommt natürlich immer ganze Zahlen raus, witzigerweise.

Okay, das heißt wir haben jetzt hier ein Verhältnis Oberfläche-Volumen von 6. Hier 3 und da 2. Das heißt, je größer der Würfel wird, umso weniger Außenwände haben sie pro Zimmer. Also die Oberfläche pro Volumen wird kleiner.

Welches Haus ist energetisch sinnvoller im Winter? Das große. Weil sie pro geheiztem Zimmer, das geheizte Zimmer ist sozusagen das Volumen,

ist ein Maß oder ein Analog zur vorhandenen gespeicherten Energie. Und über die Außenwände geht die Energie ab. Das heißt, in dem großen Haus haben sie weniger Außenwände pro Volumen, also weniger Fläche, über die die Energie abgehen kann, im Verhältnis zu der gespeicherten Energie im Haus drin.

Das heißt, das große Haus ist energetisch sinnvoller als das kleine Haus. Man kann es auch so vorstellen, da stecken ja jede Menge Würfel innen drin im Haus, die gar keine Außenwand haben beispielsweise. Bis die Energie da raus ist, das dauert. Das heißt, wenn Sie das Haus jetzt aufplustern, groß machen,

dann wächst das Volumen mit K hoch 3. Also die gespeicherte Energie, die wächst mit K hoch 3, während die Außenwände, die Fläche, über die die Energie abgeht, nur mit K Quadrat wächst. Also ist es energetisch sinnvoller. So, und genauso ist es bei den Pinguinen,

um mal wieder zum Anfangsproblem zurückzukommen. Wenn Sie einen kleinen Pinguin haben, so einen Mini-Pinguin, so einen Zwerg-Pinguin, bei dem, der hat eine ziemlich große Oberfläche für sein Volumen. Wenn Sie den in die Antarktis stellen würden,

dann würde der ziemlich schnell erfrieren, weil einfach die Energie, die gespeicherte Energie, die letztlich sein Volumen ist, ziemlich schnell über seine Oberfläche abgegeben werden würde an die Außenwelt. Während der große Pinguin, der Kaiser-Pinguin, ich puste sozusagen den Zwerg-Pinguin auf, mache ihn ähnlich zum Kaiser-Pinguin,

die sind jetzt wirklich ähnlich. Das ist nur so analog ein bisschen. Wenn ich einen großen Kaiser-Pinguin habe, der hat auf einmal ganz viel Volumen im Verhältnis zu seiner Oberfläche. Das heißt, er hat viel gespeicherte Energie, die nur sehr langsam abgegeben wird über die Oberfläche. Und insofern ist der eher geeignet dafür für kalte Gebiete. Andersrum, wenn Sie einen Kaiser-Pinguin nach Südafrika stellen,

hat er ganz viel Energie gespeichert, die er aber nur sehr langsam abgeben kann. Das heißt, er würde ziemlich schnell einen Hitzeschlag kriegen. Da ist es günstig, klein zu sein, wenn es warm ist. Wenn Sie klein sind, dann können Sie nicht überhitzen,

weil Sie Ihre Energie sofort über Ihre große Oberfläche, die Sie haben, im Verhältnis zum Volumen nach außen abgeben. Okay, insofern... Also, das habe ich noch gar nicht erwähnt. Diese Regel, dass Lebewesen derselben Art,

die über einen großen geografischen Raum verteilt sind, dort kleiner sind, wo es warm ist, und dort größer, wo es kalt ist, die nennt man die Bergmannsche Regel. Die Bergmannsche Regel, liebe Sacht, Lebewesen derselben Art sind dort, wenn sie über einen größeren geografischen Raum verteilt sind,

dort kleiner, wo es warm ist. Ich wusste, dass diese Frage kommen würde. Sind deswegen Italiener kleiner und die Norweger größer? Ich weiß nicht, ob die Analogie hier so greift. Ich glaube nicht. Ich bin jetzt kein Biologe.

Ich bin mir aber nicht sicher. Jetzt kommt an der Stelle auch häufiger die Frage, aber die Elefanten sind doch auch größer als die Ameisen. Also müssten doch die Elefanten in der Antarktis leben und die Ameisen in Afrika.

Na ja, Herr Vorsicht, es geht nicht um beliebige Tiere, sondern es geht um Tiere derselben Art. Also nicht irgendwelche Tiere miteinander vergleichen, sondern nur Pinguine, nur Elefanten und so. Nur Bären beispielsweise.

Natürlich haben Pinguine, jetzt gehen wir wieder in die Biologie zurück, noch weitere Strategien. Die verlassen sich nicht nur auf die Mathematik. Nur auf die Mathematik verlassen ist schlecht im Leben. Sondern die haben noch weitere Strategien. Die Kaiserpinguine beispielsweise, die haben ein ziemlich dichtes Federkleid.

Dass sie auch noch mit so einem Drüsensekret einkleistern, sodass das Ding wasserdicht wird. Und ziemlich dicht. Also, das Federkleid der Pinguine ist extrem schützend. Das heißt, die Energie geht kaum da raus.

Die haben an ihrer Oberfläche kaum irgendwie eine Temperatur, die größer ist als 0 Grad. Weil die Körpertemperatur stark gehalten wird innerhalb dieses Federkleids. Die haben auch eine ziemlich dicke Fettschicht noch drunter. Fettschicht und Federkleid. Wobei die Fettschicht, habe ich gelesen, ich kenne mich auch nicht aus wie kein Biologe,

aber die Fettschicht scheint nicht besonders relevant zu sein für die Abdichtung, sondern eher als Nährstoffhaushalt. Die ernähren sich aus ihrer Fettschicht, aber das Federkleid schützt. Dann haben die noch die Strategie, die stehen ja am Boden. Und Sie können sich vorstellen, wenn Sie mit nackten Füßen im Schnee stehen,

wird es auch relativ schnell an den Füßen kalt. Das heißt, die Unterseite der Füße ist relativ schwach durchblutet. Da fließt kein Blut lang, sodass sozusagen die Wärme aus dem Blut abgegeben würde an den Boden.

An der Oberseite sind die Füße warm und gut durchblutet. Da liegt das Ei drauf. Sie stehen sozusagen im Schnee, unten kalt an den Füßen, oben warm. Und da liegt das Ei drauf, so unterm Fell. Und dann wird das Ei schön warm gehalten. Und dann haben die eine Strategie, wenn die die Eier brüten,

dann stehen die ja so im Pulk zusammen. Und die stellen sich tatsächlich so im Kreis auf. In der Mitte sind jede Menge Pinguine. Nach außen stehen die Pinguine. Und die ganz außen stehen die Pinguine. Die kriegen natürlich am meisten Kälte ab. Und dann müssen Sie sich vorstellen, dann stehen die da und dann fegt der Schneesturm über die Pinguine weg. Und es ist wirklich saukalt.

Wenn Sie mal Happy Feet anschauen, das ist wirklich goldig. Und dann steht dann der Oberpinguin da und sagt, durchhalten! Und dann stehen die alle da und halten diesen Schneesturm aus. Und dann gehen irgendwann die äußeren Pinguine weiter in die Mitte und die von außen kommen nach außen. Also stehen immer andere außen. Dann können die anderen sich in der Mitte wieder aufwärmen,

in Anführungszeichen, während die anderen außen stehen und die Kälte abhalten. Also extrem gut vorbereitet für die Kälte die Tiere. Der kleine Galapagos-Pinguin, der hat ein anderes Problem. Der hat nicht die Kälte als Problem, sondern die Hitze.

Deswegen ist er erst mal kleiner, weil er viel Energie über seine Oberfläche abgeben kann. Er hat aber auch noch andere Strategien. Auch er verlässt sich nicht nur auf die Mathematik. Bei ihm beispielsweise sind die Füße extrem gut durchblutet. Wenn er am Boden steht, dann werden die richtig schön rosarot. Und auch die Flügel unterseiten werden dann sehr gut durchblutet.

Und dann steht er da und macht die Flügel so auf. So eine möglichst große Fläche, um Energie abzugeben nach außen. Dann wedelt er so mit den Flügeln ein bisschen. Und manchmal fangen sie auch an zu hecheln. Dann wird der Schnabel aufgemacht und dann wird über die Flüssigkeit im Mund sozusagen geht Energie nach draußen, Wärme nach draußen. Und dann gibt es Energie ab.

Jetzt gibt es noch weitere Phänomene in der Biologie, die sich zurückführen lassen auf Oberflächenvolumenbetrachtungen. Eine davon sehen Sie hier.

Füchse haben eine gewisse Auffälligkeit, die man hier jetzt unter der Allenchenregel zusammenfasst. Das andere war die Bergmannscheregel, jetzt kommt die Allenscheregel. Kennt jemand diese Regel und weiß jemand, worauf ich hinaus will?

Genau. Die Gliedmaßen oder die äußeren Extremitäten, Arme, Ohren, Füße, Beine, Ohren und so,

die sind größer dort, wo es wärmer ist von der Oberfläche her. Also ich vergrößere, Strategie ist, wenn es heiß ist, als Tier vergrößere ich meine Oberfläche im Verhältnis zu meinem Volumen, damit ich Energie abgebe. Jetzt verlassen wir die Ähnlichkeit.

Ich vergrößere jetzt nur die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen. Beispielsweise hier unten der Fennek, der Wüstenfuchs hat die Ohren groß. Der vergrößert seine Ohren, der macht sich unähnlich zum Polarfuchs, damit er eine größere Oberfläche hat im Volumen.

Darüber kann Energie abgeben. Der Polarfuchs hat kleine Ohren, lieber keine Energie abgeben. Hier ist es kalt, der Wüstenfuchs hat große Ohren, hier muss Energie abgeben, hier ist es warm. Und unser Rotfuchs hier in der Mitte hat mittlere Ohren. Das heißt, je wärmer es wird, umso größer die Oberfläche bräuchte. Letztlich, wenn Sie Elefanten anschauen,

das sind ja auch riesige Tiere dort, wo es heiß ist. Da müsste man sagen, energetisch vollkommener Quatsch. So große Tiere da, wo es warm ist. Also in Afrika bitte nur kleine Tiere. Aber Elefanten sind trotzdem groß. Das heißt, die brauchen eine andere Strategie, um energielos zu werden. Wenn Sie jetzt ein Elefant sind, haben Sie das Problem,

irgendwann verdunsten Sie halt oder verdampfen, wenn Sie so viel Energie haben. Insofern ist es günstiger, große Oberflächen zu haben. Okay, naja. Große Ohren geben ziemlich viel Energie ab. Dann wählen Sie noch ein bisschen damit und so. Dann können Sie Energie an die Außenwelt abgeben.

Die Elefanten, die keine großen Ohren hatten, die haben eben auch keinen Nachwuchs gekriegt. Das ist Evolution, nennt man das. So, okay. Weitere Phänomene, die darauf beruhen, ist die Flugfähigkeit von Vögeln.

Große Vögel sind tendenziell weniger flugfähig als kleine. Warum? Was könnte der Grund sein? Wenn Sie so einen Vogel aufplustern, zum größeren Vogel machen,

was passiert dann? Genau. Das Verhältnis der Flügel zum Körper ändert sich. Die Oberfläche des Vogels wächst mit K². Die Flügelfläche oder die Abrisskante wächst mit K, die Flügel mit K², während das gesamte Volumen des Vogels, also sein Gewicht,

mit K hoch 3 wächst. Das Volumen wächst stärker als die Oberfläche. Das heißt, irgendwann wird die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen zu schwach, um den Vogel in der Luft zu halten. Beispielsweise hier, also der Uhu, der ist ein relativ großer Vogel, der kann noch fliegen gerade so.

während der Vogelstrauß da schon Probleme hat. Okay, da sind die Flügel vielleicht auch mittlerweile verkümmert und so, ja, da ist halt relativ schnell im Laufen. So ein Vogelstrauß müsste jetzt im Verhältnis, wenn man das Oberflächen-Volumenverhältnis betrachtet, müsste der auf mehrere hundert Stundenkilometer beschleunigen, um abheben zu können.

Manche Vogelsträuße versuchen das auch und landen dann mit dem Kopf im Sand. Okay, das ist ein Witz, der kommt nie gut an. Ich muss ihn unbedingt abstellen. So, okay, also, Vögel können nicht beliebig groß werden.

Ich kann Sie auch beruhigen, wir werden niemals angegriffen werden von riesen Insekten. Also riesige Insekten, die uns angreifen, vergessen Sie es, unmöglich. Da kann man sich auf die Mathematik verlassen. Warum? Also hier sieht man einen Hirschkäfer, der relativ groß Insekt ist,

der größte Käfer hier in unserem Breitenkran. Naja, 15 Zentimeter, schon ziemlich groß für einen Insekt. Größer wird es kaum werden. Warum? Weiß es jemand?

Wegen dem Chininpanzer? Ja und nein? Ja, also es liegt nicht so sehr am Panzer. Vielleicht bräuchte ein Insekt doch keinen Panzer. Ja, sehr gut, genau. Wegen der Atmung. Weiß jemand, wie ein Insekt atmet?

Das hat ein Röhrensystem, das nennt man Tracheen. Und dieses Röhrensystem ist mit der Oberfläche des Körpers verbunden, mit dem Chininpanzer. Und letztlich erfolgt die Sauerstoffversorgung über die Oberfläche des Systems,

fließt in diese Tracheen hinein, der Sauerstoff. Wenn ich das Insekt größer mache, wächst die Oberfläche nur mit K², das Volumen aber mit K³. Da die Sauerstoffversorgung über die Oberfläche stattfindet, erhält das Insekt zu wenig Sauerstoff, wenn es zu groß wird,

und ist nicht überlebensfähig. Also das Volumen kann nicht mit Sauerstoff versorgt werden, weil die Sauerstoffversorgung über die Oberfläche stattfindet. Anders bei warmblütlern Säugetieren wie uns beispielsweise, die ihr den Sauerstoff in den Körper anders transportieren, nämlich über Blut.

Wir transportieren unseren Sauerstoff über Blut. Blut ist aber Volumen. Das heißt, wenn ich uns größer mache, dann wächst die Blutmenge mit dem Faktor K³. Ähnlich wie der Körper auch mit dem Faktor K³ wächst. Das heißt, da ist es unproblematisch. Wir können theoretisch von der Sauerstoffversorgung her

beliebig groß werden, weil der Körper über K³ mäßig mit dem Blut mit Sauerstoff versorgt wird. Einziges Problem bei uns ist die Aufnahme des Sauerstoffs in den Körper hinein. Da brauchen wir eine große Oberfläche.

Deswegen haben wir Lungenbläschen. Deswegen ist die Lunge so gefaltet in tausende kleine Fällchen. Damit wir möglichst viel Sauerstoff aufnehmen über eine große Oberfläche. Wenn wir die Lunge aufhalten, platt machen am Boden, dann haben wir eine richtig große Fläche, über die Sauerstoff aufgenommen wird. Dann wird es in den gesamten Körper mit Blut transportiert.

Kein Problem. Natürlich haben wir trotzdem eine Obergröße. Das Problem ist dann nämlich in anderer physikalischer Art. Man muss das Blut in den Körper hineinkriegen. Das heißt, man braucht eine ziemlich starke Pumpe. Wenn ich beliebig groß werde, ist zwar die Blutmenge kein Problem, aber das Problem ist,

in alle Ecken und Enden des Körpers zu pumpen. Das ist das Problem. Deswegen können auch Säugetiere nicht beliebig groß werden. Säugetiere können aber auch nicht beliebig klein werden. Hier habe ich jetzt das kleinste Säugetier, Spitzmaus.

Was hat die Spitzmaus für ein Problem, wenn man es jetzt Volumenoberflächenmäßig betrachtet? Die Spitzmaus hat das Problem, dass sie eine ziemlich große Oberfläche im Verhältnis zu ihrem Volumen hat. Das heißt, sie gibt Energie ab

und würde auch relativ schnell erfrieren oder zu kalt sein, Energie abgegeben haben. Wir müssen unsere Körpertemperatur halten. Was macht die Zwergspitzmaus, um ihre Körpertemperatur zu halten?

Sie gibt ständig Energie ab, schlecht, wenn die Körpertemperatur sinkt. Was macht die, um sie zu halten? Sie frisst permanent. Ich habe in einem Buch bei Gläser einen schönen Vergleich gelesen. Wenn ein Ochse so viel Körpervolumen fressen würde wie eine Spitzmaus,

würde er relativ schnell seinen Siedepunkt erreicht haben, weil er einfach zu viel Energie aufnimmt. Während wenn die Spitzmaus nur so viel fressen würde wie ein Ochse, bräuchte sie 20 cm Fell um sich herum, um die Energie zu halten. So ein Fellkugel, der irgendwie durch die Gegend rollt.

Das ging natürlich auch nicht. Hier auch wieder. Wir können nicht beliebig klein werden, weil wir sonst permanent fressen müssten, um die Energie zu halten, um die Körpertemperatur zu halten. Hier sind das letztlich Oberflächen-Volumen-Betrachtungen,

um es zusammenzufassen. Oberflächen-Volumen-Betrachtungen, Verhältnisse von Oberfläche zu Volumen. Oberfläche ist gleichbedeutend Energieabgabe. Volumen ist gleichbedeutend Energievorrat. Und dementsprechend muss man schauen, je nachdem in welchem Gebiet man lebt, dass man seinen Energiehaushalt im Griff hat.

Entweder ich verkleinere meine Oberfläche im Vergleich zum Volumen, wenn es kalt wird, indem ich das Tier größer mache. Oder wenn es warm wird, mache ich das Tier kleiner, vergrößere die Oberfläche im Vergleich zum Volumen. Oder ich vergrößere die Oberfläche einfach auf andere Art und Weise, wie mit der Allenschen Regel, einfach die Gliedmaßen größer machen,

Ohren größer machen und so weiter, um Energie abzugeben. Okay, hier sind noch mal zwei Literaturhinweise, wenn Sie da stärker daran interessiert sind. Ja, insbesondere gilt natürlich, dass das jetzt ein Beispiel dafür war, wie unterschiedliche Disziplinen ineinandergreifen können

und dasselbe Phänomen bearbeiten. Also auf der einen Seite haben wir die Biologie, aus der stammt das Phänomen. Warum sind denn Pinguine in der Antarktis größer als am Äquator? Dann die Physik kann uns helfen, energetische Betrachtungsweisen mit einzubringen. In diesem Fall. Und die Mathematik kann das Ganze dann auch in abstrakter Art und Weise

über Oberfläche-Volumen hier in diesem Fall, Oberfläche-Volumen-Betrachtung, komplettieren. Und genau das ist auch der Grund, weshalb man in der Schule in vielen Bereichen so etwas geschaffen hat wie Fächerverbünde, damit man solche Phänomene mit dem Blick unterschiedlicher Disziplinen

ganzheitlich multiperspektivisch aufbereiten kann. Okay.