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Ähnlichkeit und Verhältnisse

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ok das Thema heute ist Ähnlichkeit und Verhältnisse und bei dem Thema das wir heute besprechen wird sozusagen noch einmal der Fächer verbindende Aspekt bestimmte mathematische Inhalte deutlich also werden sollte die Mathematik zum Teil verlassen und in anderen Wissenschaften schauen und ja haben das Thema Ähnlichkeiten Verhältnis aus verschiedenen Perspektiven oder Perspektiven verschiedener Wissenschaften anschauen
und wir gehen tatsächlich jetzt auch mal erst mal gar nicht in Mathematik sondern binden den zu der von Ihnen schon mal in der Wilhelma gewesen in Stuttgart und schon einige genau auch wenn sie reingehen begegnen ihnen als 1. folgende Tiere ja die das sind
Brillenpinguine Brillenpinguine heißen die jeweilige so weit diese Veränderungen die Augenbrauen Roman also schwarzweiß 1 das sieht aus wie vorher wenn man dann in der Wilhelma Erweiterung gehört es etwa dazu dass in relativ kleinen Pinguin das sind so kleine sportliche Pinguine die Watsche durch die Gegend und springen ins Wasser und schwimmen um und das war vor einigen Jahren das ist mal bis in die Presse geraten weil mit dem Pinguin geklaut hat in der Wilhelma ist wirklich traurig B wurde geklaut und der hat den Lebensgefährten in 14 Jahren war dann also sehr deprimiert und traurig die ganze Zeit und ich weiß nicht wie es ausgegangen sich Doppelpartner nie gefunden also hat irgendjemand mitgenommen dass was zur zutraulicher Pinguin hat den Vortrag damals schon gehalten oder hat man nicht verdächtig dass sich geklaut hätte weil ich hier über Pinguine was bei der Kinder-Uni erzählt aber ich bin nicht lesen also ok ja also die Brillenpinguine also kleine Pinguine kleinen werden 60 bis 70 Zentimeter groß also da wird mir vielleicht ein bisschen höher als so dann geht man weiter
durch die Wilhelma und dann begegnet eine größere Pinguine nach das sind die Königs Pinguine die ja auch ein bisschen weniger schnell und schnuckelig richtiggehend watschelnde sondern eher ein bisschen behäbiger da sitzen ja stellt man fest die sind da wesentlich größer als die Brillenpinguine wahrnehmen können Königspinguine hier die Mensur 85 bis 95 Zentimeter hoch und wesentlich voluminösere es gibt noch größere Pinguine allerdings nicht mehr Wilhelm war dass die Kaiserpinguine verließen um eine Stufe größer als die Königspinguine werden so bis zu einem Meter 30 groß so Kaventsmännern ok also aber in der DDR war er bereits diese beiden ganz unterschiedlichen Pinguin Größe ok und das Thema der Vorlesung heute wird sein die Frage zu klären hieß es sein kann dass in unterschiedlichen Körpergrößen extrem unterschiedlichen Körpergrößen ja also man könnte sagen die Kaiserpinguine sind fast doppelt so groß und da heißt es wird schon kalt hier drin der keine wirklich Guido aber wir sind fast doppelt so groß wie die Brillenpinguine war und es gibt auch kleinere schon dass man also Pinguine haben eine extrem große Spannbreite in ihrer Körpergröße und die Frage ist warum ist das so ok und diese
Fragen werden wir uns aus verschiedenen Perspektiven einmal aus der Sicht der Biologie er also werden sie es erstmal mit der Welt der Pinguine befassen um anschließend eine weitere Wissenschaften zurückzunehmen nämlich die Physik zu können sich vorstellen dass größeren auch irgendwie was mit physikalischen Eigenschaften zu tun haben das heißt wir gucken auch in die 40 und am Schluss schauen in die Mathematik die Mathematik liefert nämlich wertvolle Informationen zur Beantwortung der Frage warum das große und kleine Pinguine gibt so
ok ich hab ihn schon angedeutet es gibt noch größere Pinguine nämlich die Kaiserpinguine in die Kaiserpinguine diese bekannt gewordenen letzten Jahren insbesondere durch berühmte Kinofilm er die Reise der Pinguine Weise über die Reise der Pinguine mal gesehen und in wenigen Wochen so super finden das toll Aufnahmen so oder erheblich Feet der Certified gesehen Leute müssten ins Kino gehen wieder so ein süßer Zeichentrickfilm der kommen auch Kaiserpinguine drin vor ok man sieht die Kaiserpinguine in der Antarktis ok und Sie können sich vorstellen in der Antarktis ist es kalt und zwar extrem kalt ich hab mal hier einen Text mitgebracht aus einem fast ist das Buch in diesen auch super Bücher hier sehr wichtig ist gut Markt ein Abschnitt vor ich zitiere mal aus dem kleinen Abschnitt hiervon von Seite 17 Jahre der beschreibt wie verdammt kalt das in der Antarktis ist und die was Überlebenskünstler das eigene sind diese Pinguine also die wahren Überlebenskünstler in Eis sind die Kaiserpinguine hier sie brüten während des antarktischen Winters also während das Amt arktischen Winter dass ist noch eine Stufe Kälte und müssen von allen warmblütigen Tieren der Erde die niedrigsten Temperaturen ertragen doch sie trotzen Temperaturen von mehr als minus 40 Grad Celsius also wir beschweren uns übers Wetter die ganze Zeit ja da und ist ein bisschen härter ja und Schneestürmen die mit einer Geschwindigkeit von 100 reichsten statt 130 Stundenkilometern über das Eis für fliegen also extreme Schneestürme die wahrscheinlich noch man sich ein bisschen kälter anfühlen als sie für viel führt dazu dass ich sowieso schon so die gefühlte Temperatur bei den extremsten Bedingungen des antarktischen Winters beträgt tatsächlich minus 180 Grad Celsius ok Antarktis-Forscher berichten der Mensch ist geblendet durch die einstmals gehört die sich in wenigen Sekunden auf seinem Gesicht bildet wie gut er auch ausgerüstet sei sein eine gleiche kleine Flächen nackter Haut gefriert in 40 Sekunden nach 50 Metern vergeht ihm Hören und Sehen der verliert jede Orientierung und findet seine Unterkunft also als Mensch dass man letztlich nur mit extremer Spezialausrüstung da unten überlebensfähig und wenn dann das was wir wollen dann man sozusagen gleich aufgeschmissen da sollte man besser nicht in die Antarktis gegen und die von da und vielleicht ja auch schon mal gesehen also die Pinguine sowohl die Männchen der von den Kaiserpinguinen brüten die Eier aus werden die Weibchen Futterholen gehen und dann stehen die da in einem riesigen Pool von der Schneesturm fegt über die Pinguine weg und diesen mit Schnee bedeckt und es und so stehen da und holt so das halten die daraus schon extrem Aussagen über das
Ganze auf der Weltkarte aber die Weltkarte er dann muss man die Kaiserpinguine da unten ansetzen wird in der Antarktis oder so antarktischen Inseln auch hier unten also extrem kalt es
gut aber Brillenpinguine leben wird sich mir die Brillenpinguine dass ich irgendwie kein als weiß jemand wo das bisher einzige natürlich nicht besonders gut also keinen was das sein könnte aber ich weiß immer Brillenpinguine im Jahr Neuseeland Australien passt es nicht dass er in Australien erleben die Zwergpinguine er zeigen Ihnen gleich noch ja Madagaskar ja genau also Süd Afrika nach im Süden von Afrika dass es tatsächlich auch Südafrika das Land Südafrika da wohnen die am Strand Sonne und er sich das vorstellen das stimmt das ein bisschen nach Fisch nach ok also die Brillenpinguine leben in Afrika was immer schon wusste dass Pinguine in Afrika leben wer weiß man vielleicht aus dem Film Madagascar wie der Telekom mit dem 1. Zug nach aber liegt die Fahrt in die Antarktis und entfliehen sich tierisch genau sagen ob es da nicht mehr genau wer bei den Brillenpinguinen leben nicht im eines nahe gelegenen Einzelnen die wollen wir uns warm haben also die leben hier in Südafrika zum
Beispiel nur sehr genau
weitere Pinguine hier der Galapagos Pinguine war das auch den Brillenpinguinen sieht man hier also ein bisschen am an den Ringen um die Augen der ok Galapagos Pinguin lebt naja OK auf den Galapagosinseln weiß jemand wo die sind ja bei Ecuador da von der Lage her am Äquator halt genau richtig also im Pazifik am Äquator können sich vorstellen dass es richtig heiß werden irgendwo in Ungarn Galapagos Pinguine leben dort wo es waren es
genauso der Zwergpinguine hatten Sie gerade angesprochen der der ist noch mal eine Stufe kleiner der wird so circa 35 bis 40 Zentimeter hoch so was unterstützt Zentimeter so gute gute nicht Kinder wie viel größere sowohl erlebt in Neuseeland so und jetzt ist auch das was ich Probleme für Linux zu Hause verwendet nannte es der die Vorlage für den Linux-Pinguin für Tux heißt der glaub ich auch also ist der neuseeländische Zwergpinguine soll wenn
es auf der Weltkarte schauen die Pinguine weiterverarbeiten erlebt als er Galapagos Pinguin werden also Richtung also Äquator und sehr rechts lebt der Zwergpinguine so gemein und
zurück die Königs gegen ihn
wir leben übrigens auch hier unten in der Ecke ,komma also Richtung Antarktis zur Hand arktischen Insel was auffälliges ist kaputt über Auffälligkeiten 1. Auffälligkeit ist weiter nach Süden man kommt umso größer werden die Pinguine also die die größten Pinguine die leben und in der Brust aufgehalten und die kleinsten Pinguine die leben eher am Äquator nur dort wo es warm ist er in nördlicheren Teilen der Südhalbkugel was einem auch auffällt dass es gibt keine Pinguine auf der Nordhalbkugel Winter gab es früher mal die alte erwiesen aber irgendwann mal ausgestorbene wurden durch menschliche Ausrottung es Aktivitäten vom also letztlich vom Erdboden ausgerottet halt ok ok also Nordhalbkugel gibt es keinen genuinen Nordhalbkugel lebt der Eisbär ich kann Sie beruhigen es aus und die Vorstellung die man häufig irgendwie als Kind wird das die Eisbären Pinguine fressen die Eisbären fressen keine Pinguine die kennen sich gar nicht mehr in die Eisbären gelegenen der Nordhalbkugel Grönland und so weiter ja nicht in der Antarktis während die Pinguine Kaiserpinguine Königspinguine hier und in den arktischen Gebieten leben ok also Eisbären Pinguine fressen sich nicht gegenseitig ok und je wärmer es wird umso kleiner werden die Pinguine oder andersrum je kälter es wird umso größer werden und es scheint also irgendetwas zu tun zu haben mit Temperaturen und der Anpassung der Tiere an die äußeren gegebenen Temperatur Sorry insofern ist das ein
nächster Hinweis für uns und es mit ja Temperaturen zu befassen mit Körpergrößen Temperaturen und Energie und dass ist man sofort in der anderen Wissenschaft werden nämlich in der Physik nicht schon einmal mit der Physik Brille auf diese Gegebenheiten und können nur ein kleines Experiment durchführen und zwar hab ich das Experiment mal folgendermaßen durchgeführt
sie nennen sich 2 welche Gläser verteilen die als Pinguine ok also der Deckel ist auch wichtig ja damit jetzt hier nicht so viel Wasserdampf herausgeht und damit Energie sozusagen aus dem Glas verschwinden soll sie haben wir 2 Becher Gläser die relativ ähnlich aussehen das 1 nur größer als andere und jetzt ist sie da sie nicht das Wasser reichen muss ein bisschen über aber das macht den Füßen Klavier und nicht von einem also Wasserkocher kochen dann relativ schnell ein wie sie am am besten gleichzeitig weil der bereits durch das eigentlich Energie entweicht also sozusagen wird das Wasser kälter wird dadurch dass diese das Wasser rein dann haben Sie Ihr Thermometer alljährlich das verbleibende Thermometer reingesteckt oben wird mit dem die Wassertemperatur gemessen wird das kann man mal schauen was passiert wenn man ihr das über einen gewissen Zeitraum abkühlen lässt das was er ja wissen Wecker noch
aus einer Zeit Uhr und da wird dann
ja alle 15 Minuten hier mal gemessen ok also großes Glas kleines Glas so und am Anfang habe ich gemessen 74 Grad Celsius also es war nicht ganz haben 90 100 oder so nur also und zwar gleich Kälte nachdem der Wasserkocher gepfiffen hat ok also in beiden Fällen sieht Grad Celsius warmes Wasser jetzt hätte ich gerne Ihre Prothese wie ist der Temperaturverlauf in den beiden 1. es gibt 3 Varianten Variante a das Wasser kühlt den beiden Gläsern gleich schnell ab Variante B B das Wasser kühlt im großen Becherglases schneller ab als in kleinen und Variante C das Wasser kühlt im kleinen Becherglas schneller ab als im großen so wäre ist für Variante A gleich kein ok 1. Variante B im großen Becherglas kühlt er schneller ab und die Hand geben bitte deutlich heben nämlich nicht gleich was würden und das also ich habe beide gemacht so ganz vorn bis zum Anschlag vor und dann lässt der Beratung und den darin befindlichen was einem kleinen sich weniger Wasser das in großen also wer glaubt das große Spiel schneller ab als das kleine auch keiner mehr Glaube das was im kleinen kühlt schneller ab als im großen und meisten auf hat jemand eine Begründung dafür ja das sehr schön genau ist die Oberfläche bei den kleinen klar ist im Verhältnis zur Masse ist gegenüber gar nichts gesagt haben und davon befindet kleiner als in großen genau das auch tatsächlich der Grund weshalb das schneller abkühlt ja wir gucken mal ob es wirklich so ist hat es auch gemessen werden sehen wenn man jetzt hier den Temperaturverlauf mal verfolgt dann sieht man dem kleinen lasse sich das Wasser schneller ab als im großen also scheint was mit der Oberfläche Volumen zu tun zu haben wir also Entschuldigung Herr ich hab gerade gesagt genau in dem kleinen Glas ist die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen größer als den großen Platz so genau richtig so also die Oberfläche in einem kleinen Klassen es größer zum Volumen als beim großen ist es ok mit sind wir natürlich als eine physikalische Experimente durchgeführt und davon zu überzeugen dass das Wasser tatsächlich schneller abkühlt im kleinen Becherglas und jetzt sind wir mit unseren Hypothesen mit den Begriffen Oberflächen-Volumen-Verhältnis natürlich der Mathematik das heißt wir schauen jetzt mal an was die
Mathematik dazu zu sagen ok es rund ein wesentliches
Konzept in der Mathematik das Sie eine Rolle spielt ist das der Endlichkeit allen hier sieht man die beiden nicht erklären noch einmal ich habe gerade eben formuliert sind ähnlich er ähnlich in dem Sinne dass es eine eine größere Variante des anderen als ich formuliere es mal so informell ich habe nur noch 3 andere Situationen hier war in der Nacht mit einem Würfel und jeweils 4 und den Südländern was würden Sie sagen welche diese Figuren sind jeweils in dieser Paare sind endlich zueinander und welche nicht weniger und dafür den Begriff der Endlichkeit was würden Sie sagen links oben über Würfel sind die eigentlich für ,komma sagen weil Würfel oder geht eigentlich aus ist es hier unten links mit den beiden zu Ländern die ehrlich das würde dann ja warum eigentlich ok bei 31 welche genau und beides zu den ORF wird auch über 2 zu 1 Sie sagen endlich die Linken und die die Grünen sind eine Vertreterin der der ah ja genau bei den linken Blinker und links unten in der Ecke ist das Verhältnis zwischen Grundfläche gehören anderes hier muss man sogar konnte passender die beiden Körper hier unten links und tatsächlich nicht endlich im Sinne von mathematischen weltlichen alltagssprachlich wird man sagen die beiden nämlich als wieder oben oder zu den oder so nahe aber sie sind nicht endlich weil diese Zylinder keine Ehre sagen gleichmäßig größere Variante des kleineren ist das wurde unterschiedlich gestrickt in den verschiedenen Dimensionen während die links unten als er sich eine größere Variante zu sein rechts unten also größere Variante der zu Unrecht der Kleinen zu nahe am Ähnlichkeiten Mathematik bedeutet 2 Figuren sind dann nämlich wenn sie durch eine zentrische Streckung ineinander übergehen für war sind wir das ist sozusagen die die formale Definition des ein bisschen intuitive gesprochen in allen Dimensionen werden sie gleichmäßig aufgeblasen oder geschrumpft was man sich vorstellen dass wir das Luftballons finden sie pusten einer der dann wenn sie den kleinen Zylinder ganz links unten in der Ecke erleben also den ihre sind einzelne ganze zu gerne ungleichmäßig aufpusten dürften nicht diese herauskommen das heißt hier links sind nicht ähnlich weil sie nicht gleichmäßig in allen Dimensionen vergrößert oder verkleinert das Wesentliche ist jetzt also hier die Ähnlichkeit der beiden Würfel die die Würfel wurde in alle Richtungen gleichmäßig vergrößert unterwegs und auch alle Richtung gleichmäßig und die Becher Gläser ich tatsächlich auch so gewählt dass es große eine große Variante des kleinen ist und nicht noch ein schmaler oder hat das keine Reagenzglas genommen oder so was schon mal unter wäre weil es sich endlich wieder Sache ja und jetzt
schauen wir uns mal an was passiert denn wenn man Figuren vergrößert oder verkleinert der von der Vergrößerung aus Verkleinerung des analog mit Oberfläche und Volumen beziehungsweise mit Flächeninhalte und Volumina und Rauminhalt buchen und erstmal das ganze zweidimensionale an das haben sie bereits in Vorbereitung sollte gemacht deswegen machen wir es jetzt kürzer und sie geben mir ihre Erkenntnisse man also schauen uns erst mal ein zwar im zweidimensionalen ein Quadrat an ok so so das ist ein kleines Quadrat mit Seitenlänge a so wie ist der Flächeninhalt das kleine Quadrat sehr A Quadrats genau also der Flächeninhalt des kleinen Quadrats ist machbar aber 1 =ist gleich war Quadrat sorgt so jetzt machen wir das folgende Strecken das Quadrat in alle Richtungen um den gleichen Faktor aber wir machen es also gleichmäßig größer das ist sozusagen zweidimensional Luftballon der größte geblasen wird das heißt alle Längen werden um den Faktor k verlängern zum Beispiel könnte man sich vorstellen der Faktor ist 2 oder 3 oder 5 oder 1 Komma 3 oder irgendwas aber ,komma 3 werden wieder Kleider gemacht werden alle mit dem Faktor K vergrößert was passiert jetzt mit dem Flächeninhalt ich sagen wir wie ist der Flächeninhalt jetzt von großen Quadrat K a a zum Quadrat genau also der Flächeninhalt hier stellt mich und jetzt aber 2 =ist gleich das mit dem Stift ist und nix Mensch K a zum Quadrat so und das kann ich jetzt hier mal aus multiplizieren der sehr kann man am Balkan man aber also könnte schreiben es ist karg vertrat mal AG Quadrat und jetzt weiß ich ja aber der Flächeninhalt des alten Quadrat des kleinen Quadrat ist arg Quadrat zu des A vertrat ist doch die auch auf also ist doch der Fläche des großen Quadrats K Quadrat mal der Flächeninhalt des kleinen Quadrat war also wenn ich die Seitenlängen um den Faktor k vergrößere dann vergrößert sich der Flächeninhalt um den Faktor k Quadrat einen Vertrag also wenn ich beispielsweise Seitenlängen um den Faktor 2 vergrößere dann vergrößert sich der Flächeninhalt des Quadrats um den Faktor 4 nämlich karg verbracht ,komma so vorstellen und das kleine Quadrat um den Faktor 2 vergrößere dann würde das ja bedeuten dass sich hier viele kleine Quadrate erhalte und damit hätte sich der Flächeninhalt vervierfacht okay das kann man sagen na gut dass da der Flächeninhalt und K Quadrat größer wird es liegt da dran das zum Quadrat ist schon muss man andere waren schauen uns man recht an mit den Seitenlängen a und b ok ich geht das er schreibt vielleicht verhindern sie wäre jetzt aber ein der Flächeninhalt natürlich a mal b mal dort ein Rechteck Arbeit weg und jetzt mach ich das folgende vergrößere sich das Rechteck in alle Richtungen um den gleichen Faktor nicht immer so und das ist ähnlich ist dass es sich in eine Richtung vergrößern sollen beide gleichmäßig ab also hier kann man aber und hier kam mal wie als Seitenlänge was passiert jetzt mit den Flächeninhalt des Rechtecks ja also wir wieso bekomme drauf der recht also für den KAC vertrat in der Größe ja ja genau also die Seite mit mit K verlängert und es wird sich sozusagen mehr Fläche als Berechnung weil die beiden Seiten miteinander multipliziert werden mit Quadrat aus nur wenn es Verfahren sich Streit selbst hier A 2 wieder Karneval aber nur also die eine Seitenlänge mal die andere Seitenlänge kann man
aber auch an Situation in der
dankbar dass es noch drauf bleibt
kann man a mal B R wie eine seltene immer die andere mehr welches Wissen umstellen hab ich hier K Quadrat mal
ab 8 Uhr liegt
R-Quadrat mal aber erwähne umgestellt und das ist ja gerade R-Quadrat mal
A 1 zur und das alte der alte Flächen in Kleinstarbeit solche Quadraten aber wehe wenn kommt auf K Quadratmeilen A 1 also auch der Sicherheit als auch tatsächlich exakt K vertrat vergrößert er die beiden Seitenlängen K verlängerte bei denen eine modifiziert werden muss der Rechner K Quadrat größer werdenden ok jetzt haben wir hier nur rechteckige Formen angeschaut ,komma zwar anders an das zur schauen wir uns
mal hier ein Dreieck an wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks eine halb mal haben beispielsweise naja also nicht die Grundseite gehen und muss die Höhe eintragen und H und dann das jetzt hier Jobs immer nebendran A 1 gleich ein halt wie okay was ich jetzt mache für das folgende Jahr ich plus darin dass auf Grund verlängern alle Seitenlängen um den Faktor k das muss jetzt ein ähnliches Dreieck bleiben ich hab versucht er nicht gleich darf jetzt nicht in die Einrichtung Mehr als die andere gestreckt werden und so sondern in allen Dimensionen aller Richtungen gleich lang so das bedeutet letztlich alle Strecken egal welche Strecke ich betrachte alle Strecken werden den Faktor k verlängert die Seitenlängen des Dreiecks die Höhe was auch immer alles wird um K größer das bedeutet um den Faktor k erstreckt das heißt ich hab hier unten Karma G und hier die höher ist kann man ja was passiert jetzt mit den Flächen der Kammer diktieren was sich ausrechnen muss 2 =ist gleich was der Mann Einheit so was kommt dann in die IHK was ist denn der Grund sei die dann wissen die widerlichsten Grundseite der dmk oder KG steht oder wasserseitig Kilogramm hören will kann man die Knochen die Grundseite Scan mal wenn ich sie höre kann man aber genau waren wir so
ok Leibkammerdiener kann man innerhalb mal Grundseite mal Höhe sehen schon vielleicht kann man sie umstellen kann die beiden davon holen dann steht der Quadrat mal die
Wilex wir das alles halt mal die aber eher ein Leibkammerdiener Kameras durch Kagawa dabei halt mal die man haben oder wie bei den Kassen von geholt und dann ist es gerade wieder Quadrat mal A 1 wo also selbst bei einem Dreieck vergrößert sich der Flächeninhalt um den Faktor k Crawford Flächeninhalt vom Kreis nach solchen menschlichen Haltung ist der Pi mal R-Quadrat ok Quadrat so was mach ich jetzt natürlich jetzt für größere Singkreis wieder gleichmäßig sodass alle Längen um den Faktor k gestreckt werden also auch der Radius die länger Radius wird um den Faktor k gestreckt doch niemals ist nur kurz hier aber 2 =ist gleich dann dementsprechend der Radius ist er jetzt K r zum Quadrat leider gerade sehr kann man er ok ne ganze K Quadrat nach draußen ziehen steht der K Quadrat mal Pi R-Quadrat und das ist gerade K Quadrat
zumal A 1 so
also auch hier wurde der K Quadrat Größe doch es kommt noch eine eine grundsätzliche Überlegung das besitzen bei dieser Figur hier aus allen oder war das so wie wenn ich mich recht wenig diese Figuren Faktor größere längeren Faktor K was passierte der Flächen halte er begrüße sogar Quadrat des Handels geraten oder oder Begründung war es immer so ist wirklich immer genau also bisher geheime ihrer Karte daraus ja noch völlig Recht also auch K Quadrat größer werden also vor exakt K Quadrate aber warum hat die meine Begründung wie könnte man das hier nachvollziehen begründbar man der ja jede Strecke und aber der Rechner auszurichten schwierig nicht genau welche man da ja genau 3 wir können das Ding hier in Dreiecke aufteilen so so so so so so so und so weiter und so weiter und diese kleinen 3 Länge mit dem Faktor K größer das heißt der 1. Teil dieser Dreiecke vergrößert den Faktor K Quadrats und von gesehen also auch das gesamte der und das ist die Begründung sagen König ok das ist völlig egal wie eine Figur aus sieht der Sicherheit wird immer um den Faktor k Quadrat größer gelegenen um den Faktor k Strecke sich sowas hier ja das kann ich auch in Dreiecke einteilen ist eine ganze Menge Dreiecke und gibt es nicht das aus das werden die nie 3 erklärte kann für die die diese hohen Kursen wie kann ich mit einem niedrigen annähern wird auch das OK Quadrat größer genauso Umkreis auch im Sommer also Fazit wenn ich eine zweidimensionale Figur um den Faktor k vergrößere bezüglich der Länge der der halt exakt um K Quadrat Größe nicht um ,komma 3 K Quadrat und nicht um 7 K Quadrat Charakter braucht so also der Flächen halbwegs zu um K Quadrat setzgeber auf die
politischen die ganze schon mal kurz gezeigt haben ist der mal ins dreidimensionale beim dreidimensional interessierte sich insbesondere das Volumen so es haben wir in Würfel was passiert wenn ich jetzt alles allem Entschuldung Quatsch falsch beim kleinen Würfel seien auch mal die Seitenlängen a okay dann ist das Volumen natürlich aber hoch 3 was passiert mit dem Volumen wenn ich alle Seitenlängen Faktor K für größere Mehr genau das Volumen hier V 2 das war vor 1 hat das Volumen K hoch 3
mal 7 mal a hoch
3 er soll natürlich dann kann auch 3 Mal nur
einmal V 1 zu
1 also ich hier auch also hier wird das heißt auch hier wird das Volumen um den Faktor k auf 3 größer wird können die das Gleiche durchmachen was mit allen möglichen zweidimensionalen Figuren gemacht haben selbst Körper nehmen Kugel Zylinder der Pyramide er Ende ändern wird das Volumen und kann auch 3 größer werden wenn man beispielsweise mal von den Zylinder oder von 1 1 Uhr in den Zellen der genau dass das Volumen der Einheit Grundseite mal Höhe wobei die Grundseite zum Quatsch Witze Grundseite
mal Höhe wäre bei einem Zylinder
haben sie beispielsweise von Grund seiner Grundfläche Grundfläche mal Höhe also Grundfläche mal Höhe Grundfläche ist Kreisformen und mal die wenn sie jetzt um den Faktor k Strecken wissen wer Flächen wachsen Faktor K Quadrats in die Höhe wächst um den Faktor k dass das ganze Leben würde auch wieder gesagt und auch 3 größer wenn sie meine Pyramiden nehmen da haben sie die Formel 1 tritt der gehe aber ab der 3. Grundfläche mal Höhe das heißt auch hier wird die Fläche wieder um Faktor K Quadrat größer werden gehören Faktor kam auch hier wieder auch 3 also egal welche dreidimensionale Figur sie nehmen die das Volumen wird und Unkraut 3 größer sein und jetzt bringen wir das zusammen mit
im Verhältnis von Oberfläche und Volumen wir wissen wenn ich hier die Oberfläche O 1 habe den 7 Uhr 1 wenn ich in die Länge mit k multiplizieren was passiert dann mit O 2 andere glatte Oberflächen sind der Flächen sind zweidimensionale Figuren wenn Sie so wollen ja das vergrößert sich um Quadrat nach K Quadratur eines das Volumen wenn ich das mit K Strecke vergrößert sich und kann auch 3 das heißt wenn ich etwas auf plus daran etwas größer mache dann wächst die Oberfläche quadratisch und das Volumen Gubisch hoch 3 das heißt Volumen wächst wesentlich schneller als die Oberfläche mit etwas größer macht das heißt wenn etwas vergrößert oder in dieser Form dann wird das Volumen in Verhältnis zu seiner Oberfläche schneller größer oder anders rum die Oberfläche 6. weniger schnell und dementsprechend wird im Verhältnis zum Volumen kleiner und wenn ich jetzt hier das Volumen bildet er dies Verhältnis Bälle O 2 zu V 2 1 =ist gleich KA Quadratur eines durch Kaufpreis V 1 und das K Quadrat kürzlich gegen das K als er hier einfach 1 durch K mal das alte Verhältnis O einst durch V 1 das alte Verhältnis nämlich Oberflächen-Volumen-Verhältnis die es durch durchkamen kriege ich das neue Oberflächen und selbst das Verhältnis wird kleiner K größer ist als sie mich also für größere also K größer ist als eines der das Verhältnis von Oberfläche zu klein das Ganze
kann man auch noch ein bisschen veranschaulichen hier an folgendem Bild der Welt Würfel und das kann aber letztlich auch mit Kindern sehr gut an dieser Stelle besprechen kann sie nicht nur folgendes vorstellen wir bauen Häuser ok Häuser wir dürfen Häuser und diese kleinen wirklich ihre kleinen Würfel sind Zimmer das heißt ganz links das eigene Haus ist besteht aus einem Zimmer das nächste Haus ist um den Faktor k gleich 2 gestreckt das heißt hier habe ich dann auf einmal 18 war und in dem großen Haus hier habe ich 3 mal 3 mal 3 Zimmer um den Faktor 3 gestreckt von Haus aus gesehen so das heißt ich hab jetzt hier unterschiedlich große Häuser mit Zimmern und die Frage ist jetzt im Winter wenn es kalt ist halt nicht die Häuser und der geht die Energie ja über die Oberfläche raus also über die Zimmerwände ist immer noch von aus also Boden ist es auch wurscht ja in in alle Richtungen geht die Energie raus gleichermaßen des Kameyama zählen bei den
unterschiedlichen Häusern wie viele Zimmer haben war das entspricht dem Volumen und wie viele Außenwände haben viele kleine Zimmer Außenwände haben sind entspricht der Oberfläche als hier haben wir ein Zimmer und 6 Außenwände dann nämlich der kleine Würfel 6 werden wir hier aber schon gesehen 4 haben wir 8 aus 8 Würfel also 8 wie für auseinander haben wir die viele kleine Zimmer Außenwände der 24 wie kommen Sie darauf oh ja jeder Seite hat 4 kleine Zimmer Außenwände werden 6 Würfel Seiten insgesamt also 24 aus der soll das haben wir hier mal krank sagt 3 mal 3 mal 3 also 27 Zimmer wie viele Außenwände haben war es gab 54 6 mal 9 jede Seite hat 9 Zimmer aus werden und das Ganze mal 6 54 ok so und jetzt werden wir mal das Verhältnis von Oberfläche und Volumen die Frage entsprechend lautet wie viele Außenwände kommen auf freien Zimmer wie viele Ausländer hab ich pro Zimmer soll ich dividiere also die Anzahl der Flächen Außenwände durch die Anzahl Zimmer bekomme ich hier bei 6 durch einen gleich 6 raus 6 Ausländer auf einem zum hier hab ich 24 Außenwände kommt auf 18 und hier kommen 54 Außenwände auf 2 zum 0 witzigerweise geht es bei den 1. 3 Fällen auch auf also mindestens 4 begrüßen würden würde nicht aufgeben aber hier kommt dann immer ganz Zahlen aus witzigerweise ok das heißt sie haben jetzt hier ein Verhältnis Oberfläche zu Volumen von 6 4 3 und der A 2 das heißt die größer der Würfel wird umso weniger Außenwände haben sie pro Zimmer also die Oberfläche pro Volumen wird kleiner welches Haus ist energetisch sinnvolle im Winter das große Jahr weil sie pro geheizten Zimmer das geheizte Zimmer ist sozusagen das Volumen ist ein Maß an einem analog zum 1 zu vorhandenen gespeicherten Energie und über die Außenwände geht Energie ab das heißt wer in dem großen Haus haben sie weniger Außenwände pro Volumen also weniger Fläche über die Energie abgeben kann im Verhältnis zu der gespeicherten Energie im Haus drin das ist das große Haus energetisch sinnvoller als das kleine aus der man kann's auch so vorstellen da stecken jede Menge Wirbel in drinnen im Haus weil die gar keine Außenwand haben beispielsweise ist die Energie die daraus wird das dauert das heißt wenn sie das Haus das auf plus dann groß machen und dann wird das Volumen mit kauft 3 also die gespeicherte Energie die wächst mit auch 3 während die Außenwände und die vielleicht über die Energie abgeben mit K Quadrat wächst also ist energetisch sinnvoll so und genau so ist es bei den Pinguinen ja auch mal wieder zum anfangs zurückzukommen wenn so ein kleinen Pinguine habe Sony Pinguine sind Zwergpinguine bei denen der ziemlich große Oberfläche für sein Volumen werden sie gehen in die Antarktis stellen würden dann würde ziemlich schnell erfrieren weil einfach die Energie die gespeicherte Energie wieder zu seinem Volumen ist ziemlich schnell über seine Oberfläche abgegeben würden abgegeben werden würde an die Außenwelt während der große irgendwo in der Kaiserpinguine wusste wo seine Zwergpinguine aufmachen endlich zum Kaiser den wirklich endlich das nur so analog ist wirklich mit den großen Kaiserpinguine habe hat auf einmal ganz viel Volumen im Verhältnis zu seiner Oberfläche das heißt der 4 gespeicherte Energie die nur sehr langsam abgegeben wird über die Oberfläche und insofern ist der eher geeignet dafür kalte Gebiet andersrum wenn sie Kaiserpinguinen nach Südafrika steht hat er ganz viel Energie gespeichert ok die aber nur sehr langsam abgeben kann das heißt es wird ziemlich schnell einen Hitzschlag will da ist es günstig klein zu sein wenn es war es war winzig klein sind dann können sie nicht übersetzen weil sie ihre Energie sofort über ihre große Oberfläche die sie haben das Volumen nach außen ab ok insofern also
solche könnte wenn diese Regel dass Lebewesen derselben Art wie über einen großen geografischen Raum verteilt sind dort kleine sind muss waren ist und dort größere wo es kalt ist können wir die Bergmann Street die Bergmann schräge sagt Lebewesen 1 derselben Art sind dort also neben größeren geografischen Raum also müssen dort kleiner bewusst haben dass ich wusste dass diese Frage kommen würde so dass mit der jeder kleine und die Norweger größer aber was sollte eine logische so greift glaubt nicht wenn es kein Biologe ich glaube ich glaube ich bin mir aber nicht sicher ob es es kommt an der Stelle auch häufig die Frage ja aber die Elefanten sind auch größer als die Ameisen nur also es dort fanden am Ende Antarktis leben eine Ameise Afrika wer da vor sich geht nicht unbedingt wie die Tiere so dass wir Tiere derselben Art ja nicht um also nicht miteinander vergleicht sowohl Pinguine nur Elefanten und so nur wären beispielsweise ok so aber natürlich haben wir immer wieder über die zurück noch weitere Strategie war also haben die verlassen sich nicht nur auf die Mathematik nur die Mathematik verlassen schlechte nehmen sondern wir haben noch weitere Strategien die Kaiserpinguine beispielsweise die haben ein ziemlich dichtes Federkleid das sie auch noch mit so Drüsensekret einkleistern so dass das Ding wasserdicht wird und ziemlich dicht also dass das Federkleid der Pinguine ist extrem schützt und das heißt die Energie geht kaum daraus die haben an der Oberfläche kaum irgendwie die Temperatur die größer ist als 0 Grad weil die Körpertemperatur stark gehalten wird innerhalb dieses Federkleid der ziemlich dicke Fettschicht noch unter ok Fettschicht und Federkleid wobei die Fettschicht hab ich gelesen der Chemie-und auswirken Biologe aber die Fettschicht scheint nicht besonders relevant zu sein für die Energie für die Abdichtung sozusagen sondern eher als Nährstoff aus Berlin ernähren sich aus ihrer Geschichte aber das das Federkleid schützt dann haben wir auch die Strategie die stehen am Boden und es können sich vorstellen wie sie mit nackten Füßen im Schnee stehen wird es auch relativ schnell eine Flüssigkeit das heißt die Flüsse die Unterseite der Füße ist relativ schwach durchblutet da fließt kein Blut lagen so dass sozusagen Energie aus dem werden aus dem Blut abgegeben würde einen Boot Boten an der Oberseite sind die Füße warm und gut durchblutet da liegt das Ei drauf ok sie stehen sozusagen im Schnee und kalt an den Füßen oben waren und da liegt es alle drauf und dann fällt er und dann wird es als schön warm gehalten und dann haben sie eine Strategie wenn sie ihre in die Eier brüten den Anstieg der so ein Pulk zusammen und ich denn tatsächlich so im Kreis auch in der Mitte sind jede Menge Pinguine nach außen hin ständig gegen die ganz außen Pinguine die sich natürlich am meisten Kälte ab und wenden sich vorstellen stehen die da und dann fliegt der Schneesturm über die Pinguine weg ja und es wirklich saukalt und überheblich fit anschauen ist es wirklich Gold in den Städten der erobert die Brüder und sagt durchhalten ja und dann stehen wir da und halten diesen Schneesturm aus und dann gehen die irgendwann die äußeren Pinguine weit in die Mitte und die von außen kommen nach außen nicht also stehen immer andere aus so können die einen sich mit die Wiederaufnahme der "anführungszeichen werden wir andere Außenstellen die Kälte abhalten soll also extrem gut vorbereitet für die Kälte die Tiere so der kleine
Galapagos Pinguinen der hat ein anderes Problem hat nicht die Kälte als wurde nämlich jetzt das wenn es erst mal kleinere weil der viel Energie über seine Oberfläche abgeben kann er aber auch noch andere Strategien auch er verlässt sich nicht auf die Mathematik bei ihnen beispielsweise die Flüsse extrem gut durchblutet werden am Boden steht dann werden sie richtig schön rosa rot und auch die Flügelunterseiten werden sehr gut durchbluteten entsteht der dann die Flügel zur Aufnahme wurden möglichst große Fläche um Energie abzugeben noch aus oder beim Wähler sondern für ein bisschen und mehr Folter zu erstellen der Schnabel aufgemacht und dann würde würde über die Flüssigkeit im sozusagen geht in immer geht Energie nach draußen bleiben draußen und dann ja dann gibt es in der Tat so es
gibt es noch weitere Phänomene in der Biologie die sich zurückführen lassen auf Oberflächen Volumenbetrachtung eine davon sehen sich ihr Füchse wir haben eine gewisse Auffälligkeit die man hier jetzt unter der alle Menschen Riegel zusammenfasst anderen Bergmann schräge es kommt einen schwierigen kennt jemand diese Regeln weiß jemand worauf ich hinaus will 11 ja genau genau die Gliedmaßen oder die äußeren Extremitäten aber Ohren weil aber Flüsse beide Ohren und so die sind größer dort wo es wärmer ist von der Oberfläche also ich für größere Strategie ist wenn es heißt es ist als Tier vergrößere ich meine Oberfläche im Verhältnis zu meinem Volumen damit ich habe Energie abgeben jetzt die Endlichkeit nicht vergrößert sich nur die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen beispielsweise die unten der verlegt der hat die von der Wüstenfuchs hat die Rohre groß der vergrößert seine Ohren der macht sich nun endlich zum Polarfuchs damit eine größere Oberfläche der Molukken darüber kann Energie abgeben der Polarfuchs der kleine Ohren ja über keine Energie abgeben ist galt der Wüstenfuchs große Rolle nämlich Energie abgeben hieß war und unserer Rotfuchs der Mitte hat also so mittlere und das heißt je wärmer es wird umso größere Oberfläche bräuchten letztlich wenn sie Elefanten anschauen dass sie auch gegen sie die Tiere dort wo es heißt es dann müsste man sagen energetisch vollkommener Quatsch so große Tiere da wo es warm ist also Afrika bitte nur kleine Tiere aber fanden trotzdem groß das heißt die brauchen andere Strategie um Energie los zu werden aber Franz sind haben das Problem irgendwann wird und die alte oder verdampfen wenn so viel Energie haben insofern ist günstiger große Oberfläche zu haben okay wir große Ohren geben ziemlich viel Energie auf den wir uns noch ein bisschen damit und so und dann ja dann könnten wir gegen die Außenwelt abgeben die Elefanten die keine großen und hatten die am Inn noch keinen Nachwuchs gekriegt Revolutionen und das so
ok weitere Phänomene die darauf beruht ist die Flugfähigkeit von Vögeln große Vögel sind tendenziell weniger flugfähig als kleine warum was könnte der Grund sein wenn so ein Vogel aufpuste zum größeren Vogel machen was passiert da genau das Verhältnis der Flüge zum Körper ändert sich die Oberfläche des Vogels wechselt mit karg vertrat die Flügelfläche oder die Abrisskante wäre ja das kann demnächst mit K Flügel mit K Quadrat während das gesamte Volumen des Vogels als sein Gesicht mit kann auch 3 Text ok das Volumen wächst stärker als die Oberfläche das es irgendwann wird die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen zu schwach um von der Luft zu halten so beispielsweise hier nur der 1. relativ große Vogel der kann noch fliegen gerade so wäre der Vogel Strauß der schon Probleme hat er das Gefühl vielleicht auch ein wenig verkümmert umso härter als relativ schnellen laufen am zum Vogel Strauß müsste jetzt im Verhältnis und Volumen Oberflächen-Volumen-Verhältnis betrachtet muss auf mehrere 100 Stundenkilometer beschleunigen und abheben zu können meinte Vogel Strauß versuchen es auch und dann den Kopf im Sand ok das ist wird der kommt nie gut aber muss unbedingt abstellen so
ok also Vögel können nicht beliebig groß werden ich kann sie auch beruhigen wir werden niemals angegriffen werden von den Riesen Insekten also riesige Insekten die uns angreifen vergessen Sie ist unmöglich da kann man in Mathematik verlassen warum also diese beiden Hirschkäfer der relativ großes Insekt ist der größte Käfer hier in unseren Breitengraden 15 Zentimeter schon ziemlich groß Insekts größer wird es kaum werden warum weiß jemand der wenn ich ihn nie ahnte er ja ja nein ja sich nicht wehren Panzer verstreut bräuchten wir doch eine Panzer sehr gut genau wegen der Arzt nur weiß jemand wie ein Insekt Art wird das hat ein Röhrensystem das nennt man Tracheen und dieses Röhrensystem das mit der Oberfläche des des Körpers verbunden ich in den Chitinpanzer der und letztlich erfolgt die Sauerstoffversorgung über die Oberfläche des Systems fließt in die Tracheen einen der Sauerstoff wenn ich das Insekt größer machen wächst die Oberfläche nur mit K Quadrat das Volumen aber mit kann auch 3 die Sauerstoffversorgung über die Oberfläche stattfindet erhält das Insekt zu wenig Sauerstoff wenn zu groß wird und es nicht überlebensfähig sei als das Volumen kann nicht mit Sauerstoff versorgt werden weil die Sauerstoffversorgung über die Oberfläche stattfindet anders bei Warmblütern wie uns beispielsweise die hier viel Sauerstoff in den Körper anders transportiert nämlich über Blut wir transportieren sollen Aufschluss über Blut Blut ist aber das Volumen ok das es wenig und größer mache dann wächst das Blut die Blutmenge mit dem Faktor kann auch 3 ähnlich wie der Körper auch und Faktor Kaufpreis ist das unproblematisch nur wir können eigentlich theoretisch Sauerstoffversorgung der beliebig groß werden weil es der Körper über K treiben sich mit dem Blut mit Sauerstoff versorgt einziges Problem bei uns ist die Aufnahme des Sauerstoffs in den Körper in einen da brauchen eine große Oberfläche deswegen aber Lungenbläschen also es die Blume Blume so gefaltet in Tausend abertausende kleine Fältchen ja mit der möglichst viel Sauerstoff aufnehmen über eine große Oberfläche die aufhalten machen am Boden so aber richtig große Fläche über die Sauerstoff aufgenommen werden dann wird sie den gesamten Körper mit Blut transportiert kein Problem natürlich aber trotzdem eine eine Ober größeren aber das Problem ist dann nämlich in anderer physikalischer Arthur muss das Blut in den Körper rein in die das ist Runde ziemlich starke Pumpe da ich jetzt beliebig groß werde das 2. Blutmenge kein Problem aber das Problem dass in alle Ecken und Enden des Körpers zu pumpen das Problem nur wir können auch Säugetiere nicht beliebig große
Sorge Säugetiere können aber auch nicht beliebig klein werden hier habe ich jetzt das kleinste Säugetier Spitzmaus was hat die Spitzmaus von Problemen mit das Volumen Oberfläche mäßig betrachtet er die Spritzwasser das Problem dass ziemlich ziemlich große Oberfläche fällt im Volumen hat dass es die gibt Energie ab und würde auch relativ schnell ja erfrieren oder zu kalt seine Energie abgegeben haben Körpertemperatur bis unsere Körpertemperatur halten aber was macht die Spitzenleute Zwergspitz Maus und ihre Körpertemperatur zu halten also sie gibt ständig Energie aber vielleicht wenn die Körpertemperatur sinkt was nach dem mitzuhalten sie frisst permanent da sie frisst permanent Verbindungen bei Gläser habe ich schönen Vergleich gelesen wenn ein Ochse so viel fressen würde so viel Körper Volumen fressen würde die eine Spitzmaus würde er relativ schnell den Siedepunkt erreicht haben ja weil einfach zu viel Energie aufnehmen während eine Spitzmaus nur so viel fressen würde wie ein Ochse bräuchte sie 20 Zentimeter verloben sich rund um die Energie zu halten Personen .punkt Umfeld für die irgendwie durch die Gegend rollt die natürlich auch nicht so also hier auch wieder können nicht beliebig klein werden weil ansonsten permanent fressen müssen um Energie zu halten die Körpertemperatur so der also jetzt das plötzlich Oberfläche Volumen trachtung ums zusammenzufassen Oberflächen Volumenbetrachtung Verhältnissen von Oberfläche zu Volumen der Oberfläche ist gleichbedeutend Energieabgabe Volume ist gleichbedeutend damit die die Vorrat und dementsprechend muss man schauen in welcher der in welchem Gebiet man lebt dass man seinen Energiehaushalt im Griff hat und wir entweder ich verkroch kleineren eine Oberfläche im Vergleich zum Volumen wenn es kalt wird nämlich das Tier größer machen oder wenn es warm wird weich ist je kleiner vergrößere die Oberfläche im Vergleich zum Volumen oder die vergrößerte Oberfläche einfach auf andere Art und Weise allen schon regelrecht einfach die Gliedmaßen größer mache und größer machen so weiter um Energie AG zu ok
hier sind noch einmal 2 Literaturhinweise wenn wieder stärker daran interessiert sind aber ja insbesondere gilt natürlich dass das ist ein Beispiel dafür war die unterschiedlichen Disziplinen ineinander greifen können und das selbe Phänomen bearbeiten also auf der einen Seite haben wir die Brutbiologie aus der stand das Phänomen oder warum sind den Pinguinen in der Antarktis größer als am Äquator dann die Physik kann uns helfen energetische Betrachtungsweisen mit einzubringen in diesem Fall und die Mathematik kann das Ganze noch in abstrakter Art und Weise über Oberfläche Volumen während dieser in diesem Fall Oberfläche Volumenbetrachtung komplettiert so und so das auch der Grund weshalb man in der Schule in vielen Bereichen so etwas geschaffen hat wie Fächer verbinde damit man solche Phänomene mit dem Blick unterschiedlicher Disziplinen der ganzheitlich multiperspektivisch Aufbereitung ok
Mathematik
Mathematik
Ähnlichkeitsgeometrie
Inhalt <Mathematik>
Computeranimation
Erweiterung
Monsterwelle
Meter
Computeranimation
Geschwindigkeit
Physik
Mathematik
Flächentheorie
Physik
Meter
Aussage <Mathematik>
Mathematik
Computeranimation
Gradient
Physikalische Eigenschaft
Computeranimation
Ext-Funktor
Computeranimation
Hausdorff-Raum
Computeranimation
Richtung
Physik
Mathematik
Gebiet <Mathematik>
Ecke
Computeranimation
Richtung
Physik
Zeitraum
Energie
Physikalisches Experiment
Physik
Mathematik
Computeranimation
Mathematische Größe
Mathematik
Physikalisches Experiment
Klasse <Mathematik>
Tabelle
Volumen
Extrempunkt
Temperaturverteilung
Statistische Hypothese
Computeranimation
Gradient
Physikalisches Experiment
Zentrische Streckung
Physik
Verschlingung
Endlichkeit
Mathematik
Zylinder
Würfel
Mathematik
Ähnlichkeitsgeometrie
Ecke
Computeranimation
Richtung
Mathematische Größe
Länge
Faktorisierung
Berechnung
Fläche
Rechteck
Computeranimation
Richtung
Faktorisierung
Quadrat
Flächeninhalt
Volumen
Flächeninhalt
Volumen
Faktorisierung
Quadrat
Homogenes Polynom
Rechenbuch
Flächentheorie
Volumen
Flächeninhalt
Computeranimation
Sierpinski-Dichtung
Faktorisierung
Strecke
Faktorisierung
Flächeninhalt
Flächentheorie
Volumen
Höhe
Flächeninhalt
Dreieck
Computeranimation
Richtung
Faktorisierung
Radius
Kreis
Länge
Faktorisierung
Quadrat
Flächeninhalt
Volumen
Höhe
Flächeninhalt
Dreieck
Computeranimation
Mathematische Größe
Sierpinski-Dichtung
Faktorisierung
Strecke
Faktorisierung
Länge
Quadrat
Menge
Rechenbuch
Flächentheorie
Volumen
Flächeninhalt
Computeranimation
Faktorisierung
Faktorisierung
Würfel
Volumen
Volumen
Computeranimation
Faktorisierung
Faktorisierung
Kugel
Zylinder
Pyramide
Volumen
Höhe
Volumen
Computeranimation
Faktorisierung
Kreis
Quadrat
Faktorisierung
Flächentheorie
Zylinder
Pyramide
Volumen
Fläche
Höhe
Volumen
Computeranimation
Länge
Faktorisierung
Computeranimation
Richtung
Strecke
Quadrat
Kugel
Energie
Flächentheorie
Würfel
Volumen
Volumen
Integration <Mathematik>
Kreis
Mathematik
Fläche
Ruhmasse
Fluss <Mathematik>
Hausdorff-Raum
Zahl
Computeranimation
Gradient
Wirbelströmung
Quadrat
Energie
Menge
Würfel
Flächentheorie
Strategisches Spiel
Volumen
Gebiet <Mathematik>
Mathematische Größe
Endlichkeit
Mathematik
Energie
Rotationsfläche
Strategisches Spiel
Fläche
Fluss <Mathematik>
Volumen
Computeranimation
Mathematische Größe
Faktorisierung
Quadrat
Mathematik
Ende <Graphentheorie>
Rundung
Fläche
Volumen
Extrempunkt
Ecke
Computeranimation
Körpertheorie
Physik
Siedepunkt
Mathematik
Energie
Physik
Volumen
Extrempunkt
Gebiet <Mathematik>
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Ähnlichkeit und Verhältnisse
Serientitel Ausgewählte Kapitel der Mathematik
Teil 06
Anzahl der Teile 08
Autor Totaro, D.
Spannagel, Christian
Lizenz CC-Namensnennung 3.0 Unported:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/19854
Herausgeber Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHH)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg.

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