Herzlich Willkommen, Herr Lechtenfeld ist auf Reise, ich vertrete ihn heute, für die mich noch nicht kennen, Tilbert Gehr ist mein Name und ich mache heute die Vorlesung.

Zuletzt hatte Herr Lechtenfeld besprochen den Hilbertraum als Zustandsraum in der Quantentheorie und die Darstellung von messbaren Größen durch hermitische Operatoren sowie

den, wie man Basen für den Hilbertraum bildet, also zum Beispiel im Ortsraum hatte man die

Ortonormalbasis in einer Dimension x aus R, sind die Ortseigenzustände, also x, ket x ist

Eigenzustand des Ortsoperators x, das heißt x wirkt auf den Eigenzustand x, gibt den Eigenwert x

mal den Eigenzustand x, die Zustände sind, die Eigenzustände sind normiert, folgendermaßen über

die Delta-Funktion, also Delta normiert und vollständig, das heißt man kann die 1 auflösen als das

Integral über die Projektoren, Lechtenfeld war darauf eingegangen, dass diese Zustände streng genommen nicht normierbar sind und darum mathematisch nicht ganz klar definiert

sind in dieser Form, aber dass man praktisch mit diesen Zuständen rechnen kann und nötigenfalls jederzeit regularisieren kann durch Approximation dieser Zustände durch solche Näherungen, also

dass man Zustand x ersetzen kann durch eine Regularisierung, die von dieser Form ist.

Wenn wir jetzt ausgehen von einem Ortsraum, kann man jetzt auch in eine andere Basis wechseln, also Basiswechsel, das war was zuletzt an der Tafel stand, wenn ich hier eine andere Basis habe,

nennen wir die Basiszustände i mit x i, also Ortsterstellung dieser neuen Basiszustände nenne

ich f i von x und sagen, wer i ist, ist diskret, dann kann ich den Zustand schreiben c i als die

Projektion von c auf den Zustand i ist dann Integral dx, x projiziert auf i, c projiziert

auf x, also Integral dx f i Stern von x, c von x, das wäre der Basiswechsel von x zu i,

das war 3.9 und umgekehrt kriege ich die Ortsterstellung aus der i-Darstellung durch Summation über i x i, i, c, also Summe über i f i von x, c, i, das war 3.10, genauso kann

man, also diskreter Fall, genauso kann man in eine andere kontinuierliche Basis wechseln,

also kontinuierliche Basis, wenn ich eine andere kontinuierliche Basis habe, sagen wir Zustände

k, k aus R mit x k gleich f k von x in der Ortsterstellung, dann ist der Zustand in dieser

x, c wie gehabt ist Integral dx f k von x Stern, c von x und umgekehrt c von x, x,

c bekomme ich aus der k-Darstellung durch Integration über k, x k, k, c, die Wellenfunktionen

sind also verknüpft durch diese Integraltransformation. Wichtig zu behalten ist, dass der Zustand

psi, der gleiche Vektor, das gleiche Element im Hilbertraum, er wird nur dargestellt

durch Wellenfunktionen psi von x in einer Basis bzw. psi tilde von k in der anderen

Basis. Neben dem Ortsoperator, dessen Eigenzustände wir jetzt hier betrachtet haben, ist ein

weiterer wichtiger Operator im Hilbertraum der Ableitungsoperator d. Im Ortsraum soll

der Folgendes tun, soll die Wellenfunktion x, psi abbilden auf x, d, psi, allgemein

des Operators auf psi. Und das soll bitte gleich sein x, psi Strich, also die Ableitung

von x, psi, was nichts anderes ist als die Ableitung der Wellenfunktion. Wenn

wir jetzt hier einmal die 1 einsetzen, 1 gleich Integral dy, y, y, dann können wir das auch schreiben als eben Integral dy, x dy, y, psi und damit das hier gleich

mit dem ist, müssen diese Matrixelemente im Ortsraum des Ableitungsoperators sein, delta y minus x, d nach dy, y, psi. Das heißt, die Matrixelemente im Ortsraum des Ableitungsoperators

müssen sein delta x, x minus y, x minus y, d nach dy. Also d ist diagonal im Ortsraum

wegen der Delta-Funktion, aber ist nicht proportional zu 1 wegen der Ableitung.

Jetzt können wir uns ansehen, ob dieser Operator hermetisch ist. Dazu berechnen

wir ein beliebiges Matrixelement zweier Zustände, psi und phi, des adjungierten Operators.

Das kann ich schreiben als phi, als das komplex konjugierte Element mit vertauschten Seiten und das wiederum schreibe ich im Ortsraum als Integral dx, phi Stern von x, phi konjugiert

von x, psi abgeleitet von x und das ganze konjugiert, also Integral dx, psi abgeleitet

von x, phi von x. Jetzt kann ich partiell integrieren. Dann habe ich als Randterm

psi Stern phi am Rand minus Integral dx, psi Stern von x, phi abgeleitet von x,

also diesen Randterm, psi Stern phi am Rand minus psi d phi. Also im Allgemeinen ist

der Operator nicht hermetisch, einerseits weil ich die Randterme habe, andererseits weil ich ein Minuszeichen habe. Jetzt kann ich aber die Randterme kann ich eliminieren

durch geeignete Wahl des Raumes. Also falls ich den Raum so wähle, dass psi Stern phi

am Rand gleich Null ist, ist d antihermetisch, anti wegen des Minuszeichens. Das heißt,

wenn ich einen neuen Operator k definiere als Minus i mal d, dann ist k hermetisch.

Durch das Minus i eliminiere ich das Vorzeichen, zum Beispiel auf dem Raum der quadratenlegalen

Funktionen mit periodischen Randbedingungen oder Dirichle-Randbedingungen oder auch L2R,

wo die Funktionen am Rand im Unendlichen abfallen. Jetzt können wir das Eigenwertproblem zu k betrachten. Eigenwertproblem für diesen Operator k auf L2R. Wir haben also die Eigenwertgleichung

minus i d nach dx, das ist k, angewandt auf eine Ortsfunktion fk von x, soll bitte

gerne gleich sein, k der Eigenwert mal fk von x. Die Lösung ist offensichtlich, fk von x kann

gleich sein, geeignet normiert, 1 durch Wurzel 2 pi, e hoch i k x. Das Spektrum des Operators

minus i d sind also alle k aus R. Für jedes k aus R finde ich einen Eigenzustand. k muss

denn sonst würde die Funktion im Unendlichen nicht abfallen, sondern explodieren und ich würde

Randtherme bekommen, der Operator wäre nicht mehr hermitisch. Hier haben wir jetzt wieder das gleiche Problem wie für die Ortseigenzustände, dass die Zustände, diese k-Eigenzustände nicht vernünftig normierbar sind, bzw. sich nur auf die Delta-Funktion normieren lassen.

Das hier ist 3,15, also diese k-Eigenkets sind nicht normierbar. In der Praxis benutzen wir

die normierung, etwas naive, aber funktionierende Normierung, 1 durch 2 pi, Integral minus Unendlich

bis unendlich dx, e hoch minus i k 1 x, e hoch i k 2 x ist gleich Delta k 1 minus k 2.

Der Übergang von der x-Basis zur k-Basis ist, naja, x, psi ist die Ortsdarstellung,

Ortsraumwellenfunktion. k psi ist wie vorher angeschrieben dx k x x psi, also Integral

dx f k Stern x psi von x und das ist gleich das Integral von minus Unendlich bis Unendlich dx durch 2 pi, e hoch minus i k x, psi von x und das nennen wir dann psi tilde von k.

Das heißt, nichts anderes als die Fourier-Transformation verbindet die x-Basis der Ortsraum, der

k-Basis der Eigenzustände des Ableitungsoperators.

Ja, also wir können uns jetzt nochmal den Ortsoperator und den Ableitungsoperator

in diesen beiden Räumen angucken. Im x Raum haben wir x, also Ortsoperator, Elemente

des Ortsoperators sind einfach die Eigenwerte. Die Elemente des Ableitungsoperators sind

minus id nach dx, wie gehabt, und im k Raum haben wir umgekehrt Eigenzustände, die Wirkung

des k-operators gibt den Eigenwert k und die Wirkung des Ortsoperators ist die Ableitung

nach k. Jetzt haben wir also Ortsoperator und Ableitungsoperator verstanden. Was ist

jetzt die Interpretation des Ganzen? Dazu betrachten wir eine Debolle Materiewelle.

Psi von xt ist xpsi von t, ist geeignet normiert, eins durch Wurzel 2pi, e hoch ikk.

Gut nennen wir es mal x minus i omega t mit k und omega festgewählt und erinnern uns

an die Planck-Debolle Beziehung, die da besagt die Energie und der Impuls entsprechend

in der Quantentheorie h quer mal der Frequenz und dem Vektor k. Das heißt, in einer

Dimension ist die Frequenz gleich die Energie geteilt durch h quer und k ist gleich

der Impuls geteilt durch h quer. Das heißt, wir haben eine Materiewelle mit festem

Impuls und fester Energie. Jetzt können wir auf diese Materiewelle wirken mit unserem

Operator minus i h quer setzen wir noch ein d, also minus i h quer k. Dann finden wir diesen Operator nennen wir P, dann finden wir Wirkung dieses Operators ist minus i

h quer x d psi und mit 3.13, da hatten wir die Wirkung von d bestimmt, ist das

P h quer Ableitung nach x von x psi und 3.18 eingesetzt, die Form der Debolle Wellenfunktion

finden wir das ist h quer k mal x psi von t, also P Impuls mal x psi von t. Das heißt,

wir können P identifizieren, diesen Operator P, P als Impulsoperator, das hier ist 3.19.

Weitere Eigenschaften dieser Debolle Materiewelle, nämlich Zeitentwicklung sind psi von x und

t hatten wir ja gesehen ist, wie es da drüben steht 1 durch Wurzel 2P e hoch i k x minus

i omega t und das ist gleich, können wir hier sehen wir den k Eigenzustand in der

mal diesen Phasenfaktor e hoch minus i omega t und wir hatten ja diese Identifikation. Das heißt, das ist x k e hoch minus i durch h quer mal Energie mal t im x Raum 3.20

im k Raum haben wir psi tilde von k und t ist gleich k psi von t ist gleich nach

Phasenfaktor e hoch minus i omega t. Das ist nichts anderes als k k Hut e hoch minus i omega t. Also das hier war x Raum, das hier war k Raum. Okay, nachdem wir diesen

automatischen Teil verstanden haben, können wir weitergehen zum freien Teilchen. Jetzt

wissen wir also, wie wir einen Impulsort abbilden können in dieser Sprache der Quantentheorie.

Was wir noch brauchen ist eine Beziehung zwischen der Energie und dem Impuls. Da übernehmen wir Energie-Impuls-Beziehung wird aus der klassischen Physik übernommen.

Für Licht, also für masselose Freiheitsgrade, haben wir die Beziehung Energie in Abhängigkeit vom Impuls ist Lichtgeschwindigkeit mal Impulsbetrag. Für massive Freiheitsgrade, Materie, haben

wir die Beziehung im relativistischen Fall Energie in Abhängigkeit vom Impuls ist

Ruhe, Energie, c² plus a p² c². Im masselosen Fall reduziert sich dies auf das da oben.

Das gilt relativistisch. Im nicht relativistischen Fall, also für Impulse, die klein sind im Vergleich zur Masse, haben wir die Energie-Impuls-Beziehung E ist gleich der Ruhe-Energie-Term

mc² plus die klassische kinetische Energie p² durch 2m. Nicht relativistisch. Nicht relativistische

Materiewellen. In einer Dimension können wir jetzt schreiben als Überlagerung von solchen de Broglie-Materiewellen, wie wir sie eben betrachtet haben. Die hat die Bedeutung, dass wir hier im

Vektor P eine weitere Rolle spielen. Der Term wird dann interessant, wenn man relativistische Quantentheorie betrachtet, aber das geht darüber hinaus, über diese Vorlesung hinaus.

Darum habe ich das in Klammern gesetzt. Also nicht relativistische Materie in einer

Dimension, also Vektor P wird einfach zur Zahl P, schreiben wir als Überlagerung von

de Broglie-Materiewellen mit festen Impulsen. Das heißt, sie von T, nicht relativistischer

Materiezustand lässt sich schreiben als Integral über diese Impulse, festen Impulse, Projektion auf die Impulseigenzustände, Psi von T. Hier haben wir jetzt diese Zeitentwicklung,

Zeitabhängiges, Psi von T. Das können wir schreiben als dP, P, P, Zeitentwicklungsoperator,

u von T, Psi, zum Teil Zeitpunkt D gleich Null. Jetzt können wir die Wirkung des u's auf das Psi umdrehen, wir wirken von u auf das P. Dann erhalten wir Integral

dP, P diese bekannte Zeitentwicklung, e hoch minus i durch h quer, e in Abhängigkeit

von P, T, Psi und T gleich Null. Hier müssen wir jetzt einsetzen, die Energieimpulsbeziehung

und dieser ganze Operator ist dann die Wirkung des Zeitentwicklungsoperators auf den Gesamtzustand. Also in anderen Worten, die Zeitentwicklung der Willenfunktion lässt

sich auflösen durch Entwicklung nach den Impulsen und jeder Impulseigenzustand hat diese bekannte Zeitentwicklung und durch Integration über die Impulse erhalten wir dann die Zeitentwicklung des gesamten Zustands.

Unterstrichen, das sollte nur hervorheben, dass wir da jetzt einsetzen müssen, die Energieimpulsbeziehung. Komme ich gleich dazu. Jetzt habe ich hier hingeschrieben diese Zustände P, das sind

nichts anderes als ein Ortonormalsystem, das sind nichts anderes als unsere Ks, unsere K-Eigenzustände, etwas anders nomierend. Also Ortonormalsystem von diesen uneigentlichen

CATS P, die sind definiert als eins durch Wurzel h quer K und diese Normierung,

das hier wollte ich benennen 3.21, diese Normierung folgt aus der Beziehung P ist

gleich h quer K, das heißt P, Pstrich soll sein delta P minus Pstrich. Wenn die Zustände

von P vernünftig nomiert sind, muss es die delta Funktion sein. Nach dem Rechenregeln für die delta Funktion ist das eins durch h quer mal delta K minus Kstrich, also eins

durch h quer K, Kstrich und daher darum diese Normierung. Das sind wie gesagt

Zustand P und die Darstellung im Ortsraum, das hatten wir auch gesehen, ist eins durch Wurzel zu Pi, jetzt noch das h quer von der Normierung, e hoch i durch h quer,

Px. Damit wird die Wellenfunktion psi von x und t, x psi t, Integral dP, xP, bekannte

Zeitentwicklung e hoch minus i durch h quer e von Pt, P, psi und t gleich 0, s gleich Integral dP, dP durch Wurzel 2P h quer, e hoch i durch h quer, Px, das kommt von

hier, minus e von Pt, mal dieses psi tilde von P und t gleich 0. An dieser Stelle können

wir vielleicht eine Pause machen, danach geht es dann weiter mit der Schrödinger Gleichung. Weil Donnerstag keine Vorlesung ist, sind wir ein bisschen knapp in der Zeit mit dem Stoff für die Übungsaufgaben, darum würde ich vorschlagen, dass wir um

10 nach vielleicht direkt weitermachen. Sie sagt uns, dass wir die Zeitentwicklung

von psi ausdrücken können durch die Zeitentwicklung, die bekannte Zeitentwicklung der Impulseigenzustände, indem wir psi nach den Impulseigenzuständen entwickeln.

Die De Broglie Materiewelle hatte ich skizziert, hat eben diese Zeitentwicklung und für einen allgemeinen Zustand kennen wir die Zeitentwicklung erstmal nicht, aber wenn

wir nach den Impulseigenzuständen entwickeln, können wir das eben... Also die Gleichung insgesamt ist psi von t ist gleich u von t mal psi von 0. Genau. Aber bei dem zweiten Gleichheitszeichen haben wir ja schon benutzt, dass psi von t gleich u von t mal psi von 0 ist, oder?

Richtig. Das u ist allgemein der Zeitentwicklungsoperator. Nein, es ist das Gleiche. Nur habe ich hier benutzt, dass ich nach den Impulseigenzuständen entwickeln kann und dann die Zeitentwicklung sich auf den Impulseigenzuständen verschiebt.

Man kann die Gleichung auch lesen. Ich weiß nicht, ob das die Frage beantwortet.

Wir können es auch gleich besprechen. Okay, ich leg die neuen Übungszettel aus und dann machen wir in 5 Minuten weiter.