Wir haben Matrizen kennengelernt und wissen, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert. Hier möchte ich jetzt auf einige spezielle Matrizen eingehen. Zunächst einmal sind das quadratische Matrizen. Was ist eine quadratische Matrix? Ja, wir hatten gesagt, eine Matrix, das ist ein rechteckiges Zahlenschema.

Und wenn das sogar ein quadratisches Zahlenschema ist, dann hat man eine quadratische Matrix. Sprich, eine Matrix ist quadratisch dann, wenn sie genauso viele Zeilen wie Spalten hat. Also zum Beispiel Endstück. Die allerwichtigste quadratische Matrix, das ist die sogenannte Einheitsmatrix,

auch genannt EN oder 1N. Das ist die Matrix, die hier auf der diagonalen 1 hat und in allen anderen Einträgen nur Nuller.

Das ist eine N-Kreuz-N-Matrix. Jetzt schauen wir uns mal an, was passiert, wenn ich diese Einheitsmatrix an einen Vektor multipliziere.

Und zwar einen Beliebigen. Also das heißt, ich nehme 111 auf den Diagonalen und Nullen sonst. Wenn man v ist, markiert man die Nuller dann nur noch so. Und daran multiplizieren wir v1 bis vn. So, dann legen wir, um die erste Komponente auszurechnen, diesen Vektor auf die erste Zeile.

Einmal v1 und dann nur Null mal v2 plus Null mal v3 etc. Das heißt, hier steht nur v1. In der zweiten Zeile lege ich diesen Vektor auf 0 1 0 0 0. Das heißt, ich kriege 0 mal v1 plus 1 mal v2 und dann wieder plus 0 mal v3 etc.

Dann steht also nur v2. Und so geht das immer weiter, bis ich in der letzten Komponente diesen Vektor auf die letzte Zeile lege und 0 mal v1 plus 0 mal v2 plus plus plus plus plus 0 mal vn minus 1 plus 1 mal vn erhalte.

Das heißt, hier entsteht wieder der Vektor v selbst. Also das Ranmultiplizieren der Einheitsmatrix an den Vektor ändert diesen Vektor überhaupt nicht.

Deswegen auch der Name. Und natürlich ist so ein lineares Gleichungssystem mit Einheitsmatrix als Matrix A sehr schnell zu lösen. Einfacher geht es nicht. Das ist ja gleichbedeutend dazu, weil Einheitsmatrix mal x gleich x ist, einfach nur x gleich b.

Und schon ist das lineare Gleichungssystem gelöst. Gehen wir einen kleinen Schritt weiter. Wir können jetzt diese Matrix mit einer Zahl multiplizieren. Sagen wir Lambda. Lambda ist hierbei eine reelle Zahl. Ja, was ist das dann?

Was meine ich damit, wenn ich eine Zahl mit einer Matrix multipliziere? Dann meine ich die Komponentenweise Multiplikation. Das heißt, ich nehme jeden einzelnen Eintrag der Matrix mal Lambda.

Wenn der Eintrag 0 ist, dann ist auch Lambda mal 0 0. Das heißt, ich bekomme hier wieder die Matrix, die höchstens auf den Diagonalen etwas von 0 verschiedenes hat. Und in der Tat kriege ich da immer Lambda mal 1, also Lambda raus. Das ist wieder eine quadratische Matrix.

Also ein Beispiel. Wir nehmen 5 mal die Einheitsmatrix in zwei Matrizen. Das ist die Matrix 5 0 0 5. Und was ist nun?

5 mal die Einheitsmatrix mal so ein Vektor V. Das ist 5 0 0 5 mal V1 V2. Und das ist 5 V1 und 5 V2. Also 5 mal V.

Das heißt, was habe ich hier gemacht? Wenn mein Vektor V etwa von hier bis hier geht, dann ist 5 mal V in etwa hier.

Und es gibt noch eine ganz spezielle solche Vielfache der Einheitsmatrix. Nämlich, wenn wir Lambda gleich 0 wählen, dann ist Lambda mal die Einheitsmatrix.

Ja, da kriege ich dann auch noch auf der Diagonalen 0. Das ist also die Matrix, die nur Nullen als Einträge hat. Das ist die sogenannte Nullmatrix.

Manchmal bezeichnet man die dann auch mit 0 n n. Und 0 n n mal einen Vektor V. Das ist 0 mal V, so wie wir das gerade schon gesehen haben. Also der Nullvektor.

Gehen wir noch einen Schritt weiter. Sagen wir, wir wollen wieder außerhalb der Diagonalen in unserer Matrix nur Nullen als Einträge zulassen. Aber auf der Diagonalen müssen nicht mehr alle Glieder gleich sein, sondern wir lassen da verschiedene Glieder zu. Also D1 bis Dn können jetzt irgendwelche beliebigen verschiedenen reellen Zahlen sein.

Solche Matrizen nennt man Diagonalmatrizen. Und schauen wir uns mal an, was passiert, wenn man so einen Diagonalmatrix mit einem Vektor multipliziert. Dazu möchte ich zunächst mal D mit so einem Standardbasis Vektor multiplizieren. Das heißt, ich berechne hier auf der Diagonalen D1 bis Dn mal Ej.

Ja, das ist der Vektor, der an der J-Stelle ein 1 hat und Nullen sonst. Und jetzt lege ich wieder diesen Vektor hier jeweils auf die Zeilen und rechne das aus.

Und da sehen wir, da treffen immer sehr viele Nullen aufeinander. Und ich bekomme nur dann etwas von null Verschiedenes. Wenn diese 1 hier auf einen Diagonaleintrag trifft. Und weil der Eintrag hier an der J-Stelle ist, ist das dann auch der J-Diagonaleintrag.

Das heißt, das ist 0,0,0,0, dann haben wir Dj mal 1 und dann wieder Nullen. Und das bleibt die J-Stelle. Das heißt, hier steht einfach das Dj-Fache des J-Einheitsvektors. Gut, für die Einheitsvektoren kennen wir also diese Matrix-Multiplektion.

Und daraus können wir das jetzt allgemein bestimmen. Denn V, irgendein Spaltenvektor mit den Einträgen V1 bis Vn,

der lässt sich erschreiben als Linearkombination der Standardvektoren i, j. Das ist Vj mal i, j, j gleich 1 bis n. Und wir hatten bereits gesehen, dass die Matrix-Vektor-Multiplikation linear ist.

Sprich, wenn ich die Summe aus Vektoren an eine Matrix dran multipliziere, dann kann ich die Matrix auch an die einzelnen Summanden dran multiplizieren und das dann aufsummieren. Ich kann also die Summe aus diesem Produkt hinausziehen.

Dann bleibt der D mal Vj, i, j übrig. Und die zweite Eigenschaft der Linearität war, dass wir auch solche Zahlen an dem Matrix-Produkt vorbeiziehen können. Das heißt, hier steht die Summe j gleich 1 bis n, Vj mal D mal i, j.

Und D mal i, j, das haben wir bereits berechnet. Das war ja Vj, das schreiben wir ab, mal Dj mal i, j. Das war dieses Produkt hier.

Das heißt, schreiben wir das wieder als Spalte. Das ist Dj, Vj in jeder Komponente j, also D1, V1 und so weiter bis Dn, Vn.

Multiplizieren wir also einen Vektor an so einen Diagonalmatrix ran, dann erhalten wir den Vektor, in dem jeder Eintrag mit dem entsprechenden Diagonaleintrag multipliziert ist. Und auch solche Gleichungssysteme D mal X gleich B sind sehr leicht lösbar.

Das wissen Sie auch hier. Das ist eigentlich schon eine Matrix, bei der man sehr froh ist, wenn man sie im Gauss-Algorithmus erreicht hat. Machen wir ruhig noch ein ganz konkretes Beispiel, wenn wir die Matrix 1, 0, 0, 2 nehmen.

Das ist so eine Diagonalmatrix und wir nehmen sie mal E1. Ja, dann ist das einfach nur die erste Spalte, 1, 0. Und nehmen wir diese Matrix und multiplizieren sie an E2 ran. Dann erhalten wir 0, 2.

Und dann können wir uns noch anschauen, wie das im Bild aussieht. Wenn das hier E1 ist, dann ist das auch gleich. Wenn wir das hier wieder D nennen, D E1. Wenn hier E2 ist, dann ist das hier D E2.

Und wenn wir mal irgendeinen Vektor V zum Beispiel hier unten nehmen und schauen, was ist dann D mal V, so wissen wir. Ja, die Komponente hier, die erste, die bleibt gleich.

Die nehmen wir nur mal 1. Und die zweite, die nehmen wir mal 2. Und das passt hier unten gerade noch so hin. Das heißt, dieser Vektor hier unten, das wäre D mal V. Jetzt mal ein bisschen weg von Diagonalmatrizen.

Nehmen wir eine Matrix, die eine sogenannte obere Dreiecksmatrix ist. Das heißt, die hat unterhalb von der Diagonal nur Nullen. Und in diesem speziellen Fall soll sie auf der Diagonal noch Einser haben. Ja, und wieder interessieren wir uns dafür, was ist dann A mal V?

Wie können wir dieses Produkt beschreiben? Und dazu multiplizieren wir erst mal wieder A mit den Standardbasisvektoren. Also A mal E1. Das kann man direkt ausrechnen, oder wir erinnern uns daran, dass wir gesagt haben, wenn wir so eine Matrix A mit dem J-Standardbasisvektor multiplizieren,

dann kriegen wir die J-Spalte von A raus. Also muss das hier 1,0 sein. Und A mal E2, das ist dann die zweite Spalte, 2,1.

Und allgemein können wir natürlich A mal V auch ausrechnen. Das ist 1 mal V1 plus 2 mal V2.

Und 0 mal V1 plus 1 mal V2. Und hier sehen wir, die zweite Koordinate hier, die bleibt immer gleich. Und zur ersten Koordinate addieren wir noch 2 mal die zweite.

Ich habe in das hier mal eingezeichnet. Also A mal E1, das ist wieder E1. A mal E2, da addieren wir noch was dazu. Da landen wir hier. Und dann habe ich hier drei Vektoren U, V und W eingezeichnet,

die alle dieselbe zweite Koordinate haben. Die sind hier alle bei 3. Und dann verschiebt sich eben hier das Entlang dieser Achse nach rechts. Solche Abbildungen kennen Sie vielleicht aus der Schule.

Das sind sogenannte Scherungen. Ich habe hier natürlich nicht nur die Möglichkeit, diesen Scherfaktor 2 zu nehmen, sondern irgendeinen beliebigen Scherfaktor alpha. Und wenn ich dieses alpha oberhalb der Diagonalen hinschreibe,

dann schere ich in der ersten Koordinate. Und wenn ich das hier unterhalb der Diagonalen hinschreibe, dann würde eben die erste gleich bleiben. Und in der zweiten würde sich da noch eine Verschiebung addieren. Wir haben jetzt für viele ganz spezielle Matrizen A studiert.

Was ist denn das Matrix-Vektor-Produkt A mal V für beliebiges V? Das heißt, wir haben eigentlich nichts anderes gemacht, als so eine Abbildung definiert, eine Zuordnung. V wird zugeordnet, A mal V.

Das ist eine Abbildung. Wenn A eine M-Kreuz-N-Matrix ist, dann geht die Abbildung, nennen wir sie mal V-A, vom R hoch N in den R hoch M. Eingabe-Vektor V aus dem R hoch N. Das, was rauskommt, ist ein Vektor aus dem R hoch M. Und diese Abbildung hat eine ganz tolle Eigenschaft.

Die ist nämlich linear. Dafür erinnern wir uns mal daran, dass wir festgestellt hatten, für so ein Matrix-Vektor-Produkt gilt, wenn ich A mal diese Linearkombination lambda V plus mu V betrachte, dann ist das gleich lambda mal A V plus mu mal A V.

Und diese Eigenschaft überträgt sich natürlich auf die Abbildung. Und jetzt kennen Sie damit endlich den Begriff der linearen Abbildung.