Matrix-Matrix-Produkt I
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Part Number | 6 | |
| Number of Parts | 9 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - NoDerivatives 3.0 Germany: You are free to use, copy, distribute and transmit the work or content in unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. | |
| Identifiers | 10.5446/67903 (DOI) | |
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Content Metadata
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Abbildungsmatrizen6 / 9
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Matrix (mathematics)Matrix (mathematics)Matrix (mathematics)Connected spaceCoefficientLengthIndexVector graphicsMatrix (mathematics)SummationDarstellungsmatrixMatrix (mathematics)Multiplication signHeegaard splittingVector spaceNumerical digit2 (number)Group representationStandard deviationDeterminantBasis <Mathematik>Price indexModulformProduct (business)Poisson-KlammerDifferent (Kate Ryan album)SummierbarkeitCalculationComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Lineare Abbildungen, das wissen wir, lassen sich beschreiben durch Matrizen. Und jetzt stellt sich die Frage, wenn wir die Abbildungsmatrizen zu Phi und Psi kennen, können wir dann vielleicht ganz einfach die von Phi nach Phi bestimmen. Also sagen wir B sei die Abbildungsmatrix von Phi und A sei die
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Abbildungsmatrix von Psi. Dann ist B eine M-Kreuz-M-Matrix und A eine L-Kreuz-M- matrix. Und wir wissen, Psi nach Phi, das ist eine lineare Abbildung, das soll also
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einer Matrix C entsprechen, die nun eine L-Kreuz-N-Matrix sein muss. So, wie bestimmelten wir C nun, so wie wir das eigentlich gewohnt sind? Nämlich, wir schauen uns an, was sind die Bilder der Standardbasisvektoren.
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Wenn wir die kennen, dann kennen wir C, denn diese sind dann die Spalten von C.
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Also, was ist Psi nach Phi von Ej? Das ist Psi von B mal Ej und das ist Psi von
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Bj. Bj ist die J-Spalte von B. Und das ist nun ein Vektor der Länge M und
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Psi von irgendeinem Vektor, das ist einfach nur A mal Bj. So, und das hier ist ein
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Das kennen wir, das können wir berechnen. Nämlich, wie berechnen wir das? Das kriegen wir dadurch, dass wir diese Spalte hier immer auf eine Zeile legen, die Produkte,
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die dann aufeinander treffen, den Koeffizienten miteinander multiplizieren, das Ganze aufsummieren. Das heißt, in der ersten Komponente steht die Summe über A eins K B und jetzt J steht hinten, der Karteintrag in der J-Spalte von B,
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das ist B K J. Und das summieren wir über K, gleich eins bis M. Ebenso in der zweiten Komponente steht die Summe K, gleich eins bis M, A zwei K, B K J und so weiter, bis wir
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zuletzt K, gleich eins bis M, A L K, B K J. So und das hier, das ist die J-Spalte
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von C. Also ist der I J Eintrag von C, die Summe, also C J nennen wir den, die Summe über K,
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gleich eins bis M, A I K, B K J. Ja und jetzt sehen sie, wir könnten Psi mal Phi von irgendeinem
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Vektor auch noch ein kleines bisschen anders berechnen. Psi nach Phi von V, das ist Psi von BV, das ist A mal BV, das ist ja wieder eine Spalte. Und ja, das ist gleich CV. Das heißt,
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wir würden so gerne hier einfach die Klammern anders setzen und schon hätten wir unsere Matrix C und demnach ist C in dieser Schreibweise nichts anderes als das Produkt von A mal B. Das definieren wir jetzt. Das Matrixprodukt für zwei Matrizen, wie wir sie eben hatten,
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also A eine L-Kreuz-M-Matrix, B eine M-Kreuz-N-Matrix, das ist die Matrix C, gleich A mal B, eine L-Kreuz-N-Matrix mit den Einträgen C I J, ist die Summe K, gleich eins bis M, A I K, B K J.
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Das heißt, der mittlere Index hier, das ist immer der Summationsindex. Machen wir ein Beispiel dazu. Nehmen wir die Matrix B 5001 und die Matrix A 12. Dann ist die Matrix A mal
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B wohl definiert. Dann ja wirklich hier 12 und dieser hintere Index muss gleich diesem Index hier sein. Geht, hat also die Form 12 mal 5001. So, und was haben wir gemacht?
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Wir haben gesagt, wir nehmen eben das Bild des J-Standardbasisvektors unter dieser zweiten Matrix, also zum Beispiel das Bild des ersten Standardvektors, das ist diese Spalte,
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und multiplizieren sie Matrixvektormultiplikation mit dieser Matrix. Das machen wir für alle Spalten. Also kriegen wir hier einmal 5 plus 2 mal 0. Das ist auch schon unsere gesamte
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erste Spalte. Und die zweite Spalte, die kriegen wir dadurch, dass wir diese zweite Spalte nehmen und sie wieder darauf legen. Also 1 mal 0 plus 2 mal 1. Und das ist
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kurzgeschrieben 5 plus 0 ist 5 und 0 plus 2 ist 2. Das ist also eine 1-zwei-Matrix wiederum.
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Also machen wir das ruhig nochmal einzeln. Was ist das Bild von EJ unter B? Das ist 5,0. Und das wird weitergeschickt unter A auf 1,2 mal 5,0. Das ist 5. Das ist dieser
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Eintrag hier. Und E2 wird erstmal durch B geschickt auf BE2, also 0,1. Und dann
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weiter unter A auf 1,2 mal 0,1. Und das ist 2. Das ist der zweite Eintrag hier.