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Natürliche und ganze Zahlen

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Formale Metadaten

Titel
Natürliche und ganze Zahlen
Untertitel
Zahlen 1
Serientitel
Teil
1
Anzahl der Teile
25
Autor
Lizenz
CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland:
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Fachgebiet
Genre
MathematikMengeNatürliche ZahlNumerische MathematikPrimzahlZahlZahlentheorieProdukt <Mathematik>Kategorie <Mathematik>Ganze ZahlZusammenhang <Mathematik>Aussage <Mathematik>DivisionEinfach zusammenhängender RaumLemma <Logik>MereologieTermTeilbarkeitPunktNegative ZahlFaktorzerlegungPrimfaktorMultiplikationsoperatorComputeranimation
BruchrechnungNatürliche ZahlNumerische MathematikPrimzahlZahlProdukt <Mathematik>BeweistheorieLemma <Logik>MereologiePrimdivisorGüte der AnpassungKomplexe EbenePrimfaktorMultiplikationsoperatorNatürliche ZahlPrimzahlComputeranimation
BruchrechnungFolge <Mathematik>Natürliche ZahlNumerische MathematikPrimzahlRechnenZahlProdukt <Mathematik>FaktorisierungGesetz <Physik>Analytische FortsetzungDivisionEindeutigkeitLeistung <Physik>Lemma <Logik>MereologieMultiplikationPrimdivisorPrimidealZerlegung <Mathematik>TeilbarkeitBasis <Mathematik>PunktProzess <Physik>FaktorzerlegungHochleistungsrechnenQuantencomputerPrimfaktorMultiplikationsoperatorZweiNatürliche ZahlPrimzahlEindeutigkeitZerlegung <Mathematik>Computeranimation
EindeutigkeitZerlegung <Mathematik>Computeranimation
Den ganzen Kurs hindurch haben wir schon mit Zahlen gearbeitet, aber durch ja unseren Kurs bis jetzt haben wir endlich das Rüstzeug bekommen, um die Zahlen wirklich ein bisschen systematischer einzuführen. Und jetzt möchte ich endlich beginnen die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen mit Ihnen zu besprechen.
Die natürlichen Zahlen, die sind wirklich natürlich, das heißt, das sind die Zahlen, mit denen wir als kleinen Kinder Zellen gelernt haben. Wir hatten schon die Bezeichnung N, ein dickes N dafür eingeführt, als die Menge der Zahlen 1, 2, 3,
4, 5 und so weiter. Manche von Ihnen werden sich gefragt haben, warum wir eigentlich die Null nicht mit dazu nehmen. Nun, und das liegt daran, dass die Null, also das Nichts, im Zusammenhang mit der Zahlenabstraktion
viel später kommt. Also ist einfach kein leichtes Konzept und auch in Europa haben wir erst ab ungefähr dem 13. Jahrhundert als gleichberechtigte Zahl neben den ganzen Zahlen verwendet.
Deswegen ist bei mir die Null keine natürliche Zahl, sondern wenn ich die Null mit zu den natürlichen Zahlen dazu nehmen möchte, dann schreibe ich das so hin. Null ist also 1, 2, 3 und so weiter, sprich, das sind die natürlichen Zahlen
vereinigt mit der Null. Also die ganzen Zahlen bestehen dann aus den natürlichen Zahlen, den Null und den negativen Zahlen. Das heißt, wir fangen so an bei jeder negativen Zahl und dann irgendwann minus 4, minus 3, minus 2,
minus 1, Null und dann geht das so weiter, 1, 2, 3, 4 und immer so. Die systematischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen, die sogenannten Pernoaxiome, sind nicht Teil dieses Kurses
und auch die Eigenschaften der ganzen Zahlen handeln wir relativ schnell ab. Allerdings brauchen wir ein wichtiges Konzept und auf das möchte ich eingehen. Das ist nämlich das Konzept der Teilbarkeit.
Ja, und damit verbunden sind die Primzahlen beziehungsweise die Primfaktorzerlegung. Das heißt, wir befinden uns hier am Anfang einer mathematischen Disziplin der Zahlentheorie
und Sie können sich fragen, warum wir das hier an dieser Stelle machen. Nun, auch Sie brauchen auf alle Fälle diese Grundlagen schon dann, wenn Sie einen Bruch kürzen wollen. Und deswegen gehe ich zu dieser folgenden Definition.
Wenn wir eine natürliche Zahl N haben, dann sagen wir eine natürliche Zahl M heißt Teile von N. Das schreiben wir dann auch kurz M strich N, also M teilt N. Wenn es eine weitere natürliche Zahl B gibt,
so dass N sich schreiben lässt als das Produkt von B und M. N gleich B mal M. Und insbesondere gilt nun, jeder Teile M von N ist eine Zahl zwischen 1 und N.
Weiter hat jede natürliche Zahl auf alle Fälle ja, ein oder zwei Teile, nämlich die 1. Denn wir können jede Zahl N schreiben als N gleich 1 mal N.
Das heißt, 1 teilt N. Wir können aber auch N schreiben als N mal 1. Und das heißt N teilt N. So, das heißt wir haben für die Zahl 1 selbst einen Teiler und für jede andere natürliche Zahl auf alle Fälle zwei Teile.
Und als Beispiel haben wir, wenn wir gerade Zahlen haben, immer den Teiler 2. So können wir auch eine gerade Zahl definieren.
Was ist nun in dem Zusammenhang eine Primzahl? Nun, eine Primzahl ist jetzt eine natürliche Zahl P größer oder gleich 2, die nur durch 1 und sich selber teilbar ist. Also Beispiel,
2 ist eine Primzahl 3, 5, 7, 11, 13, dann suchen sie ein bisschen weiter und kommen irgendwann zu 31 oder zu 97 oder wir haben die 2 hoch 607 minus 1 und so weiter.
Das sind Primzahlen. Das heißt, wir finden da wirklich keinen anderen Teiler als die 1 und die Zahl selbst.
Die einzige gerade Primzahl ist die 2. Denn jede andere Zahl ist durch 2 teilbar.
Also, jede andere gerade Zahl ist durch 2 teilbar und demnach hat sie den Teiler 2. Und ein anderes Beispiel, die 42, na, das ist 2 mal 21, das ist also 2 mal 3 mal 7, das ist keine Primzahl.
So, und ich möchte jetzt noch ein paar einfache Aussagen mit Ihnen durchgehen und ich nutze die Möglichkeit, die auch zu beweisen. Das heißt, wir haben in diesem Video relativ viele Beweise,
die Ihnen aber dazu dienen können, nochmal die Aussagenlogik, die wir ganz am Anfang kennengelernt hatten, wirklich anzuwenden. Ich habe hier ein Lämmer hingeschrieben. Was ist ein Lämmer? Ein Lämmer ist ein Hilfsatz. Das heißt, das ist ein Satz, eine mathematische Aussage, die es zu beweisen gilt,
die aber so klein ist, dass wir sie gar nicht als Satz bezeichnen wollen und die wir auch normalerweise benötigen für andere Aussagen. Und das ist eben ein Lämmer. Also, wenn wir einen Teiler K von M haben und M ein Teiler von N ist, dann ist K auch ein Teiler von N.
Also das heißt, wenn K teilt M und M teilt N, dann folgt K teilt N. Wie angekündigt beweise ich das? So, wir schreiben einfach hin, was aus unserer Grundannahme hier folgt.
Also, weil K M teilt, wissen wir, es existiert eine natürliche Zahl A
mit M gleich A mal K. Genau so wissen wir, weil M ein Teiler ist von N, existiert eine weitere Zahl B aus den natürlichen Zahlen
mit N ist gleich B mal M. So, das ist beides erfüllt. Das heißt, es folgt N ist gleich B mal M ist gleich und jetzt setze ich für das M dieses Produkt ein B mal A mal K.
So, B mal A ist wieder eine natürliche Zahl, weil A und B natürliche Zahlen sind. Das heißt, ich habe N geschrieben als das Produkt
einer natürlichen Zahl mal K. Und das war genau die Definition dafür, dass K ein Teiler von N ist. Das heißt, es folgt K teilt N. Und das war es auch schon.
So, was wir hier gemacht haben, ist ein sogenannter direkter Beweis. Das heißt, wir haben die Aussage genommen und direkt hier aus der Prämisse die Konklusion gezeigt.
Ich möchte noch ein weiteres Lämmer beweisen, also noch ein Hilfsätzchen. Das sagt, hier der natürliche Zahl N, die größer ist als 1, besitzt einen Primteiler. Was ist ein Primteiler? Nun, das ist ein Teiler, der eine Primzahl ist.
Auch das möchte ich beweisen. Zunächst mal nehmen wir an, dass N größer ist als 1.
Dann weiß ich, dass die natürliche Zahl N auf alle Fälle noch einen Teiler hat, der nicht 1 ist. Also schlimmstenfalls N selbst.
So, einen Teiler ungleich 1. Und jeder solche Teile,
wenn wir in T erfüllt, 1 ist kleiner als T, kleiner gleich N. Das heißt, ich habe jetzt T zwischen 1 und N und N ist eine natürliche Zahl. Das heißt, hier liegen überhaupt nur endlich viele natürliche Zahlen.
T, die in Frage kommen. Und von diesen Teilern hier nehme ich jetzt den kleinsten. Wir nehmen den kleinsten.
Solchen Teile, also kleinsten Teile größer als 1 und nennen ihn sagen wir T-Stern. Und meine Behauptung ist jetzt,
dieses T-Stern ist eine Primzahl. So, wie beweisen wir das? Ja, auch da schauen wir uns mal wieder an, was wir überhaupt noch wissen. Wir haben vorhin das Lämmer gezeigt.
Hier ein Hilfsätzchen. Das ist ein Teiler eines Teilers, auch ein Teiler der großen Zahl. K teilt M und M teilt N, dann ist K ein Teiler von N. Genau das möchte ich benutzen.
Wenn ich also einen Teiler von T-Stern habe, dann ist das auch ein Teiler von N.
Ich schreibe hier mal dahin, siehe letztes Lämmer. So, wenn wir jetzt einen echten Teiler haben,
also damit meine ich A teilt T-Stern, aber A ungleich T-Stern und der wäre ein kleinerer Teiler von N
als N-Stern, nein, als T-Stern selbst.
Als T-Stern. So, ich möchte hier sagen,
nehmen wir so einen echten Teiler A und sagen wir auch wieder, der ist ungleich 1. Einen solchen Teiler gibt es auch für das T-Stern. So, dann haben wir mit A einen Teiler von T-Stern gefunden, der auch ein Teiler ist von N,
aber kleiner ist als T-Stern. Und das geht nicht. Denn wir haben angenommen, dass T-Stern der kleinste Teiler war.
Der kleinste Teiler von N war.
Also kann dieses A kein echter Teiler sein. Den gibt es also nicht. Und was heißt es, wenn es keinen echten Teiler von T-Stern gibt, der ungleich 1 ist, dann ist das genau die Definition davon, dass T-Stern eine Primzahl ist.
Und damit habe ich auch diese Aussage bewiesen. Gut, wir wissen also,
jede natürliche Zahl, die größer ist als 1, hat auch einen Primteiler. Und eine Folgerung ist nun, dass wir jede natürliche Zahl größer als 1 schreiben können als das Produkt von Primzahlen.
Also N gleich P1 mal P2 mal mal mal PR, wobei P1 bis PR Primzahlen sind. Natürlich kann es vorkommen, dass so eines dieser P, J,
J ist dabei ein Unbestimmtes zwischen 1 und R, öfters vorkommt. Also 4 hat zum Beispiel 4 gleich 2 mal 2. Das ist eine Primfaktorzerlegung von 4.
Und da kommt 2 zweimal vor. Also hier wäre P1 gleich 2 und P2 gleich 2. So, auch das möchte ich ganz kurz beweisen. Also wenn wir ein N größer als 1 nehmen,
dann finden wir nach dem letzten Lemma einen Primteiler. Sagen wir P1.
Also lässt sich N schreiben als M1 mal P1. Beziehungsweise ich schreibe das gleich mal so P1 mal M1.
Für eine Zahl M1 aus N. Nun ist M1 echt kleiner als N, weil eine Primzahl mindestens 2 ist. Und ja, dann haben wir zwei Fälle.
Es kann vorkommen, dass M1 gleich 1 ist. Dann wäre also N eine Primzahl. Dann sind wir fertig.
Und im zweiten Fall ist M1 noch echt größer als 1. Dann suchen wir den Primteiler von M2.
Also von M1, sorry, Primteiler. Der heißt dann P2. Von M1, sprich M1 gleich P2 mal M2 mit M2 aus N.
So, und dann führen wir dieses Verfahren weiter nun mit M2. Entweder M2 ist 1 oder M2 ist größer als 1. In dem Fall finden wir wieder einen Primteiler und so weiter. Und unsere Auftreten in M1, M2, M3 etc.
Die werden immer kleiner. Und deswegen kommen wir auch irgendwann bei 1 an. Irgendwann, also in endlich vielen Schritten,
sagen wir, wir haben genau diese Anzahl der Schritte, nennen wir R,
gilt dann mR gleich pr, eine Primzahl. So, und dann wickeln wir das von hinten wiederum auf. Jede Primzahl von so einem mR, ein Primteiler von mR ist auch einer von n.
Und es folgt damit, n ist gleich das Produkt dieser Primzahlen pr. So, und damit haben wir auch das bewiesen.
Das waren jetzt viele Beweise und vielleicht ging Ihnen das alles ein bisschen schnell und das war ein bisschen viel Input. Ich finde, das ist nicht so schlimm. Ich schreibe Ihnen einfach nur auf, was eigentlich die Quintessenz dieses Videos ist.
Das ist der folgende Satz. Jede natürliche Zahl n größer als 1 besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung in Primzahlen.
Also, Beispiel. Wir hatten schon mal die 42. Das ist 2 mal 21. Das kann ich noch weiter zerlegen. Das ist 2 mal 3 mal 7. So, 2, 3 und 7. Das sind Primzahlen. Das heißt, wir haben hier eine Zerlegung in Primzahlen.
Und die ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Das heißt, ich könnte auch 3 mal 2 mal 7 schreiben oder 7 mal 2 mal 3. Und so weiter. Aber die Primzahlen, die auftreten in so einer Zerlegung, die sind immer dieselben.
Und das ist übrigens auch der Grund, weshalb 1 keine Primzahl ist. Denn ich kann hier 42 nicht eindeutig als Produkt aus 1 und Primzahlen schreiben.
Denn ich kann die 1 beliebig oft dran multiplizieren. Also, 42 ist 1 mal 2 mal 3 mal 7. Es ist aber auch 1 mal 1 mal 1 mal 1 mal 2 mal 3 mal 7. Das heißt, die Vielfachheit von 1 in der 42, die kann ich nicht festlegen.
Wenn ich 1 dran multipliziere, ändert sich die Zahl nicht. Und damit wir eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren finden, also eindeutig bis auf die Reihenfolge wieder, darf 1 einfach keine Primzahl sein.
So, machen wir noch ein kleines Beispiel. Wir zerlegen die 96 in Primfaktoren. Das ist ganz praktisch, dass das, was wir hier gemacht haben auf den letzten Folien,
uns eigentlich auch ein Verfahren liefert, wie wir die Primfaktor-Zerlegung finden. Das heißt, wir suchen uns einen Teiler von 96. 96 ist eine gerade Zahl, das bietet sich doch immer an, damit anzufangen.
Ziehen also die 2 raus und dann teilen wir 96 durch 2 und haben es als Produkt geschrieben. 96 ist 2 mal 48. So, und jetzt suchen wir einen Primteil von 48 und ziehen den gefundenen einfach mit. Das heißt, wir haben 2 mal 48. Jetzt wieder gerade 2 mal, was ist 48 durch 2?
Das ist 24. So, zerlegen wir das weiter. Das ist 2 mal 2. Mal in 24 steckt die 2 wieder drin. Mal 2, mal 12. In 12 steckt die 2 nochmal drin. Das ist 2 mal 2, mal 2, mal 2, mal 6.
Und in 6 steckt die 2 nochmal drin. Das ist 2 mal 2, mal 2, mal 2, mal 2, mal 3. Oder kurz, das ist 2 hoch 5, mal 3. So, die Potenzgesetze, die kommen jetzt auch bald.
Ich schreibe das nur schon mal so hin, denn das ist absolut übersichtlicher. Okay, das heißt, es sieht eigentlich sehr einfach aus, so eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen und in der Tat ist es das auch. Aber es ist extrem rechenaufwendig, denn das Faktorisieren von solchen ganz großen Zahlen,
das ist auch heute noch auf Hochleistungsrechnen teuer und braucht einfach lange. Und deswegen ist es die Grundlage vieler Verschlüsselungsverfahren und macht unseren E-Mail-Verkehr und allen elektronischen Online-Austausch sicher.
Es wird spannend sein, wie die Entwicklung geht, wenn wir mal ein Quantum Computing haben, denn das wird das Rechnen extrem billig machen und damit auch die Faktorisierung in Primfaktoren sehr, sehr schnell.