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Aussagen, Funktionen und reelle Zahlen

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Roman sind hier und der immer so sein Nachbar an der TU Darmstadt da
mal für guten Tag und herzlich willkommen zur zweiten Vorlesung bevor ich inhaltlich starrte noch mal das weiß auch als handschriftlich eben Toga gehen es gab offensichtlich inne in einer Orientierungs- Veranstaltung etwas durcheinander welche Matte Veranstaltung die richtigen sind insofern insbesondere also würde ich alle bitten nochmal die weißen Lenz wissen ja denn sie waren schon gewesen studieren wenn sie Wirtschaftsingenieur Bauwesen studieren was weiß ich noch Materialwissenschaften O Logi er noch immer großen vergessen da sind sich auf jeden Fall wichtig wenn Sie Maschinenbau studieren oder Elektrotechnik oder Information Technik oder Informatik oder irgendwas anderes dann dann checken Sie noch mal ob das die richtige Veranstaltung ist weil 1. ist dieses Chaos für unser widerlich weil wir deswegen nicht wissen dann ist ganz viele Anmeldungen Tukan ganz viel Übungsgruppen das Leid haben sie alle bei diesen alle voll und da drunter sind und Menge Leute die einfach nicht ja rein und die Plätze zu stopfen das ist für uns misslich das auch für Sie misslich weil wenn Sie jetzt Informationssystem Technik studieren und die gehören am Flusse glänzende Klausur schreiben können sich das Ergebnis an die Wand hängen und im nächsten Semester noch mal vorne anfangen weil das nutzt ihm nix Westphal Veranstaltung ist also ist wenn auch in Ihrem Mätresse prüfen Sie es nach und wenn Sie hier sind dann melden Sie sich nicht schnell klamm und heimlich wieder abfallen schnell damit die Plätze frei werden und damit wir wahrscheinlich sind gar nicht so viele nur solange dass die Situation so ist dann können wir nicht klar weil wir also nicht wissen diese Plätze müssen wir eigentlich vorhalten das gegenwärtig schnell das bereinigen und wieder sprechen leitender Orientierungswoche sagen dass das nächste Mal mit diesen mit ihren viel Information bisschen vorsichtiger sein sollen gut das ist das organisatorische ansonsten kann ich nur noch mal sagen was ihr letztes Mal gesagt habe auch wir beobachten die Größe und 5 den für gerade Übungsgruppen und uns wird schwindelig wir kümmern uns darum und ich bitte einfach um Geduld und nicht allzu viele nachfragen weil die Kosten die Zeit in der man sich darum kümmern könnte und ja hier nachfragen Sitz ok aber wie immer nachfragen die Kosten Zeit was ist 3 genau genau also wenn Sie diese als Material kommen wollen tragen Sie sich in dieser auf Gruppe eigentlich wieder dann keine Übung teilnehmender können Sie jederzeit wieder abmelden wollen kommen Sie schon Material ist gute Idee und wenn sie dann wir hoffen wir kriegen es einmal auseinander sortiert und wie ich letztes Mal schon gesagt hat wenn am Mittwoch die Übung los gehen und sie sind immer noch nicht versorgt da gehen Sie einfach in der Gruppe und wir schauen mal wie groß das Chaos ist ja aber dann sehen wir im wo wie viel Chaos ist unter aufräumen das Problem im Moment ist wir sehen nicht wo wie viel Chaos ist wir sehen über alles was aber keiner weiß wie viele Phantom komische Doppelanmeldungen da drin sind wenn man in manchen Leuten erzählt hatte sollen sich für alle Mathe Veranstaltung anmelden ja und keiner weiß ob es 2 Leuten erzählt worden es oder 150 deswegen sind sämtliche Planungen Moment mühsam ja zu er deswegen wir brauchen auch die einfachen Überblick wie groß das Chaos wirklich ist und deswegen produzieren sie und sind habe so viel am nächsten Mittwoch ordentlich Chaos und dann ist das auf allen gut das ist das organisatorische inhaltlich war ich in diesem anfangs Block in dem es einfach darum geht Sprechweisen zu etablieren ich möcht alle die jetzt Panik kriegen weil das so furchtbar abstraktes sagen hängen sich daran nicht so arg auf ja also zu der Tabelle gibt keine Klausur Aufgabe das verspricht schon jetzt es geht einfach darum dass wir eine gemeinsame Sprache finden müssen sonst die so oft ohne gemeinsame Sprache reden aneinander vorbei hat Missverständnisse und ich muss Sie einfach in diese ja das sind Symbolik und Sprache mit Ihnen verabreden mit der dann in der dann die weitere Vorlesung läuft soldaten hin der letzten im Fluss der letzten Vorlesung hat ich mit ihm über Aussagen geredet und verschiedene Verknüpfungen von den vorgestellt und die habe ich damit ich noch mal damit wir Sommer erinnern können hier nur noch die Folie geschmissen sie können eine Aussage nochmals Erinnerung eine Aussage ist ein Satz der entweder wahr oder falsch ist können Sie vermeiden dass sie Satz 1 ein Aussage Satz verleihen können ist keine neue Erkenntnis in dem man überzieht schreibt man das diesem Haken sie können 2 Aussagen miteinander in Verbindung bringe denn sie sagen beides muss erfüllt sein sie müssen rechtzeitig eine Haltestelle sein und der Bus muss nicht ausfallen können Sie mitfahren klassische UND-Verknüpfung haben als von den beiden schief geht indessen zu später Bussfeld fällt aus dann können sie nicht mitfahren das eine UND-Verknüpfung eine oder Verknüpfung entweder das eine 1 von beiden reicht denn außer A oder B wobei jetzt mal gesagt wenn überzieht übergeht wenn Sie beides kriegen sind ja auch glücklich ist dann immer noch war dann die Implikationen werden dann wenn er hat dann auch des Herrn und die Äquivalenz 2 Aussagen sind logisch gleichwertig also wenn die eine war es ist die andere war und wenn die zweite weist auch die 1. war ist entweder nur beide gleichzeitig war dabei beide gleichzeitig falsch gut das waren die diese 5 Verknüpfungen ich ihn gezeigter und ich will es jetzt sozusagen nochmal die noch mal anders darstellen nochmal anders zusammenfassen dem uns die Wahrheit werde diese Verknüpfung noch mal aufschreiben also nehme sich 2 Aussagen A und B her dann gibt es 4 Möglichkeiten wie deren Wahrheitswert sein kann wir entweder beide sind war oder aber es war und es freiwillig oder aber ist falsch und wie es war oder beide sind falsch mehr das sind so die viele Möglichkeiten
die sie haben so und das schreibe ich in der eben einfach noch mal auf was sind die entsprechenden Wahrheitswerte von diesem verknüpfen Dingen also wenn das die Wahrheitswerte von sind wie sieht es mit nicht aus wenn wenn aber ist dann ist nicht erforderlich und den aber falsch ist dann ist nicht war es genau die Negation hat genau den umgekehrten Wahrheitswert dann aber als nächstes die Konjunktion A und dass man sich die Kommis von A und B anschauen wenn aber ist und wie war es dann ist aber dann sind beide waren A und B war wenn sie es vielleicht mit dem Bus von aber wenn eine von beiden schiefgeht dann ist das Endergebnis falsch also wenn der Fall ist dann aber als trotzdem falsch wenn falls es ist falsch und wenn beide falsch sind mehr denn es ist doppelt falsch aber falsch das ist also die Wahrheit Tafel für A und B A oder B sieht wie aus wenn aber war ist und b waren da ja dann ist auch einer von den beiden war wenn aber ist und der Fall ist dann ist auch einer von beiden war nämlich am 3. Falles B war also ist das A oder B auch war und der einzige Fall wo die A oder B falsch ist es eben wenn beide falsch sind keiner weil keiner von den beiden eintritt dann haben sich hier falsch so ist für die letzten 2 Jahre so ist das erste Mal aber nicht ja das ist genau kann es eine gute Frage also die Frage ist die das ist der hätt ich auch dennoch thematisiert nachdem wie oben drüber warum steht dann W das ist genau das was ich in die ganze was ich schon 2 mal gesagt habe in der Mathematik ist ein oder kein exklusives Oder ja wenn sie in der Alltagssprache vermischen wir diese beiden Bedeutungen oder und entweder oder das ist im Deutschen nicht so genau getrennt war und das fällt uns jetzt hier auf die Füße bei Wischiwaschi Gegner Mathematik nicht mehr man muss ich entscheiden und es gibt die ganz klare Abmachung ein oder ist nie ein entweder oder A oder B ist entweder das Geld oder es gibt B oder es gelten beide und dementsprechend steht der oben war wenn Sie entweder oder haben dann hätten Sie da oben Einfalt wir können so auch definieren entweder oder B entweder A oder B eine neue Verknüpfungen in vor in der Informatik das X auch bezeichnet also exklusiv aber dann hätten Sie da oben F wer in der Standard oder Verknüpfung haben sie dann weg so es kommt gleich noch noch eine erstellen stelle so ich hoffe dass eine Frage kommt und ich wird sie ihm gleich schon beantworten weil da Implikation kommt jetzt die nächste Überraschung was bedeutet Indikation Implikationen heißt wenn A wahr ist dann ist auch B wahr wann ist jetzt dieser ganze Klumpen war auch noch ja gut wenn A und B war ist dann sollte das nur dann ist auch wenn ASB B war okay 2. Fall es war und des ist falsch wenn aber es muss auch B Ware sein also in der Kombi aber und B falsch ist die Implikation sicher fertig ja aber die die zum war wäre dann müsste aus dem Wahrheitsgehalt von Ar die Wahrheit von B Freuden dies nicht gegeben an das Land falsch und überraschende Dinge kommen jetzt nämlich die beiden letzten sind beide weg so Delegation aus A folgt B ist immer war man das falsch ist warum der die Voraussetzung ist Voraussetzung sagt wenn habe war ist dann muss auch B wahr sein wenn aber du schon mal gar nicht wahr ist dann sie überhaupt nichts würden Sie starten können es völlig egal B wahr oder falsch ist dass die Sache mal war ja er klassische was wir was Personen zum Beispiel für so eine Aussage wenn wenn die Erde eine Scheibe ist dann bin ich der Kaiser von China zum Standard Beispiel das der wahre Aussagen werden die eine Scheibe ist nämlich der Kaiser von China stimmt die Erde ist keine Scheibe deswegen muss ich wirklich prüfen ich der Kaiser von China bin weil die Prämisse falsch ist er Ding ist die Aussage wenn ich wenn die Erde eine Scheibe ist nicht der Kaiser von China richtig der zur ist gewöhnungsbedürftig sehen weil sich daraufhin aber so ist es nein aber als letztes noch die Äquivalenz genau dann wenn b dass ist wieder einfach geht weil es bedeutet die beiden Aussagen genau den gleichen Wahrheitsgehalt das heißt genau dann wenn aber es muss auch B wahr sein und genau dann wenn er frei ist muss auch der Fall sein das heißt die Äquivalenz ist dann richtig wenn die beiden denselben Wahrheitsgehalt haben und dann falsch wenn Sie Wahrheitsgehalt von abweicht ich ja dann setze alles auf einen Blick und ich sage mal die die und intuitiven das ist dass Personen die fiktive oder mit dem sagen wir mal Alltagsgebrauch nicht ganz zusammenpassende ist dieses umkringelte wieder oben einfach weil die deutsche Sprache der ungenau ist und in der Sprache nicht unterscheiden ob oder oder entweder oder meiden sondern meistens ist das im Unterton klar und die beiden andern über die man mal kurz nachdenken sollte sind die hier diesen auch immer etwas gewöhnungsbedürftig er gut jetzt habe ich den Inhalt meiner Warnung 1 6 schon vorweggenommen die Warnung eines 6 sind genau diese Kringel da oben wir also 1. A oder B es war wenn A und B wahr sind nein und die zweite auf die man gerne reinfällt die Implikation ist immer war wenn er falsch und das ist das was ich gerade diskutiert habe nochmals schriftlich lassen Sie sich da nicht verwehren unser das verdecken sehe man das Beispiel dem Kaiser von China ich denke damit kommt kann comma am nächsten dran das uns glauben kann so müsste man jetzt damit an wie gesagt das ist
jetzt typisch Mathematik alles so abstrahiert dass man sie nicht mehr oder vorstellen kann er war das ist genau das die Größe der Mathematik das Sie eben so abstrakt arbeiten kann und deswegen viele Erkenntnisse also allgemein Erkenntnisse auf viele Dinge passen deswegen ganz wichtig wenn Sie so was haben so zu Methodik setzen sie sich immer ganz konkrete Beispiele rein ja also der das eine freiwillig bin der Kaiser von China er in eine solche Dinge und schauen Sie ob das können Sie mit Ihrem Alltagsverständnis zusammenpasst so um was ich Ihnen jetzt zeigen will es 1 eine Schlussfolgerung die man jetzt auf ganz abstrakte Ebene aus diesen Definitionen ziehen kann hier ganz praktische Relevanz hat und da geht es nämlich um den so genannten Umkehrschluss oder den er Contra Positionen und was ich ihnen behaupte ich habe das mal Satz 1 7 genannt das Wort Satz wenn sie schon mal gehört haben mathematischer Satz eine allgemeingültige Aussage die man eben mathematisch beweisen kann und dieses hier die Aussage aber daraus folgt sie ist unabhängig davon dass er und die Hilfen Wahrheitsgehalt haben genau dann wahr wenn die etwas kompliziertere Aussage nicht wie der es folgt nicht aber ist das ja man kann ebenso in Train was bedeutet das das bedeutet ja das die beiden gleichen Wahrheitsgehalt haben Baumann Beispiel wir diesmal ein 2 aber ist damit nicht banal wird wenn man wenn wir das hatten das Beispiel war außer gewinnt 3 ungerade ist wenn 3 ungerade ist dann ist die Erde eine Scheibe ist der falsche Aussage ja seit 3 ist und gerade wenn 300 ist die Erde eine Scheibe es offensichtlich falsch weil aus das waren nichts Falsches folgt vom was Dissidenten entsteht dann wenn die Erde keine Scheibe ist nicht billig mehr wenn keine Scheibe ist eines nicht um gerade also ist er gerade der 3 gerade Freund habe ich es richtig nein das ist ja genau das ist auch falsch ab zum sie sehen man kann sich da schnell verheddern
aber man kann sich sehr übersichtlich klar machen und dazu dient wieder Sonne Wahrheits- dafür wie oben und ich sage Ihnen auch gleich noch oder sie werden noch sehen warum das nicht nur die Spielerei mit bescheinigen die mit mitschreiben Welten ehrlichen ist sondern warum das durchaus eine Relevanz hat aber es comma 1. warum das gilt was machen wir wieder wenn dem alle möglichen Fälle durch jemals unter bändigen
was gibt es für mögliche Möglichkeiten das kann wahr sein und das Bild falsch das aber wir normalerweise macht man das andere Reihenfolge also aber und B war aber und B falsch falsch und Weber und falsch das sind die Möglichkeiten an so was müssen wir vergleichen wir müssen vergleichen den Wahrheitsgehalt aus A folgt B und aus nicht wie folgt nicht an also belegen und 1. was denn nicht B und nicht von Wahrheitsgehalt hat das sollte es nicht so schwer sein nicht der genau den umgekehrten Wahrheitsgehalt von B also ich diktiere falsch darstellt war da steht falsch da steht war für nicht müssen Sie den Wahrheitsgehalt von umdrehen also aus dem wie werden F aus dem will so was müssen wir das vergleichen müssen vergleichen den Wahrheitsgehalt von Aus A folgt B das wird Ober der Tabelle nachgucken die schon weg also muss uns überleben aus erfolgt B ist wahr wenn beide wahr sind aus was falschen folgt garantiert nichts riecht aus das waren folgte Wanted nichts Falsches also das war es das ist falsch und das heißt in folgt immer wie sie gar das Volk dass es immer war es waren die beiden und intuitiven W ist von freuen gut damit ein Wahlerfolg B und jetzt brauchen wir nicht B daraus folgt nicht an also noch mal die gleiche Überlegung nicht jeder was folgt nicht aber schauen in die Spalten nicht wir nicht an der Spitze 1. Fall F F Implikation ist immer war wenn das was hier nicht steht dass das was vor steht falsch ist insofern haben wir hier auf jeden Fall wach wenn das was vor nicht der Fall ist ist immer wichtig dementsprechend haben sie auch jene 3. heimische mein die da ist das was vorgestellt hat so was passiert nach sie an den Fall nicht wie es war und nicht alles falsch was was waren was weiß folgen ist nicht also das ist falsch was es waren was war folgen letzte Zeile das ist ok so und jetzt vergleichen Sie die Spalte mit der Spalt und stellt fest dass der genau das Gleiche kommt also sind die beiden aus sagen wir tatsächlich mathematisch dass der ISO vom logischen Inhalt dasselbe erfolgt B ist genau dann wahr wenn nicht jeder was folgt nicht Awards so was soll das jetzt der wie gesagt nutzen zeige ich Ihnen vielleicht Ende dieser Vorlesung vielleicht Anfang der nächsten eine Warnung an der Stelle noch dieses Dingen wie gesagt Kontraposition das Ding es eng
verwandte mit einem Trugschluss denn leider viele Menschen aufsetzen nämlich was man macht ist wenn aus ja folgt B N A B war ist dann wird daraus gerne abgeleitet er das auch aus nicht erfolgt nicht B war es mehr der habe ich schon falsch gemacht folgt daraus weder das aus nicht befolgt nicht aber nicht erfolgt nicht wählbar ist der ja nur das aus B folgt ist probieren Sie es aus schreiben Sie sich die Wahrheitsgehaltes von aus erfolgt B von außen nicht erfolgt nicht wie und aus folgt hin und Sie werden verstehen sind verschieden jetzt können Sie sagen ist mir doch wurscht ich sage Ihnen aber lesen Sie damals Zeitung dann wird in dieses Phänomen aber da die Füße fallen mein Lieblingsbeispiel dafür ist wenn Sie 100 x lesen die klassische Feststellungen wenn die er wenn die Lohnnebenkosten steigen dann erhöht das die Arbeitslosigkeit ja das ist eine Klassiker klassische Zeitungsaustragen Schlussfolgerung wenn wir die Arbeitslosigkeit den Lohnnebenkosten senken dann fällt auch die Arbeitslosigkeit nein ja er aus A folgt B wenn wir die Lohnnebenkosten steigen steigern dann fit sind dann steigt die Arbeitslosigkeit also die Lohnnebenkosten steigen aber Arbeitslosigkeit steigt B ja wenn wir nur den Lohnnebenkosten senken nicht da passiert nicht bei mir krasses Beispiel ja genau das Gleiche können Sie mit mit dem andern machen also was an Lohnnebenkosten steigen folgt Arbeitslosigkeit steigt also wenn die Arbeitslosigkeit steigt dann sind die Lohnnebenkosten gestiegen möge das kann auch ganz andere Gründe haben er oder noch krasses Beispiel für die dies ein bisschen durch Darmstadt gekommen sind wenn der Dambach über die Ufer tritt weiß sind aber schon gefunden der Dame ist das Fluss kann ich es nicht sagen das Rinnsal dem Darmstadt liegt ja wenn der die USA tritt bei Möbelriesen platzen das ist richtig folgen Sie mir da was wir bitte nicht dass jedes Mittel wissen platzen das ist der Park am Bach über die Ufer getreten ist ja der also der Verdienstunterschied über und wie gesagt die Zeitung ist voll von so was und das ist dann sehe ich jetzt als ein Teil von Allgemeinbildung diese Vorlesung fühlten sich vom Umkehrschluss also wenn sie aus das was andres folgen können Sie daraus noch nicht sagen Sie jetzt das Adler negierenden dediziertes B und sie können auch nicht im Umkehrschluss folgern wenn aus Art des Volk folgt aus B A das einzige was sie keinen und das ist der Satz von oben ist das Problem was auch mit den mit den Lohnnebenkosten der Arbeitslosigkeit wenn die Lohnnebenkosten steigen dann steigt die Arbeitslosigkeit B wenn die Arbeitslosigkeit nicht gestiegen ist dann aber die Lohnnebenkosten nicht erhöht das ist logisch die gleiche Aussage dass andere auch dpa 5 gut so das zu Lebens Warnungen und
kenne den Umkehrschluss und damit dem Umkehrschluss damit Sie auch mal mit diesem Wahrheitstabelle hantiert haben wenn Sie Lust haben kleine Übungen dazu sie können Folgendes mal versuchen zu zeigen was man auch gerne und viel nutzt die Äquivalenz zwischen A und B dies genau dann wahr wenn folgende zusammengesetzte erstmal kompliziert aus der Aussage aus erfolgt B des wir sollten schon entscheiden was Erfolg des und aus B folgt aber ist muss das ist welche von den beiden sieht komplizierter aus diesen blöde Frage für das untere trotzdem er nutzt man das gerne wenn sie sozusagen die Aufgabe haben jetzt 2 damaliger sie sollen und was von der Form da oben beweisen sollen beweisen 2 Dinge sind gleich 10. Quallen zueinander dann ist es sehr angenehm das ganze 2 Teilschritte zulegen können und sagen Kirch sei Gast nur aus erfolgt wie und zeigen dass wir und ich dass beides habe dann komme ich oben hin das ist die Grundlage von dieser aus einer kann aber genauso über Tafeln zeigen wie dies oben auch gut so viel zum Thema aus sagen jetzt habe ich Ihnen ein die das noch
ablösen wollten ja gerade sämtliche schoss
dazu den Namen sagen so viel zum Thema Aussagen wie gesagt das ist nicht das zentrale Thema der Vorlesung sondern das ist einfach mehr ja Mitglied Begriffsklärung damit wäre das gleiche reden und wenn ich immer mal oder benutzen Sie wissen was ich meine wenn ich oder sage gut es kommt noch ein dritter Überschriften Kapitel war Mengen außer Funktionen komm Weise zum Funktionsbegriff als 3. und ich denke auch da haben Sie alle intuitives Verständnis für beste Funktion ist zumindest solange wir die Funktion von reellen Zahlen betrachten zum von er nach er das ist alles schon mal gesehen Funktion X Quadrat Funktion Wurzel man kennt sie so ich will das Ganze geht auch wieder im klassischen mathematischen Sinne auf eine etwas abstrakte Ebene heben weil wir werden uns nicht nur mit Funktionen auf er beschäftigt das reicht nicht weil wenn Sie sich vorstellen Sie wollen irgendwie einig mit den verwässern an also wir haben irgendwas was auf der auf die wollen die Ebene vermessen dann kommen sie in gekappt kürzeste zeitweise aber Raum über der Ebene kommen der Kürze der Zeit dazu dass sie auch Funktion zum Beispiel auf der Ebene definiert was ist zum Beispiel die Höhenlinien Kater andere also Funktion auf der Ebene die gibt den für jeden Punkt auf der Ebene an die hoch da der der bleibt so als wäre nicht nur Funktion auf er und dann machen wir das gleich er allgemein also Begriff 1 10 der Funktionsbegriff und wir schauen uns nicht nur Funktionen die von er nach ergeben sondern Funktion wird ganz allgemein gehalten als eine Abbildung von einer mehr in einer anderen mehr also in dem sich 2 beliebige Mengen aber natürlich wenn Sie da Staaten wollen wo sie stehen denken Sie im Kopf gleich er und gleich er war also beimengen dann definiere ich Ihnen das eine Funktion des eine Funktion meistens wenn die Dinge es genannt werden dann die Buchstaben aus G und H und an mathematisch typisch für die Buchstaben weiter ausdehnen weicht ins griechische außerdem die Dinge Vieh und sehen und dann muss man bei der Coop aber es war aber 11 das ist so Funktion die von der 1. Menge in die 2. Menge geht also von nach 1 und seine Funktion ist wichtig dass Sie diese 2 immer angeben von wo nach wo die definiert ist wenn sie auch schon mal gehört haben und brauchten Definitionsbereich und so weiter also das ist mir zu wahrgenommen was macht Funktion denken Sie eine reelle Funktion das es der Blackbox in die Sie oben dann zahlreichen werfen mache die Funktion was damit und spuckt in unten an der Zahl aus und abstrakt es sie jetzt Zahl durch Elemente Element also werfen oben Element aus rein und dann macht die funktionieren was und wirft ihn und nimmt anders irgendeine wenn das raus wer und was Element aus immer das gleiche aus in der es kein zu gerade so eine Funktion der also diese Funktion muss eine Zuordnung die jedem Element aus das ist eine wichtige Eigenschaft sie darf sich nicht meines Elementen verweigern sie darf nicht bei 5 Elementen aus in den Sie die reinwerfen sagen mir schmeckt ich und wieder ausspucken sondern sie muss ihn sie jedem Element was liefern also die jedem Element von genau ein Element aus allen zu Wort also wenn Sie mich bitte Quadrat Funktionen den Parabel denken da wir das die Funktion werfen Sie oben reelle Zahl rein und das oben rauskommt ist das Quadrat davon period so und das machen wir jetzt eben nicht nur mit reellen Zahlen
sondern mit Elementen im aus also was macht dieses wie schreibt man sowas sehen übliche mathematische Notation dafür ist wenn man das den F jetzt muss man ein paar Dinge angeben gekommen colon hin man muss sagen was der Definitionsbereich ist also wohl diese Funktion das die Funktion zuvor den Krieg was die Elemente sind diese reinwerfen zu müssen sagen was rauskommt wer also müssen hier in der SMS und dann müssen Sie noch sagen was die Funktion tut sie aber die den aus das Element F von zum nennen Sie Ihre Funktion angegeben das müssen wir von nur 3 Dinge angeben das das N und liegt vor uns Vorschrift die Dinamo alle noch einen Namen das als Definitionsbereich für Sie kein neuer Begriff sein das ist die Menge von Elementen die Funktion füttern die Menge als der Zielbereich das ist die Menge der potenziellen Ergebnisse das heißt nicht auch an der Stelle eine Warnung dass jedes Element in allen auch auskommen muss das immer gleich ein Beispiel war aber das sind alles ist die Menge der potenziellen Ergebnisse so was gibt es nach Tätigkeit gesagt dieses ja also Beispiel bleiben sie wieder könnte Quadrats Funktion wie die es Funktionen also X Generics Quadrat wenn sie die es Funktion von er nach er auffassen können Sie um alle reellen Zahlen raunte reinwerfen was und rauskommt sind aber nur zahlen größer gleich 0 sie werden nie damals reinwerfen uns Corvinus 5 raus weil das Quadrat von Zahl ist nicht minus 5 das ist der Song beispiellose Funktion haben die nicht den ganzen Zielbereich annimmt jetzt will trotzdem Interesse zu wissen welche Ergebnisse kommen denn jetzt wirklich raus also nicht nur welche können brodelt's herauskommen soll welche kommt wirklich vor und das nennt man den Wertebereich von 11 und das schreibt man üblicherweise SF von für formale Schreibweise sie einfach sagt nehme alle Element den zur und jage sie durchs F und gucken was rauskommt also das ist die Menge aller Werte die rauskommen alle 11 von klein aber wenn Sie jedes aus entnehmen und mal durch das F durch jagen die Menge aller Bilder das ist in eine Teilmenge von allen Fans haben Sie Ihre dürfen ihre Funktion bekloppt definiert sonst es ist nicht zulässig definieren und dass man sich der Wertebereich von ist und auseinanderzuhalten sind der Zielbereich und der Wertebereich in 10 für verschiedene Dinge ich habe jetzt noch ein Symbole
verwendet dass ich ihn noch nicht erklärt habe was
natürlich höchst sträflich ist also mache das ich habe colon leicht geschrieben vielleicht habe ich so klein geschrieben dass ihr die meist nicht sehen oder steht er von colon leicht und was colon leicht bedeutet der Ausdruck links wird durch den rechten Ausdruck definiert also sowas wie per Definition gleich wir gleich heißt die beiden Dinge sind gleich im Sinne von Aussage und das heißt ich definiere dieses Symbol er von innen durch den Rechten aus und zu der schon mal programmiert hat wird den Unterschied zwischen gleich und per Definition gleichkäme gut er also jetzt noch mal was ich gerade gesagt habe als kleines Achtung am Rande er im Allgemeinen gilt das dass der Wertebereich von 11 nicht Handys können es wird Heininger aber keine echte Teilmenge sein also kann ich kleiner sein dieses Beispiel Quadrat im Quadrat von einer sehr dann ist der Zielbereich Erbe der Wertebereich nur die positiven also nicht negativen Relenza so ist ihm auch dann noch ein paar andere Beispiele und ich habe jetzt extra war ist so bis 3 4 Beispiele mitgebracht von denen einige ihrer ich mitgebracht Intuition von Funktion entsprechen und einige nicht also es 1. ist im Prinzip des Quadrats Funktion über Sie gerade schon hatten Zeit mit quadriert aber die können sie natürlich noch er ein gucke ich gucke jetzt noch Z 1 also Funktion von Z nach Z von den ganzen Zahlen in die ganzen Zahlen und jedes Cal jedes die ganze Zahl wird von dieser Funktion quadriert für Funktion Definitionsbereich zählt jede Zahl können Sie Quartett die ganze Zeit können sie quadrieren es okay das Quadrat der ganze Zahl ist die ganze Zahl also die Funktion des vernünftig definiert ja aber das ist wieder so ein Fall wo der Wertebereiche der Zielbereich auseinanderklaffen und zwar jetzt nicht nur wegen des negativen Zahlen klar die negativen Zahlen kriegen sie nie aber zum Beispiel enthält der Zielbereich auch die 5 und die 5 kommt ganz sicher nicht als Wert vor ja ich finde es keine Verrats ist der Wertebereich in dem Fall wäre nur die Quadratzahlen 1 4 9 16 und so eine mögliche Funktion dann eine Funktion
auf er die man manchmal braucht die Sie vielleicht schon mal gesehen haben oder auch nicht üblicherweise SGN genannt steht für Dateien Sieg die Zeichen in dem Fall ist das Vorzeichen gemeint das ist die Funktion von er in dieser kleine Menge zumindest verglichen mit R in Australien werden bestellt und was die Macht ist die Arbeit jeden X zu das Signum von X bis jetzt habe ich überhaupt nix definiert gesagt Signum Oleksy Siedlung von X also wo Sie noch sagen was das ist das Siegen von X ist das Vorzeichen das heißt diese Sendung von X ist minus 1 Felix negativ 0 4 x gleich 0 und 1 wenn nichts Positives mit der Funktion können sogar den Grafen hin malen wir haben das schon gerade
Krieg also dann hier ein offensichtlich gradliniges kollerten stehen einst das minus 1 das einst das minus 1 Funktion ist minus 1 für alle negativen Zahlen 0 1 0 fast 0 1 0 und 1 für alle positiv Teile prüft tja das wär der Graf von der das waren jetzt Funktion sage ich mal die werden Sie mir sofort glauben dass das Funktionen sind wir das ist wer was bezahlen damit das mit Mathematik zu tun Mathematik ist nicht nur zahlen und ich habe er ganz bewusst den Funktionsbegriff in ganz allgemein gebracht also zwischen 2 Mengen und ich könnte zum Beispiel noch folgende Funktionen gegen die durchaus für Sie auch praktische Relevanz hat ich Minimalmarkt das ist die Matrikelnummer Funktion dies definiert auf der Menge aller Studierenden der TU mehr ist eine Funktion die der Tukan dauernd braucht mit Werten die natürlichen Zahlen und jedem Studierenden wird zugeordnet die Matrikelnummer von S das ist ne wunderbare Funktion alldieweil die Uni penibel darauf achtet das 1. jeder Studenten mit Regen und jede Studentinnen Beiträge gemacht da sonst wird es keine vernünftige Definition von der Funktion wenn gesagt Funktion muss zeige wie die Dinge tun 1. muss sie gegen Element des Definitionsbereichs was zu wahren ja aber die Uni achtet darauf dass jeder Studie Matrikelnummer hat und zweitens muss die Funktion jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Ding zuordnen aber die und die achten auch penibel darauf dass niemand 2 Matrikelnummern Abg er geht Studierende an Uni hat genau eine Matrikelnummer und deswegen ist das eine vernünftige Funktion klar das ist die Funktion die der Tukan glaube ich mehrere Tausend Mal am Tag auswertet Suche zu gegebenem Studierenden eine Matrikelnummer so sehr wie die 3 Beispiele für Funktionen gezeigt dann dem zeigen sie noch 1 was keine Funktion des Films man denn die Funktion Matrikel da oben bisschen ab so und zwar wieder definiert auf alle Studierenden der TU und jetzt auch über den Studierenden nicht ihre Matrikelnummer zu sondern andere Zahl nämlich was weiß ich sage mal ihre Telefonnummer ja und dann läuft man in die ganzen Probleme rein die ich gerade angesprochen hat dass es keine vernünftige Funktion warum 1. kann es sein dass jemand von Ihnen gerade erst gestern nach Darmstadt gezogen ist oder vor 3 Tagen die Telekom 2 nicht geschafft hat Ihnen nun mal in der Leitung zu legen Sie am einfach noch keine da wobei dann würden sie wahrscheinlich sein wurden ich mein Handy einverstanden danach war das zweite Problem rein und den haben sie 2 oder 3 oder 4 oder 5 und dann ist das keine eindeutige Zuordnung er dann gibt es wieder meldet jetzt Definitionsbereich ist die mehrere Werte kriegen müssen und das ist nicht eine Funktion hat immer für gegeben Element des Definitionsbereichs genau ein wert dementsprechend nehme ich mal an dass es noch von hier im Hörsaal Leute gibt für die das keine Funktion mehr wird Schneemann die meisten haben Festnetz und Handynummern damit es schon gelaufen nur gut so viel zum
Funktionsbegriff aber man sich drauf
Zahn gut das ist der Schluss dieses seien anfangs Kapitels über Begrifflichkeiten und der jetzt werden wir uns den so die Sie auf jeden Fall auch schon gut kennen 2. Abschnitt
behandelt hat die Überschrift die reellen Zahlen und ich so ein paar ja grundsätzlich Erbsen 2 zum paar grundsätzliche Dinge zusammen tragen die von denen ich erwarte dass sie sie wissen und in so ein paar auch so ein paar 1. Erkenntnisse mitteilen also auch das ist alles noch sehr elementaren es kann nur wieder sein dass ich sie damit verwirrt dass ich Banalitäten in Mathematik spreche kompliziert rein aber es ist alles nicht Christel so wir haben Teile davon schon verwendet trotzdem für die Vollständigkeit noch mal die Absprache welche Zahl Bereiche betrachten wir er will ich hatte gerade schon die natürlichen Zahlen geschrieben ich gehe mal davon aus das sind die kennen 1 2 3 4 und so weiter das ist das womit man natürlich anfängt zu zählen als Kind also natürliche Zahlen da gibt es immer nur die Debatte ob die nur jetzt dazu gehört oder nicht da können sie sich stundenlang die Köpfe einschlagen oder auch sein lassen ich habe für diese Vorlesung beschlossen belasten sie raus und bin ganz froh und festzustellen dass es sogar der ihm entspricht in die mich hat mir jemand hat das mal Genort Zug aber das können Sie machen wie Sie wollen ja also hier ist 0 keine natürliche Zahl mein Mann aber manchmal die wir halt doch ganz gern hätte machen wir dafür ein Symbol auf also in 0 ist in dieser Vorlesung die natürlichen Zahlen mitsamt nun gut also für alle die die 0 dabei hätten schreiben Sie in Nullen und alles ist gut scho das ist einfach Absprache für diese Vorlesung nun es keine natürliche Zahl aber
gehört zu dieser Arbeit Datenmenge in 0 so da haben wir gerade schon stehen Z 1 das ist der 1. die 1. Zahl Bereichs Erweiterung irgendwann nach der Grundschule fängt man an mit negativen Zahlen zu rechnen kennen Sie aber auch minus 3 und minus 2 minus 1 0 1 2 3 und so weiter nein ich immer die Pünktchen Schreibweise Sie können es auch immer noch ein bisschen wenn ich verweise können auch so hinschreiben müssen alle die Zahlen Ende für die entweder NNN liegt oder minus 1 Toten ja ja und die nur immer noch zu Kleinschmidt beim vorbereiten nicht aufgepasst Zar also alle Zahlen die entweder natürlich sind oder der negatives natürlich sind oder die Not tja das sind die so genannten ganzen Zahlen auch das sollte keine Überraschung sein so wie macht man dann weiter da macht man stellt man fest dass ist zwar schön wenn man mit ganzen Zahlen rechnen kann aber das reicht in
wenig weil man von muss man halt doch 3 Tafeln Schokolade noch 5 Kinder verteilen und dann kommt man zu dem Bruchrechnung zur Bruchrechnung und dann kommt man damit den rationalen Zahlen also Q die Menge aller Brüche quer durch Co wobei P eine ganze Zahl ist Cone natürliche wer sich jetzt mit der Definition nach besteht das Vorzeichen des Bruchs immer einen Zähler das hat den Vorteil das dadurch dass sich cool Ende habe Q gleich 0 schon mal von vornherein ausgeschlossen ist wie Sie wissen ist der Fall Koblenz nun strikt verboten durch nur davon nicht heilen ja also so macht das Sinn so und dann stellt man irgendwann fest Pythagoräer sehr stark auch die
rationalen Zahlen reichen nicht weil die haben oder Löcher auch man sich nicht vorstellen kann wo die sein sollen und man muss zu den reellen Zahlen gehen weil zum Beispiel die Wurzel 2 Sohn Problemfall ist comma noch zu das sind die reellen Zahlen die Kammer jetzt auf verschiedenste Weisen definieren und ich sage hier einfach das ist die Menge aller Dezimalbruch Zahlen zu werden ist auch im Wiener Vorstellung haben also alle Zahlen der die Vorzeichen und dann haben sie in vor comma stellen ja comma ist natürlich Unfug schreibt comma S zwischen zahlen an das was falsche zur ein Minus 1 also am See ein paar vor comma zahlen wir eine Zehner Hunderter Tausender und so weiter und dann kommt die Nacht comma Ziffern und das dürfen auch unendlich viele sein und alle diese Zahlen an 0 bis A N und B 1 die 2 und so weiter also vorne Form comma dass uns endlich viele Ziffern sein aber hinterm comma unendlich viele das sind alles Ziffern zwischen 9 wir sagen das die Gerät sein gründe eben der das Problem ist das sind deutlich mehr als die Ratze gut die nächste Zeile ist aus der Erklärung oder aus der
Geschichte heraus dass man das immer als Zahl Raums Erweiterung anschaut keine Überraschung also natürlichen Zahlen sind die Teilmenge der natürlichen Zahlen mit 0 10. Teilmenge der ganzen Zahlen sind Teilmenge der rationalen Zahlen sind mit einem älteren Herren ja das ist so der Standard Zeitraum Erweiterung was man so im Laufe der Schulzeit durchmacht und ja du und werden wir noch 1 drauf setzen wenn sie es nicht schon mal gesehen haben da dahinter gibt es eigentlich noch ein mehr nämlich CD komplexe Zahl wer hat die schon mal gesehen nur so für die doch schon mal nicht schlecht gut ja also es gibt paar für die andern keine Panik ja sie Vorlesungen hält ein Kapitel komplexe Zahlen wo ich ihm sage das komplexe Zeit aber da gibt es noch einen Schritt weiter und dann sind sie aber wirklich am Ende dessen was noch sah man außerhalb der Mathematik relevant ok der was Sie denke ich auch kennen werden ist dass
man sich dieses reellen Zahlen gern ein Zahlenstrahl veranschaulicht also anschaulichen am Zahlenstrahl malt sich man identifiziert er mit einer unendlich langen gerade 0 1 2 und so weiter ja da können sie zivile Zeit Abtrag gut jetzt quatschen schon wieder ganz lange in den Ihnen mal kurz 10 Minuten Pause und dann eine Frage seiner auch ja ich wiederhole die Frage keine Sorge ja es ist also so ne Menge
Schreibweise ist niemals eindeutiges die
Frage war wenn ich hier die Z hinschreiben
damit meiner komisch vereinigt mit 0 ob ich die nicht da vorne noch hinten mit reinschreiben können hätt ich natürlich machen kann er also ich hätte hier durchaus dass da noch in das schreiben können als Menge aller n mit allen aus allen oder minus allen aus allen oder gleich 0 ist auch super nur völlig okay haben Sie alle Freiheiten muss halt richtige bei rauskommt gut noch weitere Fragen gut dann erst mal Pause und danach fragen gut ich würde dann
gern und die zweite Hälfte einsteigen und ja was jetzt kommt sind
größtenteils Dinge die Sie Stoff der 7. 8. 9. Klasse sind werden und macht es diesem Zeit aber ich mache davon viele Dinge weil die Erfahrung ist das ist doch beim ein oder andern nochmal was auslöst also was ich mir was ich jetzt nicht machen da verzichten falls ich mich kurz ist man errechnet das hoffe ich dass sie das noch wissen also plus minus mal und geteilt gibt es da eine damit kann man rechnen wie gewohnt ja ein Punkt möchte ich hier machen als freundlichen Aufruf an alle bei dem dieses Wort Hochrechnungen Gänsehaut produziert füllen Sie das auch ja also es aus gegebenem Anlass einmal in Klausuren reinguckt stellt man immer wieder fest dass Bruchrechnung anscheinend doch nicht so einfach ist immer gedacht hat also weder Schwierigkeiten hat setzte sich hin und für das auf das wenn man nicht mehr thematisieren das müsse so einfach können dann werden Sie folgende Definition auch nicht abwegig finden und die der ganzzahligen Potenzen es wird in der Verlauf der Vorlesung ein paar Potenz Definitionen geben deswegen hier mal Potenzen 1 also sehr mehr reelle Zahl und unser natürliche Zahl n und dann wollen sie definieren was auch n ist dann macht man erst mal den Sonderfall auch nur das 1 auch in ist bekanntermassen A X und so weiter man aber und das sind ein Stück
am ja also in Stücke und dann kann man
noch auch minus N definieren auch minus definieren Sie als 1 durch auch n und die müssen sie aufpassen die übliche Vorsichtsmaßnahme das geht nur wenn er nicht nur Mist an 0 ist in dann ist 1 durch 0 bis 7 Grad das ist so grundsätzlichen Aufruf wann immer sie irgendwas teil gucken Sie mal ob es das auch dürfte so für die Potenz tipps Rechenregeln da ich schon einmal zu wiederholen weil erfahrungsgemäß die auch nicht bei allen so ganz da sind also das ist jetzt ein Abschnitt Wiederholung schon Mathematik also wann immer sie 2 reelle Zahlen haben denn ich nur sind 2 ganze Zahlen M und N dann haben Sie ja das ist das aber auch mal aber auch wenn Sie 2 Potenzen mit gleicher Basis miteinander multiplizieren können Sie auch erst die beiden Exponenten addieren und dann potenzieren das gleiche geben durch also auch durch auch ist auch man das und damit ich sowas wie
er auch in denen der schreiben kann habe ich eben vorausgesetzt dass nicht 0 ist dann gibt es den Fall verschiedener Base gleiche Exponenten da können Sie auch erst die Basen multiplizieren und dann den Exponenten draufsetzen genauso beim dividieren auch durch B Woche ist aber dann später auch in und als letztes
Potenz von Potenz also auch ein Hoche N S A hoch n x n das und ich danach Potenz Rechenregeln so damit haben wir plus minus mal geteilt und hoch das sind so das was man normalerweise rechnen benutzt und jetzt haben wir reellen Zahlen noch eine weitere wunderschöne Eigenschaft die und sollen Fleisch und Blut übergegangen ist das würde sie noch nicht mal zu schätzen unwürdigen wissen wir werden sie erst dann wieder vermissen müssen nicht mehr haben in komplexen und dass es die reellen Zahlen kann man sortieren so banal es klingt der bis schöne Eigenschaft es gibt kleine und größere die formuliert man das so ich fange also wenn Sie 2 reelle Zahlen haben dann geht immer gilt immer genau eine von den folgenden 3 also es gibt 3 Aussagen zur Auswahl und von denen ist genau 1 war nicht nur nicht ein nicht 2 nicht 3 sondern genau 1 nämlich in die entweder S kleine W oder ist es gleich B oder es ist Größe das war jetzt exklusives oder ja entweder das erste oder das zweite oder das 3. und zwar genau 1 davon und dank dieser schönen Eigenschaft der reellen Zahlen kann man die reellen Zahlen Ordnern das ist die Ordnung auf er und was täten wir ohne unsere Ordnung hätten wir häufig Probleme so
dass ist das kleiner wenn man exakt arbeitet kennen sie noch kein kleiner gleich also definieren wir uns ein kleiner gleich was bedeutet kleiner gleich B mehr keine Überraschung bedeutet das entweder kleiner als B ist oder aber gleich weg hätten sie mir auch so hingeschrieben
genau so größer gleich B bedeutet größer B oder gleich schon
auch das kleine Aktenzeichen Regen das schöne an diesen kleiner ist es verträgt sich Google Plus und mal das also was passiert wenn sie Ungleichungen haben und in den Rum addieren oder darum multiplizieren der für jede Wahl von reellen Zahlen gilt das folgende wenn Sie wissen dass das kleiner als das des ist und Sie wissen dass das kleiner als das C ist dann können Sie daraus was schlussfolgern also wenn kleines Biest und viel kleiner ist na es erst recht kleiner als der das ist eine Banalität aber was verständlich benutzt und was sie auch wenn Sie recht ständig benutzen werden und da gibt es ein ganz toll ja wurden Fachausdruck für das nennt man Transitivität Herrmann T die Eigenschaft kleiner zu sein wird über das weitergegeben und dafür Transitivität so nennt man diese Eigenschaft so dann gibt es das folgende was man ständig nutzt wenn Sie eine Ungleichung haben dann bleibt diese Ungleichung erhalten wenn sie auf beiden Seiten dasselbe drauf addieren also wenn als B ist eines arglos C kleines B plus C Geschwurbel das Monotonie der Addition Tode Rene bezüglich der Addition besser und es gibt auch ne Monotonie bezüglich der Multiplikation sondern muss mit aufpassen und das ist nicht der der an der häufig Zeug schief gehen also wenn aktuelle
B ist was passiert wenn Sie jetzt wenn sie jetzt diese Ungleichungen nehmen und in der Zeit 10 multiplizieren nicht der Ideen er des AC kleiner als die 10 5 in 3 kleine S 5 1 auf 6 kleine S C das ist auch in Maßen richtig ja also und setzen sie gleich 3 und B gleich 5 und C gleich 2 entsteht haben 3 als 5 ist es auch PCI 6. als 10 das ist okay solange das Ziel positiv ist wenn Sie als C minus 2 nehmen dann steht aus dem 3 kleiner als 5 ist dann ist minus 6 kleiner als minus 10 aber da geht was schief und das deswegen muss man hier aufpassen das gilt wenn das C positiv ist und im Fall dass sie mit was negativ multiplizieren müssen Sie das Relations Zeichen umdrehen der also wenn sie mehr negativen Zahlen multiplizieren dann wird aus dem kleinen größer und das ist sowas was er Erfahrungen aus Klausuren ganz oft vergessen geht das ist in wahrscheinlich nicht mal anzulasten weil das ist natürlich das Thema der 8. Klasse und das ist jetzt wieder für 5 Jahre hier und das hat sich alles zugeschüttet mit irgendwelchen Ableitungsregeln werden aber das sollten Sie darüber nicht vergessen Schnaps ja in den
Verzehr gleich 0 wenn sie die ungleichen mit neuen durch multiplizieren dann ist das die mathematische Entsprechung für Format Festplatte das heißt sie in der schon alle Informationen wenn Sie wissen dass Klein als und 7 0 durch dann kriegen Sie das nur kleiner als 0 ist oder was also dann haben Sie dies Recht 0 stehen dann haben sie einfach alles das Sie wissen der weggeworfen mit gleich mit 0 zu 0 Twizy sie macht keinen Sinn als der Sieger machen aber das ist so wie bei ich weiß was ich lebe angenehmer wenn ich nicht weiß was was manchmal aber ja gut können Sie machen dann brauchen Sie nicht hoffen darauf noch und was schlussfolgern zu können Herr gut wir also mit nur 0 sie mache keinen Sinn das aber keine Rechenregel oder also gesagt ist nur Fuchs an der Stelle er es
aber ich gebe zu der Fall für die Tiere aber den brauchen wir nicht der wohl die was zu sagen hat
ja dass alles was hier steht geht
genauso für da der geht genau so auf das kleine gleich also können in allen diesen stellen hier das kleine durch ein kleiner gleich ersetzen und alle Aussagen sind genauso richtig natürlich müssen Sie das größere in größer gleich ersetzen mehr okay das er die ganzen Regeln in 2 6 gelten für kleine und gelten genau so viel kleiner gleich als wenn sie bereit davor kleine steht in Schwarz das blaue kleine gleichen schreiben dann stimmt das auch alles was auch machen können Sie können die ganze Region dem und über Walter und kleine Städte Größe und und Größe steht kleinen schreiben stimmt auch können gut also so heißen die Rechenregel für Ungleichung gelten für echte ungleich schon genauso wie für Ungleichungen mit kleiner gleich so er dpa
wenn Sie Lust haben dazu mit seinen Übungsaufgabe nehmen Sie mal diese dieses Wissen aus der und diese Rechenregeln und machen Sie damit begründen Sie mal also das ist 2 7 begründen sie damit mal warum für alle in ja die Welt dass man das kleiner 0 ist genau dann wenn man es größer ist das hätten Sie jetzt nicht so wahnsinnig tiefsinnige zages negativ genau dann wenn ihr negatives positives ist ja klar wenn er das geht nicht darum dass zu glauben sein es geht darum nur aus diesen welchen Regeln die sie da haben das zu folgern darum das können Sie mal diskutieren
so dann muss ich noch wieder ein paar Notation einführen die ich jetzt einführen kann wurde die Satzung kleiner gleich haben auch das sind für Sie im Zweifelsfall keine neuen Begrifflichkeiten vielleicht finden Sie die Notation ungewohnt das kann passieren und zwar geht um Intervall als Teilmenge von er also wir haben 2. reelle Zahlen a und b das sind Intervall Grenzen und damit A und B sind sinnigen dabei Grenzen sind setze ich mal voraus dass das kleiner als das des ist kann Intervall von 5 bis 3 Gedichts nicht anschauen der Quatsch zur und dann kommt jetzt in Stapel einfach Notation
die Sie vielleicht auch schon kennen das Intervall von A bis B mit eckigen Klammern mit Rechten den man nicht Strom Berater ist das Intervall von A bis B wobei die Grenzen dazugehören also das ist die Menge an x in er so dass das kleiner gleich X kleiner der des B ist die Menge aller zahlen die zwischen A und B liegen A und B eingeschlossen das nennt man das abgeschlossene Intervall von A bis W ich denke dass die meisten von Ihnen kennen und es ist auch glaube ich kann es nicht eine Rotation der gibt es nicht viel anders schwieriger wird es beim offenen Intervall also bei den Intervall zu die Ränder nicht dazugehören das Intervall einer Zahl mit strikt kleine X strikt kleine B da gibt es 2 konkurrierenden Notationen die beide verwendet werden Kreuz und quer durcheinander das muss man sich entscheiden meine Entscheidung wäre die runden Klammern zu verwenden also dings Unrecht so runde Klammern bedeutet es ist das Intervall von A bis B aber und die gehören nicht dazu dann gibt es die Mischformen die sogenannten halboffene Intervalle also eingeschlossen wenig dabei die Menge aller x in mit kleiner gleich X kleiner B und die andere Variante A bis B B eingeschlossen also die Menge aller X aus so dass kleine X kleiner gleich B das sind die beiden Mischformen das nennt man halboffene Intervalle mehr weil sie halt halt offen sind also in einem Ende gehört die Grenze dazu dann ein nicht zu und dann gibt es
noch die unendlichen Wale die gibt auch führende offenen abgeschlossenen Form also das Intervall von A bis unendlich wobei das Unendliche bitte alles das ist mit grundsätzlich Ansage unendliches immer als formales das Symbol zu verstehen unendliches keine reelle Zahl insbesondere taucht auch im weiteren Verlauf der Vorlesung aus anstellen muss definitif so definiert ist in keiner ihre Rechnung das Zahl Symbolon endlich auf ja also 3 plus unendlich gibt es nicht was sie mit gemeint ist ist hier jetzt definiert das Intervall von A bis unendlich damit ist gemeint alle reellen Zahl x aus er war für die kleiner gleich X kann so das ganze gibt es nicht oh Wunder Klammer links das sind dann die X aus er zur dass kleine dann gibt es das Ganze mit dem minus unendlich Seite minus unendlich bis B das sind die X aus er für die das X kleiner gleich B ist wenn das dann endlich bis B auch für sind die X aus er zur das X kleiner als B ist und an der Stelle er ja dann bleibt noch ein letztes
übrig sie können auch das Intervall von minus unendlich bis unendlich ist auch ein Intervall was sind das das in aller Regel zahlen ohne Einschränkung dass ist also einfach er schreibt er wenn sich das angucken was sie alles hingeschrieben habe dann kann in auffallen und das ist nämlich die Gebühr mehr Beobachtung da wohne endlich steht wie gesagt unendliches keine reelle Zahl und wie Sie jetzt einfach als Kontroll- Check da wohne endlich steht darf niemals eine eckige Klammer sein also das darf niemals irgendwo stehen in den der Wahl minus unendlich bis irgendwas oder Intervall ist unendlich und dann da einseitig wenn Sie so was nur stehen haben wenn es was schiefgelaufen er kann nicht stimmen nur weil endlich ist keine Zahl
so begriffe damit Sie einmal da standen das wenn man den linken Rand period das Intervall ist sinnigerweise das B überraschenderweise recht daran period und dann ist noch eine größere manchmal von Bedeutung nämlich die Differenz T minus aber Differenz in das aber ist der Abstand das ist zwischen den Endpunkten dem Anfangspunkte sind aber als es geht denn genau die Länge des Interface das ist manchmal eine interessante Größe und man beachte da die größer als vorausgesetzt wird war ist es auch in eine positive Zahl ja so das sind der
Wale ich hoffe mal kurz damit habe ich sie nicht großartig überraschte die Hitze zu fragen ja als das heißt als den der Bund ist wenn sie mit der Wahl von A bis G haben dann ist das der linke Rand und dass Sie dabei ist egal wo es liegt er habe wenn aber negativ ist dann ist aber wenn man es aber trotzdem noch positiv egal wo wie und wo liegen B muss größer als A sein aber ob sie jetzt in positiver einigen Zahlensinn ist völlig egal probieren Sie es ruhig mit aus mit 2 positiven mit positive negative mit 2 negativen die dabei liegen bleibe positiv weitere Fragen ja zum einen man klar ist kommt ja natürlich also was gemeint
ist nämlich mal ist das berühmte offene
Intervall und da gibt es dann häufig auch das her richtig ja ja klar wichtig ist es muss völlig klar sein was sie meinen und dass es in dem Fall klar also da in Ihnen das wird auch in Büchern Kreuzundquer allein nicht Kosten für durcheinander meistens einigt sich ein Auto mit sich selber auf eine Schreibweise aber wenn sie dann das Buch nehmen es wir die andere Notation die gehen einfach Kreuz durch nannte das völlig okay ich sage ich notiere das zu gut weitere Unklarheiten er hat dann ja ein er ja dieser war länger den die dabei Länge ist davon unabhängig ob der Rand dazu gehört oder nicht weil ob sie Rand das ist das alte Problem wie lange sind period gar nicht ja also 0 1 ist immer 1 lagen ob zu nehmen oder nicht oder eines ist völlig egal in der Wahlen ist vom vom vom oder Frank dazu den unabhängig was die Frage Hmm ja gut da der wir kommen dann die war konnte sich der die philosophische Debatte wie kann Intervall Bortenlänger haben wenn jeder einzelne Punkte dazu gehört keine hat können Sie darüber nachdenken der das ist eine sehr mathematische Frage gut hat also die
damaligen ja jetzt ein weiteres gegen was sie alle kennen aber hier nochmal das eingeführt werden soll ist der Betrag den Tracks Funktion 2 9 also wenn sie eine reelle Zahl haben dann der Film X dann finde ich Ihnen dass der Betrag von x ist auch wenn sie es schon alle wissen der Betrag von x 11 x heißt das X größer gleich 0 ist und bis minus X falls X kleiner 0 des das ist der Betrag von x das kennen Sie alle ja dem Grafen kennen Sie auch mal nur 1 mal schnell gehen also wie sie der Graf von der
Betrag Funktion aus 30. als Betrag X da ist einst als eines der ist minus 1 kurze Anmerkung an der Stelle weil das wird heute immer vorkommen dass auf Übungsaufgaben oder Klausuren oder sonst wie stets ziehen sie uns die Funktion Erfahrungs- gemäß komme ich dann immer in Konflikt wenn ich das korrigieren muss mit den Menschen und über die die fragt Frage Was ist es gibt sehr also für mich Minimalvoraussetzung für es gibt ist eine Beschriftung und ist mehr Achsenbeschriftung mehr als das ist es was es nur minimal immer wieder dass manche das für nicht notwendig halten weiß ist und es gibt ja aber es zumindest mal welche Einheiten und Beschriftungen was dargestellt wird das ist drunter ist es nicht für mich auch keine es gibt es mehr wir schon mal so für die Mindestanforderung gut also der Betrag für positive X ist einfach X gut es gibt Sonne gerade und weniger TV X ist minus X das gibt ohne gerate kriegen wir das so schön sein fast und die habe halt na Sie wissen wie das Ding aussieht darf es ist natürlich keine Funktion mehr aber der wird jeder hat jetzt 2 Werte sie wissen was ich meine gut da eine wichtige weitere Bedeutung des Betrages will ich noch los loswerden wenn wenn ich lässt wenn sich sich den Zahlenstrahl hernehmen ja und erst dann 2 Punkte denn es folgender Ausdruck von Interesse der Betrag von X minus Y Was ist das X minus y ist in dem Fall hier eine verdammt negative Zahl aber wie groß ist die dies so groß also betragsmäßig so groß wie der Abstand von den beiden und das ist die grundsätzliche er Beobachtung Betrag vom Differenz von 2 Zahlen gibt immer den Abstand auf auf der Zahlengeraden an und das ist das was man häufiger mal braucht also deswegen sei dass hier extra bemerkt ja also X minus Betrag
X minus y ist der Abstand von Excel y auf der Zahlengeraden hat damit eine geometrische Bedeutung und das ist ja immerhin schon mal was interessante das so ferner neues Spielzeug den Betrag für den gibt es natürlich auch wieder Regen wie man mit ihm rechnen kann die Samen mal der der in Nummer 2 20 also Überblick was geht mit den Betrag und das geht mit ihm nicht also egal welche reellen Zahlen X und Y sie nehmen also konnten
ganze Staaten Zeug nur mit dem naheliegenden Dinge an ob sie den Betrag von x soll der Betrag von minus X nehmen das ist ziemlich egal was machte betrage über das Vorzeichen weg Klaus der Zahl von rund vorzeigen spendieren oder nicht ist egal wer das Vorzeigen WDR weggeworfen insofern kommt das gleich aus und das auch und interessante Beobachtung ist der Betrag ist immer größer gleich 0 da wird negativ dass es gerade sind vom Betrag und dann ist noch was muss man oft braucht wenn Sie später häufig daran erinnern ein interes- gute Eigenschaft des Betrages es gibt nur eine einzige Stelle wurde 0 ist und dass es Felix gleich 0 also ich den 2 Dinge die eine ist beide sind offensichtlich die eine ist ganz banal und die andere es wichtig also wenn x nur dass Betragens 0 der klar wichtige ist die andere Richtung wenn der Betrag von der Zahl 0 ist dann können Sie schon sicher sein dass die Zahlen und ist wenn wir noch auf auch auch wenn sie jetzt nach der Banalität aussieht so dann ist der Betrag schön von der Zeit zu sagen wo sie allerhöchstens liegen kann also es gilt immer das Netzteil x größer gleich ist als Minusbetrag X und es allerhöchstens Betrag X groß warum nennen Sie sich die Zeit mit dir wenn es er wieder positiv denn sie gleich Betrag X das heißt dies insbesondere kleine gleich Betrag X und insbesondere größer als oder größer gleich Minusbetrag X der sogar negativ oder sie eine negative Zahl dann ist x gleich Minusbetrag unser müsste ich auf der anderen Seite so dann eine wesentliche schöne Eigenschaft vom Betrag was passiert wenn Sie Zeit Zahlen multiplizieren und dann den Betrag und die schöne Nachricht ist das können Sie machen Sie können das aber auch umgekehrt machen sie können zuerst den Betrag von den Einzel zahlen und danach multiplizieren und es ist egal das kommt gleich aus also ob sich das ist mir hier frei da rein CCS multipliziere dann den Betrag nehmen und sie ist die einzige träge oder multiplizieren ist wurscht warum weil im Wesentlichen werden dass man das Plus ist und was er mir das mal plus minus und so weiter überlegen sich die Vorzeichen durch dann sehen Sie dass das gilt also die muss man einfach alle
Fälle durch betrachten wenn nichts positives und noch negativ dann des X X Y negativ dann ist und so weiter und dann kriegt man diese schöne Gleichheit das ist ganz angenehm weil es eben bedeutet man kann den Betrag werden bevor man multipliziere dem und ist man kann sich aussuchen und war also dass man sich aussuchen kann es teurer als eine mehr Möglichkeiten so und wenn man dann schon dabei ist dann könnte man ja auf die Idee kommen dass beim mal so toll geht dann geht das doch wahrscheinlich beim Plus auch ja naheliegende Schlussfolgerung per Analogie leider falsch ja also ich meine wenn jetzt hier garantiert keine gleichen weil es stimmt einfach nicht also das ist jetzt schon die Warnung 2 21 2 11 weil das um 1 2 10 2 11 also in 2 Zenti- des gelten nicht gleich ja warum probieren Sie es aus X ist 2 y ist minus 2 was passiert dann dann ist Betrag X plus Y was passiert wenn Sie 2 minus 2 zusammenzählen das ist 0 und der Betrag von 0 bis 0 ja aber was ist und was es Betrag X plus Betrag y das ist Betrag von 2 plus Betrag von minus 2 also 2 plus 2 und das ist 4 und ich nehme an die meisten von ihnen gehen mit mehr da comma dass das nicht Wirklichkeit darum so also ich schreibe sicher keine gleichen aber ich kann sozusagen die Hälfte können Kabarett was nicht immer geht ist das so die der Betrag von der Summe ist immer kleiner gleich der Summe der Beträge und das ist tatsächlich kleiner werden kann sind siehe unten an das Tor des Beispiel dafür dass im Allgemeinen auch kleiner werden kann nur 0 kleiner gleich 4 ist okay und dieses Ding hier so unscheinbares aussieht so wichtig ist es dass Krieg wegen den Namen das ist die sogenannte Dreiecksungleichung und der http ich akzeptiere Phänomen das Sie mir sagen was soll das für bekloppt Name sein wussten da bitte im Dreieck richtig das kann 30 geben Sie mir 2 Wochen Zeit mir wirklich um das dem Dreiecks und dann sehen Sie am 3 gut aber das ist wir ganz fundamental wichtige Ungleichung wäre noch aufbrauchen ist da das ist der Betrag und
so einfach alles ist was wir bisher gemacht haben und ich denke das meiste wird Ihnen mehr Wiederholung vorgekommen sein und so fiese Dinge kann man damit schon tun und was jetzt kommt auch nix als Wiederholung das will ich auch ganz klar sagen also was ich jetzt die nächsten im nächsten Beispiel mache das ist was was die Menschheit ja was sie wahrscheinlich in so gut wie kein Lehrbuch Mathematik für Ingenieure finden werden weil das für die alle zu banales Stoff der achten Klassen und erfahrungsgemäß ist die Aufgabe die ich Ihnen jetzt hinschreiben Wahnsinn der matter 1 Klausur stellt der absolute Noten Keller und deswegen rechne in 1 x 1 von den vor und dann rufe ich Sie auf schließen Sie alle wirken die in dem Bereich alles was sie hier nicht sofort auch aus dem FF so geschrieben hätten 10 böse böse Lücken die gefühlt gehören weil das nicht Stoff dieser Vorlesung ist sondern wie gesagt Stoff der Mittelstufe also die Frage die zu klären ist wer welche X aus er außer Film sie sehen auch gleich Forum 5 gerade in die Zahl ist Betrag X plus 3 nach hat also Betrag X plus 3 geteilt durch X minus 5 kleiner als 2 aber ich hoffe die meisten von ihnen also schön wer die meisten von ihnen sagen klagte sich sofort gelöst also sofort die klingt schon sehr und sagt Herr in 5 Minuten ich fürchte die meisten von ihnen sei aber dass manche von ihnen sagen das konnte ich machen müssen die gegen das nochmal ok also Krings einmal ja also was es gesucht gesucht die Lösungsmenge dieser Gleichung das ist die Menge aller Ex aus Erding ich 5 sind und jetzt sehen Sie auch warum 5 Vorboten ist weil man da steht X minus 5 und ich wenn ich durch 0 also für die diese Ungleichungen Geldbetrag X plus 3 durch X minus 5 kleiner als 2 was müssen wir tun nein das ist die sogenannte Lösungsmenge und die suchen wir so was wir tun müssen ist verschiedene Fälle unterscheiden warum wir müssen gleich wieder auflösen so ungleichen auflösen Gleichung Ungleichung auflösen ist Standard also Multiplizieren von links und rechts das gleiche und weiter aber da 2 müssen sie aufpassen und es einem roch sie aufpassen müssen es was ist der erste Reflex der erste Reflex ist wir multipliziert mit dem den darauf war da man sich schon jemand so sie denn man darauf also schreiben Sie den Betrag X plus 3 ist kleiner als 2 X minus 10 und dann sage ich schon mehr weil was ist denn wenn X minus 5 negativ ist nicht nur 5 negativ ist dann wohl die beziehen sie gleich negative Zahlen den vollen gesagt Achtung dann dreht sich das Umweltzeichen ja also wenn das negativ ist dann steht der Betrag X plus 3 kleiner als größer als 2 X minus 10 haben wir schon eine Fallunterscheidung Was ist eine Falle X größer als 5 anderer Fallex kleiner als ein man soll 2. Fallunterscheidung Weise müssen noch sich überlegen was bis über den Betrag da oben und bei den Betrag dort passiert was ein wieder wenn X größer als minus 3 ist oder wenn X kleiner als minus 3 ist war je nachdem Switch das Wort nicht mehr also haben Sie diese Fälle zu unterscheiden der 1. Fall ist der Fall X kleiner minus 3 die Stelle wo wir aufschneiden müssen Sie minus 53 so wenn Sie den Fall anschauen was gilt dann dann ist zum einen X minus 3 negativ das heißt der Betrag X plus 3 den können sie auflösen als minus X plus 3 oder comma gleich zum nächsten Thema gelle minus X plus 3 also minus X minus 3 alles alles Element habe Arithmetik aber das sind so die klassischen falsch Tricks
Fallstricke die man dann man reinfällt hören
also da steht ja schon noch zur
aus dem wenn Sie X kleiner als minus 3 haben denn die 6 auf jeden Fall noch kleiner als 5 also der Ausdruck X minus 5 Testanlage lange negativ für 2 negativen Zahl noch wusste genau was abziehenden sind Sie ganz negativ so das heißt sie multiplizieren jetzt ihre Gleichungen Betrag X plus 3 durch X minus 5 kleiner als 2 multiplizieren Sie jetzt mit dem X minus 5 durch das können wir schon machen wir wissen jetzt nicht was es von Vorzeichen hat aber sie können es Nobody beziehen wenn Sie vorhin ein Wissen das blöde Ding es positiv oder negativ dann und dann meist nur dann wissen was mit dem Relations Zeichen machen müssen wir dem Fall müssen sie aus dem kleineren größer machen alldieweil jetzt Binder 5 negativ ist zwar dass ist zwar extrem sehen zur jetzt aber weiterhin den Betrag comma außen auflösendem gesehen Betrag X plus Preis minus X minus 3 ist größer als 2 X minus 10 und jetzt so lange sie über eine Stelle wo die größten Fallstricke aufgelöst sind die ungleich das Herz hinkriegen sollten mit allen Kriegen also nein sollten immer alle alles hinkriegen aber wie gesagt also Paar Fallstricke versteckt also 10 auf beiden Seiten addieren gibt 7 auf beiden Seiten 1 x 7 größer als 3 x also X kleiner als 30 die der 7 tritt dann kann ich schon an mehr nicht überheblich werden X Christa ist jeden der es da noch geht's kleiner 7 wird zur dass der 1. fallen also für alle x die kleines Minus 3 sind und kleiner als 7 3. haben wir schon eine Lösung dann haben wir als zweiten
Fall alle zwischen minus 3 und 5 also die x-te zwischen minus 3 eingeschlossen und 5 ausgeschlossen sind liegen 5 bisher Felix grundsätzlich verboten so wenn wir das haben dann ist zunächst mal X plus 3 positiv also größer gleich 0 das heißt den Betrag können wir einfach auflösen in dem der X plus 3 draus machen und was ist mit unserem Jena also das X minus 5 ist solange das X noch kleiner als 5 ist immer noch negativ also müssen wir beim hoch multiplizieren wieder das Zeichen
umdrehen und das heißt Betrag X plus 3 durch X minus 5 kleiner 2 ist genau dann wenn der Betrag gebeten X plus 3 und wieder größer als 2 X minus 10 das liefert uns soll auf beiden Seiten 10 dazu zählen 13 größer als Sex 2. Fall alle die alle die zahlen die zwischen minus 3 und 5 liegen aus dem größten kleiner S 13 sind 10 gut wieso habe ich hier doch mehr zur 3. fallen was
fehlt uns noch und es fehlen noch alle Zahlen die größer sind als 5 dann ist X plus 3 natürlich erst recht größer gleich 0 das heißt wir können den Betrag wieder einfach weglassen was ist mit dem X minus 5 dass es jetzt positiv das heißt wenn wir damit durch multiplizieren müssen das Relations Zeichen nicht umdrehen Betrag X Krystaltech X minus 5 kleiner 2 ist in dem Fall also gleichbedeutend mit X plus 3 kleiner als 2 X minus 5 also kleiner als 2 X minus 10 sonst könne wieder auflösen 10 auf beiden Seiten der die 13 1 abziehen die 13 kleine X sorgt das hat man ganz viel gemacht und es muss man das zusammensuchen der also
aus dem ersten Fall die Lösungsmenge sieht jetzt wie das sind aus dem 1. Fall alle die X die kleiner sind als minus 3 und kleiner als 7 3. nein also ich habe es mal so aufgeschrieben X aus der Menge den Fall fahren behandelt wurde mit der Eigenschaft dass was raus kann aus dem zweiten Fall kriegen wir alle die X zwischen minus 3 und 5 für die war was es steht noch da oben X kleiner als 13 ist also dieses Ding hier ist der 1. Fall dieses Ding hier ist der zweite Fall und jetzt kommt der dritte das in allen die X zwischen größer als 5 für die des X größer als 13. so als ginge dass man mal zusammen suchen was bedeutet das im 1.
Fall und finden Sie was sie kriegen alle die X kleiner als minus 3 die kleiner als 7 3. sind weil das in allen die kleines Minus 3 sitzen schon kleiner als minus 7 3. also das gibt das Intervall von minus unendlich ist man bis 7 3. dann haben Sie im zweiten Fall das Intervall von minus 3 bis 5 komplett weil alle 20 minus 15 noch kleiner als 13 ja der und Sie kriegen aus dem letzten Fall Moment jetzt immer schief gegangen der arme Mann das hier ist ja so 1. Fall liefert nur zahlen sich mir minus 3 und kann auch nicht mehr liefern wegen hier also steht hier minus 3 so und der dritte Fall liefert Ihnen alle Zahlen 5 oder nämlich die größer sind als 13 also alle Zahlen zwischen 13 und unendlich und das können Sie jetzt hier noch zusammenkleben als alle Zahlen kleiner minus 3 und alle von minus 3 bis 5 eingeschlossen 5 ausgenommen natürlich so war dann bleibt damit übrig alle Zahlen zwischen minus unendlich und 5 bei der Grenze nicht dabei vereinigt mit allen Zahl die größer sind als 13 und das ist die Lösungsmenge also nur die Zeit zwischen 5 und 13 lösen nicht 3. auch hinschreiben zum alle reellen Zahlen die nicht zwischen 5 und 13 7 5 und 13 eingeschlossen gut damit ich Ihnen das einmal beispielhaft zeigt wäre das mal die fand bitte nachholen gut sonsten sehen uns nächste Woche und vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Sierpinski-Dichtung
Hidden-Markov-Modell
Länge
Punkt
Momentenproblem
Blackbox
Natürliche Zahl
Scheibe
t-Test
Gleichungssystem
Element <Mathematik>
Richtung
Gradient
Negative Zahl
Vorzeichen <Mathematik>
Theorem
Uniforme Struktur
Stützpunkt <Mathematik>
Raum <Mathematik>
Implikation
Funktion <Mathematik>
Addition
Bruchrechnung
Positive Zahl
Exponent
Dreiecksungleichung
Tabelle
Rand
Abbildung <Physik>
Ruhmasse
p-Block
Wertevorrat
Dreieck
Zahl
Maßeinheit
Mathematisches Zeichen
Null
Teilmenge
Summe
Betrag <Mathematik>
Menge
Ganze Zahl
Hitze
Mathematiker
Bruch <Mathematik>
Schwebung
Aggregatzustand
Ebene
Total <Mathematik>
Klasse <Mathematik>
Arithmetik
Wahrheitstabelle
Fluss <Mathematik>
Lösungsraum
Abtragung <Geometrie>
Mittelungsverfahren
Multiplikation
Zeitraum
Quadrat
Vollständigkeit
Zahlengerade
Ungleichung
Reelle Zahl
Fächer <Mathematik>
Äquivalenz
Komplexe Zahl
Switch <Kommunikationstechnik>
Hochrechnung
Ziffer
Dezimalbruch
Erweiterung
Zehn
Rotation
Transitivität
Aussage <Mathematik>
Gleichung
Unendlichkeit
Komplexe Ebene
Quadratzahl
Rationale Zahl
Quadratische Funktion
Reelle Funktion

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Aussagen, Funktionen und reelle Zahlen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 02
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35625
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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