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Ebenen im R³ und komplexe Zahlen

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so genau sind die Änderungen der immer so seine Haftstrafe Lernmaterialien an der TU Darmstadt so
dann heißt es immer alle herzlich Willkommen zur heutigen Vorlesungen wir hatten am in der letzten Vorlesung und sind wesentlich lieber geraden unterhalten gerade Darstellung in allen der 2 Abstände von Geraden zu punkten und die herrlichen angekündigt dass die Leute wird sein das Ganze eine Dimension hochzuziehen das heißt wir schauen uns Ebenen an Ebenen R 3 alles einzuführen und der legen wir gleich los mit den entsprechenden mehr mit dem entsprechenden Begriff der Ehre mehr also das ist die Nummer 4 12 oder andere Referenz 1 20 werden und was brauchen Sie um die Ebene darzustellen um mir gerade darzustellen wir gesehen brauchen Sie ein auftürmt und ein Richtungsvektor neben der wird von 2 Vektoren aufgespannt also brauchen weiterhin ein auf period und 2 Richtungsvektoren und in Anlehnung an die Notation bei der Geraden wenn den aufgrund wieder P und die beiden Richtungsvektoren R 1 und R 2 und das in Vektoren in allen oder lassen Sie mich hier gleich die Sache auf gleich 3 reduzieren ist er der wichtigste Fall und das ganze Kapitel dieses Geometrien eben und Raum also bleibe normalen der 3 und jetzt dürfen diese beiden Vektoren R 1 und R 2 nicht völlig beliebig sein 1. ist Richtungsvektor der 0 Vektor ist ziemlich doof weil der die keine Richtung vor und zweitens wenn Sie natürlich R 1 und R 2 gleich wählen dann werden die beiden keine eben aufmachen müssen also irgendwie noch garantieren dass die verschieden genug sind und die gute Voraussetzungen dafür der schöne kurze Methode das hinzuschreiben ist sie wären die beiden bitte so dass wir Kreuzprodukt nicht 0 ist das bedeutet einfach nur die beiden im Wesen bedeutet dass keiner von den ist der neue Rektor und die Zeit noch nicht die gleiche Richtung oder sind auch nicht also nicht in die vielfache von einer tja und wenn das so ist dann können wir jetzt die Ebenen Parametern Darstellungen hinschreiben nee Ebene ist gegeben durch den geometrischen Probe Ort aller Punkte x die Sie schreiben lassen als unser auf period Vektor P bloß ein Parameter Landa 1 mal die 1. Richtung plus ein Parameter Landa zweimal die zweite Richtung und Lander 1 Lander 2 können eben alle Werte in R durchlaufen das ist mir so genannte Ebene Intranet erfahren und das ist genau die gleiche Idee wie bei der Geraden Sie müssen erst vom Ursprung zu einem Punkt auf der Ebene laufen das ist das P und dann können sie sich in Richtung der Vektor R 1 und R 2 beliebig in alle Richtungen bewegen also diese beiden Richtung 1 mehr 2 beliebig bewegen und komme auf die Weise zu jedem Punkt auf der also insofern ist die ganze Nomenklatur hier ganz identisch das
P wieder auf period der Ebene bitte die beiden Vektoren R 1 und R 2 sind die sogenannten Richtungsvektoren gegriffen hat ich auch gerade schon verwendet und diese beiden Zahlen Lande 1 und 2 die 1. Karte ersehen des heißen wieder Parametern also das ist die daran vor so wie wir sie bei gerade noch hatten wir jetzt eben eine Dimension höher und was wird dann der gerade ja auch noch betrachtet haben waren sogenannte Normalenvektor also
Vektoren dürfte gerade senkrecht stehen und jetzt mehr 3 sind uns Ebenen anschauen also bis 10 7 3 und die eben dass sie die Tischplatte dann hat die auch wieder Normalenvektor und zwar alle die die hier im senkrecht draufstehen er und die im heißen den Normalenvektor also jeder Vektor n der nicht 0 ist und der auf der Ebene senkrecht steht was bedeutet dass auf der Ebene senkrecht zustehen bedeutete muss auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen also das muss senkrecht zur 1 sein und zu R 2 und so Vektor nennt man dann wieder Normalenvektor von das ist genau parallel zur zum gleichen Begriff bei geraten und auch das nächste wird sie jetzt nicht überraschend was haben als nächstes werden die normalen
Einheitsvektor also wieder wenn sie Normalenvektor haben wir zusätzlich noch die Eigenschaft hat das seine Länge 1 ist so heißt das Ding wieder normalen Einheitsvektor das das ist genau wie wir eben
auch und sie werden auch sehen die ganzen Rechnung die man macht sind alle sehr ähnlich nur halt mit mehr zahlen und noch ein bisschen mehr Rechenaufwand und ich glaube es ist auch nicht so wahnsinnig viel Fantasie von würden sich zu überlegen wie das weitergeht wenn sie können es die auf die Weise im Geraden und Ebenen in höherdimensionalen Räumen definieren Sie können auch 7 dimensionale Gebilde in 15 immensen an und definieren das ist alles werden auf der geht auf die gleiche Weise nur natürlich sind Geraden und Ebenen im R 3 das was uns im Alltag am häufigsten bietet er als ich habe auch noch keine 7 dimensionalen Raum gesehen ja doch beide wenn Sie wieder wenn sie wieder die Tischplatte in der so war es dann Sie da drauf 2 Richtungsvektoren ob einer und noch 1 seine wenn Sie jetzt zum Beispiel ich denke ich gehen die beiden mal senkrecht zum sondern die beiden Richtungsvektoren der also es ist blöd für Sie mir was anderes die eben ist steht hier ist jede senkrechte erst besser sah das lieber Richtungsvektoren dann ist der weiße hier der immer noch senkrecht zu dem silbernen hier aber es garantiert der Normalenvektor der Ebene bei der liegt sogar eine in drin Normalenvektor wir eine der Sie genau auf sie zeigt ja aber hätte der muss zu beiden senkrecht sei nicht mehr zu ein aber gut das ist eben wichtig fängt die Ebene wird durch die 2 Vektoren beschrieben und wenn Sie was wissen wollen was die Säcke der ganzen Ebene dann muss es eben beiden Vektoren zu beiden Vektoren senkrecht sein so Mama wie das
Beispiel das haben weiß wie 4
bzw. entsprechende Nummer 1 22 was brauchen wir eine
Ebene brauchen auf und 2 Richtungsvektoren also ein auf period Hmm stimmt weil ich Bemerkung 4 13 vergessen habe die kann man nicht danach danke mach ich nach dem mache ich nach dem Beispiel aber gut dass Sie mir genau auf die Finger schauen aber das ist tatsächlich von der Reihenfolge her nicht egal also ich würde die gleich ein wir einen period P aufgrund 1 1 5 Richtungsvektor 1. Richtungsvektor 3 0 1 2. Richtungsvektor 1 2 minus 1 das ist jetzt irgendwie Ebene liegt schräg im Raum wir kennen einen period drauf und wir wissen
in welche Richtung der drauflegen so dann können erst mal damit natürlich jetzt sofort die eben den Parameter Form schreiben dafür haben wir ja alle in diese die entziehen da stehen also das ist der Ort an der geometrische Ort aller Punkte x die die Form haben 1 1 5 plus lahmender 1 x der 1. Richtungsvektor 3 0 1 plus Lander zweimal der zweite Richtungsvektor 1 2 minus 1 mit lhrem da 1 und Lambert 2 aus so und das ist dann die Paare mit der Darstellung von unserer Ebene und jetzt ist die Frage wo kriegen wir beim Normalenvektor hier da ja denn hinterher wieder auf die erste Normalform und so weiter kommen also es ist eine interessante Frage gegeben Ebene wo kriege ich Normalenvektor her er hat mir letztes Mal der gerade gesagt er was auch ziemlich einfach finden sich den Richtungsvektoren wenn der 5 3 ist dann kriegen Sie den senkrechten S 3 minus 5 und alles ist gut das ist jetzt sehr kompliziert aber es haben wir Bedingungen gebrauchen weckte der zu den beiden Dienern der senkrecht ist und das sieht man jetzt nicht mehr so geradeaus der oder hat jemand von Ihnen sofort auf einen Blick zeigt ja also brauche man Idee und da lohnt sich sich an den letzte Vorlesung zu erinnern bei der hat ich in eine Methode gesagt wie Sie wenn Sie 2 beliebige Vektoren haben ein finde dazu senkrecht steht das war das Kreuzprodukt und das ist der Inhalt von der Bemerkung 4 13 das kann ich dir zwischen reinschieben was ist die
kriegen Sie Ihre normale Normalenvektor sie nehmen das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren und wer gesehen das Kreuzprodukt von 2 Rektor der über die Eigenschaft dass es auf beiden Vektoren senkrecht steht also das Kreuzprodukt von 3 0 1 1 1 2 minus 1 ist ein Vektor der auf den beiden senkrecht steht und genau das suchen wir das Kreuzprodukt liefern uns also Normalenvektor und es ist noch die zweite Überlegung wenn Sie ein Normalenvektor haben wenn sie wieder die Ebene hier Tischplatte wenn Sie ein Normalenvektor haben sie alle weil alle andern sind einfach nur ganzzahlige Vielfache von dem einen aber es gibt nur die eine Richtung die normalste der Ebene stellt das heißt und das ist der Inhalt hier von Bemerkung die Normalenvektor von der Ebene 10 alle Vielfache von dem Kreuzprodukt nur so könne natürlich wenn sie ein Normalenvektor haben 1 7 37 multiplizieren dann noch ein
aber mehr können sie auch nicht also alle vielfachen vorne den Vektor sie kriegen als er einen Kreuz R 2 der und das ist einer der großen Vorteile von Kreuzprodukt dass sie dieses dieses Problem wo Kredite Normalenvektor von der Ebene her damit elegant gelöst kriegen wo kriegen Sie also den normalen Einheitsvektor her nein denn das der normieren also R 1 Kreuz R 2 geteilt durch die Norm von 1 Kreuz er Zweifel so also machen wir das hier was ist also hier im
Beispiel der Nummer 1 Normalenvektor also rechnen wir 1 Kreuz R 2 aus das ist 3 0 1 Kreuz 1 2 minus 1 es müssen Sie die Definition vom Kreuzprodukt verwenden um wie war das dass man immer so Koordinate vom 1. Mal Koordinate vom 2. minus hatte vom zweiten Mal hatte vom 1. und 1 Mark Regel ist das immer in der Zeile die man gerade macht die Nummer nicht vorkommen darf also die 1. Zeile machen müssen uns von sich die zweite und dritte Zeile arbeiten also das ist nur meine minus 1 minus 1 x 2 die zweite Komponente von Kreuz Produkte gibt sie dass der erst mit der 3. comma Komponenten der Vektoren einmal 1 minus 3 X minus 1 und die dritte Zeile aus der 1. 2. Teil der Vektoren also 3 dreimal 2 Min minus 0 x 1 nach 3 mal 2 minus 0 x
1 war und das geht jetzt Bongbong ist es wieder meine rechnen meine Rechenkünste gefragt minus 2 1 plus 30 4 und 3 das bleibt bei der 6 schon schief gegangen minus 2 4 6 galt damit er die ein Normalenvektor also unsere Ebene ist
eine Ebene die senkrecht auf den Vektoren minus 2 4 6 steht und immer noch den normalen Einheitsvektor haben wollen müssen wir das noch also auch den Namen raus dividieren also in 0 ist dann der Vektor gezeitigt es seine eigenen Normen die ausrechnen was ist die Norm von minus 2 4 6 minus 2 Quadrat plus 4 Quadrat plus 6 Grad die plus 16 bis 20 plus 36 bis 56 also ist die Norm wozu 56 bevor kriegen Sie also 1 durch Wurzel 56 gut 56 blöderweise keine Quadratzahl aber was normalerweise ganz freundlich ist wenn Sie so eine große Wurzel haben es sich zu überlegen ob der eine Quadratzahl drinsteckt tatsächlich ist 56 noch durch 4 teilbar und das ist das gleiche wie 1 durch Wurzel 4 x 14 das könnense S 1 durch 2 Wurzel 14 auseinanderziehen dann sieht die Wurzeln nicht mehr ganz so hässlich aus minus 2 4 6 Sa 1. normalen Einheitsvektoren und sie
sehen schon der jetzt neben der Wärme Normalenvektor beim normalen Einheitsvektor das steuert alles wieder fest in Normalform zu oder kommen auch hin und wofür braucht man wir sind Normalform um Abstände auszurechnen und zwar jetzt Abstände period Ebene und die Definition vom Abstand von period zur Ebene ist genau die gleiche diverse schon hatten also in jedem Fall von Graden also wie vorher wenn man eben in der 3 haben und ein period coolen der 3 dann ist der Abstand von diesem Punkt Q zu
Ebene definiert als nehmen Sie sich alle Punkte x her die in der Ebene liegen Berechnen Sie den Abstand aller Punkte x die der Ebene liegen Tsuku dass das was jetzt dasteht Herr X minus coolste Verbindungsweg davon nix zu Q hervor gut wächst und dem darum davon dass die Länge des Verbindungsweg Towers von Q zu X das ist der Abstand von Q Q zu X das man sich alle x in E und da von dem sie minimal also in den Minimalwert alle Abstände von Punkten zu zugute und das wenn man einen Abstand von gut für ihn und so schön diese Formel ist die sagt die natürlich leider überhaupt nicht wie sie den ausrechnen sollen nein so wie es dasteht ist die völlig unpraktikabel man rechne für jeden Punkt auf der Ebene Abstand außerdem den kleinsten das kann dauern also neben hat viele period also ist wieder die
Frage wie rechnen das wirklich aus also womit wir uns jetzt beschäftigen wollen ist mir wäre es schon ist den Abstand er von der Ebene zu dem Punkt und wer das bei den Graben durch die externen westlich der dessen sinnliche Rechnerei die man sich vereinbaren kann wenn man eben die mit den Normalenvektor arbeitet das den ich hier gleich bei den Normalenvektor loslegen da und da sieht man dann auch noch mal warum der da reinkommt wie rechnen mal was war die Überlegung wie man denn die den Abstand ausrechnet was man ja nur braucht es nicht denn man muss nicht den Abstand zu allen Punkten aus ausrechnen muss den einen Punkt finden an dem dieser Abstand minimal wird und diesen Punkt den wieder X Stern also der Punkt dann in die in dem der Abstand minimal wird wir müssen uns wieder widerlegen überlegen wie es der ausgezeichnet woran erkennt man den und das ist genau die gleiche in einer wie bei der Ecke gerade auch der der Verbindungs- Vektor von Kuhn zu dem X Sternen also die Verbindungslinie von Q zu diesem Punkt auf der Ebene wo er auch sehr minimal wird die muss senkrecht stehen auf der Ebene ja ich gehe von dir period Q so auf die Ebene dass sie senkrecht auf treffen und dann an sich period extern also die Verbindungslinie von Q zu X der die muss Autoren Dasein zur Ebene das heißt orthogonal zu R 1 und R 2 rund was heißt das dieser Verbindungs- Vektor von Q zu X die 6 Terminus Q ist orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren also Autoren als Ebene das heißt es ist Normalenvektor zaubervollen überlegt wenn sie Normalenvektor von der Ebene haben dann muss der ein Vielfaches von den ein Normalenvektor sein denn sie als Kreuzprodukt von A 1 und R 2 Kriegen also muss dieser Vektor x Terminus Kon- Vielfaches von unserm in sein das bedeutet dass das bedeutet es gibt bezahlen Mühe so das wenn sie denn dass sie dieses diesem Vektor x Terminus gut schreiben können als mir mein Name Pietsch Stern Minuskulisse die wäre es von der vom Normalenvektor weil es ist Terminus Q und allen beides Normalenvektoren
sind unser wegzappt Normalenvektor und von der
Ebene 3 unterscheiden sich nur dass der eine eben nicht viel was vom ist so und damit haben wir jetzt ein Kriterium wie wir dieses externen versuchen können auszurechnen was brauchen wir brauchen das müssen weil das Q kennen wir und das Ende kennen wir also müssen wir ausrechnen Prodi comma jetzt da dran mehr wie kommen wir da dran immer muss diese Gleichung nach Mühen auflösen Frauen Sie bitte nicht auf die Idee doch einfach Teil würde gleich einmal durch in man kann da müssen Sie wenn ich vorher erklären immer durch teilt das ist nicht so simpel dass es einfach nicht definiert das macht einfach keinen Sinn ja also die Dekade begraben Vitali gleich und nicht durch und das ist eine Stelle wo man manchmal durch die falsche Richtung gehen doch in die richtige Richtung kommt bitte teilen Sie nicht ich multiplizieren Sie der dann sagen sehr gut so aber ich zeige Ihnen gleich das führt zum Ziel wurde beziehen Sie gleich immer mit was passiert dann dann kriegen sehe minimal das Skalarprodukt von n mit n ja also eigentlich Mühe Endes gab oder mit allen aber das ist ja das ist das Skalarprodukt von Mü n mit n das Skalarprodukt 10 Jahre können so dass wir einsehen man wissen wer ist extern den Ursprung also das ist das gleiche wie das Skalarprodukt von den Sternen des Kuhn in sagen jetzt wird's sie mir dann was ist Terminus Q ja oder nein was ist extern extern wissen wir essen period auf der Ebene da musste period auf der Ebene sein so sehr man gewählt ist der Punkt auf der Ebene der er Glencore nächsten liegt das heißt aber dieses extern ist ein Vielfaches ist also lässt sich über die Parameter vom Schreiben das heißt dieses externes von der Form P plus Landa eines Sternen ja 1 plus landet 2 Sterne R 2 dass das Prä also im Berti oben auf dem Minus Q N für geeignete lange 1 und Lander 2 Sterne nur weil das X Stern auf der Ebene ist muss es solche 1 Stern am da 2 Sterne
geben das sieht es X Stern schreiben können als diese im Jahr kommen diese Kombination von Viktor Ja zur warum mache ich das weil nach dem jetzt ganz viel Rauch aufgezogen ist für zieht sich der Rauch jetzt wieder jetzt haben sie vor einem Skalarprodukt bewiesen lange somit 4 Thermen stehen und wir Skalarprodukt gilt Genialität sprechen Distributivgesetz das heißt sie können die Summe da mal aus multiplizieren und was dann übrig bleibt ist das Skalarprodukt von P mit N plus nahm 1 Stern mal das Skalarprodukt von R 1 mit allen plus nahm der zweite Stern mal das Skalarprodukt R 2 mit N minus das Skalarprodukt von Komet L das können Sie zu Recht argumentieren dass doch viel mehr auch als vorher das ist noch länger geworden ja es ist noch länger geworden aber jetzt sieht man dass es in Wirklichkeit gar nicht so lang ist bei der stehen wir ganz viele ganz praktischen Nullen rum das das 0 warum in Normalenvektor das heißt der steht senkrecht auf 1 Jahr und in diesen
Mar indessen Normalenvektor das heißt ich jedoch senkrecht auf R 2 und das
heißt auch das ist mir 0 und dann kürzlich die Zeile schon mal mächtig zusammen und was übrig bleibt es P N minus Kohlen oder anders gesagt T minus Q N zur jetzt erlassen würden auch mal sich für verziehen und das haben wir es
also erreicht die ganze Gleichung anschaut Jan gefunden müde mal das Skalarprodukt von allen mit sich selbst muss sein das Skalarprodukt von PI minus Kuh mit was war denn einig das Ziel ist nicht schlecht mal dass die das Augenlicht zu verlieren gewolltes Mühe haben mehr wenn wir das mehr haben ganz oberste Zeile aber das mehr haben das kennen wir das Q kennen wir dann aber das 6. zurück da einzelner Vorteil von der Gleichung ist diese blöden Lander ein starren 102 stand sind weg und wie kriegen wir jetzt das Mühl Eichel die die vorher wir müssen jetzt das was Mystik durch die Gleichung durch teil der Vorteil ist jetzt und Sie das war was ist denn entführt multipliziert mit einem Skalarprodukt das bezahlt durch die Zahl das Urteil Joch heißer also und damit in den das heißt ist es gab Produkt von T minus Co mit allen geteilt durch Skalarprodukt von N mit sich selbst das können Sie auch schreiben als die Länge von im Quadrat das ja damit haben wir es bei was ist jetzt der
Abstand von gut zu gehen der Abstand von gut zu Ehe war die Länge des Vektors war die Länge des Vektors
Stern minus Q ja der Abstand
von Code zu ist würde ich Fixstern ist der Punkt der auf der Ebene der dem Chor nächsten liegt das heißt der Abstand von kurze Ebene ist die Länge von X Terminus Q X Sternisko ist minimal dann das heißt dass wir brauchen ist die Länge von mir mal n ja die Länge von mir mal 1 betraten mal die Länge von N das heißt dass wir als rechnen müssen ist nur die Länge dieses weg das also der Abstand von gut zu ist die Länge des Vektors Nummer 1
das können Sie auch schreiben als betraten mögen mal die Länge von ja das wir haben war da ist dass der Betrag von dem also Betrag von Terminus Chor multipliziert mit allen geteilt durch die Länge von im Quadrat multipliziert mit der Länge von N und am Ende gibt es sogar noch kleine für freudige Überraschung wir können noch was kürzen also dem Minus Co multipliziert mit allen Skalarprodukt halt die Länge von Ihnen tja das ist ein schönes
handliches vor also das da zur ab Tell denn am davon gut zu E ist Pennines Kobolde bezieht mit endlich die Länge von Sarah gehen wir zu unsern Beispiel von oben zurück und das ist für mich immer arbeiten ja
das so also das Beispiel von oben wieder aufgenommen als Beispiel 4 16 und das ist wie gesagt auch Wiederaufnahme von Beispiel 4 14 da hatten wir um das nochmal dastehen zu haben der eben will mit Parameter vom 1 1 5 Als auf period plus lahmender 1 mal der 1. Richtungsvektor 3 0 1 plus Lander 2 es war der zweite Richtungsvektor 1 2 minus 1 mit dem Parameter Land ein sondern 2 das dann haben wir oben
ausgerechnet was der normalen Einheitsvektor von der Ebene ist der war einst durch zweimal Wurzel 14 minus 2 4 6 nach ohne mit den normalen Einheitsvektoren will mich mit dieser
Wurzel ab 8 ja mal wenn Sie
sich noch mal die Formel anschauen für den Abstand stellen sie fest die wir natürlich besonders schön wenn sie noch mal Netzwerk Zweck damit die Länge von N 1 ist eines der man auch noch 1 wird sie noch mal einfacher so und jetzt können wir uns irgendwo Unternehmen Q und Abstand ausrechnen also zum Beispiel den Punkt 1 0 7 das ist jetzt der Abstand von diesem Punkt zur Ebene
setzen Sie einfach oben 1 die Formel ist zum Glück noch gerade so sichtbar Herr nehmen Sie das ist der Betrag von Sprung multipliziert mit unseren normalen Einheitsvektor geteilt durch die Länge des normalen Einheitsvektor ist in die Länge des noch mal weg das ist 1 können Sie also hier getrost vergessen und was übrig bleibt es ein großer Betrag Perminows Co P ist was Gäste aufgrund von unsere Ebene also 1 1 5 Terminus Nusko ist also in der 1. Komponente 1 minus 1 das ist 0 in der 2. 1 minus 0 ist 1 5 minus 7 bis minus 2 und des N 0 war steht da auch noch einen Strich 2. 2 Wurzel 14 mal der Vektor minus 2 4 6 Skalarprodukt Betrag dem dass der Abstand und jetzt ist wieder rechnen in kleinen zahlen das 1.
7 mal die würde wollte da vor dass es einst durch 2 wozu 14 meine Skalarprodukt von den beiden Vektoren nur mal minus weiß 0 plus 1 x 4 ist 4 4 minus 12 bis minus 8 Miene minus 8 und minus 8 den Betrag kann also das ist 8 durch 2 x Wurzel 14 unternehmen bitte noch 2 kürzen 4 durch führt so dass der Abstand und das ergibt sich einfach durch einsetzen da oben ab wenn Sie den Normalenvektor haben was Sie dafür brauchen ist der Normalenvektor und ihre Viren auf period und dem Brunco natürlich glaube wenn Sie den Abstand von Q bestimmen wollen es praktisch zu wissen dass Kohls so und wenn Sie sich das anschauen was sie für die Formel brauchen eben sie brauchen viel Normalenvektor und den Punkt P da sehen Sie was überhaupt nicht mehr brauchen sind die Richtungsvektoren und das ist der gleiche Effekt wie bei mir geraten auch das 14. den normalen Frauen sie könnten neben beschreiben den Sie den Po auf period und die beiden Richtungsvektoren angeben oder indem sie den Normalenvektor und eine Zahl eingeben diese Zahl ist wieder der Abstand zum Ursprung wenn das der nächste Begriff für 17 1. Normalform für Ebenen die Methodik ist genau die
gleiche in die bei geraten also was brauchen wir um ebene Pässe Normalform zu beschreiben wir brauchen den normalen Einheitsvektor also irgendein Vektoren R 3 das Länge 1 ist und wir brauchen eine Zahl die 0 und der wird sich wieder rausstellen gehen auch nie geometrische Bedeutung eben genau wie bei der gerade das ist der Abstand der Ebene zum Ursprung und dann können Sie die Ebene beschreiben als den die Menge aller Punkte x für die gilt das das Skalarprodukt von X mit dem normalen Einheitsvektor genau die Zahl die 0 ergibt und das nennt man die 1. Normalform eine Ebene und auch die kurz vor Mittag ein HNF ab und auch hier die 2 gleichen Kommentare wie bei den geraden auch so Normalform von der Ebene geht nur in 3 Mond diese Normalform sie setzt voraus dass es im Wesentlichen eine Normalenvektor geht bis auf vielfache und wenn Sie neben den er in höherdimensionalen Raum ankucken hat die hat mir und das zweite ist also 3 und Eier und genau sie brauchen wirklich einen normalen Einheitsvektor 0 ja also Sie können natürlich auch irren weckte entnehmen aber dann ist es eben keine Normalform mehr in dem mal es ist ja normal fahren sagt dass sie da drin ein Einheitsvektor stehen haben müsse warum weil nur wenn sie dann einer Zweck
durchstehen haben müssen stehen haben die
geometrische Interpretation gilt die jetzt kommt melde jetzt nicht kommt der kommt es kommt man erst mal für unser Beispiel von gerade eben weil Sender mal fahren also Beispiel 4 18 Wiederaufnahme der Beispiele für 14 und 4 16 haben und da geht es jetzt darum in den wir unsere Ebene von gerade eben und war die erste erfahren haben also Parameter vom war nochmal die Ebene E ist gegeben durch den auf period 1 1 5 und die beiden Richtungsvektoren 3 0 1 und 1 2 minus 1 dann da als Lander 2 eben wieder Parameter von der wollen jetzt die erste
Normalform bestimmen dazu brauchen Sie erst mal den normalen Einheitsvektor den hatten wir auch schon der wenn sie sich nicht mehr ändern wie kommt man an den Rand sie brauchen erstmal Normalenvektor ist denn dann können sie normieren und der Normalenvektor kriegen sie das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren also der normalen Einheitsvektor hat nur oben ausgerechnet kommt aus dem Kreis Produkte Wein Richtungsvektoren und war eines der zu einer Wurzel 14 minus 2 4 6 in dem Beispiel so gegen sie ist die erste Normalform auch dass es genau wie bei geraden des Normalform kriegen sie immer aus der Parameter Darstellung in dem sie die Parameter Darstellung einfach mit der normalen Einheitsvektor durch multiplizieren also auf beiden Seiten der Parameter Darstellungen mein Leben mit denen er mit dem Einheitsvektor die linke Seite ist kurz besteht nur aus dem Vektor x X multipliziert mit allen 0 kein Ende kann man schnell hinschreiben nur vorher vielleicht noch also es gerade Gesagte der es in Normalform kriegt man durch multiplizieren der Parameter vor mit dem normalen Einheitsvektor in 0 und wie gesagt den kriegt man aus den den Richtungsvektoren also linke Seite 7 multiplizieren den Vektor x mit dem das geht eines der 2 Wurzel 14 einen Vektor x also Märkte X X minus 2 4 6 1 dass die linke Seite gleich und jetzt die rechte Seite mit dem normalen Einheitsvektor multiplizieren das wird jetzt natürlich lange und wünscht aber wenn man sich dann genau ankommt stellt man fest dass steht gar nicht so viel wenn es durch 2 Wurzel 14 Skalarprodukt von 1 1 5 mit minus 2 4 6 Louis da ins lassen Sie mich mal statt 3 0 1 0 den in Schreiben R 1 und statt dem andern nur hinschreiben in 0 weil das Bad mehr 1. ganz viel Arbeit beim Schreiben und 2. Sie so vollkommen egal bei der normalen Einheitsvektor ist senkrecht auf den Richtungsvektoren immerhin Sie
können natürlich jetzt das machen wir und sie können einzeln schreiben zu können Nullen schreiben Sie können das alles ausrechnen und dann sollte bitte schön nur rauskomme sondern sich verrechnet ich habe keine Lust auszurechnen mich zu verrechnen also Beleg ist mir theoretisch es muss einfach so sein Saar genauso für den er 2 er nur des der Einheitsvektor als weisen Richtungsvektor die stehen senkrecht aufeinander so ist das entstanden so es konstruiert das heißt es auch 0 der wird der Sender mal vom Sommer kürzer also die erste Normalform in dem Fall ist 1 durch 2 Wurzel 14 Skalarprodukt von X mit minus 2 4 6 ist gleich der einzige wird Herrn der übrig bleibt ist der der da steht das Skalarprodukt kriegen ausgerechnet einmal minus 2 bis minus 2 plus 4 S 2 plus 30 es 32 Hettich das damals auch hier also das ist 32 durch 2 Wurzel 14 unter Kölle 2 Katzen also 16 durch kurze 40 Sa bitte da das ist die erste Normalform so wie sie jetzt dasteht und dergleichen Kommentar wie soll den geraden auch wenn es so verführerisch ist multiplizieren Sie jetzt nicht die Wurzel 14 weg also kürzen Sie die nicht aus weil dann ist keine so normal vor mehr es Normalform verlangt das da vorne im normalen Einheitsvektor steht das heißt dass dann dieses Ding durch den Raum steht finden Sie jetzt nicht mehr kratzen das ist die erste Normalform ihre gerade darum wenn man mit dem Ding rechnen will und jetzt nicht gerade auf Abstände aus ist findet aber Abstände aus ist es sehr praktisch so aber nicht greife Abstände aus ist und man nur einfach rechnet darf natürlich gern sich die Sache vereinfachen aber man muss dann halt sich im Klaren darüber sein dass man keine 1. Normalform mehr hat oder nur noch mit gleich die die Ebene beschreibt zur also wenn wir schon die ganze Zeit immer das gleiche Beispiel angucken
wir immer noch dabei weil nein wir haben jetzt gerade
gemacht also wenn es diese Normalform von unsere
Ebene was bedeutet es Normalform gleiche geometrische Anschauung über geraten dessen Normalform ist besonders da dazu toll geeignet Abstände auszurechnen war im Prinzip die Abständen dessen Normalform schon drin stehen und das ist der Satz 4 19 entsprechend 1 24 also wir haben will Gleichung der Ebene gegeben in 1. Normalform das heißt gegeben es uns den normalen Einheitsvektor in 0 Vektoren a 3 mit Länge 1 wir haben zahlt die 0 war das die 0 im obigen Beispiel des im 16 durch Wurzel 14 und dies sei die Ebenen R 3 die gegeben ist durch die Hessen Normalform die sich eben durch dieses 0 und die 0 ergibt also die Hessen einmal fahren alle x so das X multipliziert zwar multipliziert mit dem Normalenvektor n n 0 die Zeit gegen 0 geht und dann sagt jetzt der
Satz was bedeutet das 1. können Sie damit sofort anstehende ausrechnen dann kriegen Sie nämlich für jedes Q aus R 3 wenn sie mal mit unserer Formel von oben vergleichen der Abstand von Code Ebene es dann genau gegeben dass der Betrag von den 0 minus Como multipliziert mit neue das können Sie sich entweder aus Form als Formen Märkten oder wie wie man sie es eilig am schönsten merken kann dass die folgende Idee stellen Sie mal die erste Normalform ein kleines bisschen um diese Normalform können sich auch so hinschreiben sind alle die Punkte x so das X multipliziert mit N 0 minus 0 gleich 0 ist dass die beiden Gleichungen dieselbe Menge beschreiben Sie hoffentlich glauben dass die gleiche Lösung haben dass es einfach nur den nun auf die andere Seite gebracht der Vorteil dabei von ist wenn sich die Gleichung rechts anschauen dann ist die linke Seite das genau das was damit den Betrag steht bis auf minus das Betrag egal das heißt Sie kriegen den Abstand so kann man sich gut merken der Abstand von kurze Ebene den kriegen Sie einfach indem sie dem Konkol die erste Normalform einsetzen wenn der Nummer rauskommt also in die in dieser Form der Normalform in die Form der noch mal von rechts wo wenn dann nur rauskommt heißt es darf dann 0 klar aber wenn wo rauskommt ist X auf der Ebene das ist genau das was die gleichen sagte gleichen sagt man dieses X minus 1 und minus der X Immunsystem 0 0 ist ein Highlight auf der Ebene und wir da nicht nur raus kommt ist das voraus kommt genau da Abstand beziehungsweise wenn dann der Betrag davon ist sagt tun sozusagen den sie die kann man sich merken der Satz sagt den Abstand vor dem period sei es war zur eben wir kriegen Sie dem period in Normalform einsetzt in diesem Sinne die gleiche Schlussfolgerung über den geraden der besonders wichtige Abstand das Ursprungs zu ist besonders einfach abzulesen der Abstand des Ursprungs der Ebene ist jetzt setzte sich die Kuh gleich 0 1 ist schlicht weg der Betrag von den period das was ich vorhin sagte dieses den 0 hatten die metrische Bedeutung das ist einfach da also der Betrag von den 0 ist der Abstand der Ebene vom Ursprung und ob positiv oder negativ ist sagte Inhalt im wesentlichen auf welcher Seite der Ebene der Ursprung liegt der gut der rechnen wir also noch mal den Abstand genau wie oben aus diesmal mit Normalform also wieder zurück zum dauernden Beispiel
langsam als viele Nummer 1 also das Beispiel 4 20 das da es schon aufgetaucht in 4 14 16 und 18 da haben wir im letzten betrachten dieses Beispiels die 1. Normalform ausgerechnet die war einst durch 2
Wurzel 14 das Skalarprodukt von X mit dem Vektor minus 2 4 6 das war normalen Einheitsvektor ab ist gleich 16 durch Wurzel 14 das heißt dieses 16 durch Worte 14 bei den Fall dass die 0 16 durch musste 14 ist größer gleich 0 das heißt es in dem Fall genau wirklich der Abstand des Ursprungs der Ebene also wissen wie weit unsere Ebene vom Ursprung weg ist und jetzt gucken wir uns wieder dem Brunco 0 an der Q 0 nächster Coup zu viele Nullen gestrichen Sarko Kober 1 0 7 ich und das kriegen wir den Abstand nach dem Satz von gerade eben den Abstand von gut Ebene
einfach in dem man den Punkt in die erste Normalform einsetzt selbst in diese etwas umgestellt in indessen normal fahren also sie müssen period X einsetzen Kobe multipliziert mit 0 minus das den neue und davon den Betrag nehmen dann haben Sie den Abstand also die Rechnung ist die dazugehörige ich 2 Wurzel 14 Skalarprodukt von 1 0 7 melde minus 2 4 6 und das Ganze im Minus 16 durch vor zu 14 Betrag zur gut dass es
wieder rechnen einmal minus 2 bis minus 2 plus 0 es immer noch minus 2 plus 42 ist 40 also da steht 40 durch zweimal Wurzel 14 minus 16 durch Würze 14 40 halbe sind 20 20 wenn es 16 sind 4 und freundlicherweise kommt wirklich genau das aus was da fallen auch halten vielleicht nur zu 40 das wäre ja auch blöd wenn jetzt was anderes rausgeht gut also es habe diese Ebene von allen Seiten durch und beleuchtet ich verspreche Ihnen auch sie taucht es nicht nochmal auch er einiges kannten sich gut sein dass noch mal andere eben auftauchen auf Übungsblättern und so weiter ich hoffe Sie sind dafür jetzt einigermaßen gerüstet wenn von ihnen der Stelle keine Fragen sind würdigte nicht jetzt ist Thema verlassen oh und bei Widerstand Sprung machen gut gut also Fragen kommen vielleicht später auf und der Sprung den ich jetzt machen will ist einer den ich Ihnen schon angekündigt versprochen wie auch immer habe ich habe gesagt am Anfang zum Thema Zahlen natürlich zahlen rationale Zahlen reelle Zahlen kennen Sie die nehmen wir so wie wir sie kennen die sie sie kennen und wir werden im Verlauf dieser Vorlesung noch einmal den Zahlenraum erweitert und das ist der Moment der jetzt kommt also es komme die so genannten komplexen Zahlen und lassen Sie mich
wenn ich die 1 für noch mal so im Zeitraffer die bisherigen Zahl Erweiterungen Revue passieren warum erweitert man überhaupt den Zahlenraum in meinem Anfang fängt man an als Kind zu zählen das ist wichtig denn man weiß wie viel Bau muss man hat und wie viel das gespielt hat weil es muss ja nicht muss das selbe sein und dann kann man auch irgendwann relativ schnell seine Bormanns zusammenzählen abziehen der und solche die Gleichung losen wie wenn ich schon wenn ich in welche morgens habe noch 3 der Zug weg und dann habe ich 5 wie viel ich dann vorher gehabt der auch in Celle das ist ne schöne Gleichung die kann man in den natürlichen Zahlen lösen und dann kann man die Gleichungen ein bisschen anders hinschreiben und sitzt plötzlich in der Tinte mehr wenn ich 3 war morgens habe und habe 5 gegessen habe ich Problemen und dann kann man das nicht mehr zählen und dann muss man irgendwann aus dem raus und kommt noch Z werden und dann fängt man irgendwann an
vielleicht doch mit seinen Geschwistern zu teilen oder Gleichung von der Sorte zu lösen und stellt fest dass wir den Z-Buffer Preis gleich 6 aber doch hinkriegen 6 Pommerns 3 Kinder verteilen kriegen wir hin aber 5 so schwierig es ist der Bahnhofsplatz und einem Gewicht soll die kann sehr schlecht kleinhacken aber gut die übliche keine Lösung für 5 Pommerns an 3 Kinder ist jedes kriegt 1 und die 2 andern erwidert glaubt man sich darum oder man sucht Mama und Papa und gibt den jedem auch 1 1 was problemlos aber was hat aber den war ich mit so Gleichung melde gehe nach Q und dann ist es ja gut und dann haben wir uns darüber unterhalten das Q ganz schön lang geht bis ein armer Pythagoreer feststellt dass Co auch nicht reicht
er weiß nicht blöde irrationale Zahlen geht
das ist die zugehörige leicht Gleichung dafür die einfachste Variante wäre X Quadrat gleich 2 mehr die Armen die Gleichung von dem Pythagoreer Schüler der dann festgestellt hat hat ein Problem und da kommen man nicht umhin jetzt nach er zu gehen und bis dahin ist alles gut und damit sind sie auch bisher perfekt ausgekommen und es gibt immer noch eine Sorte Gleichungen die man da nicht lösen kann und lassen Sie mich die gleichen die wir da gerade stehen haben minimal modifizieren und dann haben wir ein Problem ja hätten Sie mir meine Zahl deren Quadrat minus 2 ist und die übliche Antwort denn natürlich sowieso die Griechen aber auch noch alle Leute bis ins 2. bis ins und nach Mittelalter gegeben hätten so ein Quatsch das geht einfach nicht warum soll man sich darüber Gedanken machen und dann stellt man irgendwann fest ja aber wenn man damit rechne funktioniert oder mit rechne kriegt man tolle Sachen raus oder man einfach mal dann Denkblockade aufgibt und sagt okay ich der mehr vor sowas geht dann Krieg meine ganz Trolle neue Zahlenwelt und der SCO und das war mir jetzt macht also was ich damit sagen will das Ganze ist kein grösseres Mysterium als der Übergang von guthaben verschulden oder von ganz halt ganz Taiwan Zahlen zu brechen was wir machen ist wir für neue Zahlen ein wenn Problem haben dass wir den alten Zahl nicht lösen können und sie könnten mich natürlich fragen was und dann werden sie im Laufe ihres Studiums feststellen für viele Dinge aber
man es historisch anguckt der Graf kann ich erst nach dann ist das den Leuten vor allem darauf gefallen wenn Sie angefangen habe mit quadratischem kubischen Gleichungen zu lösen sie kennen alle die PQ Formel wobei der Deko fahren muss man immer aufpassen wenn dann da oder der wozu was Negatives steht macht das keinen Sinn und wenn man aber einfach so tut als würde das Sinn machen und mit diesen Wurzeln ruchlos so rechnet wie man das gewohnt ist dann kommen dabei manchmal total sinnvoll Ergebnisse raus das ist was was Leuten eben eine im Mittelalter dem ausgehen mit Erde aufgefallen ist sie leise wie komisch am Anfang mal gesagt hat sich sein kann nicht sein was nicht sein kann was nicht sein gibt es nicht aber man hat man sich dann zunehmend akzeptiert vielleicht doch von hat eben diese Zahlen eingeführt und weil diese Zahlen den Leuten immer Bauchweh gemacht haben am Prinzip vielleicht Essig bis die gibt oder nicht weil sie nicht so recht sind Sie etwas diskriminiert und werden immer noch als imaginäre Zahlen bezeichnet und das ist oder Teile davon als imaginäre Zahlen und das ist jetzt der 1. Begriff also was man macht ist Augen zu und durch diese blöde gleich war dies nicht lösbar wir sagen doch es sollte zeigen die die Gleichung löst mit Gewalt und wenn es die nicht gibt dann werden wir die einfach wenn er finden was Neues und dieses neue heißt üblicherweise wie es sei denn sie sind Elektrotechniker dann heißt J ob ich glaube mir keine Elektrotechnik also heißt I also das Ding heißt II und das sei einfach postuliert mäßig eine Zahl deren Quadrat jetzt nicht gerade minus 2 aber den Quadrat minus 1 ist mehr klar Quatsch gibt es nicht deswegen heißt es denn wie gesagt leider auch imaginäre Einheit aber gehen wir doch einfach mal für Moment davon aus und lassen alle Vorurteile beiseite Sohn den gibt also sagen es geht den Zahl die wenn I und den quadratischen das 1 also Lösung der Gleichung x Quadrat leicht minus 1 und wenn man das macht an dann kann man dieses X zu sein Zahlen dazu da die normalen Zahlen und das wieder zu das selber macht wenig Sinn weil wir wollen ja mit den Zahlen rechnen also was ist denn 3 plus wie zum Beispiel wer oder was ist 5 Mali und eine Idol das zu machen ist sie definieren sich nicht nur dass die zu den Zahlen dazu so eine ganze Menge mehr zahlen und dessen jetzt die komplexen Zahlen komplexen Zahlen sind das in alle die Dinge die sie kriegen wenn sie eine reelle Zahl an über ihren ist viel Wahres von Ideen und die Dinge addieren also alle Zahlen die formal aus sehen wie plus B wie wobei a und b reelle Zahlen das mal rein formal so das ist sicher dass sind die komplexen zahlt komplexe Zahlen sind alle Zahlen der Form Abfluss B Mali mehr der und was wir jetzt machen hier in der Vorlesung ist wird wie gesagt weiter Augen zu und durch eine gehe
mal davon aus die Dinge geht es einfach überlegen was dass sie den werden wir jetzt mit den einfach so wie die Leute das im Mittelalter gemacht haben vorausrechnende es gewohnt und bevor ich das mit ihnen macht wenn eine Warnung los werden weil das ist so Sohn ja so ein klassisches denn wo man sich ein bisschen den Kopf verdrehen kann und lassen Sie es bitte gleich bleiben die meisten von ihnen also manche Mittelschule komplexe Zahlen gesehen für die ist das alles langweilig aber manch das noch nicht aber von diesem komischen ihren die meist schon was gehört das ist so bisschen Folklore dem Waldemar die Gabe so komisch es ihren spielen damit rum und dann wird häufig kolportiert dieses Idee sei Wurzel aus minus 1 und das ist nicht schlecht denke also denken sie nicht in den Wurzeln weil die wir auf dem komplexen müssen wissen was kompliziertes wollte geht immer 2 Wurzeln und das ist das ist nicht gut sondern es ist gut sich im Wald vorzustellen dass sowie es definiert ist auch oben es wird Zahl deren Quadrat minus 1 mehr also schreiben Sie mir bitte trotzdem nie auch wenn wir es komplexe Zahlen haben die Wurzel aus minus 1 weil es ist keine eindeutig definiert Subjekt sondern schreiben Sie in lassen Sie das stehen nur einstellen und die Quadrat steht da dürfen Sie das durch minus 1 ist gut ist normal wie gesagt mit wurde Mittelalter
heißt es ist auch 5 12 der Methode Mittelalter wir rechnen einfach mal Brot voraus wie wir das gewohnt sind das entspricht der Nummer 10 3 im andern Skript also wir rechnen wie gewohnt und die einzige Regel die wir jetzt dazu nehmen müssen ist der sie Quadrat minus 1 zu so was ja definiert schon so was heißt jetzt wie gewohnt schnell wie gewohnt es einfach wirklich wie gewohnt also wir nehmen uns 2 komplexe Zahl hier komplexe Zahlen heißen aus irgendeinem Grund traditionell Z sowohl helle zahlt X heißt weiß nicht es ist sich mal gefragt habe ob sie bei hinterfragt haben warum Real zahlt X heißt ich kann auch nicht an von die heißen soll natürliche Zahl heißen N das mache noch in die Redezeit Eisen X Dombeck Z Naturgesetz keine Ahnung ist also Z 1 ist eine komplexe Zahl was heißt das sie ist von der Form das da oben steht A plus B I also das Z 1 ist eine reelle Zahl A 1 plus mehr Redezeit B 1 x ihn und das Z 2 ist eine reelle Zahl an 2 plus eine reelle Zahl B 2 I ja und das seien 2 komplexe Zahlen so und jetzt können wir mit den Rechten so wie wir es gewohnt sind also
was ist Z 1 plus Z 2 ja Z 1 ist A 1 plus B 1 II unser 2. A 2 plus B 2 E und jetzt sortieren wir das um und dann ist das A 1 plus 1 2 plus B 1 plus Bild 2 E ja wir wenn man es aus und jetzt steht wieder was da nur dass es wieder eine reelle Zahl und das ist mir jede Zahl und das ganze Spiel komplexe Zahlen also ob Summe von 2 komplexen Zahl ist eine komplexe Zahl denn also könnte mir mal machen vielleicht erst das Minus Z 1 minus Z 2 auch wie gewohnt A 1 bis B 1 des minus A 2 B 2 Lee wir minus aufpassen A 1 minus 1 2 Louis B 1 minus P 2 die gesehen die Rechenregeln der noch gar nicht kompliziert wie erklären Sie 2 komplexe Zahl der die beiden vorderen werden addiert die beiden hinteren werden addiert die subtrahieren Sie 2 komplexe Zahlen nahe die vorderen werden
subtrahiert Änderungen subtrahiert wenn es so läuft 9 multiplizieren weiter damit die Formel den kompliziert aber es gilt genauso also was ist Z 1 x C 2 A 1 plus B 1 E multipliziert mit 2 plus 2 E und unser Postulaten unsere Hoffnung ist eben alle Rechenregeln gehen so wie wir sie gewohnt sind also multiplizieren wir ruchlos aus das ist A 1 A 2 bloß A 1 bis 2 liegen bloß A 2 B 1 E bloß A 2 B 2 B Quadrat ja aus modifizieren von 2 Klammern mit 2 jeweils mit 2 Sone drin er ist tja es steht dann die Krawatte was die Quadrat ist das ist ja mal ausnahmsweise was Schönes ist über das ist minus 1 also was hier steht es 1 x A 2 Miners irgendwo habe ich mich jetzt vertan 1 x 1 x A 2 Plus und Plus B 1 B 2 Städte in gell tja ich hoffe es müsste klar also das die Quadrate die minus 1 ja also ist das A 1 A 2 minus B 1 B 2 plus und es gibt so 2 Teile mit denen ihr Vorkommen die Kammer zusammenfassen A 1 B 2 plus A 2 B 1 mein das ist die Rechenregel dass multiplizieren wenn sie die beiden Dinge multiplizieren kommt hier wieder eine reelle Zahl aus bloß eine reelle Zahl Magie das ist eine wunderbare komplexes ein doch das ist immer multipliziert das weiß alles für die Theoretiker wo's wusste Praxis kommt
jetzt mal was mit konkreten Zahlen aber ich glaube angekommen ist was man tut Beispiel 5 3 beziehungsweise 10 2 also Was ist 2 plus E mal 4 plus 4 plus 3 D an der Stelle habe ich schon eine Schlamperei begannen die man dann oft tot wenn es genauso der Form A plus B I schreit müsst ich natürlich 2 plus einmal die schreiben aber das einmal lässt unsereins endlich der Decke lassen Sie auch sicher den weg also 2 Pussies 2 plus einmal die plus 4 plus 3 mal die mehr als wenn sie wie sie es gewohnt sind dass es 2 plus 4 plus 1 plus 3 Mali also 6 plus 4 das ist Addition könnte beim gleichen Zahlen immer
multiplizieren 2 plus E x 4 plus 3 die was jetzt kommt es wieder aus multiplizieren das schöne es eben Sie müssen sich diese ganze furchtbare Rechenwege da oben nicht merken wir so kommen sie mit 7 Spielen nicht auf die Idee sich diese Formen der um zu merken wenn sie ihre Zahlen multiplizieren Sie die aus wie sie es gewohnt sind das ist ja genau der Kniff er also zweimal 4 S 8 8 plus 6 Mal E-Plus 4 Mal die plus 3 mal die Quadrat also die Quadrat wieder minus 1 0 wird aufpassen also an sie 8 minus 3 Jahre 8 minus 3 wenn die Quadrat plus 10 Mali also 5 plus 10 e land das war wenn schon addieren subtrahieren multiplizieren in komplexen Zahlen zugegebenermaßen überhaupt nicht was das soll aber es geht um wenn das geht es doch schon mal gut gut also wir können mit diesen Zahlen arbeiten scharenweise
uns also ein bisschen genau an dpa zur vielleicht
nun auch schon jetzt einen Einblick ein einen Kommentar dazu wofür man sie braucht weil da komme ich jetzt eh nicht hin er haben wenn Sie Mechanik anschauen wir werden ihn immer dann komplexe Zahlen um die Ohren fliegen wenn sie es mit Schwingungen zu tun haben ein letzter ankündigen wann immer irgendwas winkt und sei es ein elektrischen Schwingkreis oder ein Stahlträger oder ein im er da irgendwas in eine periodische Bewegungen was schwingen das dann ist die richtige Beschreibung dieser Schwingungen komplexen Zahl also das es Bereich wo sie das sehen wir ich denke jedem von ihnen fällt ein Bereich seines Studiums ein wo Periode sich wiederholendes Zeug auftauchte dann den schwingender Balken irgendein er er etwas oszillierendes das gibts wohl in jedem Ingenieursbereich so was ich mit ihm machen will ist diese komischen komplexen Zahlen noch so'n bisschen sortiert ferngesehen definiert werden sehen durch jeweils jede komplexe Zahl können Sie beschreiben in dem sie 2 reelle Zahlen eingeben nämlich das das B R also die Zahl die vor dem die da vorne steht und die die vor dem I steht die kriegen den Namen diese beiden Zahlen damit man leichter drüber reden kann begriffe 5 B R 5 4 Als habe ich und also wenn Sie eine komplexe Zahlen haben A plus B x viel dann nennt man dieses an die Zahl die sozusagen ohne I steht das ist der damals mit Mittelalter mäßig an Cook das ist der vernünftige Teil von Z war der Burg wächst mit ihr zu tun hat das ist der deswegen auch der ja als also dieses aber das nennt man dann den Realteil von Z das ist der der wenn man die komplexen Zahlen aus der schiefen mit der schiefe Brille anguckt der vernünftige Teil ist und die Notation die kurz schreibe dafür ist Dreh von selbst und die Zeit des das ist die der böse Teil von der Zahl her das ist der der vor dem wie steht das ist die derzeit in Wendlingen wie viel ihn der Zahl drin ist der wenn das P 9 ist sie B gleich 0 setzen seines Z einfach die reelle Zahl also in dem Sinn haben sie auch mit Zahl Erweiterung ja die reellen Zahlen sind sie enthalten die nicht mit dem Fall des gleich 0 nur in bin und es dann steht aber da in dem Sinne sind die reellen Zahlen C enthalten und wir haben bei der Aktion C einzuführen wirklich einfach die Zahl Menge vergrößert vor und so frei ist die sozusagen Zeichen dafür wie komisch imaginär eine Zahl ist und deswegen heißt dieses B auch der Imaginärteil von zählt und die Abkürzung dafür ist von Z so und die gerade schon gesagt die reellen Zahlen sind ein
Spezialfall der komplexen jede reelle Zahl es auch eine komplexe Zahl und zwar für den Fall des gleich 0 wenn B gleich 0 ist dann heißt es Z real in dem Sinne können Sie die reellen Zahlen dass ein Teil von C auffassten alle die komplexen Zahlen Filipino ließen die reellen Zahlen auf die Weise kriegen Sie auch alle reellen Zahlen umgekehrt die sozusagen besonders abstrusen Zahl die wo gleich 0 ist die heißt nennt man dann rein imaginären das der Realteil 0 und es bleibt nur der Imaginärteil übrig und die Zahl heißen rein imaginäre an der Stelle eine Warnung meist so gern und zu oft falsch
gemacht wird der Imaginärteil von der komplexen Zahl ist diese Zahl B und zwar nur diese Zahl B der Imaginärteil von der komplexen Zahl ist immer eine reelle Zahl ja also wenn ist ganz oft immer gewährt werden immer wieder Teile von 2 plus 3 G gleich 3 i Nein Imaginärteil von 2. 3 I ist 3 kann wir 3 immer wieder Teil ist die Zahl die vor dem die steht und des I ist der nicht mehr Trainer also hinter die Ohren schreiben weil es wird wirklich oft falsch gemacht so also es
war imaginären Unreal teilen die Begriffe tauchen laufend Auhof und sie kann ich jetzt wenn weit Trade über nachdenken was haben wir mit komplexen Zahl schon gemacht wenn sie addiert werden sie subtrahiert werden sie multipliziert 1 fehlt uns noch werden sie noch nicht dividiert ja redet sein kann sie die WDR wie sieht es jetzt mit den komplexen aus wenn Sie sich erinnern ich habe ihnen gesagt diese ganze Einführung von immer neuen Zahl Bereichen dient dazu immer mehr Gleichungen zu lösen immer mehr Probleme zu lösen natürlich müssen wenn sie das gleiche können wenn er sonst verlieren andere Gleichungen wenn sie nicht heilen können dann können wir plötzlich 5 x gleich 3 nicht mehr lösen das ist auch doof also wir müssen teilen können und teilen geht auch arbeiten kleinen Trick das ist die Rechenregel 5 5 also wo es jetzt geht ist die Division also was brauchen wir wollen 2 Zahlen durcheinander teilen immer wieder die Zahl Z 1 die S A 1 plus B 1 mal mit Salz setzt weil dies aber 2 plus B 2 zweimal E das sein beides komplexe Zahlen und was wir natürlich brauchen wir Z 1 durch Z 2 bilden wollen ist wie immer sobald durchkommen muss die Alarmglocke klingeln das Z 2 darf natürlich nicht 0 sein apropos was ist denn überhaupt 0 wenn du es mir reelle Zahl 0 ist 0 plus 0 mal die also die neue in C ist die Zahl 0 plus 0 weil sie und das soll bitte schön Setzwein nicht seine durch nur können Sie nie Teil können sie ihre Zahl Raum noch so groß machen oder noch so klein das werden Sie nie los durch 0 Teil des verboten grundsätzlich so
also machen wir es wieder die so wie es die ganze Zeit gutgehen schreiben was aber und gucken was rauskommt also Z 1 durch Z 2 was ist das das ist A 1 plus B 1 x E geteilt durch 2 plus B 2 Mal die so und jetzt kommt der Ehrgeiz erst mal ein bisschen oder der Schwung des müssen zum liegen weil was so viel zu tun fernsehen brauchen Umstände so und und stellt einmal da war es mir erstmal nicht so recht was man tun soll was wir machen müssen ist müssen es irgendwie so lang und Form des wieder was da steht irgendwo irgendwas plus irgendwas mal die und die Form hat mich auf die Form ist das in die Prügel und was dabei stört ist das Unternehmen man eine Summe steht mitten in die wir müssen irgendwie dass die unten aus dem Männer rauskriegen und da gibt es einen Trick für und da können kann man jetzt Stone leiden probieren und wenn man sich eigentlich niemand Verräthern kommt noch nicht drauf also verrate ich den Ihnen der Trick ist einer der ältesten Tricks der Mathematik und einer der stärksten Tricks der Mathematik wir multipliziert mit 1 bald ist superstark sage ich in das ist fast so starke mit mir 0 dazu zähle aber im Moment hilft uns mit 1 x nehmen nämlich wir mal ganz auch erweitern nennen wir multiplizieren mit der 1 A 2 minus P 2 die durch 2 minus P 2 der dass es immer noch das gleiche wenn sie mitzugeben ich habe über 1 multipliziert solange man dass da alles Sinn macht natürlich nur weil wohl weiß dass das nur als ist aber egal so warum mache ich das weil jetzt wohnten in den Daten 3. Bindung entsteht ja so machen Sie jetzt irgendwas das kann man ausrechnen haben wir jetzt wir nur gut muss durch 1 mal als 2 bloß A 1 x B 2 E plus zweimal B 1 E minus B 1 B 2 Inder die gar als es da oben machen weil ich genau das ist eine wieder aus multipliziert aber es passiert und und dann sind 3. Binom A 2 plus P 2 X A 2 minus P 2 Trevino Art muss wenn man minus PISA Quadrat minus B Quadrat also was herauskommt ist 2 Quadrat minus B 2 die Quadrat ja 3. den immer noch getragen von dem glauben sie
können alle Rechenregel Lebertran so ist es auch also was oben steht es immer noch das von vollen A 1 A 2 minus B 1 B 2 plus A 1 B 2 plus A 2 B 1 wie das ist einfach wieder das Produkt von den beiden komplexen Zahlen da oben was passiert jetzt kann der kriegen wir jetzt 2 Quadrat minus Bild B 2 Quadrate Mali Quadrat wie Quadrat ist minus 1 also steht der A 2 Quadrat plus B 2 Quad und wie durch ein Wunder ist denn in der Regel mit diesen trägt durch dieses multipliziert mit der 1 ist denn wenn er jetzt mir wie allen zwar und keine komplexe mehr und das ist der große gewinnen war jetzt können Sie das ganze schreiben sie zu immer noch wild aus aber tut er 1 x A 2 minus B 1 B 2 geteilt durch 2 Quadrat
plus Bild 2 Quadrat Louis A 1 B 2 plus A 2 B 1 geteilt durch 2 Quadrat plus Bild 2 Quadrat nein nicht ja und jetzt haben sie es wieder in der fahren irgendwas reales los und was Reelles Mali und das ist das schöne komplexe Zahlen und natürlich müssen wir sind überlegen Massen 1 macht das Sinn bei der Umbruch stehen und der Bruch der ziemlich Domain dauert 0 stünde man steht denn da unten 0 dort nicht geht 2 Quadrat plus P 2 Quadrat ist das nun das ist Summe von 2 DM Quadraten also 2 der Zahlen zum Vertrag die gar nicht oft 0 werden dies nur dann 0 wenn A 2 0 ist und B 2 0 wenn einer von den beiden nicht nur ist dann steht der was Street positiv das heißt das Ding macht immer dann Sinn wenn ein wenn entweder A 2 oder D 2 0 ist das heißt Z 2 nicht gerade 0 plus 0 das Hammer ausgeschlossen die Rechnung tut also tatsächlich für alle Z 2 die nicht gerade 0 Sinn und was da unten steht ist jetzt der Quotient von Z 1 und Z 2 und an der Stelle wieder die gleiche die gleiche Beruhigung oder wie auch immer im Aufforderung beim letzten Mal merken Sie sich um Himmels willen ich diese Formel für den Quotienten sondern merken Sie sich den Dreck ja also ist das wir haben angefangen ich habe auch der merken Sie sich den Krieg das heißt
das war der Trick der Trick war die war das Multiplizieren mit 1 also das
erweitern mit dem denn was im Bender steht im minus dass der Frage ja mehr ja
aber ja ja ja Moment mal da muss ein Plus stehen Sie haben vollkommen Recht das war die Stelle wo ich vorhin so oder warum ausgerechnet da aber gut ich bekomme gehe es hier ja sie haben vollkommen recht hier stets auch recht die ich aber woanders stimmt sind wieder nicht wir ja da muss genau minus Art P 2 hier muss man aus seinen Augen Mann zwar das heißt A 1 B 2 da muss minus da muss minus nehmen da muss minus Damen Bewusstsein so er aber das unterstreicht nur noch mehr merken Sie sich die Formel weil der 11. Fälle schreibt in der Dozent Veilchen sondern mehr in sich den Trick aber vielen vielen Dank mehr in sich den
trägt der war multiplizieren Sie mit dem was mit den Nina mit dem umgedrehten Vorzeichen machen was ganz konkret ein Beispiel was war der Trick wir wollen ausrechnen Was ist 2 plus sie geteilt durch 4 plus 3 wie das waren die beiden Zahlen von vollen so was ist das jetzt können Sie entweder sich überlegen aber 1 ist 2 mal 2 ist 4 B 1 ist 1 P 2 1 3 und setzten das Monstrum darum ein und Problem dass sind zu blöd des und des falschen schreibt Weine werden sich den trägt es geht auch viel schneller multiplizieren Sie das denn oben und unten deutlich mit 4 minus 3 EL also nehme die gleiche komplexe Zahl außer dass sie beim Imaginärteil das Vorzeichen rumdrehen und da haben Sie wieder den 3. Binom unten stehen um können Sie ganz normal rechnen es muss es diesmal wirklich richtig machen also oben kommt aus 8 e minus 6 Mal die Quadrat soll am danke wenn das heißt 2 plus sie damit dass hier noch komplizierter also gut wird es auch für mich Zeit ist 5 Feierabend also das war ja
das Beispiel noch also rechnen Sie bitte mit 8 minus 6 E-Plus 4 Idee minus 3 im Quadrat über auch das ein das geht aus der Praxis wenn das so ist dass die Konzentration am Ende ist das passiert jedem mal bis sie dann insbesondere nach 80 Minuten Klausur und sie verrechnen sich ständig hilft nur 1 geben Sie niemals den Drang nach 2 Schritt auf einmal zu machen alles dann lieber ausführliche mache ich jetzt auch und dann fällt er noch auf das Dividende open bracket fehlt Sache was passiert unten und nahm sie den 3. Binom das ist das Ziel der ganzen Angelegenheit also 1. Quadrat minus 2. Quadrat also kriegen Sie hier schreiben was eben ganz langsam auf 4 Quadrat minus 3 Quadrat so umsortieren mehr 8 minus 3 mal die Quadrat Minus bei mir eh Quadrat ist bloß 3 also 8 plus 3 11. minus 2 schon wieder nur etwas minus 2 ich glaube ich mir jetzt wir mussten viel Gott 4 Quadrate 16 minus 3 G Quadrat bis minus 9 also es minus 2 die durch 25 sahen jetzt
Hmm die kann ich Ihnen erklären wie die Quadratur ganz am Ende vom 1. Bruch gebende minus 1 minus 3 X minus 1 bis plus 3 8 Preis ist ja ja das ist das ist hört sich banal an wenn Sie das nicht so leicht dass es nicht ein Problem bei diesem würden komplexen Zahlen dass sie laufen so 2 Karten Minus mal Minus mal war noch mal die man nochmal um minus und man kriegt es durch die durcheinander ja also da hilft nur absolute Konzentration oder man macht einen Fehler nach dem anderen deswegen ich kann das voll
nachvollziehen dass die Fragen kommen also was kommt hier raus 11 25. minus 2 E wunderbare komplexe Zahlen und werden was ich Ihnen noch wenn ich das noch mehr das will ich eigentlich also was ich in damit wird immer noch geschafft habe es ich habe nehmen alle Rechenoperationen mitgebracht sie können jetzt komplexe Zahlen addieren subtrahieren multiplizieren dividieren die Division sie doch erwägen Hügel aus ja aber den Trick sollten Sie sich merken die können nur noch die werden wir nix in der nächsten Stunde noch ein bisschen einfacher schreiben und uns noch weiter mit diesen Zahlen auseinandersetzen aber verhalten diesen bewenden lassen wir sehen uns nix Dienstag wieder vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Hidden-Markov-Modell
Kreis
Länge
Punkt
Momentenproblem
Extrempunkt
Natürliche Zahl
Berechnung
Gleichungssystem
Norm <Mathematik>
Kartesisches Produkt
Gradient
Richtung
Negative Zahl
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Gerade
Bindung <Stochastik>
Addition
Parametersystem
Dimension 6
Physikalischer Effekt
Irrationale Zahl
Machsches Prinzip
Biprodukt
Schärfentiefe
Vektor
Zahl
Null
Balken
Summe
Ebene
Periodische Bewegung
Betrag <Mathematik>
Menge
Mathematiker
Schnelle Fourier-Transformation
Koordinaten
Geometrie
Ebene
Mathematische Größe
Formation <Mathematik>
Darstellung <Mathematik>
Verbiegung
Gruppenoperation
Kommensurabilität
Division
Multiplikation
Kubische Gleichung
Quadrat
Ende <Graphentheorie>
Normalform
Reelle Zahl
Turm <Mathematik>
Geometrische Figur
Einfach zusammenhängender Raum
Erweiterung
Vektorrechnung
Quotient
Distributivgesetz
Imaginäre Zahl
Gleichung
Komplexe Ebene
Skalarprodukt
Quadratzahl
Rationale Zahl
Integration <Mathematik>
Normalvektor
Ecke

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Ebenen im R³ und komplexe Zahlen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 08
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/36095
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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