Ich möchte jetzt systematisch besprechen, wie Potenzen geschrieben werden und was für Gesetze dafür gelten. Auch das ist Ihnen eigentlich aus der Schule bekannt. Wir haben es auch schon ein bisschen benutzt, aber eine systematische Einführung schadet nie. Wir nehmen also eine reelle Zahl, zum Beispiel a, und wir nehmen auch noch eine natürliche

Zahl n. Also unsere Basis werden n, unser Exponent. Und wenn man a mit sich selbst multipliziert, dann schreiben wir als Abkürzung a mal a gleich

a². Oder a mal a mal a ist a hoch 3. Und das können wir beliebig oft machen. Also a mal a, wenn wir a n mal mit sich selbst multiplizieren, dann ist das a hoch n.

Und genauso definieren wir das auch streng, also das n-fache Produkt einer reellen Zahl mit sich selbst, nennen wir die n-fache Potenz von a.

Also a mal a mal a mal a, n mal, das ist a hoch n. Und insbesondere sagen wir a hoch 1 ist einfach wieder a. Und a ist dabei die Basis und n der Exponent.

Machen wir dazu ein paar Beispiele. Zum Beispiel 3 hoch 4, das ist 3 mal 3, mal 3 mal 3. Ja und das können wir ausrechnen, 3 mal 3 ist 9.

Und dann haben wir nochmal mal 9, das ist 81. Oder 1 hoch 5, 7, 3, 7, 8, 1, 8, das ist 1 mal 1, mal, immer so weiter, sodass wir

hier, was ist das eigentlich für eine Zahl? Das ist 5.737.818 mal die 1 mit sich selbst multiplizieren und das gibt 1.

So, minus 1 zum Quadrat, ja das hatten wir schon mal berechnet. Wir hatten nämlich gesagt, dass minus a mal b, gleich minus a mal b ist.

Und daraus folgt, dass das hier also minus, minus 1 ist, also das additive Inverse zu minus 1 und das ist 1.

Und wenn wir also minus 1 hoch 3 berechnen, dann ist das minus 1 mal minus 1 zum Quadrat und das ist minus 1 mal 1 und das ist minus 1. Also allgemein können wir sagen, wenn wir minus 1 hoch 2 n nehmen, wenn unser Exponent

gerade ist, dann ist das 1 und minus 1 hoch 2 n plus 1 für einen ungeraden Exponenten

ist minus 1. Ja, wir können natürlich nicht nur direkt Zahlen in Potenz schreiben, sondern wir können

das auch für Stellvertreter tun, also zum Beispiel kann ich auch so etwas ausrechnen. Ich nehme x stellvertretend als irgendein Element aus R und möchte ein halb minus

x zum Quadrat ausrechnen. So, und auch so etwas haben wir schon gemacht. Wir haben gesehen, das ist ein Binom, die haben wir schon in einem Video besprochen. Das heißt, das hier ist ein Viertel minus 2 mal ein halb x plus x Quadrat.

Das ist also ein Viertel minus x plus x Quadrat. Oder wir können a b aus R nehmen, irgendwelche Zahlen b und gleich 0.

Und dann können wir uns angucken, was ist denn a durch b hoch n? Also a mal b hoch minus 1 hoch n, das wäre a hoch n durch b hoch n.

Das folgt mit den Kommutativgesetzen. Machen wir noch ein letztes wieder explizites Beispiel. Was ist denn dann minus zwei Drittel hoch drei? Nun, das ist minus zwei Drittel mal minus zwei Drittel mal minus zwei Drittel.

Das ist also minus zwei mal minus zwei mal minus zwei geteilt durch drei mal drei mal drei. So, das ist minus zwei hoch drei durch drei hoch drei.

Natürlich können wir das auch ausrechnen. Zwei hoch drei, das ist acht. Dann haben wir ein minus acht durch siebenundzwanzig. Minus acht siebenundzwanzigstel.

Dann schauen wir uns allgemein die Potenzgesetze an. Ich nehme wieder eine beliebige Zahl a aus R.

Und zwei Exponenten n und m, die natürliche Zahlen sind. Dann kann ich a hoch m mal a hoch n erst mal ausmultiplizieren. Das heißt, ich habe erst mal das m-fache Produkt von a mit sich selbst. Und daran multipliziert noch das n-fache Produkt.

Und das heißt, ich habe das m plus n-fache Produkt. Ja, hier stehen m und dann nochmal n a's. Das gibt m plus n a's. Und damit ist a hoch m mal a hoch n gleich a hoch m plus n. Ähnliches funktioniert, wenn wir a hoch n nehmen, eine Zahl, und die nochmal hoch m.

Dann schreiben wir erst mal die äußere Potenz aus. Das ist a hoch n mal mal mal mal mal mal mal a hoch n. Und zwar gerade m-fach. Also ich habe hier m a hoch n's stehen. Und dann schreibe ich jedes diese a hoch n's auch nochmal aus.

Das heißt, ich habe hier a n mal stehen und dann nochmal n mal und dann nochmal n mal. Hier nochmal n mal. Und wie oft? Ich habe das m mal so dastehen. Und das gibt n mal m a's, die ich zusammen multipliziere. Also habe ich das m mal n-fache Produkt von a mit sich selbst.

Und das ist a hoch m mal n. Ja, und das sind eigentlich schon die Potenzgesetze. Sollten Sie die mal nicht ganz ausführlich wissen und sich nicht mehr sicher sein.

Ist a hoch n hoch m nun a hoch n mal m oder a hoch n plus m. Überlegen Sie sich erst, wie das zustande kommt. Dann ergeben sich die Gesetze eigentlich von alleine. Genauso, wie wir das hier ganz schnell berechnet haben.

So, wir hatten gerade schon in dem Beispiel mal einen Bruch exponiert. Jetzt möchte ich nochmal dran erinnern, dass für jedes a aus R, das von 0 verschieden ist, gilt.

Wenn ich a hoch n mal 1 durch a hoch n rechne, also das inverse von a hoch n an a hoch n ran multipliziere,

dann kriege ich 1 raus. Ja, das kann ich auch schreiben als a hoch n mal a hoch minus 1 hoch n. Denn so hatten wir eigentlich unser inverses von a bezeichnet.

Und weil dies hier eigentlich nur verschiedene Schreibweisen sind, und ich hier ja schon einen Exponenten habe, ist es sinnvoll, die folgende Definition zu machen. Das ist diese hier. Wenn wir definieren a hoch 0 ist 1, und wenn a ungleich 0 ist, natürlich nur,

dann macht auch die Definition Sinn, dass ich sage a hoch minus n, das ist 1 durch a hoch n.

Denn dann gilt a hoch n mal a hoch 0, das ist ja a hoch n mal 1 nach unserer Definition, das ist a hoch n.

Und ich könnte es aber auch so berechnen, wenn ich meinen Potenzgesetz hier verwenden möchte, a hoch n plus 0 ist wieder a hoch n. Das heißt, wenn ich a hoch 0 als 1 definiere, kann ich den 0 mit zu den Exponenten dazu nehmen,

und dieses Gesetz, Potenzgesetz bleibt gültig. Und es gilt auch weiter, a hoch 0, das ist 1, das ist auch a hoch 1 minus 1.

0 ist 1 minus 1, das ist a hoch 1 mal a hoch minus 1, oder anders geschrieben noch a mal 1 durch a.

Das heißt, diese Definition ist genauso gemacht, dass die Potenzgesetze Gültigkeit behalten.

Für alle a aus R ohne 0 und alle Exponenten m und n nun aus z gültig sind.

So, jetzt habe ich hier schon meinen kleinen Fehler in der Definition wieder gut gemacht. Ich habe gesagt, das gilt nur für a und gleich 0. Denn den Fall a gleich 0 möchte ich mir jetzt noch als Spezialfall angucken.

Also, erstmal für die Basis a gleich 0 ergibt sich noch keine Bedingung.

Nur, wir können 0 hoch n nicht definieren, wenn n kleiner ist als 0.

Denn für n kleiner als 0, oder wir können ja mal m größer als 0 nehmen und dann hinschreiben,

1 durch 0 hoch m, das ist nicht definiert, aber das wäre ja 0 hoch minus m.

Also, das können wir nicht machen. Das heißt, für negative Exponenten ist 0 hoch diesen Exponent nicht definiert.

Allerdings hat man eine Konvention gefunden, wenn der Exponent 0 ist.

0 hoch 0 soll gleich 1 sein. Tja, was soll das? Das hat vor allen Dingen eine Bedeutung.

Na ja, Sie kennen ja Polynome, also z.B. x² oder x hoch 3 oder x hoch n. Und manchmal schreibt man auch x hoch 0, das konstante Polynom.

Das wäre gleich 1 für alle Einsetzungen x aus R.

So, und damit man das so schreiben kann und dann Polynome im allgemeinen Zustand einsetzen kann, für jedes beliebige x aus R, also auch für die 0, und mit Polynomen gut multiplizieren kann etc., setzt man auch 0 hoch 0 gleich 1, damit es da keine Abweichung gibt.

Gut, ich wollte noch ein paar kleine Beispiele zum Abschluss machen, damit wir noch ein bisschen mehr Übung darin kriegen, mit Exponenten zu rechnen.

Also wir könnten z.B. 4 hoch 8 durch 2 hoch 4 mal 3² hoch 3 ausrechnen. So, die Exponenten, die gelten wirklich immer nur da, wo sie stehen.

Also habe ich hier erstmal wieder mein 4 hoch 8 und dieses hoch 3, das möchte ich in die Klammern reinziehen.

Das ist dann 2 hoch 4 und hoch 3, das ist 2 hoch 12, mal 3 hoch 6. So, und jetzt möchte ich diesen Beruf natürlich so gut es geht vereinfachen, d.h. ich sollte die 4 auch noch als Zweierpotenz erkennen.

Das ist 2 hoch 2 hoch 8 durch 2 hoch 12 mal 3 hoch 6. So, und das ist 2 hoch 2 mal 8, das sind 16 durch 2 hoch 12 mal 3 hoch 6.

Und da kann ich jetzt kürzen, 2 hoch 16 durch 2 hoch 12, das ist 2 hoch 16 minus 12 durch 3 hoch 6.

Das ist 2 hoch 4 durch 3 hoch 6. Und dann noch ein anderes Beispiel, wenn ich 5 siebtel hoch minus eins nehme, mal 5 durch x minus y zum Quadrat.

Nun, dann ziehe ich erstmal die Exponenten rein, dann habe ich 5 hoch minus eins durch 7 hoch minus eins,

mal 5 Quadrat durch x minus y zum Quadrat.

So, und jetzt ersetze ich eigentlich nur das 5 hoch minus eins ist ein Fünftel. Und ich kann damit die 5 nach unten ziehen. Ich kann aber auch sagen, ich erweitere den Bruch einfach, indem ich mit einer 1 dran multipliziere.

Also ich multipliziere mal 5 Fünftel und mal 7 siebtel. Das ist eine 1. Und ich schreibe Ihnen nochmal ganz genau hin, was das ist.

Dann habe ich also hier 5 hoch minus eins mal 5 mal 7 durch 7 hoch minus eins mal 5 mal 7. Ich habe diesen ersten Bruch abgeschrieben und einfach nur das da dazugeschrieben. Und dann habe ich hier noch ein 5 Quadrat durch x minus y Quadrat, das schreibe ich ab.

So, und jetzt ziehe ich hier zusammen 5 mal 5 hoch minus eins, das ist 1. Das heißt im Zähler bleibt die 7 stehen. Und hier unten habe ich 7 minus 1 mal 7, das ist 1, da bleibt die 5 stehen. Und dann habe ich nochmal 5 Quadrat durch x minus y zum Quadrat.

So, und da kann ich nun wieder was rauskürzen. Hier steht 5 Quadrat mal 5 hoch minus eins, das ist 7 mal 5. Ich ziehe die Brüche nur gleich zusammen durch 1 mal x minus y zum Quadrat.

Und das ist 35 durch x minus y zum Quadrat. Und das gilt für alle x und y aus R mit x ungleich y.

Denn für x gleich y würde ich hier durch 0 teilen und das mag ich nicht, weil es nicht geht.