Die geometrische Summenformel ist eine der wichtigsten Formeln überhaupt. Also, das ist zusammen mit der PQ-Formel, die auch als Mitternachtsformel in der Schule gelehrt wird, eine der Formeln, die Sie immer parat haben sollten. Also, Mitternachtsformel, wenn ich Sie um Mitternacht wecke,

naja, vielleicht sind Sie in der Mitternacht noch nicht einmal am Bett, wenn ich Sie um 3 Uhr nachts wecke, dann sollten Sie die mir aus dem Schlaf heraus aufsagen können. Gut, also es geht darum, dass wir Potenzen einer Zahl aufsummieren wollen und dafür gerne eine Formel haben wollen.

Nun, jetzt sagen Sie, das ist doch gar nicht so schwer für, ja, wenn ich die Zahl Q nehme und davon Potenzen aufsummiere, dann ist das doch easy. Dann, das ist dann einfach nur 1 plus 1 plus plus 1. Ja, und wie viele Einser habe ich hier?

So viele, wie ich hier Summanden habe, M plus 1 Stück. Also ist das gleich M plus 1. Wunderbar, naja, und so viel komplizierter ist das für eine Zahl ungleich 1 auch nicht. Da werde ich eben gleich zeigen, dass das Q hoch M plus 1 minus 1 durch Q minus 1 ist.

Da sehen Sie, diese Formel kann für Q gleich 1 nicht gelten, dann würde ich durch 0 teilen. Gut, aber schauen wir uns mal an, was heißt das denn für M gleich 0?

Nun, da steht hier eine Summe mit nur einem Summanden. Summe von J gleich 0 bis 0, Q hoch J, das ist Q hoch 0 und das ist 1. Und auf der rechten Seite steht für M gleich 0, Q minus 1 durch Q minus 1

und das kann ich kürzen, dann kommt da wirklich 1 raus. Aha, für M gleich 0 ist das also richtig. Hey, wenn ich aber jetzt das Ganze durch Induktionen beweisen will, dann habe ich hier ja schon den Induktionsanfang bewiesen. Ich will also zeigen, dass für alle M größer oder gleich 0 gilt,

die Summe über Q hoch J von J gleich 0 bis M ist Q hoch M plus 1 minus 1 durch Q minus 1. So, und das hier ist ganz eindeutig A0 und damit unser Induktionsanfang.

So, in der Annahme sage ich also, dass A M nun mal wahr sein soll für ein M größer oder gleich 0.

Und im Induktionsschluss, da nehme ich mal kurz die neue Seite, muss ich nun A M plus 1 zeigen. Das heißt, ich schaue mir einfach mal an, was ist denn diese Summe?

Ich habe das mit J geschrieben, J gleich 0 bis M plus 1 Q hoch J. Ja, dann kann ich diese Summe ja auseinander ziehen. Einmal kann ich sie nur bis M laufen lassen und dann muss ich eben noch den letzten Termen dazuschreiben.

Das ist die Summe J gleich 0 bis M Q hoch J plus der letzte Summand, der M plus 1. Das ist Q hoch M plus 1. Ja, das kann ich aber schon jetzt gleich verwenden, dass ich ja eine Induktionsannahme gemacht habe.

Das heißt, nach meiner Induktionsannahme ist das hier gleich Q hoch M plus 1 minus 1 durch Q minus 1. Und dann muss ich hier noch den letzten Termen dazu addieren. So, das wollen wir mal auf einen Nenner bringen.

Was ist das? Q minus 1. Den ersten Term schreibe ich ab. Und den zweiten muss ich mit Q minus 1 erweitern. Dann kriege ich ein Q hoch M plus 2 und ein minus Q hoch M plus 1.

Da kann ich absolut was vereinfachen. Also diese beiden Terme hier, die heben sich auf und dann schreibe ich Q hoch M plus 2 nach vorne und habe hier hinten ein minus 1 und das ist geteilt durch Q minus 1. Und da sehen wir, wir haben die Aussage A M plus 1 gezeigt

und damit die geometrische Summenformel bewiesen. Also ein Beispiel, wenn ich für Q mal ein halb einsetze,

ein halb hoch J für J gleich 0 bis M ist ein halb hoch M plus 1 minus 1 durch ein halb minus 1.

So, das ist gleich. Ja, ich ziehe erst mal das hier. Was ist denn das hier? Das ist minus ein halb. Und hier bringe ich das mal auf einen gemeinsamen Nenner. Das ist also 1 hoch M plus 1 geteilt durch 2 hoch M plus 1 minus 2 hoch M plus 1.

Und das teile ich durch minus ein halb. Also es ist das da. Das ist gleich.

Das minus ein halb, das kann ich durch den Kehrbruch mal nehmen, dazu kriegen, dass ich hier eines von diesen Dingern wegkürze. Das heißt, ich habe nur noch ein 2 hoch M dastehen

und hier habe ich dann ein 2 hoch M plus 1 minus 1. Und das ist, warum habe ich hier das Vorzeichen umgedreht, weil ich das hier verarztet habe. Also mach mal, ja, für M gleich 5 kriege ich damit raus,

dass die Summe für J gleich 0 bis 5 über ein halb hoch J ist. Ja, 2 hoch 5 plus 1, das ist 2 hoch 6, das ist 64, minus 1 geteilt durch 2 und 32.

Also 63, 32. Gut, also geometrische Summenformel nie vergessen. Wir werden sie oft benutzen.