Sur le programme de Langlands p-adique
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| License | CC Attribution 3.0 Unported: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. | |
| Identifiers | 10.5446/46444 (DOI) | |
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Transcript: French(auto-generated)
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Donc je suis ravi de parler dans cette journée parce que quand j'ai commencé à faire de la recherche,
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on entendait le nom de Barry à peu près tout le temps, associé à des énoncés frappants voire scandaleux. Donc le premier dont je me souviens, je ne sais plus dans quelle ordre c'était, mais il y avait un premier énoncé qui disait que les représentations galoisiennes ont des déformations universelles.
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Galoisiennes ont des déformations universelles. Donc qu'est-ce que ça veut dire ?
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Donc on parle d'une représentation en caractéristique P, rho bar du groupe de galois absolu de Q, non ramifié en dehors d'un nombre fini de nombres premiers. Dans, mettons, GLN, un corps fini. On peut prendre Q ou on peut prendre le groupe de galois de QP,
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on peut prendre un corps de nombre, ça ne change pas grand-chose. Et à ça, ce que dit Barry, c'est qu'il y a une représentation universelle. Du même groupe, GQS ou GQP, dans un certain anneau.
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Donc ça, c'est un anneau local dont le corps résiduel est FQ et qui paramètre tous les relèvements de cette représentation à des anneaux de ce type-là. La représentation à son moment ?
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Oui, oui, non, mais il y a des tas de conditions à mettre. Je suis désolé, je vais être un peu impressionniste dans cette introduction. Ce n'est pas le sujet de mon exposé.
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Quand on a un anneau comme ça, il y a un espace analytique associé. Ce que ça fait, c'est que tout les relèvements de ma représentation modulopée
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sont paramétrés par un espace analytique. Donc c'est des points d'un espace analytique. En fait, c'était juste une remarque, mais ça a eu une influence incroyable sur le reste du sujet. Ça, c'est le premier résultat dont je me souviens. D'autres résultats dont je me souviens, c'était les familles de forme modulaire
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et les représentations galoisiennes associées.
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Ça, c'était des travaux avec Gouvea, Maeser et Coleman-Meser.
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Il y avait eu des travaux de Ida, c'est Ida qui a quand même commencé toute cette histoire, dans le cas ordinaire, ce qui correspond à Pond 0. Les travaux de Gouvea-Meser et Coleman-Meser, c'est dans le cas de Pond fini.
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Il y a donc deux objets qui ont joué un rôle très important par la suite, qui sont ce qu'on appelle la Higoun Curve, qui est justement une courbe qui paramètre
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ces formes modulaires péadiques de Pond fini. Ça, c'est Coleman-Meser et il y avait aussi la Fougère infinie de Gouvea-Meser. Donc l'image est comme ça.
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Donc si vous partez d'un rhobar comme là-haut, de GQS dans GL2 de FQ, comment Fougère, c'est Fern. Infinite Fern.
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J'ai mis longtemps avant de comprendre que ce n'était pas Éventaille, mais... Quand j'entendais Fern, j'entendais Fan, et puis ça ressemble aussi à un Éventaille. On parle d'une représentation comme ça, associée à une forme modulaire,
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donc on va l'appeler impère, ce qui veut dire que le déterminant de la conjugaison complexe, c'est moins 1. Et donc si on regarde l'espace qui est associé par le précédent, notre X là-haut, associé, il est de dimension 3, en général, enfin au moins conjecturalement.
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Et donc il y a une direction qui est facile à voir, c'est juste tordre par le déterminant. Donc ça on va ignorer, et en gros on obtient quelque chose qui est de dimension 2. Donc 2 en ignorant le déterminant.
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Voilà, donc on a notre espace qui est comme ça. Et puis on a la Eigencurve de Coleman-Mezer, qui est un objet sympathique, lisse. Et après on peut regarder ce que ça donne
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quand on l'envoie dans l'espace des représentations galoisiennes. Et là tout d'un coup on obtient quelque chose qui ressemble à une horreur, localement ça ressemble à ça, puis ça, tac, tac, tac, et sur chacun. Bon et après je ne peux plus dessiner, mais c'est pour ça que ça ressemble à une fougère infinie. Et donc on obtient quelque chose qui est zaris qui danse,
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un peu comme la courbe de Peano dans 0,1 x 0,1. Et donc c'est un objet qui est très utile pour démontrer des résultats sur l'espace tout entier, uniquement à partir des objets de Pantfini,
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par prolongement analytique. C'est comme ça que ça a été utilisé plein de fois. Et puis finalement le dernier énoncé, qui est lui carrément scandaleux, qui est la conjecture de Fontaine-Mezer.
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Alors je ne sais pas de quand il date exactement. À peu près en 1990, ou bien un peu avant. Un peu avant, oui, j'ai l'impression. Bon, inférieur à 1290. Je me suis disputé avec illusir récemment ce sujet.
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Donc qu'est-ce que ça dit la conjecture de Fontaine-Mezer ? Ça dit que si vous avez une représentation encore de GQS, comme ceci là, dans, mettons, GLN de QP, qu'est-ce qu'on lui demande ? On lui demande d'être irréductible.
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Et on demande qu'elle soit deux rames en P. Donc je ne vais pas définir ce que c'est. C'est une condition qui a été introduite par Fontaine. Alors la conclusion, c'est que rho provient de la géométrie.
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Donc on sait que quelque chose qui provient de la géométrie vérifie toutes ces conditions-là. Mais ce qui était assez invraisemblable, c'est qu'on sait aussi que quelque chose qui provient de la géométrie vérifie beaucoup plus de conditions que ça en particulier.
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On sait que si on restreint un nombre premier L qui n'est pas dans S, les valeurs propres de Frobenius sont des nombres de Veil, des nombres algébriques. Et on n'a rien mis comme ça dans la condition ici, si ça provient de la géométrie. Donc voilà, c'est un énoncé qui n'a aucune chance d'être vrai.
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Vous pouvez dire ce que ça veut dire être « provient de la géométrie » ? Ça veut dire que c'est découpé dans la comologie yétale. Donc ici c'est péadique d'une variété propre hélice, je pense. Ou projective hélice, même à l'époque.
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C'est ça qu'on... Donc par une représentation, peut-être on peut aussi... Et on peut aussi tordre par une puissance du caractère cyclotomique. Et on peut aussi avoir un coefficient QP bar, c'est pas la même chose ? On peut aussi mettre des extensions... On peut mettre une extension finie de QP ici.
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Si on met QP bar, ça devient compliqué de définir, ça veut dire de RAM. Est-ce que c'est toujours une conjecture ? Si tu mets QP bar, ça se ramène à une extension. C'est vrai. Est-ce que c'est toujours une conjecture ? Bonne question.
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Alors oui, ma phrase suivante c'était que c'est maintenant un théorème. Un théorème, mais uniquement pour n égale 2. Pour n égale 2. Donc ça c'est des travaux, il doit y avoir des gens avant,
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mais principalement c'est Emerton qui signe. Et ça a été complété récemment par un dénommé l'OUEPAN pour n égale 2.
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Donc voilà, la leçon que j'ai tirée de tout ça, c'est que si vous avez un énoncé optimiste et pour lequel il n'y a aucune objection évidente, alors il a des chances d'être vrai. Ça paraît être une bonne manière d'essayer de faire des maths.
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Ok, donc tous ces travaux ici sont des précurseurs de ce que j'appelle le programme de l'anglande spéadique. Et le programme de l'anglande spéadique intervient crucialement dans la preuve qui est ici. Donc qu'est-ce que c'est que le programme de l'anglande spéadique ?
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Alors il y a plusieurs versions. Alors ma version à moi, c'est la suivante. On part de G, un groupe algébrique, définit sur Q.
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Je ne sais pas quels sont les adjectifs qu'il faut rajouter, probablement réductifs, des choses comme ça. Et ce qui nous intéresse, c'est la chose suivante. Donc moi je m'intéresse uniquement à GL2, enfin GLN, GSP2N, etc.
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Vos porte-bonneaux, groupes unitaires. Donc ce qui nous intéresse, c'est les groupes suivants. Donc les groupes de comologie du groupe des points rationnels à valeur dans les fonctions continues sur le groupe des points adéliques
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à valeur dans L, où L est une extension finie de QP. Donc il faut quand même que je vous dise quelles sont les actions. Donc si vous avez un élément dans G2Q et vous avez une fonction sur G2A,
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vous faites agir gamma sur phi en x comme étant phi de gamma moins 1x. Donc on a une action à gauche de G2Q et on a une action à droite du groupe des adèles qui est g de x égal phi de x g.
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Donc les deux actions que j'ai définies comme mutes de manière évidente, puisqu'il y en a une à gauche et une à droite. Et comme on a utilisé une action à gauche pour calculer la comologie, il reste une action à droite de G2A.
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Donc ce que je prétends, c'est que le but du programme de LNPADX c'est de comprendre ces groupes en tant que G2A module. Mon but, c'est comprendre c hi g2q c g2a L en tant que G2A module.
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Et en fait, si on est très optimiste, ce qu'on voudrait c'est classifier les représentations irréductibles qui apparaissent en termes de représentations galoisiennes. Donc plus classification des représentations irréductibles
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en termes de représentations de groupes de galois absolus.
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Ok, donc ce programme, il a aussi une version modulo P. Si à la place de L on met FQ par exemple, donc si on a L modulo FQ,
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on a le programme de l'anglance modulo P, qui est juste une excroissance de la conjecture de serre.
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Donc par exemple, on va s'intéresser juste au cas G égale GL2, parce que c'est le seul cas dans lequel on a vraiment des résultats vraiment sympathiques.
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Donc on prend G égale GL2. Donc en général, ce n'est pas comme ça que les gens définissent les groupes qui nous intéressent.
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Vous arrivez juste trop tard. En général, les gens, à la place d'écrire toutes les choses en termes de homologie des groupes,
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comme je l'ai fait là, ils utilisent ce qu'on appelle la homologie complétée des Merton. C'est-à-dire qu'on considère des tours de l'espace symétrique associé au groupe algébrique là. Et alors normalement, c'est pareil.
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En tout cas, pour GL2, c'est pareil. Et donc l'intérêt, par contre, d'écrire ça comme sous cette forme là, c'est qu'on peut remplacer les fonctions continues par n'importe quel sous-espace de fonction sympathique qui vous intéresse. Par exemple, vous pouvez imposer aux fonctions d'être localement constantes en dehors de P, ou d'être localement analytiques en P, localement algébriques en P, etc.
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Donc ça vous fabrique des tas de sous-représentations intéressantes. Et dans le cas de GL2, on a un résultat de Merton qui s'intéresse. Donc le seul groupe intéressant, c'est le H1, H1 de G de Q, à valeur d'un.
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Donc on va prendre les fonctions qui sont lisses en dehors de P. Donc G de Z de chapeau en dehors de P, lisses. Donc ça veut dire qu'elles sont fixes par un sous-groupe ouvert de G de Z de chapeau, par translation à droite.
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Donc ça c'est un espace qui est la cohologie complétée de Merton. Donc je vais noter H1 chapeau. Et le théorème de Merton, c'est le suivant.
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Ici vous avez la cohologie de groupe abstrait de G de Q, et là c'est encore la cohologie de groupe abstrait ? Oui, parce que G de Q est discret là-dedans, donc il n'y a pas tellement d'autre chose que je pourrais faire que la cohologie de groupe abstrait.
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Et donc le théorème qu'a démontré Merton, c'est le suivant. Donc vous partez de rho, une représentation qui est non ramifiée en dehors d'un nombre fini de places, à valeur dans GL2 de L, qui est impère, irréductible, et plus quelques restrictions sur rho bar.
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Et vous pouvez vous intéresser à la multiplicité de cette représentation dans ce groupe.
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Donc le Homme-Galois de rho à valeur dans ce H1 chapeau. Et alors le théorème, c'est le suivant, c'est que ça s'exprime en termes de la correspondance de l'anglance locale classique. Donc c'est le produit tensoriel restreint sur les L différents de P,
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ce qui sort de la correspondance de l'anglance locale classique appliquée à rho restreint à GQL. Et ensuite il y a un terme qui est purement péadique, qui est quelque chose que je note de produit tensoriel avec pi de rho restreint à GQL.
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Et ce pi là, c'est ce qui sort de la correspondance de l'anglance locale péadique.
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Donc ça dit que si vous avez une représentation qui est non ramifiée en dehors d'un nombre fini de places, alors elle intervient dans ce groupe de cohomologie. Et en plus, ça intervient avec une multiplicité qui, en tant que représentation du groupe des Adels,
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est reliée à la correspondance de l'anglance. Mais tu nous as pas dit quelle était l'action de l'osine sur le H1. Oui, alors là j'ai été un peu vite effectivement. Donc comme c'est la cohomologie complétée de Emerton, c'est la cohomologie de la tour des courbes modulaires. Donc les espaces symétriques associés là, ça va juste être des courbes modulaires.
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Et maintenant, la cohomologie est isomorphée à la cohomologie étale et donc il y a naturellement une action de Galois dessus. Donc ça sera pas le cas pour tous les autres groupes. C'est pour ça que quand j'ai mis ici, quand on est... Je veux dire, ça c'est très optimiste. Il ne va pas y avoir une action galoisienne qui va vous être donnée par la nature.
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Donc je vais dire quelques mots sur cette correspondance de l'anglance locale péadique.
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Pour le moment, ça ne marche que pour GL2 de CUP. Donc le papier final, c'est un papier avec Dospinescu et Pasconas. Mais il y a eu pas mal de travaux antérieurs. Donc il y a eu Schneider et Teitelbaum qui ont fait beaucoup de travaux de fondement
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sur les représentations de GL2 de CUP, les représentations péadiques de GL2 de CUP. Ensuite, il y a eu Breuil qui a compris quelle forme la correspondance pouvait avoir.
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Enfin, il a aussi compris qu'il pourrait y en avoir une. Et il a fait des conjectures assez précises. Et puis sinon, il y a eu des contributions de Berge-Breuil, de Emerton, Kissine et moi-même. Voilà. Et donc on a une théorie qui marche très très bien, qui fait la chose suivante.
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Donc si vous avez V, une représentation de dimension 2, donc une L représentation de dimension 2 du groupe de Galois absolu de CUP, L c'est une extension finie de CUP ici, vous pouvez lui associer une représentation pi de V de GL2 de CUP. Donc c'est une représentation, c'est un L bannard avec une action de GL2 de CUP qui est unitaire.
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Unitaire, ça veut dire que la boule unité est invariante par l'action. Et admissible, ça veut dire que quand vous réduisez modulo P,
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l'effecteur fixe par un sous-groupe ouvert sont de dimension finie. Voilà. Et on a une correspondance dans un sens et dans l'autre sens on a un foncteur. Si vous avez une pi comme ça, vous pouvez lui associer un V de pi.
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Ça c'est un vrai foncteur. Est-ce que dans le foncteur on se donne la structure unitaire, c'est-à-dire le réseau, ou est-ce qu'on se donne pas ? Ça n'a pas vraiment d'importance en fait. Pour l'épreuve, oui, on se donne le réseau.
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La flèche ne va pas dépendre. La flèche ne dépend pas du réseau. Et la condition d'admissibilité ne dépend pas du réseau ? Non, ça ne dépend pas du réseau. C'est une longueur finie, ça reste une longueur finie.
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J'ai un foncteur et c'est relié de la manière suivante. C'est-à-dire que si on applique le foncteur à pi de V, on récupère V. Le foncteur, lui, il utilise les phi gamma modules de Fontaine.
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J'ai parlé de ça de multiples fois. C'est assez remarquable parce qu'on n'a rien à faire. On prend la représentation et on la met dans un anneau de Fontaine. Et à la sortie, on a une représentation galoisienne sans avoir rien à faire. C'est totalement miraculeux.
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J'ai un problème là. Si le bannard, c'est la somme de deux représentations associées ? Ce qu'on obtient, c'est une représentation qui n'est pas forcément de dimension 2. Ici, elle est de dimension 2. Ici, je n'ai pas dit qu'elle était de dimension 2. Elle ne l'est pas en général. Si je pars de n'importe quelle représentation admissible ici,
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si je prends une somme directe, comme le faisait remarquer Clauzel, je ne vais pas obtenir quelque chose de dimension 2 à la sortie puisque j'obtiendrai la somme directe des deux choses dont je suis parti. Un point important, c'est que comme tout ça s'est donné par des foncteurs,
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ça marche bien en famille. En fait, le thérem des Merton est plus précis que ça. C'est-à-dire qu'il va donner vraiment une décomposition complète de ce module en termes de famille de représentation galoisienne.
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Je vais peut-être revenir à ça à la fin de mon exposé. Ce n'est pas clair du tout. Ok, on est très contents pour J.L. d'Occupée, mais ça, ça fait 10 ans que les résultats ont été démontrés. Depuis, la situation pour les autres groupes est toujours un peu dans le brouillard,
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il faut bien dire. Une question naturelle, ce serait est-ce qu'on ne pourrait pas trouver... Là, on est très contents du foncteur, puisqu'on ne fait rien, mais peut-être que ce n'est pas la bonne construction de la correspondance. On cherche une correspondance qui serait plus géométrique et un énoncé qui aurait un sens pour tous les groupes plutôt que juste pour celui-là.
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L'idée est d'essayer de copier ce qu'on fait pour la correspondance classique. Pour la correspondance classique, ce qu'on fait, c'est qu'on réalise la correspondance de l'anglance classique dans la cohomologie de la tour de Rindfeld, donc je vais rappeler la définition.
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C'est dans la cohomologie éladique pour L différent de P. Une idée, je pense que tout le monde a eu cette idée, c'est de remplacer L par P et d'y aller bravement. Le problème, avant que je dise, c'est que la cohomologie étale péadique d'un objet péadique
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et en général une horreur, et les gens préfèrent ne pas la regarder. L'exemple le plus simple, c'est si vous prenez la boule unité ouverte, donc il va être peu, je ne sais pas quoi, de OCT, double crochet T.
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Si vous amusez à calculer la cohomologie étale éladique, QL de 1 mettons, vous obtenez 0, ce qui est raisonnable, mais si vous amusez à calculer la péadique, on va mettre ZL, ZP de 1,
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ce que vous obtenez c'est le complété des unités, et donc en fait ce qu'on obtient c'est 1 plus T OCT double crochet T, comme groupe multiplicatif. Donc c'est énorme, et ça ne s'améliore pas quand les espaces grossissent.
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Bon, mais ce n'est pas grave, donc je pense que c'est ce genre de résultat qui a fait que les gens ont été arrêtés à l'idée de regarder ces groupes de cohomologie. Mais quand même, on peut faire quelque chose,
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donc je vous rappelle ce que c'est que la tour de Dreinfeld. Donc la base de la tour de Dreinfeld, c'est le demi-plan de Dreinfeld H, qui est juste l'espace P1 privé des points de QP.
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Donc là-dessus il y a une action de GL de QP, naturelle, par transformation de Möbius à X plus B sur X plus D. Et ensuite, au-dessus de cet espace,
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Dreinfeld a construit toute une tour, donc M0, M1, etc. et puis Mn, et la limite projective des espaces, on va l'appeler M infinie. Ce premier espace, lui, il n'est pas du tout mystérieux,
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c'est juste une réunion dénombrable de copies du demi-plan de Dreinfeld, et ensuite ça devient des revêtements finis. Donc qu'est-ce qu'il y a comme structure sur cette tour ? Donc sur chacun des étages de la tour, il y a une action de GL de QP, partout.
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Ensuite, qu'est-ce qu'il y a d'autre comme action ? Il y a une action du groupe de Galois, de ce revêtement étal, et ce groupe de Galois, celui-là je l'appelle G simplement, c'est les unités dans une algèbre de Quaternion,
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l'algèbre de Quaternion sur QP. Et enfin, le H, lui, il est défini sur QP, mais ce n'est pas vrai que la tour est définie sur QP. Par contre, la tour est définie sur le complété
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de l'extension maximale non ramifiée de QP, mais il y a en plus une action du groupe de Veil. Il n'y a pas une action du groupe de Galois, mais une action du groupe de Veil. Donc pour beaucoup de questions,
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ça se comporte comme si c'était défini sur QP. Donc on a ces trois groupes qui agissent, et le produit des trois groupes agit, puisque les actions commute sur la tour. C'est des étoiles ou les unités ? C'est les unités de l'algèbre de Quaternion.
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Non, non, non, toutes, toutes. C'est vraiment, c'est D moins zéro. Et donc, on a une action sur tous les groupes de comologie
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de ces trois groupes. D'accord ? Et par définition, ça c'est vu comme système projectif. Donc la comologie de M affini, c'est juste la limite directe des comologies en niveau fini. Donc tous les calculs vont se passer en niveau fini.
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Donc nous, ce qui va nous intéresser, c'est la comologie étale de M affini à valeur dans QP de 1, qui est juste la limite directe des H1 étale de MN à valeur dans QP de 1.
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Ok ? Donc le théorème qu'on a obtenu. Donc je dois dire qu'on était un peu réticents à l'idée de faire ce genre de calcul, de considérer ce groupe. Pendant deux ou trois ans, on s'est dit, oui, il faut faire le calcul, il faut faire le calcul, mais jamais on n'a osé commencer.
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Jusqu'au jour où Gabriel Dospinescu est arrivé en disant que Dreinfeld avait fait le calcul en niveau zéro et qu'il avait obtenu quelque chose de sympathique. En sachant qu'en niveau zéro, c'était sympathique, on s'est dit que peut-être ça valait le coup d'essayer de faire le calcul en niveau quelconque.
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Et donc voilà ce qu'on a obtenu.
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Donc le théorème, c'est avec Dospinescu et Nijal. Nijal. Donc on prend en soi V, une représentation,
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donc une L représentation, irréductible, absolument irréductible, de GQP, de dimensions au moins deux.
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GQP, c'est le groupe de Galois absolu. Ça, c'est le groupe de Galois absolu. Et donc on s'intéresse à la multiplicité de cette représentation
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dans la cohomologie étale de la tour. Et alors le résultat est le suivant. Donc comme je l'ai dit, on n'a pas d'action de Galois, mais on a une action du groupe de Weyl. Donc si on restreint un groupe de Weyl, de V à valeur dans le H1 étale de M affini, QP de 1,
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alors on obtient des choses que j'ai expliquées. Donc je l'écris et ensuite j'explique pi de V dual, si V est OK et 0 sinon.
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Donc qu'est-ce que ça veut dire OK ? Ça veut dire deux dimensions deux. Et ensuite, ça veut dire que la représentation a l'air de provenir de la cohomologie étale d'une courbe compacte. Donc ça, ça se traduit par le fait que les deux rames,
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les poids de Hochtate sont 0 et 1. Et puis qu'est-ce qu'on veut d'autre ? Ah oui, et puis il y a une question très importante. Donc puisque les deux rames, on peut lui associer un objet qui s'appelle DPST de V grâce à Fontaine.
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Et grâce à Fontaine encore, on peut considérer ça comme une représentation du groupe de Weyl de ligne de QP. Et on demande que ça, ça soit irréductible comme représentation du groupe de Weyl de ligne.
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Représentation. Donc pi de V, là ici, c'est la représentation que j'ai mentionnée ici. Donc c'est celle qui sort de la correspondance de l'anglance locale péadique.
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Pi de V, c'est la correspondance de l'anglance locale péadique. À ça, on peut associer une représentation LL de V qui est juste les vecteurs qui sont localement constants pour l'action de G dans pi de V.
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Mais c'est aussi isomorphe. Ça, c'est une des propriétés que j'ai pas énoncées pour la correspondance de l'anglance locale péadique. C'est aussi isomorphe à ce qu'on obtient en appliquant la correspondance de l'anglance locale classique au DPST de V.
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Donc ça, c'est une compatibilité entre la correspondance péadique et la classique qui est très importante pour les applications.
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Et finalement, qu'est-ce que c'est que ce JL de V ? Donc JL de V, c'est ce qu'on obtient en appliquant la correspondance de Jacques-Hélène Glantz à la représentation LL de V. Donc c'est JL de LL de V. Et ça, c'est une représentation irréductible.
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Donc de dimension finie, en fait, puisque notre groupe est compact, de Jetschetsch. Donc si on résume le théorème, ça dit que dans ce gros espace de comologie, on voit apparaître uniquement les représentations galoisiennes
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qu'on veut voir apparaître. En particulier, il n'y a pas de représentation de dimension plus grande que 2. Et quand on garde la preuve, c'était une vraie, ou strictement plus grande que 2, ou plus grande que 3. Ça dépend si on fait l'exposé en français ou en anglais. Et en plus, les représentations apparaissent avec la multiplicité qu'on veut.
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C'est-à-dire que ça encode. Ok, donc quels sont les ingrédients pour démontrer ce genre de résultats ?
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La Steinberg n'est pas là. La Steinberg n'est pas là. Parce que, enfin si, elle est là, mais... Comment dire ? Elle apparaît pas dans les représentations de dimension 2. Elle n'est pas là à rajouter. Sinon, elle apparaît en niveau 0. Mais si j'avais rajouté...
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C'est pour ça que j'ai supposé que la représentation était de dimension supérieure à 2. Des PST irréductibles, ça exclut la Steinberg ? Ça, ça exclut la Steinberg, mais c'est exclu... Bon, faudrait que j'aurai réfléchi si...
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Ah non, j'ai supposé qu'elle était irréductible. Si j'avais mis des choses qui n'étaient pas irréductibles, l'énoncé serait faux, en fait. Parce qu'il y a des caractères qui proviennent du niveau 0 et cela, c'est difficile de s'en débarrasser.
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Ok, donc quels sont les ingrédients ? Alors, la première chose, c'est que c'est impossible de calculer la comologie étale, péadique. Donc, ce qu'on fait, c'est qu'on commence par calculer la comologie pro-étale. Donc, on récupère
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H1 étale à l'intérieur de H1 pro-étale. Quelle est la différence entre les deux ? La différence entre les deux, c'est que vous avez votre espace,
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et c'est un espace qui est très gros, mais on peut le recouvrir par une réunion croissante d'affinoïdes. Maintenant, vous avez deux possibilités. Sur chaque affinoïde, vous pouvez faire les calculs au niveau entier. Donc, vous calculez la comologie étale à valeur dans zp, d'accord ? Et puis, vous passez la limite,
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et à la fin, vous inversez p. Ou bien alors, vous faites le contraire. Sur chaque affinoïde, vous faites la comologie à valeur dans zp, vous inversez p, puis ensuite, vous passez la limite, d'accord ? Donc, le premier sera beaucoup plus petit que le second, puisque vous avez inversé p plus tôt.
40:41
Et donc, ça, c'est étale, et ça, c'est pro-étale. Et comment on le récupère ? C'est en prenant les vecteurs g-bornés. Donc, il y a une action de g sur la comologie. Et donc, on prend les vecteurs dont l'orbite sous l'action de g varie dans un réseau fixe.
41:03
D'accord ? Donc, ce qui est clair, c'est que les éléments de ça sont g-bornés, puisque on a fait tous les calculs au niveau entier. Par contre, ce qui n'est pas clair, c'est que si on a quelque chose qui est g-borné ici, alors ça provient de là. Et la raison pour laquelle c'est vrai, ça, c'est parce que votre espace, il est très gros,
41:21
mais quand même, vous pouvez le recouvrir par les translatés d'un unique affinoïde sous l'action de g. Donc, tout va se passer dans votre affinoïde de base. Et un affinoïde, c'est en gros compact, donc tout se passe bien. Donc, ça, c'est la première chose. Donc, on va plutôt regarder la comologie pro-étale.
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Alors ensuite, il y a un théorème de comparaison entre pro-étale, H1 pro-étale,
42:07
et complexe de deux rames. Donc, on a une description de la comologie pro-étale en termes de formes différentielles. Donc, le complexe de deux rames est quelque chose qu'on appelle la comologie du yodo-kato,
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qui est une forme un peu plus précisée de la comologie de deux rames, plus la comologie de yodo-kato. Voilà. Et ensuite, un ingrédient important, c'est donc qu'il faut comprendre le complexe de deux rames, la comologie du yodo-kato.
42:40
Donc, la comologie du yodo-kato, c'est l'analogue en p-adic de la comologie étale et éladique. Donc, on a un théorème de comparaison entre la comologie du yodo-kato, l'isomorphe, la comologie étale et éladique. Donc, quand j'écris ça, normalement, n'importe qui va hurler, parce que ça, c'est un QL espace vectoriel.
43:01
Ça, c'est un QP espace vectoriel. Mais si vous croyez à l'axiome du choix, vous fabriquez un plongement des deux dans un corps plus grand. Et si vous croyez pas à l'axiome du choix, vous regardez des traces ou des choses dans ce genre-là. Bref, les représentations. Donc ça, c'est en tant que représentation
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du groupe de veilles, de lignes, et de G. 3G et 2G.
43:40
Et finalement, on a aussi besoin d'une description du complexe d'odorum. Donc, le calcul du complexe d'odorum, qui est juste les fonctions sur M infini, vers omega 1 de M infini, en termes de G x G cech,
44:01
plus l'action de G x G cech. Et ça, c'est un résultat de Dospinescu le bras. Et plus un peu de théorie des représentations de G L dot Q P pour une fois qu'on a vraiment une description de cet objet,
44:22
arriver à une description de celui-là. Voilà, donc il me reste un temps.
44:42
Mais si j'essaye de résumer la situation, en fait, c'est... Ah oui, j'ai oublié quand même quelque chose dans cette histoire.
45:02
Une fois qu'on a la comparaison entre yodo-kato et eladique, on n'a pas terminé parce qu'on est contents que d'autres personnes aient travaillé avant nous. Et en fait, calculer la cohomologie eladique de cet objet et faire le lien
45:22
avec la correspondance de l'englande segal classique. Donc, ce qui manque, parce que j'ai écrit là-haut, c'est les résultats de Dreinfeld et Carayol sur le calcul de la cohomologie étale-eladique. Donc, si je résume, en fait,
45:40
on est totalement incapables de calculer directement la cohomologie étale-péadique, mais ce qu'on fait, c'est par des termes de comparaison successifs, on la ramène au calcul de la cohomologie étale-eladique. Et là, on peut utiliser les formules de traces de Lefcets, etc., et compter des nombres de points et patati patata.
46:02
Ok. Donc, peut-être, je vais vous dire un peu plus ce qui sort de tous ces deux rames de comparaison. Donc, ce qui sort, c'est la chose suivante. Alors, pour ça, j'ai besoin un petit peu de notation. Donc, on va faire jouer un rôle au DPST2V, on va l'appeler M.
46:21
DPST2V. Donc, ça va être une représentation de dimension 2 du groupe de Veil de ligne, de QP, qui est irréductible
46:40
et qui, en plus, est de pente 1 demi. De pente 1 demi, ça veut dire que les valeurs propres de Frobenius ont une valuation qui est 1 demi. Donc, à M comme ça, on peut associer, comme j'ai dit, plus haut, on peut associer une représentation localement constante
47:05
de GL2 de QP, j'appelle l'anglance locale de M. Donc, ça, c'est une représentation de G. Et une représentation JL de M, qui est une représentation, comme là-haut, de G.
47:21
Ok. Et qu'est-ce qu'on peut associer encore ? Donc, maintenant, si on a n'importe quel module Z avec une action de G. On peut découper la partie qui provient de M simplement en regardant Z de M
47:40
comme étant le HOM pour Jetschetsch de JL de M dual dans Z. Ça, c'est juste pour découper n'importe quel Jetschetsch module suivant les représentations de Jetschetsch. Et enfin, on a la chose suivante.
48:02
On définit le module M de RAM, qui est juste QP bar tensor M fixe par G QP. Donc ça, ça sera un espace de dimension 2 sur L. Donc L espace de dimension 2.
48:22
Et si on a une droite là-dedans, donc ça, c'est une L droite, on peut associer à toutes ces données une représentation galloisienne, qui est VML, qui est défini comme étant le noyau de B plus Kriss tensor M phi égal P
48:47
vers CP tensor M de RAM modulo L. Donc ça, grâce à notre thérem avec Fontaine, ça, c'est une représentation de dimension 2,
49:01
qui est OK dans le sens du TOM. Donc ça, c'est OK représentation. Et le théorème, c'est que toutes les représentations OK sont de cette forme-là pour un unique choix de couple ML. Et tout OK, OK de cette forme.
49:24
Et donc le résultat qu'on obtient, en utilisant tous les ingrédients que j'ai mentionnés, c'est un joli diagramme, qui est le suivant,
49:45
donc le théorème. Donc on a un diagramme qui ressemble à ça. Donc 0, ça va vers CP tensor les fonctions sur M infini, et on prend juste la M partie.
50:05
Ça va vers H1 pro-étal de M infini QP de 1, encore la M partie. Ça va vers B plus Kriss tensor M phi égal P.
50:24
Tensor chapeau LL de M dual. J'écris le diagramme et après je le commente. Deuxième ligne, on a la même chose, mais ici maintenant c'est le complexe de deux rames, donc CP tensor omega 1 de M infini de M.
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Et ici c'est CP tensor M de rame. Tensor chapeau LL de M dual, 0.
51:03
Et on a une flèche naturelle comme ça. Et maintenant, chaque fois que vous prenez une droite là-dedans, vous pouvez prendre le sous-espace qui est ici,
51:20
et le tirer en arrière, et vous obtenez une représentation ici, et la question c'est savoir quelle est la représentation qu'on obtient, et la représentation qu'on obtient, donc ici on obtiendra la même chose, et la représentation qu'on obtient est reliée à la correspondance de l'anglance péadique par la formule. Vous prenez votre représentation galoïdienne VML,
51:44
vous prenez la représentation associée par la correspondance de l'anglance classique, vous prenez les vecteurs localement analytiques dedans, et vous prenez le dual. Ceci, c'est ce qu'ont démontré Dospinescu et Lebrat. Et ça, c'est ce que nous avons démontré,
52:01
c'est un des ingrédients principaux de notre article avec Dospinescu et Niziol. Je vais faire un certain nombre de remarques, comme vous pouvez voir, cet espace ici, à l'intérieur duquel on veut récupérer notre homologie étale, il est absolument gigantesque,
52:23
parce qu'à l'intérieur on a les fonctions analytiques sur tous les étages de la tour, en particulier, non seulement il est gigantesque, mais si vous regardez, vous avez un CP ici. Donc ça vous dit que si vous regardez les représentations galoïdiennes qui apparaissent là-dedans, il y a tout.
52:42
Toute représentation se plonge dans CP, il suffit qu'il y ait un déploie de Hochtel qui est zéro, et comme ici il y a en plus l'action des composants de Connex, en fait n'importe quelle représentation galoïdienne se plonge là-dedans.
53:00
Et ici, déjà cet espace est gigantesque, mais le quotient qui est ici est tout aussi gigantesque, parce que c'est ce que j'appelle un espace de dimension finie, mais c'est de dimension finie dans le sens que c'est un CP,
53:20
espace vectoriel de dimension finie, plus un QP, espace vectoriel de dimension finie. Donc en tant qu'QP, espace vectoriel, c'est de dimension infinie, et encore une fois, dans cet espace-là, il y a quasiment toutes les représentations galoïdiennes qui vont intervenir. Donc il se passe un miracle quand on prend les vecteurs G bornés.
53:42
Donc quand on prend les vecteurs G bornés, c'est relativement facile de voir que ce morceau-là disparaît, donc là on est content. Mais par contre, ici il n'y a aucune raison que tout disparaisse et qu'il ne reste que les représentations de dimension 2 par exemple. Donc en fait, quand on a énoncé ce TRM pour la première fois,
54:03
on avait insisté sur le fait que si la représentation était sympathique, on avait bien la bonne multiplicité, mais j'ai dit que j'étais sûr qu'il y avait beaucoup de bruit en plus. Mais il se trouve que non, il n'y a pas de bruit en plus, mais ça demande des arguments supplémentaires qu'on n'avait pas à l'époque. Et donc, comment s'interprètent les choses qui sont ici ?
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Ici, c'est ce qui provient de la chronologie de Yodo Kato, et c'est là qu'on utilise, et le fait qu'on est LLM2M, donc ça c'est le dual de la représentation de l'anglance locale classique, et donc le fait qu'on est ça, c'est justement dû au fait qu'on a une comparaison entre Yodo Kato et Eladik,
54:42
et le fait qu'heureusement qu'il y a des gens qui ont travaillé pour nous avant, sinon on serait bien bloqué à ce niveau-là. Et ici, cette partie-là de l'argument, ça utilise beaucoup d'arguments globaux, c'est-à-dire que ce qu'on fait, c'est qu'on consciente notre M-affini
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par des sous-groupes de congruences, et donc on obtient des courbes de Shimura, et c'est comme ça qu'on arrive à démontrer ce genre de choses. Donc ça, c'était ce qu'on avait il y a deux ans, et donc on s'est aperçu qu'en utilisant exactement les mêmes ingrédients,
55:23
mais dans un autre ordre que ce qu'on a ici, on peut aussi obtenir la chose suivante, c'est que si on s'intéresse à HOM G maintenant, de pi de V dual dans cette même cohomologie étale, je vous devrais peut-être mettre que j'ai étendu l'escalaire à CP dans L de 1.
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Alors en fait, on obtient V tensor, on obtient la même chose mais dans l'autre sens, j, L de V si V est OK, et on obtient 0 sinon. Donc ça, c'est exactement les mêmes ingrédients mais dans un autre ordre.
56:03
Et alors, nous ce qui nous intéressait, mais je ne vais pas avoir le temps de vous expliquer ce qu'on a obtenu comme résultat, mais ce qui nous intéressait, c'était d'essayer d'obtenir une description de cet espace à la Emerton. Donc vraiment, de cet espace,
56:20
ce n'est pas uniquement des multiplicités diverses et variées, des représentations qui apparaissent. Et bon, on a tourné en rond pendant longtemps parce qu'il semble que cet espace est trop gros, en tout cas, on ne le comprend pas. Et en fait, le bon espace, ça semble être le suivant. Donc au lieu de prendre la cohomologie,
56:41
d'étendre l'escalaire à CP, il vaut mieux faire que la chose suivante. Donc on définit la cohomologie étale de MR fini étendue à QP bar. Peut-être qu'on va se mettre en niveau fini parce que ce sera plus simple. De la manière suivante,
57:02
donc on inverse P à la fin, mais ce qu'on fait, c'est qu'on regarde la cohomologie étale de notre variété MN, mais on étend l'escalaire non pas directement à CP, mais à une extension finie de QP. Et on prend le coefficient fini,
57:26
et ensuite on fait la limite inductive sur les extensions finies de QP, et ensuite on complète. Donc on fait la limite projective sur le petit k de ceci. Donc ça, c'est exactement le genre de définition qu'on trouve
57:42
dans la cohomologie complétée de Emerton. Alors c'est beaucoup plus petit que celui-là, à priori. Au tout début, ça me semblait totalement clair que cet espace était dense dans celui-là, mais en fait quand on réfléchit un petit peu, on s'aperçoit qu'il n'y a aucune raison que celui-là soit non-nul en particulier.
58:03
Donc c'est beaucoup plus petit. Il est non-nul grâce à notre théorème précédent. Et pour celui-là, en fait, on a une description à la Emerton. Donc pour ce sous-espace, il y a une description à la Emerton.
58:25
Bon, j'ai terminé mon temps. Donc je vais juste te dire quel est l'ingrédient principal. L'ingrédient principal, c'est qu'en fait, ces espaces-là, on peut démontrer qu'ils sont de longueur finie comme G-module.
58:41
C'est comme G-module et confessionnement, mu pk. C'est mu pk, oui. Donc on fait le passage de la limite dans l'autre sens quelque part. Donc on monte dans la tour arithmétique, donc on monte dans les extensions de cupé, et ensuite on complète.
59:03
Donc l'ingrédient principal, c'est le fait que ceci est de longueur finie comme G-module. Et pour le moment, la preuve est un peu apocalyptique. Et j'espère qu'elle va se simplifier parce que ça utilise vraiment beaucoup de choses. Bon, j'arrête là. J'ai fini mon temps.
59:26
Merci. Est-ce qu'il y a des questions ? Ça veut dire que le théorème précédent, qui est écrit juste au-dessus, est vrai avec ce plus petit truc ? Oui, il est vrai avec ce plus petit truc, oui. En fait, probablement celui-là est plus naturel que celui-là, pour une raison.
59:43
En tout cas, les choses sont beaucoup plus faciles à démontrer avec celui-là qu'avec celui-là. Mais il est possible que celui-là soit dans celui-là. J'ai pas réussi à le prouver, mais c'est pas impossible que ce soit vrai quand même. En quelque cas, on aurait aussi une description de cet espace. Niveau zéro.
01:00:00
Ce qui est bizarre c'est que les deux sont égaux et ils sont tout petits donc ça donne pas vraiment d'indications sur ce qui se passe quand on monte. D'autres questions, Marie ? Moi j'ai une inquiétude, à la conjecture de Fontaine-Méza, c'est dans le cas
01:00:23
Impère non ? Non, dans le cas Impère ça te dit juste que ça n'existe pas. Non mais, oui mais c'est connu ça ? Oui c'est connu, c'est un théorème de Calégarie. Effectivement j'aurais dû signaler qu'il y a encore quelques restrictions sur la représentation
01:00:42
résiduelle, mais effectivement la conjecture de Fontaine-Méza qui a dû disparaître du tableau dit que si la représentation de dimension 2 est paire et si elle est deux rames mais pas à poids de Hotch-Tite 00, donc à poids de Hotch-Tite différent, alors elle n'existe pas.
01:01:01
Non c'est une conjecture qui a l'air totalement fausse au départ, d'ailleurs il semble que plein de gens ont essayé de trouver des contre-exemples, mais sans succès.
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