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Das ebene Doppelpendel

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Einmal angestoßen, bewegt sich dieses Doppelpendel unter dem Einfluß der Schwerkraft auf äußerst verwickelte Weise. Während es aufgrund geringer Reibung allmählich an Energie verliert, verändert es seine Bewegungsform. Besonders im mittleren Energiebereich ist die Bewegung unübersichtlich: Schlagen die Pendel noch einmal über - oder nicht mehr, wie hier das innere. Eine Vorhersage erscheint kaum möglich. Eine derart komplexe Bewegung zu beschreiben, bedarf es natürlich einiger Idealisierungen. In der folgenden mathematischen Beschreibung des Doppelpendels wird zum
Beispiel von der Reibung völlig abgesehen. Außerdem wird angenommen, daß die Massen der beiden Pendel in Punkten konzentriert sind, wobei das äußere Pendel im Schwerpunkt des inneren aufgehängt ist. Der Einfachheit halber sollen die beiden Pendel gleich lang und die Massenpunkte gleich schwer sein. Die Konfiguration des Doppelpendels wird durch die beiden Winkel Phi 1 für das innere und relativ dazu durch Phi 2 für das äußere Pendel beschrieben. Dieses mathematische Modell wird im folgenden im Computer simuliert. Wir zeigen zunächst in drei Computer-Experimenten, wie die Bewegung von der Energie abhängt. Dazu wählen wir typische Werte im niedrigen, mittleren und hohen Energiebereich. Beim niedrigen Energiewert 0,5 schwingen die beiden Pendel nur wenig um ihre stabilen Ruhelagen. Die Energie 5 reicht aus, um die Pendel zur Rotation um ihre Aufhängepunkte anzuregen. Beim Energiewert E = 50 bewegen sich die beiden Pendel beinahe so, als gäbe es die Schwerkraft nicht. Dann ist neben der Energie E auch der Gesamt-Drehimpuls eine Erhaltungsgröße. Die Bewegung kann periodisch, quasiperiodisch oder chaotisch verlaufen. Um die verschiedenen Bewegungsformen zu unterscheiden, nehmen wir
im rechten Teilbild die Spur
des äußeren Massenpunktes auf, während links die Bewegung selbst abläuft. So haben wir ein Gedächtnis, das uns den Vergleich mit früheren Konfigurationen erlaubt. Bei der periodischen Bewegung erhalten wir eine in sich geschlossene Spur. Bei der quasiperiodischen Bewegung sieht die Spur zunächst ähnlich regelmäßig aus wie bei der periodischen; der Unterschied besteht darin, daß sie nicht in sich geschlossen ist.
Verfolgen wir die Bewegung noch eine Weile weiter, so sehen wir, daß die Spur die Ebene ziemlich gleichmäßig ausfüllt. Das Doppelpendel kehrt nie genau in eine Situation zurück, in der es schon einmal war. Die Bewegung ist daher also nicht periodisch. Das Pendel kommt aber in regelmäßigen Abständen wieder in die Nähe eine Anfangssituation -
daher die Bezeichnung quasiperiodisch. Die chaotische Bewegung dagegen hinterläßt eine ziemlich unübersichtliche Spur. Achten Sie hier darauf, wie das äußere Pendel mal durchrotiert und mal zurückschwingt, immer wieder steht es vor der Entscheidung für eine dieser Möglichkeiten, und es wählt sie im unregelmäßigen Wechsel. Es ist klar, daß dabei kleine Unterschiede in den Anfangsbedingungen große Folgen im späteren Bewegungsablauf haben.
Hier starten zwei Doppelpendel mit fast gleichen Anfangsbedingungen. Für eine Weile erzeugen sie tatsächlich kaum unterscheidbare Spuren. Dann aber geraten sie an einen Scheideweg: Oben entscheidet sich das äußere Pendel fürs Zurückschwingen, während es unten durchrotiert. Von nun an sind die Bewegungen kaum noch ähnlich. Wiederholen wir die entscheidende Phase noch einmal: Jetzt trennen sich die Wege der beiden Pendel. HENRI POINCARÉ hatte eine Idee, wie man die Komplexität dieser Bewegung veranschaulichen könnte. Er schlug vor, statt des vollständigen Zeitverlaufs nur ganz bestimmte Situationen zu verfolgen. Zum Beispiel könnte man immer dann eine Momentaufnahme machen, wenn das Doppelpendel in der gestreckten Lage ist und das äußere Pendel dabei eine positive Winkelgeschwindigkeit hat......etwa jetzt... und jetzt... und jetzt. In solchen Momenten müßte man den Winkel Phi 1 des inneren Pendels und den dazugehörigen Drehimpuls messen und diese gegeneinander auftragen. Man erhielte auf solche Weise einen Punkt
der sog. Phasenebene des inneren Pendels. Während die Bewegung fortschreitet, wartet man auf die Wiederkehr von solchen gestreckten Konfigurationen und trägt Punkt für Punkt in die Phasenebene ein. Das rechte große Feld ist die Phasenebene des inneren Pendels, in der der Winkel Phi 1 nach rechts und der dazugehörige Drehimpuls nach oben aufgetragen werden. Wir wählen darin einen willkürlichen Anfangspunkt und verfolgen die Bewegung, bis die gestreckte Konfiguration wieder erreicht ist......jetzt.. und jetzt... und jetzt. Jedesmal erhalten wir durch Vermessung des Winkels Phi 1 und
des dazugehörigen Drehimpulses einen neuen Punkt in der Phasenebene. Unten links läuft die Spur dieser Bewegung von nun an in einer neuen Auftragung: Nach rechts ist der Winkel Phi 1 des inneren, nach oben der Winkel Phi 2 des äußeren Pendels aufgetragen. Nach einer Weile haben die so erzeugten Punkte sich zu einer Linie verdichtet: Typisch für eine quasiperiodische Bewegung. Die elliptische Form dieser Linie deutet auf eine Resonanz im Zentrum hin. Wählen wir als Anfangspunkt das Zentrum der Ellipse, so rotiert das äußere Pendel mit genau der Frequenz, mit der das innere Pendel schwingt. Die Bewegung ist periodisch, im Poincaré-Schnitt ergibt sich immer wieder
derselbe Punkt. Wir wählen eine dritte Anfangsbedingung und verfolgen wieder im Detail die Entstehung der ersten Punkte. Sie bilden schließlich eine Linie, die die Phasenebene durchzieht. Die Bewegung ist quasiperiodisch. Die vierte Anfangsbedingung ergibt eine Bewegung, die weniger regelmäßig verläuft. Das deutet sich in der Spur unten links bereits an. Nachdem die ersten fünf Punkte entstanden sind, wechselt das äußere
Pendel seine Rotationsrichtung und für längere Zeit wird die gestreckte Konfiguration immer nur mit negativer Winkelgeschwindigkeit durchlaufen. Es gibt daher keine Punkte im Poincaré-Schnitt... erst jetzt wieder kommen Punkte hinzu, die schließlich keineswegs auf einer Linie liegen, sondern über die Fläche in der Phasenebene verteilt sind. Die Bewegung heißt chaotisch, die Punkte im Poincaré-Schnitt erfüllen ein sog. Chaosband. Aus einer Reihe weiterer Anfangsbedingungen, zu denen jeweils 300 Folgepunkte berechnet werden, ergibt sich schließlich dieses Bild. Die Poincaré-Schnitte lassen erahnen, wie unendlich reich die Dynamik eines solchen Doppelpendels ist. Kondensieren sie doch, für das Auge leicht
erfaßbar, in einem Bild das Langzeitverhalten einer Vielzahl von Trajektorien. Sie zeigen, wie eng ineinander verwoben - bei ein und
derselben Energie - regelmäßiges und chaotisches Verhalten sein kann. Eine kleine Änderung in der Anfangsbedingung - und schon mag das Bild der Bahn ganz anders aussehen. Unter solchen Umständen werden Prognosen über längere Zeiten praktisch unmöglich. Das Systemverhalten wird in mancher Hinsicht unvorhersagbar, obwohl es doch über die Bewegungsgleichungen streng determiniert ist. Schauen wir nun, um eine Übersicht zu erhalten, die Poincaré-Schnitte für zwölf verschiedene
Energien an.Beginnen wir mit der niedrigen Energie 0,5. Die weiße Linie umrandet den Bereich der Phasenebene, der bei dieser Energie zugänglich ist. Der Poincaré-Schnitt besteht im wesentlichen aus Linien. Er enthält zwei Hauptresonanzen, entsprechend den beiden Eigenschwingungen. Bei der zentralen Resonanz schwingen die beiden Pendel gegenphasig. Ganz oben im Poincaré-Schnitt liegt die Resonanz, die der zweiten Eigenschwingung entspricht. Beide Pendel schwingen hier in Phase. Als eine Kombination dieser beiden Schwingungen kann man die Resonanz betrachten, die wir nun verfolgen. Die Linienstruktur dieses Poincaré-Bildes spiegelt die Regelmäßigkeit der Bewegungen bei dieser niedrigen Energie wider. Bei der doppelten Energie hat sich ein Teil dieser Linien bereits in Inselketten aufgelöst. Bei der Energie
1,5 ist Chaos deutlich sichtbar. Die zentrale Resonanz ist in zwei Resonanzen aufgespalten. Das Chaos beginnt zu dominieren, es läßt
den Inseln von Ordnung nicht mehr allzuviel Raum. Uns interessiert, was aus der zentralen Resonanz nach der Aufspaltung geworden ist. Wir schauen uns zunächst für
die linke Resonanz die Spur der Bewegung an: Sie hat die Form einer Ellipse, die im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Die rechte Resonanz entspricht derselben Spur, nur wird sie diesmal andersherum durchlaufen. Die beiden Resonanzen gehen also bei Zeitspiegelung ineinander über. Beim Wert vier der Energie finden wir nichts als Chaos.Aus diesem Chaos tritt bei weiterer Energieerhöhung wieder geordnete Bewegung hervor, zunächst in Form der zentralen Resonanz, die wie uns nun
genauer ansehen: Im gleichen Takt, in dem das innere Pendel schwingt, vollführt das äußere eine
Rotation. Bei weiter wachsender Energie schrumpft der Bereich der Ordnung zunächst wieder. Doch schließlich tritt auch an anderen Stellen in der Phasenebene regelmäßige Bewegung auf. Wie etwa um diese Resonanz herum, die aus zwei Punkten
im Poincaré-Schnitt besteht. Wir zeigen hier den Verlauf der zugehörigen Bewegung. Bei der Energie zehn schiebt sich zum ersten Mal
eine Linie quer durch die Phasenebene und trennt das Chaos in zwei Bereiche, einen oberen und einen unteren, zwischen denen die Bewegung jetzt auch langfristig nicht mehr vermitteln kann. Bei noch höherer Energie treten immer mehr dieser durchgehenden Linien auf, die Bewegung wird immer regelmäßiger.
Schauen wir, welche Hauptresonanzen bei hohen Energien auftreten. Die zentrale rote Resonanz haben wir bereits kennengelernt. Bei dieser Resonanz schwingt das äußere Pendel genau einmal, während das innere eine Rotation
vollführt. Dies ist die zeitgespiegelte Version der eben betrachteten Resonanz. Die Spuren sind identisch, sie werden nur unterschiedlich durchlaufen. In
einem Chaosband versteckt finden wir hier noch eine Resonanz, bei der beide Pendel im Takt rotieren: Das Innere im Uhrzeigersinn, das Äußere andersherum. Bei unendlich hoher Energie verschwinden die Chaosbereiche völlig. Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße und die Bewegung verläuft auf Linien, die zur Phi 1 Achse parallel liegen. Sie läßt sich dadurch beschreiben, daß wir für die Punkte der Ordinate angeben, um wieviel sie in einem Schritt des Poincaré-Verfahrens nach rechts oder links verschoben werden. Das zeigen die weißen Linien an, die dieses Bild durchziehen. Verfolgen wir die Bewegung für einige typische Anfangspunkte, die wir auf der Ordinate wählen.
Im oberen gelben Bereich rotiert das innere Pendel entgegen dem Uhrzeigersinn, während das äußere Pendel schwingt. Im blauen Bereich rotieren beide Pendel entgegen dem Uhrzeigersinn. Achten Sie darauf, wie von Punkt zu Punkt der Winkel Phi 1 immer um den gleichen Betrag zunimmt. Dieser Anfangspunkt ist so gewählt, daß das Innere Pendel gerade nicht rotiert, sondern nur schwingt, während das äußere rotiert. Im grünen Bereich rotieren die beiden Pendel gegeneinander, so daß der Gesamtdrehimpuls gering ist. Im orangefarbenen Bereich schließlich ist die Bewegung bis auf Zeitspiegelung dieselbe wie im gelben Bereich. Lassen wir noch einmal die Poincaré-Schnitte bei steigender Energie Revue passieren. Zunächst dominierte die Ordnung in Form quasiperiodischer Bewegungen. Allmählich machte sich das Chaos breit und bedeckte schließlich die ganzen Phasenebenen. Dann erschienen wieder Inseln geordneter Bewegung und hier bei Energie zehn zog sich erstmals ein grünes Band quer durch die Phasenebenen. Diese Grenze zwischen zwei Chaosgebieten wollen wir im folgenden genauer untersuchen. Aber erhöhen wir zunächst die Energie weiter. Es treten immer mehr trennende Linien auf, die man nach den Mathematikern KOLMOGOROFF, ARNOLD und MOSER kurz KAM-Linien nennt. Schließlich besteht der Poincare-Schnitt nur noch aus solchen KAM-Linien. Von hier aus wollen wir nun rückwärts das Szenario des Zerfalls der Ordnung bei abnehmender Energie betrachten. Wir wissen, daß eine der grünen KAM-Linien als letzte überleben wird. Betrachten wir also diesen Abschnitt des grünen Bereichs aus der Nähe. Als erstes schauen wir uns die wichtigsten Resonanzen an.Bei dieser Anfangsbedingung rotiert der Winkel Phi 2 genau doppelt so schnell wie Phi 1. Bei dieser Anfangsbedingung ist das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeit genau
1:3. Diese Resonanz wird also durch drei Punkte charakterisiert. Zwischen den beiden eben gezeigten Resonanzen liegt eine Resonanz von fünf Punkten, mit einem Verhältnis der Winkelgeschwindigkeit von genau 2:5 - dieses Verhältnis nennt man die Windungszahl. Resonanzen haben stets rationale Windungszahlen, quasiperiodische Bewegungen dagegen irrationale Windungszahlen. Zwischen den Resonanzen mit Windungszahl 1:3 und 2:5 liegt eine weitere mit der Windungszahl 3:8. Hier liegt ein einfaches Bildungsgesetz vor: Aus den beiden letzten Windungszahlen erhalten wir nämlich die jeweils nächste, indem wir einfach Zähler zu Zähler und Nenner zu Nenner addieren. Diese hier lautet folglich 5:13, die nächste dann 8:21 und so fort. Die Zahlen nähern sich rasch einer bestimmten irrationalen Zahl - und zwar dem Verhältnis des goldenen Schnitts. Wie wir sehen werden entspricht dieser irrationalen Windungszahl genau diejenige quasiperiodische Bewegung, deren KAM-Linie bei abnehmender Energie am längsten dem Chaos standhält. Bei Energie 20 sieht man die eben erörterten Resonanzen als auffällige Inselketten, daneben grüne KAM-Linien und Chaosbereiche. Bei der Energie
10 sind die Resonanzen noch gut sichtbar, die Chaosbereiche habe sich ausgedehnt und werden nur noch durch eine einzige, nämlich
die "letzte KAM-Linie" getrennt. Wählen wir einen Anfangspunkt auf dieser KAM-Linie und beobachten die letzte stabile, quasiperiodische Bewegung inmitten des Chaos. Erstaunlicherweise tritt das goldene Verhältnis nicht nur beim Doppelpendel, sondern viel allgemeiner als Windungszahl der letzten geordneten Bewegung am Rande des Chaos auf. Erniedrigen wir aber nun die Energie auf den Wert 9, so ist die goldene KAM-Linie zerfallen
- und mit ihr die höheren Resonanzen. Verfolgen wir die Bewegung von einem Anfangspunkt aus der Nähe der zerfallenen KAM-Linie, so sieht sie zunächst noch recht ordentlich aus, entwickelt sich dann aber doch so, wie wir es von chaotischen Bahnen nun schon gewohnt sind.
Prognose
Energie
Mittlere Energie
Erhaltungssatz
Punkt
Energie
Rotation
Mathematische Modellierung
Massenpunkt
Bewegung
Energiebereich
Konfigurationsraum
Ebene
Periodische Bewegung
Massenpunkt
Abstand
Frequenz
Mathematische Größe
Poincaré, Henri
Folge <Mathematik>
Punkt
Momentenproblem
Anfangsbedingung
Drehimpuls
Resonanz
Punkt
Winkel
Poincaré-Abbildung
Drehimpuls
Wiederkehrender Zustand
Konfigurationsraum
Auswahlaxiom
Linie
Kondensation
Punkt
Dynamik
Anfangsbedingung
Fläche
Reihe
Poincaré-Abbildung
Konfigurationsraum
Linie
Prognostik
Anfangsbedingung
Energie
Bewegungsgleichung
Poincaré-Abbildung
Trajektorie <Mathematik>
Chaotisches System
Resonanz
Niedrige Energie
Energie
Poincaré-Abbildung
Eigenschwingung
Linie
Resonanz
Energie
Resonanz
Punkt
Energie
Rotation
Energie
Poincaré-Abbildung
Hohe Energie
Linie
Resonanz
Rotation
Schnitt <Mathematik>
Erhaltungssatz
Goldener Schnitt
Punkt
Betrag <Mathematik>
Anfangsbedingung
Energie
Linie
Formation <Mathematik>
Poincaré-Abbildung
Mathematiker
Drehimpuls
Hohe Energie
Computeranimation
Addition
Resonanz
Energie
Goldener Schnitt
Irrationale Zahl
Zahl
Computeranimation
Energie
Rand
Orbit <Mathematik>
Auswahlaxiom
Computeranimation
Dynamik
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Das ebene Doppelpendel
Alternativer Titel The Planar Double Pendulum
Autor Richter, Peter H.
Scholz, Hans-Joachim
Lizenz CC-Namensnennung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk in unveränderter Form zu jedem legalen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
GEMA Dieser Film enthält Musik, für die die Verwertungsgesellschaft GEMA die Rechte wahr nimmt.
DOI 10.3203/IWF/C-1574
IWF-Signatur C 1574
Herausgeber IWF (Göttingen)
Erscheinungsjahr 1985
Sprache Deutsch
Produzent IWF
Produktionsjahr 1984

Technische Metadaten

IWF-Filmdaten Film, 16 mm, LT, 306 m ; F, 28 1/2 min

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Physikalisches (Realaufnahmen) und mathematisches (Computer-Simulationen) Doppelpendel; ausführliche Diskussion der Bewegungsformen (periodisch, quasi-periodisch, chaotisch) in Abhängigkeit von zahlreichen Ausgangssituationen bei verschiedenen Energieniveaus. Aufbau und Interpretation zugehöriger Poincaré-Schnitte. Darstellung des Zerfalls der "letzten KAM-Linie".
Schlagwörter Energieniveau
Windungszahl
Schnitt, goldener
Computersimulation
KAM-Linie
Poincaré-Schnitt
Schwingung
Periodizität
Chaos
Doppelpendel

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