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Kowalewskaja Kreisel

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Die Kreiselbewegung ist eines der großen Themen der klassischen Mechanik. Es geht darum, die Bewegung eines starren Körpers zu verstehen, der in einem Punkt fixiert ist, hier im Mittelpunkt der cardanischen Aufhängung. Euler und Lagrange konnten die Kreiselgleichungen für zwei seither berühmte Spezialfälle lösen: für den kräftefreien Kreisel, bei dem der feste Punkt mit dem Schwerpunkt übereinstimmt, und für den symmetrischen schweren Kreisel, bei dem zwei Trägheitsmomente gleich sind und der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse liegt. Im Allgemeinen ist die Kreiselbewegung nicht-integrabel, chaotisch. Doch fand Sonja Kowalewskaja noch einen dritten und letzten Fall, der sich vollständig integrieren läßt.
Die russische Mathematikerin Sonja Kowalewskaja, erhielt 1888 den Prix Bordin der Pariser Akademie. In ihrer Preisschrift präsentierte sie die vollständige Lösung für das Problem des Kreisels mit zwei gleichen Trägheitsmomenten und einem dritten halb so großen, wobei der Schwerpunkt nicht auf der Symmetrieachse, sondern in der Ebene der gleichen Trägheitsmomente liegt.
Dieser Kreiselkörper, ist nach Kowalewskajas Vorschrift gebaut. Allerdings ist zur physikalischen Realisierung eines festen Punktes noch ein Rahmen hinzugefügt. Der Rahmen macht dieses System chaotisch. Unser Ziel ist die Untersuchung und Klassifikation der möglichen Bewegungstypen des integrablen Kowalewskaja-Kreisels, also der mathematischen Idealisierung dieses realen Modells ohne Rahmen und ohne Reibung. Dieses Computermodell bewegt sich entsprechend den Lösungen der Bewegungsgleichungen des Kowalewskaja-Kreisels. Bei niedriger Energie dominiert die Schwerkraft. Den drei Freiheitsgraden entsprechen drei reine Formen der Bewegung. Rotation in stabiler Hängelage um die Hauptachse auf der der Schwerpunkt liegt. Pendelbewegungen um die zweite Hauptachse. Das Trägheitsmoment ist genauso groß wie um die erste Achse. Pendelbewegungen um die dritte Hauptachse. Das Trägheitsmoment ist halb so groß. Die Pendelbewegungen lassen sich überlagern. Der typische Fall ist eine Mischung aller drei Bewegungen. Bei hoher Energie spielt die Schwerkraft kaum noch eine Rolle. Die Rotation um die Achse mit kleinem Trägheitsmoment ist stabil. Die Stellung der Drehachse im Raum ist beliebig. Bei Rotation um die erste Hauptachse bewirkt die verbleibende Schwerkraft eine Präzessionsbewegung. Liegt der Schwerpunkt zu hoch, ist die Rotation um diese Achse instabil. Für die mathematische Analyse ist die Wahl geeigneter Koordinaten erforderlich. Der Konfigurationsraum ist SO3. Es liegt nahe, die Lage der drei Hauptträgheitsachsen des Kreisels in einem raumfesten Koordinatensystem anzugeben. Die Bewegungsgleichungen sind invariant bezüglich Rotation um die Richtung der Schwerkraft. Die vertikale Komponente des Drehimpulses ist eine Erhaltungsgröße. Die Drehung wird absepariert, der Konfigurationsraum reduziert. Aus der Sicht des mit dem Kreisel mitbewegten Koordinatensystems definiert die Richtung der Vertikalen eine reduzierte Lage. Sie bewegt sich auf einer Kugeloberfläche. Dem reduzierten Konfigurationsraum S2.
Zur vollständigen Beschreibung im reduzierten Phasenraum ist zusätzlich die Angabe der Drehimpulse notwendig. Relative Gleichgewichtslösungen sind periodische Bewegungen, die im reduzierten Phasenraum als Punkte erscheinen. Sie existieren nur für bestimmte Kombinationen der Parameter Energie h und vertikaler Drehimpulskomponente l. Bei den einfachsten Gleichgewichtslösungen, steckt sämtliche Energie in der Rotation um die Vertikale. Wir sprechen vom hängenden, schlafenden Kreisel. Diese Bewegung ist stabil. Reicht die Energie aus, den Schwerpunkt in die aufrechte Lage zu bringen, kann der Kreisel ebenfalls schlafen. Diese Bewegungen liegen auf einer Linie, die um die maximale potentielle Energie verschoben ist. Allerdings gibt es davon zwei unterschiedliche Typen, die durch eine dritte Linie von relativen Gleichgewichtslösungen getrennt werden. In beiden Fällen ist die Bewegung instabil. Im unteren Teil ist das Gleichgewicht doppelt hyperbolisch. Der Kreisel bricht auf unterschiedlichen Richtungen aus seinem Gleichgewicht aus. Im oberen Teil ist das Gleichgewicht elliptisch hyperbolisch. Der Kreisel verläßt es auf regelmäßigen Spiralbahnen. Charakteristisch für den Kowalewskaja-Kreisel, sind die Gleichgewichtslösungen auf der dritten Linie - die Karussellbewegungen. Auf dem langen Ast sind sie stabil. Keine der Hauptträgheitsachsen stimmt mit der Richtung der Schwerkraft überein. Die instabile Karussellbewegung existiert nur in der Nähe der Spitze. Der Schwerpunkt liegt höher als bei der stabilen Karussellbewegung. Die relativen Gleichgewichtslösungen markieren Bifurkationen der Energiefläche des reduzierten Systems. In den vier Gebieten des Bifurkationsdiagramms ist die Energiefläche jeweils eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, deren Topologie vom zugänglichen Teil der Konfigurationsraumkugel abhängt. Dort füllt eine Bahn eine zweidimensionale Fläche aus. Alle derartigen Flächen, bei gegebenen Werten von Energie und Drehimpuls, werden begrenzt durch eine Niveaulinie des effektiven Potentials. Der hängende schlafende Kreisel entspricht dem Minimum des Potentials im Südpol der Kugel. Der Nordpol entspricht dem aufrechten schlafenden Kreisel. Die kritischen Punkte des effektiven Potentials entsprechen den relativen Gleichgewichtslösungen. Sie liegen alle in einer Ebene, die wir später als Poincaré-Schnittebene verwenden werden. Bei kleiner Energie begrenzen die Niveaulinien immer eine Scheibe. Bei hoher Energie ist die gesamte Kugeloberfläche zugänglich. Für kleine Drehimpulse sind dies die einzigen beiden Möglichkeiten. Für die Scheiben sind die Energieflächen S3. Für die Kugel RP3. Bei großen Drehimpulsen gibt es eine neue Energiefläche: S1 kreuz S2. Für Energien zwischen Sattelpunkt und Maxima hat der zugängliche Bereich zwei Löcher. Diese Maxima entsprechen stabilen Karussellbewegungen. Bei mittleren Drehimpulsen gibt es als vierten Typ von Energieflächen noch K3. Dort hat der zugängliche Bereich drei Löcher. Die Sattelpunkte entsprechen den instabilen Karussellbewegungen. Das Bifurkationsdiagramm ordnet jeder Parameterkombination eine Energiefläche zu. Die Energieflächen sind durch Tori geblättert, da der Kowalewskaja-Kreisel ein integrables System ist. Wir wählen eine bestimmte Parameterkombination. Eine typische Trajektorie im Phasenraum, füllt einen Torus dicht aus. In der Projektion auf den Raum der Drehimpulse lassen sich Selbstüberschneidungen nicht vermeiden. Das Innere des Torus ist dunkel, das Äußere hell. Die Tori lassen sich durch eine dritte Erhaltungsgröße, die Kowalewskaja-Konstante, charakterisieren. Dem maximalen Wert der Kowalewskaja-Konstanten entspricht eine einfache Bewegung. Im reduzierten Phasenraum ist die Trajektorie periodisch. In der Projektion auf den Raum der Drehimpulse ist sie nur eine Linie. Verringern wir die Kowalewskaja-Konstante so erhalten wir die generischen Tori des Systems. Bei einem kritischen Wert der Konstanten entarten die Tori zu einer Separatrix. In deren Zentrum liegt eine instabile periodische Bahn. Der Kreisel verläßt sie entlang der Separatrix. Auf der anderen Seite der Separatrix existieren zwei zueinander symmetrische Tori. Es hat eine Bifurkation stattgefunden. Die Tori verändern sich danach wieder kontinuierlich. Beim minimalen Wert der Konstanten entarten sie zu stabilen periodischen Orbits. Die zugehörige Bewegung im vollen Phasenraum ist quasiperiodisch. Die Animation gibt einen Überblick über die Blätterung der Energiefläche durch Tori. Solange sie stetig auseinander hervorgehen, tragen
sie die gleiche Farbe. Solche Familien von Tori lassen sich als Kanten eines Graphen darstellen. Die Höhe eines Punktes im Graphen gibt den Wert der Kowalewskaja-Konstanten an. Endpunkte entsprechen stabilen, Verzweigungspunkte instabilen isolierten periodischen Orbits. Die Graphen verändern sich nicht nur bei Bifurkationen der Energiefläche, sondern auch bei Bifurkationen der periodischen Orbits. Dies gibt Anlaß zu weiteren Linien im Bifurkationsdiagramm. Bereiche gleichartiger Blätterung der Energiefläche werden durch Buchstaben markiert. Beim Übergang von Bereich B nach A verschwinden die grünen Familien in einer Pitch-Fork-Bifurkation ihrer stabilen periodischen Orbits. In A wird die Energiefläche durch nur eine Familie von Tori geblättert. Hier gibt es zwei stabile Orbits als Endpunkte einer Familie von Tori. Der Bereich C hat wie A und B die Energiefläche S3. Aus einer Tangenten-Bifurkation ist eine neue Familie von Tori entstanden: die blauen Tori. Der orange Bereich ist von
instabilen Orbits begrenzt. Die bekannten grünen Tori enden in einem
Minimum. Im oberen Verzweigungspunkt treffen drei Kanten zusammen. Die roten und blauen Tori verschmelzen zu der Separatrix. In deren Zentrum sitzt ein hyperbolischer periodischer Orbit. Auf der anderen Seite der Separatrix liegen die orangefarbenen Tori. Der untere Verzweigungspunkt ist vom selben Typ, er wird nur umgekehrt durchlaufen. Die orange Familie, endet in der Separatrix. In deren Zentrum liegt wieder ein hyperbolischer Orbit. Die zwei grünen Tori auf der anderen Seite sind durch eine Symmetrie auf einander bezogen. Beim Übergang von C nach D findet eine Bifurkation der Energiefläche statt. Rot und Blau treffen hier auf andere Weise zusammen. Zwei symmetrische
gelbe Tori entwickeln sich. An einer weiteren Separatrix gehen sie
in die bekannten grünen Tori über. Im oberen Verzweigungspunkt treffen vier Kanten zusammen. Rot und Blau treffen sich hier in zwei hyperbolischen Orbits die durch eine Separatrix verbunden sind. Auf der anderen Seiten liegen zwei zueinander symmetrische Tori. Im unteren Teil sehen wir zweimal den dritten Verzweigungstyp. Zwei Kanten treffen aufeinander. Die zwei gelben Familien gehen in zwei Separatrizen über, die je einen invers hyperbolischen Orbit enthalten. Auf der anderen Seite der Separatrizen gibt es jeweils auch nur einen Torus. Beim Übergang nach E verschwindet die blaue Familie in einer Pitch-Fork-Bifurkation. Die Roten Tori gehen also direkt in die Gelben über, deren Übergang zu den Grünen ist derselbe wie in D.
Bei der oberen Verzweigung treffen sich wieder drei Kanten, die untere hat sich gegenüber D nicht verändert. Im Bereich F ist die Energiefläche S1 kreuz S2. Der stabile rote Torus spaltet an der Separatrix in zwei symmetrische gelbe Tori auf. Beide enden in stabilen
periodischen Bewegungen. Graph F besteht lediglich aus drei Familien von Tori. Betrachten wir die reale Bewegung, die zum oberen Endpunkt des Graphen gehört. Die Periodizität des Orbits im reduzierten System bedeutet, daß Eigenrotation und Nutation synchron verlaufen. Die Präzession macht die Gesamtbewegung quasiperiodisch. Der Verzweigungspunkt entspricht einer ähnlichen Bewegung in fast aufrechter Stellung die allerdings instabil ist. Den beiden unteren Endpunkten entsprechen zwei stabile periodische Bewegungen. Sie unterscheiden sich nur durch eine Vertauschung der beiden symmetrischen Gewichte. Es gibt einen Punkt im Parameterraum an dem die Bereiche unterschiedlicher Energieflächen zusammenstoßen. Seine Umgebung ist besonders kompliziert. Im Bereich H entstehen aus dem roten Torus an der Verzweigung zwei gelbe. Diese sind am Ende aber nicht stabil,
sondern spalten erneut in zwei Tori auf.
Die lila Familien sind grundsätzlich mit der Karussellbewegung verknüpft. Im Bereich I ist die Topologie der Energiefläche am kompliziertesten. Der zugängliche Bereich im Konfigurationsraum ist eine Sphäre mit drei Löchern. Die Bifurkationen sind
in ihrer Abfolge wie in H.
Der Graph von I ist daher abgesehen von der Farbgebung wie der von H. Poincarés Idee die Energieflächen zu schneiden, erlaubt es die Blätterung in einem Bild zu erfassen. Wir zeigen dies für die S3, die im folgenden als Ball im R3 dargestellt wird. Für A ist ihre Blätterung besonders einfach. Denn die S3 in A wird von einer einzigen Familie von Tori vollständig ausgefüllt. Ein Torus in der Nähe eines stabilen Orbits ist ein dünner Schlauch. Ein zweiter Torus aus der Nähe des anderen periodischen Orbits ist mit dem ersten verschlungen. Die Farben dienen hier zur deutlichen Unterscheidung der Tori. Tori in weiterer Entfernung von den stabilen Orbits schließen die kleineren Tori vollständig ein. Je weiter ein Torus in der Mitte der Familie liegt, desto größer ist er. Die Menge aller Tori füllt so den Ball, der die S3 im R3 repräsentiert dicht aus. Diese Darstellung ist im Gegensatz zur Projektion auf den Raum der Drehimpulse frei von Selbstüberschneidungen. Alle Tori werden von einer zweidimensionalen Sphäre im Inneren des Balls geschnitten. Diese Schnittfläche entspricht der früher gezeigten Ebene durch die kritischen Punkte des effektiven Potentials. Der eigentliche Poincaré-Schnitt ist die Beschränkung des Bildes auf die Oberfläche. Der Blick in das Innere der Schnittfläche zeigt die Blätterung einer Hälfte der Energiefläche. Kompliziertere Blätterungen der S3 finden sich in den Bereichen B, C und J. Für B sind die Tori der drei Familien miteinander verschlungen. In einigem Abstand vom stabilen periodischen Orbit - ein Torus mit großer Kowalewskaja-Konstante. Der grüne Torus ist relativ nah an der Separatrix zwischen rot und grün. Der symmetrische Partner ist mit beiden verschlungen. Dazwischen liegt der instabile periodische Orbit. Ein Torus der roten Familie, der näher an der Separatrix liegt, schließt die beiden grünen Tori ein. Um zu sehen wie der Übergang an der Separatrix stattfindet, ist der einhüllende Torus durchsichtig gezeigt. Wir schneiden die Hälfte des Bildes mit einem Poincaré-Schnitt weg, und betrachten die Blätterung des Innenraumes. Im Bereich C gibt es vier stabile periodische Orbits und zwei instabile. Entsprechend den Farben des Graphen, wählen wir Tori in der Nähe der stabilen Orbits. Wir schneiden die Tori und betrachten die Blätterung. Die wesentliche Information ist bereits auf der Oberfläche zu sehen. Der Poincaré-Schnitt wird nun in Projektion auf die Ebene und mit kontinuierlicher Farbgebung gezeigt. Die Farben entsprechen den Familien der Tori. Die Helligkeit wächst mit K. Die stabilen periodischen Orbits sind die hellen und dunklen Zentren. Die Separatrizen sind deutlich als Farbsprünge zu erkennen. Schnittpunkte von Separatrizen sind instabile periodische Orbits. Für konstanten Wert der Energie zeigen wir nun alle Poincaré-Schnitte in Folge. Bei niedriger Energie gibt es nur einen Typ der Blätterung. Mit zunehmenden Drehimpuls schrumpft die Schnittfläche auf den Punkt eines stabilen schlafenden Kreisels. Für einen größeren Wert der Energie durchlaufen wir zwei Gebiete unterschiedlicher Energieflächen, RP3 und S3 und vier Gebiete mit verschiedener Blätterung. In D ist die Schnittfläche ein Torus, Bifurkation der Energiefläche. In C eine Kugel. Blau verschwindet in einer Tangenten Bifurkation.
Bereich B: Grün verschwindet in einer Pitch-Fork-Bifurkation. A: Bei hohen Energien durchlaufen wir drei Gebiete unterschiedlicher Energieflächen und sechs Gebiete mit verschiedener Blätterung. Bereich D: Bei Drehimpuls null ist der Schnitt noch symmetrisch. Blau verschwindet in einer Pitch-Fork-Bifurkation. Bereich E: Periodenverdopplungs- Bifurkation, lila entsteht, Bereich H: Bifurkation der Energiefläche Die Schnittfläche zerfällt in zwei Kugeln. Bereich G: grün und lila verschwinden in einer Pitchfork Bifurkation Bereich F: Bifurkation der Energiefläche. Bereich A: Die Schnittfläche ist nur noch eine Kugel. Im mittleren Teil des Parameterraumes ändert sich die Energiefläche bei jedem Übergang. Bereich H: Die relativen Gleichgewichtslösungen liegen in den Abschnürungen der Schnittfläche; am Rand der aufrecht schlafende Kreisel. Bereich J: Bei der Abschnürung in lila die stabilen Karussellbewegungen Bereich I: beim Verschwinden der Kügelchen die instabilen Karussellbewegungen. Bereich B. Wir verfolgen nun die Stufen der Abstraktion zurück zum Kreisel. Der Poincaré-Schnitte in angeschnittener Torus derselbe Torus voll. Seine Projektion in den Raum der Drehimpulse; eine erzeugende Trajektorie; dieselbe Trajektorie im Konfigurationsraum; der Kowalewskaja-Kreisel in der Anfangsstellung der Trajektorie.
Trägheitsmoment
Punkt
Lagrange-Multiplikator
Starrer Körper
Einfach zusammenhängender Raum
Ebene
Trägheitsmoment
Punkt
Rotation
Mischung <Mathematik>
Markov-Feld
Bewegungsgleichung
Hohe Energie
Drehung
Computeranimation
Richtung
Freiheitsgrad
Lösung <Mathematik>
Erhaltungssatz
Vertikale
Energie
Homogenes Polynom
Mathematikerin
Pendelschwingung
Konfigurationsraum
Koordinaten
Vektorpotenzial
Punkt
Extrempunkt
Blätterung
Familie <Mathematik>
Scheibe
Verzweigung <Mathematik>
Kante
Trajektorie <Mathematik>
Computeranimation
Richtung
Linie
Topologie
Potenzielle Energie
Phasenraum
Kugel
Energie
Torus
Gleichgewichtspunkt <Spieltheorie>
Minimum
Parametersystem
Integrables System
Rotation
Orbit <Mathematik>
Fläche
Hohe Energie
Periodischer Orbit
Frequenz
Konstante
Kritischer Punkt
Niveaulinie
Vertikale
Höhe
Verzweigungspunkt
Verzweigung <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Symmetrie
Minimum
Verzweigungspunkt
Orbit <Mathematik>
Verzweigung <Mathematik>
Periodischer Orbit
Kante
Computeranimation
Torus
Verzweigungspunkt
Familie <Mathematik>
Orbit <Mathematik>
Kante
Computeranimation
Torus
Verzweigungspunkt
Computeranimation
Gewicht <Mathematik>
Punkt
Nutation <Physik>
Graph
Periodische Bewegung
Torus
Orbit <Mathematik>
Verzweigungspunkt
Familie <Mathematik>
Parameterraum
Computeranimation
Sphäre
Familie <Mathematik>
Verzweigung <Mathematik>
Diagramm
Konfigurationsraum
Computeranimation
Topologie
Ebene
Vektorpotenzial
Punkt
Graph
Sphäre
Blätterung
Familie <Mathematik>
Orbit <Mathematik>
Verzweigung <Mathematik>
Drehimpuls
Hohe Energie
Periodischer Orbit
Trajektorie <Mathematik>
Kritischer Punkt
Kugel
Energie
Menge
Schnittpunkt
Torus
Poincaré-Abbildung
Abstand
Schnitt <Mathematik>
Konfigurationsraum
Gebiet <Mathematik>
Parameterraum
Computeranimation
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Kowalewskaja Kreisel
Alternativer Titel Kovalevskaya Top
Autor Wittek, Andreas
Dullin, Holger
Richter, Peter H.
Mitwirkende Kerstin Tschinkowitz (MAZ-Schnitt)
Janek Czechowski (Graphik und Animation)
Markus Hüsgen (Kamera)
Eleonore Köpp (Redaktion)
Lizenz CC-Namensnennung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk in unveränderter Form zu jedem legalen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.3203/IWF/C-1961
IWF-Signatur C 1961
Herausgeber IWF (Göttingen)
Erscheinungsjahr 1997
Sprache Deutsch
Produzent Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF)
Produktionsjahr 1996

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Die Dynamik des Kowalewskaja Kreisels, des dritten integrablen Spezialfalls der klassischen Mechanik starrer Körper, wird auf mehreren Abstraktionsebenen dargestellt. Am Anfang steht die reale Bewegung eines physikalischen Modells und eine analoge Computersimulation der Bewegungsgleichungen von Kowalewskaja. Die erste Abstraktion betrifft die Abtrennung einer zyklischen Winkelvariable, d. h. den Übergang zu einer reduzierten Beschreibung in einem sechsdimensionalen (Gamma, Jota)-Phasenraum mit zwei Casimir-Konstanten. Im nächsten Schritt werden mit Hilfe der relativen Gleichgewichte die Bifurkationen in der Topologie der dreidimensionalen Energieflächen identifiziert. Auf der dritten Stufe wird die Blätterung dieser Energieflächen durch invariante Tori betrachtet, und es werden die kritischen Tori analysiert, bei denen sich die Art dieser Blätterung ändert. Die Tori werden in unterschiedlichen 3D-Projektionen gezeigt, wie auch in homöomorphen Bildern der Energieflächen. Im letzten Schritt wird dann die Technik der Poincaré-Schnitte benutzt, um alle möglichen Bewegungen zu derselben Energie in einer Animation zu zeigen.
Schlagwörter Kreisdynamik
Kowalewskaja Kreisel

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