Wir betrachten einen Balken, der von beiden Seiten so zusammengedrückt wird, dass er im Ruhezustand aus der Mittellage ausgelenkt ist.

Außer dieser hier gezeigten unteren Ruhelage kann der Balken auch die obere Ruhelage einnehmen.

Beide Ruhelagen sind durch seitliche Striche gekennzeichnet. Wir wollen Schwingungen dieses Balken studieren. Die Anregung der Schwingung steckt in diesem kleinen Kasten in Balkenmitte. Er sei als Symbol für eine harmonische Anregung verstanden. Am einfachsten stellen wir uns darunter etwa einen Motor vor mit einer Unwucht, deren Lage durch den Zeiger angegeben ist.

Die Auslinkungen werden durch die sogenannte Duffing-Differentialgleichung beschrieben. Darin wurden die hier angegebenen Konstanten gewählt.

Hier dreht sich der Antrieb mit der Frequenz F gleich 3 Hertz. Nach 2 Pi durch F Sekunden, hier nach ungefähr 2 Sekunden, hat der Zeiger eine volle Umdrehung ausgeführt.

Wir sehen die Antwort des Balkens. Er führt eine kleine Schwingung um seine Ruhelage aus. Wir werden diese Schwingung später noch einmal betrachten.

Je nach Frequenz und Anfangszustand können die verschiedensten Schwingungstypen auftreten.

Die folgenden 6 Szenen zeigen 6 verschiedene Schwingungen, die alle durch dieselbe Duffing-Differentialgleichung bestimmt sind.

Ehe wir die erste Schwingung mit der Frequenz F gleich 1 Hertz betrachten, werfen wir einen Blick auf das zugehörige Phasendiagramm. Die waagerechte X-Achse beschreibt die Vertikalauslenkung des Balkens. Auf der senkrechten Achse ist die Geschwindigkeit X Punkt aufgetragen.

Die beiden Ruhelagen sind durch Kreuze gekennzeichnet. Das rechte Kreuz entspricht der oberen Ruhelage des Balkens, das linke Kreuz der unteren Ruhelage. Bei der Betrachtung der Phasenkurve fällt die Punktsymmetrie zum Nullpunkt auf.

Die Phasenkurve ist geschlossen. Es handelt sich demnach um eine periodische Schwingung. Die hier ausgewählte Schwingung schwingt über beide Ruhelagen hinweg. In diesem Bild ist der Ausschlag des Balkens über der Zeit aufgetragen.

Die Lage oder Phase der Schwingung entspricht ungefähr der einer Cosino-Schwingung. Das heißt, Antrieb und Balken bewegen sich weitgehend synchron. Der Zeiger wird oben sein, wenn auch der Balken oben ist und umgekehrt. Deshalb sind die Maxima und die Minima der Ausschläge besonders ausgeprägt.

Die eigentliche Schwingung ist nahezu harmonisch. Das heißt, die Schwingungsdauer stimmt mit der Umlaufzeit der Anregung überein.

Hier das Phasendiagramm der zweiten Szene. Trotz gleicher Frequenz wie in der vorigen Szene ist die Schwingung eine völlig andere.

Die Bewegung ist unsymmetrisch zum Nullpunkt. Bei dieser Phasenlage sind die Auslenkungen von Antrieb und Balken einander entgegengesetzt. Dies bewirkt eine geringere Amplitude.

In der dritten Szene ist die Frequenz mit F gleich 3 Hertz größer gewählt. Dem Balken bleibt bei dieser Frequenz keine Zeit für eine große Schwingung über beide Ruhelagen. Wie das Phasendiagramm zeigt, schwingt der Balken stattdessen mit sehr kleiner Amplitude nur um eine der beiden Ruhelagen.

Eben haben wir die Frequenz der Anregung mit F gleich 3 Hertz konstant gehalten. Jetzt in der vierten Szene ist die Frequenz variabel. Sie wird kontinuierlich abgesenkt. Dabei wächst die Amplitude zunächst nur langsam an.

Erst wenn der Nullpunkt erreicht ist, wird der Balken plötzlich große Schwingungen über beide Ruhelagen hinweg ausführen.

Im Folgenden werden die Szenen 3 und 4 unmittelbar hintereinander ausgeführt. Ausgehend von der Frequenz F gleich 3 Hertz wird die Anregung kontinuierlich verlangsamt.

In der fünften Szene erkennen wir eine subharmonische Schwingung und zwar die zweite subharmonische. Die Frequenz der Anregung wird mit F gleich 0,4 Hertz wieder konstant gehalten.

Bei einer subharmonischen Schwingung sind zwei Perioden zu unterscheiden. Die Periode der Anregung ist wie immer 2 Pi dividiert durch die Frequenz, hier ungefähr 15 Sekunden.

Die Antwort des Balkens hat bei der zweiten subharmonischen die doppelte Schwingungsdauer, hier etwa 30 Sekunden.

Die letzte Szene zeigt eine ganz andere Art von Schwingung. Obwohl die Frequenz der Anregung wiederum konstant gehalten wird, ist die Schwingung nicht periodisch. Die Trajektorie ist also keine geschlossene Kurve wie zuvor.

Stattdessen werden bestimmte Bereiche der Phasenebene scheinbar regellos überdeckt. Hier abschließend eine solche aperiodische Schwingung.

Sie wird auch chaotisch genannt.

Analyse chaotischer Schwingungen. Teil 1 Zustandsraum. Deterministische nicht-lineare dynamische Systeme zeigen viele verschiedene Verhaltensweisen,

die von periodischen Schwingungen bis zu irregulären chaotischen Bewegungen reichen. Bei deterministischen Systemen garantieren dieselben Anfangsbedingungen, dass die Bewegungen für alle Zeiten identisch bleiben.

Analytische Lösungen gibt es dafür nur in speziellen, wohl definierten Situationen. Das heißt, die Gleichungen sind integrierbar. Periodisches Verhalten dynamischer Systeme und dafür geeignete Analysemethoden sind uns vertraut. In nicht-linearen dynamischen Systemen können jedoch auch chaotische Bewegungen auftreten

und werden tatsächlich oft in periodisch erregten Schwingern beobachtet. Diese Vielfalt von Erscheinungen macht die Untersuchung nicht-lineare Systeme so reizvoll, aber auch schwierig. Gewöhnlich versagen klassische Verfahren zur Charakterisierung scheinbar irregulären Verhaltens.

Um moderne Verfahren zur Analyse und Charakterisierung nicht-linearer dynamischer Systeme zu erläutern, benutzen wir als mathematisches Modell eine Gleichung vom Typ, wie sie erstmals von dem deutschen Ingenieur Duffing angegeben wurde.

Diese Gleichung beschreibt einen nicht-autonomen, periodisch erregten Oszillator mit einem Freiheitsgrad. Im Maschinenbau könnte solch eine Gleichung zum Beispiel die Bewegung einer sinusförmig angeregten Struktur modellieren,

die große, elastische Auslenkungen zeigt. Die Auslenkung wird durch die X-Koordinate beschrieben. Die Anregungsfrequenz ist Omega und die Parameter M, D, C und A geben Masse, Dämpfungskoeffizient,

Federkonstante und Erregeramplitude an. Alle Parameter sind normiert und daher dimensionslos. Als einfache technische Realisierung des mathematischen Modells betrachten wir ein mechanisches Modell.

Es besteht aus einer Masse M, die mit dem Fundament durch eine Kombination einer nicht-linearen Feder C und einem Dämpfer D verbunden ist. Die periodische Anregung mit der Frequenz Omega wird durch einen Rotor mit Unwucht symbolisiert.

Für die vorgestellten Simulationen werden die folgenden Parameter konstant gehalten. Die Masse M setzen wir gleich 1, die Federkonstante C gleich 1, den Dämpfungskoeffizient D gleich 0,1 und die Erregerfrequenz Omega gleich 2 Pi. Als einzigen Parameter verändern wir die Erregeramplitude A.

Den sogenannten Regelparameter A halten wir während der Beobachtung konstant. Diese Art der Variation eines Parameters nennt man quasi statisch und interessiert hauptsächlich das Langzeitverhalten des Systems.

Dieser auch als stationär bezeichnete Antwort des Systems auf verschiedene Werte der anregenden Amplitude wird als nächstes durch digitale Simulationen demonstriert. Eine Schwingung der Periode 1 erhält man für den Parameter A gleich 4.

Die Bewegung ist bereits stationär. Sie wiederholt sich nach jeweils einer Sekunde.

Eine Schwingung der Periode 3 erhält man für A gleich 9. Das heißt, der Vorgang wiederholt sich alle drei Sekunden.

Wieder betrachten wir nur das stationäre Verhalten nach Abklingen des Einschwingvorgangs.

Chaotische Bewegungen beobachten wir für A gleich 12. Die Schwingungen sind nicht mehr periodisch, sondern unregelmäßig. Sie werden deshalb auch chaotisch genannt. Obgleich gewisse Wellenformen in unregelmäßigen Abständen wiederkehren, ist doch keine exakte Wiederholung erkennbar.

Die Bewegung ist also tatsächlich nicht periodisch. Bis hier sahen wir, wie sich die Anregungsamplitude auf die beim Oszillator auftretenden Phänomene auswirkt. Die verwendete Gleichung beschreibt ein überaus komplexes Verhalten, das selbst heute noch nicht vollständig verstanden wird.

Es gibt erzwungene Schwingungen mit unterschiedlicher Periodizität. Selbst die Bereiche chaotischer Bewegungen sind keinesfalls selten.

Die Parameterabhängigkeit kann geometrisch durch Stabilitätsdiagramme veranschaulicht werden. Hier betrachten wir nur die Abhängigkeit des Dämpfungsparameters D von der Erregeramplitude A. Die bisher benutzten Kombinationen von A und D sind durch Punkte markiert.

Offensichtlich gibt es einen Übergang von einem Verhalten zum anderen. Einen derartigen Übergang von einem qualitativen Verhalten zu einem anderen nennt man Bifurcation oder Verzweigung.

Sorgfältige Analog- und Digitalrechnersimulationen durch den Japaner Ueda ergaben Kurven, an denen diese Übergänge stattfinden. Blau bedeutet periodische, rot chaotische Bewegungen. Trotz des einfachen mathematischen Modells verhält sich das System also keineswegs einfach.

Außer der Demonstration der Bewegung selbst kann auch hörbar gemacht werden, was im System vorgeht, wenn man unter Verwendung eines schnellen Analog-Simulators eine erhöhte Anregungsfrequenz von 400 Hertz erzeugt und die Simulation für die drei Parameterwerte wiederholt.

Die folgenden Töne entsprechen den qualitativ verschiedenen Arten des Verhaltens. Dieser klare Ton entspricht der einperiodischen Schwingung.

Ganz anders der Ton bei der Schwingung mit der dreifachen Schwingungsdauer. Dieses verrauschte Signal wird durch eine chaotische Schwingung produziert.

Es wird von vielen verschiedenen Frequenzen gleichzeitig erzeugt. Bisher haben wir die akustischen Versuche auf quasi statische Weise durchgeführt, indem wir alle Parameter während des Versuchs konstant hielten. Jetzt verändern wir den Parameter a zwischen a gleich 4 und a gleich 12 stetig

und hören eine Sequenz von Bifokrationen. Auf periodische Schwingungen folgen chaotische Bewegungen. Darauf folgen wieder periodische und chaotische Bewegungen.

Der zeitliche Verlauf einer Bewegung lässt nicht immer die wesentlichen Merkmale des Systemverhaltens erkennen. Zur qualitativen Untersuchung dynamischer Systeme benötigen wir ein besseres geometrisches Konzept,

nämlich den sogenannten Zustandsraum, der bereits von Poincare eingeführt wurde. Für eine einzige verallgemeinerte Koordinate x hat man einen zweidimensionalen Zustandsraum gegeben durch die Auslenkung x und die Geschwindigkeit x-Punkt.

Die Änderung des aktuellen Zustands des Systems wird im Zustandsraum durch eine Kurve repräsentiert, die sogenannte Trajektorie oder der Orbit. Jeder Punkt dieser Kurve trägt zumindest implizit einen Parameter, der die Zeit angibt.

Der Zustandsraum, angefüllt mit Trajektorien, wird als Phasenporträt bezeichnet. Einschwingvorgänge klingen ab, schließlich stellt sich ein stationärer Zustand ein. Wir benutzen wieder unsere Modellgleichung zur Erzeugung der Phasenkurven

für drei verschiedene Werte der Anregungsamplitude A. Diese geschlossene Kurve stellt die stationäre Lösung dafür A gleich 4. Eine Lösung mit der Periode 1, die sich folglich nach einer einzigen Anregungsperiode schließt. Für den Parameterwert A gleich 9 erhalten wir eine stabile, stationäre, dreiperiodische Lösung.

Das heißt, die Kurve schließt sich nach drei Anregungszyklen. Also ist die Bewegung periodisch von der Ordnung 3.

Der Parameter A gleich 12 führt zu einer stationären, chaotischen Schwingung. Das heißt, das beobachtete Verhalten ist kein Einschwingvorgang. Obgleich sich die Kurve nicht schließt, kann sie schließlich dem Ausgangspunkt beliebig nahe kommen. Dieses Verhalten bezeichnet man als rekurrent.

Ein bestimmter Zustand eines dynamischen Systems heißt dann rekurrent, wenn das System nach einer gewissen Zeit beliebig nahe zu diesem Zustand zurückkehrt. Die Bewegung ist stationär bezüglich ihres Langzeitverhaltens, weil sie innerhalb eines Bereiches verweilt und sollte daher nicht als Einschwingungsvorgang angesehen werden.

Ein autonomes System mit sich nicht schneidenden Trajektorien erhält man aus dem nicht-autonomen System unter Verwendung der Zeit als dritter Zustandskoordinate. So erhalten wir einen dreidimensionalen Zustandsraum

und für eine Periodendauer T gleich 2P durch Omega der Anregung bei Annahme einer Schwingung der Periode 2 ein solches dreidimensionales Phasendiagramm.

Nach zwei Anregungszyklen kehren wir wieder zu denselben Koordinaten X und X-Punkt zurück. Von einem Punkt A aus gelangen wir über den Punkt B zurück zu A. Der Abstand zwischen diesen Punkten entlang der T-Achse beträgt 4P durch Omega.

Beginnen wir bei Punkt B, so bedeutet dies eine Verschiebung der Trajektorie um den Betrag 2P durch Omega. Das komplette dreidimensionale Bild liefert einen besseren Einblick in das Verhalten als das zweidimensionale Porträt.

Alle bisher gezeigten Lösungen waren asymptotisch stabil, das heißt benachbarte blaue Trajektorien konvergieren gegen diese Lösungen und sind schließlich mit zunehmender Zeit nicht mehr von ihnen zu unterscheiden. Aus diesem Grunde heißen diese Lösungen Attraktoren.

Das gilt ganz allgemein auch für höhere Dimensionen. Dissepative dynamische Systeme zeigen anfangs einen Einschwingvorgang und konvergieren während der Bewegung gegen einen Attraktor. Im dreidimensionalen Zustandsraum winden sich die Trajektorien einer erzwungenen Schwingung

spiralförmig um die Zeitachse. In der Phasenbildprojektion rotiert dieser Punkt um den Ursprung. Blickt man in Gegenrichtung zur Zeitachse,

so erkennt man die zweidimensionale Projektion des dreidimensionalen Phasendiagramms wieder. Sie ist selbstverständlich identisch mit dem früheren zweidimensionalen Porträt. A und B sind die Schnittpunkte der Trajektorie mit der X-X-Punkt-Ebene

zu Zeitpunkten T im Abstand ganzzahliger Vielfacher der Anregungsperiode. Der Nachteil des bisher benutzten dreidimensionalen Zustandsraummodells ist, dass es keine geometrische Veranschaulichung der periodischen Anregung liefert. Dafür eignet sich besser ein Ringmodell, das wir folgender Maßen erhalten.

X und X-Punkt spannen eine Ebene R2 auf. Ein Anregungszyklus für durch einen Kreis S1 dargestellt. Durch Kombination beider entsteht ein zylinderischer Ring, ein Beispiel für ein karthesisches Produkt.

Jeder Punkt innerhalb des erzeugten dreidimensionalen Schemas entspricht einem Zustand des Systems. Deutlicher wird dies nach Entfernen eines Segments. Beim Vergleich mit unserer ursprünglichen dreidimensionalen Figur stellen wir fest,

der Phasenwinkel omega mal T der Anregungsschwingung ist an die Stelle der Zeitkoordinate getreten. Alle Lösungen des erregten Schwingers sind in diesen Ring eingebettet. Die periodischen Lösungen werden durch geschlossene Trajektorien dargestellt.

Hier die zwei periodische Lösung. Die blauen Trajektorien repräsentieren das Einschwingverhalten und winden sich um die periodische Lösung, der sie mit jedem Anregungszyklus immer näher kommen.

Die einperiodische Schwingung ist durch eine Trajektorie wiedergegeben, die sich nach einmaligem Umlauf im Ring schließt. Und die Lösung mit dreifacher Periodendauer durch eine Bahn, die sich nach drei Anregungszyklen schließt.

Eine nichtperiodische oder auch chaotische Trajektorie schließt sich nie. Bettet man eine solche Trajektorie in den Ring ein, so sieht sie nach einiger Zeit aus wie ein undurchdringlicher Strang.

Zum besseren Verständnis der sehr komplizierten Form ersetzen wir den Strang durch diesen Körper. Das Ringmodell erlaubt einen wesentlich besseren Einblick in das Verhalten eines angeregten, nicht-linearen Oszillators.

Doch auch damit lässt sich das dynamische Verhalten von chaotischen Bewegungen nur sehr schwer analysieren. Deshalb betrachten wir nicht den gesamten Ring, sondern nur einen Querschnitt, einen sogenannten Poincare-Schnitt.

Diese Fläche, die ursprünglich von Henri Poincare Ende des letzten Jahrhunderts eingeführt wurde, kann willkürlich gewählt werden, solange sie nur die Trajektorien transversal schneidet. Aber in unserem Falle eignet sich eine Ebene besonders gut, nämlich die beim Phasenwinkel Phi gleich Null Grad,

genannt Sigma, die mit der Fläche R2 unseres Ringmodells zusammenfällt. Durch die Fläche wird das kontinuierliche System diskretisiert.

Der Fluss des Systems, dargestellt durch Trajektorien, erzeugt in der Ebene Sigma einzelne Punkte. Diese diskrete Abbildung heißt daher Punkt-Abbildung oder Poincare-Abbildung und vermittelt eine wesentlich bessere Einsicht in das Systemverhalten.

Periodische Lösungen werden durch eine gleichbleibende Anzahl von Punkten repräsentiert, zum Beispiel der einperiodische Orbit durch einen einzelnen Punkt auf der Ebene, die Lösung mit dreifacher Periode durch drei verschiedene Punkte

und die chaotische Bewegung durch unendlich viele Punkte, die mit der Zeit eine geometrische Figur erzeugen, den sogenannten seltsamen Attraktor.

Obwohl der Attraktor durch eine einzige Trajektorie erzeugt wird, springen die Durchstoßpunkte scheinbar regellos oder willkürlich über die Ebene. Aus der in sich verknäulten kontinuierlichen Trajektorie

konnten wir keine präzisen Aussagen über die Dynamik der Bewegung erhalten, außer, dass sie sehr kompliziert ist. Im Gegensatz dazu zeigte ein Poincare-Schnitt sogar für eine chaotische Trajektorie gewisse Regelmäßigkeit. Offensichtlich erhalten wir verschiedene Bilder derselben Lösung,

wenn wir die Schnitte bei verschiedenen Phasenwinkeln betrachten. Bei der chaotischen Lösung machen wir einmal innerhalb des Ringes die Runde, und zwar durch kontinuierliche Änderung des Phasenwinkels phi.

Die Figur bei phi gleich 180 Grad ist punktsymmetrisch zu der Figur bei phi gleich 0 Grad. Diese Punktsymmetrie gilt für alle Phasenwinkel. Setzen wir unsere Fahrt fort, so erreichen wir schließlich wieder unsere Ausgangsposition.

Bei einer Stabilitätsanalyse untersucht man normalerweise die Auswirkungen von Störungen auf den Systemzustand. Bei stabilen Systemen erwartet man,

dass kleine Störungen des Systemzustands sich auch nur begrenzt auswirken. Für technische Systeme ist es wichtig zu wissen, ob es einen praktisch nutzbaren Einzugsbereich für die stationäre Lösung gibt oder nicht. Bei technischen Systemen hat man es aber nicht nur mit Störungen im Zustand des Systems zu tun, sondern auch mit Störungen der Systemparameter, die somit das System selbst verändern.

Zur numerischen Untersuchung der Stabilität eines nicht-linearen dynamischen Systems benutzen wir Lyapunov-Exponenten. Damit erhalten wir Stabilitätsdiagramme im Parameterraum. Eine Parameterveränderung beeinflusst das Verhalten oft entscheidend.

Lyapunov-Exponenten charakterisieren die durchschnittliche exponentielle Divergenz oder Konvergenz benachbarter Trajektorien bezüglich einer Referenztrajektorie. Um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu bestimmen,

mit der eine vorgegebene Abweichung verstärkt wird, führen wir einen Vektor a ein, der den anfänglichen Abstand zweier benachbarter Trajektorien misst. Im Laufe der Zeit ändert sich der Abstand, aber wie? Dazu betrachten wir die Norm von a von t, d.h. die Länge des Vektors a.

Die mittlere exponentielle Änderung des Abstandes der beiden ursprünglich dicht benachbarten Trajektorien wird definiert durch den Grenzwert des Quotienten 1 durch t mal ln a von t durch a.

Wir betrachten also die Längenzunahme einer infinitesimal kleinen Strecke a nach unendlich langer Zeit.

Sigma nennt man Lyapunov-Exponent. Der russische Mathematiker Ozeledić bewies die Existenz und die Endlichkeit von Sigma. Diese einfache Beschreibung der Divergenz einer Norm eines Vektors lässt sich für höhere Dimensionen verallgemeinern.

Die Anzahl der verschiedenen Exponenten entspricht der Dimension des Zustandsraumes. Bei einem kontinuierlichen dynamischen System ist das mittlere Verhalten entlang des Flusses konstant. Der Exponent Sigma entlang des Flusses ist also gleich Null.

Negative Exponenten weisen auf periodische Bahnkurven hin. Mindestens ein positiver Exponent tritt dagegen auf bei Divergenz anfangs dicht benachbarter Traktorien. Das heißt, es liegt ein chaotischer Orbit vor. Im Bereich periodischer Lösungen bedeutet das Verschwinden eines Exponenten

den Stabilitätsverlust eines Orbits und die gleichzeitige Geburt eines anderen stabilen Orbits. Ein Kennzeichen für eine Bifokation. Mithilfe der Lyapunov-Exponenten können wir Stabilitätsdiagramme erzeugen,

die zum Beispiel das Systemverhalten als Funktion des Dämpfungskoeffizienten D von der Anregungsamplitude A wiedergeben. Die folgende Bildserie wurde durch Start mit verschiedenen Anfangsbedingungen erzeugt. Wir hielten dabei die Anfangsgeschwindigkeit konstant gleich Null

und veränderten nur die Anfangsauslenkung x, beginnend mit x gleich minus zwei. Blaue Gebiete bedeuten negative, gelbe und rote positive Exponenten. In den grünen Übergangsbereichen liegen Exponenten vom Wert Null, das bedeutet Verzweigungen vor.

Für diese Bildfolge haben wir zur Auslenkung x jeweils das Increment delta x gleich 0,5 addiert. Die sich verändernde Struktur innerhalb der Stabilitätsdiagramme zeigt, dass in Abhängigkeit von den Startbedingungen unterschiedliche Langzeitverhalten für identische Systemparameter an.

Die Überlagerung aller Diagramme unserer Berechnungen mit Hilfe von Lyapunov-Exponenten liefert dieses Bild.

Die schraffierten Gebiete zeigen koexistierende stationäre Lösungen an. Das bedeutet, dass derselbe Oszillator mit festen Parametern unterschiedliches Langzeitverhalten zeigen kann. Wir sehen einen kleinen Ausschnitt des bereits gezeigten Diagramms von Ueda.

Sein vollständiges Diagramm zeigt für einen großen Bereich der Parameter a und d eine Vielfalt verschiedener Verhaltens. Auch Ueda beobachtete unterschiedliches Verhalten für gleiche Parameterwerte. Diese Gebiete sind senkrecht schraffiert.

Wir beschränken uns wieder auf das interessante Gebiet zwischen a gleich 5 bis 15 und d gleich 0 bis 0,2.

Uedas Beobachtungen werden durch das Diagramm bestätigt, dass wir mittels der Lyapunov-Exponenten erhalten haben. Koexistierende Endzustände in ein und demselben System für identische Parameterwerte sind ein wichtiges und vertrautes Merkmal nicht linearer dynamischer Systeme.

Außer verschiedenen mehrperiodischen Schwingungen treten sogar periodische und chaotische Bewegungen gleichzeitig auf. Das heißt, verschiedene Anfangszustände führen zu vollkommen verschiedenen stationären Lösungen.

Als Beispiel wählen wir innerhalb des Parameterraums den Punkt a gleich 12, d gleich 0,1. Alle übrigen Parameter bleiben ebenfalls fest.

Hier treten eine periodische und eine chaotische Bewegung gleichzeitig auf. Der Zeitverlauf der chaotischen Bewegung ist uns bereits vertraut. Für dieselben Parameterwerte jedoch ausgehend von einem anderen Anfangszustand erhalten wir den Zeitverlauf für die periodische Schwingung.

Im dreidimensionalen Ringmodell ist die Koexistenz der periodischen und der chaotischen Schwingung offensichtlich.

Schließlich soll uns die Poincaré-Abbildung noch das unterschiedliche Langzeitverhalten in der Schnittebene zeigen. Hier schwingt die Bewegung auf einen seltsamen Attraktor der bereits vertrauten Form ein.

Für eine andere Anfangsbedingung wird das Langzeitverhalten durch einen einzigen Punkt dargestellt. Verschiedene Anfangszustände führen zu qualitativ verschiedenem Langzeitverhalten.

Sind verschiedene Langzeitbewegungen möglich, so benötigt man für den gegebenen Zustandsraum eine Information über die Einzugsbereiche der verschiedenen Bewegungen. Eine Simulation mittels Auswertung vieler Anfangsbedingungen kann sehr zeitintensiv sein. Ein pragmatischeres Verfahren ist die Methode der Zellabbildung von CSU aus Berkeley, USA.

Sie wertet die zeitliche Entwicklung eines Systems auf der Grundlage einer großen Ansammlung vieler sehr kleiner Zellen aus. Für unser Beispiel unterteilen wir das interessierende Gebiet der XX-Punktebene oder der Poincaré-Schnittfläche in kleine Teilgebiete.

Der Einfachheit halber benutzen wir rechteckige Zellen. Im Allgemeinen kann die Form der Zellen jedoch beliebig sein. Innerhalb einer jeden Zelle geben wir eine gewisse Anzahl von Stichproben als Startpunkte vor.

Ausgehend von diesen Punkten entwickelt sich das System im Laufe der Zeit entlang von Trajektorien, deren einzelne Endpunkte wir durch Integration über eine Anregungsperiode bestimmen. Die relative Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zelle auf eine andere Zelle abgebildet

wird, ist der Bruchteil der Punkte, der sich in einer Zielzelle wiederfindet. Diese Information dient zusammen mit der Markov-Kettentheorie zur Ermittlung stationärer Zustände in der Schnittfläche. Für den Parameterwert a gleich 12 wird die chaotische Lösung dargestellt durch diesen seltsamen Attraktor.

Der koexistierende Orbit mit der Periode 1 wird repräsentiert durch einen einzelnen Punkt. Aufgrund der Zellabbildungsmethode bedecken die stationären Lösungen dieselbe Fläche wie bei der Poincaré-Abbildung. Jetzt ergänzen wir die Attraktoren durch ihre Einzugsbereiche.

Ausgehend von dem grünen Bereich endet das System mit 100%iger Wahrscheinlichkeit innerhalb des seltsamen Attraktors. Bei einem Start im gelben Bereich beträgt die Wahrscheinlichkeit zwischen 50 und 100%.

Und wenn man im violetten Bereich startet, ist sie 0 bis 50%. Auf dieselbe Weise kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die periodische Lösung erhalten. Ausgehend von grün gelangen wir mit 100%iger Wahrscheinlichkeit zur periodischen Lösung.

Von gelb aus enden wir dort mit 50 bis 100%iger Wahrscheinlichkeit. Von violett aus schließlich mit einer 0 bis 50%igen Wahrscheinlichkeit.

Abschließend untersuchen wir noch das Zeitverhalten beider Einzugsbereiche. Vom entferntesten Rand des Einzugsbereichs benötigt man etwa 14 Sekunden, um in chaotischem Attraktor zu enden.

Bei der periodischen Lösung dauert dies im Durchschnitt 16 Sekunden. Ähnliche Ergebnisse erhält man mit der Zellabbildungsmethode auch für andere Parameterwerte und Phasenwinkel.