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Schwingungen einer rechteckigen Membran

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Die freien Schwingungen einer Membran werden durch die homogene Wellengleichung beschrieben.
An ihrem Rand soll die Membran eingespannt sein, d. h. es tritt die Randbedingung
u=0 hinzu. Im Fall einer rechteckigen
Membran gewinnt man mit einem Produktansatz eine Schar von Lösungen dieses Randwertproblems.
Jede der so gewonnenen Lösungen trägt zwei Zahlen m und n als Index. Als Grundschwingung wird die Lösung mit den Indices m=1 und n=1, also u ll bezeichnet. Weitere Beispiele: u 21,
u 12, u 22, u 31 und schließlich u 13.
bzw. n die Anzahl der Berge und Täler, welche beim Durchqueren der Membran parallel der einen bzw. anderen Kantenrichtung auftreten.
Es folgen u 32, u 33.
Größere Werte für m und n liefern offenbar höhere Frequenzen. Hier ist m=4, n=5. Zum Vergleich noch einmal die Grundschwingung. Konstante Vielfache und Summen von Lösungen sind ihrerseits wieder Lösungen des geschilderten Randwertproblems. sind außer der Grundschwingung u 11 noch u 12 und u 21 beteiligt. Zusätzlich zur Wellengleichung und der Randbedingung fordert man beim Anfangs-Randwertproblem, daß die Funktion u sowie die Zeitableitung u t im Zeitpunkt 0 vorgegebene Werte auf dem Rechteck annehmen. Durch die Hinzunahme dieser sogenannten Anfangsbedingungen wird eine Lösung eindeutig bestimmt. 1. Beispiel:
Die Anfangsgestalt entspricht einer Pyramide. Die Anfangsgeschwindigkeit ist überall
0. Die Lösung ist periodisch. Obwohl sie Kanten aufweist, kann sie als Grenzelement von Überlagerungen der Elemente der Lösungsschar dargestellt werden.
2. Beispiel: Die Anfangsgestalt entspricht einem Walmdach. Die Anfangsgeschwindigkeit ist wieder überall 0. Man kann hier gegenüber dem ersten Beispiel keine große Veränderung der Lösung erkennen. Es zeigt sich die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten.
3. Beispiel: Die Anfangswerte sind die gleichen wie im vorangegangenen Beispiel, lediglich die Firstlänge des Walmdaches wird vergrößert. Die zugehörige Lösung weicht nun deutlich erkennbar ab von der Pyramidenlösung. 4. Beispiel: Noch einmal wird die Firstlänge des Walmdaches vergrößert.
Eine Ähnlichkeit mit der Pyramidenlösung ist jetzt nicht mehr zu erkennen.
5. Beispiel: Am Anfang befindet sich die Membran in der Ruhelage; jedoch ist die
Anfangsgeschwindigkeit in einer Umgebung der Membranmitte negativ. Die Lösung lässt im hier gezeigten zeitlichen Ausschnitt keine Periodizität erkennen. Das Superpositionsprinzip zeigt sich hier besonders anschaulich in der Überlagerung vieler kleiner Wellen. Diese Beispiele sind nur eine kleine Auswahl aus der großen Mannigfaltigkeit freier Schwingungen einer rechteckigen Membran.
Membran
Computeranimation
Wellengleichung
Randwertproblem
Computeranimation
Membran
Randbedingung <Mathematik>
Computeranimation
Membran
Lösung <Mathematik>
Schar <Mathematik>
Computeranimation
Membran
Lösung <Mathematik>
Index
Zahl
Computeranimation
Computeranimation
Membran
Lösung <Mathematik>
Gewichtete Summe
Anfangsbedingung
Wellengleichung
Randbedingung <Mathematik>
Frequenz
Computeranimation
Pyramide
Kante
Computeranimation
Überlagerung <Mathematik>
Computeranimation
Computeranimation
Membran
Mathematische Größe
Mannigfaltigkeit
Superposition <Mathematik>
Computeranimation
Membran
Überlagerung <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Schwingungen einer rechteckigen Membran
Alternativer Titel Vibrations of a Rectangular Membrane
Autor Halter, Eberhard
Mitwirkende Gotthard Glatzer (Redaktion)
Eberhard Halter (Kamera)
L. Rüppel (Schnitt)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt in unveränderter Form zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.3203/IWF/C-1324
IWF-Signatur C 1324
Herausgeber IWF (Göttingen)
Erscheinungsjahr 1979
Sprache Deutsch
Produzent Universität Karlsruhe, Mathematisches Institut II
Produktionsjahr 1978

Technische Metadaten

IWF-Filmdaten Film, 16 mm, LT, 135 m ; SW, 12 1/2 min

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Computerberechnete Einzelphasen komplexer Schwingungsformen einer Rechteckmembran wurden von einem Speicherbildschirm abgefilmt. Sie gestatten eine detaillierte Analyse verschiedener Eigenschwingungen unter speziellen (Anfangs-) Randwertbedingungen. Die Superposition wird gesondert demonstriert.
Schlagwörter Membran / Schwingungsverhalten
Eigenschwingung
Schwingungsverhalten / Membran
Computersimulation
Schwingung / technische Beispiele

Zugehöriges Material

Video ist Begleitmaterial zur folgenden Ressource

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