Schwingungen einer rechteckigen Membran

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Formal Metadata

Title
Schwingungen einer rechteckigen Membran
Alternative Title
Vibrations of a Rectangular Membrane
Author
Halter, Eberhard
Contributors
Gotthard Glatzer (Redaktion)
Eberhard Halter (Kamera)
L. Rüppel (Schnitt)
License
CC Attribution - NonCommercial - NoDerivatives 3.0 Germany:
You are free to use, copy, distribute and transmit the work or content in unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
IWF Signature
C 1324
Publisher
IWF (Göttingen)
Release Date
1979
Language
German
Producer
Universität Karlsruhe, Mathematisches Institut II
Production Year
1978

Technical Metadata

IWF Technical Data
Film, 16 mm, LT, 135 m ; SW, 12 1/2 min

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Computerberechnete Einzelphasen komplexer Schwingungsformen einer Rechteckmembran wurden von einem Speicherbildschirm abgefilmt. Sie gestatten eine detaillierte Analyse verschiedener Eigenschwingungen unter speziellen (Anfangs-) Randwertbedingungen. Die Superposition wird gesondert demonstriert.
Keywords
Membran / Schwingungsverhalten
Eigenschwingung
Schwingungsverhalten / Membran
Computersimulation
Schwingung / technische Beispiele

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Die freien Schwingungen einer Membran werden durch die homogene Wellengleichung beschrieben.
An ihrem Rand soll die Membran eingespannt sein, d. h. es tritt die Randbedingung
u=0 hinzu. Im Fall einer rechteckigen
Membran gewinnt man mit einem Produktansatz eine Schar von Lösungen dieses Randwertproblems.
Jede der so gewonnenen Lösungen trägt zwei Zahlen m und n als Index. Als Grundschwingung wird die Lösung mit den Indices m=1 und n=1, also u ll bezeichnet. Weitere Beispiele: u 21,
u 12, u 22, u 31 und schließlich u 13.
bzw. n die Anzahl der Berge und Täler, welche beim Durchqueren der Membran parallel der einen bzw. anderen Kantenrichtung auftreten.
Es folgen u 32, u 33.
Größere Werte für m und n liefern offenbar höhere Frequenzen. Hier ist m=4, n=5. Zum Vergleich noch einmal die Grundschwingung. Konstante Vielfache und Summen von Lösungen sind ihrerseits wieder Lösungen des geschilderten Randwertproblems. sind außer der Grundschwingung u 11 noch u 12 und u 21 beteiligt. Zusätzlich zur Wellengleichung und der Randbedingung fordert man beim Anfangs-Randwertproblem, daß die Funktion u sowie die Zeitableitung u t im Zeitpunkt 0 vorgegebene Werte auf dem Rechteck annehmen. Durch die Hinzunahme dieser sogenannten Anfangsbedingungen wird eine Lösung eindeutig bestimmt. 1. Beispiel:
Die Anfangsgestalt entspricht einer Pyramide. Die Anfangsgeschwindigkeit ist überall
0. Die Lösung ist periodisch. Obwohl sie Kanten aufweist, kann sie als Grenzelement von Überlagerungen der Elemente der Lösungsschar dargestellt werden.
2. Beispiel: Die Anfangsgestalt entspricht einem Walmdach. Die Anfangsgeschwindigkeit ist wieder überall 0. Man kann hier gegenüber dem ersten Beispiel keine große Veränderung der Lösung erkennen. Es zeigt sich die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten.
3. Beispiel: Die Anfangswerte sind die gleichen wie im vorangegangenen Beispiel, lediglich die Firstlänge des Walmdaches wird vergrößert. Die zugehörige Lösung weicht nun deutlich erkennbar ab von der Pyramidenlösung. 4. Beispiel: Noch einmal wird die Firstlänge des Walmdaches vergrößert.
Eine Ähnlichkeit mit der Pyramidenlösung ist jetzt nicht mehr zu erkennen.
5. Beispiel: Am Anfang befindet sich die Membran in der Ruhelage; jedoch ist die
Anfangsgeschwindigkeit in einer Umgebung der Membranmitte negativ. Die Lösung lässt im hier gezeigten zeitlichen Ausschnitt keine Periodizität erkennen. Das Superpositionsprinzip zeigt sich hier besonders anschaulich in der Überlagerung vieler kleiner Wellen. Diese Beispiele sind nur eine kleine Auswahl aus der großen Mannigfaltigkeit freier Schwingungen einer rechteckigen Membran.
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