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Solitonen

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Wir wollen Ihnen ein mechanisches Modell für die Sinus-Gordon-Gleichung vorstellen. Diese Gleichung besitzt auch Solitonlösungen und hauptsächlich diese werden wir zeigen. Dies ist unser Modell, ein unendlich langes Band. Auf ihm sind Markierungen angebracht; sein oberer Rand ist mit einem Draht fest verbunden. Von ihm hängt das Band herab wie ein Laken von einer Wäscheleine. Der untere Bandrand ist ein Massefaden; sonst ist das Gebilde masselos und befindet sich im Schwerefeld der Erde. Unser Band kann auch verdreht sein. Mit ihm wird der Draht verdreht und dieser reagiert darauf mit einer rücktreibenden Kraft, die vom Verdrehungswinkel Phi linear abhängt. Der Verdrehungswinkel Phi hängt selber ab von dem Ort x und der Zeit t; Phi (x, t); er genügt der Sinus-Gordon-Gleichung. Wegen der endlichen Erdanziehung g enthält diese Gleichung auch den Sinus des Verdrehungswinkels Phi, ist also nichtlinear.
Die nichtlineare Sinus-Gordon-Gleichung geht für kleine Verdrehungswinkel in eine lineare Gleichung über, da man in diesem Fall den nichtlinearen sin (Phi) durch den Winkel Phi selbst ersetzen kann. Diese anfangs
lokalisierte Anregung zerfließt im Laufe der Zeit. Denn g, die Erdanziehung, ist ungleich Null und daher zeigt die linearisierte Gleichung Dispersion. Die wohlbekannten dispersionsfreien Solitonlösungen für g = 0 zeigen wir nicht.
Diese zeitlich konstante Lösung der Sinus-Gordon-Gleichung, eine Linksschraube, nennen wir ein Soliton. Hier von allen Seiten betrachtet. Auf einer endlichen Strecke ist das Band einmal ganz um 360° linksherum verdreht und hängt ansonsten überall praktisch senkrecht herab.
Das Soliton kann auf dem Band auch wandern.
Bei dieser Lösung bewegt sich die Linksschraube mit konstanter Geschwindigkeit und ohne Änderung ihrer Gestalt von vorne nach hinten.
Dieses Soliton, bewegt sich in der Gegenrichtung. Solitonen sind ganz allgemein Anregungen, die ohne Formänderung wandern und aus Begegnungen ungeändert hervorgehen. Bemerkenswert ist, daß es solche unveränderlichen Lösungen nicht-linearer Differentialgleichungen überhaupt gibt.
Diese zeitlich konstante Lösung ist eine Rechtsschraube, also kein Soliton wie oben definiert. Sie heißt Antisoliton. Da Herumdrehen den Schraubensinn nicht ändert, entstünde auch beim Drehen des Bandes um 180° aus dem
Soliton wieder ein Soliton, kein Antisoliton.
Genauso wie das Soliton kann sich auch das Antisoliton, die Rechtsschraube, ohne Formänderung auf dem Band bewegen.
Der Schraubensinn von Soliton und Antisoliton ist entgegengesetzt. Daher verdreht sich das Band bei deren Bewegung in unterschiedliche Richtungen.
Lorentz-Kontraktion bei Solitonen.
Die Sinus-Gordon-Gleichung ist eine relativistische Gleichung und zeigt daher Effekte wie Grenzgeschwindigkeit - das Analogon der Lichtgeschwindigkeit - Beta = 1 und Lorentzkontraktion. Die Ausdehnung des ruhenden Solitons mit Geschwindigkeit
Beta = 0 vergleichen wir mit der des Solitons, das sich mit Beta = 0,3, also 30% der Grenzgeschwindigkeit, bewegt. Die Lorentzkontraktion ist bei diesem schnellen Soliton mit Beta = 0,9 offensichtlich. Solitonen können Beta = 1, die Grenzgeschwindigkeit selbst, nicht erreichen.
Zusammenstoß zweier Solitonen
In dieser Szene begegnen zwei Solitonen einander mit entgegengesetzt-gleicher Geschwindigkeit. Zunächst verhält jedes sich so, als sei es allein auf der Welt. Bei Annäherung versuchen sie im Zwischengebiet das Band in entgegengesetzte Richtungen zu drehen, und das führt zu einer Abstoßung; die Solitonen kehren um und laufen wieder auseinander. Der Ablauf noch einmal aus der Nähe. Die Solitonen bleiben auch während der Begegnung fast intakt, kommen zur Ruhe und entfernen sich dann voneinander als Solitonen. Nochmals derselbe Vorgang; die Striche
laufen anfangs mit den Solitonen mit, behalten aber auch während der Wechselwirkung ihre Geschwindigkeit. Nachher sieht es so aus, als sei zwischendurch kaum etwas passiert: Mit jedem Strich läuft wieder ein Soliton mit, möglicherweise um einen kleinen Abstand verschoben. Jetzt derselbe Vorgang, wie ihn jemand
sieht, der mitreist mit dem einen Soliton, für den dies also ruht. Das andere stößt es an und kommt selbst zur Ruhe; nur das Soliton, das vorher ruhte, bewegt sich weiter. Das ist wie der elastische Stoß von zwei gleichen Massen.
Hier begegnen sich Soliton und Antisoliton. Das Soliton kommt von rechts, das Antisoliton von links. Im Zwischengebiet drehen beide in dieselbe Richtung und durchdringen einander. Doch nach der komplizierten Wechselwirkung läuft das Soliton weiter nach links, das Antisoliton weiter
nach rechts als sei nichts geschehen. Auch diesen Vorgang betrachten wir aus der Nähe. Es ist höchst bemerkenswert, daß aus dieser komplizierten Durchmischung Soliton und Antisoliton beide unbeschädigt wieder hervorgehen. Noch einmal derselbe Vorgang, nun
wieder mit den bereits bekannten senkrechten Strichen. Durch die Wechselwirkung hat sich schließlich kaum etwas verändert: Die Verdrehungen laufen weiter wie die kräftefreien Massepunkte, dargestellt durch die senkrechten Striche, sind nur etwas verschoben. Schließlich abermals
derselbe Vorgang, gesehen nun aber aus dem Ruhesystem des Solitons. Das Antisoliton stößt jetzt das Soliton nicht an, sondern überwindet es nach einem komplizierten Zwischenspiel, läßt es hinter sich und reist als Antisoliton weiter wie es angekommen ist.
Auf dieses ruhende Soliton treffen nacheinander ein zweites und ein drittes. Schließlich bleibt das letzte liegen, während die zwei anderen nach rechts weiter wandern.
Dieses komplizierte Aufeinanderprallen von zwei Solitonen und einem Antisoliton läßt sich wie zuvor aus dem bereits bekannten Verläufen von jeweils zwei Verdrehungen zusammensetzen. Es ist höchst bemerkenswert, dass nicht nur einzelne Lösungen der nicht linearen Sinus-Gordon-Gleichung ihre Form behalten sondern, dass auch bei Zusammenstößen die beteiligten Anregungen unversehrt aus diesen Prozessen hervorgehen.
Diese Lösung der Sinus-Gordon-Gleichung, der sog. Atmer oder Breather entspricht einem gebundenen Zustand von Soliton und Antisoliton, deren Energie zur Trennung nicht ausreicht. Der Schwerpunkt dieses Atmers ruht. Seine Ausdehnung geben die senkrechten Striche an.
Bei einem bewegten Atmer erwarten wir Lorentz-Kontraktion. Diese ist wegen der dauernden Gestaltänderung erst bei diesem schnelleren Atmer deutlich erkennbar.
Atmer, Soliton und Antisoliton können in zahllosen Zusammenstellungen kollidieren. Hier zum Beispiel trifft ein Atmer auf ein Soliton. Nach der Streuung setzen beide ihren Weg unverändert fort, insbesondere der Atmer, ohne in seine Bestandteile Soliton und Antisoliton zu zerbrechen.
Im zweiten Beispiel eines komplizierten Stoßes treffen zwei Atmer aufeinander. Auch hier ist nach dem Stoß keiner der beiden auseinandergebrochen.
Zerbrechen eines Pulses in Soliton und Antisoliton.
Der Schlag mit dem Hammer deutet eine spezielle Anregung an, die in Soliton und Antisoliton zerfällt. Ein derartig zerbrechender Impuls ist typisch für Systeme mit Solitonanregungen.
Einem Theorem zufolge können mehrere aber endlich viele Einzelanregungen eines Systems nicht alle gleich schnell sein. Irgendwann erfolgt ein Zusammenstoß einzelner Anregungen. Dagegen können unendlich viele Solitonen durchaus alle mit derselben Geschwindigkeit ohne Zusammenstoß hintereinander das mechanische Modell entlang wandern. Diese Lösung ist unendlich ausgedehnt, selbst also kein Soliton. Sie ähnelt den ebenen Wellen linearer Probleme. Solitonen haben in den letzten Jahren zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Teilgebieten der Physik gefunden. Einige wichtige Beispiele sind: Wasserwellen, Josephson-Brücken, Plasmen, Wechselwirkung von Strahlung mit Plasmen, Bewegung von Blochwänden in Ferromagneten, Bewegung von Versetzungen in Kristallen, Selbstinduzierte Transparenz, Nervenleitungen, Modelle für Elementarteilchen.
Sinusfunktion
Formation <Mathematik>
Sinus-Gordon-Gleichung
Gleichung
Lineare Gleichung
Sinus-Gordon-Gleichung
Gleichung
Strecke
Soliton
Formation <Mathematik>
Soliton
Geschwindigkeit
Formation <Mathematik>
Soliton
Lösung <Mathematik>
Differentialgleichungssystem
Deformation
Soliton
Formation <Mathematik>
Soliton
Soliton
Formation <Mathematik>
Deformation
Soliton
Formation <Mathematik>
Soliton
Richtung
Geschwindigkeit
Physikalischer Effekt
Betafunktion
Sinus-Gordon-Gleichung
Gleichung
Soliton
Geschwindigkeit
Formation <Mathematik>
Soliton
Richtung
Geschwindigkeit
Elastischer Stoß
Soliton
Soliton
Richtung
Torsion
Soliton
Soliton
Soliton
Lösung <Mathematik>
Prozess <Physik>
Torsion
Sinus-Gordon-Gleichung
Soliton
Energie
Soliton
Gebundener Zustand
Soliton
Streuung
Soliton
Stoß
Impuls
Soliton
Puls <Technik>
Soliton
Geschwindigkeit
Physik
Soliton
Geschwindigkeit
Ebene Welle

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Solitonen
Alternativer Titel Solitons
Autor Genz, Henning
Staudenmaier, Hans-Martin
Kaiser, Fritz
Mitwirkende B. Lier (Redaktion)
Gerhard Matzdorf (Kamera)
E. Fischer (Schnitt)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt in unveränderter Form zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.3203/IWF/C-1365
IWF-Signatur C 1365
Herausgeber IWF (Göttingen)
Erscheinungsjahr 1980
Sprache Deutsch
Produzent IWF (Göttingen)
Produktionsjahr 1979

Technische Metadaten

IWF-Filmdaten Film, 16 mm, LT, 174 m ; SW, 16 min

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Mechanisches Modell für Soliton, Antisoliton und Atmer als Lösung der Sinus-Gordon-Gleichung. Zusammenstoß und Durchdringung von Solitonen, Antisolitonen und Atmern. Zerbrechen eines Pulses in Soliton und Antisoliton. Lorentz-Kontraktion bei schnellen Solitonen. Dispersion bei kleinem Verdrehungswinkel. Computergezeichnete Phasen.
Schlagwörter Computergraphik
Soliton
Lorentz-Kontraktion
Sinus-Gordon-Gleichung
Atmer
Dispersion
Antisoliton

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