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Parametrische Anregung von Schwingungen

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Ein Festplatz - auf manch einem Volksfest findet man noch die gute alte Schiffsschaukel.
Mit ihr erreicht man beim Auf- und Abschwingen überraschend bald große Amplituden, ohne daß man sich vom Boden abstoßen muß. Dieses Schaukeln ist ein Sonderfall einer sog. parametrisch erregten Schwingung. Wie kommt es zu einer solchen Anregung? Betrachten wir der Einfachheit halber zunächst die Schwingungen eines Fadenpendels mit der konstanten Fadenlänge l zwischen Aufhängepunkt und Schwerpunkt der Kugel.
Es schwingt mit einer bestimmten Eigenfrequenz f0, die gegeben ist durch die Fallbeschleunigung g und durch die Fadenlänge l. l und g sind sog. frequenzbestimmende Parameter.
Ohne das Pendel zu Schwingungen anzuregen, wird hier zunächst die Pendellänge l periodisch vergrößert und verkleinert, und zwar über den in der linken Bildhälfte sichtbaren Excenter. Jetzt die gleiche periodische Änderung von l, aber bei schwingendem Pendel. Man sieht, wie die Ausschläge zunehmen, ohne daß eine Kraft in Schwingungsrichtung ausgeübt wird. Es handelt sich also nicht um eine erzwungene Schwingung! Die Pendellänge 1, die wir in diesem Falle verändern, ist der frequenzbestimmende Parameter. Daher die Bezeichnung parametrisch erregte Schwingung. Wie kommt es beim schwingenden Pendel zum Anwachsen der Amplitude? Wir machen uns das klar, indem wir die Kräfte betrachten, die in den verschiedenen Schwingungsphasen auftreten.
Hier ein Pendel der Lange l. Bei der Schwingung beschreibt die Kugel ein Stück einer Kreisbahn. In den Umkehrpunkten ist ihre Momentangeschwindigkeit 0. Beim Durchgang durch die Mittellage ist die Geschwindigkeit am größten. Bei einer Kugelmasse m zieht hier am Faden nicht nur die volle Schwerkraft Fs =m x g, sondern auch die größtmögliche Zentrifugalkraft Fz = m Omega Dach² x l. Omega Dach ist die maximale Winkelgeschwindigkeit in der Mittellage.
In den Umkehrpunkten ist die Zentrifugalkraft 0, weil die Geschwindigkeit 0 ist. Außerdem wirkt in Fadenrichtung beim Winkel alpha nur die Komponente der Gewichtskraft mg x cos alpha. In den Umkehrpunkten zieht also insgesamt eine geringere Kraft als in der Mittellage.
Was geschieht bei Anregung der Schwingungen? Beim Durchgang durch die Mittellage wird die Pendellänge l verkürzt, in den Umkehrpunkten beim Winkelausschlag alpha verlängert. Hier der Vorgang noch einmal. Wie sieht dabei die Energiebilanz aus? Wir heben das Pendel in der Mittellage entgegen der hier angreifenden Kraft um 2 Delta 1 an, stecken also eine gewisse Arbeit hinein. Im Umkehrpunkt entnehmen wir dagegen Energie, allerdings ist diese Energie geringer; denn auch die angreifende Kraft ist hier geringer als in der Mittellage. Auf diese Weise wird Energie in das System hineingepumpt.
Betrachten wir jetzt noch einmal den gesamten Schwingungsablauf. Offensichtlich treten pro Schwingungsperiode zwei Kraftmaxima und zwei Kraftminima auf. Wir können also dem Pendel zweimal pro Periode Energie zuführen. Eine maximale Anregung erreichen wir, wenn erstens die anregende Pumpfrequenz
fp genau doppelt so groß ist, wie die Eigenfrequenz f0 des Pendels, und wenn zweitens die Energiezufuhr stets in der
Mittellage erfolgt, wie hier.
Verschieben wir nämlich die Phase der Anregung um eine halbe Periode, jetzt, so erkennen wir, daß
bei gleichbleibender Pumpfrequenz das Pendel abgebremst wird.
Ist es einmal zur Ruhe gekommen, kann es keine Veränderung der Pendellänge wieder in Schwingung versetzen, weil pro Periode gleichviel Energie zugeführt wird wie entnommen wird.
Hier das Modell einer Schiffsschaukel. In diesem Modell ist der frequenzbestimnmende Parameter der Abstand zwischen dem Aufhängepunkt und dem Schwerpunkt des Männchens. Ein Regelkreis sorgt dafür, daß
dieser Parameter mit der richtigen Frequenz und in der richtigen Phase verändert wird, und zwar über diesen Excenter.
Damit sich das Männchen in einer Schwingungsphase aufrichtet, in der es dem System Energie zuführt, wird der Ist-Zustand der Schaukelschwingung über eine Meßsonde abgefragt.
Gepumpt wird wieder mit der doppelten Frequenz der Eigenschwingung. Bei optimaler Anpassung an die Schwingungsphase erreicht unser Modell bald große Schwingungsamplituden. Was geschieht, wenn das Pumpen in der falschen Phase erfolgt?
Ein Umschalten der Elektronik bewirkt,
daß sich das Männchen in den Urmehrpunkten aufrichtet und beim Durchgang durch die Mittellage in die Knie geht. Wie erwartet, wird jetzt dem System Schwingungsenergie entzogen.
Die Amplituden nehmen ab.
Nach Stillstand der Schwingung lassen sich auch durch längeres Pumpen keine merklichen Ausschläge erzielen.
Jetzt wissen wir auch, welche Rolle der Schaukelbursche bei der Schiffsschaukel spielt. Er muß die Schaukel zunächst zum Schwingen bringen, ehe eine Energiezufuhr möglich ist.
Dieses Foucaultsche Pendel schwingt in einer festen Ebene. Ohne Eingriff von außen würde es nach einiger Zeit zur Ruhe kommen. Durch parametrische Anregung wird es so entdämpft, daß seine Amplitude konstant bleibt.
Hier der Mechanismus im oberen Stockwerk. Er hebt und senkt den Pendelkörper mit der richtigen Pumpfrequenz und der richtigen Phase. Die Tatsache, daß jede parametrische Anregung eines Pendels ohne Einfluß auf die Schwingungsebene erfolgt, hat für
das Foucaultsche Pendel besondere Bedeutung. Die konstante Lage der Schwingungsebene ist bekanntlich die Voraussetzung für den Nachweis der Erddrehung, deutlich erkennbar daran, daß wir die Pendelebene nach vier Stunden aus einer anderen Blickrichtung sehen.
Nicht nur mechanische Schwingungen lassen sich parametrisch anregen. Hier ein elektromagnetischer Schwingkreis, bestehend aus einer Spule und einem Kondensator. Als Parameter bestimmen die Induktivitat L und die Kapazitat C die Eigenfrequenz
f0 des Schwingkreises in Analogie zur Formel für das mechanische Pendel. Betrachten wir eine Schwingung!
Ausgangszustand sei eine maximale Ladung des Kondensators. Der Kondensator entlädt sich und ist jetzt vollständig entladen. Dann lädt er sich wieder auf - mit umgekehrtem Vorzeichen. Betrachten wir die Spule! Durch sie fließt Strom, der jetzt maximal ist und auf Null zurückgeht. Mit dem Stromfluß verbunden ist der Auf- und Abbau eines Magnetfeldes der Spule. Wie läßt sich diesem System
parametrisch Energie zuführen? Dazu ein Gedankenexperiment!
Man schiebt einen Weicheisenkern in die Spule und zieht ihn anschließend wieder heraus.
Er läßt sich kräftefrei einführen,
wenn kein Strom fließt und das Magnetfeld verschwindet.
Dagegen leistet man Arbeit, wenn man ihn beim Stromfluß aus dem Magnetfeld herauszieht.
Auf diese Weise kann man dem Schwingkreis Energie zuführen, und zwar parametrisch, weil durch die
Bewegung des Eisenkerns die Induktivität L
der Spule verändert wird. In der Praxis ändert man allerdings die Induktivität nicht auf diesem mechanische Wege.
Hier rechts ein Schwingkreis mit Kondensator und Spule auf dem blauen Kern. Eine Steuerwicklung links, auf gelbem Kern regt mit der Pumpfrequenz fp parametrisch den Schwingkreis mit der Eigenfrequenz f0 an. Die Steuerwicklung verändert nämlich den magnetischen Widerstand des Eisenkerns und damit die Induktivität L des Schwingkreises. Wieder gilt im optimalen Fall fp = 2 f0. Nach diesem Schema einer elektrischen Anregung
ist dieser sog. Paraformer konstruiert. Links die Steuerspule, rechts der Schwingkreis.
Als Beispiel für eine Anwendung hier eine Schaltung, die eine Ausgangsspannung sehr genau regelt mit dem eingebauten Paraformer.
Zurück zu unserem Schwingkreis, bestehend aus einem Kondensator mit der Kapazität C sowie einer Spule mit der Induktivität L. Wir haben gesehen, daß durch eine Veränderung von L im richtigen Augenblick Energie in den Schwingkreis gepumpt werden kann. Ebenso müßte es möglich sein, den Schwingkreis durch Veränderung der Kapazität C anzuregen. Wann ist der günstigste Zeitpunkt für die Energiezufuhr? Im ungeladenen Zustand herrscht keine Anziehungskraft zwischen den Kondensatorplatten. Im geladenen Zustand ziehen sich die Platten dagegen an.
Also zieht man sie im geladenen Zustand auseinander und nähert sie im entladenen Zustand wieder einander,
d. h., man führt im geladenen
Zustand Energie zu, aber man entnimmt im entladenen Zustand keine Energie.
Auch hier ist offensichtlich die optimale Pumpfrequenz doppelt so
groß wie die Eigenfrequenz des Schwingkreises.
In der Praxis verändert man die Kapazität nicht mechanisch, sondern auf elektrischem Wege,
beispielsweise bei dieser Halbleiterdiode. Sie ist um vieles kleiner als ein Pfennig. Die Kapazität ihrer Sperrschicht kann durch eine angelegte Spannung verändert werden.
In diesem Schaltplan ist die sog. Kapazitätsdiode wichtigster Bestandteil eines parametrischen Hochfrequenzverstärkers mit der Pumpspannung Up. Der Schwingkreis besteht dabei aus einem
Hohlraumresonator, in den die Kapazitätsdiode - im Bild rechts - hineinragt. Solche Verstärker werden z. B. zum Empfang schwacher Signale von Nachrichtensatelliten in Erdefunkstellen benutzt.
Erstaunlicherweise wird hier also, technisch hochentwickelt, dasselbe einfache Prinzip der parametrischen Anregung benutzt wie bei der Schiffsschaukel auf dem Jahrmarkt.
Computeranimation
Anregung
Computeranimation
Schwerpunkt
Eigenfrequenz
Besprechung/Interview
Schwingung
Computeranimation
Geschwindigkeit
Kraft
Winkelgeschwindigkeit
Druckkraft
Uplink
Computeranimation
Omega <Marke>
Schwingungsphase
Schwingung
Sicht
Stuck
Pendel
Faden
Durchgang <Astronomie>
Kleinbahn
Zentrifugalkraft
Gewicht
Geschwindigkeit
Energie
Halbleiterbauelement
Energiebilanz
Kraft
Pendel
Durchgang <Astronomie>
Computeranimation
Anregung
Zentrifugalkraft
Energie
Eigenfrequenz
Pendel
Computeranimation
Anregung
Pendel
Anregung
Schwerpunkt
Energie
Regelkreis
Schwingung
Energie
Schwingungsphase
Sonde
Frequenz
Computeranimation
Schwingungsphase
Wechselschalter
Eigenschwingung
Elektronik
Frequenz
Flüssigkeitspumpe
Computeranimation
Amplitude
Durchgang <Astronomie>
Stillstand
Schwingung
Flüssigkeitspumpe
Foucaultsches Pendel
Mechanismus <Maschinendynamik>
Pendel
Amplitude
Geschoss <Bauwesen>
Anregung
Hochfrequenzspule
Foucaultsches Pendel
Selbstinduktion
Kapazität
Eigenfrequenz
Kondensator
Technische Zeichnung
Mechanische Schwingung
Computeranimation
Stunde
Hochfrequenzspule
Schwingkreis
Kondensator
Pendel
Magnetfeld
Abbau
Computeranimation
Hochfrequenzspule
Energie
Computeranimation
Energie
Schwingkreis
Magnetfeld
Computeranimation
Hochfrequenzspule
Induktivität
Computeranimation
Hochfrequenzspule
Induktivität
Fall
Schwingkreis
Eigenfrequenz
Atomkern
Kondensator
Computeranimation
Anregung
Hochfrequenzspule
Energie
Schwingkreis
Kapazität
Kondensator
Technische Zeichnung
Computeranimation
Computeranimation
Energie
Computeranimation
Schwingkreis
Kapazität
Eigenfrequenz
Computeranimation
Sperrschicht
Halbleiterdiode
Schaltplan
Hochfrequenzverstärker
Schwingkreis
Abstimmdiode
Kapazität
Technische Zeichnung
Computeranimation
Empfänger
Abstimmdiode
Verstärker
Erdefunkstelle
Kommunikationssatellit
Computeranimation
Anregung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Parametrische Anregung von Schwingungen
Alternativer Titel Parametric Excitation of Vibrations
Autor Dobrinski, Paul
Mitwirkende Gotthard Glatzer (Redaktion)
Gerhard Matzdorf, Kuno Lechner (Kamera)
Gerhard Matzdorf, Franz-Uwe Fanelli (Schnitt)
Klaus Kemner (Ton), Gerhard Matzdorf, K. Winter (Trick)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt in unveränderter Form zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.3203/IWF/C-1627
IWF-Signatur C 1627
Herausgeber IWF (Göttingen)
Erscheinungsjahr 1987
Sprache Deutsch
Produzent IWF
Produktionsjahr 1985

Technische Metadaten

IWF-Filmdaten Film, 16 mm, LT, 151 m ; F, 14 min

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik
Abstract Mechanische und elektrische Schwingungen. Amplitudenerhöhung; Beispiel: Schiffsschaukel. Anregungsvorgang beim Fadenpendel (mit Trick): Eigen- und Pumpfrequenz, Phasenbeziehung bei optimaler Energiezufuhr, Notwendigkeit einer von Null verschiedenen Ausgangsamplitude; Anwendungen: Schaukelmodell und Foucaultpendel. Analoge Anregungsbedingungen bei elektromagnetischen Schwingkreisen. Gedankenexperiment (Trick): Periodische Änderung von Selbstinduktion oder Kapazität. Technische Anwendungen.
Schlagwörter Phasenbeziehung / optimale Energiezufuhr
Foucaultsches Pendel
Schaukelmodell
Ausgangsamplitude
Pumpfrequenz
Eigenfrequenz
Fadenpendel
Amplitudenerhöhung / Schiffsschaukel
Schwingung, mechanische
Schwingung, elektrische
parametrische Anregung

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