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Analyse chaotischer Schwingungen - 2. Stabilität

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Bei einer Stabilitäts-Analyse untersucht man normalerweise die Auswirkungen von Störungen auf den Systemzustand. Bei stabilen Systemen erwartet man, daß kleine Störungen des System-Zustands sich auch nur begrenzt auswirken. Für technische Systeme ist es wichtig zu wissen, ob es einen praktisch nutzbaren Einzugsbereich für die stationäre Lösung gibt oder nicht. Bei technischen Systemen hat man es aber nicht nur mit Störungen im Zustand des Systems zu tun, sondern auch mit Störungen der Systemparameter, die somit das System selbst verändern. Zur numerischen Untersuchung der Stabilität eines nichtlinearen dynamischen Systems benutzen wir Lyapunov-Exponenten; damit erhalten wir Stabilitätsdiagramme im Parameter-Raum. Eine Parameterveränderung beeinflußt das Verhalten oft entscheidend. Lyapunov-Exponenten charakterisieren die durchschnittliche exponentielle Divergenz oder Konvergenz benachbarter Trajektorien bezüglich einerReferenz-Trajektorie. Um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu bestimmen, mit der eine vorgebene Abweichung verstärkt wird, Führen wir einen Vektor a ein, der den anfänglichen Abstand zweier benachbarter Trajektorien mißt. Im Laufe der Zeit ändert sich der Abstand - aber wie? Dazu betrachten wir die Norm von a von t, d. h. die Länge des Vektors a. Die mittlere exponentielle Änderung des Abstandes der beiden ursprünglich dicht benachbarten Trajektorien wird definiert durch den Grenzwert des Quotienten 1 durch t mal ln a von t durch a. Wir betrachten also die Längenzunahme einer infinitesimal kleinen Strecke a nach unendlich langer Zeit. Sigma nennt man Lyapunov-Exponent. Der russische Mathematiker Oseledec bewies die Existenz und die Endlichkeit von Sigma. Diese einfache Beschreibung der Divergenz einer Norm eines Vektors läßt sich für höhere Dimensionen verallgemeinern. Die Anzahl der verschiedenen Exponenten entspricht der Dimension des Zustandsraumes. Bei einem kontinuierlichen dynamischen System ist das mittlere Verhalten entlang des Flusses konstant - der Exponent Sigma entlang des Flusses ist also gleich Null. Negative Exponenten weisen auf periodische Bahnkurven hin. Mindestens ein positiver Exponent tritt dagegen auf bei Divergenz anfangs dicht benachbarter Trajektorien, d. h. es liegt ein chaotischer Orbit vor. Im Bereich periodischer Lösungen bedeutet das Verschwinden eines Exponenten den Stabilitätsverlust eines Orbits und die gleichzeitige Geburt eines anderen stabilen Orbits - ein Kennzeichen für eine Bifurkation. Mit Hilfe der Lyapunov-Exponenten können wir Stabilitätsdiagramme erzeugen, die z. B. das Systemverhalten als Funktion Dämpfungskoeffizienten d von der Anregungsamplitude a wiedergeben. Die folgende Bildserie wurde durch Start mit verschiedenen Anfangsbedingungen erzeugt.
Wir hielten dabei die Anfangsgeschwindigkeit konstant gleich Null und veränderten nur die Anfangsauslenkung x beginnend mit x = -2. Blaue Gebiete bedeuten negative, gelbe und rote positive Exponenten. In den grünen Übergangsbereichen liegen Exponenten vom Wert Null, d. h. Verzweigungen vor. Für diese Bildfolge haben wir zur Auslenkung x jeweils das Inkrement Delta x = 0,5 addiert. Die sich verändernde Struktur innerhalb der Stabilitätsdiagramme zeigt das in Abhängigkeit von den Startbedingungen unterschiedliche Langzeitverhalten für identische System-Parameter an. Die Überlagerung allerDiagramme unserer Berechnungen mit Hilfe von Lyapunov-Exponenten liefert dieses Bild: Die schraffierten Gebiete zeigen koexistierende stationäre Lösungen an, das bedeutet, daß derselbe Oszillator mit festen Parametern unterschiedliches Langzeitverhalten zeigen kann. Wir sehen einen kleinen Ausschnitt des bereits gezeigten Diagramms von Ueda. Sein vollständiges Diagramm zeigt für einen großen Bereich der Parameter a und d eine Vielfalt verschiedenen Verhaltens. Auch Ueda beobachtete unterschiedliches Verhalten für gleiche Parameterwerte. Diese Gebiete sind wieder senkrecht schraffiert. Wir beschränken uns wieder auf das interessante Gebiet zwischen a = 5 bis 15 und d = 0 bis 0,2. Uedas Beobachtungen werden durch das Diagramm bestätigt, das wir mittels der Lyapunov-Exponenten erhalten haben. Koexistierende Endzustände in ein und demselben System für identische Paramterwerte sind ein wichtiges und vertrautes Merkmal nichtlinearer dynamischer Systeme.
Außer verschiedenen mehrperiodischen Schwingungen treten sogar periodische und chaotische Bewegungen gleichzeitig auf, d. h. verschiedene Anfangszustände führen zu vollkommen verschiedenen stationären Lösungen. Als Beispiel wählen wir innerhalb des Parameterraums den Punkt a = 12, d = 0,1. Alle übrigen Parameter bleiben ebenfalls fest. Hier treten eine harmonische und eine chaotische Bewegung gleichzeitig auf. Der Zeitverlauf der chaotischen Bewegung ist uns bereits vertraut. Für dieselben Parameterwerte
- jedoch ausgehend von einem anderen Anfangszustand - erhalten wir den Zeitverlauf für die periodische Schwingung. Im dreidimensionalen Ringmodell ist die Koexistenz der periodischen und der chaotischen Schwingung offensichtlich. Schließlich soll uns die Poincaré-Abbildung noch das unterschiedliche Langzeitverhalten in der Schnittebene zeigen. Hier schwingt die Bewegung auf einen seltsamen Attraktor der bereits vertrauten Form ein. Für eine andere Anfangsbedingung wird das Langzeitverhalten durch einen einzigen Punkt dargestellt. Verschiedene Anfangszustände führen zu qualitativ verschiedenem Langzeitverhalten. Sind verschiedene Langzeitbewegungen möglich, so benötigt man für den gegebenen Zustandsraum eine Information über die Einzugsbereiche der verschiedenen Bewegungen. Eine Simulation mittels Auswertung vieler Anfangsbedingungen kann sehr zeitintensiv sein. Ein pragmatischeres Verfahren ist die Methode der Zellabbildung von C. S. Hsu aus Berkeley, USA. Sie wertet die zeitliche Entwicklung eines Systems auf der Grundlage einer großen Ansammlung vieler sehr kleiner Zellen aus. Für unser Beispiel unterteilen wir das interessierende Gebiet der x, x-Punkt Ebene oder der Poincaré-Schnittfläche in kleine Teilgebiete. Der Einfachheit halber benutzen wir rechteckige Zellen. Im allgemeinen kann die Form der Zellen jedoch beliebig sein. Innerhalb einer jeden Zelle geben wir eine gewisse Anzahl von Stichproben als Startpunkte vor. Ausgehend von diesen Punkten entwickelt sich das System im Laufe der Zeit entlang von Trajektorien, deren einzelne Endpunkte wir durch Integration über eine Anregungsperiode bestimmen. Die relative Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zelle auf eine andere Zelle abgebildet wird, ist der Bruchteil der Punkt, der sich in einer Zielzelle wiederfindet. Diese Information dient zusammen mit der Markov-Ketten-Theorie zur Ermittlung stationärer Zustände in der Schnittfläche. Für den Parameterwert a = 12 wird die chaotische Lösung dargestellt durch diesen seltsamen Attraktor. Der koexistierende Orbit mit der Periode 1, wird repräsentiert durch einen einzelnen Punkt. Aufgrund der Zellabbildungsmethode bedecken die stationären Lösungen dieselbe Fläche wie bei der Poincaré-Abbildung. Jetzt ergänzen wir die Attraktoren durch ihre Einzugsbereiche. Ausgehend von dem
grünen Bereich endet das System mit 100 %iger Wahrscheinlichkeit innerhalb des seltsamen Attraktors. Bei einem Start im gelben Bereich beträgt
die Wahrscheinlichkeit zwischen 50 und 100 %. Und wenn man im violetten Bereich startet, ist sie 0 bis 50 %. Auf dieselbe Weise kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die periodische Lösung erhalten. Ausgehend von grün
gelangen wir mit 100 %iger Wahrscheinlichkeit zur periodischen Lösung. Von gelb aus enden wir dort
mit 50 bis 100 %iger Wahrscheinlichkeit von violett aus schließlich mit einer 0 bis 50 %igen Wahrscheinlichkeit.
Abschließend untersuchen wir noch das Zeitverhalten beider Einzugsbereiche. Vom entferntesten Rand des Einzugsbereichs benötigt man etwa 14 Sekunden, um im chaotischen Attraktor zu enden. Bei der periodischen Lösung
dauert dies im Durchschnitt 16 Sekunden. Ähnliche Ergebnisse erhält man mit der Zellabbildungsmethode auch für andere Parameterwerte und Phasenwinkel.
Geschwindigkeit
Periodische Lösung
Ljapunov-Exponent
Länge
Vektorrechnung
Exponent
Endlichkeit
Quotient
Orbit <Mathematik>
Verzweigung <Mathematik>
Fluss <Mathematik>
Störungstheorie
Physikalisches System
Trajektorie <Mathematik>
Vektor
Analysis
Computeranimation
Dynamisches System
Strecke
Anfangsbedingung
Trajektorie <Kinematik>
Stationäre Lösung
Mathematiker
Parametersystem
Ljapunov-Exponent
Punkt
Exponent
Berechnung
Physikalisches System
Computeranimation
Überlagerung <Mathematik>
Diagramm
Nichtlineare Dynamik
Stationäre Lösung
Gebiet <Mathematik>
Parameterraum
Ebene
Punkt
Seltsamer Attraktor
Stationärer Zustand
Orbit <Mathematik>
Fläche
Physikalisches System
Computeranimation
Anfangsbedingung
Schwingung
Stationäre Lösung
Poincaré-Abbildung
Repellor
Zellabbildung
Bruchteil
Gebiet <Mathematik>
Stichprobe
Periodische Lösung
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Computeranimation
Periodische Lösung
Attraktor
Computeranimation
Durchschnitt <Mengenlehre>
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Analyse chaotischer Schwingungen - 2. Stabilität
Alternativer Titel Analysis of Chaotic Dynamics - 2. Stability
Autor Kreuzer, Edwin
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt in unveränderter Form zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.3203/IWF/C-1740
IWF-Signatur C 1740
Herausgeber IWF (Göttingen)
Erscheinungsjahr 1990
Sprache Deutsch
Produzent IWF
Produktionsjahr 1989

Technische Metadaten

IWF-Filmdaten Film, 16 mm, LT, 156 m ; F, 14 1/2 min

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Das raumzeitliche Verhalten nichtlinearer Schwingungen, d. h. ihre Stabilität, wird mit Hilfe von Lyapunow-Exponenten und im Ueda-Diagramm untersucht. Es werden Bifurkationen angezeigt. Besonders hilfreich ist die Methode der Zellabbildungen. Sie liefert mit Hilfe von Einzugsbereichen eine rasche Einsicht in das Langzeitverhalten. Geringfügige Veränderungen einzelner Parameter entscheiden über periodisches oder chaotisches Systemverhalten.
The stability; the spacial behaviour of non-linear oscillations, is explored using Lyapunow exponentials and Ueda diagram. Bifurcations are shown. Very useful is the method of cell figures, which allows a quick calculation of long-term stability. Minimal changes of certain parameters decide wether the system behaviour is periodic or chaotic.
Schlagwörter Systemverhalten, chaotisches
Systemverhalten, periodisches
Computersimulation
Markov-Ketten
Zellabbildung
Stabilitätsanalyse
Bifurkation
Ueda-Diagramm
Lyapunow-Exponent
Phasenkurve
Schwingung, chaotische
Schwingung, nichtlineare
dynamics, non-linear
dynamics, chaotic
phase curve
Lyapunow exponentials
Ueda diagram
bifurcation
stability analysis
cell figures
Markov chains
computer simulation
system behaviour, periodic
system behaviour, chaotic

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