Analyse chaotischer Schwingungen - 2. Stabilität
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Formal Metadata
| Title |
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| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - NoDerivatives 3.0 Germany: You are free to use, copy, distribute and transmit the work or content in unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. | |
| Identifiers | 10.3203/IWF/C-1740 (DOI) | |
| IWF Signature | C 1740 | |
| Publisher | ||
| Release Date | ||
| Language | ||
| Other Version | ||
| Producer | ||
| Production Year | 1989 |
Technical Metadata
| IWF Technical Data | Film, 16 mm, LT, 156 m ; F, 14 1/2 min |
Content Metadata
| Subject Area | |||||
| Genre | |||||
| Abstract |
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| Keywords | |||||
| IWF Classification |
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00:00
Mathematical analysisPerturbation theoryStationäre Lösung
01:01
Ljapunov-ExponentParameterraum
01:13
Ljapunov-ExponentTrajectory
01:25
Velocity
01:37
Vector graphicsTrajectoryEuclidean vectorLength
01:49
Euclidean vectorLength
02:01
TrajectoryQuotient
02:12
Strecke
02:34
MathematicsLjapunov-ExponentFinite setEuclidean vector
02:45
Euclidean vectorPotenz <Mathematik>
02:56
Potenz <Mathematik>Dynamical system
03:08
ExponentiationFluxPotenz <Mathematik>Ljapunov-ExponentPeriodische LösungTrajectoryOrbitAnfangsbedingungBifurcation theory
04:13
DiagramOscillationSample (statistics)BerechnungLjapunov-ExponentInterface (chemistry)AttractorSeltsamer AttraktorGebiet <Mathematik>Potenz <Mathematik>ZellabbildungStationäre LösungCovering spaceParameter (computer programming)OrbitParameterraumAnfangsbedingungPoint (geometry)Poincaré mapStationary stateBruchteilNichtlineare DynamikPlane (geometry)
11:19
Probability distributionSeltsamer AttraktorPeriodische Lösung
11:49
Periodische Lösung
12:18
AttractorPeriodische LösungDurchschnitt <Mengenlehre>
12:38
Durchschnitt <Mengenlehre>
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Analyse chaotischer Schwingungen Teil 2 Stabilität
00:25
Bei einer Stabilitätsanalyse untersucht man normalerweise die Auswirkungen von Störungen auf den Systemzustand. Bei stabilen Systemen erwartet man, dass kleine Störungen des Systemzustands sich auch nur begrenzt auswirken.
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Für technische Systeme ist es wichtig zu wissen, ob es einen praktisch nutzbaren Einzugsbereich für die stationäre Lösung gibt oder nicht. Bei technischen Systemen hat man es aber nicht nur mit Störungen im Zustand des Systems zu tun, sondern auch mit Störungen der Systemparameter, die somit das System selbst verändern.
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Zur numerischen Untersuchung der Stabilität eines nicht linearen dynamischen Systems benutzen wir Lyapunov-Exponenten. Damit erhalten wir Stabilitätsdiagramme im Parameterraum. Eine Parameterveränderung beeinflusst das Verhalten oft entscheidend. Lyapunov-Exponenten charakterisieren die durchschnittliche exponentielle Divergenz
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oder Konvergenz benachbarter Trajektorien bezüglich einer Referenztrajektorie. Um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu bestimmen, mit der eine vorgegebene Abweichung verstärkt wird, führen wir einen Vektor A ein, der den anfänglichen Abstand zweier benachbarter Trajektorien misst.
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Im Laufe der Zeit ändert sich der Abstand. Aber wie? Dazu betrachten wir die Norm von A von T, das heißt die Länge des Vektors A.
02:02
Die mittlere exponentielle Änderung des Abstandes der beiden ursprünglich dicht benachbarten Trajektorien wird definiert durch den Grenzwert des Quotienten 1 durch T mal ln A von T durch A. Wir betrachten also die Längenzunahme einer infinitesimal kleinen Strecke A nach unendlich langer Zeit.
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Sigma nennt man Lyapunov-Exponent. Der russische Mathematiker Ozeledić bewies die Existenz und die Endlichkeit von Sigma.
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Diese einfache Beschreibung der Divergenz einer Norm eines Vektors lässt sich für höhere Dimensionen verallgemeinern. Die Anzahl der verschiedenen Exponenten entspricht der Dimension des Zustandsraumes.
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Bei einem kontinuierlichen dynamischen System ist das mittlere Verhalten entlang des Flusses konstant. Der Exponent Sigma entlang des Flusses ist also gleich Null. Negative Exponenten weisen auf periodische Bahnkurven hin.
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Mindestens ein positiver Exponent tritt dagegen auf bei Divergenz anfangs dicht benachbarter Trajektorien. Das heißt, es liegt ein chaotischer Orbit vor. Im Bereich periodischer Lösungen bedeutet das Verschwinden eines Exponenten den Stabilitätsverlust eines Orbits und die gleichzeitige Geburt eines anderen stabilen Orbits.
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Ein Kennzeichen für eine Bifurcation. Mit Hilfe der Lyapunov-Exponenten können wir Stabilitätsdiagramme erzeugen, die zum Beispiel das Systemverhalten als Funktion des Dämpfungskoeffizienten D von der Anregungsamplitude A wiedergeben.
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Die folgende Bildserie wurde durch Start mit verschiedenen Anfangsbedingungen erzeugt. Wir hielten dabei die Anfangsgeschwindigkeit konstant gleich Null und veränderten nur die Anfangsauslenkung x, beginnend mit x gleich minus zwei.
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Blaue Gebiete bedeuten negative, gelbe und rote positive Exponenten. In den grünen Übergangsbereichen liegen Exponenten vom Wert Null, das bedeutet Verzweigungen vor. Für diese Bildfolge haben wir zur Auslenkung x jeweils das Increment Delta x gleich 0,5 addiert.
04:48
Die sich verändernde Struktur innerhalb der Stabilitätsdiagramme zeigt das in Abhängigkeit von den Startbedingungen unterschiedliche Langzeitverhalten für identische Systemparameter an.
05:50
Die Überlagerung aller Diagramme unserer Berechnungen mit Hilfe von Lyapunov-Exponenten liefert dieses Bild. Die schraffierten Gebiete zeigen koexistierende stationäre Lösungen an.
06:01
Das bedeutet, dass derselbe Oszillator mit festen Parametern unterschiedliches Langzeitverhalten zeigen kann. Wir sehen einen kleinen Ausschnitt des bereits gezeigten Diagramms von Ueda.
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Sein vollständiges Diagramm zeigt für einen großen Bereich der Parameter A und D eine Vielfalt verschiedener Verhaltens. Auch Ueda beobachtete unterschiedliches Verhalten für gleiche Parameterwerte. Diese Gebiete sind senkrecht schraffiert.
06:50
Wir beschränken uns wieder auf das interessante Gebiet zwischen A gleich 5 bis 15 und D gleich 0 bis 0,2.
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Uedas Beobachtungen werden durch das Diagramm bestätigt, dass wir mittels der Lyapunov-Exponenten erhalten haben. Koexistierende Endzustände in ein und demselben System für identische Parameterwerte sind ein wichtiges und vertrautes Merkmal nicht linearer dynamischer Systeme.
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Außer verschiedenen mehrperiodischen Schwingungen treten sogar periodische und chaotische Bewegungen gleichzeitig auf. Das heißt, verschiedene Anfangszustände führen zu vollkommen verschiedenen stationären Lösungen.
07:44
Als Beispiel wählen wir innerhalb des Parameterraums den Punkt A gleich 12, D gleich 0,1. Alle übrigen Parameter bleiben ebenfalls fest.
08:04
Hier treten eine periodische und eine chaotische Bewegung gleichzeitig auf. Der Zeitverlauf der chaotischen Bewegung ist uns bereits vertraut. Für dieselben Parameterwerte jedoch ausgehend von einem anderen Anfangszustand erhalten wir den Zeitverlauf für die periodische Schwingung.
08:23
Im dreidimensionalen Ringmodell ist die Koexistenz der periodischen und der chaotischen Schwingung offensichtlich. Schließlich soll uns die Poincaré-Abbildung noch das unterschiedliche Langzeitverhalten in der Schnittebene zeigen.
08:51
Hier schwingt die Bewegung auf einen seltsamen Attraktor der bereits vertrauten Form ein.
09:03
Für eine andere Anfangsbedingung wird das Langzeitverhalten durch einen einzigen Punkt dargestellt. Verschiedene Anfangszustände führen zu qualitativ verschiedenem Langzeitverhalten. Sind verschiedene Langzeitbewegungen möglich, so benötigt man für den gegebenen Zustandsraum eine Information über die Einzugsbereiche der verschiedenen Bewegungen.
09:25
Eine Simulation mittels Auswertung vieler Anfangsbedingungen kann sehr zeitintensiv sein. Ein pragmatischeres Verfahren ist die Methode der Zellabbildung von CSU aus Berkeley, USA. Sie wertet die zeitliche Entwicklung eines Systems auf der Grundlage einer großen Ansammlung vieler sehr kleiner Zellen aus.
09:47
Für unser Beispiel unterteilen wir das interessierende Gebiet der XX-Punktebene oder der Poincaré-Schnittfläche in kleine Teilgebiete. Der Einfachheit halber benutzen wir rechteckige Zellen. Im Allgemeinen kann die Form der Zellen jedoch beliebig sein.
10:05
Innerhalb einer jeden Zelle geben wir eine gewisse Anzahl von Stichproben als Startpunkte vor. Ausgehend von diesen Punkten entwickelt sich das System im Laufe der Zeit
10:21
entlang von Trajektorien, deren einzelne Endpunkte wir durch Integration über eine Anregungsperiode bestimmen. Die relative Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zelle auf eine andere Zelle abgebildet wird, ist der Bruchteil der Punkte, der sich in einer Zielzelle wiederfindet.
10:43
Diese Information dient zusammen mit der Markov-Kettentheorie zur Ermittlung stationärer Zustände in der Schnittfläche. Für den Parameterwert a gleich 12 wird die chaotische Lösung dargestellt durch diesen seltsamen Attraktor. Der koexistierende Orbit mit der Periode 1 wird repräsentiert durch einen einzelnen Punkt.
11:05
Aufgrund der Zellabbildungsmethode bedecken die stationären Lösungen dieselbe Fläche wie bei der Poincaré-Abbildung. Jetzt ergänzen wir die Attraktoren durch ihre Einzugsbereiche.
11:20
Ausgehend von dem grünen Bereich endet das System mit 100%iger Wahrscheinlichkeit innerhalb des seltsamen Attraktors. Bei einem Start im gelben Bereich beträgt die Wahrscheinlichkeit zwischen 50 und 100%. Und wenn man im violetten Bereich startet, ist sie 0 bis 50%.
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Auf dieselbe Weise kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die periodische Lösung erhalten. Ausgehend von grün gelangen wir mit 100%iger Wahrscheinlichkeit zur periodischen Lösung. Von gelb aus enden wir dort mit 50 bis 100%iger Wahrscheinlichkeit.
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Von violett aus schließlich mit einer 0 bis 50%igen Wahrscheinlichkeit. Abschließend untersuchen wir noch das Zeitverhalten beider Einzugsbereiche.
12:23
Vom entferntesten Rand des Einzugsbereichs benötigt man etwa 14 Sekunden, um in chaotischem Attraktor zu enden. Bei der periodischen Lösung dauert dies im Durchschnitt 16 Sekunden.
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Ähnliche Ergebnisse erhält man mit der Zellabbildungsmethode auch für andere Parameterwerte und Phasenwinkel.