Die "Hauptsatzmaschine" - Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Video in TIB AV-Portal: Die "Hauptsatzmaschine" - Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Formal Metadata

Title
Die "Hauptsatzmaschine" - Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Alternative Title
The "Fundamental Theoreme Machine" - On the Fundamental Theoreme of Calculus
Author
Contributors
License
No Open Access License:
German copyright law applies. This film may be used for your own use but it may not be distributed via the internet or passed on to external parties.
Identifiers
IWF Signature
C 1489
Publisher
Release Date
1983
Language
German
Producer
IWF (Göttingen)
Production Year
1982

Technical Metadata

IWF Technical Data
Film, 16 mm, LT, 190 m ; F, 17 1/2 min

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Mit der "Hauptsatzmaschine", einem Integraphen, wird die Gültigkeit des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für konstante und für stückweise lineare Funktionen gezeigt; mit Hilfe elementarer Treppenfunktionen erfolgt die Übertragung auf beliebige stetige Funktionen (Realtrick). Die mathematische Analyse dieses Fortsetzungsprozesses (Zeichentrick) liefert einen anschaulichen Beweis des Hauptsatzes.
Through the main theorem of the differential and integral calculation, the integration of constant functions is returned to the task of finding master functions. This is realised in the "main theorem machine" - an Integraph - as a cinematic principle. The Integraph transfers the main theorem of elementary step functions to any constant functions. The mathematical analysis of this continuation process, shown as trick film, supplies simple, visual evidence of the main theorem for constant functions.
Keywords Fundamentalsatz der Analysis Differentialrechnung, Hauptsatz der Integralrechnung Treppenfunktion Integraph Stammfunktion fundamental theorem integral calculus step function integraph derivative fundamental theorem of calculus
Differential (mechanical device) Computer animation Integral calculus Integral calculus
Function (mathematics)
Computer animation
Function (mathematics)
Lecture/Conference Höhe Direction (geometry)
Graph (mathematics) Function (mathematics)
Graph (mathematics) Function (mathematics) Line (geometry) Derived set (mathematics)
Function (mathematics) Antiderivative
Interface (chemistry) Function (mathematics)
Lineare Funktion Buckling Function (mathematics)
Lineare Funktion Area Interface (chemistry) Berechnung Heaviside step function
Logical constant Coordinate system Function (mathematics) Line (geometry)
Logical constant Interface (chemistry) Approximation
Graph (mathematics) Approximation
Interface (chemistry) Abschätzung Approximation
Approximation
Weight Approximation
Interface (chemistry)
Area
Partition of a set Interface (chemistry) Summation Length Girder
Function (mathematics)
Function (mathematics)
Area Function (mathematics) Derived set (mathematics)
Partition of a set Function (mathematics) Approximation Derived set (mathematics)
Computer animation Höhe Mathematics Interface (chemistry) Function (mathematics) Antiderivative Heaviside step function Derived set (mathematics)
Dieses Gerät ist ein Integraph. Es wird uns eine überraschende Möglichkeit aufzeigen: den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zu beweisen. Wir werden zunächst die Wirkungsweise des Integraphen für den einfachsten Fall einer konstanten
Funktion f verdeutlichen. Vorher wollen wir das Gerät etwas besser kennenlernen: Dieses Gestänge verbindet die untere mit der oberen Zeichenebene.
Der Fahrstift in der unteren Zeichenebene wird auf dem Graphen der gegebenen Funktion f entlangfahren.
Im oberen Teil befindet sich ein Richtungslineal, das von dem Gestänge geführt wird. Verbunden mit dem Richtungslineal ist ein Schneidenrad.
In der Ausgangsstellung stehen Schneidenrad und Richtungslineal parallel zur ersten Achse.
Für die konstante Funktion f = h wird die Ordinatenhöhe h über diese Stange
direkt auf das Richtungslineal übertragen.
Der Fahrstift steht auf der Ordinatenhöhe h, damit stellt sich
gleichzeitig das Schneidenrad in die durch das Steigungsdreieck mit Breite 1 und Höhe h festgelegte Richtung.
Nun wird der Graph der konstanten Funktion f = h mit dem Fahrstift nachgefahren.
Das Schneidenrad verschiebt die obere Zeichenebene, dabei ändert das Schneidenrad,
das uns den Graphen einer neuen Funktion zeichnet, seine Laufrichtung nicht.
Ihr Graph ist demzufolge eine Gerade. Wir bezeichnen ihn mit F. Er hat die Steigung h. Da die Steigung an jeder Stelle den Wert der Ableitung F' angibt, ist also F' = h.
Also gilt: F ist eine Stammfunktion von f.
An einer beliebigen Stelle x kann der Funktionswert F (x) mit dem Strahlensatz bestimmt werden: Es gilt also: (F(x) = • (x—a). Anders interpretiert heißt dies: Der Funktionswert der Funktion F an der Stelle x ist gleich dem Inhalt der gelben Rechteckfläche.
Die vom Integraphen gezeichnete Funktion F gibt somit zu jeder Stelle x den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f von der Anfangsstelle a bis zur Stelle x an. Diese Aussage, zusammen mit dem Ableitungszusammenhang: F'(x) = f (x), ist
der Hauptsatz für konstante Funktionen.
Jetzt eine stückweise lineare Funktion. — Hier: ein Knick in
der oberen Zeichenebene.
Fährt der Fahrstift weiter entlang der Funktion f, so zeichnet das Schneidenrad
den Graphen einer krummlinigen Funktion F. Für stückweise lineare Funktionen gilt der Hauptsatz stückweise.
Für einfache Treppenfunktionen werden wir dies gleich anwenden. Den Hauptsatz für stückweise lineare Funktionen kann man noch immer leicht durch einfache geometrische Berechnungen nachweisen.
Aber: Dieser Flächeninhalt zwischen der Anfangsstelle a und einer beliebigen Stelle x ist nun nicht mehr ohne weiteres elementar berechenbar. Aber man kann die gesamte Fläche unter dem Graphen von f durch eine innere und eine äußere Rechteckfläche einschachteln: Damit wird f durch zwei konstante Funktionen eingeschachtelt. Mit dem Integraphen bestimmen wir
die Integralfunktionen dieser beiden Funktionen. Zuerst die untere:
Während der Fahrstift auf der unteren Konstanten entlangfährt, zeichnet das Schneidenrad im oberen Koordinatensystem die zugehörige Gerade.
Genauso bestimmen wir die Integralfunktion zur oberen Konstanten.
Diese Approximationen der Fläche unter dem Graphen von f sind sehr grob. Wir halbieren deshalb die Intervallange, approximieren die Fläche unter f durch zwei innere und zwei äußere Rechtecke und bestimmen die
Integralfunktionen für diese zweite Approximation.
Der gezeichnete Graph hat eine Knickstelle.
Die gleiche Beobachtung machen wir für die äußeren approximierenden Rechtecke.
Wir verbessern nun unsere Abschätzung nochmals: Unter dem Graphen von f wird die Fläche durch acht innere und acht äußere gleich breite Rechtecke appoximiert. . . . Innere Approximation
Äußere Approximation . . .
16-Teilung: nochmals verbesserte Approximation .
. . Der Integraph zeichnet Paare von oberen und unteren Integralfunktionen, die sich immer besser aneinander annähern. Theoretisch kann man
f beliebig gut durch untere bzw. obere Treppenfunktionen approximieren. Das heißt: Man kann die Fläche
unter dem Graphen von f von innen bzw. von außen beliebig genau durch Rechteckflächen annähern.
Die zugehörigen Integralfunktionen bilden von unten eine monoton wachsende, von oben eine monoton fallende Funktionsfolge. Ja, noch mehr: Die Graphen
dieser Paare rücken dabei beliebig nahe zusammen.
Die Differenz der Funktionswerte wächst monoton. Sie muß an der Stelle b am größten sein. Dort ist aber die Differenz der Funktionswerte gleich der Differenz der Flächeninhalte der
zugehörigen äußeren und inneren Rechteckapproximationen der gesamten Fläche unter dem Graphen von f im Intervall von a bis b.
Die Länge des Balkens ist also gerade gleich der Summe aller so entstandenen grünen Differenzflächen, von denen wir hier nur einen Ausschnitt zeigen. Und diese kann bei Verfeinerung der Zerlegung beliebig klein gemacht werden. Natürlich können wir dies im Film nicht veranschaulichen.
Weil nun die oberen und unteren Integralfunktionen bei genügender Verfeinerung beliebig nahe zusammenrücken, gibt es höchstens eine Funktion, die zwischen allen diesen Funktionspaaren liegt.
Fährt man mit dem Fahrstift auf dem Graphen von f
entlang, so bestimmt der Integraph die Funktion, die dies erfüllt.
Wir wollen sie wieder F nennen.
Aus der Monotonie der Flächeninhalte folgt, daß auch die Integralfunktion von f zwischen allen Paaren liegen muß. Also: Die gezeichnete Funktion F ist die Integralfunktion zu f. Wir wollen für das Weitere annehmen, daß die Funktion F differenzierbar ist. Dies ist aus der Anschauung heraus leicht zu rechtfertigen; denn: es können im Graphen von F keine Knickstellen auftreten, wenn f nicht springt. Und dies ist ja gewährleistet.
Nun müssen wir für den Hauptsatz noch zeigen, daß die Ableitung von F f ist.
Dazu schauen wir uns die Approximationen von F durch die oberen und unteren Integralfunktionen nochmals an:
Die Breite der senkrechten Streifen ergibt sich aus der — gerade erreichten — Zerlegung des Intervalls [a; b] und verkleinert sich mit jedem weiteren Approximationsschritt. In jedem Streifen kann man die Steigung von F nach oben und nach unten abschätzen durch die Steigungen der darüber- bzw. darunterliegenden Geradenstücke. In jedem Streifen gilt, wie in diesem: Die Steigung der unteren Integralfunktion ist kleiner gleich der Ableitung F', und diese wiederum ist kleiner gleich der Steigung der oberen Integralfunktion. Durch unsere Approximation schachteln wir also nicht nur die Funktion F ein, sondern wir schachteln auch — stückweise — ihre Ableitung F' ein, und zwar durch die Steigungen der darunter- bzw. darüberliegenden Geradenstücke. Schauen wir noch etwas näher hin: In den Streifen sind die Steigungen jeweils konstant — im Gegensatz zu F'. Die untere ist immer kleiner als die obere, und dazwischen liegt F'. Doch wie groß sind die Steigungen?
Nehmen wir doch den entsprechenden Ausschnitt aus den Rechteckapproximationen der Fläche unter dem Graphen von f hinzu. Die Geradensteigungen sind gleich den Höhen der zugehörigen äußeren und inneren Teilrechtecke, und damit nichts anderes als die Funktionswerte der Treppenfunktionen, die f approximieren. Wir benennen sie vorübergehend mit t unten quer, t oben quer. Dazwischen liegt F'. Also gilt: t unten quer ≤ F' ≤ t oben quer. Da sich die Treppen funktionen beliebig gut von unten bzw. von oben an f annähern, können wir — beide — durch f ersetzen. Beide < bleiben dabei erhalten. Das kann aber nur dann gelten, wenn F' = f ist. Die vom Integraphen gezeichnete Funktion F ist nicht nur Integralfunktion, sondern auch Stammfunktion zu f. Das ist aber... der Hauptsatz. Die Ableitung der Integralfunktion F von f ist gleichf! Diese Beziehung realisiert der Integraph, unsere Hauptsatzmaschine.
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