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Analyse chaotischer Schwingungen - 1. Zustandsraum

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Deterministische nichtlineare dynamische Systeme zeigen viele Verhaltensweisen, die von periodischen Schwingungen bis zu
irregulären chaotischen Bewegungen reichen. Bei deterministischen Systemen garantieren dieselben Anfangsbedingungen, dass die Bewegungen für alle Zeiten identisch bleiben. Analytische Lösungen gibt es dafür nur in speziellen wohldefinierten Situationen, d. h. die Gleichungen sind integrierbar. Periodisches Verhalten dynamischer Systeme und dafür geeignete Analysemethoden sind uns vertraut. In nichtlinearen Systemen können jedoch auch chaotische Bewegungen auftreten und werden tatsächlich oft in periodisch erregten Schwingern beobachtet. Diese Vielfalt von Erscheinungen macht die Untersuchung nicht linearer Systeme so reizvoll, aber auch schwierig. Gewöhnlich versagen
klassische Verfahren zur Charakterisierung scheinbar irregulären Verhaltens. Um moderne Verfahren zur Analyse und Charakterisierung nicht linearer dynamischer Systeme zu erläutern, benutzen wir als mathematisches Modell eine Gleichung vom Typ wie sie erstmals von dem deutschen Ingenieur Duffing angegeben wurde. Diese Gleichung beschreibt einen nicht autonomen periodisch erregten Oszillator mit einem Freiheitsgrad. Im Maschinenbau könnte solch eine Gleichung zum Beispiel die Bewegung einer sinusförmig angelegten Struktur modellieren, die große elastische Auslenkungen zeigt. Die Auslenkung wird durch die x-Koordinate beschrieben. Die Anregungsfrequenz ist Omega, die Parameter d, c und a geben Masse, Dämpfungskoeffizient, Federungskonstante und Erregeramplitude an. Alle Parameter sind normiert und daher dimensionslos. Als einfache technische Realisierung des mathematischen Modells betrachten wir ein mechanisches Modell. Es besteht aus einer Masse m,
die mit dem Fundament durch eine Kombination einer nichtlinearen Feder c und einem Dämpfer d verbunden ist. Die periodische Anregung
mit der Frequenz Omega wird durch einen Rotor mit Unwucht symbolisiert. Für die vorgestellten Simulationen werden die folgenden Parameter konstant gehalten. Die Masse m setzen wir = 1, die Federkonstante c = 1, den Dämpfungskoeffizient d = 0,1 und die Erregerfrequenz Omega = 2 Pi. Als einzigen Parameter verändern wir die Erregeramplitude a. Den sogenannten Regelparameter a halten wir während der Beobachtung konstant. Diese Art der Variation eines Parameters nennt man quasistatisch. Uns interessiert hauptsächlich das Langzeitverhalten des Systems. Diese auch als stationär bezeichnete Antwort des Systems auf verschiedene Werte der anregenden Amplitude wird als nächstes durch digitale Simulationen demonstriert.
Eine Schwingung der Periode 1 erhält man für den Parameter a = 4.
Die Bewegung ist bereits stationär. Sie wiederholt sich nach jeweils einer Sekunde.
Eine Schwingung der Periode 3 erhält man für a = 9. Das heißt, der Vorgang wiederholt sich alle drei Sekunden.
Wieder betrachten wir nur das stationäre Verhalten nach Abklingen des Einschwingvorgangs. 3. Chaotische Bewegungen: a = 12
Chaotische Bewegungen beobachten wir für a = 12. Die Schwingungen sind nicht
mehr periodisch, sondern unregelmäßig. Sie werden deshalb auch chaotisch genannt. Obgleich gewisse Wellenformen in unregelmäßigen Abständen wiederkehren, ist doch keine exakte Wiederholung erkennbar. Die Bewegung ist also tatsächlich nichtperiodisch. Bisher sahen wir, wie sich die Anregungsamplitude auf die beim Oszillator auftretenden Phänomene auswirkt. Die verwendete Gleichung beschreibt ein überaus komplexes Verhalten, das selbst heute noch nicht vollständig verstanden wird. 1. Bifurkation
Es gibt erzwungene Schwingungen mit unterschiedlicher Periodizität.
Selbst die Bereiche chaotischer Bewegungen sind keinesfalls selten. Die Parameterabhängigkeit kann geometrisch durch Stabilitätsdiagramme veranschaulicht werden. Hier betrachten wir nur die Abhängigkeit des Dämpfungsparameters d von der Erregeramplitude a. Die bisher benutzten Kombinationen von a und d sind durch Punkte markiert. Offensichtlich gibt es einen Übergang von einem Verhalten zum anderen. Einen derartigen Übergang von einem qualitativen Verhalten zu einem anderen nennt man Bifurkation oder Verzweigung. Sorgfältige Analog- und Digitalrechnersimulationen durch den Japaner Ueda ergaben Kurven, an denen diese Übergänge stattfinden. Blau bedeutet periodische, rot chaotische Bewegungen. Trotz des einfachen mathematischen Modells verhält sich das System also keineswegs einfach. 2. Akustische Demonstration Außer der Demonstration der Bewegung selbst kann auch hörbar gemacht werden, was im System vorgeht, wenn man unter Verwendung eines schnellen Analogsimulators eine erhöhte Anregungsfrequenz von 400 Hertz erzeugt und die Simulation für die drei Parameterwerte wiederholt. Die folgenden Töne entsprechen den qualitativ verschiedenen Arten des Verhaltens: - Dieser klare Ton entspricht der einperiodischen Schwingung. - Ganz anders der Ton bei der Schwingung mit der dreifachen Schwingungsdauer.
- Dieses verrauschte Signal wird durch eine chaotische Schwingung produziert. Es wird von vielen verschiedenen Frequenzen gleichzeitig erzeugt. Bisher haben wir die akustischen Versuche auf quasistatische Weise durchgeführt, indem wir alle Parameter während des Versuchs konstant hielten. Jetzt verändern wir den Parameter a zwischen a = 4 und a = 12 stetig und hören eine Sequenz von Bifurkationen. Auf periodische Schwingungen folgen chaotische Bewegungen. Darauf folgen wieder periodische und chaotische Bewegungen. Zweidimensionaler Zustandsraum Der zeitliche Verlauf einer Bewegung läßt nicht immer die wesentlichen Merkmale des Systemverhaltens erkennen. Zur qualitativen Untersuchung dynamischer Systeme benötigen wir ein besseres geometrisches Konzept, nämlich den sogenannten Zustandsraum, der bereits von Poincaré eingeführt wurde. Für eine einzige verallgemeinerte Koordinate x hat man einen zweidimensionalen Zustandsraum gegeben durch die Auslenkung x und die Geschwindigkeit x-Punkt. Die Änderung des aktuellen Zustands des Systems wird im Zustandsraum durch eine Kurve repräsentiert, die sogenannte Trajektorie oder der Orbit. Jeder Punkt dieser Kurve trägt - zumindest implizit - einen Parameter, der die Zeit angibt. Der Zustandsraum, angefüllt mit Trajektorien, wird als Phasenportrait bezeichnet. Einschwingvorgänge klingen ab. Schließlich stellt sich ein stationärer Zustand ein. Wir benutzen wieder unsere Modellgleichung zur Erzeugung der Phasenkurven für drei verschiedene Werte der Anregungsamplitude a. Diese geschlossene Kurve stellt die stationäre Lösung dar für a = 4. Eine Lösung mit der Periode 1, die sich folglich nach einer einzigen Anregungsperiode schließt, für den Parameterwert a
= 9 erhalten wir eine stabile stationäre dreiperiodische Lösung, d. h. die Kurve schließt sich nach drei Anregungszyklen. Also ist die Bewegung periodisch von der Ordnung 3. Der Parameter a = 12 führt zu einer
stationären chaotischen Schwingung, d. h. das beobachtete Verhalten ist kein Einschwingvorgang. Obgleich sich die Kurve nicht schließt, kann sie schließlich doch dem Ausgangspunkt beliebig nahe kommen. Diese Verhalten bezeichnet man als rekurrent. Ein bestimmter Zustand eines dynamischen Systems heißt dann rekurrent, wenn das System nach einer gewissen Zeit beliebig nahe zu diesem Zustand zurückkehrt. Die Bewegung ist stationär bezüglich ihres Langzeitverhaltens, weil sie innerhalb eines Bereiches verweilt und sollte daher nicht als Einschwingungsvorgang angesehen werden. Dreidimensionaler Zustandsraum Ein autonomes System mit sich nicht schneidenden Trajektorien erhält man aus dem nicht autonomen System unter Verwendung der Zeit als dritter Zustandskoordinate. So erhalten wir einen dreidimensionalen Zustandsraum und für eine Periodendauer t = 2 Pi durch Omega - der Anregung - bei Annahme einer Schwingung der Periode 2 ein solches dreidimensionales Phasendiagramm. Nach zwei Anregungszyklen kehren wir wieder zu denselben Koordinaten x und x-Punkt zurück. Von einem Punkt A aus gelangen wir zu dem Punkt B zurück zu A. Der Abstand zwischen diesen Punkten entlang der t-Achse beträgt 4 Pi durch Omega. Beginnen wir bei Punkt B, so bedeutet dies eine Verschiebung der Trajektorie um den Betrag 2 Pi durch Omega. Das komplette dreidimensionale Bild liefert einen besseren Einblick in das Verhalten als das zweidimensionale Portrait. Alle bisher gezeigten Lösungen waren asymptotisch stabil, d. h. benachbarte, blaue Trajektorien konvergieren gegen diese Lösungen und sind schließlich mit zunehmender Zeit nicht mehr von ihnen zu unterscheiden. Aus diesem Grunde heißen diese Lösungen Attraktoren. Das gilt ganz allgemein auch für höhere Dimensionen. Dissipative dynamische Systeme zeigen anfangs einen Einschwingvorgang und konvergieren während der Bewegung gegen einen Attraktor. Im dreidimensionalen Zustandsraum winden sich die Trajektorien einer erzwungenen Schwingung spiralförmig um die Zeitachse. In der Phasenbildprojektion rotiert dieser Punkt um den Ursprung. Blickt man in Gegenrichtung zur Zeitachse, so erkennt man die zweidimensionale Projektion des dreidimensionalen Phasendiagramms wieder. Sie ist selbstverständlich identisch mit dem früheren zweidimensionalen Portrait. A und B sind die Schnittpunkte der Trajektorie mit der x-x-Punkt-Ebene zu Zeitpunkten t in Abstand ganzzahliger Vielfacher der Anregungsperiode.Der Nachteil des bisher benutzten dreidimensionalen Zustandsraummodells ist, dass es keine geometrischen Veranschaulichungen der periodischen Anregung liefert. Ringmodell Dafür eignet sich
besser ein Ringmodell, das wir folgendermaßen erhalten: x und x-Punkt spannen eine Ebene R2 auf. Ein Anregungszyklus wird durch einen
Kreis S1 dargestellt. Durch Kombination
beider entsteht ein zylindrischer Ring, ein Beispiel für ein kartesisches Produkt. Jeder Punkt innerhalb des
erzeugten dreidimensionalen Schemas entspricht einem Zustand des Systems. Deutlicher wird dies nach Entfernen eines Segments. Beim Vergleich mit unserer ursprünglichen dreidimensionalen Figur stellen wir fest, der Phasenwinkel Omega x t der Anregungsschwingung ist an die Stelle der Zeitkoordinate getreten. Alle Lösungen des erregten Schwingers sind in diesen Ring eingebettet. Die
periodischen Lösungen werden durch geschlossene Trajektorien dargestellt. Hier die zweiperiodische Lösung. Die blauen Trajektorien repräsentieren das Einschwingverhalten und winden sich um die periodische Lösung, der sie mit jedem Anregungszyklus immer näher kommen. Die einperiodische Schwingung ist durch eine Trajektorie wiedergegeben, die sich nach einmaligem Umlauf im Ring schließt, und die Lösung mit dreifacher Periodendauer durch eine Bahn, die sich nach drei Anregungszyklen schließt. Eine nichtperiodische
oder auch chaotische Trajektorie schließt sich nie. Bettet man eine solche Trajektorie in den Ring ein, so sieht sie nach einiger Zeit aus wie ein undurchdringlicher Strang. Zum besseren Verständnis der sehr komplizierten Form ersetzen wir den Strang durch diesen Körper. Das Ringmodell erlaubt einen wesentlich besseren Einblick in das Verhalten eines angeregten nichtlinearen Oszillators. Doch auch damit läßt sich das dynamische Verhalten von chaotischer Bewegung nur sehr schwer analysieren. Deshalb betrachten wir nicht den gesamten Ring, sondern nur einen Querschnitt, einen sogenannten Poincaréschnitt. Poincaréschnitt Diese Fläche, die ursprünglich von Henry Poincaré Ende des letzten [des 19.] Jahrhunderts eingeführt wurde, kann willkürlich gewählt werden, solange sie nur die Trajektorien transversal schneidet. Aber in unserem Falle eignet sich eine Ebene besonders gut, nämlich die beim Phasenwinkel Phi = 0 Grad, genannt Sigma, die mit der Fläche R2 unseres Ringmodells zusammenfällt.
Durch die Fläche wird das kontinuierliche System diskretisiert. Der Fluß des Systems - dargestellt durch Trajektorien - erzeugt in der Ebene Sigma einzelne Punkte. Diese diskrete Abbildung heißt daher Punktabbildung oder Poincaré-Abbildung und vermittelt eine wesentlich
bessere Einsicht in das Systemverhalten. Periodische Lösungen werden durch eine gleichbleibende Anzahl von Punkten repräsentiert, z. B. der einperiodische Orbit durch einen einzelnen Punkt auf der Ebene. Die Lösung mit
dreifacher Periode durch drei verschiedene Punkte
und die chaotische Bewegung
durch unendlich viele Punkte, die mit der Zeit eine geometrische Figur erzeugen, den sog. seltsamen Attraktor. Obwohl der Attraktor durch eine einzige Trajektorie erzeugt wird, springen die Durchstoßpunkte scheinbar regellos oder willkürlich über die Ebene. Aus der in sich verknäulten, kontinuierlichen Trajektorie konnten wir keine präzisen Aussagen über die Dynamik der Bewegung erhalten, außer, daß sie sehr kompliziert ist. Im Gegensatz dazu zeigt ein Poincaréschnitt sogar für eine chaotische Trajektorie gewisse Regelmäßigkeit. Offensichtlich erhalten wir verschiedene Bilder derselben Lösung, wenn wir die Schnitte bei verschiedenen Phasenwinkeln betrachten. Bei der chaotischen Lösung machen wir einmal innerhalb des Ringes die Runde und zwar durch kontinuierliche Änderung des Phasenwinkels Phi. Die Figur bei Phi = 180 Grad ist punktsymmetrisch zu der Figur bei Phi = 0 Grad. Diese Punktsymmetrie gilt für alle Phasenwinkel. Setzen wir unsere Fahrt fort, so erreichen wir schließlich wieder unsere Ausgangsposition.
Dynamics <Programm>
Analysis
Computeranimation
Parametersystem
Freiheitsgrad
Dynamik
Mathematische Modellierung
Mathematisches Modell
Gleichungssystem
Gleichung
Frequenz
Analytische Lösung
Computeranimation
Konstante
Periodische Störung
Parametersystem
Simulation
Federsteifigkeit
Frequenz
Dampf
Variable
Computeranimation
Parametersystem
Schwingung
Computeranimation
Einschwingvorgang
Abklingen <Physik>
Schwingung
Computeranimation
Verzweigung <Mathematik>
Abstand
Bewegung
Gleichung
Computeranimation
Mathematische Modellierung
Verzweigungspunkt
Schwingung
Verzweigung <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Periodendauer
Computeranimation
Geschwindigkeit
Parametersystem
Einschwingvorgang
Punkt
Kurve
Dynamik
Geschlossene Kurve
Stationärer Zustand
Ordnung 3
Verzweigung <Mathematik>
Trajektorie <Mathematik>
Frequenz
Computeranimation
Erzeugende
Zustand
Stationäre Lösung
Koordinaten
Ebene
Einschwingvorgang
Punkt
Kurve
Dynamik
Phasendiagramm
Diagramm
Autonomes System
Attraktor
Trajektorie <Mathematik>
Lösung <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Schnittpunkt
Schwingung
Periodendauer
Abstand
Repellor
Forcing
Koordinaten
Lösung <Mathematik>
Kreis
Punkt
Kartesisches Produkt
Computeranimation
Ebene
Periodische Lösung
Fläche
Schwingung
Periodendauer
Trajektorie <Mathematik>
Anharmonischer Oszillator
Computeranimation
Dynamisches Verhalten
Ebene
Periodische Lösung
Punkt
Abbildung <Physik>
Fläche
Poincaré-Abbildung
Fluss <Mathematik>
Computeranimation
Ebene
Seltsamer Attraktor
Dynamik
Punktsymmetrie
Rundung
Aussage <Mathematik>
Attraktor
Trajektorie <Mathematik>
Geometrische Figur
Gradient

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Analyse chaotischer Schwingungen - 1. Zustandsraum
Alternativer Titel Analysis of Chaotic Dynamics - 1. Spacemodel
Autor Kreuzer, Edwin
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt in unveränderter Form zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.3203/IWF/C-1739
IWF-Signatur C 1739
Herausgeber IWF (Göttingen)
Erscheinungsjahr 1990
Sprache Deutsch
Produzent Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF)
Produktionsjahr 1989

Technische Metadaten

IWF-Filmdaten Film, 16 mm, LT, 249 m ; F, 23 min

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Durch unwuchtbehaftete Rotoren erzwungene mechanische Schwingungen zeigen charakteristisches Verhalten, das mit Hilfe der nichtlinearen Duffing-Gleichung behandelt wird. Die Schwingungen werden an einem mechanischen Modell mit Feder und Stoßdämpfer in Abhängigkeit von der Erregeramplitude a computergraphisch dargestellt. Als Ergänzung zur Schwingungskurve dienen akustische Simulationen (Synthesizer). Zur Analyse werden Phasenkurven (Trajektorien), Poincaré-Schnitte, das 3D-Modell eines Strange Attractors und Ueda-Diagramme eingeführt.
Unbalanced rotors exhibit a characteristic mechanical oscillation. Using non-linear Duffing equations the dynamics are recreated in a computer model with springing and damping depending on the excitation amplitude. The curve is supplemented by synthesizer acoustics. Analysis using phase curve, trajectories, Poincaré sections, the 3D-Model of a strange attractor and Ueda-diagram.
Schlagwörter Duffing-Gleichung, nichtlineare
Unwucht / Rotoren
Rotoren, unwuchtbehaftete
Poincaré-Schnitt
Ueda-Diagramm
Orbit
Trajektorie
Phasendiagramm, dreidimensionales
Phasendiagramm, zweidimensionales
Strange Attractor
Schwingung, chaotische
Schwingung, erzwungene
Schwingung, mechanische
Schwingung, nichtlineare
dynamics, non linear
dynamics, mechanical
dynamics, forced
dynamics, chaotic
strange Attractor
phase diagram, two dimensional
phase diagram, three dimensional
trajectory
orbit
Ueda-Diagram
non-linear Duffing equation
Poincaré section
rotors, imbalance

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