Schwingung eines Duffing-Oszillators
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Formal Metadata
| Title |
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| Alternative Title |
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| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - NoDerivatives 3.0 Germany: You are free to use, copy, distribute and transmit the work or content in unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. | |
| Identifiers | 10.3203/IWF/C-1532 (DOI) | |
| IWF Signature | C 1532 | |
| Publisher | ||
| Release Date | ||
| Language | ||
| Other Version | ||
| Producer | ||
| Production Year | 1983 |
Technical Metadata
| IWF Technical Data | Film, 16 mm, LT, 142 m ; F, 13 min |
Content Metadata
| Subject Area | ||
| Genre | ||
| Abstract |
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| Keywords | ||
| IWF Classification |
00:00
Oscillation
00:15
AnregungFrequencyAnregungPropulsionParticle displacementOscillationTire balanceEngineGirderFrequencyStrich <Typographie>Moden
02:37
OscillationOscillationPhase diagramFrequencyVelocityAchseGirderParticle displacementKreuzer
03:34
AnregungPropulsionGirderOscillationOrbital periodPeriodendauer
04:54
OscillationPhase diagramOscillationFrequencyGirderAmplitudePropulsionParticle displacement
05:26
Particle displacementGirderAmplitudePropulsion
05:56
GirderPhase diagramOscillationFrequencyAmplitude
06:17
FrequencyAnregung
06:27
FrequencyAmplitudeGirder
06:58
AnregungFrequency
08:18
HarmonicOscillationOrbital periodOscillationFrequencyAnregung
08:51
GirderAnregungPeriodendauer
10:01
OscillationOscillationAnregungFrequencyTrajectoryPhasenebene
10:30
Oscillation
Transcript: German(auto-generated)
00:17
Wir betrachten einen Balken, der von beiden Seiten so zusammengedrückt wird, dass er im Ruhezustand aus der Mittellage ausgelenkt ist.
00:34
Außer dieser hier gezeigten unteren Ruhelage kann der Balken auch die obere Ruhelage einnehmen.
00:41
Beide Ruhelagen sind durch seitliche Striche gekennzeichnet. Wir wollen Schwingungen dieses Balken studieren. Die Anregung der Schwingung steckt in diesem kleinen Kasten in Balkenmitte. Er sei als Symbol für eine harmonische Anregung verstanden. Am einfachsten stellen wir uns darunter etwa einen Motor vor mit einer Unwucht, deren Lage durch den Zeiger angegeben ist.
01:08
Die Auslinkungen werden durch die sogenannte Duffing-Differentialgleichung beschrieben. Darin wurden die hier angegebenen Konstanten gewählt.
01:26
Hier dreht sich der Antrieb mit der Frequenz f gleich 3 Hertz. Nach 2 pi durch f Sekunden, hier nach ungefähr 2 Sekunden, hat der Zeiger eine volle Umdrehung ausgeführt.
01:46
Wir sehen die Antwort des Balkens. Er führt eine kleine Schwingung um seine Ruhelage aus. Wir werden diese Schwingung später noch einmal betrachten.
02:08
Je nach Frequenz und Anfangszustand können die verschiedensten Schwingungstypen auftreten.
02:28
Die folgenden 6 Szenen zeigen 6 verschiedene Schwingungen, die alle durch dieselbe Duffing-Differentialgleichung bestimmt sind.
02:45
Ehe wir die erste Schwingung mit der Frequenz f gleich 1 Hertz betrachten, werfen wir einen Blick auf das zugehörige Phasendiagramm. Die waagerechte X-Achse beschreibt die Vertikalauslenkung des Balkens. Auf der senkrechten Achse ist die Geschwindigkeit x Punkt aufgetragen.
03:04
Die beiden Ruhelagen sind durch Kreuze gekennzeichnet. Das rechte Kreuz entspricht der oberen Ruhelage des Balkens, das linke Kreuz der unteren Ruhelage. Bei der Betrachtung der Phasenkurve fällt die Punktsymmetrie zum Nullpunkt auf.
03:21
Die Phasenkurve ist geschlossen. Es handelt sich demnach um eine periodische Schwingung. Die hier ausgewählte Schwingung schwingt über beide Ruhelagen hinweg. In diesem Bild ist der Ausschlag des Balkens über der Zeit aufgetragen.
03:41
Die Lage oder Phase der Schwingung entspricht ungefähr der einer Cosinusschwingung. Das heißt, Antrieb und Balken bewegen sich weitgehend synchron. Der Zeiger wird oben sein, wenn auch der Balken oben ist und umgekehrt. Deshalb sind die Maxima und die Minima der Ausschläge besonders ausgeprägt.
04:06
Die eigentliche Schwingung ist nahezu harmonisch. Das heißt, die Schwingungsdauer stimmt mit der Umlaufzeit der Anregung überein.
05:01
Hier das Phasendiagramm der zweiten Szene. Trotz gleicher Frequenz wie in der vorigen Szene ist die Schwingung eine völlig andere. Die Bewegung ist unsymmetrisch zum Nullpunkt.
05:28
Bei dieser Phasenlage sind die Auslenkungen von Antrieb und Balken einander entgegengesetzt. Dies bewirkt eine geringere Amplitude.
06:04
In der dritten Szene ist die Frequenz mit F gleich 3 Hertz größer gewählt. Dem Balken bleibt bei dieser Frequenz keine Zeit für eine große Schwingung über beide Ruhelagen. Wie das Phasendiagramm zeigt, schwingt der Balken stattdessen mit sehr kleiner Amplitude nur um eine der beiden Ruhelagen.
06:23
Eben haben wir die Frequenz der Anregung mit F gleich 3 Hertz konstant gehalten. Jetzt in der vierten Szene ist die Frequenz variabel. Sie wird kontinuierlich abgesenkt. Dabei wächst die Amplitude zunächst nur langsam an.
06:44
Erst wenn der Nullpunkt erreicht ist, wird der Balken plötzlich große Schwingungen über beide Ruhelagen hinweg ausführen. Im Folgenden werden die Szenen 3 und 4 unmittelbar hintereinander ausgeführt.
07:16
Ausgehend von der Frequenz F gleich 3 Hertz wird die Anregung kontinuierlich verlangsamt.
08:26
In der fünften Szene erkennen wir eine subharmonische Schwingung, und zwar die zweite subharmonische. Die Frequenz der Anregung wird mit F gleich 0,4 Hertz wieder konstant gehalten. Bei einer subharmonischen Schwingung sind zwei Perioden zu unterscheiden.
08:51
Die Periode der Anregung ist wie immer 2 Pi dividiert durch die Frequenz, hier ungefähr 15 Sekunden.
09:08
Die Antwort des Balkens hat bei der zweiten subharmonischen die doppelte Schwingungsdauer, hier etwa 30 Sekunden.
10:08
Die letzte Szene zeigt eine ganz andere Art von Schwingung. Obwohl die Frequenz der Anregung wiederum konstant gehalten wird, ist die Schwingung nicht periodisch. Die Trajektorie ist also keine geschlossene Kurve wie zuvor.
10:24
Stattdessen werden bestimmte Bereiche der Phasenebene scheinbar regellos überdeckt. Hier abschließend eine solche aperiodische Schwingung.
10:44
Sie wird auch chaotisch genannt.