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Borsukscher Antipodensatz

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Der BORSUKsche Antipodensatz im R2. Es sei f eine stetige Abbildung, die das Einheitsquadrat K in den Raum R2 abbildet: Gilt für alle Randpunkte x des Quadrats K die Antipodenbedingung: f (—x) = —f (x) so existiert ein x 0 £ K mit f(x0) = 0. Dieser Satz ist in allgemeiner Formulierung ein wichtiger Existenzsatz für Lösungen von Gleichungssystemen f (x) = 0. Der Begriff Antipode kommt aus der Geographie. Betrachtet man die Erde als eine Kugel um 0, so sind zum Beispiel Rhodesien und Hawai zwei zueinander antipodische Länder auf der Erdoberfläche. Im folgenden wollen wir nun eine schärfere Formulierung des BORSUKschen Antipodensatzes betrachten, aus der wir später den allgemeinen Satz ableiten werden. Sei f : K—> R2 eine stetige Abbildung, gilt für alle Randpunkte x von K : f (—x) = — f (x), und besitzt f endliche Bildzerlegung, so hat f eine ungerade Anzahl von Nullstellen. Der Satz macht also folgende Voraussetzungen: Die Abbildung f, die das Einheitsquadrat K in den R2 abbildet, sei stetig. Für alle Randpunkte x von K soll die Antipodenbedingung: f (—x) = — f (x) gelten. Genügt f zusätzlich noch einer Zerlegungsbedingung an den Bildbereich, so behaupten wir: f hat eine ungerade Anzahl von Nullstellen. Für reellwertige Funktionen erkennen wir in der Aussage des Satzes im wesentlichen den Zwischenwertsatz: Auf einem abgeschlossenen Intervall [—a, a] betrachten wir den Graphen einer stetigen Funktion f. Das Intervall ist symmetrisch, und es gilt für die beiden Randpunkte —a, a die Bedingung: f(—a) = — f(a). Wir sehen, der Graph unserer Funktion hat einen echten Schnittpunkt mit der x-Achse, das heißt: einen Nulldurchgang. Betrachten wir im gleichen Intervall andere Funktionen f, die nur echte Schnittpunkte, d.h. keine Berührpunkte mit der x-Achse haben und die ebenfalls der Antipodenbedingung genügen, so stellen wir fest, daß alle die x-Achse ungerade oft schneiden. Man erkennt andererseits: Es muß mindestens eine Nullstelle existieren. Nachdem wir die Aussage des BORSUKschen
Satzes im R1 betrachtet haben, kommen wir nun zurück zum R2. Zur Erinnerung schauen wir uns noch einmal die Formulierung des Satzes an:
Wir gehen also nun aus von einem symmetrischen, achsenparallelen Quadrat K um 0. Durch eine stetige Abbildung
f bilden wir das Quadrat K in den Raum R2 ab.
Wir erkennen deutlich: das
Bild des Quadrates K unter der Abbildung f - eine Art Falte - ist eine ebene Figur, d.h. eine Teilmenge des R2. Hier sieht man
in einer Übersicht, wie die Abbildung f unser Quadrat K in den R2 abbildet.
Wir erkennen unmittelbar: Das Bild des Quadratrandes genügt der Antipodenbedingung. Es gilt also für alle Randpunkte x des Quadrates K: f(—x) = — f(x). Für unser gewähltes Beispiel wollen wir nun die Behauptung des Satzes überprüfen. Zur Vorbereitung betrachten wir zunächst im Bildbereich eine Gerade durch den Nullpunkt. Aufgrund der Antipodenbedingung liegen f (a) und f (—a) auf verschiedenen Seiten der Geraden. Wir wollen nun das Bild des Quadratrandes als eine Kurve betrachten, die von f (a) bis f (—a) läuft. Sie schneidet die Gerade einmal. Aus Symmetriegründen schneidet die Kurve von f (—a) bis f (a) die Gerade ebenfalls einmal. Betrachten wir eine weitere Gerade durch den Nullpunkt. Wegen der Antipodenbedingung liegen f (a) und f (—a) wiederum auf verschiedenen Seiten der Geraden. Die Randbildkurven von f (—a) bis f(a) schneiden die Gerade jeweils dreimal. Die gesamte Randbildkurve wird von der Geraden also sechsmal geschnitten. Diese Halbgerade hat demnach die halbe Anzahl von Schnittpunkten mit der Randbildkurve, also drei Schnittpunkte. Hier erhalten wir einen Schnittpunkt mit der Randbildkurve: Wir betrachten nur solche Halbgeraden, die in 0 beginnen und nur echte Schnittpunkte und damit keine Berührungspunkte mit der Randbildkurve haben. Sie besitzen alle eine ungerade Anzahl von Schnittpunkten mit der Randbildkurve. Wir haben gesehen: Dies ist eine Konsequenz der Antipodenbedingung! Der R2 , in dem die Falte - das Bild des Einheitsquadrates K unter der Abbildung fliegt, zerfällt in endlich viele Mengen, die die Eigenschaft haben, daß alle Punkte aus ein und derselben Menge die gleiche Anzahl von Urbildern bezüglich f haben. Sie werden durch die Ränder und Kanten der Falte begrenzt. Das äußere hellblaue Gebiet hat keine Urbilder im Definitionsbereich von f.
Die 0 ist nicht Randpunkt einer dieser Mengen. Erinnern wir uns für einen Moment zurück an die Formulierung des BORSUKschen Satzes in der schärferen Form: Neben der Antipodenbedingung verlangen wir noch, daß f einer Zerlegungsbedingung an den Bildbereich genügt. Diese Bedingung wollen wir nun präzise fassen. Wir sagen:
f besitzt endliche Bildzerlegung, wenn folgendes gilt: 1: Der Wertebereich wird zerlegt in endlich viele Mengen Mk, die stückweise glatt berandet sind. Über jedem Mk liegen dabei endlich viele homöomorphe Blätter bezüglich f. Jedes dieser Blätter ist ein Polygon. 2: Die 0 ist nicht Randpunkt einer dieser Mengen Mk. Nach diesen Vorbereitungen werden wir nun zeigen, daß der Nullpunkt - wie im BORSUKschen Satz behauptet - ungerade viele Urbilder besitzt: Dazu betrachten wir eine Halbgerade, die in 0 beginnt und nur echte Schnittpunkte mit der Randbildkurve hat. Auf ihr lassen wir einen Punkt von außen auf die Falte zulaufen. Zunächst hat er kein Urbild bezüglich f. Beim Überschreiten der Randbildkurve ändert sich die Anzahl seiner Urbilder um 1. Denn im gelben Gebiet, oder anschaulich gesagt, überall dort, wo bei der Falte keine Überlappung vorliegt, haben alle Bildpunkte jeweils ein Urbild. Nun besitzt er wiederum 0 Urbilder. Nach erneutem Überschreiten der Randbildkurve hat er wieder 1 Urbild. Überschreitet der Punkt den Rand eines Gebietes, der zur Faltenkante gehört, so ändert sich die Anzahl seiner Urbilder bezüglich f um 2. Innerhalb des grünen Gebietes, oder anschaulich ausgedrückt, überall dort, wo sich die Falte dreimal überlappt, haben alle Bildpunkte 3 Urbilder. Da die 0 im Innern dieses grünen Gebietes liegt, hat sie somit 3, also eine ungerade Anzahl von Urbildern.
Anders ausgedrückt bedeutet dies, daß im Quadrat K 3, d. h. ungerade viele Punkte existieren, die durch f auf den Nullpunkt des Bildbereiches abgebildet werden. Damit haben wir für das Beispiel der Einfachfalte die Richtigkeit des BORSUKschen Antipodensatzes
festgestellt, denn überschreitet ein Punkt, der im Bildbereich auf einer Halbgeraden mit Anfangspunkt 0 läuft, den Rand eines Gebietes, der zur Faltenkante gehört, so ergibt sich eine Änderung der Urbildanzahl um 2. Beim Überschreiten der Randbildkurve ergibt sich eine Änderung um ein Urbild. Da - wie wir festgestellt haben - die Halbgerade mit der Randbildkurve ungerade viele Schnittpunkte hat, folgt:
f hat eine ungerade Anzahl von Nullstellen. Das ist gerade die Behauptung des BORSUKschen Satzes in der verschärften Form: Im folgenden wollen wir den Satz mit einer anderen Abbildung f überprüfen.
Wir gehen wieder aus vom Einheitsquadrat K. Eine stetige Abbildung f bildet wieder das Quadrat K in den R2 ab.
Diese Doppelfalte - das Bild des Quadrates K unter der Abbildung f - ist selbstverständlich wiederum eine ebene Figur. Schauen wir uns die Abbildung in Ruhe in der Übersicht an. Auch bei der Doppelfalte genügt das Bild des Quadratrandes wieder der Antipodenbedingung. Jede Halbgerade mit Anfangspunkt 0 hat wieder ungerade viele Schnittpunkte mit der Randbildkurve, vorausgesetzt, es liegen nur echte Schnittpunkte vor. Und f besitzt endliche Bildzerlegung! Die farbigen Zerlegungsflächen veranschaulichen wiederum die Mengen, die aus Punkten mit gleicher Anzahl von Urbildern bestehen. Die 0 liegt nicht auf dem Rande einer dieser Mengen.
Wir betrachten nun wieder eine Halbgerade und lassen auf ihr einen Punkt von außen auf die Doppelfalte zulaufen. Zunächst hat er kein Urbild. Er überschreitet die Randbildkurve. Seine Urbildanzahl ändert sich um 1.
Beim Überschreiten des Randes eines Gebietes der einer Faltenkante gehört, erhöht sich die Anzahl seiner Urbilder um 2. Erneut eine Änderung um 2. Im orangefarbigen Gebiet haben demnach alle Bildpunkte 5 Urbilder.
Die 0 besitzt somit fünf, also
eine ungerade Anzahl von Urbildern.
Mit anderen Worten: f hat ungerade viele und damit mindestens eine Nullstelle. Allgemein stellt man für Abbildungen, die den Voraussetzungen des BORSUKschen Antipodensatzes genügen, fest:
Überschreitet ein Punkt, der im Bildbereich auf einer Halbgeraden mit Anfangspunkt 0 läuft, den Rand eines Gebietes in einem Punkt P, so ergeben die Urbildpunkte von P, die zu Faltenkanten gehören, eine Änderung der Urbildanzahl um eine gerade Zahl. Diejenigen Urbildpunkte aber, die auf dem Quadratrand liegen, ergeben jeweils eine Änderung der Urbildanzahl vom Betrag 1. Da die Halbgerade mit der Randbildkurve ungerade viele Schnittpunkte hat, folgt: f hat eine
ungerade Anzahl von Nullstellen und damit mindestens eine. Mit diesem Ergebnis erhalten wir jedoch unmittelbar die Aussage des BORSUKschen Satzes für beliebige stetige Abbildungen f:K^>R2. Denn: Die - von uns betrachtete - Klasse der stetigen Abbildungen mit endlicher Bildzerlegung liegt dicht bezüglich gleichmäßiger Konvergenz in der Menge der stetigen Abbildungen. Hier haben wir eine stetige Abbildung f skizziert, die keine endliche Bildzerlegung besitzt. Sie läßt sich jedoch durch Abbildungen mit endlicher Bildzerlegung - wie diese hier - beliebig gut approximieren. Durch Grenzübergang erhält man also die Aussage des BORSUKschen Satzes für alle stetigen Abbildungen f, die die Antipodenbedingung erfüllen. Wir wollen diesen allgemeinen Satz zum Schluß noch einmal formulieren: Es sei f eine stetige Abbildung, die das Einheitsquadrat K in den Raum R2 abbildet: Gilt für alle Randpunkte x des Quadrats K die Antipodenbedingung: f (—x) = —f (x), so existiert ein x0 aus K mit f (x0) = 0.
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Abbildung <Physik>
Zwischenwertsatz
Graph
Abbildung <Physik>
Stetige Funktion
Computeranimation
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Stetige Abbildung
Kugel
Schnittpunkt
Existenzsatz
Nullstelle
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Stetige Abbildung
Computeranimation
Teilmenge
Quadrat
Abbildung <Physik>
Quadrat
Kurve
Menge
Schnittpunkt
Abbildung <Physik>
Technische Zeichnung
Kante
Urbild <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Halbgerade
Gerade
Computeranimation
Stetige Abbildung
Punkt
Momentenproblem
Schnittpunkt
Urbild <Mathematik>
Wertevorrat
Urbild <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Polygon
Computeranimation
Quadrat
Schnittpunkt
Urbild <Mathematik>
Gerade
Halbgerade
Computeranimation
Stetige Abbildung
Quadrat
Zahl
Nullstelle
Abbildung <Physik>
Gerade
Stetige Abbildung
Computeranimation
Quadrat
Punkt
Schnittpunkt
Rand
Abbildung <Physik>
Halbgerade
Ebene Figur
Punkt
Rand
Urbild <Mathematik>
Urbild <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Halbgerade
Nullstelle
Urbild <Mathematik>
Computeranimation
Abbildung <Physik>
Logischer Schluss
Punkt
Abbildung <Physik>
Klasse <Mathematik>
Technische Zeichnung
Gerade
Stetige Abbildung
Stetige Abbildung
Quadrat
Menge
Schnittpunkt
Nullstelle
Gebiet <Mathematik>
Halbgerade
Gleichmäßige Konvergenz
Mathematisierung
Vorlesung/Konferenz
Gravitationsgesetz
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Borsukscher Antipodensatz
Alternativer Titel Borsuk's Antipodes Theorem
Autor Wille, Friedrich
Metzler, Wolfgang
Dröge, Walter
Mitwirkende E. Fischer (Schnitt)
Klaus Kemner (Ton)
H. G. Graske, Gerhard Matzdorf, Walter Dröge, Wolfgang Metzler (Kamera)
B. Lier (Redaktion)
Lizenz Keine Open-Access-Lizenz:
Es gilt deutsches Urheberrecht. Der Film darf zum eigenen Gebrauch kostenfrei genutzt, aber nicht im Internet bereitgestellt oder an Außenstehende weitergegeben werden.
DOI 10.3203/IWF/C-1433
IWF-Signatur C 1433
Herausgeber IWF (Göttingen)
Erscheinungsjahr 1982
Sprache Deutsch
Produzent IWF
Gesamthochschule Kassel, Interdisziplinärgruppe Mathematisierung
Produktionsjahr 1981

Technische Metadaten

IWF-Filmdaten Film, 16 mm, LT, 275 m ; F, 25 1/2 min

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Zentraler Satz der kombinatorischen Topologie: Aussagen über die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme. Basis für wichtige Fixpunktsätze. Erläuterungen im ein- und zweidimensionalen Fall, elementarer geometrischer Beweis. Aspekte der Gleichungslösung und topologischer Gehalt werden verdeutlicht.
The movie shows Borsuk's Antipodal Theorem. This theorem provides the existence of solutions of systems of nonlinear equations. First theorem is statet for one and two dimensions. Then, in the main part, an elementary geometrical proof of the theorem is given, which shows the aspect of solving of equations as well as the topological aspect.
Schlagwörter Satz von Borsuk-Ulam
Borsuk, Karol
Fixpunktsatz
Beweis, elementarer geometrischer
Gleichungssystem, nichtlineares
Topologie
Antipodensatz
antipodes theorem
topology
nonlinear equations
elementary geometrical proof
fixed point statements
theorem statement
Borsuk, Karol
Borsuk-Ulam theorem

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