Guten Tag zusammen, wenn Sie am Dienstag mitgeschrieben haben, haben Sie

wahrscheinlich bemerkt, dass meine Zählung eine Lücke hatte, meine Nummerierung. Das liegt daran, dass ich zwei Unterkapitel vertauscht habe und das nicht angepasst habe. Also entweder lassen wir es so, dann haben Sie einige Nummerierungen falsch rum oder ich mache es nachträglich richtig,

nicht mehr nachträglich. Bleibt so? Okay, dann haben Sie halt eine nicht konsekutive Nummerierung in Ihren Notizen. Ist vielleicht nicht ganz so schlimm. Okay, also die Gleichungen 424 bis 428 werden heute nachgeliefert.

Dann noch mal ganz kurz, am Dienstag hatte ich zum Schluss den Wahrscheinlichkeitsstrom diskutiert. Also wir hatten die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit, das heißt die Norm eines Zustandes ist konstant und das führt, das ist W von T, und das führt zu einer Kontinuitätgleichung von

dieser Art. Und ich will schon mal gleich eine mehrdimensionale Verallgemeinerung hinschreiben, denn bisher haben wir das Teilchen in einer

Mehrdimension betrachtet. Ich werde heute unbedingt dazu sagen, zu einem Teilchen in mehreren Dimensionen. Das ist keine allzu komplizierte Verallgemeinerung, man kann sich das fast schon denken, wie das geht. Da ich aber dann nicht mal über den Wahrscheinlichkeitsstrom noch mal reden will, schreibe ich das gleich schon mal hin. Das wird dann so

aussehen, dass die bekannte Form einer Kontinuitätgleichung hat. Divergenz J, wobei das J hier, hatten wir gesehen, war proportional zu einer

antisymmetrischen Ableitung. C Stern dx Psi minus Psi dx Psi Stern. Und in mehr als einer Dimension ist der Strom natürlich einfach dadurch zu kriegen, dass sie die Ableitung nach x durch ein Gradienten ersetzen. Denn sie

brauchen ja ein Vektor. Und es lässt sich nachrechnen, okay sie haben jetzt noch nicht, man muss die schonigengleichen verwenden, aber in mehr als eine Dimension hatte ich auch nicht hingeschrieben, wie das aussieht.

Aber kommt heute noch. Also nur schon mal zur Voraussicht. Was vielleicht noch interessant ist, man kann die Wellenfunktion, das ist besonders für

den klassischen Limes, den ich gleich diskutieren werde, parametrisieren mit Phase und Amplitude. Also nenne ich Psi schreiben als, und ich kann es ja schreiben, wie ich will, ich schreibe einen Vorfaktor, den nenne ich mal

Wurzel aus W. Und hier schreibe ich eine Funktion S. Das ist nicht ganz zufällig, dass das S heißt, das hat was zu tun mit der Wirkung, aber hier ist es was Neues. Es sind einfach zwei Funktionen. Zwei reelle Funktionen, also das ist der Real, das ist sozusagen der Betrag und das ist die Phase. Also eine

übliche Polarzerlegung einer komplexen Zahl in Betrag und Phase. Und den Betrag nenne ich halt, das ist W ist der Betragsquadrat und sie sehen sozusagen klar, Psi-Betragsquadrat ist W. Das ist so gemacht. Und das S ist einfach nur

die Phase. Typischerweise, wenn es Energie-Eigenzustände sind, E-Eigenzustand, dann ist S

gerade gleich E mal T. Das war dann die, oder minus E mal T, vielleicht habe ich ein Minus-Zeichen. Dann haben wir E auch minus I durch H quer E mal T. Das ist Zeitentwicklung, aber im

Schreiben. Und in dieser Parametrisierung, in dieser Parametrisierung kann man natürlich jetzt ausrechnen, was ist, W ist klar, W ist, also dann, W hab ich schon, steht ja schon da, W ist Psi-Betragsquadrat und sie können auch J ausrechnen hier. Und J ist, dann müssen

sie einfach diese Differenziation hier durchführen, nach X differenzieren. Mit Psi-Psi-Quer-Multi-Stern-Multi-Stern hebt sich das S weg. Aber es kommt natürlich durchs Differenzieren hier einmal einen Term von W und einmal einen Term von S runter. Aber stellt sich raus, der Term mit dem W, der hebt sich weg. Weil, wenn sie hier

differenzieren und das W weg, auf das W differenzieren, ja dann bleibt ja das Psi stehen im Wesentlichen. Also das passiert, ob sie hier oder hier nach W differenzieren, ist das Gleiche. Das ist ja der reelle, das ist ja reell. Und das heißt, dann hebt sich nachher Psi-Stern-Psi-Psi-Psi-Stern mit dem Minus-Zeichen wieder weg. Der

einzige Beitrag, den sie kriegen, ist, wenn sie in den Exponenten differenzieren, weil dann beim Komplexkonjugieren, wegen dem Stern, dass einmal mit einem Plus-I und einmal mit einem Minus-I runterkommt und das mit dem Vorzeichen dann sich nicht subtreichelt, sondern addiert. Die Formel ist ja unter anderem ein dreidimension-definierter Automator,

in wieviel? Können sie machen, müssen sie aber nicht. Können sie auch machen, natürlich. Ich kann hier Indices schreiben, also wenn sie wollen, können

sie auch die gleichen so schreiben. Dann haben sie ein Vektor in einer belebigen Dimension. Ich könnte aber auch die Vektornotation beibehalten, diese Notation funktioniert ja auch in der belebigen Dimension. Das ist

aus. Dann kommt hier ein, zum Beispiel hier in dem Term kommt ein I durch H quer, oder machen wir es gleich hier in der mehrdimensionalen Fassung. Vektor J,

Gradient. Kommt hier ein I durch H quer Gradient von S runter. Das I kürzt sich, H quer kürzt sich, 1 durch 2m bleibt stehen. Aber wir kriegen den Term zweimal, weil das gibt ja genau das Gleiche mit dem Vorzeichen. Also wir kriegen etwas halb weg und was übrig bleibt, ist wiederum

Xi quer Xi, also W, und der Gradient von S. Das kommt halt runter, für das Zifferanzieren. Das ist was sie kriegen, wenn sie das Xi so schreiben.

Und das sagt ihnen, dass der Wahrscheinlichkeitsfluss J, das ist ja der Fluss, sagt ihnen geometrisch etwas. Dieser Fluss ist parallel zum Gradient von S. Sie können sich das so vorstellen, hier oben in mehreren

Dimensionen, zum Beispiel wenn sie S eine Funktion von, ja ok im Allgemeinen, ich mache mal jetzt einen Dektor-Pfeil hier, in mehreren Dimensionen würde das halt abhängig sein von mehreren Koordinaten. Und dann ist die Funktion S, ist irgendein, hat Niveau-Linien, also S gleich

konstant. Das sind flächengleicher Phase, ok, die sich in der Zeit verändern. Das S ist ja, das heißt S habe ich eben gesagt, das ist nicht

das Wirkungsfunktional, sondern die Wirkungsfunktion, aber wir haben ja keine konkrete Bahn, also ist nicht direkt die Wirkung, das hat aber was damit zu tun. Also man nennt es die Ikonalfunktion auch. Also in dem Moment,

also, ja, können Sie absprechen, es hat was mit der Wirkung zu tun, aber es ist nicht identisch mit der Wirkung. Also hier haben wir aber für einen Zeitpunkt T gleich, irgendein festen Zeitpunkt T, haben wir hier S gleich konstant, irgendwelche Flächen, also Sie können das irgendwie auch mehrdimensional malen, wenn Sie wollen. Und diese Flächen wandern im

Laufe der Zeit, nicht? Die Zeitentwicklung, die Weltenfunktion ist ja nicht konstant, die entwickelt sich im Laufe der Zeit. Und diese Gleichung sagt, dass dieser Fluss, der ist ja proportional zum Gradienten, der Gradient einer Niveaufläche, einer Funktion, wissen wir, steht senkrecht auf den Niveauflächen, Flächen, ja? Erinnern Sie sich noch? Denn ja, S gleich konstant

heißt, S gleich konstant heißt insbesondere S quadrat, ja, S gleich, wie haben wir das gezeigt? Ja, das ist, okay, da gibt es ein einfaches

Argument, das mir gerade nicht einfällt. Ach so, Sie müssen eine Kurve, ja ja, wenn

Sie eine beliebige Kurve haben, ja, S gleich konstant ist eine Niveaufläche, eine Kurve in dieser Fläche, wenn Sie die parametrisieren, dann sind die Tangentialvektoren immer in dieser Fläche, ja, und der Gradient von S, können Sie leicht zeigen, ist senkrecht auf diesen Tangentialvektoren,

ja, also das heißt, dieses ist senkrecht zu den Niveauflächen oder, wie sagt man, flächengleicher Phase, also S gleich konstant. Okay, und das, also

hier geben wir nochmal eine Nummer, Vollständigkeit halber, das wäre noch zu Kapitel C, und das erinnert vielleicht ein wenig an das, was Sie aus der Optik

vielleicht schon mal gesehen haben, Wellenoptik, da hat man auch so was, flächengleicher Phase, und da stehen die geometrischen Optiklinien, die Lichtstrahlen, stehen immer senkrecht auf den flächengleicher Phase, also man kann so ein bisschen hier die Analogie schon vermuten,

dass die Teilchenbahnen, die Licht, wie beim Licht, was zu tun haben mit dem Wahrscheinlichkeitsfluss, ist auch irgendwie klar, wenn das Teilchen sich bewegt, da ist die Wahrscheinlichkeit, verändert sich zeitlich so, dass es halt die Wahrscheinlichkeit konzentriert ist an den Ort, wo es ist, und es

verändert sich dann in der Richtung, in der dieser Strom fließt, ja, das ist anschaulich, glaube ich, naheliegend. Okay, das war noch eine Ergänzung zum letzten Mal, jetzt kommt das Kapitel, was eigentlich davor sein sollte, möchte den Rest heute über den klassischen Grenzwert reden, also so was wie

h quer nach Null, das ist komplizierter als man vielleicht denkt, man denkt natürlich Gutes, Quantentheorie geht im Grenzwert h quer nach Null irgendwie in die klassische Theorie über, ja, umgekehrt ist natürlich nicht eindeutig, viele

Quantentheorien können zur selben klassischen Theorie gehen, aber dieser Grenzwert ist subtil, das ist nicht trivial, im Allgemeinen singulär, man

betrachtet zum Beispiel einfach mal die Phase dieses hier, wenn sie hier h quer nach Null gehen lassen, was passiert da, der Exponent wird immer größer, ja, das heißt die Geschwindigkeit mit der, ja, als Funktion, das war eine

Rotationsgeschwindigkeit der Phase, die geht gegen unendlich, also das, die Zeitabhängigkeit oszilliert immer stärker und stärker, ja, und das ist irgendwie nicht sehr glatt, ja, im Grenzfall, also nicht klar, was da passiert, es gibt auch Operatoren, viele Operatoren, die man hinschreiben

kann, die haben gar keinen klassischen Grenzwert, da ist das so singulär wie dieser Ausdruck, ja, zum Beispiel, das wäre ja ein Teil unseres Zeitentwicklungsoperators, u eho minus i durch h quer h mal t, ja, kein guter Grenzwert h nach unendlich, also viele Operatoren haben keinen guten

klassischen Grenzwert, aber einigen natürlich schon, ein anderes Problem ist, was machen sie mit der Vertauschungsrelation, xp ist i h quer mal

1, ja, h quer nach 0, naja, gut, dann vertauschen die natürlich, ja, das ist okay, aber irgendwie ist das nicht, vertauschen die immer weniger, ja, also

man kann eigentlich, es ist ja ein schlagartiger Unterschied, entweder sie vertauschen oder sie vertauschen nicht, ja, das ist nicht wirklich ein Grenzwall, also das ist auch, obwohl es hier so aussieht, aber es gibt gewisse Analogien in den Gleichungen, die haben wir gesehen, zum Beispiel die

Heisenberg-Gleichung, i h quer dt f oder Omega gleich Kommutator Omega h, ja, Heisenberg, das erinnert an die kanonische Evolution im Phasenraum,

vielleicht irgendeine Funktion f mit der Poisson-Klammer, ja, für f von p und q,

q und p, im Phasenraum, und was ist das, das ist die Poisson-Klammer, sollten Sie gesehen haben in der Mechanik, also das ist hier df nach dq, dh nach dp,

minus df nach dp, dh nach dq, ja, so dämmert was, ja, nicht, also das sieht ja irgendwie so ähnlich aus, also könnte man versuchen zu überlegen, ob irgendwie

in einem Grenzwall h quer nach 0 das eine oder das andere mit dem anderen in Verbindung gebracht werden kann, und in der Tat gibt es eine Aussage, zunächst einmal nicht für die Operatoren, sondern für die Erwartungswerte, nicht, Sie können ja sagen, naja, Operatoren, sowas habe ich nicht in der klassischen

Physik, aber die Erwartungswerte von Observablen, das sind ja physikalische Größen, vielleicht kann ich die vergleichen, oder ich schreibe mal eine, ist ja nur eine hier, Singular, für Erwartungswerte haben wir eine Gleichung

d nach dt, Omega, ist gleich 1 durch ih quer, Erwartungswert von Omega mit h, also ist dieselbe Gleichung wieder drüber, ich habe jetzt nur Klammern drum gemacht und durch ih quer geteilt, ich setze hier mal vor aus, dass die

Leitung von Omega, also Omega-Zeit unabhängig ist, sonst bekommen sie einen weiteren Termin. Ok, jetzt nehmen wir mal ein Beispiel, das Standardbeispiel, ich

nehme h, unseren Standard Hamilton-Operator, genetische Energie plus ein Potential, Fälle von Potentialen haben wir noch nicht diskutiert, das kommt im nächsten Abschnitt, aber das kennen Sie aus der klassischen Physik, und

wir nehmen für Omega einmal x oder p, ich gucke mir also die Zeitentwicklung, also die Differenz der Erwartungswert von x oder von p an, in einem

Quantensystem mit diesem Hamilton-Operator, was passiert mit dem Erwartungswert des Ortsoperators und Impulsoperators, ok, da kann ich diese Gleichung mal verwenden und kann das einfach ausrechnen, ich kann ja den Kommutator von x und p mit diesem Hamilton-Operator leicht bestimmen, das ist nicht kompliziert, dann mach ich das mal, also einmal für x mit h, nur wenn Sie das x

mit h vertauschen, dann ist hier nur x, das vertauscht mit dem, den kann Sie also vergessen, im Kommutator trägt der nicht bei, der einzige Kommutator, den Sie haben, ist ja x mit p, x mit x vertauscht, also x mit p², also was

wir ausrechnen müssen, ist 1 durch 2m, x mit p², wie macht man so was? Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Möglichkeit ist, wenn Sie einen Kommutator mit einem Produkt haben, dann gibt es so eine Art Leibniz-Regel, ich weiß nicht, ob Sie das kennen, ja, mal hinschreiben, also sowas wie a mit bc

ist gleich a b mit c und einmal b mal a c, Sie können sich das so merken, das ist

eine Operation, die Operation Kommutator bilden mit a, die Mathematiker nennen das manchmal a, a heißt irgendetwas, x wird abgebildet auf a x, die Links-Kommutator-Bildung mit a ist eine lineare Operation, die einen Operator

auf einen neuen Operator abbildet, wenn Sie das so im Kopf abspeichern, dann gilt einfach, dass a angewendet auf bc ist gleich a mal b c plus b mal a auf c,

das ist wie Produktregel, ableiten, Sie sehen vor, das wäre ein Ableitungsoperator, dann wenden Sie ihn erst auf den ersten Faktor an, mal den zweiten und dann der erste Faktor mal Anwendung auf den zweiten, ist nichts anderes, also so kann man sich

das leicht merken, nur sozusagen als Gedächtnis-Krücke, naja und wenn das wie ein Ableitungsoperator wird, Produktregel auf ein Quadrat ist natürlich einfach die übliche Ableitungsregel von Polynomen, p mal p Strich plus p Strich

also 2 mal p Strich, also 2 mal p mal die Ableitung, also die Kommutator von x und p, also eigentlich haben wir es einmal davor, ok genau gesagt, naja, machen wir es exakt einmal

so rum, einmal so rum, so wäre es jetzt sorgfältig, aber es ist egal, weil der Kommutator von x und p ist ja eine Zahl und ob wir das p hier links oder rechts hinschreiben, gibt den selben Beitrag in dem Fall, also in dem Fall sind die beiden Terme gleich und das ist einfach ih quer, das i geht weg, wieso habe ich hier eine i geschrieben, keine i, eine 1, keine i, also eine 2 geht weg und wir

kriegen ein i h quer durch m mal p, ok, das war einfach, so und jetzt will ich auch p mit h und hier trägt jetzt der

andere Term bei, weil p mit p Quadrat vertauscht, naja, da gilt aber die gleiche Regel, wenn Sie

eine Funktion von x haben, zum Beispiel ein Polynomen, dann müssen Sie wissen, wie vertauscht p mit x Quadrat, mit x hoch 3, mit x hoch 4, wie vertauscht p mit einem beliebigen Polynomen von x und da können Sie dieselbe Überlegung anstellen und dann gilt p mit einer Funktion von x ist einfach die Ableitung,

von dieser Funktion, multipliziert mit dem Kommutator nur mit x, also Sie können sich vorstellen, wenn x zum Beispiel x

hoch 5, wenn x hoch 5 ist, dann ziehen Sie, also zum Beispiel p mit x hoch 5, was machen Sie, Sie ziehen den Schritt für Schritt, also x, x, x, x, x, so und jetzt ziehen Sie das p durch, einmal hier, dann hier und jeden Schritt wandert das p weiter nach rechts und jeden Schritt kriegen Sie einen Kommutator zusätzlich,

ein p mit einem x Kommutator, mal den Rest, das sind 4 x, 4 x bleiben übrig und das kriegen Sie genau fünfmal in jedem Schritt,

ja, Sie können ja linear kommen, ja, für Potenz rein geht es hier im Prinzip auch, weil Sie können das gliedweise machen, jeden Term, dann geht es auch für Potenz rein, ob die dann konvergieren, ist eine andere Frage, aber formal geht es hier auch für Potenz rein, auch für die e-Funktion, für den Sinus, wenn Sie genau so machen, für jede Funktion, ja, das ist völlig richtig, also wenn

Sie das hier durchziehen, dann kriegen Sie halt fünfmal denselben Term und übrig bleibt nach jedem Kommutator, bleiben 4 x, x bleiben stehen, ja, und einmal kriegen Sie einen Kommutator, p mit x und natürlich am Ende bleibt stehen x, x,

x, x, x, x, x, p, wenn Sie am Ende durchgezogen haben alles, das ist nur ein Beispiel, wir ziehen das p nach und nach durch, wir kriegen fünfmal diesen Term und dann sind wir am Schluss da, dann bringen Sie auf die andere Seite, dann steht da der Kommutator von p mit x auf fünf, ist gleich fünfmal x auf vier, mal den Kommutator von p mit x,

das ist aber genau das, was ich da oben drüber geschrieben habe für das Beispiel, ja, so illustriert, wie das funktioniert, also man kann sich das auf viele Weise überlegen, also das erleichtert die Rechnung erheblich, wenn man das abspeichert, ja, diese Regel, Rechenregel, deswegen sage ich, Kommutator bilden ist wie differenzieren, so, das heißt wir kriegen hier V' von x, mal den

Kommutator von p mit x, aber den Kommutator von p mit x kennen wir ja nicht, das ist ih quer, a minus ih quer, ist ja umgekehrt, x mit p, p mit x ist das Negative,

okay, was ist hier los, geht denn nicht hoch, jetzt müssen wir eigentlich hier noch ein bisschen weiterschreiben, das finde ich jetzt erstaunlich,

a, ist das neu, ja, okay, dann kann ich leider nicht hier unten weiterschreiben, gut, dann muss man es hier weitermachen,

ja, hier, welcher Term soll fehlen, ja, der steht hier in dem Kommutator als zweiter Term, das ist ja nichts anderes als p mal f, minus f mal p,

den auf die andere Seite gebracht gibt, den Kommutator, sonst haben sie ein anderes Produkt, also da kommen die Karte immer zweiler lesen, wir lesen sie als Kommutator oder sie lesen sie als Vorschrift, wie man die Reihenfolge ändert, ja, p mal f wollen sie schreiben als f mal p, dann müssen sie halt den Kommutator dazu addieren, das ist der Term, der dazu kommt, ja,

okay, so, das heißt, wir haben als Fazit, vielleicht schreibe ich das hier gerade noch drunter, dann haben sie es sozusagen hier an der d nach dt,

wir müssen noch durch ih quer teilen, ja, die Regel, wenn ich das hier anwende, die rechte Seite, den Kommutator habe ich ausgerechnet,

hier, und jetzt muss ich noch die Klammer drum machen und durch ih quer teilen, ja, also Klammer habe ich hier links drum gemacht, muss ich durch ih quer teilen, die Klammer drum machen, kriege ich 1 durch m mal p, das ist die erste Regel, und die zweite ist die nach dt,

p ist gleich, naja, hier durch ih quer teilen, minus V' von x, okay, so, jetzt kommt die gleiche, das ist die gleiche Fischwinstmache,

das sind also die Regeln für die Zeitentwicklung der Wartungswerte von x und p in einem solchen Hamilton, in einem solchen Potential, und das kommt Ihnen vielleicht bekannt vor, das sieht ganz ähnlich aus wie die Judenschen Bewegungsgleichung, also nicht die Judenschen, sondern die Hamiltonischen Bewegungsgleichung in einem solchen klassischen System,

x Punkt ist gleich p durch m, und p Punkt ist gleich minus V', ja, Gradient V, ist die Änderung von, ist die Kraft, das ist die klassische Bewegungsgleichung, also, das ist eine Sachverhalt, die hat Paul Ehrenfest zum ersten Mal formuliert,

deswegen heißt das Ehrenfestes Theorem, aber Theorem ist ein bisschen hochtrabend, das ist eigentlich nur eine einfache Konsequenz unserer Bewegungsgleichung, also, trägt den Namen vielleicht etwas zu unrecht, und sagt, die Wartungswerte genügen den klassischen Gleichungen,

so, aber jetzt habe ich ein bisschen geschummelt,

es stimmt nicht ganz, wo ist die Schummelei, siehts jemand, wenn dieser Satz so richtig wäre, müsste auf der rechten Seite hier nicht das stehen,

sondern es müsste da stehen, müsste das da stehen,

die Kraft, also die Ableitung vom Potential von dem klassischen Erwartungswert x, das wäre eigentlich die richtige Gleichung, sie ersetzen einfach x durch Erwartungswert x und p durch Erwartungswert p in den klassischen Gleichungen, und dann hätten sie die Quantenversion, aber das ist nicht was hier passiert, das ist aber fast das gleiche,

ich zeig euch, was der Unterschied ist, rechnen wir das einfach aus, wir können das zum Beispiel Teller entwickeln, das ist ein Operator, wir entwickeln den Operator um den Erwartungswert,

hier habe ich einfach nur eine Zahl addiert und wieder abgezogen, Zahl mit 1 multipliziert, immer wenn der Erwartungswert,

wenn da nur Zahl steht, Operator und Zahl, Zahl wird dann mit dem 1-Operator, das schreibe ich jetzt nicht hin, das ist wie bei den Vertauschungsrelationen, da kann man auch eine 1 da haben und lasse sich offen weg, habe ich einfach im Argument hier etwas proportional zur Identität addiert, und subtrahiert, warum habe ich das gemacht,

das habe ich gemacht, weil ich jetzt Teller entwickeln kann, das ist ja eine Funktion, ob die nun operatorwertig ist oder nicht, das stört mich nicht, das ist einfach ein Symbol was da steht, kann ich ganz normal Teller entwickeln, das ist der führende Term,

und dann kommt x minus Erwartungswert x mal die nächste Ableitung, V2 Strich von x plus ein halb x minus Erwartungswert x Quadrat, V3 Strich von an dieser Stelle und so weiter, ich entwickle einfach um diesen Punkt und das ist der Abstand,

ok, so und jetzt gilt ja der Erwartungswert von einer Zahl,

die Zahl kann ich rausziehen, das heißt das hier ist einfach nur eine Zahl, das ist nur V Strich ausgewertet am Erwartungswert von x, das ist eine Zahl, da kann ich die Außerklammer weglassen, wo ist hier der Operator, hier ist auch nur eine Zahl,

aber hier ist ein Operator x minus Erwartungswert, da muss ich x minus Erwartungswert x hinschreiben, mal die Zahl V2 Strich von x, hier haben wir ein halb das zum Quadrat Erwartungswert,

das ist wieder eine Zahl und so weiter, jetzt habe ich die Klammern sozusagen, die äußere eckige Klammer quasi reingezogen, jeden Term für Term, so und das hier behaupte ich ist Null, weil was hier steht ist wiederum der Erwartungswert von x minus der Erwartungswert von x,

weil der Erwartungswert von x nochmal eine Klammer bilden ändert nichts, wenn Sie von einer Zahl den Erwartungswert bilden, können Sie die Klammer weglassen, das sagt ja gerade das x der Erwartungswert von x ist, also der Erwartungswert vom Abstand von x minus seinem eigenen Erwartungswert ist natürlich Null,

aber hier ist es nicht so, wenn ich das ausrechne, das hier ist nichts anderes als Delta x Quadrat, das hat man schon gelegentlich ausgerechnet, das ist die Varianz von x, das heißt das hier rauskommt, ist tatsächlich das was Sie vielleicht erwartet hätten,

aber es gibt Korrekturtherme, das heißt das ehrenfestige Theorie ist streng genommen nur, wenn das Potential maximal quadratisch ist,

dann ist die dritte Ableite Null, dann gibt es die Terme nicht mehr, in der höheren Terme haben wir noch mehr Ableitungen, also wenn es quadratisch ist, ist es okay, dann stimmt es über ein, aber bei höheren Polynomen nicht mehr so ganz, dann gibt es Korrekturtherme, das nur zu dieser Geschichte.

So, jetzt möchte ich noch etwas ausführen, was Sie in der Übung am Dienstag und Mittwoch gesehen haben, nämlich die Möglichkeit tatsächlich die Quantenmechanik nicht mit Operatoren zu formulieren, sondern sehr analog zur klassischen Mechanik, zur quantenmechanik im Phasenraum.

Das ist völlig äquivalent, ist interessant zu sehen, insbesondere nützlich für den klassischen Grenzwert, deshalb mache ich es hier an dieser Stelle. Also Stichwort heißt Quantenphasenraum,

und die Idee ist, wir haben ja gesehen, die Zuordnung von klassischen Funktionen von P und Q oder X und P zu Operatoren ist nicht eindeutig,

weil wir haben verschiedene Ordnungsmöglichkeiten, wir haben hier gesehen X²P, wir können entweder symmetrisieren, X²P plus PX², oder wir können XPX machen, also hermitisierte Versionen von klassischen Funktionen gibt es viele.

Jetzt könnte man ja sagen, wir nehmen eine, die besonders schön ist, und definieren das als unsere Quantentheorie. Also wir haben hier diese Mehrdeutigkeit, die erledigen wir dadurch, dass wir uns für ein Ordnungsschema eine Ordnung festlegen, und da gibt es eine, die besonders ausgezeichnet ist, ist die sogenannte Weilordnung, oder symmetrische Ordnung, die haben Sie gesehen in der Übung.

Also Versuch einer eindeutigen Quantisierungsvorschrift,

damit wir eine 1 zu 1 Korrespondenz haben

zwischen Funktionen, F von Q und P, und Operatoren, hermitischen Operatoren, in der Regel F von Q und P,

im Hilbertraum. Und der Versuch geht folgendermaßen, ich definiere also in die eine Richtung, also von F nach F, wie geht das, gegeben eine klassische Funktion, ich definiere jetzt einen eindeutigen Operator,

der sieht so aus, F von Q und P ist gleich, Sie nehmen die Funktion, ersetzen kleinen Q durch groß Q, kleinen P durch groß P, und dann symmetrisch,

oder ich schreibe mal so Weil, ich schreibe mal hier Weil dran, was bedeutet Weil, oder Weil symmetrisiert, wir kürzen das ab, wir nennen das einfach WF,

Weil bedeutet, das ist Gleichung 4,25, was ist Weil, das schreibe ich Ihnen jetzt runter als Beispiel, was wäre Weilsymmetrisieren von

zum Beispiel QQP, nehmen wir an, wir haben das, Weilsymmetrisieren bedeutet, Sie nehmen alle Möglichkeiten, alle Kombinationen das ist QQP, plus QPQ,

plus PPQQ, das wäre Weilsymmetrisierung

nennen wir es hier schon in den kleinen Buchstaben, QQP, also wenn ich das auf die Funktion anwende, wenn ich mir das auf die Funktion F anwende, die Funktion F hängt von QQ ab, dann heißt das, man schreibt für die kleinen die Großbuchstaben und schreibt alle möglichen Reihenfolgen an anderes Beispiel,

QQPQ, wie viele Terme haben Sie dann, QQPQ, dann haben wir QPQP, dann haben wir PQPQ,

ja, QQPQ, plus PQQQ, plus QPQP, plus PQPQ, haben wir noch welche vergessen,

PQQP, QPQQ, waren das alle, ich glaube ja, durch 6 teilen, verstanden, das ist eine Vorschrift, wir gleich sehen, welche Vorteile die hat,

so, und die Frage ist, wenn das eine 1 zu 1 Korrespondenz ist, komme ich auch zurück, dann muss ich ja auch eine Abbildung haben, die mir aus einem Quantenoperator eine klassische Funktion wieder macht, die gebe ich Ihnen jetzt an,

von f wieder zurück nach klein f, geht so, so, und diese Funktion klein f, da mache ich ein Index h quer, denn im Allgemeinen hängt das von h quer jetzt ab, wir werden am Beispiel sehen, Q und P,

die bekommt man dadurch, dass man in dem Operator einfach die Q großen durch die kleinen Buchstaben wieder zurück übersetzt, hier, was heißt diese Stern,

das Stern bedeutet, man multipliziert die dann erhaltenen Funktionen von P und Q, also die P's und Q's, man multipliziert ihn nicht einfach so, sondern mit einem neuen Produkt, also wiederum Beispiel,

nehmen wir einmal an, wir haben Q mal P und wollen die klassische Funktion dazu haben, dann ist die Behauptung, das wird Q Stern P,

nicht einfach Q mal P, das ist ein neues Produkt, was ich Ihnen noch nicht definiert habe, das schreibe ich gleich hin, was das ist, oder zum Beispiel Q Quadrat P Quadrat, oder Q Quadrat, nehmen wir das hier, Q Quadrat P von da oben,

das wird Q Stern Q Stern P, so, aber wenn wir zum Beispiel alle drei Dinger da oben nehmen, Q Quadrat P plus Q PQ plus PQ Quadrat,

das wird abgebildet, Q Stern Q Stern P, Sterne nur bei kleinen Buchstaben, das betrifft ja die Funktionen, nicht die Operatoren, was würde man hier kriegen, da würde man kriegen 1 Drittel Q Stern Q Stern P plus

Q Stern P Stern Q plus P Stern Q Stern Q, so, und was daraus kommt, wissen wir schon, denn das soll ja die Umkehrung sein, das muss wieder sein,

QQP, ohne Stern, der Witz ist jetzt, hier diese ganzen Ausdrücke hängen von H quer ab, jeder einzelne, aber wenn sie das so zusammen basteln, dass es wieder weilsymmetrisch ist, dann ist es gerade die Rückerabbildung, dann kriegen sie wieder das ursprüngliche H quer unabhängige Produkt,

muss ich also irgendwie rausheben, das war jetzt ein Beispiel, und allgemein F Stern wird gebildet

mit dem Moyal, sogenannten Moyal Produkt, oder Stern Produkt, und das sieht ein bisschen kompliziert aus im Allgemeinen, wenn sie zwei Funktionen haben,

F und G, das ist eine neue Phasenraumfunktion, die heißt dann F Stern G, und die ist definiert über eine unendliche Reihe IH quer halbe

dQ Ableit nach links dP Ableit nach rechts dP Ableit nach links dQ Ableit nach rechts und hier steht die andere Funktion, das sieht jetzt etwas wild aus,

aber man muss das entwickeln, schreiben wir die Taylor-Reihe der E-Funktion hin, dann sehen Sie was das eigentlich ist, der erste Term E-Funktion durch eine 1 ersetzen,

das ist das normale Produkt, da passiert nichts, also F mal G, ich lasse das Argument jetzt mal weg, was ist der nächste Term, der nächste Term hat ein IH quer halbe vom Exponenten, und dann kommt dieser Bidifferentialoperator,

der kommt jetzt runter, und der wirkt die Ableitung nach links auf das F, die andere nach rechts, das kann ich hinschreiben, das sind zwei Terme, das heißt das ist einmal die Q Ableitung von F mal die P Ableitung von G

mal die Q Ableitung von F mal die Q Ableitung von G, ich mache jetzt mal keine Klammer, die Ableitung würde immer nur auf das unmittelbar dahinter stehen, ihr könnt auch Klammern schreiben, das ist hier so gemein, der nächste Term, ich gebe Ihnen mal noch den nächsten an, damit Sie sehen wie das aussieht, IH quer halbe zum Quadrat, von der Taylor-Reihe, jetzt müssen wir den Operator zweimal anwenden,

dann kriegen Sie einmal das hier zweimal, die P quadrat G, dann bekommen Sie den Mischterm, den bekommen Sie zweimal, da wirken eine P und eine Q Ableitung nach links, und eine P und eine Q Ableitung nach rechts,

also zweimal die Q dP F dQ dP G, und dann gibt es natürlich den letzten Term, wo Sie P zweimal nach F haben, und Q zweimal nach G, die haben plus höhere Terme,

also geht das immer weiter, gucken wir mal ein Beispiel an, was ist Q Stern Q, Vorschläge,

Q Quadrat, da gibt es nichts, keine Korrekturen, weil nichts hängt von P ab, Sie haben ja immer Ableitungen, wenn kein P hier irgendwo auftaucht,

dann verschwindet das im Exponent, es gibt keine Wirkung, auch wenn es nur von P abhängen würde, aber gemischte Sachen bringen was, gut, machen wir mal Q Stern P, dann ist hier Schluss, weil hier hauen ja schon zwei Ableitungen auf,

zweimal differenzieren auf Q oder P gibt 0, aber jetzt kriegen Sie was von hier, Q mal P, und was ist der nächste Term, von hier gibt es nichts, aber von hier gibt es was, dQ nach dQ ist 1, dP nach dP ist 1, einfach plus ih quer halbe,

dQ, was passiert jetzt, jetzt kriegen Sie ein Baddach von hier, minus ih quer halbe, und jetzt können wir testen,

ob das wirklich die Umkehrabbildung ist, denn wenn ich die weilsymmetrische Kombination nehme, Q Stern P plus P Stern Q, dann hebt sich das h quer raus,

und Sie kriegen einfach P mal Q, oder Q mal P, also nicht weiter, wir müssen die Mühle drehen, interessanter ist, was passiert mit einem Kommutator,

wenn wir zwei Funktionen haben, so wie da oben habe ich jetzt von F nach F, weil wenn ich einen Kommutator habe von zwei Funktionen, F und G, setzen Sie die mal ein, das wird jetzt abgebildet auf

also schreiben Sie jetzt hier FG und dann F, das wird dann abgebildet auf F mal E hoch bla bla bla G, minus G E hoch bla bla bla F, Sternprodukt, oder Stern,

also genauer, F Stern G, minus G Stern F, was ist das,

das ist der führende Term, kann man das auch entwickeln in der Reihe, was kommt von hier, vom ersten Term, nichts, lebt sich weg, F mal G, minus G mal F, das sind ja nur Zahlen, was kommt hier, vom ersten Term kommt das,

und vom zweiten Term kommt das mit F und G vertauscht, aber wenn Sie F und G vertauschen, gibt es ein Minuszeichen, aber Sie ziehen es ja ab, also kriegen Sie zweimal diesen Term, also geht los mit ih quer,

dqf, dpg, minus dpf, dqg, dqg, plus höhere Ordnung, Ordnung h quer Quadrat, aber was ist das hier,

das ist nichts anderes, als stets, irgendwo habe ich es Ihnen geschrieben heute schon,

da oben, die Poisson Klammer, ih quer mal fg, plus Ordnung h quer Quadrat, ja, aha, hier ist der gewünschte Zusammenhang, scheinbar, zwischen der Quantentheorie im Hilbert-Raum,

und einer Formulierung der Quantentheorie im klassischen Phasenraum, der führende Termin h quer ist gerade die Poisson Klammer, und wir können auch weitergehen,

wir können auch die Zeitentwicklung schreiben, d nach dt f, ja, unsere Zeitentwicklung, wo stand sie, ja, da oben, wird jetzt abgebildet auf so eine Gleichung,

d nach dt, f ist gleich, ja, aber jetzt müssen wir natürlich f Stern h, minus h Stern, also wir müssen noch ih quer, multiplizieren,

ih quer, f Stern h, minus h Stern f, ja, aber die rechte Seite hier ist ja ein Kommutator, ein Kommutator von f mit h, statt Omega habe ich jetzt f geschrieben,

auf den Stern Produkt Kommutator im Phasenraum, ist das, die sollte ich vielleicht klein h schreiben, weil das ist die Funktion, die klassische hemmelte Funktion, die zum hemmelten Operator gehört, Entschuldigung,

okay, so, und jetzt können wir das ja entwickeln, können wir das gleiche machen wie hier oben, was ist der führende Term, der führende Term ist die Poisson Klammer, ih quer mal f mit h,

und dann gibt es weitere Terme, ich kann den nächsten Term hinschreiben, den habe ich mal ausgerechnet, für den Fall, dass der hemmelten Operator von der Form ist, p² durch 2m plus v von x, ja, wenn die klassische hemmelten Funktion so aussieht, dann können Sie ausrechnen, wie der nächste Term aussieht, und da kommt daraus, h quer Quadrat durch 24,

d3pf mal d3q von v plus Höherordnung, das wäre eine Gleichung 4,28,

ja, und Sie sehen, wenn ich das durch h quer teile, ich kann also das h quer auf beiden Seiten durchteile, dividieren, dann steht da f Punkt ist gleich fh plus h quer durch 24i d3pf dv plus höhere Terme,

und hier sehen Sie Quantenkorrekturen zur klassischen Bewegung, die klassische Bewegung einer observablen, klassischer Phasenraum wäre f Punkt ist gleich Poisson Klammer von f mit h,

aber unsere Wahl-Quantisierungsvorschrift sagt Ihnen, da gibt es noch weitere Terme, die im klassischen Grenzfeld h quer nach Null alle verschwinden, aber für h quer nicht Null sind die da, also Sie können sozusagen die Quantentheorie ohne Operatoren formulieren,

Sie sehen die Zahlen, irgendetwas muss ja nicht kommutieren, aber was da nicht kommutiert, sind die Funktionen mit diesem Sternprodukt, so, und ich würde noch 5 Minuten was machen, dann machen wir die Pause, dann kann ich anschließend was fragen, eine Sache ist nämlich leider nicht so schön bei diesem Sternprodukt,

und das tue ich Ihnen ganz kurz vor, und dann ist das auch dieser Teil auch abgeschlossen, ja, das müsste doch eigentlich antisymmetrisch sein von h,

ist es auch, warum nicht, nee nur der erste ist antisymmetrisch, das wird, aha, das können Sie sich ja überlegen,

wenn Sie das entwickeln, der Operator ist antisymmetrisch, aber alle geraden Potenzen sind natürlich symmetrisch, wenn Sie diesen Operator zum Quadrat nehmen, ist es wieder symmetrisch, zwei Minuszeichen ist ein Pluszeichen, das heißt, in der Entwicklung nach Potenzen von h quer, wechselt das immer alternierend ab zwischen symmetrisch, antisymmetrisch, symmetrisch, antisymmetrisch, etc.

Beantwortet das Ihre Frage? Na, guter Punkt. So, ich zeige Ihnen jetzt sozusagen einen Schönheitsfehler

bei diesen ganzen Konstruktionen,

die Vorschrift W, ja, unsere Weilsymmetrisierungsvorschrift, die ich jetzt ja propagiere, erfüllt nicht folgende Eigenschaften,

natürlich W von 1, genau, W von 1 ist die Identität, W von Q ist Q, W von P,

ich schreibe jetzt mal so ein paar Eigenschaften da, die eigentlich immer, die man immer gerne hätte, und man hätte gerne, das ist eine schöne Eigenschaft, W von der Poisson-Klammer ist gleich dem Kommutator von W.

Das ist sozusagen die Essenz, die sich hier herauskommt. Man würde gerne folgendermaßen quantisieren. Man würde gerne klassisch, wenn man zwei Funktionen hat, die die Poisson-Klammer haben, F und G,

und die mit W abbilden auf den Operator. Also es sollte dann egal sein, ob ich ... Dann kann ich daraus entweder die Poisson-Klammer bilden. Ganz normal.

Oder ich kann sie erst die einzelnen Funktionen zu Operatoren machen mit meiner Vorschrift. Dann habe ich zwei Operatoren. Und dann kann ich die Operatoren mit einem Kommutator verzieren. Und das sollte das Gleiche sein, ob ich erst die Poisson-Klammer bilde und dann mit W auf den Poisson-Klammer gehe und kriege.

Das ist sozusagen die Idee dahinter. Das wäre ja schön. Und ich behaupte, das funktioniert nicht. Das funktioniert bis zu quadratischen Funktionen von P und Q.

Dann gebe ich Ihnen ein Gegenbeispiel. Wir nutzen das Beispiel F ist gleich ein Drittel Q²

und G ist gleich ein Drittel P². Das ist jetzt 3, hoch 3. Quadrat geht ja, hoch 3. So, dann rechnen wir es jetzt aus. Was wäre W von der Poisson-Klammer? Die Poisson-Klammer, also W von 1 Drittel Q² mit 1 Drittel P².

Was ist die Poisson-Klammer von 1 Drittel Q² P²? Gibt es nur einen Termin. Hier differenzieren sie nach Q, hier differenzieren sie nach P. Und das war es. Nicht Quadrat, Entschuldigung, auch 3.

Die 3 killt das Drittel. Also bleibt einfach über W von Q² P². Das können wir hinschreiben. Das stand schon da. Hab ich weggewischt. 1 Sechstel Q² P², da waren jetzt 6 Terme.

Plus Q P Q P plus Q P² Q plus P Q² P plus P Q P Q plus P² Q².

Das war schon ein bisschen länglich. So, jetzt können Sie aber die Regeln, Sie können das alles auf eine einfache Form bringen. Ich kann das alles auf die Form bringen, Q² P², indem ich überall hier die P's nach rechts durchziehe.

Vertauschungsrelation verwendet. Das ist ein bisschen mühsam. Müssen Sie das immer wieder, immer wieder. Ich kann nur die Vertauschungsrelation verwenden. Am Ende bleibt 6 mal dieser Term über. Deswegen die 6 geht weg. Und Sie sammeln einfach alle Terme auf. Manchmal müssen Sie nur einmal rüberziehen. Dann bleibt 1 Q P über.

Das passiert ein paar Mal. Wenn Sie die aufsammeln, dann kriegen Sie minus 2i hq, also das passiert zweimal, Q mal P. Und manchmal müssen Sie zweimal vorbei. Hier zum Beispiel müssen Sie hier und dann nochmal vorbei. Dann kriegen Sie zweimal den Kommentar. Das wird ein hq² und eine 1 bleibt über. Da bleibt dann minus ein halb hq² mal die 1.

Das ist sozusagen, was bei der Rechnung rauskommt. In die eine Richtung. Das ist die linke Seite. Dann rechen wir die rechte Seite aus. Die rechte Seite ist der Kommutator W von 1 drittel Q² hoch 3

mit W von 1 drittel P hoch 3. Aber W von einer Funktion von Q ist einfach nur die Funktion. Da müssen wir nichts mehr ordnen. Da ist ja nur Q und P. Das ist einfach nur 1 drittel Q hoch 3 Kommutator mit 1 drittel P hoch 3.

Jetzt müssen wir auch wieder in Fleiß arbeiten. Dann müssen Sie einfach Q hoch 3 P hoch 3 minus P hoch 3 Q hoch 3 alle immer schön durchziehen. Ich hoffe, Sie kriegen das hin, wenn Sie müssten.

Ich sage mal, was rauskommt. Q² P² minus 2i hqa Qp. Das sieht schon mal gut aus. Aber dummerweise ist der letzte Term anders.

Sie sehen, hier gibt es eine Diskrepanz. Das funktioniert nicht. Man kann beweisen, dass es leider überhaupt keine Vorschrift geben kann mathematisch, die alle diese Aktionen da oben erfüllt.

Gibt es schlichtweg nicht. Irgendwas von Ihren schönen Wunschvorstellungen müssen Sie aufgeben. Bei den Quantisierungsvorschriften gibt es eine Mathematiktheorie. Die heißt Quantisierungstheorie. Die analysiert alle diese Möglichkeiten. Sie charakterisiert alle die Eigenschaften

möglicher Quantisierungsvorschriften. Da kommt man halt auf solche Dinge. Das ist nur ein kleiner Ausblick darüber, wie man eine Quantentheorie konstruiert. Das ist eine klassische Theorie. Und wie der klassische Grenzfall eigentlich sehr schön studiert werden kann, indem man in diesen Quantenphasenraum geht. Dann machen wir jetzt bis halb der Pause.

Dann stelle ich Ihnen ein paar Fragen. Und weiter geht's. Sie dürfen aktiv werden. Ich hoffe, es funktioniert. Ich sehe gerade mal wieder nicht, dass es funktioniert.

Nee. Normal. Läuft. Sollte laufen, ich sehe zwar wieder nicht.

Haben Sie Zugriff? Muss da eigentlich gehen? Ja. Okay, normal. Entschuldigung, ich hatte zu früh geklickt. So, jetzt aber.

Also, die vier mögliche Antworten. Vier? Nee, drei. Drei mögliche Antworten. Was besagt die Haltung der Wahrscheinlichkeit? Nochmal zurück dazu. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist einfach zeitunabhängig. Oder es fließt keinen Wahrscheinlichkeitsstrom

durch den Rand meines betrachteten Gebiets. Also, Wahrscheinlichkeit erhalten in einem Gebiet natürlich. In einem Volumen ist die Wahrscheinlichkeit gleich. Zeitunabhängig. Oder der Wahrscheinlichkeitsstrom verschwindet einfach. Mal sehen.

Ist die richtige Antwort oder mehrere richtige Antworten oder keine richtige Antwort. Aus irgendeinem Grund sehe ich gerade nicht, wie viele Antworten wir haben. Das verstehe ich jetzt gerade nicht.

Sollen wir mal nachschauen? Also, ihr denkt nur nach. Schauen wir mal nach.

Ich weiß jetzt nicht genau, wie viele Leute beteiligt waren. Aber das Resultat ist gut. Denn das ist die richtige Antwort. Das habe ich auch betont. Der Wahrscheinlichkeitsstrom ist eine zeitunabhängige Funktion.

Sonst könnte er nicht den RTW kompensieren. Und verschwindet er im Allgemeinen auch nicht. Also kann eigentlich, wenn es eine richtige Antwort gibt, nur die mittlere sein. Und klar, wenn Strom aus dem Rand fließt, dann würde die Wahrscheinlichkeit im Inneren abnehmen. Durch den Rand ist es gleich null. Aber am Rand entlang?

Das ist, wenn Sie das Integral nehmen. Wie bei der Kontinuitätsgleichung kriegen Sie beim Divergenztheorien ein Volumenintegral über die Divergenz. Und das ist gleich nach dem gaussischen Satz ein Oberflächenintegral über den Rand. Aber Oberflächenintegral heißt,

der Fluss projiziert auf die normale, auf die normale der Randfläche. Das heißt, wenn der Fluss nur im Rand, parallel, also tangential zum Rand, auf der Oberfläche läuft, passiert nichts. Dann kriegen Sie den Skalatprodukt im Integral null. Gibt keinen Beitrag. Nur der Anteil, der normal zur Oberfläche geht, was wirklich rausgeht, gibt einen Beitrag.

Das ist auch anschaulich klar. Wenn Wahrscheinlichkeit nur sich im Rand verändert, da fließt und nicht rausfließt, haben wir im Volumen das gleiche. Bitte? Das ist unerheblich. Ändert das Oberflächenintegral nicht.

Ich gehe noch mal kurz raus und gucke, wo das Problem liegt. Irgendwie hat das zu tun mit meinem... Ich weiß es nicht. Gut.

Das hatten wir. Dann kommt der nächste. Gut, müssen wir jetzt raten, wie viele Antworten wir haben. Hier sind Beispiele für die Weillorten. Einige davon sind richtig, einige falsch. Oder auch nicht.

Gucken Sie genau hin. Das ist nicht ganz einfach. Da die Tafel gewischt ist, können Sie es auch nicht mehr ablesen. Ist nicht freigegeben?

Jetzt ist freigegeben. Danke schön.

Kleiner Hinweis. Manche Ausdrücke können gleich sein, ohne dass man es Ihnen ansieht.

Noch mehr Zeit. Ja, das ist erfreulich. Die erste, das Stand der Mehr war da. Das ist die korrekte Definition für diesen Fall.

In der Tat. Die letzte, wirklich mehr ist da drauf. Na ja, das haben Sie wahrscheinlich gemerkt. Da fehlt ein Term. Da fehlt der Term. Welcher fehlt? P x x P fehlt. Den haben wir einfach weggelassen. Haben Sie aber nicht reinlegen lassen.

Aber die Antwort 2 ist auch richtig. Aber das liegt nicht an der Definition. Sondern es liegt daran, dass Sie diesen Ausdruck hier natürlich auch in diese Form schreiben können. Indem Sie hier einmal das x an dem P vorbeitauschen

und hier das P an dem x vorbeitauschen. Und wenn Sie das machen, kriegen Sie in beiden Fällen natürlich einen Kommutator. Aber der hebt sich weg. Einmal mit einem Plus ih quer, einmal mit einem Minus ih quer. Und motiviert in jedem Fall das gleiche x. Das heißt tatsächlich, in diesem Fall ist das gleich dem.

Man muss ein bisschen aufpassen. Manchmal die Sachen gleich, ohne dass man es bemerkt. Letzte Frage. Die was?

Ich verdube mich da manchmal. Ich habe eben auch pharma vertan. Okay, jetzt diese Beziehung, dass der Kommutator von zwei weil symmetrisierten

Objekten proportional zur weil transformierten von dem Poisson Klammer ist, gilt In welchen Fällen gilt das? Allgemein, nur für quadratische Funktionen, införende Ordnung. Wird es gelten, wenn man die Poisson Klammer ersetzt durch den Stern

Kommutator? Oder gilt es, wenn f nur eine Funktion von x ist und nicht von P? Also x und q ist das gleiche. Ich schreibe manchmal x, manchmal q. Ich hoffe, das ist klar.

Okay. Nachschauen. Okay.

Immerhin wollen ein, zwei, einfünftel, meint, es gilt allgemein. Der Sinn des Gegenbeispiels eben war zu zeigen, dass es nicht allgemein gilt. Es war vielleicht schon zu spät. Ich bin angekommen. Für quadratische Funktionen, das habe ich

explizit gesagt. In der Tat, das ist richtig. Införende Ordnung ist auch richtig. Wir hatten ja die Entwicklung hier. Der erste Term ist die Poisson Klammer. Aber es gibt halt weitere Terme. Korrekturen in Ordnung H quer. Also Antwort C ist auch richtig. Antwort D wäre auch richtig.

Denn f Stern g minus g Stern f ist zunächst mal die Poisson Klammer plus höhere Terme in H quer. Das sind genau die Terme. Die Gleichung, wo im Phasenraum statt dem Quantenkommutator das Sternproduktkommutator steht,

ist die richtige Gleichung. Nur ist es nicht allein die Poisson Klammer. Das ist nur der führende Term. Also Antwort C ist auch richtig. D ist auch richtig. Und Antwort E, dann gucken wir mal. Antwort E, nein. Wenn f nur eine Funktion von x ist, das reicht nicht. Dann kriege ich trotzdem Beiträge in Höhere Ordnung.

Okay, also hier wären drei richtige Antworten gewesen. Gut. Dann noch ein paar Minuten zu generellen Bemerkungen zum Lösen der Schrödinger Gleichung.

Also die Schrödinger Gleichung nochmal IH quer

dT psi ist gleich H psi gelöst durch U.

Also wir brauchen U. Klar. Wir wissen schon, wenn H Zeit unabhängig ist, dann ist U einfach gegeben durch Exponenzieren von H.

auch wissen Sie, es gilt außerdem, wenn H Zeit unabhängig ist, dann gilt das IH quer. Wir haben ja die Gleichung für unsere Erwartungswerte.

Und wenn wir speziell als Observabler H selber nehmen, das gilt wie in der klassischen Physik, dann verschwindet die rechte Seite. Das bedeutet, dass der Erwartungswert von H gleich konstant ist. Das ist das Analoge, was Sie in der

klassischen Mechanik schon kennen. Wenn die Hamilton-Funktion Zeit unabhängig ist, ist die Energie erhalten. Also der Erwartungswert von H ist zeitlich konstant. Das folgt aus der Eingleichung. Und am besten für die Energieeigenwerte

ist natürlich die Energieeigenbasis. Also wenn wir das Problem Schrödinger gleich lösen wollen, müssen wir im Grunde die Eigenbasis des Hamilton-Operators. Wir müssen den Hamilton-Operator diagonalisieren. Dann kennen wir das Spektrum. Kennen Sie die Eigenfunktion, Eigenwert?

Das ist die Idee. Wie sieht das aus? Also H E ist gleich EE. Und dann lässt sich der Hamilton-Operator in der Spektraldarstellung schreiben, als eine Summe über die Projektoren auf die diskreten Eigenwerte.

Und möglicherweise noch ein Integral übers Kontinuum. Wobei die Mathematiker, die Schüttels hier bilden, das ist gemeint, dass die Physiker für das Spektralmaß schreiben. Das kontinuierliche Spektralmaß.

Gut, und gleich das Gleiche natürlich U. Wenn Sie das haben, dann entwickeln sich die Energieeigenzustände natürlich einfach gemäß I durch H quer E mal T, weil H auf dem Zustand einfach E ist. Und U von

T lässt sich genauso spektral zerlegen, dann natürlich als Summe E hoch minus I durch H quer ENT

EN plus ein Integral übers Kontinuum DE I durch H quer E T A. Also das wäre jetzt sozusagen die analoge Zerlegung

des Zeitentwicklungsoperators in dieser Eigenbasis von H. Naja, und das definiert sogenannte stationäre Zustände.

Stationäre Zustände E von T. Also wenn ich mir jetzt diese Eigenzustände von H angucke, die sind nicht zeitunabhängig. Die ändern sich ja mit einem

Phasenfaktor. Und das heißt, ich kann einfach diesen Phasenfaktor quasi mit in die Definition reinnehmen und sagen, das ist ja, oder E. Der ist ja zeitunabhängig. Also das ist sozusagen die Definition, wenn ich

diesen Phasenfaktor mit absorbiere in den Zustand, dann nenne ich den E von T. Das ist meine stationäre Zustand. Also der Betrag ist offensichtlich der gleiche. Also das ist mit Definition. Und die Eigenschaft ist, eine sehr schöne Eigenschaft haben diese stationären Zustände. Nämlich die Wahrscheinlichkeit

Omega als Eigenwert von einer observable Großomega zu messen in einem stationären Zustand. Das ist unsere alte Notation. Die Wahrscheinlichkeit in Eigenwert von irgendeiner

observable, den Eigenwert Kleinomega zu finden in einem stationären Zustand. Wie groß ist der? Wir nutzen unsere einfache Formel. Das ist ja das Absolutquadrat von der Wahrscheinlichkeitsamplitude. Richtig? Mit dem eigenen Zustand.

Naja, Omega ist einfach ein Eigenwert an das Observable. Die hängt nicht von der Zeit ab. Wir sind im Schrödinger Bild. Schrödinger Bild. Das heißt nur die Zustände sind zeitabhängig. Die observablen aber nicht. Aber ein eigenes Zustand eines zeitunabhängigen Operators ist auch zeitunabhängig.

Die einzige Zeitabhängigkeit steckt hier. Aber die kennen wir. Das ist E hochminus I durch H quer Et mal Omega E. Aber wenn Sie das ausrechnen, das ist nur eine Phase.

Und diese Phase verschwindet im Absolutquadrat. Das heißt, das ist einfach W Omega von E von Null. Das heißt, das ist zeitunabhängig.

Mit anderen Worten, in stationären Zuständen sind die Wahrscheinlichkeiten von Meskfrößen stets zeitunabhängig. Das ist das Besondere an stationären Zuständen.

Das ist für den Fall, dass H zeitunabhängig ist. Wenn H zeitabhängig ist, ist es auch komplizierter. Vielleicht lasse ich das hier weg. Sie hatten das in der Übung schon mal diskutiert. Dann muss man bei diesem Zeitgeordnetenprodukt aufpassen.

Ich sage stattdessen noch mal kurz etwas zum Eigenwertproblem. Also das Eigenwertproblem von H

kommt aus dem Separationsansatz auch. Der Separationsansatz sagt, die Zeitabhängigkeit

eines Zustandes wird einfach absepariert. Das ist ein Ansatz, ein Produktansatz. Wir sagen, der Zustand ist eine Funktion von T mal einen Zeitunabhängigen Zustand. Das ist ein Ansatz für eine Basislösung, nicht für die allgemeinste Lösung. Wie ihr es bei Separationen kennt, man macht einen Ansatz und findet eine Lösung.

Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination mit beliebigen Koeffizienten. Wenn man das einsetzt, i h quer dt in die Schrödinger-Gleichung psi gleich h psi. Das setzen wir jetzt ein. Was finden Sie dann?

Wenn Sie das hier oben einsetzen, dann differenziert das T auf das f. Sie finden also i h quer f Punkt mal phi ist gleich h mal f mal phi. Aber f ist nur eine Funktion von T. Das heißt, Sie können durch f teilen.

Die rechte Seite ist konstant, also auch die linke. Das ist zeitunabhängig.

Deshalb ist f Punkt durch f gleich konstant. Die linke Seite muss auch unabhängig sein. Die einzige Zeitabhängigkeit steht neben f. Diese Konstantin geben wir einen Namen.

i h quer mal f Punkt durch f nennen wir einfach e. Das ist natürlich nicht zufällig, weil das ist die Separationskonstante in unserem Problem. Das ist nichts anderes als unser gutes altes e. Das ist der Eigenwert von h. Denn das löst die Gleichung.

Das muss man lösen. Also die Gleichung i h quer f Punkt also diese Gleichung hier, die da rauskommt, ist gleich e mal f wird gelöst durch f von t ist gleich e hoch minus i durch h quer e mal t.

Mal f von 0 mal eine Konstante. Aber Konstante gehen nur in die Normierung ein. Das ist unerheblich. Ich löse hab durch meinen Separationsansatz diese Funktion f jetzt bestimmt. Sie ist schlichtweg e hoch minus i durch h quer e mal t. Eigentlich wissen Sie das alle schon. Ich zeige Ihnen nur, dass das Gleiche rauskommt

im guten alten Separationsansatz. So könnten Sie es auch kriegen, wenn Sie es vergessen hätten. Das heißt, unser Phi ist nichts anderes als der Eigenzustand zum Eigenwert e. Und wir haben das Eigenwertproblem h Phi ist gleich

oder h e ist gleich e e. Das ist hier e und das Phi nenn ich e. Dann wird das dergleiche und diegleiche. Und das ist die stationäre Schrödinger-Gleichung. Ich glaube, ich bin bei 434.

Das ist die Gleichung, die Sie in den nächsten Wochen immer wieder und wieder lösen werden in verschiedenen Fällen.

Ab und zu auch die zeitabhängige Gleichung. Wie sieht das im Ortsraum aus? Das ist die übliche Darstellung, die man am meisten sieht. Im Ortsraum ist eine Wellenfunktion

zu einem festen Energieeigenwert e. Und der Hamilton-Operator sei der standard Hamilton-Operator p² durch 2m plus V von x. Und dann lautet diese Gleichung im Ortsraum, wenn ich das mit bra x von links multipliziere,

dann wissen Sie, der Hamilton-Operator hat dann p², p² ist h² durch 2m, minus h² durch 2m, die Ableitung nach x zweimal. Und der Ortsoperator x ist diagonal,

angewandt auf die Funktion phi e ist gleich e mal phi e von x. Das ist die Schrödinger-Gleichung im Ortsraum. Die stationäre Schrödinger-Gleichung oder zeitabhängige Schrödinger-Gleichung einfach im Ortsraum geschrieben.

Die haben Sie bestimmt schon mal gesehen. Und die Lösung wissen wir im Prinzip auch. Kann ich hinschreiben. Formal zumindest. Die gesamte Lösung ist phi, die Gesamtlösung phi von x und t

ist dann ein Integral. Da müssen wir das u reinschreiben. Das u können wir entwickeln als Summe und Integral. Ich fasse es mal zusammen. Phi e von x, e hoch minus i durch h quer e t, phi e Stern von x,

ne von y, und hier steht dann der Anfangswert. Das ist formal die Lösung. Wenn Sie die Energieeigenfunktion kennen, dann können Sie damit den Zeitentwicklungsoperator bestimmen und einsetzen und können ihn quasi als

Konvolution aus den Anfangswerten berechnen. Das was rauskommt, haben Sie ja schon mehrfach gesehen. Diese Summe in Integral bedeutet, Summieren über die Diskreten und integrieren über die kontinuierlichen Eigenwerte. Also die Summe der beiden Terme, die da oben auch aufgeführt sind.

Das ist quasi die Lösungsformel. Zum Schluss, letzte Bemerkung. Von d gleich 1 nach d gleich 3.

Was ändert sich, wenn Sie nach mehreren Dimensionen gehen? Aus x wird x i x, y, z. Sie haben 3 Ortsoperatoren. Aus p werden p i p x, p y, p z.

Und ihr Zustand, aus dx wird der Gradient, aus dx² wird der Laplace-Operator. Sie können all diese Gleichungen entsprechend erweitern. Nur, dass die Zustände,

die Wellenfunktion, jetzt natürlich eine Wellenfunktion wird, die von allen 3 Ortskoordinaten abhängt. So, und dann gibt es eine Bemerkung, die letzte Bemerkung, die ist interessant.

Die Anschauung, dass die physikalischen Raumkoordinaten, die Orts-Eigenwerte physikalische Raumkoordinaten sind, die kann in die Irre führen. Das gilt hier für ein einziges Teilchen. Wir betrachten bisher nur ein einziges Teilchen. Aber wenn Sie 2 Teilchen haben, dann hat jedes dieser Teilchen Ortskoordinaten.

Dann wird die Orts-Eigenfunktion, die Wellenfunktion in der Ortsbasis, wird abhängen von 6 Koordinaten. 3 Koordinaten des ersten Teiles, 3 Koordinaten des zweiten Teiles. Sie haben also 6 Koordinaten. Das kann auch, wenn die Teilchen die gleiche Masse haben, genauso aussehen, als ob Sie ein Teilchen haben in 6 Dimensionen. Das können Sie gar nicht unterscheiden.

Das ist aber auch so in der klassischen Physik. Wenn Sie einen Hamilton-Operator oder Lagrange-Funktion hinschreiben, von einem Teilchen, von 2 Teilchen in 3 Dimensionen, mit der gleichen Masse, sieht es genauso aus, wie ein Teilchen in 6 Dimensionen. Man muss aufpassen, die Koordinaten der Wellenfunktion bedeuten nicht immer anschaulich

ein Teilchen in irgendeinem Anschauungsraum, sondern es kann etwas komplizierter sein. Bei 25 Teilchen in 3 Dimensionen haben Sie dann 75 Ortskoordinaten. Die vertauschen alle miteinander. Aber wir werden dann erstmal wieder in eine Dimension zurückkehren und nächste Woche diskutieren wir dann einfache Probleme mit Potenzialen.

Denn dann lösen wir das nicht trivial mit Stufen, mit Töpfen, mit diversen Wechselwirkungen an Potenzial und sehen dann interessante Quanteneffekte, die man so aus der Exponentialphysik schon kennt. Ich wünsche Ihnen ein schönes Wochenende.