Wir haben jetzt also die Zeitentwicklung für eine allgemeine Wellenfunktion hingeschrieben.

Das sieht vielleicht so aus, aber ist keine Fourier-Transformation, weil die Energie vom Impuls abhängt.

Jetzt können wir diese Gleichung nehmen und daraus eine Differential-Gleichung machen. Also, Differential-Gleichung für C und T.

K-Hut? War die Frage? Okay, nach K-Hut war die Frage. K-Hut ist einfach nur ein fest gewähltes K.

Ah, Entschuldigung, hier sollte K-Hut stehen.

Jetzt können wir also eine Differential-Gleichung für Psi von T bilden. Nämlich IH quer d nach dt von Psi von T ist gleich mit dieser Gleichung da oben, 3,21.

Können wir das schreiben als Integral dP, P, E von P, E hoch minus I durch A quer, E von P, T.

Zeitableitung hat hier gewirkt, E von P kommt runter, Psi von Null ist gleich Integral dP.

E von P, P, P, Psi von T. Jetzt können wir diesen Zeitentwicklungsfaktor wieder absorbieren in dem C, also wieder 3,21 benutzen.

Und das ist E von P mal Psi von T.

Und diesen Operator definieren wir jetzt als H von Psi wirkend auf Psi von T, 3,24. Damit ist das hier die Schrödinger-Gleichung mit dem Hamilton-Operator,

das ist gleich der Energie-Operator.

Und ausgedrückt in den Orts- und Impuls-Operatoren schreibt er sich als P² durch 2m.

Das muss der Fall sein, weil wir wissen, dass die Energie P² durch 2m ist. Und darum muss der Operator diese Form haben. Im Allgemeinen kann hier noch ein Potentialterm stehen, der vom Ort abhängt.

In diesem Fall hier, den wir hier diskutiert haben, ist V gleich Null.

Wir haben jetzt kein Potential betrachtet. Wenn wir also jetzt diesen Hamilton-Operator einsetzen, kriegen wir IH quer Psi von T, IH quer D nach Dt von Psi von X und T,

ist der gleiche nach Definition, IH quer Dt, X, Psi von T.

Und mit dieser Gleichung hier, 3,24, setzen wir den Hamilton-Operator ein,

Psi von T ist gleich, jetzt lösen wir K auf, schreiben K als in Form des Ableitungsoperators, dann kriegen wir IH quer Psi von T, IH quer Dt, X, Psi von T.

Und nach Definition ist das IH quer Psi von T, IH quer Dt, X, Psi von T.

Das ist also jetzt die Schrödinger-Gleichung im Ortsraum. Also das hier ist gleich das hier. Und das nennen wir 3,26.

Diese Schrödinger-Gleichung ist als Differential-Gleichung wie eine Diffusions-Gleichung in einer imaginären Zeit. Eigenschaften der Schrödinger-Gleichung sind erstens ist die Linie in Psi.

Das bedeutet, ich kann verschiedene Lösungen der Gleichung addieren, das ist das Superpositionsprinzip.

Zwei valide Zustände kann ich addieren, kriege ich einen weiteren validen Zustand. Zweitens ist die Homogen, da ausfolgt, dass die Normierung erhalten ist in der Zeitentwicklung.

Drittens ist die erste Ordnung in T. Das heißt, Psi von X und T ist bestimmt aus dem Anfangswert Psi von X und T gleich Null.

Und viertens, wie wir gesehen haben, sind Ebenewellen Lösungen, wenn wir kein Potential haben.

Also wenn das Potential verschwindet. Die Lösung für verschwindendes Potential haben wir hier hingeschrieben. Also Lösung für V gleich Null ist 3.23 mit einem Anfangsprofil Psi tilde als Funktion von Impuls D gleich Null.

Das kann ich schreiben als eine Funktion von P mal e hoch i Alpha P im Impulsraum.

Wenn wir so eine Funktion haben, können wir uns fragen, wo ist Psi von X und T konzentriert? Das heißt, wo befindet sich unser Teilchen eigentlich? Und wie entwickelt sich diese Stelle der Konzentration zeitlich?

Wir haben hier eine Phase im Exponenten unter dem Integral. Die ist 1 durch h quer Px minus P² durch 2m.

3.23 sollte ich hier vielleicht dazuschreiben mit E von P gleich P² durch 2m T plus T Alpha von P.

Diese Phase variiert sehr schnell mit P, da h quer klein ist.

Also wenn ich P nur ein bisschen variiere durch diesen einzigen h quer gigantischen Vorfaktor, variiert die Phase stark.

Dadurch kriege ich destruktive Interferenz im Integral über dP, außer es sei denn, wenn die Phase stationär ist.

Phase als Funktion von P stationär ist. Am stationären Punkt kann ich einen konstruktiven Interferenzbeitrag bekommen. Die einfachste Situation ist vielleicht, wenn Psi von X,0 ein Wellenpaket ist.

Das heißt, ich habe ein Profil G von P, P, P0, das um einen Wert P0 gepikt ist. Mit einer Breite sagen wir Delta P.

Der Profil konzentriert um P0. Wenn ich jetzt verlange die Stationarität der Phase bei P0, habe ich also die Bedingung,

P0 soll bitte gleich sein der Ableitung nach P von dieser Phase, also die Stationarität der Phase bei P0 bestimmt das optimale oder den typischen Aufenthaltsort X,

den klassischen Aufenthaltsort als Funktion von T. Nämlich, wenn ich hier ableite, möchte ich den stationären Punkt bestimmen,

X klassisch minus P quadrat durch 2m. T, das ist jetzt die Bestimmungsgleichung für dieses X klassisch aus der Bedingung, wie das die Phase stationär sein soll an der Stelle P gleich P0. Wenn ich das auswerte, habe

ich X klassisch minus P0 durch m mal T plus h quer Ableitung und P0 an der Stelle P0.

Das heißt, Psi von X und T ist konzentriert um X klassisch von T gleich P0 durch m mal T minus h quer Alpha Strich von P.

Und das können wir identifizieren als eine Geschwindigkeit mal T plus X0. Das heißt, wir haben eine lineare Bewegung des Psi Maximums mit der Gruppengeschwindigkeit V.

Das ist also das Zentrum der Bewegung. Jetzt können wir uns noch fragen, wie sieht es aus mit der Breite des Wellenpakets.

Diese Interferenz können wir feststellen konstruktiv, solange die Variation der Phase, also Delta-Phase, nicht viel größer oder kleiner ist als Pi.

Das heißt, mithilfe der expliziten Form der Phase müssen wir haben delta P mal, also kleiner Abschnitt des Integrals, den nach dP der Phase,

Px minus P² durch 2m T plus h quer Alpha von P an der Stelle P gleich P0 mal

1 durch h quer, was ja nichts anderes ist als delta P mal X minus X klassisch von T mal 1 durch h quer, soll bitte nicht größer als Pi sein. Das heißt, das hier ist

delta X. Das heißt, wir finden, dass für so ein Wellenpaket gilt delta X mal delta P.

Eigentlich sollte hier jetzt stehen größer gleich Pi h quer. Da bin ich jetzt gerade etwas verwirrt. Wir kommen gleich darauf zurück.

Hier sollte jetzt eigentlich diese unschärfe Relation auskommen. Irgendwo muss dann ein Vorzeichen verloren sein. Ich denke gleich sogar nach.

Wir machen erst mal weiter. Darauf kommen wir gleich nochmal genau zurück.

Wir werden gleich nochmal ein formaleres Argument haben für diese unschärfe Relation. Genau, das kommt eigentlich sogar schon jetzt. Wir können uns jetzt fragen,

welches Wellenpaket hat die optimale Schärfe? Wie scharf können wir ein Wellenpaket machen?

Das heißt, welches Wellenpaket minimiert delta X delta P? Diese Unschärfe, werden

wir jetzt gleich sehen, folgt ganz allgemein aus einer Vertauschungsrelation von Operatoren.

Nämlich allgemein, wenn ich zwei hermetische Operatoren habe, A und B, kann ich definieren, A Hut soll A minus der Erwartungswert von A sein.

Ich möchte, dass A Hut den Erwartungswert Null hat. Genauso B Hut soll B sein, B minus der Erwartungswert von B.

Diese Definition hängt natürlich jetzt davon ab, welchen Zustand ich betrachte. Also dann habe ich Erwartungswert von A gleich Null, ebenso Erwartungswert von B Hut ist gleich Null.

Und die Abweichung A Hut Quadrat ist gleich delta A Hut Quadrat, ebenso für B. B Hut Quadrat Erwartungswert ist gleich die Abweichung von B Quadrat.

Und weiter haben wir dieses Abziehen der Erwartungswerte ändert nichts an der Vertauschungsrelation. Also wir haben A Hut B Kommutator ist gleich A B.

Die Erwartungswerte sind konstanten, mal Einheitsoperatoren fallen aus dem Kommutator aus. Und jetzt können wir uns definieren. Eine Schar von Zuständen, die von einem Parameter lambda abhängen, die definiere ich

als A Hut plus lambda B Hut wirkend auf psi, wobei psi der angegebene Zustand ist mit diesen Erwartungswerten.

Für gegebenes psi und lambda soll ein reeller Parameter sein. Dann brauche ich mehr Platz.

Dann haben wir, wir wissen, dass das Phi von lambda, i von lambda größer Null ist.

Das ist ja psi A dagger minus i lambda B adjungiert, mal A Hut plus i lambda

B Hut psi, schreibe ich aus, psi A Hut Quadrat plus i lambda A Hut B Hut.

Plus minus i lambda B Hut A Hut plus lambda Quadrat B Hut Quadrat psi, also

ist gleich delta A Quadrat plus delta B Quadrat plus lambda mal i Erwartungswert Kommutator A B.

Das ist also, Entschuldigung, hier steht noch lambda Quadrat, also ein quadratisches Polynomen lambda, reelle, mit

reellen Koeffizienten, das heißt, da es größer gleich Null ist, kann keine zwei reellen Nullstellen haben.

Quadratisches Polynomen größer gleich Null mit reellen Koeffizienten kann keine zwei reellen Nullstellen haben, das heißt, die Diskriminante ist, kann nicht positiv sein.

Wenn ich ein Polynom habe, A x Quadrat plus B x plus C größer gleich Null für alle

x, dann weiß ich B Quadrat minus 4 mal A und C, die Diskriminante muss kleiner gleich Null sein.

Das heißt, angewandt auf unseren Fall, finden wir, dass i mal A B, ja, das hier, das

heißt, dieser Kommutator Quadrat minus 4 mal delta A Quadrat delta B Quadrat muss kleiner gleich Null sein.

Das wiederum heißt, wenn ich jetzt das umstelle und Beträge bilde, die Wurzel ziehe, kriege ich delta A delta

B ist größer gleich ein halb mal Betrag A B und diese Aussage kann ich machen für alle C.

Das ist 3,27 und das ist die Unschärferelation für allgemeine Operatoren.

Minimale Unschärfe kriege ich, wenn ich Gleichheit habe, Null ist gleich Phi Phi, das heißt Phi muss, Phi von

Lambda muss selbst Null sein, das heißt A Hut plus i Lambda B Hut Psi muss gleich Null sein.

Das wiederum heißt A Hut auf Psi Betrag ist gleich Lambda mal B Hut auf

Psi Betrag, das heißt Lambda ist delta A durch delta B, wenn ich diese Gleichung anwende.

Und das beides zusammen heißt A Hut durch delta A Psi plus i mal B Hut durch delta B Lambda eingesetzt, Psi ist gleich Null.

Das heißt für solches Psi gilt delta A delta B gleich ein halb A B.

In unserem Beispiel, das kann ich hier noch hinschreiben, unser Beispiel war Ortsoperator und Impulsoperator für A und B, also A gleich Ortsoperator, B gleich Impulsoperator.

Und da wissen wir, das A B Kommutator ist gleich in einer Ortsdarstellung x minus i h quer d nach dx, das ist gleich i h quer

Kommutator von d nach dx mit x und der Kommutator von d nach dx mit x ist eins, das heißt das ist i h quer mal Identitätsoperator. Das heißt in diesem Fall delta x mal delta P ist größer gleich h quer halber.

Wenn wir jetzt zurück gehen zu unserem Wellenpaket heißt das das minimale Wellenpaket, welches die Unschärfe minimiert.

Das folgt aus dieser Beziehung 328, das heißt wir müssen haben, wenn wir diese gleichen 328 auf unser Wellenpaket

anwenden, müssen wir haben Null ist in der Ortsdarstellung x Ortsoperator minus Erwartungswert durch delta x Psi plus i mal

x Ortsdarstellung P minus Erwartungswert von P durch delta Psi und das ist x minus x Null durch delta x Psi plus i mal h quer durch i d nach dx.

Minus P Null durch delta Psi von x. Hier haben wir benutzt, dass der Erwartungswert von x gleich

x Null ist, das hatten wir vorher gesehen und der Erwartungswert von P, Wert von P ist P Null.

Und für dieses Wellenpaket wissen wir ja, können wir ausrechnen, h quer dx Psi von x, wie

wir es dahinten brauchen, ist gleich i mal P Null Psi von x minus, Entschuldigung plus, nein minus.

Beziehungsweise können wir diese gleichen umstellen und kriegen dann i P Null x minus delta P durch delta x mal x minus x Null Psi von x. Jetzt setzen wir ein, delta P hatten wir gesehen für dieses minimale Paket ist h quer durch 2 delta x.

Das heißt hier steht i P Null minus h quer mal x minus x Null durch 2 delta x Quadrat Psi von x.

Also ist Psi von x eine Normierungskonstante mal Exponentialfunktion von i durch h quer

P Null x minus x minus x Null Quadrat durch 4 mal delta x Quadrat.

Die Wellenfunktion hat also die Form eines Gauss, einer Gaussfunktion, also ein Gausspaket.

Die Normierung, das schreibe ich jetzt mal nur hin, ist 2 Pi delta x Quadrat hoch minus ein Viertel.

Was hat dieses minimale Wellenpaket für Eigenschaften?

Ja, hier, ja, hier, ja, ne, natürlich nicht, ne, das ist natürlich die Ortsdarstellung, Psi von x steht hier.

Danke, also das Wellenpaket ist, und dann machen wir auch gleich Schluss, Psi, der Erwartungswert des Ortsapparatus hatten wir gesehen ist x Null,

der Erwartungswert des Impulsapparatus ist P Null, und die Abweichung, die Ortsabweichung ist delta x Quadrat.

Dann wissen wir, dass die Projektion auf P, also in der Impulsdarstellung, das ist ja gleich Psi tilde von P,

ist eine andere Normierungskonstante, mal, wenn wir diese Fourier -Transformation ausführen, die die Ortsdarstellung mit der Impulsdarstellung verknüpft, finden wir, dass es wieder auch in einem Impulsraum ein Gausspaket ist,

das ist ja gerade die Eigenschaft von der Gaussfunktion, das hier erhalten ist, delta x Quadrat durch r Quer Quadrat P minus P Null Quadrat. Viertens, nein, drittens, und dann sind wir auch gleich fertig,

ist der Erwartungswert x Psi Betrags Quadrat ist gleich eins durch Wurzel 2 Pi delta x E hoch minus x minus x Null Quadrat durch 2 delta x Quadrat,

hat also diese bekannte Form der Glockenkurve Breite delta x zentriert um x Null

und schließlich, vier, gilt für die zeitliche Entwicklung und das ist Gegenstand der Übung,

also das arbeiten sie dann in der Übung aus, aus Psi von T gleich Null, das ist ja hier die Wellenfunktion zum Zeitpunkt T gleich Null,

kriegen wir, wenn wir die zeitliche Entwicklung ausrechnen, kriegen wir Psi von x und T, da gibt es verschiedene Möglichkeiten das zu tun, das wird alles in der Übung dann gemacht,

kriegen wir 2 Pi delta x Quadrat von T hoch minus ein Viertel mal E hoch i durch h Quer P Null x minus x minus x Null von T Quadrat

durch 4 delta x Quadrat von T und das ist 3 31, das ist jetzt ein nicht minimales Gauspaket.

Ok, alles weitere geschieht dann in der Übung, tut mir leid, dass es ein bisschen länger gedauert hat und vor allem das

da ist ganz komisch, da denke ich nochmal kurz drüber nach und dann wird es dazu auch noch eine Auflösung geben. Dankeschön.