Ich grüße Sie zu einem neuen Kapitel, Sie sehen, ich habe gar nicht den Beamer eingeschaltet,

ich habe nämlich leider den entsprechenden Schlüssel im Büro liegen lassen, also ich habe ein paar Fragen vorbereitet, die ich produzieren kann, aber dazu müsste ich in der Pause noch mal kurz ins Büro fahren, dann bräuchte man eine Viertelstunde Pause. Also wenn Sie das wollen, können wir das machen.

Gut, aber es geht erst mal so, Kreide habe ich und die Tafel ist gewischt, also geht, 45 Minuten komme ich klar. Am Ende des Dienstages, da hatte ich so ein paar Matrizen angeschrieben und da sind mir so ein paar Hquers durch die Lappen gegangen, vielleicht haben Sie es bemerkt beim Aufschreiben,

beim Einführen dieses Alphas, wir hatten immer Geschichten wie E hoch minus I durch Hquer HT, das ist so der typische Faktor, der als Zeitentwicklung auftritt, und das H hatte Hqueralpha drin, dann kürzt sich im Exponenten das Hquera, also bei den

expliziten Ausdrücken steht da kein Hquera mehr im Exponenten, also ich hatte da glaube ich einiges zu viel geschrieben, gucken Sie es nach. Ja, sonst habe ich eigentlich nichts hinzuzufügen zum Kapitel 1 und will Sie heute eigentlich

mehr mit einigen mathematischen Spielregeln noch mal vertraut machen, also das was wir schon gesehen haben im Kapitel 1 ein bisschen allgemeiner zusammenfassen, im Grunde nur lineare Algebra heute, also gar keine Physik, sondern Sie vorbereiten auf den höherdimensionalen und dann unendlich dimensionalen Fall, wir haben ja bisher ein physikalisches System

oder physikalische Systeme gesehen mit lediglich zweidimensionalen Zustandsräumen, wo es eine Basis gab, die aus zwei Elementen bestand, deshalb zwei mal zwei Matrizen, zwar komplex, aber immer nur zwei mal zwei, es ist natürlich klar, dass ich bei fünf Freiheitsgraden fünf mal fünf Matrizen brauche und einen Zustandsraum habe C5,

CO5, aber interessanter wird es dann, wenn es unendlich dimensional wird und vielleicht sogar kontinuierlich, das passiert genau, wenn wir Teilchen betrachten, die sich im Raum bewegen, dann ist die Koordinate eines Quantenteilchens ist im Wesentlichen

ein Freiheitsgrad und da gibt es natürlich überabzählbar viele und das führt zu gewissen mathematischen Schwierigkeiten, aber mit dem Formalismus, den ich eingeführt habe, lassen sich diese Schwierigkeiten unter den Teppich kehren ein wenig und Sie können die gleichen Regeln verwenden, nur bedeuten die Kets und die Bras ein wenig was anderes

als in unseren Beispielen bisher, damit wir das abstrakt einmal auf der Reihe haben, mache ich heute einfach ein paar allgemeine Zusammenhänge oder Spielregeln mit Bras und Kets und Operatoren in linearen Räumen, also wenn Sie das alles schon kennen aus der linearen Algebra, dann können Sie auch nach Hause gehen, Sie verpassen nicht

allzu viel und neue Physik kommt dann am nächsten Dienstag, also ich nenne es mal Elemente lineare Algebra, denn ich gehe davon aus, die lineare Algebra liegt

auch schon ein klein wenig zurück, deshalb kleine Auffrischung, also erst mal noch mal die Erinnerung, Vektoren, abstrakte Vektoren in meinen linearen Zustandsräumen sind Kets

und wir haben einen linearen Vektorraum über C und Elemente von diesem Vektorraum, Vektorraum V, das war das Aus Vektorraum V über C und so zeichne ich die Elemente

und dann haben wir noch Zahlen, Lambda, Mu und so weiter, die sind einfach komplexe

Zahlen, Koffizienten und dann gilt natürlich Linearität, also linear heißt sowas und hier habe ich eine Etikettierung eingeführt, ich könnte hier irgendwas anderes schreiben,

ich könnte hier C schreiben, wieder ein Vektor, ein Ket und was hier reinschreiben wie gesagt ist völlig egal, aber man sollte sich was angewöhnen, was Informationen über den Vektor gibt und wenn ich hier sowas zusammenfasse, dann ist es praktisch

einfach die Kombination hier als Namen neu zu vergeben, das heißt nicht, dass hier in irgendwelche Rechenregeln gelten, auf dem Etikett können sie alles rumschmieren, eigentlich spielt keine Rolle, das ist alles erlaubt, aber wir können uns auf bestimmte Konventionen einigen, wenn ich sowas schreibe, dann wissen sie was ich meine,

aber wir dürfen es nicht zu mathematisch präzise meinen, das ist nur eine Konvention und dann haben wir eine Basis in der Regel, haben wir immer und die Basis-Elemente, für die treffe die Konvention, die nummeriere ich einfach durch und D ist die Dimension von V, die komplexe

Dimension, wenn ich eine Basis habe, dann kann ich jeden Ket zerlegen, das haben sie

auch schon gesehen, nach Basis-Vektoren und das ist eindeutig und die A i sind komplexe Zahlen und der Begriff der Linie an Abhängigkeit und Unabhängigkeit ist Ihnen auch bekannt,

also Basis ist Linie unabhängig, wenn aus dem Verschwinden dieses Ausdrucks stets folgt, dass die A i alle Null sein müssen, also der einzige Vektor, der verschwindet hat

Dann brauchen wir aber auch nur noch Dual-Vektoren und das sind meine Bras. Was sind duale Vektoren?

Duale Vektoren sind Elemente des Dual-Raums, der Dual-Raums ist der Raum der linearen Abbildung, das ist eine Abbildung, das hat ein Argument und bildet ab in die komplexen Zahlen wiederum, also es ist ein Objekt, da schmeißen sie ein Vektor rein und eine Zahl

kommt raus, also eine Abbildung vom Vektor-Raum in die Zahlen oder sie können es auch so auffassen, also der Dual-Raum ist wieder ein linearer Vektor-Raum, V-Stern, das sind die

linearen Abbildungen und Elemente davon schreibe ich so und ich mache da auch ein Etikett, aber ich benutze andere Namen, ich benutze erstmal im Moment Schlangen über die Namen,

damit ich die nicht verwechsel mit den Etiketten in den Brackets, typischerweise sind das nicht unbedingt die gleichen und das ist, dann habe ich wiederum, kann ich

sowas schreiben, so linear kombinieren, aber wenn ich sowas schreibe, meine ich lambda Stern a plus my Stern b Schlange, das nennt man linear und das nennt man antilinear,

also wenn ich aus einem bra so einen Koffizienten rausziehe, dann kommt der nach vorne, das ist also meine Konvention, das wird sich gleich zeigen, wenn wir Skalarprodukte einführen, was es eigentlich in der Praxis bedeutet und Dual bedeutet wieder auf die

Abbildung, also die Abbildung ist so, sie nehmen einen Dual-Vektor, das ist eine Abbildung und wenden den an, also sag mal so, das ist eine Abbildung, das heißt,

das ist ein Element aus, das beschreibt eine Abbildung von V nach C und die Abbildung geht so, sie nehmen diesen, wenden ihn an auf irgendein Kett und da kommt eine Zahl raus,

komplexe Zahl, das können Sie immer machen, das hat noch nichts mit Skalarprodukt zu tun, das existiert in jedem linearen Vektorraum, können Sie einen dualen Vektorraum einführen und die Linearform in so weisen so definiert. Auch hier haben wir eine Basis natürlich,

I Schlange, I läuft von 1 bis zu einem D Schlange, das muss nicht gleich D sein, die Dimension des dualen Vektorraums kann verschieden sein und wir haben eine Zerlegung,

jeder Summe I, I Schlange, I. Aber wir haben noch mehr Struktur in unseren Zustandsräumen,

unsere Zustandsräume haben ein Skalarprodukt und eine Norm, wenn sie ein Skalarprodukt haben, dann haben sie eben auch eine Norm, wenn sie eine Norm haben, haben sie nicht unbedingt eine Parallelogrammungleichung gelten, aber für die Fälle, die wir betrachten,

ist das immer gleichbedeutend. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, die zwei Vektoren nimmt, einen Vektor aus V und einen zweiten Vektor und ordnet dem eine Zahl zu, eine komplexe Zahl. Also sie nehmen ein Kett und noch ein Kett und die Zahl, die da rauskommt, die schreiben wir so, das ist unser Skalarprodukt. Das suggeriert aber mit

der Notation, die ich hier verwendet habe, dass wir irgendeinen Zusammenhang haben zwischen den Ketts und den Bra's, denn wenn das hier nicht ein neues Symbol ist, sondern dieser Teil,

ich schreibe mal Fragezeichen, wenn das sowas sein soll und nicht ein neues Symbol, sondern mit den alten Symbolen Bra und Kett was zu tun haben soll, dann muss ja irgendwie ich aus einem Kett mit einem Etikett A ein Bra mit einem Etikett A machen oder umgekehrt.

Und das ist so, dieses Skalarprodukt definiert eine Konjugation auf dem Vektoraum,

falls das sei auf allen Vektoren erklärt, das ist nicht selbstverständlich. Es gibt eine

Situation denkbar, dazu kommen wir auch, wo dieses Skalarprodukt nicht für alle Ketts existiert. Wenn das für alle Ketts existiert, dann heißt der Vektoraum uniter, uniterer

Vektoraum ist ein Vektoraum mit einem Skalarprodukt, ein komplexer Vektoraum mit einem Skalarprodukt. Und dann existiert eine Konjugation, Konjugation ist eine Abbildung zwischen V-Stern und V,

die geht hin und her, von V kommen sie nach V-Stern und von V-Stern nach V, vielleicht soll ich das Stern hier hin machen, es geht in beide Richtungen, also so und so. Und diese Konjugation, die schreiben wir mit einem Kreuz, also ein A wird abgebildet auf

ein A-Kreuz und ein A-Kreuz ist ein Element des Dualraums, also ein Bra. Und jetzt können

wir die Schlangen weglassen, weil wir jetzt zu jedem A haben wir einen, Kett A haben wir auch einen Bra A, das heißt wir können dieselben Etikette für Vektoren und Dualvektoren benutzen. Ohne dass wir da in Verwirrung kommen. Und die Konjugation ist natürlich so gemacht,

dass dieses AB, dass das Skalarprodukt nichts anderes ist als die Anwendung des Dualvektors,

das Bra A auf den Vektor auf den Kett B. Das haben wir ja schon definiert und das soll jetzt das, also das heißt hier ist, das soll wirklich so gemeint sein als Produkt.

Und dann haben wir noch eine weitere Eigenschaft, wenn das ein Lineal Vektor Raum, ein unitärer Raum ist, ja schreiben wir hier dahin, dass wenn ich das umdrehe, ich kann ja dann auch

diese Argumente vertauschen, A und B. Ist nicht klar, was das hier bedeutet. Ist klar, das bedeutet hier B und hier A, aber das kann was völlig anderes sein zunächst mal. Aber ein Skalarprodukt hat typischerweise ist, ja wie nennt man das, entweder ist es symmetrisch oder irgendwie symmetrisch. Das hier ist nicht ganz symmetrisch,

es ist, man nennt es, ja wie heißt es eigentlich? Hermetisch, ja genau, danke. Hermetisch ist das richtige Wort. Also Hermetisch tritt zur Zeit die Stelle von symmetrisch. Bei

reellen Vektorräumen haben sie symmetrisch, bei komplexen Vektorräumen ist es Hermetisch. Also das heißt, ich schreib's mal so, BA, wenn Sie es umdrehen, hat was zu tun mit der anderen Reihenfolge, einfach durch komplex konjugieren dieser Zahl. Das haben wir auch schon

verwendet. Das heißt, ob Sie diesen hier zum Dualvektor machen und hier drauf anwenden oder ob Sie den zum Dualvektor konjugieren und auf den anwenden und es scheitert sich nur durch Komplexkonjugation. Sie sehen, ich benutze zwei verschiedene Symbole, das heißt Komplexkonjugieren von Zahlen in C und das ist diese Konjugation in den Vektorraum.

Das sind verschiedene Dinge. Okay, was brauchen wir noch? Dieses Skalarprodukt ist, man nennt das Sesquilinear. Das bedeutet nur, es ist linear auf dem zweiten Argument und antilinear auf dem

ersten, also konsistent mit dem, was ich oben geschrieben habe für Bras und Kets, aber ich schreib das noch mal hin. Das ist Linearität im zweiten Argument und Antilinearität im

ersten Argument. Da kommen also die Konsequenzen mit Komplexkonjugation nach vorne. Das definiert

eine Norm oder besser gesagt das Quadrat einer Norm. Die Normquadrat eines Kets ist einfach so geschrieben. Da könnten auch manche Leute lieber Doppellinien machen. Ich spare mir

das hier, auf dem Zusammenhang ist es hoffentlich klar. Das ist nichts anderes als Skalarprodukt von Amethyst selbst. Das ist real, wie man sich leicht überlegen kann und nicht nur real,

sondern auch noch positiv semidefinit. Und A gleich Null ist gleichbedeutend mit Null. Also

ich schreibe hier keinen Ket, das ist der Nullvektor, den wir immer haben im

linearen Vektorraum. Ich schreibe da einfach nur Null. Es wäre vielleicht etwas präziser, einen Ket zu schreiben mit einer Null, aber ich mache das nicht, weil der Ket mit einer Null später eine andere Bedeutung bekommt. Der taucht später wieder auf als nicht Nullvektor. Er kann

auch auftauchen als der nullte Basisvektor zum Beispiel, wenn wir unsere Zählung bei Null anfangen. Ich möchte diesen Symbol nicht verschenken für den Nullvektor, der ein bisschen trivial ist. Da müssen Sie sich ein bisschen daran gewöhnen, wenn da einfach Vektor gleich Null steht, ist dann der Nullvektor gemeint. Dann haben wir natürlich die üblichen

Ungleichungen bei Normen. Es gibt die schwarze Ungleichung, die sagt, dass die Norm vom Skalarprodukt kleiner ist als das Produkt der, ja das ist das Quadrat. Also als das,

ja das sind die Längen, wenn Sie so wollen, das sind die Produkte der Längen der beiden Vektoren a und b. Und das ist immer größer als der Betracht des Skalarprodukts. Da

steckt der Cosinus vom Winkel zwischen a und b da drin und der liegt zwischen minus eins und plus eins. Dann gibt es die Dreiecksungleichung. Also manchmal braucht man diese Dinge,

zum Beispiel bei gewissen Abschätzungen für die Unschärferelation. Da werden solche Ungleichungen verwendet. Gut und vielleicht schreiben wir das hier weiter. Ich habe

ein Skalarprodukt, dann weiß ich was Senkrecht bedeutet und ich weiß was Normen sind. Also kann ich meine Basis so wählen, dass sie autonomiert ist bezüglich des

Skalarprodukts. Ich benutze natürlich dieselben Symbole wieder und Autonomiertheit heißt schlichtweg nur das. Denn jetzt habe ich genauso viele Kets wie Bras in Basisvektoren.

Meine Dimensionen d und d Schlange sind gleich. Das ist ein uniterrer Vektorraum und ich habe eine Zerlegung. a ist gleich das selbe, was ich eben hatte und jetzt

kann ich aber was sagen über diese Koffizienten. Ich kann diese Gleichung multiplizieren von links mit einem anderen Basisvektor, z. B. mit j und dann steht hier ja ist gleich Summe i, j, i, a, i und Vermöge der Autonomiertheit ist das Delta i, j und

das ist einfach a, j. Das heißt wir lernen, dass diese Koffizienten nichts anderes sind als die Projektionen auf die entsprechenden Basisvektoren und das heißt ich kann auch schreiben direkt schreiben a gleich Summe i, i, i, a. Das kennen Sie schon,

hier sehen Sie wieder das einfügen der vollständigen Zerlegung der 1. Lässt sie also so sehr elementar wieder zurückgewinnen und Sie sehen auch das Skalarprodukt lässt

ich auch anders schreiben mit dem ich so eine 1 wieder einfüge. i ket i bra b und was hier steht haben wir gerade identifiziert. Das ist das Komplex konjugierte von dem, also mit

j und i vertauscht natürlich. Das heißt hier steht a, j Stern und das ist bi nach dem was wir gerade ausgerechnet haben. Und natürlich gilt dann für a gleich b dass das Skalarprodukt

im Summe der absoluten Quadrate der einzelnen Komponenten der Komponenten sind in dieser Basis. Also klar hier ist es positiv und reell. Das ist nicht unbedingt reell und Sie sehen

auch hier explizit das Vertauschen von a und b Komplex konjugieren bedeutet. Sieht man an der Formel an. V ist normiert, unser Vektorraum ist normiert. Wir können V Stern und V Schlange

identifizieren kanonisch durch die Konjugation. Also das ist nur eine Bemerkung vielleicht

klammere ich die mal ein. Man sollte es trotzdem auseinander halten, aber oft in der Kette. Man handelt den einen wie den anderen und nutzt gerade wie es einem passt. Also das ist ungefährlich solange sie mit unitären Vektorräumen oder normierten Vektorräumen

zu tun haben, weil wir ja immer eine eins zu eins Beziehung hier haben. Wir können jeden Kett in ein Bra umwandeln durch eine Konjugation und umgekehrt. Also ein Mathematiker würde sagen da gibt es eine kanonische Identifizierung. Die sind nicht gleich, sind äquivalent, aber nicht identisch. Ja so viel zum Skalarprodukt. Aber Sie haben noch ein

weiteres Produkt gesehen, nämlich das äußere Produkt. Das äußere Produkt ist eine Abbildung, die nimmt ein Vektor und ein Dual Vektor und als Ergebnis eine lineare Abbildung von V,

von V nach V. Also sie macht einen Operator aus einem Kett und einem Bra. Also wie geht das in der Praxis? Wir haben ein Kett A und ein Bra. Den nenne ich wieder B-Schlange,

denn sowas kann ich auch ohne Skalarprodukt machen tatsächlich. Also ich könnte das auch wie gesagt allgemeine. Ich lasse die Schlange mal Zeit, weil ich hier drüber, die können wir aber nachher wieder weglassen, weil wir haben einen unitären Vektorraum. Und das was als

Ergebnis, die Abbildung, die schreibe ich einfach durch hintereinander schreiben, bezeichne ich so. Das ist eine Abbildung von V nach V. Wir haben so einen zweistufigen Prozess. Wir nehmen ein Element hier raus und hier draus, machen daraus etwas, was wiederum eine Abbildung ist. Und das müssen wir jetzt anwenden auf einen Kett

und kriegen einen anderen Kett. Wie das geht schreibe ich jetzt hier in der nächsten Stufe drunter. Wir nehmen einen Vektor V, einen Kett aus Groß V. Naja und die Anwendung bedeutet einfach, wir schreiben das da vor, wie ein Operator. Operatoren schreiben sie

in der Regel vor den Vektoren. Also ich könnte das auch noch vielleicht ein bisschen, wenn sie unbehaglich sind, schreibe ich das so. Aber wir haben ja gesehen oder sie haben

gesehen, hoffe ich, dass man diese Klammern im Grunde nicht braucht. Denn wir können auch so klammern. Und hier sehen Sie, das ist ein Kett proportional zu A mit diesem

Koffizienten. Also wir haben schon erklärt, was dieses äußere Produkt bedeutet. Ich bräuchte jetzt nicht unbedingt ein Skalarprodukt. Ich könnte auch sagen, also okay, vielleicht

sollte ich, ja, also ich bin ein bisschen hier zu forscht gewesen. Ohne Skalarprodukt habe ich das natürlich nicht erklärt, aber Sie wissen, was ein Dualvektor auf einem Vektor bedeutet. Dann hätte ich nochmal eine Klammer machen müssen hier. Anwendung von dem B-Schlange auf das V. Aber wenn es ein Skalarprodukt ist, ist es einfach das

Skalarprodukt. Gut, wenn V unitär ist, dann kann man die Konjugation anwenden. Also ich mache

jetzt keine Schlangen mehr. Und dann können wir das auch konjugieren, indem wir einfach nach den Regeln der Kunst die einzelnen Bestandteile separat konjugieren und die Reihenfolge ändern. Das ist beim Konjugieren so, da drehen Sie alles um in dem Produkt. Das gilt auch für solche Objekte, die eigentlich aus verschiedenen Räumen kommen,

die Sie aber auf die Art und Weise multiplizieren können. Und das Umdrehen heißt einfach das. Und dann gibt es ein interessantes Objekt, das haben wir auch schon gesehen. Das sieht aus wie ein kleines Kunstwerk aus Strichen und Klammern. Dieses Gebilde ist der Projektor,

auf die Richtung von dem Kett A. Der ist hermitisch, denn P a Kreuz ist gleich P a,

das sehen Sie sofort. Wenn Sie das kreuzen, hier unten passiert nichts. Das ist einfach das Skalarprodukt, das ist das Normquadrat. Und hier oben drehen sich die beiden um, aber das ist das gleiche nochmal. Und warum ist das ein Projektor? Schreiben Sie es zweimal hintereinander weg. Ich schreibe es jetzt nicht an, aber ich hoffe,

Ihre Fantasie reicht aus. Wenn Sie es nochmal hinschreiben im Geiste, dann trifft das Bra A auf das Kett A und das kürzlich gegen den Nenner und dann bleibt einfach ein Bra kürzlich gegen einen der beiden Nenner. Einer bleibt wieder übrig und ein Kett und ein Bra bleibt

oben. Das ist genau dasselbe wieder. Das ist ein Projektor vom Rang 1. Und diese Projektoren führen natürlich gerade oder sind Spezialfelder davon. Das ist das, was wir brauchen für die Zerlegung der 1 oder Vollständigkeit der Basis.

Nämlich die I's sind ja normiert. I i ist 1, also brauche ich den Nenner da nicht. Dann ist das per se schon ein Rang 1 Projektor auf die Richtung des ersten Basisvektors und die Summe der Projektoren gibt die Identität. Das ist die Aussage.

Also Summe der P i und die P i haben die Eigenschaft natürlich als Projektoren auf orthogonal Basis, dass sie entweder 0, wenn sie einander ausführen, 0 oder 1 geben. Hier wird nicht über i summiert. Also entweder gibt es da wieder, nicht 1, Entschuldigung,

entweder gibt es wieder P i, P i² ist P i, aber wenn i und j verschieden sind, gibt es 0. Es sind orthogonal Projekte. Der Index muss ein i sein, ja, danke schön. Gut, so viel zu Bras und Kets und Produkten.

Was wir aber häufig verwenden, wie Sie schon gesehen haben, sind Operatoren,

also lineare Abbildungen, wovon diese äußeren Produkte Spezialfälle sind. Aber das sind sehr spezielle Operatoren. Ein allgemeiner Operator hat nicht diese Form. Das sind Abbildungen,

lineare Abbildungen von V nach V. Die können Sie auch irgendwie nennen. Ich nenne es jetzt mal Omega stellvertretend. Und die nehmen natürlich einfach ein Ket und bilden ihn ab auf einen anderen Ket, sagen wir A'. Und das ist einfach definiert durch

Links-Multiplikation mit Omega. Ich schreibe von links so ein Omega da dran. Und ich führe eine Etikettenkonvention ein. Ich schreibe auch gerne mal das Omega da einfach rein.

Wie gesagt, Sie sehen hier wiederum die zwei Möglichkeiten der Multiplikation. Im Grunde ist es egal. Operatoren schön immer von rechts auf die Kets anwenden. Bei Zahlen ist es egal. Manchmal von rechts, manchmal von links. Typischerweise treten die Koffizienten gerne auf der rechten Seite auf, wie Sie da schon gesehen haben. Für Operatoren sollte man das

nicht tun. Da führt es zu Widersprüchen. Also schön mal von links anwenden. Linear bedeutet natürlich, wenn Sie das anwenden auf eine Linearkombination. Ja, nach unseren Regeln

der Kunst. Linear heißt ja das hier. Also Sie können auch hier starten. Linearkombination von zwei Kets. Omega drauf anwenden heißt, das Omega geht einfach durch und wird separat

auf beide Summen angewendet. Nach den Notationen, die ich hier eingeführt habe, könnten wir das auch so schreiben. Ein bisschen längliches Etikett, aber wichtig ist die mittlere Gleichung.

Das ist entscheidend. Es gilt aber auch, dass Operatoren hintereinander ausgeführt werden können. Also wenn Sie zwei Operatoren haben, nehmen wir an Lambda und Omega, und Sie wollen das Produkt bilden. Das Produkt ist natürlicherweise definiert durch Komposition.

Der Operator ist quasi eine Abbildung. Abbildung können Sie komponieren. Das heißt nicht, dass es mit Musik zu tun hat, sondern Sie werden erst eine an und dann die nächste. Und das Ergebnis ist wieder eine Abbildung. Denn diese Dinger bilden einen Ring. Das können Sie auf natürliche Weise multiplizieren. Und das bedeutet so

was. Erst Omega, dann Lambda, oder so geschrieben, oder so geschrieben, oder so geschrieben. Alles dasselbe. Ein wichtiger Aspekt von Operatoren sind ihre Kommutatoren. Der

Kommutator ist definiert folgendermaßen mit dieser Klammer. Dann zwei Operatoren und schreiben den in so eine Klammer. Und das bedeutet einfach, dass sie hintereinander ausführen in zwei verschiedenen Reihenfolgen. Erst so, wie es da steht, und dann in andere

Reihenfolgen. Kommutatoren haben Sie in den Matrizen schon gesehen, denke ich. Das sagt einfach, Sie interessieren sich dafür, für den Unterschied, ob Sie erst Lambda und dann Omega anwenden, immer von rechts nach links lesen. Aber das wirkt ja nach rechts. Man muss sich immer mit dem Kopf manchmal verdrehen. Es wirkt nach rechts,

also von rechts nach links lesen. Erst Lambda anwenden, dann Omega, oder erst Omega und dann Lambda. Und Sie möchten die Differenz wissen, ob das ein Unterschied ist. Sie sehen an der Definition, das ist nicht die allgemeinste Definition eines abstrakten Operators,

aber wenn immer man diese Objekte als lineare Abbildung realisiert hat, dann ist der Und sie sorgt auch dafür, dass eine Identität gilt, die mit drei Operatoren formuliert wird.

Omega Lambda Sigma plus Lambda Sigma Omega plus Sigma Omega Lambda gleich Null. Das sieht ein

bisschen kompliziert aus, ist aber eine wichtige Relation, die manchmal verwendet wird. Und diese

Relation zusammen mit dem definiert eigentlich den Kommutator, auch in Situationen, wo Sie das nicht haben. Aber wenn Sie das haben, dann folgt das hier automatisch. Setzen Sie dies hier ein und dann stellen Sie fest, Sie kriegen wie viele Terme? Vier Terme,

zwölf Terme und die heben sich paarweise weg. Das ist automatisch erfüllt. Man nennt das die Jakobi Identität. Naja, dann haben wir natürlich auch noch wichtige Relationen,

was die Linearität angeht und das hintereinander ausführen. Ich schreibe mal zwei davon an. Das sind Rechenregeln, die sehr hilfreich sind für den Kommutator. Wenn Sie den Kommutator mit einem Produkt, der Kommutator von Omega und dem Produkt von zwei Operatoren Lambda und Sigma,

dann müssen Sie nicht Lambda und Sigma erst multiplizieren und das dann irgendwie einsetzen, sondern Sie können das vereinfachen auf die folgende Art und Weise. Sie können das so

schreiben. Wenn Sie es nicht glauben, schreiben Sie es einfach aus. Alle Terme hinschreiben, nach der Regel. Dann stellen Sie fest, das stimmt. Das ist so ein bisschen wie beim Ableiten. Die

Mathematiker nennen das etwas vornehmer Derivationseigenschaft. Derivation ist ein anderes Wort für Ableitung. Beim Ableitung gelten Produktregeln und diese Operation. Sie

nehmen ein Objekt und bilden den Linkskommutator mit Omega. Diese Operation fühlt sich an wie abdifferenzieren. Denn es gilt für Sie eine Produktregel und die Produktregel steht hier. Das bedeutet, hier ist ein Produkt. Sie bilden den Kommutator mit dem ersten Faktor,

also Ableiten von dem, mal das. Das steht hier. Plus Ableiten von Sigma, also Kommutator bilden von Omega und Sigma und das Lambda steht davor. Also wenn Sie nicht mehr wissen,

wie das geht, erinnern Sie sich einfach an die Produktregel. Statt differenzieren bilden Sie in jedem Schritt den Kommutator. Das ist genau das gleiche. Die Regel gilt natürlich auch für den ersten Faktor. Das ist dann klar. Hier können Sie das auch so lesen. Wir ziehen

den ersten Faktor raus aus dem Kommutator nach links und wir ziehen den zweiten Faktor raus nach rechts. Das ist das gleiche noch mal nur. Sie können es ja immer umdrehen

durch Minuszeichen. Da können Sie komplizierte Regeln einführen, wenn Sie wollen. In einer orthogonalen Normalbasis lassen sich Operatoren bequem darstellen. Die haben dann

Koffizienz. Denken Sie, das wären dann Matrizen. Sie können dann Matrizen einführen und die Matrizen haben natürlich Komponenten. Genauso wie wir die Komponenten von Vektoren, die AI, ermittelt haben als Skalarprodukte mit Basisvektoren, können Sie das auch mit

den Matrizelementen Ihres Operators machen. Das sieht dann so aus. Das nenne ich dann Omega IJ. Das ist eine Zahl, weil Omega wirkt auf J und bildet einen neuen Kett und dann

eine Skalarprodukt mit dem Basisvektor I. Das ist eine komplexe Zahl. Das ist gleichbedeutend mit der Zerlegen des Operators in die Basis. Das sieht man vielleicht nicht sofort, dass

das stimmt. Ich schreibe es Ihnen noch mal anders auf, dann wird es vielleicht deutlicher. Wir können das Omega IJ auch hier reinschreiben. Das sind ja nur Zahlen. Und dann setze ich

das hier ein. Omega IJ ist nichts anderes als I Omega J. Und jetzt lesen Sie das wieder anders, dann sehen Sie, Sie haben hier eine 1 eingeschoben und hier eine 1 eingeschoben. Das ist die Gleichheit einfach nur Omega gleich Omega. Also Sie müssen einfach Übungen

da drin kriegen, diese Dinge vorwärts und rückwärts zu lesen. Vorher hatte ich so Jetzt klammern Sie so. Entsprechend können Sie sehen, wie das Produkt aussieht. Wie

sieht das Matrix-Element von einem Produkt zwei Operatoren aus? Nun, das ist nach der Definition, die da drüber steht, einfach die Projektion nach links und nach rechts. Und wenn ich irgendwie ein Produkt habe und ich weiß nicht weiter, eine gute

Und wo kann ich die hier einschieben? Naja, hier ist ja nichts mehr zu machen. Zwischen die Operatoren mache ich das. Neues Symbol erfinden, dazwischenschieben. Und jetzt

klammern Sie wieder um. Aus ket-k bra-k machen Sie Matrix-Element mal Matrix-Element

nach der Definition der Zeile drüber. Und Sie sehen, das ist eigentlich die bekannte Regel. Zeile mal Spalte von Matrizen. So multiplizieren die Matrizen. Das heißt,

die Komposition ist das, was Sie erwarten. Die Operatoren werden an einer Basis durch Matrizen realisiert und das hintereinander ausführen, bedeutet in dieser Basis schlichtweg die übliche Matrix-Multiplikation. Ja, ich würde gern noch eine Sache machen

vor der Pause. Ich muss hier aber kurz wischen. Vielleicht hier. Ich hoffe, ich habe hier. Dauert nur drei Minuten. Denn wir haben ja, ich habe in ja Konjugationen

eingeführt, aber nicht gesagt, wie Konjugation auf den Operatoren funktioniert. Aber ich denke,

Sie ahnen das schon. Es wird zum Begriff des adjungierten Operators. Wenn Sie einen Operator

Omega haben, dann können Sie einen sogenannten adjungierten Operator Omega Kreuz definieren. Hermetisch adjungiert. Der bildet V-Stern auf V-Stern ab. Das ist sozusagen die,

ja, Sie drehen die Reihenfolge um. Also der geht in die andere Richtung und der bildet Dualvektoren auf Dualvektoren ab. Aber da wir ja identifiziert haben im Wesentlichen V und

Stern, ist das nicht viel Neues. Wie wirkt das? Ich mache es mal allgemein noch. Wir haben ein Dualvektor und der Dualvektor wird abgebildet auf einen neuen Dualvektorstrich und der ist definiert schlichtweg durch Rechtsanwenden. Das heißt, die Anwendungsrichtung von unserem

Operator hat sich umgedreht. Adjungierte Operatoren wirken nach links, von rechts nach links. Rechtsmultiplikation. Ja, und dann führe ich halt gerne natürlich auch wieder eine Notation

ein. Wir schreiben dann zum Beispiel Omega a Schlange. Ja, das ist sozusagen, als ob ich das nach rechts angewendet hätte, aber dann mit einer Schlange drüber in den Bra eingeschrieben. Und das ist ja, das ist per Definition, oder das ist einfach das

gekreuzte, so soll das sein, das soll das gekreuzte sein von dem, oder konjugierte, von dem Kett Omega a. Also Omega auf a rechts angewendet, auf den Kett, wenn ich das

konjugiere, dann soll da Omega Kreuz auf den entsprechenden Dualvektor kommen. Oder was dasselbe ist, Omega a Kreuz. Also nochmal die wichtige Regel, wenn Sie identifizieren,

also V unitär, da machen wir keine Schlangen mehr drüber, dann müssen Sie sich einfach diese Regeln merken. Ja, das ist im Prinzip die entscheidende Gleichung. Ja, Omega Kreuz

ist natürlich auch linear etc. Also wie bei Omega linear und Produkt durcheinander ausführen durch Komposition heißt, vielleicht mache ich das Produkt noch kurz, weil das

ist auch nicht ganz ohne. Also a Omega Lambda, wir wollen, wenn Sie das Produkt von zwei

Kreuzen, dann heißt es ja, das ist das, wir können es so schreiben, Omega Lambda auf a Schlange, ich habe keine Schlangen, Schlangen haben wir weggelassen, das da reinschreiben,

den wenden wir einfach da an, schreiben das ins Etikett und das ist ja erst Omega anwenden auf Lambda a und das Omega können wir dann rausziehen als Omega Kreuz und dann ziehen wir

das Lambda anschließend raus als Lambda Kreuz und hier haben wir das Omega Kreuz und hier sehen Sie, das kann man dann umklammern, Lambda Kreuz, Omega Kreuz und daraus lesen Sie ab die

Regel Omega Lambda Kreuz, das gleiche Lambda Kreuz, Omega Kreuz. Die kennen Sie schon für Matrizen, aber natürlich gilt die konsistenterweise auch für die abstrakten Operatoren, wie sich durch diese Kette von Gleichungen schnell erschließt. Das gleiche

gilt fürs Invertieren, wenn Sie hier das inverse bilden, müssen Sie auch das Produkt der Inversen in Umkehr darein vorgeschreiben und natürlich gilt auch, wenn Sie zweimal Kreuzen, kriegen Sie Omega zurück, denn die Konjugation wirkt ja in beide Richtungen für die Brasen und Kets, das hatte ich ja so eingeführt, also wirkt das Adjungieren auch wieder zurück, auch wenn ich es oben nur in die eine Richtung definiert habe.

Gut und noch mal zusammenfassend, eine wichtige Kette von Gleichheiten ist folgende,

wenn Sie typischerweise sowas haben, das ist das Matrizelement von Omega eines Operators, Omega zwischen Zuständen A und B. Also Physiker sagen manchmal, wir sandwichen den Operator Omega zwischen Zuständen A und B, das gibt eine Zahl. Wenn das hier Basisvektoren sind,

dann ist das einfach das ij-Matrizelement von der Matrix, die in der Basis den Operator Omega repräsentiert. Wenn ich das Komplex konjugiere, diese komplexe Zahl,

dann kann ich das folgendermaßen schreiben, also hier habe ich nur Omega nach rechts angewendet und kriege einen neuen Kett, den nenne ich einfach Omega B, aber jetzt weiß ich ja, Komplex konjugieren von einem Skalarprodukt, hier habe ich noch kein Skalarprodukt, das sieht nicht direkt so aus, erst wenn ich das anwende, kriege ich

einen neuen Kett und dann habe ich einen Bra mit einem Kett unmittelbar. Das ist das Skalarprodukt. Da weiß ich, was passiert, wenn ich Komplex konjugiere, ich drehe die Reihenfolge um. Wenn jetzt V unitär ist, wenn wir einen unitären Vektorraum haben,

dann gilt aber auch, dann gilt auch, dass ich das Omega nach links anwenden kann, dann habe ich nämlich so eine Regel hier, oder wie haben wir das, das ist nicht gut,

das will ich nicht, ich will das Omega nach links anwenden, aber hier steht Omega und nicht Omega Kreuz, aber das links anwenden, das bedeutet ja, ich muss dann da

den aktivierten Operator schreiben, also was ich meine ist, ich habe jetzt Omega Kreuz da hier, also wenn Sie hier Omega Kreuz schreiben würden, dann würde hier kein Kreuz auftreten und umgekehrt. Also das ist die Linksanwendung, Linksanwendung heißt,

ich muss das Kreuzen beachten und das Stern natürlich nicht vergessen, das haben wir immer noch. So, jetzt drehe ich wieder um, benutze die Regel, die ich da vorne verwendet habe und jetzt kann ich aber das Omega wieder in die Mitte schreiben,

aber das Kreuz bleibt, weil es kommt ja von dem Kett und der Kreis schließt sich und die Regel, die Sie hier ablesen können, wenn Sie von links oben nach rechts unten lesen,

die ist die einzige, die Sie merken müssen. Wir haben die Regel für das Skalapod gehabt, Bra A ket B gestern ist Bra B ket A. Wenn Sie das für so ein Objekt machen, wo noch ein Operator dazwischen steht, passiert das gleiche, die Reihenfolge dreht sich um beim

Komplex konjugieren, aber der Operator wird gekreuzt in der Mitte. Also letztendlich ist es sehr einfach sich zu merken, Stern heißt, Sie schreiben individuellen Faktoren, eins, zwei, drei, alle gesternet hin und drehen alle komplett die Reihenfolge um, erst den, dann den, dann den, aber alles Stern bzw. kreuzen. Das konjugieren,

besser gesagt, das konjugiert ist der Bra B, das konjugiert oder adjungiert ist der Operator A Kreuz und der Bra A konjugiert gibt den ket A. Wenn Sie diese Regeln systematisch

beherzigen, dann machen Sie keine Fehler. Gut, ich beeile mich, hoffe, dass ich so in knapp zehn Minuten wieder hier bin. Ich muss kurz ins Büro holen, mein Schlüssel, dann können wir das hier starten. So, back on track. Sie haben ein bisschen Zeit,

wenn Sie das hier lesen können, sich für verschiedene Versionen zu entscheiden. Also,

da oben steht eine Kombination von sechs, drei Kets und drei Bras. Die kann man irgendwie umschreiben oder so lesen und Sie sollen sich überlegen, welche davon trifft zu. Ich

habe nichts über Normierungen von A oder B vorausgesetzt. Wenn A und B beliebig sind, können Sie schon aus der Anzahl der A- und B-Etikette da auftauchen, sagen,

welche Antworten schon mal falsch sein müssen. Und dann können Sie sich auch fragen, ist das Ergebnis eine Zahl, ist es ein Operator? Welche Adoptik ist das Ergebnis und kann das

passen mit den Antworten? Ein weiterer Check. Okay, gucken wir mal. Eins. Ja, das ist korrekt,

denn was hier drin steht, ist eine Zahl, wenn Sie es so lesen. Hier ist eine Zahl, hier ist eine Zahl und das eine ist das Komplexkonjugierte von anderen. Das steht hier. Absolut-Betrags-Quadrat von diesem Skalarprodukt multipliziert mit dem Ket A,

Bra B. Ket A, Bra B ist ein Operator. Der steht dahinter. Das stimmt. Das wäre gut. Was ist mit dem zweiten? Nee, A, A. Entschuldigung, nicht A, B. Fast genauso viele richtige Antworten und das ist natürlich das Gleiche, weil Absolut-Quadrat, ob ich da B, A oder B,

A schreibe, ist eines Komplexkonjugitäts vom anderen. Lenkquadrat ist dasselbe. Stimmt also auch. Was ist hier mit? Da habe ich unerlaubterweise diesen Ket hier einfach nach vorne gezogen. Das dürfen Sie zwar unter der Spur machen, aber das eine ist ein Operator,

das andere ist eine Zahl. Das können Sie nicht gleichsetzen. Das war nicht richtig und das kann irgendwie nicht stimmen. Das haben Sie auch erkannt, weil da stehen ja nur vier Objekte und nicht sechs, wo sind die anderen beiden geblieben. Abgesehen davon, dass der falsche Operator ist. Gut, also die Mehrheit hat Recht. Schauen wir mal bei der nächsten

Frage. Der gleiche Ausdruck, aber jetzt bilden wir die Spur. Da ist ja mehr erlaubt. Das Ergebnis ist kein Operator, sondern die Spur dieses Operators. Und da gelten ja auch so ein paar Regeln.

Ja, also ich meine Spur von dem Ganzen. Ich hätte da eine Klammer setzen können, aber... Oh ja, Dankeschön. Ich dachte, das ist jetzt eine sachliche Frage.

Und hier unten stehen noch so Ausdrücke, da steht auch immer noch mal eine Spur. Und hier steht noch mal so eine Summe. Die I's sind Basisvektoren, autonomierte Basisvektoren.

Das habe ich jetzt nicht dazu geschrieben.

Ja, ich gebe zu, das ist jetzt ein bisschen trickreicher. Man muss ein bisschen gucken.

Spur ist eine lineare Operation.

Ah, das geht deutlich zäher. Trauen Sie sich nicht. Also ich verrate eins, es gibt richtige Antworten, nicht so wie am Dienstag.

Es gibt sogar mehr als eine richtige Antwort. Noch Bedenkzeit. Bei einigen sehe ich noch...

Einige von Ihnen überlegen noch.

Cutoff bei 50. Letzte Chance, schon noch drüber. Gut, dann gucken wir mal. Ich springe gleich mal zum Ergebnis, dann diskutieren wir die. Alle richtig bis auf eins. Hat ja auch die wenigsten Stimmen bekommen.

Dann sind die immer nicht schlecht. Na ja, bei eins, das gilt das gleiche, was wir eben schon hatten. Da stehen nur vier Objekte. Das heißt, wenn Sie an Linearität denken, wenn Sie aus dem oberen Objekt, wenn Sie jedes A verdoppeln, dann müsste da zum Beispiel jedes A durch zweimal A ersetzen.

Dann müsste das Ergebnis sich um den Faktor 2 hoch 4, 16, verändern. Also Linearität. Wie viele As kommen vor? So viele Potenzen. Das ist die Potenz, die beim Skalieren passiert. Aber hier haben Sie nur zwei As und zwei Bs. Das kann also nicht stimmen. Weil unsere As und Bs sind nicht normiert.

Wenn sie normiert wären, dann könnten Sie das nicht so argumentieren. Hier, das haben die meisten erkannt, richtig. Ich darf unter der Spur hier rumziehen. Einzelne Kets und Bras. Dann fällt die Spur weg und aus dem Operator AA, dem Projektor,

wird ein Skalarprodukt. Also A Skalar mit A. Und das kann ich ja irgendwo hinschreiben. Das darf ich auch in die Mitte schreiben. Das ist ein Produkt von drei Zahlen. Diese Zahl, diese Zahl und A Bra A-Ket. Und das steht da drunter. Das war komplett richtig. Sie können das aber auch so schreiben, denn wenn Sie die Zahl,

also wenn Sie diesen hier nehmen, das ist wiederum Spur. Also wenn Sie die Zahl AA rausnehmen, nach vorne schreiben, dann ist das BA, AB. Aber das ist auch das gleiche wie das hier. Weil hier können Sie ja auch das A auf die andere Seite ziehen. Ich habe es noch ein bisschen komplizierter wieder als Spur geschrieben. Es gibt viele Möglichkeiten, die Dinge zu schreiben. Und hier, naja, das ist nichts anderes als die Darstellung, als Summe über eine Basis.

Von, naja, man sieht es jetzt nicht ganz so schön, aber wenn ich die Summe hier ausführe, also wenn ich das, na gut, wir müssen das überlegen, verschiedene Möglichkeiten. Ja, ich kann das Absolutquadrat ausführen und alles unter der Summe zweimal hinschreiben

in ungefähr der Reihenfolge. Also IA, AI, AB, BA. Und das AI, IA, die Summe ausgeführt, gibt einfach nur das Skalarprodukt AA. Das war wieder die Vollständigkeitsrelation. Die anderen beiden sind dann genau die beiden, die da oben schon stehen. Also ist auch richtig.

Letzte Frage. Hier haben wir diesmal einen operator, einen komischen operator, so eine Art äußeres Produkt, V und U. Und ich will den Ausdruck UMV, Skalarprodukt, und das Quadrat davon vereinfachen.

Da biete ich Ihnen verschiedene Varianten an. Ja, ich glaube, da hilft schon, wenn man den Stift zur Hand nimmt.

Ja, wenn Sie das M da einfach einsetzen und dann angucken, was da so steht.

Man kann sich auch, es gibt da ein paar Dirty Tricks, also wenn man sich nicht sicher ist, mal einfach ein Vektor einsetzen. Einfach eine 2x2 Matrix nehmen, oder zwei Vektoren, ein Basis Vektor 1,0 und ein anderer 0,1 für U und V und mal gucken.

Kann man auch. Zumindest kriegt man dann raus, was falsch ist. Okay, dann schauen wir mal. Ich bringe mal zum Ergebnis.

Also, das erste ist richtig, denn ich schreibe das vielleicht doch dann auf, das ist am einfachsten. Weil, hier steht ja, womit habe ich angefangen, mit U.

U mal, und der Vektor M ist, der Operator M ist das, das V und das ist absolut Quadrat. Ja, das steht da. Und das ist einfach 4 mal das Betrag von U und V, das Quadrat von Quadrat. Also, der erste Antwort ist richtig, das haben die meisten ja auch gesehen.

Das zweite ist fast richtig, weil ich könnte das auch so schreiben, also steht da U, M, V. Und das multipliziert mit dem Komplex Konjugierten, mit Stern, das ist absolut Quadrat. Aber die Regel war ja, beim Stern drehen sie alles rum und machen ein Kreuz an das M.

Da habe ich sie da reingelegt, dann habe ich kein Kreuz gemalt da oben, also falsch. Und in jedem Fall ist das wichtig, denn das Gekreuzte ist nicht dasselbe. Das Gekreuzte ist das Produkt von U mit V und nicht von V mit U. Die hier ist auch nicht richtig, denn da steht ja nur ein M, daran kann es schon nicht stimmen.

Da oben haben wir zwei M, das ist ja ein Quadrat und hier ist nur ein M. Linie ein M, das ist ja quadratisch ein M, das kann nicht stimmen. Das ist richtig, denn wenn sie das ausschreiben, Spur von M, V, U zum Quadrat.

Setzen sie M ein und schieben rum, also Spur von V, U, V, U, Quadrat.

Und dann haben sie hier, wenn sie unter Spur rumziehen, haben sie wieder ein U, V und zwei Mal ein U, V. Und beim Absolutquadrieren haben sie wieder vier U, V mal V, U, jeweils zwei Mal, also das gleiche wie ganz oben.

Und letzte Antwort kann, die stimmt nicht, weil da quadrieren sie sozusagen, haben sie ja M, V, U und nochmal M, V, U. Da habe ich keinen Absolutquadrat, einfach nur quadriert und davon die Spur. Das kann nicht sein, weil es steht nur M und nicht M Kreuz.

Zweimal M ist auch falsch. Es muss ja einmal M und einmal M Kreuz auftauchen. Entschuldigung.

Oh sorry, nee. Warum habe ich gesagt, das ist falsch? Weil ein M, oh sorry, nein, nein, Sie haben vollkommen recht. Ich habe nur ein M gesehen, die Antwort ist richtig, weil das eine M ist eingesetzt und das andere nicht. Ich nehme es zurück. Also nochmal C, was steht da? U, M, V und das andere, also was da eingesteht ist ja das hier.

Und wenn ich M Kreuz einsetze, M Kreuz ist nichts anderes als U, V. Und das hier dann steht, das hier ist dann V, U, V, U.

Zweimal, nicht Komplex, nicht Absolutquadrat, sondern zweimal der gleiche Ausdruck. Das heißt, das ist U, M, V, mal den Quadrat von dem M. Das ist genau das, was da steht.

Mit dem M-Potenz muss man aufpassen, manchmal sind die ja eingesetzt, manchmal nicht. Dann steht da kein M mehr. Also ein bisschen aufpassen. Aber ich hoffe, Sie kriegen so ein bisschen die Idee, was man alles machen kann mit diesen Ausdrucken und welche Regeln zu beachten sind. Okay, dann noch, eine Viertelstunde haben wir noch.

Dann komme ich noch zu ein paar wichtigen Punkten, die im Folgenden immer wieder auftauchen.

Sie haben schon in Hausübungen damit zu tun bekommen. Eigenvektoren und Eigenwerte spielen eine zentrale Rolle in der Quantentheorie. Also sollte ich etwas sagen zu Eigenkits und Eigenwerten.

Meistens schreibt man das so. Also es gibt eine schöne Konvention, die sagt, wenn ein Operator Omega ein Eigenkit hat, zu einem Eigenwert, den Sie dann gerne mit dem kleinen Buchstaben, der zum Operator gehört, kennzeichnen.

Also Eigenwerte in kleinen Buchstaben, die korrespondieren zu den Großbuchstaben, mit denen die Operatoren benannt werden. Wenn Sie mehrere haben, müssen wir einen Index dran machen an das kleine Omega. Aber das Omega sei jetzt nun einer von denen. Ein Eigenwert. Und dann schreibe ich natürlich in das Etikett den Eigenwert.

Um zu sagen, das ist der Eigenvektor mit Eigenwert Omega, klein Omega. Das ist eine typische Eigenwertgleichung. Und dann gilt, insbesondere für Projektoren, spezielle Operatoren, Omega gleich PA, gleich AA, gleich AA.

Ja, das haben wir gesehen. Welche Eigenwerte haben Projektoren? Nein, der Vektor A ist genau ein Eigenvektor, ein Eigenkit.

Wie man durch Einsetzen sofort sieht, zum Eigenwert 1. Denn wenn Sie das anwenden auf den Kit A, dann gibt es hier das Skalarprodukt wieder. Es kürzt sich gegen den Nenner. Und es bleibt der Kit A über.

Und jeder Vektor, der senkrecht darauf steht, PA auf ein A senkrecht. Das ist ein Kit mit, der senkrecht steht auf A, ist automatisch Null. Weil, naja, ich kann es auch andersherum schreiben.

So, ja, immer noch Null. Wenn Sie das anwenden, dann trifft dieser A senkrecht ket auf den A bra und gibt Null. Das heißt, die Eigenwerte von PA sind nur 1 und Null.

Das ist das ganze Spektrum. Die Null tritt in der Regel, das ist ein Rang 1 Projektor. Das heißt, in Dimension D tritt die Null D minus 1 mal auf und einmal die 1. Wir können aber auch das Phänomen der Entartung haben.

Was heißt Entartung? Entartung heißt, zu einem Eigenwert gehört nicht ein eindeutiger Eigenvektor. Eindeutig ist es sowieso ja nur bis auf komplexe Multiplikation, ein Strahl. Wenn der Eigenraum eindimensional ist, dann gehört ein Strahl zu dem Eigenwert.

Aber es kann ja sein, dass zwei Eigenwerte gleich sind. Dann gehören zwei verschiedene Strahlen zu dem Eigenwert. Und dann können Sie jede Linearkombination der beiden Vektoren in diesen von den beiden Strahlen aufgespannten zweidimensionalen Unterraum nehmen. Und jede Linearkombination ist wieder ein Eigenket.

Einfach indem Sie die beiden Eigenwertgleichungen linear kombinieren, stellen Sie fest, weil der Eigenwert der gleiche ist, ist es wieder eine Eigenwertgleichung. Das kennen Sie aus der linearen Algebra. Das heißt, bei Entartung ist der Eigenraum höherdimensional. Das kann passieren.

Das heißt, zu einem Eigenwert, Omega, gehören mehrere Eigenkets.

Ein Eigenraum ist größer als eindimensional. Und dann sollten wir das ändern, die Notation. Wir sollten diese Eigenkets irgendwie kennzeichnen. Es reicht ja nicht, da Omega zu schreiben.

Dann müssen wir unterscheiden mit einem weiteren Label, mit einem weiteren Etikett K. K gleich 1 bis N. N ist der Entartungsgrad. Wie viele das auch immer sind. Wie hochdimensional der Raum ist.

Es gibt unendlich viele Linearkombinationen, aber wir wollen ja eine Basis. Wir wollen den Raum ja aufspannen. Das genügen also dann zum Beispiel N linearunabhängige Eigenkets in diesem Eigenraum. Und dann ist halt jede Linearkombination K lambda K Omega K ist Eigenket zum Eigenwert Omega.

Mit beliebigen Zahlen, mit beliebigen komplexen Zahlen.

Achtung, nicht jeder Operator hat Eigenwerte. Kennen Sie eine einfache Matrix, die keine Eigenwerte hat? So ist es. Kleine Frage. Oh gut, ein bisschen was komplizierteres.

Null Matrix hat streng genommen Eigenwerte Null. Na ja, aber die 10 Meter. Doch, bei den Projektoren zählen die auch. Also eigentlich haben sie nicht recht. Nuller Matrix hat Eigenwerte. Doch, jeder Vektor ist ein Eigenvektor. Andersrum.

Ich schreibe Ihnen eine auf. Wenn Sie jemanden mal fragen, die Matrix hat keine Eigenwerte. Keine Eigenvektoren. Spielen Sie mal mit rum. Also man muss ein bisschen aufpassen, das geht nicht immer. Falls es eine vollständige Ortonormalbasis von Omega Eigenkets gibt.

Wobei hier bei Entartung können sozusagen die Eigenwerte mehrfach auftreten. Diese verschiedenen Eigenkets haben ja den gleichen Eigenwert Omega. Wir könnten dann das Label mehrfach oder könnten dann noch so ein Label Etikett K da zufügen. Wir können aber immer eine orthogonal-Ortonormalbasis...

Okay, das machen wir gleich. Also in dem Unterraum haben wir natürlich die Wahl, eine geschickte Basis zu wählen. Typischerweise gerne autonomiert. Aber ich habe nicht gesagt, dass die Eigenbasis immer autonomiert ist. Da sage ich gleich etwas dazu. Das hängt vom Operator ab.

Dann gilt natürlich, dass die Matrix-Elemente von meinem Operator Omega... Das ist ja ein Eigenwert. Hier kann ich anwenden. Da komme ich den Eigenwert Omega j raus. Und dann steht hier Omega i Omega j Skalarprodukt.

Das ist Delta j. Oder Omega i. Delta j. Das bedeutet, dass der Operator Omega einfach schlichtweg die Summe der Projektoren auf die einzelnen Basis Eigenkets ist, multipliziert mit Omega i.

Also in einer Matrix-Darstellung Omega 1, Omega 2 bis Omega d. Und hier 0. Also eine Diagonalmatrix ist in der Eigenbasis. Aber das wissen Sie ja. Wenn Sie auf die Eigenbasis gehen, stehen die Eigenwerte auf der Diagonal.

Besondere Dinge gelten bei unitären und hermetischen Operatoren.

Da fehlt mir jetzt die Zeit, das zu abzuleiten. Aber ich denke mal, das kennen Sie aus der Linie an Algebra. Das ist nicht schwer. Aber ich will es trotzdem hinschreiben. Unitäre Operatoren sind solche, wo das inverse gleich dem gekreuzen ist. Das heißt unitär. Wie Sie schon gesehen, u erhält Skalarprodukte.

Das heißt, ua, ub ist gleich a, u-Kreuz ub gleich ab.

Skalarprodukte, wenn Sie beide mit demselben u verändern, dann macht das keinen Unterschied. Und Sie können folgendes machen. Sie können entweder in so einem Ausdruck die Kets transformieren.

Oder, was das Gleiche ist, Sie können den Operator transformieren. Das heißt, a nach ua und b nach ub ist äquivalent zu omega, geht nach u-Kreuz omega u.

Ob Sie das hier machen oder da, ist das Gleiche. Sie haben sozusagen zwei Sichtweisen. Sie transformieren die Operatoren oder die Zustände.

Dann gilt noch, und ich lese einfach zwei Eigenschaften auf, die Determinante von u ist eine Phase, die Spur von, das ist vielleicht nicht wichtig,

die Eigenwerte, das ist wichtig. Es gibt eine Autonomalbasis von Eigenkets und die ist vollständig.

Und die Eigenwerte sind Phasen. Also das heißt, wir haben u, ui, ist ui, ui, und ui ist einfach e hoch i phi i.

Das ist einfach eine komplexe Phase. Das sind die Eigenwerte von unitären Matrizen, das sind Phasen. Das lässt sich leicht, also das beweise ich jetzt nicht, wenn ich mehr Zeit hätte, würde ich Ihnen das hinschreiben. Das sind zwei Zeilen. Ein paar Worte über hermetische Operatoren.

Die hatten wir gesehen, sind typischerweise mit Observablen. Physikalische Observablen, Energie, Drehimpuls, Spinnen, das machen alles hermetische Operatoren. Die haben die Eigenschaft, dass wenn sie sie kreuzen, sie in sich selber übergehen.

Da spielt es dann keine Rolle bei diesen ganzen Rechnungen, wenn sie komplex konjugieren, ob sie dann kreuzen oder nicht. Die können sie dann links und nach rechts anwenden, unterm Skalarprodukt. Und deren Eigenwerte sind reell. Aber der Umkehrschluss gilt nicht.

Auch komplexe Matrizen, nicht hermetische Matrizen können reelle Eigenwerte haben. Ein bisschen aufpassen. Und hier gilt auch, es gibt eine Orthonormalbasis. Beweis ist, sie nehmen an, dass die, erst mal nehmen sie an, sie sind nicht entartet.

Wenn sie nicht entartet ist, können sie es in einer Zeile schließen. Bei Entartung müssen sie im Entartungsumperraum noch eine geeignete Basis von Eigenketzen autonomieren. Aber das können sie, weil der gesamte Raum ein Eigenraum ist. Es gilt das Gleiche wie hier, nur dass jetzt die Eigenwerte reell sind.

Also, schauen wir mal so, h i gleich h i h i mit h i reell. Und wir haben hier, wie gesagt, u i u j delta i j und hier haben wir h i h j.

Das sagt Orthonormalbasis. Das ist alles, was sie brauchen an Eigenschaften. Und nächste Woche geht es dann, ah, ich habe ja noch mehr hier. Gut, dann sage ich Ihnen am Dienstag noch ein bisschen was zur Diagonalisierung von hermetischen Operatoren.

Das habe ich vergessen, das brauchen wir. Denn Sie müssen ja die Eigenwerte bestimmen von Observablen. Das sind unsere Messwerte. Physikalische Messwerte, Eigenwerte von hermetischen Operatoren. Wenn wir jetzt mehrere hermetische Operatoren haben, dann kann man sich die Frage stellen, kann man die gleichzeitig diagonalisieren? Nein, geht das nicht.

Das sind wichtige physikalische Fragen, die mit dem Messprozess zu tun haben. Da sage ich dann am Dienstag noch was zu. Dann kommen wir zum freien Teilchen in einer Dimension. Schrödinger Gleichung im Ortsraum, so wie Sie das in Büchern erkennen. Alles klar. Ich wünsche Ihnen was. Tschüss.