Guten Morgen, zweiter Teil, zweite Woche. Wir sind immer noch im ersten Kapitel.

Ich versuche Ihnen die grundlegenden Begriffe nahe zu bringen. Am Beispiel von zwei Niveausystemen, das sind Quantensysteme, die einen zweidimensionalen Zustandsraum besitzen, CE2. Neuerdings bekannt auch als Qbits.

Falls Sie mal über Quantencomputing gelesen haben und von Qbits gehört haben, was ich hier mache, ist nichts anderes. Haben Sie vielleicht nicht erkannt, aber vielleicht wird das später auch noch mal klarer. Der letzte Schritt am Dienstag war die Einführung von Gemischen.

Statistische Überlagerungen oder Mischungen von sogenannten reinen Zuständen. In einem reinen Quantenzustand ist das System in einem speziellen Zustandsvektor, das ist beschrieben durch einen Vektor im CE2. In einem statistischen Gemisch ist das nicht mehr so.

Da ist das System mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten in einem von unterschiedlichen Zustandsvektoren. Das hat extreme Konsequenzen für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinlichkeiten in statistischen Gemischen addieren sich schlichtweg, während bei Superpositionen, also wenn Sie beim reinen Zustandsvektor

den Zustandsvektor in Einzelteile zerlegen, dann sind die Wahrscheinlichkeiten, irgendwelche Messwerte zu finden oder Mittelwerte von Operatoren, von Observaten zu bestimmen, berechnen sich aus der Summe von Amplituden der einzelnen Anteile in dieser Zerlegung. Erst dann quadrieren sie, nicht umgekehrt.

Ich mache das aber noch mal deutlicher heute. Also noch mal zurück. Am Beispiel Drehimpuls hatte ich Ihnen gezeigt, dass der Erwartungswert oder der Mittelwert der Z-Komponente vom Drehimpuls

sich berechnet als in dieser Form, als die Summe von zwei Quantenwahrscheinlichkeiten, wobei das Gemisch gegeben war durch zwei Strahlen in reinen Quantenzustellen C1, C2

mit Wahrscheinlichkeiten P1 und P2, wobei die Summe natürlich 1 sein wird. Und dann hatte ich Ihnen gezeigt, dass genau derselbe Ausdruck rauskommt,

alternativ, indem man die Spur von diesem Operator HQS

mit einem neuen Operator rho multipliziert und die Spur dieses Produktes bildet, wobei rho P1 mal den Projektor auf C1 plus P2 mal den Projektor auf C2 ist.

Noch mal, wenn Sie das einsetzen, stellen Sie sich den ersten Termen an, da steht hier die Zahl P1 und dann steht hier die Spur von HQS mal diesen Projektor. Aber dann hatte ich Ihnen eine lineare Algebra-Regel in Erinnerung gerufen,

nämlich dass, wenn Sie unter der Spur einen solchen Projektor haben, ket mal bra, dann können Sie den bra nach vorne herumziehen, zyklisch vertauschen und die Spur weglassen. Das ist ein Skalarprodukt. Die Regel ist noch mal anders, noch mal einfacher.

Die Spur von phi, psi ist einfach phi, phi.

Wir können uns das so vorstellen. Wie rechnet man die Spur? Man führt die Summe über die Diagonalelemente. Das ist ein Operator. Die Diagonalelemente bekommen Sie, indem Sie ein vollständiges System, ein Basissystem erfinden von Zuständen i gleich 1, 2, 3 und so weiter, ket bra mit i. Dann schreiben Sie hier die Summe über die Basis i mal diesen Operator, ket mal bra,

und hier wieder ein i. Das ist also dieser Operator zwischen den Basiszuständen. Das ist das Matrix-Element, i der Zeilenvektor, i der Spaltenvektor. Das können Sie jetzt umdrehen. Das sind ja nur Zahlen.

Das ist eine Zahl, das ist eine Zahl. Zahlen können Sie in jeder Beliebung in die Reihenfolge schreiben. Und was hier jetzt steht, die Summe über den i in der Mitte, das ist typischerweise wiederum die Zerlegung der 1, die Vollständigkeitsrelation in einer Basis.

Das sind die Basisprojektoren. Die Projektoren auf die eine Basisvektor. Die Summe der Basisprojektoren gibt die 1, die 1 als Matrix. Das heißt, das können Sie weglassen, und dann steht das darüber da. So können Sie es auch sehen. Und diese Relation habe ich hier verwendet wiederum. Um einfach diesen Ausdruck ein bisschen mehr fancy zu schreiben, vielleicht.

Aber das hat Vorteile, denn Sie können das Gemisch abstrakt durch einen Roh durch einen solchen Operator kennzeichnen und müssen nicht jedes Mal sagen, das ist ein C1, das ist ein C2, ein P1, P2. Insbesondere ist diese Charakterisierung nicht eindeutig. Sie können ein Gemisch oft oder in der Regel auf unterschiedliche Weisen

durch C1, C2, P1, P2 kennzeichnen, und es ist die gleiche Dichtematrix. Das werden wir gleich im Beispiel sehen. Wichtig ist, das habe ich nicht gesagt, es ist nicht erforderlich,

dass C1 senkrecht steht auf C2. Dass die also irgendeine Form, ein Autogonalsystem bilden oder so. Nur wichtig ist, dass sie normiert sind. Das habe ich hier natürlich immer vorausgesetzt benutzt in diesen Formeln.

Sonst hätte ich hier immer noch teilen müssen durch die Norm. Das habe ich nicht gemacht. Und das gilt auch für die Definition von Roh entsprechend. Also Sie könnten zum Beispiel ein Gemisch haben von 5 Strahlen mit C1 bis C5

und dann würden das genauso addiert mit P1 bis P5. Dann hätten Sie halt mehr. In einem zweiten Zustandsraum können 5 Vektoren keine Basis bilden. Die müssen ja schon abhängig sein dann voneinander. Also das ist kein Problem.

Allgemein behaupte ich dann, das suggeriert dieses Beispiel für observable O, gilt dann, dass der Erwartungswert oder der Mittelwert eines Observablen gegeben dann durch irgendeinen Operator, so sieht es sich auf etwas aus,

wie Drehimpuls, Impuls später, Energie. Messbare Größen werden charakterisiert durch einen Operator in diesem Zustandsraum. Sie wollen hier eine 2 mal 2 Matrix in einem Gemisch Roh. Wir müssen ja noch sagen, in welchem Zustand das System sich befindet. Durch die Spur von O mal Roh.

Das ist die Masterformel, die uns dann, ich glaube wir sind bei 1,17. 1,16 war die Definition hier von Roh.

Dann würde ich gerne einige Eigenschaften dieses Dichteroperators auflisten, damit wir ein bisschen mehr wissen, womit wir da zu tun haben. Also die erste Eigenschaft ist die Spur von Roh. Die Spur von Roh ist vielleicht nicht offensichtlich.

Es ist offensichtlich für den Fall, dass die beiden senkrecht aufeinander stehen, bilden Sie ein Basissystem. Dann können Sie eine Basis wählen, indem die Roh durch eine Matrix repräsentiert wird, auf deren diagonalen P1 und P2 stehen. Das ist ja genau das, was da steht.

Dann sind das zwei orthogonale Basisvektoren. Dann können Sie die als ersten und zweiten Basisvektoren nehmen. Dann ist das nichts anderes als ein diagonalen Matrix. Das ist aber nur für diesen Spezialfall so. Aber in dem Fall sehen Sie, dass die Spur einfach P1 plus P2 ist.

Falls das gilt, falls Psi1 und Psi2 senkrecht aufeinander stehen. Aber diese Relation gilt allgemein.

Das habe ich Ihnen jetzt nicht abgeleitet. Das stelle ich erst einmal so in den Raum. Die Spur von Roh quadrat. Wir können in dem Fall sowas ausrechnen. Für diesen Spezialfall, wenn das senkrecht aufeinander steht, wäre die Spur der Quadrat der Matrix die Summe der quadratdeagonalen Elemente.

Und da P1 plus P2 gleich 1 ist, wenn Sie die zwei Zahlen addieren, die beide zwischen 0 und 1 liegen, und sich zu 1 addieren und die Quadrate addieren, dann wird es kleiner sein.

Das ist maximal 1. Das liegt zwischen 0 und ein Viertel. Also, die Aussage ist zwischen 0 und 1. Entschuldigung. Da kann ja einer 1 sein, der andere 0. Ja, da käme wieder 1 raus. Sie sagten jetzt gerade, dass das die Trace Nummer 1 ist, wenn ...

Nein, nein. Diese Gleichung gilt nur, falls das ist. Aber das Roh gleich 1 gilt immer. Also ich kann dann dieses Argument nicht verwenden. Ich habe mir das ein bisschen einfach gemacht, Ihnen gezeigt, in dem Fall, das stimmt. Und ich habe behauptet, das gilt aber immer, auch wenn die nicht ordinal sind. Dann ist das nicht richtig, dass das P1 dann, ja,

ist natürlich dann auch gleich. Aber, ja, da muss man ein bisschen mehr argumentieren. Ein wichtiger Spezialfall ist, wenn einer, zum Beispiel der Erste,

1 ist und der andere 0. Das ist der Fall, dass eben diese Mischung nur aus einer Komponente besteht. Das ist sozusagen der alte Fall, den wir vorher diskutiert haben. Dann haben wir keine Mischung, sondern einen reinen Zustand. Und dann gilt natürlich, dass das Roh einfach nur

offensichtlich der Projektor ist auf diesen einen Zustand. Also ein P1, ein Projektor. Und dann, weil es ein Projektor ist, ist dann Roh idempotent. Das heißt, es quadriert zu sich selbst. Umgekehrt, falls das so ist, falls Roh² gleich Roh ist,

dann haben wir ja einen Projektor. Und wenn wir einen Projektor haben vom Rang 1 und Rang 1, das ist wichtig, das muss nicht sein, dass der Projektor vom Rang 1 ist. Ihr könnt ja einen mehrdimensionalen Raum, wie hier geht es nicht, weil wir nur zwei Dimensionen haben. Wenn wir einen dreidimensionalen Zustandsraum haben,

könnte es ja einen Projektor vom Rang 2 geben. Dann gilt das nicht, was ich hier sage. Aber wenn der Rang 1 hat, dann gibt es einen Zustand Ψ, sodass das Roh eben genauso ein Projektor ist. P, Ψ, Ψ, Ψ.

Und dann ist klar, die Wahrscheinlichkeit, dass das System sich im Zustand Ψ befindet, ist 1 und in jedem anderen ordentlichen Zustand ist 0. Und dann haben wir einen reinen Zustand. Das ist die Situation, wenn das Gemisch rein ist.

Die Sprechweise gemischter Zustand ist ein bisschen unglücklich, denn es ist ja eigentlich in keinem Quantenzustand. Manche Leute sprechen auch bei Gemischen von inkohärenten Gemischen und nennen reine Zustände kohärente Gemische. Das ist auch nicht so glücklich. Eine übliche Sprechweise ist,

von Gemischen und reinen Zuständen zu sprechen. Das ist die Charakterisierung einmal in die Richtung, einmal in die Richtung gefolgert. Rho ist hermetisch. Das ist offensichtlich von der Definition, weil P1, P2 sind reelle Zahlen. Und diese Projektoren sind hermetisch.

Das habe ich Ihnen, glaube ich, nicht explizit als Formel gesagt, aber das ist, denke ich, relativ offensichtlich. Wenn Sie ein Kett mal ein Bra rechnen, diesen Projektor, wenn Sie das kreuzen, was passiert beim Kreuzen? Das ist vielleicht nur als Nebenbemerkung. Wenn Sie so etwas haben, Phi, Psi,

und Sie hermetisch konjugieren das, dann nehmen wir einfach die Regeln, die wir schon kennen, die wir für die einzelnen Anteile definiert haben. Nämlich, das ist das hier, Kreuz. Nein, wir müssen es umdrehen. A mal B, Kreuz, ist ja B Kreuz mal A Kreuz.

Am Ausmultipizieren und Kreuzen müssen Sie die Reihenfolge umdrehen. Also haben wir das Kreuz mal das Kreuz. Und das Kreuz, dann drehen Sie das um, Psi. Und das gekreuzt ist wieder Phi.

Das ist sozusagen nochmal klar gemacht die offensichtliche Regel, wie man so ein äußeres Produkt kreuzt. Beim Skalarprodukt wissen Sie das, da müssen Sie einfach Ihre Argumente vertauschen. Und beim äußeren Produkt gilt aber dasselbe. Einfach die Argumente vertauschen. Und dann ist klar, dass wenn Phi gleich Psi ist,

ist das Ding hermetisch. Dann passiert nichts. Das gilt hier halt auch. Das war Aussage Nummer 4. Und Aussage Nummer 5. Unpolarisiertes Licht.

Also, wenn überhaupt keine Polarisation vorliegt, ist der Dichteroperator einfach gegeben, in diesem Fall hier durch ein Halb mal die Einheitsmatrix. Ein Halb brauchen Sie, damit die Spur eins wird. Ach so, vielleicht noch eine Eigenschaft hier. Wenn es ein reiner Zustand ist,

dann ist der Rang des Projektors oder der Rang dieser Matrix des Operators muss eins sein. Der Rang ist, weil das Ganze ein Projektor auf einem eindimensionalen Unterraum ist. Und die Terminante muss null sein, weil wir null Eigenwerte haben. Wichtig ist im Allgemeinen, ist Roh nicht diagonal.

Also Sie sollten das nicht voraussetzen. Auch wenn gerne in den Büchern immer diese Beispiele gebracht werden, wo wir in eine Basis gehen, wo die Anteile an dem Gemisch ein Basissystem bilden, dann haben wir gerade so viele Anteile im Gemisch, wie wir Dimensionen im Zustandsraum haben, dann können wir das machen, wenn die alle orthogonal zueinander stehen.

Und in dieser Basis steht auf der Diagonalen einfach nur die Wahrscheinlichkeit P1 bis Pn. Und dann ist natürlich Roh diagonal. Aber es ist klar, dass Sie eine andere Basis wählen können. Es sei denn, wir haben einen komplett unpolarisierten Strahl. Die Einheitsmatrix ist in jeder Basis die Einheitsmatrix. Da spielt es dann keine Rolle.

Aber wenn die Diagonal-Elemente unterschiedlich sind, ist das natürlich nicht so. Okay, das war das. Und dann sollte ich Ihnen noch was sagen zu unpolarisiertem Licht.

Jetzt hier gar nicht mehr. Na gut, das kann ich vielleicht auch improvisieren. Ah doch, ja.

Also noch mal, der essenzielle Unterschied zwischen den beiden Arten der Überlagerung.

Das eine bei einer Quantensuperposition ist der Zustand, ein reiner Zustand beschrieben durch eine Superposition von irgendwelchen Teilzuständen.

Zum Beispiel sowas. Wenn wir die Zustände nicht normiert haben, also alles ist normiert, dann bedeutet das, dass wir Alpha-Quadrat plus Beta-Quadrat

gleich eins machen müssen, damit das Ergebnis, wenn wir zwei normierte Zustände superponieren, wiederum ein normierter Zustand rauskommt. Dann ist das Photon in einer Superposition. Und die Wahrscheinlichkeiten, wir addieren die Amplituden.

Also wenn Sie mehrere alternative Wege haben, zum selben Endzustand zu kommen, und Sie wollen die Wahrscheinlichkeit vom Ausgang zum Endzustand,

wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie gegebenen, Sie präparieren das Photon in irgendeinem Anfangszustand, Sie später in Ihrem Messergebnis einen Endzustand finden. Und das geht über mehrere Möglichkeiten, das hängt in einem Doppelspaltexperiment. Da müssen Sie die Amplituden addieren für diese Wahrscheinlichkeiten und dann quadrieren.

Bei einer inkohärenten Superposition, ein Gemisch, da ist das etwas anderes. Da addieren Sie die Projektoren und nicht die Zustände.

Das ist etwas anderes. Der Zustand ist dann gegeben durch dies. Und hier addieren wir die Wahrscheinlichkeiten.

Der Unterschied ist, wenn Sie das angucken, beim Ausrechnen von Wahrscheinlichkeiten am Ende, hier gibt es beim Quadrieren eben Interferenztherme.

Es gibt Terme Psi 1 mal Psi 2, Psi 1 Stern mal Psi 2, die müssen ja nicht senkrecht auf dem Nadel stehen. Das heißt, da kommt dann zusätzliche Terme beim Quadrieren, während hier das nicht passiert. Hier werden einfach nur addiert. Hier kriegen Sie einen Beitrag von hier, einen Beitrag von da. Es ist ja bereits quadriert, es ist schon quadratisch in den Psi.

Ach so, zwei Dinge noch. Wir können von hier nach da kommen durch Mittellung über die relativen Phasen

von Psi 1 und Psi 2. Was ist die relative Phase? Nun, in dem Skalarprodukt, Psi 1, Psi 2, oder auch umgekehrt,

Psi 2, Psi 1, die werden multipliziert mit Alpha Stern Beta hier. Wenn Sie das quadrieren, oder wenn Sie hier noch einen Operator haben, dann haben Sie irgendwie einen Bra hiervon und einen Kett hiervon,

dann gibt es diese Mischterme. Und in den Mischtermen steht das. Und das heißt, hier wird, in diesen Mischtermen ist wichtig, was die relativen Phasen von diesen komplexen Zahlen sind. Wenn Sie Alpha und Beta schreiben als e hoch i Phi, oder e hoch i Omega 1, e hoch i Omega 2,

dann steht hier e hoch i Omega 2 minus Omega 1 im Exponent. Die Phasendifferenz dieser beiden komplexen Zahlen kommt vor. Die kommt nicht vor in den direkten Termen, da steht ja nur Absolute Quadrate. Und wenn wir jetzt mitteln, eine Mittlung über eine Phase ist immer Null. Eine Phase ist auf dem Anhaltskreis, wenn wir über alle Möglichkeiten mitteln,

also sagen, wir haben jetzt viele solcher Zustände, wir mitteln über alle Möglichkeiten, dann werden diese Phasen, diese Terme gekillt. Das eliminiert die Interferenzterme. Und wenn die Interferenzterme weg sind,

dann landen wir wieder hier. Bei der klassischen Situation. Und das nennt man Dekoherenz. Die Quantenkoherenz wird dadurch zerstört. Das ist einer der wesentlichen Mechanismen, wie man verstehen kann, den Übergang von einer Quantenwelt

zu einer klassischen Welt. Dass die einzelnen Bestandteile eines makroskopischen Systems im Prinzip immer auch Quanteninterferenz haben, aber diese Interferenz wird minimiert oder eliminiert durch diese Mittlung. Und diese Mittlung geschieht durch Wechselwirkung mit der Umwelt.

Deshalb ist bei Schrödingers Katze es nicht so, dass die Katze in einem komischen Zwischenzustand ist. Die Katze ist makroskopisch. Und da gibt es genügend Wechselwirkungen mit den umgebenden Luftmolekülen und was weiß ich alles, die diesen Zustand der Katze eben verändert. Und er bleibt nicht in einem, auch wenn er ursprünglich vielleicht

in einer Quantensuperposition von lebendigem Tod erzeugt worden sein sollte, wird dieser Zustand ganz, ganz schnell in einem definierten lebendig oder Todzustand sich entwickeln. Sie müssen sich schon extrem anstrengen, um diese Quantenkoherenz zu schützen vor den Einflüssen der Umwelt.

Diese Einflüsse bewirken Dekoherenz. Und je größer das System ist, makroskopischer ist, desto schneller passiert das. Okay, ah, unpolarisiert ist nicht. Ja, ich muss noch was sagen. Was ist unpolarisiert?

Unpolarisiert heißt, zum Beispiel Sie haben mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei orthogonale, also Licht mit Wahrscheinlichkeit

gleich einhalb, jeweils in, zum Beispiel R oder L. Aber hier können Sie jeden anderen Zustand nehmen. Sie können auch X oder Y nehmen, oder U oder V. Es ist egal, wenn Sie zwei Strahlen nehmen

und Sie nehmen ein Basissystem und Sie nehmen einen Strahlen im einen, einen Strahlen im anderen Basiszustand und Sie mischen die mit Amplitud, mit Wahrscheinlichkeiten P1 und P2 gleich einhalb. Was kommt dann raus? Wir können es zum Beispiel

mit X und Y machen. Dann haben wir einhalbmal XX plus einhalbmal Y und Y. Naja, und das ist ja der Projekter auf den linken Oberen. Also die Matrix 1001.

Und das andere ist die Matrix 001. Das ist einhalbmal der Einheitsmatrix. Das gilt aber auch. Ich lade Sie ein, das zu machen. Machen Sie es mit R oder L. Das gilt auch.

Jetzt kommt das gleiche raus. Das zeigt Ihnen, es gibt viele Möglichkeiten, in der Regel eine dichte Matrix zu zerlegen in Anteile. Das ist nicht eindeutig. Eindeutig wird es nur, wenn Sie einen reinen Zustand haben.

Denn dann ist Rho klar, dem Projekter auf einen speziellen Zustandsvektor. Im Allgemeinen haben Sie viele Möglichkeiten. Und deshalb ist diese Beschreibung durch das Rho irgendwo nützlich. Hier sehen Sie,

hier haben Sie das Extrem andere, den Extrem anderen Fall, im Vergleich zu den Eigenschaften da oben. Der Rang ist natürlich 2. Und Rho² ist nicht gleich Rho, weil da steht ein Halb davor. Rho² ist ein Viertelmal die Einheitsmatrix. Das unterscheidet sich.

Mehr ist da, glaube ich, im Moment nichts zu sagen. Vielleicht noch. Sie bekommen diese Situation, wenn Sie mitteln. Wir können das ganz oben vielleicht sehen, wenn wir da oben in der obersten Zahl ein Halb jeweils einsetzen und über alle

Phasen mitteln. Okay, das sieht man vielleicht nicht sofort. Dann bekommt man am Ende einfach nur die Beiträge der Diagonal-Elemente. Ach so, genau, was ich noch sagen wollte. Was ist der Erwartungswert von Lz? Genau, ich hatte Ihnen nur die Dichtmatrix angegeben.

Mittelwerte in diesem Fall Lz unpolarisiert, bei unpolarisiertem Licht. Das können wir auf zwei Weisen ausrechnen.

Wir können das Ergebnis da oben nehmen und im Prinzip über die Phasen von Psi1 und Psi2 mitteln. Aber es ist irgendwo klar, von dem ersten Strahl kriegen wir ja, wenn wir die RL-Basis nehmen,

mit 50% Wahrscheinlichkeit, nämlich P1 gleich ein Halb, haben wir Psi1, nehmen Sie mal gleich R. Was ist der Erwartungswert? Was ist das Ergebnis, wenn Sie den Operator Hqs zwischen die Zustände R packen? Das ist die Wahrscheinlichkeit

oder das ist der Mittelwert von Drehimpuls im Zustand R, für rechtspolarisierte Protonen. Aber der ist ja scharf. Der ist plus eins, oder plus Hq. Das heißt, da bekommen Sie für den ersten Term in der obersten Zeile Hq. Und für den

zweiten bekommen Sie minus Hq. Das sind einfach die klaren Werte, die diese Ausdrucke da oben bilden.

Das war jetzt kein Feedback auf die Vorlesung. Und da kommt Null raus. Aber Null kommt auch raus, wenn wir die Formel verwenden. Wir können ja mal die Formel benutzen.

Spur von Hqs mal ein Halb Einheitsmatics. Die Einheitsmatics sind in jeder Basis gleich. Da muss ich keine Punkte drauf machen. Ich setze einfach das Rho mal ein, was ich behauptet habe, beschreibt das unpolarisierte Licht. Jetzt ist es egal, welche Basis Sie nehmen. Ich habe das S glaube ich in zwei verschiedene Basen angegeben. Sie können es einsetzen und gucken.

Natürlich am einfachsten ist das S in der LR-Basis anzugeben. Was stand auf der Diagonalen? Plus eins und minus eins. Das sind die Eigenwerte. Und dann kommt da Null raus. Denn wenn Sie hier eine Matrix eins minus eins nehmen, hier eine Matrix eins eins, und die multiplizieren die miteinander, da kommt wieder eins minus eins raus.

Und die Spur von der Matrix eins minus eins ist Null. Also passt zusammen. Ich werde Sie gleich nach der Pause mit ein paar kleinen Fragen konfrontieren.

Aber vorher schon in den nächsten das vorletzte Unterkapitel dieses ersten Abschnitts einsteigen. Und eine neue physikalische Situation betrachten, die man mit Licht anstellen kann. Wir können Licht mit polarisiertem Licht

Doppelbrechung machen. Das ist ein Phänomen, das Licht in Medien, abhängig von der Brechungszahl des Mediums, unterschiedliche Geschwindigkeiten aufweist. Photonen bewegen sich mit einer Geschwindigkeit kleiner als C,

abhängig vom Brechungsindex. Und das hübsche an doppelbrechenden Materialien ist, dass die verschiedenen Polarisationsanteile, die in unserer Lichtwelle existieren, unterschiedliche Brechungsindizes sehen. Und das hat sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen. Also ich schreibe es gleich an.

Wir haben unsere Lichtwelle, die im Zustand C gegeben ist. Und da ist hier ein doppelbrechendes Material. Ein Calcid. Das Teil zum Beispiel. Hier ist die Z-Richtung. Und am Ende kommt wieder was raus.

Und den Zustand hier, den nenne ich mal C in für Eingangszustand, also Englisch irgendwie incoming. Und hier am Ende kommt ein Zustand raus, C out. ist dieser Zustand verändert durch die Anwesenheit des Calcids?

Das Calcid habe eine Länge L. Das Stück. Naja, und wir haben nicht bisher haben wir folgende Situation gehabt. Wir haben bisher Polarisationsfilter als Anwesenheit gehabt. Die Polarisationsfilter haben für jedes einzelne Photon eine drastische

Wirkung. Entweder das Photon kommt durch oder nicht. Es bleibt aber, wenn es durchkommt, ist es das gute alte, was hat sich nicht geändert. Während es absorbiert wird, ist es weg. Beim Calcid ist es anders. Das ist transparent. Die Photon bleiben erhalten, die werden nicht absorbiert. Aber sie werden verändert. Und zwar werden sie unterschiedlich verändert,

je nachdem, ob sie rechts oder links zirkular polarisiert sind. Und in einer Superposition werden die einzelnen Anteile in der Superposition unterschiedlich verändert. Das ist analog zum Stern-Gerlach-Versuch, wo sie einen Strahl aufspalten in Teilstrahlen. Das ist räumlich aufgespaltet. Hier bleiben die Strahlen überlagert,

auch räumlich. Aber sie werden eben ihre Zusammensetzung wird geändert. Das ist sehr analog. Und wir haben einen Brechungsindex. Und der ist N-O und N-E. Das ist keine Null, sondern ein O.

Und für Photonen, die linear polarisiert sind, senkrecht zu zu einer Richtung. Wir haben eine Richtung in einer normalen Richtung. Die habe ich nicht angegeben.

Irgendeine Richtung im Kostall. Das Kostall ist ja, wir können den mal... Wir haben irgendeine Richtung hier N. Ich weiß nicht, ob Sie es sehen können. Dieser Kristall ist anisotrop. In der XY-Ebene gibt es ein Vektor N.

Der zeigt quasi an, in welcher Polar... Der zeichnet zwei Polarisationsrichtungen aus, nämlich N und senkrecht zu N. Das war wie beim Polfilter. Da haben wir auch ausgezeichnete Richtungen. Der Polfilter legt eine Richtung fest in unserer Polarisationsebene, genauso der Calcite-Kristall.

Und wenn die Protonen linear polarisiert sind, senkrecht zu N, dann spüren Sie einen Prechungsindex NO. Das O steht für Ordinary. Das ist der, was auf Deutsch heißt, der gewöhnliche Strahl. Ordinary. Ich weiß nicht mehr, wie das auf Deutsch heißt.

Da hat es wahrscheinlich einen anderen Namen. Bitte? Das ist der ordentliche. Ach, der ordentliche Strahl. Richtig. Nee, das ist... Nee, ich glaube, das ist der ordentliche Strahl. Der andere ist außerordentlich. Wenn die Polarisation parallel zu N ist,

naja, außerordentlich ist Extraordinary. Und deswegen steht da ein E. Manchmal können Sie auch O und A schreiben. Bitte keine Rolle. So, der ordentliche Strahl ist ein bisschen langsamer, weil der Prechungsindex da etwas größer ist.

Und wir nehmen als Basis, deswegen bietet es sich an, als Basis für unsere Polarisationen nicht R und L oder U und V zu nehmen, sondern hier geht es um lineapolarisiertes Licht. Lineapolarisiertes Licht wird unterschiedlich durchgelassen.

Und wir nehmen einfach als Basis diese Vektoren O und E, die sollen normiert sein, eine Ortonormalbasis. Also das ist Polarisation entsprechend. Ach so, das habe ich nicht definiert in dem Sinne, aber

okay, das ist klar. Das ist linear korrespondiert zu diesen Polarisationen. Also unsere Photon

Zustände werden ja beschrieben durch einen Kett in dem zweidimensional komplexen Zustandsraum. Und bei Lineapolarisationen ist es besonders einfach. Das sind die Kets reell. Wenn wir eine reelle Basis wählen. Und dann haben die Einträge in diesen Zustandsvektoren identisch mit den Einträgen, die ihr Spaltenvektor in der

XY-Ebene hat. Wenn sie in derselben Basis sind. Aber wenn ich eine gedrehte Basis habe, also ich kann das N ohne beschränkende Allgemeinheit in die Y-Richtung wählen, dann wäre das hier nichts anderes als X und Y. Ich habe es jetzt nur allgemeiner gehalten. Wir könnten ja eine andere Basis wählen. Ich hoffe, das macht kein Problem.

Das ist einfach nur eine andere Etikette, aber das ist das Gleiche wie vorher. Was ist die Phasenänderung der elektromagnetischen Welle? Das ist e hoch

ikz minus i omega t. Das so läuft unsere Welle durch den Raum. Und das Omega ist fest. Wir haben monochromatisches Licht gewählt. Und der Wellenvektor hängt jetzt davon ab. Der Wellenvektor K. Im Vakuum hatten wir

K quadrat gleich Omega quadrat. Also K gleich Omega. Ist ja eingemessen. Hier wird jetzt der Brechungsindex, also ich habe C eingeführt. C nicht gleich 1. Also K gleich Omega durch C normalerweise. Aber das wird jetzt hier multipliziert

mit dem Brechungsindex. Das ist die Veränderung. Und entsprechend K o gleich Omega durch C mal N o. Und K e ist kleiner als K o. Das heißt eine zeitliche Phasenveränderung, die ist in beiden Fällen gleich. Das hier ist fest.

Aber der räumliche Anteil der von Z abhängt der hängt jetzt davon ab, welches K ich hier einsetze. K e oder K o. Und die Länge des Kristalls sei L. Dann ist die Laufzeit T gleich

L durch C. Im Wesentlichen, naja nicht so ganz, weil ungefähr, weil das N ist ungefähr 1, aber das spielt nicht so die Rolle. Wir gucken uns naja doch, das ist richtig.

Omega ist fest, ja. Und jetzt gucken wir einfach an, was passiert mit einem Strahl, der mit einem Zustand C in startet.

So wie da oben aufgemalt. Naja, was ich dann mache, ich zerlege diesen Zustand in Anteile

gemäß meiner Basis. Das ist wiederum derselbe Trick, den ich immer verwende. Zerlegung eines Vektors in Basisvektoren durch Einschieben der Eins. Zerlegung der Einheit. Vollständigkeitsrelation.

Das heißt, hier haben wir einen Anteil, der außerordentlich polarisiert ist, und einen Anteil, der ordentlich polarisiert ist im Allgemeinen, und die Amplituden sind diese Skalarprodukte. Und der Effekt des Calcits

ist, dass die Phasen, die unterschiedlichen Anteile, jetzt mit verschiedenen Phasen durch den Kristall propagieren. Das heißt, psi out ist für diesen Anteil,

dieser Basisvektor, verändert sich mit dieser Phase, mit e hoch i ke z minus i omega t. Und dieser Anteil ist zum Multiplizieren

nicht mit z, hier muss ich korrigieren, hier ist z gleich l, wir haben ja den gesamten Kristall durchlaufen, das wird sich erst hingeschrieben während die Phase auf irgendeinem Punkt z in der Mitte des Kristalls, und am Ende sind wir dann angelangt bei z gleich l. Und hier haben wir i k o

l minus i omega t. Also die Zustände werden einfach, diese Anteile werden nur multipliziert mit der Phase. Das gilt natürlich nur für diese Anteile, der Gesamtzustand psi in verändert sich in komplizierterer Weise, weil die einzelnen Teile natürlich unterschiedlich durch die Phasen gewichtet sind. Und in der Superposition,

in der Summe am Ende, ist das Ergebnis nicht einfach eine Phase mal der Anfangszustand. Komplizierter. Aber auf die Art und Weise lässt sich das leicht berechnen. Und dieser Faktor e hoch minus i omega t, der interessiert uns nicht wirklich, weil das ist eine Zahl, die können Sie rausziehen,

und eine Zahl, die Sie rausziehen können, komplexe Zahl, können Sie auch vergessen. Redundanz des Zustandes, erinnern Sie sich, die liebe komplexe Zahl, Phase schon gar nicht, ist unerheblich. Und der Rest, den geben wir einen Namen.

Dies hier nenne ich UL. Und UL ist der Operator, der aus einem psi in dem Wesentlichen einen psi out macht. Nämlich, oder ich definiere das schon mal allgemein für z, wir können es allgemein für einen Punkt

auch im Kristall machen, e hoch i k e mal z angewandt auf e, den Projektor plus e hoch i k o mal z für z gleich L haben Sie dann das stehen, was da drüber ist. Vielleicht am anschaulichsten

in einer Basis, in der Basis oben, wo das die Einheitsprojektoren sind, ist das nichts anderes als die Matrix, die e hoch i k e z und e hoch i k o z auf der regionale stehen hat. Und das ist wesentlich, weil

die Multiplikers, wenn sie in dieser Basis sind, dann hat ihr ursprünglicher Vektor einfach die Komponenten e psi in und o psi in. Und was diese Matrix macht, sie multipliziert einfach nur

diesen Teil mit der Phase und der Teil mit der Phase und das war's. Okay? Also, wenn Sie noch nicht gewöhnt sind an die Barquette-Schreibweise, manchmal gut in der Basis wieder in die üblichen Spalten- und Zeilenvektorschreibweise überzugehen, aber ich plädiere, sich daran zu gewöhnen, denn das ist basisunabhängig.

Diese Darstellung davon ab, dass Sie hier gerade in dem Fall diese Basis gewählt haben, in einer anderen Basis sähe das nicht so aus. Das ist 1,19. Das ist 1,19, Entschuldigung. 1,19 und das wäre

1,20, die Definition von u. Dann nennt das auch Propagation eines Zustandes. Propagation ist nur ein vornehmendes Wort für Fortpflanzung.

Aber das verdient der Physik Ihnen häufiger begegnet. Haben Sie vielleicht schon mal Elektrodynamik gesehen? Propagation, Propagator, Grenzfunktion? Okay, vielleicht auch nicht. Habe ich 1,18 übersprungen. Dann gucke ich mal in meine Notizen, wo die 1,18 hätte auftauchen sollen.

Ah ja, ich hatte die Eigenschaften

für die, das auch eine Nummer zu kriegen. Danke schön. Okay, das ist ein guter Punkt für die Pause. Was ich nachher machen werde, ist Ihnen zu zeigen, wie berechne ich diese Übergangsabitur, also die Wahrscheinlichkeit starten von einem Ausgangszustand, z.

B. einen gewählten, gewünschten Endzustand zu bekommen. Zum Beispiel rechtspolarisiertes Photon zu haben. Also wenn Sie eine Messung machen, Helizitätsmessung, dann wollen Sie ja letztendlich die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass das Photon am Ende sich verhält, wie als ob es rechtspolarisiert wäre. Also der rechtspolarisierte Anteil

in unserem Endzustand. Und die Wahrscheinlichkeit, wie groß sie ist, wir berechnen das schon. Das wissen wir im Grunde schon. Ich führe Ihnen das auch mal vor und das wird dann zu einer interessanten Differentialgleichung für diese Größe U führen, die wir später immer wieder verwenden müssen. Also hier ist das U bekannt, aber im Allgemeinen müssen Sie es erst beschaffen.

Das mache ich nach der Pause. Zehn Minuten. Und es geht weiter. Sie dürfen sich wieder mal einschalten und überprüfen, ob Sie einigermaßen mitbekommen haben. Die Inhalte der letzten

45 Minuten. Deshalb drei kurze Fragen. Für Sie und für mich als kleines Feedback. Die erste Frage, welche Eigenschaften von Roh die aufgelistet sind, sind korrekt? Ja, vier Möglichkeiten.

Ist Roh² gleich Roh? Also das geht jetzt für einen allgemeinen Dichteroperator. Sporo gleich eins. Ist das eine richtige Aussage? Ist Roh diagonal? Und bedeutet, dass maximale Position heißt, dass Roh

proportional zur Einhaltsmatrix ist. Einiges davon ist richtig, einiges ist falsch. Wenn Sie aufgepasst haben, sollte das noch in den Köpfen sein. Aber vielleicht haben Sie ja auch missverstanden.

Ich denke, wir sind hier doch 70, 80 Leute. Also mit 50 Stimmen wäre ich schon zufrieden.

Zehn Sekunden haben Sie noch. Gibt noch Zweifel? Dann schaue ich mal nach. Ich würde sagen, Publikum Joker

ist eindeutig. Relativ eindeutig. Und es ist richtig. Das ist die richtige Antwort. Die erste Antwort ist nicht richtig, weil das nur für reine Zustände gilt. Reine Zustände sind Spezialfälle, sind spezielle Gemische, wenn Sie so wollen. Das Gemisch ist die allgemeinere

Situation. Und nur wenn wir einen Projektor haben und eigentlich auch nur wenn wir einen Projektor vom Rang 1 haben, dann ist es in reiner Zustand. Man muss ein bisschen aufpassen. Die Projektoren können ja entartet sein. Es können höhere Rangprojektoren sein. Nicht in unserem Beispiel, wo wir eine Zwei-Dimension haben,

aber in einer höheren Dimension ist das denkbar. Dann würde Rohquadrat gleich Roh eigentlich nur bedeuten, dass das System ein Gemisch ist in einem Unterraum vom Rang von Dimension 2. Nur wenn es in einem Unterraum von Dimension 1 ist, dann ist es proportional natürlich

zu einem Projektor in eine Richtung. Ein Rang 1 und dann haben wir einen reinen Zustandsvektor. Beim höheren Rang muss das nicht sein. Deswegen habe ich das nicht immer dazugeschrieben. Ich glaube, in einem Fall hatte ich es dazugeschrieben. Aber als Kriterium reicht Rohquadrat gleich Roh noch nicht aus, um einen reinen Zustand zu infizieren. Aber in jedem Fall ist es falsch als allgemeine Eigenschaft. Allgemein wird es nicht.

Spur Roh gleich 1 hatte ich gesagt. Das ist einfach die Normierung der Gesamtwahrscheinlichkeit. Und dass es nicht diagonal sein muss, haben wir nicht am Beispiel gesehen, aber ich habe das nochmal betont. Das hängt natürlich von der Basis ab. Außer bei einem unpolarisierten Licht, wo die Einheitsmatrix immer diagonal ist. Das ist Quatsch.

Hier müsste minimale Polarisation oder Nullpolarisation stehen. Dann wird es richtig. Ein Gegenbeispiel, maximale Polarisation. Vielleicht zur Erinnerung. Wie sähe die Polarisation aus für in der x-Basis, xy-Basis, wie sähe die dichte Matrix aus für ein x-polarisiertes Photon.

Das wäre einfach der Projektor xx. Dann ist das der zuständige Projektor.

Das wäre die dichte Matrix. 1 zu 1. Das ist der besonders einfache Fall der reinen Zustände. Reine Zustände sind maximale Polarisierte Zustände. Alles, was geringeren Polarisierungsgrad hat, ist ein Gemisch. Im Extremfall haben Sie die Einheitsmatrix und dann ist die Polarisation Null.

Eigenschaften von reinen Zuständen. Was ist hier richtig? 3 ist roh? Ist das richtig bei reinen Zuständen? Ist der Rang des Dichteroperators gleich Null?

Ist in diesem Fall die dichte Matrix proportional zur Einheitsmatrix? Ja oder nein? Ich habe eine 5. Antwort hier drin. Die können Sie ignorieren. Das sind nur 4. Habe ich nicht richtig ausgeschlossen.

Wir können natürlich auch E drücken.

Gut, das geht schnell. Fangen wir mal nach. Gut, das war fast erwartend. Interessant ist, wenn ich Ihnen mehrere Slots gebe. Dann müssen wir mal gucken.

Also wenn ich das umnormiere, dann muss ich eben, hat mein Ergebnisvektor noch die halbe Länge wie der Gesamtvektor und dann ist aber so, dass wohl 70% etwa mehr, 80% der abgegebenen Stimmen auf die erste Antwort verfallen. Die ist natürlich korrekt. Wir hatten das schon mal.

Wenn roh quadrat der groß ist, roh 3 natürlich auch Null. Das ist falsch. Der Rang muss 1 sein. Das gilt für unpolarisiertes Licht, nicht für reine Zustände. Das ist auch richtig. Wenn wir reinen Zustand haben, einen Projektor vom Rang 1, dann können wir die Dichtermatis immer schreiben

als einen Projektor auf diesen Zustand. Also von dieser Form. Wäre auch richtig. Letzte Frage, die ist ein bisschen komplizierter. Wenn ich einem Gemisch den Mittelwert einer observativen A ausrechnen möchte,

wie mache ich das? Freischalten sollte ich. Ich gebe Ihnen verschiedene Möglichkeiten. Die beiden letzten sind etwas komplizierter. Die Formeln dazu standen

hier an der Tafel vorhin. Ich weiß nicht, ob Sie den Jargon, den ich hier benutze, kennen. Underscore bedeutet Subscript. Wie sagt man auf Deutsch? Tiefer gestellter untere Index.

Also die Summe über alle I von diesen Diagonalelementen des Operators A soll der Mittelwert sein. Wobei die I sind die Eigenzustände von A mit den Eigenwerten AI und die sollen auf eins normiert sein. Das Gleiche hier, ein ähnlicher Ausdruck, aber da sage ich, Sie summieren nicht

über das, sondern Sie summieren über die Diagonalelemente von Ro in dieser Eigenbasis von A, gewichtet mit den Eigenwerten. Vielleicht nicht ganz offensichtlich, aber wenn Sie ein bisschen nachdenken, können Sie entscheiden, ob das vielleicht das Gleiche ist, wie eine der Ausdrücke, die da drüber stehen.

Nur ein bisschen komplizierter ausgedrückt. Ja, es ist ja meistens so, dass er zwei richtige Antworten hat. Ich glaube, ich muss das mal

anders machen. Na, haben wir die 50. Soll ich noch länger warten?

Ich glaube nicht, die Mehrheit hat sich entschieden. Schauen wir mal nach. Okay, also eine Antwort ist sehr klar. Und die ist auch korrekt. Das ist die Formel, auf die ich hingesteuert habe vorhin. Das ist Quatsch, weil hier Spur Ro ist eins, das wäre nur Spur von A und das ist die Summe der Eigenwerte.

Da würde der Zustand ja gar nicht eingehen. Und entsprechend hier geht auch der Zustand nicht ein. Wo kommt hier die Abhängigkeit von Ro? Die ist hier gar nicht drin. Der Mittelwert muss ja irgendwie von Ro abhängen. Wogegen die letzte Antwort

auch richtig ist. ja gut, mal kurz sehen, wie würde man das sehen? Die letzte Antwort, ich frage es Ihnen an, ist Summe über I Ai Jetzt benutzen wir wieder diese schöne Formel,

die die Spuren über die äußere Produkte zusammenbringt mit dem Skalarprodukt. Ich schreibe nun jetzt andersrum. Dieses hier, was hier steht, ist die Spur von Ii mal Ro. Ich ziehe einfach

unter der Spur dann den Kettchen nach vorne. Mache aus dem Inneren ein äußeres Produkt. Das ist erlaubt. Und dann kann ich die Summe reinziehen oder so schreiben.

Linear, die Spur. Aber dies hier ist einfach eine Darstellung des Operators A, zerlegt nach der Eigenbasis. Eigenprojektoren multipliziert mit den Eigenwerten. Also das ist die gleiche wie Antwort B. Nur um Sie ein bisschen zu verwirren,

mal in eine kompliziertere Art und Weise, man auch sieht, man kann die Dinge auch anders schreiben und mithilfe ein wenig Gymnastik mit Bras und Ketz dann auch sich überzeugen, dass das gleich ist. Dann

zurück zum Geschäft. Was ich angekündigt habe, ist ausrechnen zu wollen,

die Wahrscheinlichkeit nach Durchgang durch das Calcitkristall einen bestimmten Ausgangszustand vorzufinden. Das nennt man und dazu gehört eine Wahrscheinlichkeitsamplitude. Jetzt sind wir wieder weg von den Gemischen, wieder bei reinen Zuständen.

Wahrscheinlichkeitsamplituden müssen dann quadriert werden, um Wahrscheinlichkeiten zu bekommen. Also die Übergangsamplitude von C in

nach irgendeinem Endzustand Psi Das ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude bei einer Phi-Messung.

Ich sage es in Worten, das hatten wir bei den Prolasationsfiltern. Wir können das wiederum so als Beispiel uns vorstellen. Nehmen wir an, das Phi wäre, wir haben am Ende einen Rechtsfilter. Dann wollen wir die Wahrscheinlichkeit finden, dass ein Photon nach dem Passieren des Kassiers

auf den Polarisationsfilter am Ende passiert, den Rechtspolarisierungsfilter. Das heißt, wir wollen ausrechnen, wie groß ist die Amplitude, welcher Anteil von dem Zustand Phi, das wäre dann R, der Eigenzustand des Filters, welcher Anteil ist enthalten in unserem Endzustand.

Wir haben einen Anfangszustand, wir haben einen Endzustand, wir wollen dann wissen, wie groß steht der Senkrecht auf dem Phi, auf unserem R-Polarisationsfilter, wo ist die große Projektion, das ist dann wichtig für die Übergangsamplitude, die Projektion auf den Eigenzustand unseres Filters.

Okay, hier heißt das, wir haben ein Phi und ein Phi out, also wie groß, zum Beispiel bei R-Filtermessung würde Phi gleich R sein.

Die Wahrscheinlichkeit ist das absolut quadratische Amplitude, die Amplitude ist die Projektion des Endzustandes auf den speziellen Zustand, der dem Filter, zu dem Filter gehört, das Passieren des Rechtsfilters.

Nicht passieren müssen sie L reinsetzen, den originalen Zustand. Die Übergangswahrscheinlichkeit ist einfach die Amplitude zum Quadrat.

Also die Wahrscheinlichkeit, dass ein einlaufendes Photon im Zustand Phi in, sich beim Austreten wie ein Photon im Zustand Phi verhält. Der Operator U definiert die Änderung,

UZ beschreibt die Zustandsänderung bei Propagation durch den Kristall.

Das heißt, wir haben die Beziehung, Phi ist U angewendet auf den Eingangszustand. Habe ich schon 20 gehabt, mir habe ich hier eine 21, vermute mal.

Steht da oben, genau, das ist U. So, das sind unsere Ingredienzien und eigentlich möchte ich gerne dieses UZ ein bisschen besser kennenlernen, denn da steckt ja die Gesamtinformation eigentlich drin.

Es gibt zwei wichtige Eigenschaften. Die erste wichtige Eigenschaft von dem U ist, UZ ist multiplicativ. Was bedeutet das?

Das bedeutet, wenn Sie Ihr Photonstrahl vom Z gleich Null, das ist der Eintritt des Kristalls, zu irgendeinem Wert Z verschieben und dann noch mal ein Stück A weiter zu Z plus A, dann können Sie das auf zwei Art und Weisen tun.

Entweder gehen Sie gleich bis Z plus A, oder Sie propagieren den Strahl erst bis Z und dann noch mal von Z nach Z plus A. Es ist intuitiv klar, hoffe ich, dass das keinen Unterschied machen sollte. Denn das beschreibt ja den Zustand an jedem Punkt Z. Und wie Sie da hinkommen, die Formel sollte einfach diese Verschiebung beschreiben

und die Verschiebung können Sie in verschiedenen Stufen machen. Das muss egal sein. Das bedeutet, wir haben eine einfache Beziehung, die wir auch schreiben können.

So oder so. Wir können in einem Schritt mit einem UZ plus A von hier nach da kommen. Aber wir können auch erst von Z in nach Z nach Z kommen,

hier und dann noch mal UA anwenden. Dann kommen wir auch dahin. Diese vier Ausdrücke müssen eigentlich gleich sein. Und Sie lesen ab, da das für einen beliebigen Zustand Psi in gilt, muss das auch auf der Operatorebene gelten, dass UA mal UZ gleich UZ plus A ist.

Das ist ein Kompositionsgesetz für diesen Operator U. Das meine ich mit multiplicativ. Addition der Längen bedeutet Multiplikation der zugehörigen Operatoren. Das ist eine grundlegende Eigenschaft von Evolutions- oder Propagationsoperatoren.

Und das kann man natürlich auch beweisen. Sie können sich die Mühe machen, diesen Ausdruck einfach zu nehmen. Und man sieht es natürlich sofort in der Basis hier. Wenn ich zwei Diagonalmatrizen multipliziere, in denen auf der Diagonalen Exponentialfunktion stehen, dann multiplizieren sich einfach die Diagonalelemente.

Und die Exponenten addieren sich. Die Exponenten sind linear in Z, also addieren sich die Strecken. Ich denke, das brauche ich Ihnen nicht vorzurechnen. Interessant ist in vielen Fällen, auch für die Differentialgleichung gleich,

dies infinisimal anzuschauen für kleine Längenänderungen, kleine Strecken. Also ich betrachte mal die Situation, dass K0 und Ke mal a klein gegenüber 1 sind.

Also diese Änderung hier, dieses kleine Stück. Also mal so etwas, z gleich 0, hier ist die Z-Achse. Hier sind wir bei Z und hier Z plus a. Wenn dieses Stück a soll klein sein gegenüber dem Z, verschieben wir nur ein kleines bisschen weiter.

Das können Sie dadurch ausdrücken. a ist ja eine dimensionsbehafte Größe, eine Länge, aber wenn Sie es mit Wellenvektorn multiplizieren oder mit der Wellenzahl, ist es eine Zahl. Und die soll eben klein sein. Also a infinisimal. Dann können wir das UA, das hier auftaucht, auch nähern,

indem wir einfach zum Beispiel hier die Formel nehmen. UA vielleicht erstmal hinschreiben nochmal. UA ist ja e hoch i. Jetzt haben wir i, k, e. Erst haben wir e, k, e, a, e, e, plus e hoch i, k, u, a, u, u.

Und wenn K mal a klein ist, dann kann ich diese Phasen nähern durch 1 plus linear.

Also dann ist das ungefähr 1 plus i, k, a, a, mal e, plus 1 plus i, k, u, a, u, u. Und die ersten beiden Terme, oder die ersten Terme hier,

die ersten und die dritten, die kann ich zusammenfassen. Das ist einfach e, e plus o, o. Ich sortiere nach Potenzen von klein a. Und der zweite und vierte Term ist dann k, a, mal e, e, plus k, o, mal o, o.

Und Sie sehen in der ersten Klammer, das ist die Zerlegung der 1, das ist die Einheitsmatrix.

Hier steht eine andere Matrix, da werden die Diagonalelemente nicht mit 1 multipliziert, sondern mit zwei verschiedenen Zahlen. Das ist eine Diagonalmatrix in dieser Basis, aber mit Zahlen k, e, e, k, o.

Und diesen Matrix gebe ich einen Namen, den nenne ich Groß K. Neue Formel.

Und mit der Definition, es ist klar, was K ist. K ist definiert als k, e, e, plus k, u, u, o.

Also in unserer Basis einfach die Diagonalmatrix. Neue Formel. Und das nennt man den Wellenzahloperator. Deshalb heißt der Groß K so definiert.

Sie können den Spieß jetzt umdrehen, wir haben jetzt hier ein Beispiel, aber wir könnten abstrakt so einen Wellenzahloperator K definieren. Und dessen Eigenwerte sind halt die möglichen Wellenzahlen und die Eigenvektoren von K sind die möglichen Zustände,

die definierte Wellenzahl haben. Das heißt, ein Photon in diesem oder in diesem Zustand hat eine definierte Wellenzahl, genauso wie vorher mit unserer Polarisation. Aber eine allgemeine Superposition hat keine definierte Wellenzahl. Also wir starten im Eingangszustand mit einem Photonstrahl

mit einer definierten Wellenzahl, aber durch die Superposition, durch die Änderung der einzelnen Anteile zu einem späteren Punkt im Brustall hat der Zustand z keine feste Wellenzahl. Das ist wie vorher bei der Polarisation. Das ist keine Größe, der Sie für das jeweilige Foto an einen Wert zuweisen können.

Ja, und ich hatte von der Differentialgleichung schon gesprochen. Diese Gleichung ist ein Prototyp später,

Sie werden nächste Woche die Schrödingergleichung dann zum ersten Mal sehen. Das ist vom gleichen Typ. Für dieses Cz und für uz gibt es eine Differentialgleichung.

Ich betrachte nach wie vor die Situation, dass a klein ist und dann kann ich ja einfach mal infinitismal entwickeln in Potenzen von a.

Also nochmal 1 plus iak mal dz. Das ist das, was ich da oben abgeleitet habe. Ich habe das ua hier jetzt eingesetzt in Näherungsweise für kleine a.

Das bedeutet aber, wenn Sie auf die andere Seite bringen, dieses hier ist ja Cz. Ich kann den ersten Term auf die linke Seite bringen. Ungefähr iak mal dz. Dann haben Sie diese Gleichung.

Ich habe das nur ausmultipliziert, die Klammer, und dann den ersten Term rübergeschrieben. Dann bilde ich den üblichen Liemes beim Differentialgleichung.

Einfach Größe bei leicht verschoben, minus ursprünglich, geteilt durch die Länge der Verschiebung und bilde den Grenzwert. Wenn ich durch a teile, fällt das a hier weg und da steht einfach i mal k. Das ist der Sinn der Sache. In dieser Grenzwertbildung fällt das a raus.

Es bleibt nur noch ein Term übrig. Die höheren Term von Ordnung a² gehen zu 0. Das ist die lineare Näherung. Das bedeutet, hier auf der linken Seite, das können Sie lesen als eine Ableitung. Ob Sie nur nach a differenzieren oder nach z spielt hier keine Rolle.

Ich könnte auch schreiben z plus a, d nach d, a. An der Stelle a gleich 0, aber ich kann auch nach z differenzieren. Das ist hier egal. Dann steht hier rechts i k Cz. Dann haben wir diese schöne Gleichung.

Die Gleichung können wir auch als Gleichung für u auffassen. Cz ist u mal C in und C in hängt nicht von z ab. Das u hängt von z ab. Wenn ich mir hier vorstelle, hier steht u z mal C in, dann wirkt der Differenzialoperator auf das u z.

Das C in kann ich auf beiden Seiten streichen. Dann bekomme ich auch eine Gleichung für das u. Das ist dann eine Operator-Differenzial-Gleichung. Das ist mal u z.

Diese Gleichungen sind sehr typisch und tauchen später immer wieder auf. Nicht mehr, indem ich den Grenzfall bilde. Wir können es auch ein bisschen genauer machen. Ich kann hier ein Gleichheitszeichen schreiben und dann plus Ordnung a² schreiben. Und hier auch.

Und hier fallen diese Terme dann weg. Wenn sie durch a teilen, bleibt immer noch ein a übrig. Und dann geht es nach Null. Ich mache das mal explizit in der xy-Basis.

Damit Sie wissen, wie sieht so etwas aus wieder in Matrix-Schreibweise.

Wir nehmen diese Gleichung und projizieren sie auf die Basisvektoren. Von links mit Bra x, von links mit Bra y durchmultiplizieren. Wenn Sie übergehen wollen von der abstrakten Gleichung in Kits oder Bras,

zu Basis, zu Komponenten, projizieren Sie die Gleichung von rechts, von links, wie es gerade passt, auf die entsprechenden Basisvektoren. Dann bekommen Sie Gleichung für Zahlen, für Funktionen, nicht für matrixwerte Objekte. Für Ihre jeweiligen Komponenten. Den können Sie meinetwegen dann wieder in Matrixform zusammenfassen. Ich mache es nochmal hier.

Dann steht hier I. K ist ein Operator. Das kann ich nicht, das x, durchziehen. Das sieht dann so aus. Da habe ich noch nicht so viel gewonnen. Ich weiß nicht, wie sieht k, psi, x aus. Aber ich möchte es gerne durch diese Komponenten ausdrücken.

x, psi, z und y, psi, z. Ich will also das x irgendwie da auf die Seite bringen. An dem k vorbei. Wie mache ich das? Der Geheimtrick. 1 einschieben, vollständige Basiserlegung an dieser Stelle. Damit hier neben dem psi auch ein x und y wieder zu stehen kommt.

Also steht dann da x, k, x, x, z plus i, x, k, y.

K, y, y, psi, z. Und entsprechend für y. Schreibe ich jetzt nicht aus, ist genauso.

Dann können Sie die beiden gleichen zusammenfassen. Was hier steht sind die Komponenten. psi, x, psi, y von z. Ich schreibe jetzt das z-Argument mal als Argument hier aus. Als Argument von dem Vektor. Das ist dasselbe z, das habe ich hier als Index geschrieben.

Ich hoffe, das ist jetzt nicht zu verwirrend. Das z hier als Index ist nicht Komponente. Das ist ja ein Kett, da steht ja keine Komponente drin. Ich könnte auch schreiben von z, aber dann müssen Sie noch mehr Klammern schreiben. Ich hoffe, aus dem Zusammenhang ist das klar, dass ich das jetzt hier gerade ein bisschen anders schreibe.

Hier ist die Ableitung vom psi, x. Und das ist psi, y von z. Hier ist Ableitung vom psi, x und psi, y. Es gibt eine Linearkombination vom psi, x und psi, y.

Linearkombination schreiben Sie durch Matrizen. Da steht also Matrix K x, x, K x, y. K, y, x. K, y, y von z. Aber die Matrix hängt nicht von z ab. Die ist konstant.

So sieht die Gleichung in Komponenten aus. Diese Komponenten ist nichts anderes als das hier. K x, x ist das, K x, y ist das usw. So können Sie hin und her übersetzen zwischen Matrix-Schreibweise und Komponenten. Man muss es einfach tun und sich dann freuen,

dass die Formeln intelligent sind. Gut, wie löse ich diese Differential-Gleichung? Solche sind sehr einfach zu lösen, auch wenn sie matrixwertig sind.

Bei einer Lösung brauche ich einen Anfangswert. Das heißt z gleich 0. Z ist mein Zustand bei z gleich 0, sinnvollerweise. Das bedeutet, dass das U0 gleich die Identität ist.

Bei z gleich 0 ist Zustand gleich der Eingangszustand. Das U macht nichts. Dann lautet die Lösung offensichtlich so.

Das K ist eine konstante Matrix. Das ist eine lineare Differential-Gleichung mit konstanten Koeffizienzen. Einfaches gibt es nicht, außer vielleicht 0 auf der rechten Seite. Das wird gelöst durch eine Exponentialfunktion. Dass hier eine Matrix steht, tut nichts zur Sache. Wenn nur eine Matrix steht und das das Vektorwertig ist,

ist das einfach nur die mehrdimensionale Verallgemeinerung. Sie müssen an diese Matrix exponenzieren, aber wie Sie eine Matrix exponenzieren, wissen Sie, indem Sie die Exponentialreihe hinschreiben. Das definiert diesen exponenzierten Operator. Das heißt, wir wissen schon, unser UZ ist einfach EOIZ mal K.

Wenn Sie den Wellenoperator kennen, dann kennen Sie bereits den Propagationsoperator U.

Dann ist die Komposition trivial. Denn UA mal UZ ist nichts anderes als EOIAK mal EOIAZ mal K.

Wenn Sie die gleiche Matrix haben, dann dürfen Sie im Exponenten einfach addieren. Das lässt sich sofort nachrechnen.

Ich hatte eine wichtige Eigenschaft geschrieben, die erste. Ich möchte noch eine zweite erwähnen. Das ist die Eigenschaft, dass UA oder UZ generell

die Norm des Zustandes, in dem Fall Ψz, auf den es wirkt, nicht ändert. Das ist vielleicht nicht offensichtlich. Das ist eine lineare Operation.

Warum soll die Länge des Vektors erhalten bleiben? Es sind leicht vorstellbar lineare Operationen, die den Vektor strecken oder Dreh strecken, was auch immer. Das heißt, anders gesagt, die Norm von dem Zustand bei Z plus A

ist die gleiche wie die des Ausgangsvektors, wenn ich um A verschiebe. Wenn der normiert ist auf 1, bleibt der auf 1 normiert. Das ist die wichtige Eigenschaft. Physikalisch bedeutet das, es werden im Calcitkristall keine Photonen absorbiert.

Die Gesamtamplitude ist auf 1 normiert, sonst würden wir Photonen verlustig gehen. Das könnten Sie damit simulieren, mit einer U, was dieses nicht hat, was die Norm nicht erhält. Gut, wie sehe ich das?

Beweis. Wir können das einfach nachrechnen. Wir haben ja Ψz plus A ist gleich UA Ψz. Für die Normen brauche ich den Zugehörigen bra.

Es gilt also auch die entsprechende konjugierte Gleichung. Aber dann steht hier U Kreuz. Wir müssen alles kreuzen, die Reihenfolge dreht sich um. Aus dem Kett wird dann bra, aus dem U wird dann U Kreuz. Und dann gilt, ich setze sich diese und diese Gleichung ein.

Rechts und links. So geklammert, so geklammert. Jetzt klammere ich wieder um und fasse die beiden Operatoren zusammen.

UA Kreuz mal UA. Aber UA Kreuz mal UA können Sie sofort sehen an dieser Darstellung. UA Kreuz ist E hoch I AK Kreuz. K ist ein hermetischer Operator nach Konstruktion.

Und im Exponentenstern heißt dann das Vorzeichen hier ändern, weil dann I steht. A ist ja reell, alles andere ist reell oder hermetisch. Okay. Und das bedeutet E hoch Minus I AK, E hoch I AK, C Z.

Und offensichtlich ist das 1. Voilà. Das war hoffentlich nicht schwer.

Das gilt nicht nur für Diagonalzustände, also Eingangs, die bra und ket sind gleich, sondern das gilt allgemein, dass nämlich UA Kreuz UA gleich 1 ist.

Und das bedeutet eben, ja, das bedeutet UA ist unitär. Also wir haben es jetzt direkt hier verifiziert durch dieses Einsetzen.

Ich könnte es aber auch, ja, das ist glaube ich die einfachste Variante. Und das hat eine Konsequenz auch für den Operator K,

für den Infinitismal-Operator. Ja, ich erinnere, UA ist ungefähr 1 plus I AK, oder Identität, Einheitsmatrix, wenn das lieber ist. Dann gilt UA Kreuz ist 1 Minus I AK Kreuz.

Ich nehme mir jetzt mal an, ich wüsste nicht, dass K hermetisch ist. Das kommt aber jetzt raus. Denn wenn Sie K irgendwie beliebig erlauben, K Kreuz ist irgendwas Neues, dann setzen Sie hier ein, diese Gleichung hier,

ich schreibe sie einfach um, die 1 auf die linke Seite, Minus I AK Kreuz mal 1 plus I AK und multiplizieren das aus, naja, ungefähr, ja,

bis auf Terme höherer Ordnung. Multipliziere ich das aus, dann steht da die 1, dann steht der Term plus I AK minus I AK Kreuz plus Term A Quadrat. Aber die habe ich ja, kann ich vergessen.

Das muss in jeder Ordnung A gelten, also insbesondere muss diese gleichen, dass diese Term verschwinden, wenn Sie rechts und links vergleichen. Das bedeutet, Sie haben als Konsequenz K Kreuz gleich K. Also K ist hermetisch, 28, okay.

Ja, das bedeutet, dass die 4 Matrixelemente von K nicht allgemein komplex sind, sondern paarweise zusammenhängen. Es gibt eigentlich nur 2 komplexe oder 4 reelle unabhängige Komponenten.

Ja, das könnte man jetzt noch weiter ausführen. Natürlich steht das direkt im Zusammenhang, wenn Sie eine hermetische Matrix mit I multiplizieren und exponentieren, dann ist das unitär. Rechnen Sie sofort nach, wenn Sie U Kreuz bilden, dann, ja, Sie sehen es hier,

kriegen Sie die Eigenschaft, dass U Kreuz mal U gleich 1 ist. Ich glaube, das ist einfache lineale Algebra, das muss ich jetzt hier nicht ausführen weiter.

Gut, vielleicht noch die letzte Eigenschaft. Ja, ja, es ist noch, Entschuldigung, genau, wir haben gerade gucken.

Also, nee, ich glaube, es ist okay. Also, ich wollte noch was dazu sagen, aber ich glaube, das kann ich mir schenken. Das ist alles elementar-linear Algebra, Sie sehen, ein Zusammenhang zwischen linearer Änderung von dem Quantenzustand

und Superposition von Teilzuständen wiederum und wie wir das beschreiben können, durch einfache Operatoren in unserem Zustandsraum. Nächste Woche werde ich das Gleiche machen für eine Zeitentwicklung.

Das Analoge dieses Calcit-Kristalls werden wir durch unterschiedliche Wellenanteile mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten angucken, nicht durch unterschiedlichen Brechungsindex. Und dann wird die Differentialgleichung nicht in Z sein, nicht in der Ortsvariable, sondern in der Zeitvariable, und Sie wissen, was dann da rauskommt. Wir sehen uns dann nächste Woche.

Viel Spaß.